2019年河南省开封市高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2019年河南省开封市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝（y|y＝2x，x＞0}，B＝{x|y＝log2（x﹣2）}，则A∩（∁R B）＝（）A．[0，1）B．（1，2）C．（1，2]D．[2，+∞）2．（5分）已知复数z满足（1+i）z＝1+i，则复平面内与复数z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知函数f（x）＝sin4x﹣cos4x，则下列说法正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）的最大值为2C．f（x）的图象关于y轴对称D．f（x）在区间[，]上单调递减4．（5分）已知等比数列{a n}中，有a3a11＝4a7，数列{b n}是等差数列，其前n项和为S n，且b7＝a7，则S13＝（）A．26B．52C．78D．1045．（5分）已知直线m，n和平面α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为（）A．16﹣πB．16﹣4πC．32﹣2πD．64﹣4π7．（5分）已知函数f（x）＝，若f（a）≥1则a的取值范围是（）A．[1，2）B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）8．（5分）若x，y满足约束条件，则的取值范围为（）A．[﹣，1]B．[﹣∞，﹣]∪[1，+∞）C．[0，1]D．[，1]9．（5分）已知数列{a n}中，a1＝，a n+1＝1﹣，利用如图程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是（）A．n≤2012B．n≤2015C．n≤2017D．n≤2018 10．（5分）已知△ABC的内角A＝，AB＝6，AC＝4，O为△ABC所在平面上一点，且满足OA＝OB＝OC，设＝m+n，则m+n的值为（）A．B．1C．D．211．（5分）已知P是双曲线＝1（a＞0，b＞0）上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|＝12，直线PF2的斜率为﹣4，△PF1F2的面积为24，则双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．12．（5分）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．（0，]D．（0，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（1﹣x）10的展开式中，x3的系数等于．14．（5分）已知向量＝（1，），＝（3，m），则在方向上的投影为﹣3，则向量与的夹角为．15．（5分）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF＝2AF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是．16．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}的前n项和为T n．满足a1＝2，3S n＝（n+m）a n，（m∈R），且a n b n＝n，若存在n∈N*，使得λ+T n≥T2n成立，则实数λ的最小值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知c＝a cos B+b sin A．（Ⅰ）求A（Ⅱ）若a＝2，求△ABC面积的最大值．18．（12分）如图所示，ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面BCE，且AE＝1．（Ⅰ）求证：平面ABCD⊥平面ABE；（Ⅱ）线段AD上是否存在一点F，使三棱锥A﹣BF﹣E 所成角的余弦值为？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．19．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F 与椭圆+＝1的右焦点重合，抛物线C的动弦AB过点F，过点F且垂直于弦AB的直线交抛物线的准线于点M．（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）求的最小值．20．（12分）大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如表所示：（Ⅰ）这两年学校共培养出优等生150人，根据如图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？（Ⅱ）已知今年全校有150名学生报名学习大学先修课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率（i）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（ii）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为X，求X的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数．参考数据：参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d21．（12分）已知函数f（x）＝．（Ⅰ）当a＝b＝1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若f（1）＝1，且方程f（x）＝1在区间（0，1）内有解，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的参数方程是，（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线OP：θ1＝α（其中0＜α＜）与曲线C交于O，P两点，射线OQ：θ2＝与直线l交于Q点，若△OPQ的面积为1，求α的值和弦长|OP|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+a|，g（x）＝|x﹣1|．（Ⅰ）若f（x）+2g（x）的最小值为1，求实数a的值；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）+g（x）＜1的解集包含[，1]，求实数a的取值范围．2019年河南省开封市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：集合A＝（y|y＝2x，x＞0}＝{y|y＞1}＝（1，+∞），B＝{x|y＝log2（x﹣2）}＝{x|x﹣2＞0}＝{x|x＞2}，则∁R B＝{x|x≤2}＝（﹣∞，2]，∴A∩（∁R B）＝（﹣∞，2]．故选：C．2．【解答】解：由（1+i）z＝1+i，得z＝，∴复平面内与复数z对应的点的坐标为（），在第四象限角．故选：D．3．【解答】解：∵f（x）＝sin4x﹣cos4x＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，∴函数的最小正周期T＝π，∵f（﹣x）＝﹣cos（﹣2x）＝﹣cos2x＝f（x），∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，∵f（x）＝cos2x在[，]上单调递减，故f（x）＝﹣cos2x在[，]上单调递增．故选：C．4．【解答】解：等比数列{a n}中，a3a11＝4a7，可得a72＝4a7，解得a7＝4，数列{b n}是等差数列中b7＝a7＝4，则S13＝×13（b1+b13）＝13b7＝13×4＝52．故选：B．5．【解答】解：直线m，n和平面α，n⊂α，则“m∥n”与“m∥α”相互推不出．∴“m∥n”是“m∥α”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．【解答】解：根据几何体的三视图：得到：该几何体是由一个长为2，宽为4高为2的长方体，挖去一个半径为1，高为4的圆柱构成，故：V＝2，＝16﹣π．故选：A．7．【解答】解：函数f（x）＝，若f（a）≥1，可得：或，解：，可得：1≤a＜2；解得a≥2．综上a≥1．故选：B．8．【解答】解：作出x，y满足约束条件的可行域如图：△ABC，表示区域内的点与点（﹣2，0）连线的斜率，联方程组可解得B（2，﹣2），同理可得A（2，4），当直线经过点B时，M取最小值：＝，当直线经过点A时，M取最大值＝1．则的取值范围：[﹣，1]．故选：A．9．【解答】解：通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，循环前，A＝，n＝1；第1次循环，A＝1﹣2＝﹣1，n＝1+1＝2；第2次循环，A＝1+1＝2，n＝2+1＝3；第3次循环，A＝1﹣＝，n＝3+1＝4；…所以，程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A＝2时，n能被3整除，此时不满足循环条件．分析选项中的条件，满足题意的C．故选：C．10．【解答】解：由OA＝OB＝OC，得：点O是△ABC的外心，又外心是中垂线的交点，则有：，即，又AB＝6，AC＝4，＝12，所以，解得：，即m+n＝+＝，故选：A．11．【解答】解：P是双曲线＝1（a＞0，b＞0）上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|＝12，c＝6，△PF1F2的面积为24，可得P的纵坐标y为：，y＝4．直线PF2的斜率为﹣4，所以P的横坐标x满足：，解得x＝5，则P（5，4），|PF1|＝＝13，|PF2|＝＝7，所以2a＝13﹣7，a＝3，所以双曲线的离心率为：e＝＝2．故选：B．12．【解答】解：如图，AB＝CD＝a，AC＝AD＝BC＝BD＝2．过A作AE⊥CD于E，连结BE，则AE＝＝BE，又AB＝a，∴＝，∴＝，令，则f′（a）＝16a3﹣3a5＝0，解得当a2＝时，（V A﹣BCD）max＝．∴此三棱锥体积的取值范围是（0，]．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：（1﹣x）10的展开式中，T r+1＝（﹣x）r，令r＝3，则T4＝﹣x3，则x3的系数＝﹣＝﹣120．故答案为：﹣120．14．【解答】解：根据题意，设向量与夹角为θ，向量＝（1，），＝（3，m），则||＝2，•＝3+m，若在上的投影为﹣3，则有＝＝﹣3，解可得：m＝﹣3，则＝（3，﹣3），则||＝6，则cosθ＝＝＝﹣，又由0≤θ≤π，则θ＝，故答案为：15．【解答】解：由题意，设DF＝2AF＝2a，且a＞0，由∠DFE＝，∴∠AFC＝π﹣＝；∴△DEF的面积为S△DEF＝•2a•2a•sin＝a2，△AFC的面积为S△AFC＝•a•3a•sin＝a2，∴在大等边三角形中随机取一点，此点取自小等边三角形的概率是P＝＝．故答案为：．16．【解答】解：∵3S n＝（n+m）a n，∴3S1＝3a1＝（1+m）a1，解得m＝2，∴3S n＝（n+2）a n，①，当n≥2时，3S n﹣1＝（n+1）a n﹣1，②，由①﹣②可得3a n＝（n+2）a n﹣（n+1）a n﹣1，即（n﹣1）a n＝（n+1）a n﹣1，∴＝，∴＝，＝，＝，…，＝，＝，累乘可得a n＝n（n+1），经检验a1＝2符合题意，∴a n＝n（n+1），n∈N*，∵a n b n＝n，∴b n＝，令B n＝T2n﹣T n＝++…+，则B n+1﹣B n＝＞0，∴数列{B n}为递增数列，∴B n≥B1＝，∵存在n∈N*，使得λ+T n≥T2n成立，∴λ≥B1＝，故实数λ的最小值为，故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【解答】解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得sin C＝sin A cos B+sin B sin A①又A+B+C＝π，故有sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B②由①②得sin A＝cos A即tan A＝1，又；（Ⅱ）△ABC的面积为，又已知及余弦定理可得，∴，当且仅当b＝c时，等号成立，∴，即面积最大值为．18．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵AE⊥平面BCE，∴AE⊥BE，AE⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面ABE，∴平面ABCD⊥平面ABE；（Ⅱ）以A为原点建立空间坐标系如图，∵AE＝1，AB＝2，AE⊥BE，∴BE＝，设AF＝h，则F（0，0，h），E（），B（0，2，0），∴，，设平面BEF的一个法向量为，则⇒，取y＝1，得，易知，为平面ABF的一个法向量，由题意得：＝＝，解得：h＝1，故当F为AD中点时，满足题意．19．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆+＝1知，其右焦点为（1，0），即抛物线的焦点为F（1，0），∴＝1，解得p＝2；∴抛物线C的标准方程为y2＝4x；（Ⅱ）①当动弦AB所在的直线斜率不存在时，易得|AB|＝2p＝4，＝2；②当动弦AB所在的直线斜率存在时，易知AB的斜率不为0，设AB所在直线方程为y＝k（x﹣1），且A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，消去y得k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0；∴x1+x2＝，x1•x2＝1，且△＝16（k2+1）＞0；∴|AB|＝|x1﹣x2|＝•＝；FM所在的直线方程为y ＝﹣（x﹣1），联立方程组，求得点M（﹣1，），∴|MF|＝＝2，∴＝＝2＞2；综上所述，的最小值为2．20．【解答】解：（Ⅰ）列联表如下：由列联表可得K2＝≈18.939＞6.635．∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系．（Ⅱ）（i）由题意得所求概率为：p＝×0.9++＝．（ii）设获得高校自主招生通过的人数为X，则X～X（4，），P（X＝4）＝．k＝0，1，2，3，4，∴X的分布列为：估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数为150×＝90．21．【解答】解：（Ⅰ）当a＝b＝1时，，则，解不等式f′（x）＞0，得0＜x＜1，所以，函数f（x）在（0，1）上单调递增；解不等式f′（x）＜0，得x＜0或x＞1，所以，函数f（x）在（﹣∞，0）和（1，+∞）上单调递减，因此，函数f（x）的极小值为f（0）＝1，极大值为f（1）＝；（Ⅱ）由f（1）＝1得b＝e﹣1﹣a，由f（x）＝1，得e x＝ax2+bx+1，设g（x）＝e x﹣ax2﹣bx﹣1，则g（x）在（0，1）内有零点，设x0为g（x）在（0，1）内的一个零点，由g（0）＝g（1）＝0知，g（x）在（0，x0）和（x0，1）上不单调，设h（x）＝g′（x），则h（x）在（0，x0）和（x0，1）上均存在零点，即h（x）在（0，1）上至少有两个零点．g′（x）＝e x﹣2ax﹣b，h′（x）＝e x﹣2a．当时，h′（x）＞0，h（x）在（0，1）上单调递增，h（x）不可能有两个及以上的零点；当时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上单调递减，h（x）不可能有两个及以上的零点；当时，令h′（x）＝0，得x＝ln（2a）∈（0，1），所以，h（x）在（0，ln（2a））上单调递减，在（ln（2a），1）上单调递增，h（x）在（0，1）上存在极小值h（ln（2a）），若h（x）有两个零点，则有h（ln（2a））＜0，h（0）＞0，h（1）＞0，h（ln（2a））＝3a﹣2aln（2a）+1﹣e，设，则，令m′（x）＝0，得．当时，m′（x）＞0，函数m（x）单调递增；当时，m′（x）＜0，函数m（x）单调递减．所以，，所以，h（ln（2a））＜0恒成立，由h（0）＝1﹣b＝a﹣e+2＞0，h（1）＝e﹣2a﹣b＞0，得e﹣2＜a＜1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程是（t为参数），转换为直角坐标方程为：x﹣y+1＝0．转换为极坐标方程为：ρcosθ﹣ρsinθ+1＝0．曲线C的参数方程是，（φ为参数），转换为直角坐标方程为：（x﹣2）2+y2＝4，转换为极坐标方程为：ρ＝4cosθ．（Ⅱ）由于0＜α＜，所以：|OP|＝4cosα，|OQ|＝＝．所以：＝＝1，所以：tanα＝1，由于：0＜α＜，故：，所以：|OP|＝4cos．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝|2x+a|，g（x）＝|x﹣1|．f（x）+2g（x）＝|2x+a|+2|x﹣1|＝|2x+a|+|2x﹣2|≥|2x+a﹣（2x﹣2）|＝|a+2|＝1，解得a＝﹣1或a＝﹣3；（Ⅱ）x∈[，1]时，不等式f（x）+g（x）＜1，即：|2x+a|+|x﹣1|＜1，可得：|2x+a|+1﹣x＜1，∴|2x+a|＜x．∴﹣＜x＜﹣a，不等式f（x）+g（x）＜1的解集包含[，1]，即：且﹣a＞1，∴．实数a的取值范围：（﹣，﹣1）．。
河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题 含解析
开封市2019届高三第一次模拟考试数学（理科）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合A，B，利用交并补运算得到结果.【详解】由题意易得：，∴,∴,故选：C【点睛】本题考查集合的交、并、补的基本运算，指数函数与对数函数的性质，考查计算能力．2.已知复数满足，则复平面内与复数对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【详解】由得，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，），在第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.已知函数，则下列说法正确的是A. 的最小正周期为B. 的最大值为2C. 的图像关于轴对称D. 在区间上单调递减【答案】C【解析】【分析】利用余弦型函数的图像与性质逐一判断即可.【详解】∵f（x）＝sin4x﹣cos4x＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，∴函数的最小正周期T＝π，∵f（﹣x）＝﹣cos（﹣2x）＝﹣cos2x＝f（x），∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，∵f（x）＝cos2x在[，]上单调递减，故f（x）＝﹣cos2x在[，]上单调递增．故选：C．【点睛】本题考查余弦函数的单调性、对称性以及最值，三角函数的周期公式，以及平方关系、二倍角的余弦公式的应用，熟练掌握函数的性质与公式是解题的关键．4.已知等比数列中，有，数列是等差数列，其前项和为，且，则A. 26B. 52C. 78D. 104【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为q，利用等比性质可得，即，再结合，即可得到结果.【详解】设等比数列的公比为q，∵，∴≠0，解得＝4，数列是等差数列，且．∴故选：B．【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.已知直线，和平面，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】试题分析：直线，平面，且，若，当时，，当时不能得出结论，故充分性不成立；若，过作一个平面，若时，则有，否则不成立，故必要性也不成立．由上证知“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D．考点：1、线面平行；2、命题的充分必要条件．6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先确定空间几何体的结构特征，然后利用体积公式确定其体积即可.【详解】由题意可知，题中的结合体是一个正方体去掉四分之一圆柱所得的组合体，其中正方体的棱长为4，圆柱的底面半径为2，高为4，则组合体的体积：.本题选择B选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．7.已知函数若，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依题意，对a分a与a讨论，再解相应的不等式即可．【详解】∵，∴或即或即∴的取值范围是故选：B【点睛】本题考查分段函数的图象与性质的应用，突出考查分类讨论思想与方程思想的综合应用，属于中档题．8.若，满足约束条件则的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】问题转化为在约束条件下目标函数的取值范围，作出可行域由斜率公式数形结合可得．【详解】作出x，y满足约束条件的可行域如图：△ABC，表示区域内的点与点（﹣2，0）连线的斜率，联方程组可解得B（2，﹣2），同理可得A（2，4），当直线经过点B时，M取最小值：，当直线经过点A时，M取最大值1．则的取值范围：[，1]．故选：A．【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.9.已知数列中，，，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，模拟程序的运行过程知，该程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A＝2时求出满足题意的选项即可．【详解】通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，循环前，A，n＝1；第1次循环，A＝1﹣2＝﹣1，n＝1+1＝2；第2次循环，A＝1+1＝2，n＝2+1＝3；第3次循环，A＝1，n＝3+1＝4；…所以，程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A＝2时，n能被3整除，此时不满足循环条件．分析选项中的条件，满足题意的C．故选：C．【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10.已知的内角，，，为所在平面上一点，且满足，设，则的值为A. B. 1 C. D. 2【答案】A【解析】【分析】由题意结合三点共线的充分必要条件讨论的最大值即可.【详解】由题意可知，O为△ABC外接圆的圆心，如图所示，在圆中，所对的圆心角为，，点A,B为定点，点为优弧上的动点，则点满足题中的已知条件，延长交于点，设，由题意可知：，由于三点共线，据此可得：，则，则的最大值即的最大值，由于为定值，故最小时，取得最大值，由几何关系易知当是，取得最小值，此时.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查数形结合解题，三点共线的充分必要条件，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则双曲线的离心率为A. 3B. 2C.D.【答案】B【解析】【分析】利用三角形的面积求出P的纵坐标，通过直线的斜率，求出P的横坐标，然后求解a，c，然后求解双曲线的离心率即可．【详解】P是双曲线1（a＞0，b＞0）上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|＝12，c＝6，△PF1F2的面积为24，可得P的纵坐标y为：，y＝4．直线PF2的斜率为﹣4，所以P的横坐标x满足：，解得x＝5，则P（5，4），|PF1|13，|PF2|7，所以2a＝13﹣7，a＝3，所以双曲线的离心率为：e2．故选：B．【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或不等式)求解．12.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力．当构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，a有最小值，易得a的取值范围，由此能求出此三棱锥体积的取值范围．【详解】构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，AD=BC=a,此时0＜a＜2．取BC中点为E,连接AE,DE,易得：BC⊥平面ADE,∴，当且仅当4即时，等号成立，∴此三棱锥体积的取值范围是故选：【点睛】本题考查的知识点是空间想像能力，我们要结合数形结合思想，极限思想，求出a的最大值和最小值，进而得到形成的三棱锥体积最大值．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的展开式中，的系数等于__________．【答案】-120【解析】【分析】利用通项公式即可得出．【详解】（1﹣x）10的展开式中，T r+1（﹣x）r，令r＝3，则T4x3，则x3的系数120．故答案为：﹣120．【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.14.已知向量，，且在方向上的投影为-3，则向量与的夹角为__________．【答案】【解析】，，解得，，，所以与的夹角为 .15.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽炫图”（以弦为边长得到的正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是__________．【答案】【解析】【分析】根据几何概型的概率公式，设DF＝2AF＝2a，求出△DEF和△ABC的面积，计算所求的概率值．【详解】由题意，设DF＝2AF＝2a，且a＞0，由∠DFE，∴∠AFC＝π；∴△DEF的面积为S△DEF•2a•2a•sin a2，△AFC的面积为S△AFC•a•3a•sin a2，∴在大等边三角形中随机取一点，此点取自小等边三角形的概率是P．故答案为：．【点睛】题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.16.已知数列的前项和为，数列的前项和为，满足，，，且.若存在，使得成立，则实数的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】先根据数列的递推公式可求出，再利用累乘法求出通项公式，再构造数列B n＝T2n﹣T n，判断数列的单调性，即可求出【详解】∵3S n＝（n+m）a n，∴3S1＝3a1＝（1+m）a1，解得m＝2，∴3S n＝（n+2）a n，①，当n≥2时，3S n﹣1＝（n+1）a n﹣1，②，由①﹣②可得3a n＝（n+2）a n﹣（n+1）a n﹣1，即（n﹣1）a n＝（n+1）a n﹣1，∴，∴，，，…，，，累乘可得a n＝n（n+1），经检验a1＝2符合题意，∴a n＝n（n+1），n∈N*，∵a n b n＝n，∴b n，令B n＝T2n﹣T n，则B n+1﹣B n0，∴数列{B n}为递增数列，∴B n≥B1，∵存在n∈N*，使得λ+T n≥T2n成立，∴λ≥B1，故实数λ的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和，以及数列的函数特征，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，综合性强，难度大.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，内角，，所对的边分别为，，，且.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求面积的最大值.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)【解析】【分析】（Ⅰ）利用正弦定理和三角形内角和定理与三角恒等变换求得A的值；（Ⅱ）的面积，由余弦定理及均值不等式即可得到bc的最值.【详解】（Ⅰ）由已知及正弦定理得：，∵，∴，∵∴，∵∴.（Ⅱ）的面积，由及余弦定理得，又，故，当且仅当时，等号成立.∴面积的最大值为.【点睛】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.如图所示，是边长为2的正方形，平面，且.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）线段上是否存在一点，使二面角所成角的余弦值为？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ) F为AD中点.【解析】【分析】（Ⅰ）先证BC⊥平面ABE，进而得面面垂直；（Ⅱ）建立空间坐标系，设点F的位置，利用向量列方程求解．【详解】（Ⅰ）∵平面，平面，平面，∴，，又∵，∴，∴平面，又平面，∴平面平面.（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系，∵，，，∴.假设线段上存在一点满足题意，，，，，易知：平面的一个法向量为，∵，，∴设平面的一个法向量为，由，得，取，得，，∴.点为线段的中点时，二面角所成角的余弦值为.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的动弦过点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点.（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）求的最小值.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)2【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆求得右焦点，根据抛物线的焦点求出p的值，再写出抛物线C的标准方程；（Ⅱ）①当动弦AB所在的直线斜率不存在时，求得2；②当动弦AB所在的直线斜率存在时，写出AB所在直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|AB|；写出FM所在的直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|MF|，再求的最小值，从而得出结论．【详解】（Ⅰ）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为∴抛物线的焦点为，∴，抛物线的标准方程为.（Ⅱ）①当动弦所在直线的斜率不存在时，易得：，，.②当动弦所在的直线斜率存在时，易知，的斜率不为0.设所在直线方程为，且，.联立方程组：，得；，，，所在的直线方程为，联立方程组：，得点，∴∴，综上所述：的最小值为2.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．20.大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：（Ⅰ）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？（Ⅱ）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.（ⅰ）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（ⅱ）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为，求的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数.参考数据：参考公式：，其中【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论；（Ⅱ）（ⅰ）分成四类情况，利用互斥概率加法公式计算即可；（ⅱ）设获得高校自主招生通过的人数为，则，从而得到的分布列及今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数.【详解】（Ⅰ）列联表如下：由列联表可得，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.（Ⅱ）（ⅰ）由题意得所求概率为.（ⅱ）设获得高校自主招生通过的人数为，则，，，∴的分布列为估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为.【点睛】独立性检验的一般步骤：（I）根据样本数据制成列联表；（II）根据公式计算的值；（III）查表比较与临界值的大小关系，作统计判断．（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误．）21.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）若，且方程在区间内有解，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ) 极小值为，极大值为. (Ⅱ)【解析】【分析】（Ⅰ）将a＝b＝1代入函数f（x）的解析式，求函数f（x）的导数f′（x），求出极值点，并分析函数f（x）的单调性，即可确定函数的极大值和极小值；（Ⅱ）由f（1）＝1，得b＝e﹣1﹣a，再由f（x）＝1，得e x＝ax2+bx+1，构造函数g（x）＝e x﹣ax2﹣bx﹣1，分析函数g（x）在区间（0，1）上的单调性，结合函数g（x）的极值正负确定方程f （x）＝1在区间（0，1）内有解的等价条件，从而构造不等式求出实数a的取值范围．【详解】（Ⅰ），当时，，，得，∴在上单调递增；，得或，∴在和上单调递减.∴的极小值为，极大值为.（Ⅱ）由得，由得，设，则在内有零点，设为在内的一个零点，由知在和不单调.设，则在和上均存在零点，即在上至少有两个零点.，，当时，，在上递增，不可能有两个及以上零点，当时，，在上递减，不可能有两个及以上零点，当时，令得，∴在上递减，在上递增，在上存在最小值，若有两个零点，则有，，，，，设，，则，令，得，当时，，递增；当时，，递减.∴，∴恒成立.由，，得.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值、最值，考查了分类讨论的思想，属于难题. 求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），曲线的参数方程是（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求直线和曲线的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线（其中）与曲线交于，两点，射线与直线交于点，若的面积为1，求的值和弦长.【答案】(Ⅰ)，(Ⅱ)，.【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用三角函数关系式的恒等变变换和三角形的面积公式的应用求出结果．【详解】（Ⅰ）直线的普通方程为，极坐标方程为，曲线的普通方程为，极坐标方程为.（Ⅱ）依题意，∵，∴，，，∴，，∴，.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．选修4-5：不等式选讲23.已知函数，.（Ⅰ）若的最小值为1，求实数的值；（Ⅱ）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围.【答案】(1) 或4.(2) .【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用绝对值不等式求函数的最小值从而得到a的值. (2)第（2）问，先求出不等式的解集，再比较它们的关系得到实数a的取值范围.试题解析：（1）当时，，因为的最小值为3，所以，解得或4.（2）当时，即，当时，，即，因为不等式的解集包含，所以且，即，故实数的取值范围是.。
2019届河南省开封市高三上学期第一次模拟考试数学(理)试卷及解析
2019届开封市高三上学期第一次模拟考试数学（理）试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合A，B，利用交并补运算得到结果.【详解】由题意易得：，∴,∴,故选：C2.已知复数满足，则复平面内与复数对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【详解】由得，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，），在第四象限．故选：D．3.已知函数，则下列说法正确的是A. 的最小正周期为B. 的最大值为2C. 的图像关于轴对称D. 在区间上单调递减【答案】C【解析】【分析】利用余弦型函数的图像与性质逐一判断即可.【详解】∵f（x）＝sin4x﹣cos4x＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，∴函数的最小正周期T＝π，∵f（﹣x）＝﹣cos（﹣2x）＝﹣cos2x＝f（x），∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，∵f（x）＝cos2x在[，]上单调递减，故f（x）＝﹣cos2x在[，]上单调递增．故选：C．4.已知等比数列中，有，数列是等差数列，其前项和为，且，则A. 26B. 52C. 78D. 104【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为q，利用等比性质可得，即，再结合，即可得到结果.【详解】设等比数列的公比为q，∵，∴≠0，解得＝4，数列是等差数列，且．∴故选：B．5.已知直线，和平面，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】。
河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题+Word版+详解
开封市2019届高三第一次模拟考试数学（理科）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【分析】化简集合A，B，利用交并补运算得到结果.【详解】由题意易得：，∴,∴,故选：C【点睛】本题考查集合的交、并、补的基本运算，指数函数与对数函数的性质，考查计算能力．2.已知复数满足，则复平面内与复数对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【详解】由得，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，），在第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.已知函数，则下列说法正确的是A. 的最小正周期为B. 的最大值为2C. 的图像关于轴对称D. 在区间上单调递减【答案】C【分析】利用余弦型函数的图像与性质逐一判断即可.【详解】∵f（x）＝sin4x﹣cos4x＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，∴函数的最小正周期T＝π，∵f（﹣x）＝﹣cos（﹣2x）＝﹣cos2x＝f（x），∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，∵f（x）＝cos2x在[，]上单调递减，故f（x）＝﹣cos2x在[，]上单调递增．故选：C．【点睛】本题考查余弦函数的单调性、对称性以及最值，三角函数的周期公式，以及平方关系、二倍角的余弦公式的应用，熟练掌握函数的性质与公式是解题的关键．4.已知等比数列中，有，数列是等差数列，其前项和为，且，则A. 26B. 52C. 78D. 104【答案】B【分析】设等比数列的公比为q，利用等比性质可得，即，再结合，即可得到结果.【详解】设等比数列的公比为q，∵，∴≠0，解得＝4，数列是等差数列，且．∴故选：B．【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.已知直线，和平面，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D 试题分析：直线，平面，且，若，当时，，当时不能得出结论，故充分性不成立；若，过作一个平面，若时，则有，否则不成立，故必要性也不成立．由上证知“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D ．考点：1、线面平行；2、命题的充分必要条件．6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】B 【分析】首先确定空间几何体的结构特征，然后利用体积公式确定其体积即可.【详解】由题意可知，题中的结合体是一个正方体去掉四分之一圆柱所得的组合体， 其中正方体的棱长为4，圆柱的底面半径为2，高为4， 则组合体的体积：.本题选择B 选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 7.已知函数若，则的取值范围是A.B.C.D.【答案】B 【分析】 依题意，对a 分a与a讨论，再解相应的不等式即可．【详解】∵，∴或即或即∴的取值范围是故选：B【点睛】本题考查分段函数的图象与性质的应用，突出考查分类讨论思想与方程思想的综合应用，属于中档题．8.若，满足约束条件则的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【分析】问题转化为在约束条件下目标函数的取值范围，作出可行域由斜率公式数形结合可得．【详解】作出x，y满足约束条件的可行域如图：△ABC，表示区域内的点与点（﹣2，0）连线的斜率，联方程组可解得B（2，﹣2），同理可得A（2，4），当直线经过点B时，M取最小值：，当直线经过点A时，M取最大值1．则的取值范围：[，1]．故选：A．【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.9.已知数列中，，，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是A. B. C. D.【答案】C【分析】本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，模拟程序的运行过程知，该程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A＝2时求出满足题意的选项即可．【详解】通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，循环前，A，n＝1；第1次循环，A＝1﹣2＝﹣1，n＝1+1＝2；第2次循环，A＝1+1＝2，n＝2+1＝3；第3次循环，A＝1，n＝3+1＝4；…所以，程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A＝2时，n能被3整除，此时不满足循环条件．分析选项中的条件，满足题意的C．故选：C．【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10.已知的内角，，，为所在平面上一点，且满足，设，则的值为A. B. 1 C. D. 2【答案】A【分析】由题意结合三点共线的充分必要条件讨论的最大值即可.【详解】由题意可知，O为△ABC外接圆的圆心，如图所示，在圆中，所对的圆心角为，，点A,B为定点，点为优弧上的动点，则点满足题中的已知条件，延长交于点，设，由题意可知：，由于三点共线，据此可得：，则，则的最大值即的最大值，由于为定值，故最小时，取得最大值，由几何关系易知当是，取得最小值，此时.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查数形结合解题，三点共线的充分必要条件，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则双曲线的离心率为A. 3B. 2C.D.【答案】B【分析】利用三角形的面积求出P的纵坐标，通过直线的斜率，求出P的横坐标，然后求解a，c，然后求解双曲线的离心率即可．【详解】P是双曲线1（a＞0，b＞0）上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|＝12，c＝6，△PF1F2的面积为24，可得P的纵坐标y为：，y＝4．直线PF2的斜率为﹣4，所以P的横坐标x满足：，解得x＝5，则P（5，4），|PF1|13，|PF2|7，所以2a＝13﹣7，a＝3，所以双曲线的离心率为：e2．故选：B．【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或不等式)求解．12.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力．当构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，a有最小值，易得a的取值范围，由此能求出此三棱锥体积的取值范围．【详解】构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，AD=BC=a,此时0＜a ＜2．取BC中点为E,连接AE,DE,易得：BC⊥平面ADE,∴，当且仅当4即时，等号成立，∴此三棱锥体积的取值范围是故选：【点睛】本题考查的知识点是空间想像能力，我们要结合数形结合思想，极限思想，求出a的最大值和最小值，进而得到形成的三棱锥体积最大值．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的展开式中，的系数等于__________．【答案】-120【分析】利用通项公式即可得出．【详解】（1﹣x）10的展开式中，T r+1（﹣x）r，令r＝3，则T4x3，则x3的系数120．故答案为：﹣120．【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.14.已知向量，，且在方向上的投影为-3，则向量与的夹角为__________．【答案】，，解得，，，所以与的夹角为.15.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽炫图”（以弦为边长得到的正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是__________．【答案】【分析】根据几何概型的概率公式，设DF＝2AF＝2a，求出△DEF和△ABC的面积，计算所求的概率值．【详解】由题意，设DF＝2AF＝2a，且a＞0，由∠DFE，∴∠AFC＝π；∴△DEF的面积为S△DEF•2a•2a•sin a2，△AFC的面积为S△AFC•a•3a•sin a2，∴在大等边三角形中随机取一点，此点取自小等边三角形的概率是P．故答案为：．【点睛】题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.16.已知数列的前项和为，数列的前项和为，满足，，，且.若存在，使得成立，则实数的最小值为__________．【答案】【分析】先根据数列的递推公式可求出，再利用累乘法求出通项公式，再构造数列B n＝T2n ﹣T n，判断数列的单调性，即可求出【详解】∵3S n＝（n+m）a n，∴3S1＝3a1＝（1+m）a1，解得m＝2，∴3S n＝（n+2）a n，①，当n≥2时，3S n﹣1＝（n+1）a n﹣1，②，由①﹣②可得3a n＝（n+2）a n﹣（n+1）a n﹣1，即（n﹣1）a n＝（n+1）a n﹣1，∴，∴，，，…，，，累乘可得a n＝n（n+1），经检验a1＝2符合题意，∴a n＝n（n+1），n∈N*，∵a n b n＝n，∴b n，令B n＝T2n﹣T n，则B n+1﹣B n0，∴数列{B n}为递增数列，∴B n≥B1，∵存在n∈N*，使得λ+T n≥T2n成立，∴λ≥B1，故实数λ的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和，以及数列的函数特征，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，综合性强，难度大.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，内角，，所对的边分别为，，，且.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求面积的最大值.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)【分析】（Ⅰ）利用正弦定理和三角形内角和定理与三角恒等变换求得A的值；（Ⅱ）的面积，由余弦定理及均值不等式即可得到bc的最值.【详解】（Ⅰ）由已知及正弦定理得：，∵，∴，∵∴，∵∴.（Ⅱ）的面积，由及余弦定理得，又，故，当且仅当时，等号成立.∴面积的最大值为.【点睛】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.如图所示，是边长为2的正方形，平面，且.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）线段上是否存在一点，使二面角所成角的余弦值为？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ) F为AD中点.【分析】（Ⅰ）先证BC⊥平面ABE，进而得面面垂直；（Ⅱ）建立空间坐标系，设点F的位置，利用向量列方程求解．【详解】（Ⅰ）∵平面，平面，平面，∴，，又∵，∴，∴平面，又平面，∴平面平面.（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系，∵，，，∴.假设线段上存在一点满足题意，，，，，易知：平面的一个法向量为，∵，，∴设平面的一个法向量为，由，得，取，得，，∴.点为线段的中点时，二面角所成角的余弦值为.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的动弦过点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点.（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）求的最小值.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)2【分析】（Ⅰ）由椭圆求得右焦点，根据抛物线的焦点求出p的值，再写出抛物线C的标准方程；（Ⅱ）①当动弦AB所在的直线斜率不存在时，求得2；②当动弦AB所在的直线斜率存在时，写出AB所在直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|AB|；写出FM所在的直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|MF|，再求的最小值，从而得出结论．【详解】（Ⅰ）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为∴抛物线的焦点为，∴，抛物线的标准方程为.（Ⅱ）①当动弦所在直线的斜率不存在时，易得：，，.②当动弦所在的直线斜率存在时，易知，的斜率不为0.设所在直线方程为，且，.联立方程组：，得；，，，所在的直线方程为，联立方程组：，得点，∴∴，综上所述：的最小值为2.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．20.大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：（Ⅰ）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？（Ⅱ）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率. （ⅰ）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（ⅱ）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为，求的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数.参考数据：参考公式：，其中【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.【分析】（Ⅰ）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论；（Ⅱ）（ⅰ）分成四类情况，利用互斥概率加法公式计算即可；（ⅱ）设获得高校自主招生通过的人数为，则，从而得到的分布列及今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数.【详解】（Ⅰ）列联表如下：由列联表可得，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.（Ⅱ）（ⅰ）由题意得所求概率为.（ⅱ）设获得高校自主招生通过的人数为，则，，，∴的分布列为估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为.【点睛】独立性检验的一般步骤：（I）根据样本数据制成列联表；（II）根据公式计算的值；（III）查表比较与临界值的大小关系，作统计判断．（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误．）21.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）若，且方程在区间内有解，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ) 极小值为，极大值为. (Ⅱ)【分析】（Ⅰ）将a＝b＝1代入函数f（x）的解析式，求函数f（x）的导数f′（x），求出极值点，并分析函数f（x）的单调性，即可确定函数的极大值和极小值；（Ⅱ）由f（1）＝1，得b＝e﹣1﹣a，再由f（x）＝1，得e x＝ax2+bx+1，构造函数g（x）＝e x﹣ax2﹣bx﹣1，分析函数g（x）在区间（0，1）上的单调性，结合函数g（x）的极值正负确定方程f（x）＝1在区间（0，1）内有解的等价条件，从而构造不等式求出实数a的取值范围．【详解】（Ⅰ），当时，，，得，∴在上单调递增；，得或，∴在和上单调递减.∴的极小值为，极大值为.（Ⅱ）由得，由得，设，则在内有零点，设为在内的一个零点，由知在和不单调.设，则在和上均存在零点，即在上至少有两个零点.，，当时，，在上递增，不可能有两个及以上零点，当时，，在上递减，不可能有两个及以上零点，当时，令得，∴在上递减，在上递增，在上存在最小值，若有两个零点，则有，，，，，设，，则，令，得，当时，，递增；当时，，递减.∴，∴恒成立.由，，得.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值、最值，考查了分类讨论的思想，属于难题. 求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），曲线的参数方程是（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求直线和曲线的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线（其中）与曲线交于，两点，射线与直线交于点，若的面积为1，求的值和弦长.【答案】(Ⅰ)，(Ⅱ)，.【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用三角函数关系式的恒等变变换和三角形的面积公式的应用求出结果．【详解】（Ⅰ）直线的普通方程为，极坐标方程为，曲线的普通方程为，极坐标方程为.（Ⅱ）依题意，∵，∴，，，∴，，∴，.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．选修4-5：不等式选讲23.已知函数，.（Ⅰ）若的最小值为1，求实数的值；（Ⅱ）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围.【答案】(1) 或4.(2) .试题分析：（1）第（1）问，直接利用绝对值不等式求函数的最小值从而得到a的值. (2)第（2）问，先求出不等式的解集，再比较它们的关系得到实数a的取值范围.试题解析：（1）当时，，因为的最小值为3，所以，解得或4.（2）当时，即，当时，，即，因为不等式的解集包含，所以且，即，故实数的取值范围是.第- 21 - 页共21 页。
河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试(理数)
河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|2,0}xA y y x ==>，2{|log (2)}B x y x ==-，则()R A B =ðA ．[0,1)B ．(1,2)C ．(1,2]D ．[2,)+∞ 2.已知复数z满足(1)1z i +=+，则复平面内与复数z 对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.已知函数44()sin cos f x x x =-，则下列说法正确的是A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的最大值为2C ．()f x 的图像关于y 轴对称D ．()f x 在区间[,]42ππ上单调递减 4.已知等比数列{}n a 中，有31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，其前n 项和为n S ，且77b a =，则13S =A ．26B ．52 C.78 D ．1045.已知直线m ，n 和平面α，n α⊂，则“m n ∥”是“m α∥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A ．16π- B ．164π- C.322π- D ．644π-7.已知函数123,2,()log (1),2,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩若()1f a ≥，则a 的取值范围是 A ．[1,2) B ．[1,)+∞ C.[2,)+∞ D ．(,2][1,)-∞-+∞8.若x ，y 满足约束条件22,2,20,x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2y x +的取值范围为A ．1[,1]2-B ．1(,][1,)2-∞-+∞ C. [0,1] D ．1[,1]29.已知数列{}n a 中，112a =，111n n a a +=-，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是A ．2012n ≤B ．2015n ≤ C.2017n ≤ D ．2018n ≤ 10.已知ABC ∆的内角3A π=，6AB =，4AC =，O 为ABC ∆所在平面上一点，且满足OA OB OC ==，设AO mAB nAC =+，则m n +的值为A ．1118 B ．1 C.718D ．2 11.已知P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点，且在x 轴上方，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，12||12F F =，直线2PF的斜率为-12PF F ∆的面积为曲线的离心率为A ．3B ．2D12.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是 A． B．C. D． 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.10(1)x -的展开式中，3x 的系数等于 ．14.已知向量(1,3)a =，(3,)b m =，且b 在a 方向上的投影为-3，则向量a 与b 的夹角为 ．15.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽炫图”（以弦为边长得到的正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2DF AF =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是 ．16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足12a =，3()n n S n m a =+，()m R ∈，且n n a b n =.若存在*n N ∈，使得2n n T T λ+≥成立，则实数λ的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=. （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若2a =，求ABC ∆面积的最大值.18. 如图所示，ABCD 是边长为2的正方形，AE ⊥平面BCE ，且1AE =.（Ⅰ）求证：平面ABCD ⊥平面ABE ；（Ⅱ）线段AD 上是否存在一点F ，使二面角A BF E --请找出点F 的位置；若不存在，请说明理由.19. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 与椭圆22143x y +=的右焦点重合，抛物线C 的动弦AB 过点F ，过点F 且垂直于弦AB 的直线交抛物线的准线于点M .（Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）求||||AB MF 的最小值.20. 大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参（Ⅰ）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？（Ⅱ）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率. （ⅰ）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率； （ⅱ）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为X ，求X 的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++21. 已知函数21()xax bx f x e++=. （Ⅰ）当1a b ==时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若(1)1f =，且方程()1f x =在区间(0,1)内有解，求实数a 的取值范围.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是,1,x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程是22cos ,2sin ,x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求直线l 和曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）已知射线1:OP θα=（其中02πα<<）与曲线C 交于O ，P 两点，射线2:2OQ πθα=+与直线l 交于Q 点，若OPQ ∆的面积为1，求α的值和弦长||OP .23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-.（Ⅰ）若()2()f x g x +的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()1f x g x +<的解集包含1[,1]2，求实数a 的取值范围.数学（理科）参考答案一、选择题1-5:CDCBD 6-10: ABACA 11、12：BB二、填空题13. -120 14.120︒ 15.413 16.13三、解答题17. 解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得：sin cos sin sin sin A B B A C +=， ∵sin sin()C A B =+=sin cos cos sin A B A B +，∴sin sin cos sin B A A B =， ∵sin 0B ≠∴sin cos A A =，∵(0,)A π∈∴4A π=.（Ⅱ）ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==， 由2a =及余弦定理得2242cos 4b c bc π=+-，又222b c bc +≥，故2(2bc ≤=，当且仅当b c =时，等号成立.∴ABC ∆1.18. 解：（Ⅰ）∵AE ⊥平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，∴AE BE ⊥，AE BC ⊥，又∵BC AB ⊥，∴AE AB A =，∴BC ⊥平面ABE ， 又BC ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ABE . （Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系A xyz -，∵1AE =，2AB =，AE BE ⊥，∴BE =假设线段AD 上存在一点F 满足题意，1,0)2E ，(0,2,0)B ，(0,0,)F h ，(0)h >， 易知：平面ABF 的一个法向量为(1,0,0)m =，∵33(,0)2BE =-，(0,2,)BF h =-， ∴设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，由00n BE n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得302220x y y hz -=⎪⎨⎪-+=⎩，取1y =，得2(3,1,)n h =，6cos ,4||||m n m n m n ⋅===⋅，∴1h =.点F 为线段AD 的中点时，二面角A BF E --19. 解：（Ⅰ）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为(1,0)∴抛物线的焦点为(1,0)F ，∴2p =，抛物线的标准方程为24y x =. （Ⅱ）①当动弦AB 所在直线的斜率不存在时，易得：||24AB p ==，||2MF =，||2||AB MF =. ②当动弦AB 所在的直线斜率存在时，易知，AB 的斜率不为0. 设AB 所在直线方程为(1)y k x =-，且11(,)A x y ，22(,)B x y .联立方程组：24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得22222(2)0k x k x k -++=；21222(2)kx x k++=，121x x ⋅=，216(1)0k ∆=+>，12|||AB x x -=224(1)k k +=FM 所在的直线方程为1(1)y x k =--，联立方程组：1(1)1y x kx ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩，得点2(1,)M k -，∴||MF==∴224(1)||2||kABMF+==>，综上所述：||||ABMF的最小值为2.由列联表可得21250(50900200100)25010001501100k⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯18.939 6.635≈>，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.（Ⅱ）（ⅰ）由题意得所求概率为P=25501000.90.80.6250250250⨯+⨯+⨯502530.40.32502505+⨯+⨯=.（ⅱ）设获得高校自主招生通过的人数为X，则3(4,)5X，4432()()()55k k kP X k C-==，0,1,2,3,4k=，估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为150905⨯=.21. 解：（Ⅰ）2'(2)1()xax a b x bf xe-+-+-=，当1a b==时，2'()xx xf xe-+=，'()0f x>，得01x<<，∴()f x在(0,1)上单调递增；'()0f x<，得0x<或1x>，∴()f x在(,0)-∞和(1,)+∞上单调递减.∴()f x 的极小值为(0)1f =，极大值为3(1)f e=. （Ⅱ）由(1)1f =得1b e a =--，由()1f x =得21xe ax bx =++，设2()1xg x e ax bx =---，则()g x 在(0,1)内有零点，设0x 为()g x 在(0,1)内的一个零点， 由(0)(1)0g g ==知()g x 在0(0,)x 和0(,1)x 不单调.设'()()h x g x =，则()h x 在0(0,)x 和0(,1)x 上均存在零点，即()h x 在(0,1)上至少有两个零点.'g ()2x x e ax b =--，'()2x h x e a =-，当12a ≤时，'()0h x >，()h x 在(0,1)上递增，()h x 不可能有两个及以上零点， 当2e a ≥时，'()0h x <，()h x 在(0,1)上递减，()h x 不可能有两个及以上零点，当122e a <<时，令'()0h x =得ln(2)(0,1)x a =∈， ∴()h x 在(0,ln(2))a 上递减，在(ln(2),1)a 上递增，()h x 在(0,1)上存在最小值(ln(2))h a ， 若()h x 有两个零点，则有(ln(2))0h a <，(0)0h >，(1)0h >，(ln(2))h a =32ln(2)1a a a e -+-，1()22e a <<，设3()ln 12x x x x e ϕ=-+-，(1)x e <<，则'1()ln 2x x ϕ=-，令'()0x ϕ=，得x =当1x <<'()0x ϕ>，()x ϕx e <时，'()0x ϕ<，()x ϕ递减.∴max ()10x e ϕϕ==-<，∴(ln(2))0h a <恒成立. 由(0)120h b a e =-=-+>，(1)20h e a b =-->，得21e a -<<.22. 解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为10x y -+=，极坐标方程为cos sin 10ρθρθ-+=， 曲线C 的普通方程为22(2)4x y -+=，极坐标方程为4cos ρθ=. （Ⅱ）依题意，∵(0,)2πα∈，∴||4cos OP α=，1|||sin()cos()|22OQ ππαα=+-+1sin cos αα=+，12cos ||||12cos sin OPQ S OP OQ ααα∆===+，∴tan 1α=，(0,)2πα∈，∴4πα=，||OP =23. 解：（Ⅰ）()2()f x g x +=|2|2|1|x a x ++-|2||22|x a x =++-|2|(22)||2|1x a x a ≥+--=+=∴1a =-或-3.（Ⅱ）当1[,1]2x ∈时，|2||1|1x a x ++-<，即|2|11x a x ++-<， ∴|2|x a x +<，3ax a -<<-， ()()1f x g x +<的解集包含1[,1]2，即132a -<且1a ->，∴312a -<<-.。
2019年开封市高考数学一模试卷及答案
由 以及绝对值的定义可得 ,再结合已知得 ,根据三角函数的符号法则可得.
【详解】
由 ，可知 ，结合 ，得 ，
所以角 是第四象限角，
故选:D
【点睛】
本题考查了三角函数的符号法则,属于基础题.
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
先求并集，得到 ，再由补集的概念，即可求出结果.
【详解】
因为 ， ，所以 ，
本题主要考查利用实验数据确定拟合曲线，求解关键是观察变化规律，侧重考查数据分析的核心素养.
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案.
【详解】
∵函数 ，
∴ =2+9=11．
故选B．
【点睛】
本题考查函数值的求法，考查指对函数的运算性质，是基础题．
4．D
解析：D
【解析】
对于③， 为定值， 到 距离为定值，所以三角形 的面积是定值，又因为 点到面 距离是定值，故可得三棱锥 的体积为定值，此命题正确；
对于④，由图知，当 与 重合时，此时 与上底面中心为 重合，则两异面直线所成的角是 ，当 与 重合时，此时点 与 重合，则两异面直线所成的角是 ，此二角不相等，故异面直线 所成的角不为定值，此命题错误．
11．D
解析：D
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：A项中两直线 还可能相交或异面,错误；
B项中两直线 还可能相交或异面,错误；
C项两平面 还可能是相交平面，错误；
故选D.
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
在三角形中，利用正弦定理可得结果.
【详解】
2019年河南省开封市高三第一次模拟考试(数学理)试卷(含答案)
高考数学精品复习资料2019.5高三数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第(22)-(24)题为选考题，其他题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卷面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}{}1|lg(2),|2,x A x R y x B y R y x A -=∈=-=∈=∈，则A .R B.(][),02,-∞+∞ C.[)2,+∞ D.(],0-∞ 2．复数5(3)z i i i =-+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为A ．2- i B.2+i C.4- iD.4+i3．直线224x my m +=-与直线22mx y m +=-垂直的充要条件是A.m=2B.m=-2 C ．m=0D.m ∈R4．一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形，该几何体的四个顶点在空间直角坐 标系O-xyz 中的坐标分别是(0，0，0)，(2，0，0)，(2，2，0)，(0，2，0)则第五个顶点的坐标可能为A.(1，1，1)B.(1，1，2) C ．(1，1，3)D.(2，2，3)5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=A ．12-B ．12C ．-1D ．1 6．阅读如下程序框图，如果输出i =4，那么空白的判断框中应填人的条件是A. S<10?B. S<12?C. S<14?D. S<16?7．把长为1的铁丝截成三段，则这三段恰好能围成三角形的概率是A ．12 B.1 C ．14 D ．188．半径为4的球面上有A 、B 、C 、D 四个点，且满足0,0AB AC AC AD ⋅=⋅=,0AD AB ⋅=,则ABC ACD ADB S S S ∆∆∆++的最大值为A. 64B. 32 C ．16 D ．89．已知函数()sin 2cos cos2sin ,()f x x x x R ϕϕ=+∈，(z ∈R)其中ϕ为实数，且2()()9f x f π≤对任意实数R 恒成立，记257(),(),()366p f q f r f πππ===，则p 、q 、.r 的大小关系是A .r<p<q B. q<r<p C. p<q<r D. q<p<r10．从双曲线22221(0,0)x y a b a b+=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MO MT -与b-a 的关系为A.MO MT b a ->-B.MO MT b a -<-C ．MO MT b a -=- D.MO MT -与b-a 无关11．等比数列{}n a 中，182,4a a ==，函数128()()()()f x x x a x a x a =--⋅⋅⋅-则'(0)f =A. 122B.92 C ．82 D ．6212.已知函数()f x 定义在R 上，对任意实数x 有(4)()f x f x +=-+(1)y f x =-的图像关于直线x=1对称，(1)2f -=,则(2013)f =A. 2-+B.2+ C ．2- D ．2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答，第(22)题～第(2/1)题为选考题，考生根据要求做答。
河南省六市2019届高三第一次联考(一模)数学(理)试题Word版含答案
河南省六市2019届高三第一次联考（一模）数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}1)2lg(|{<-=x x A ，集合}032|{2<--=x x x B ，则=B A （ ） A ．)12,2( B ．)3,1(- C ．)12,1(- D ．)3,2( 2．已知i 为虚数单位，若),(11R b a bi a ii∈+=-+，则=+b a （ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．23．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为（ ） A ．101 B ．51 C ．103 D ．524．汽车以s m t v /)23(+=作变速运动时，在第1s 至2s 之间的1s 内经过的路程是（ ） A ．m 5 B ．m 211 C ．m 6 D ．m 2135．为考察B A ,两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（ ）A ．药物B 的预防效果优于药物A 的预防效果 B ．药物A 的预防效果优于药物B 的预防效果C ．药物A 、B 对该疾病均有显著的预防效果D ．药物A 、B 对该疾病均没有预防效果6．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为（ ）A ．152B ．15C ．2D ．47．已知数列}{n a 满足：2)1(11=-+++n n n a a ，则其前100项和为（ ） A ．250 B ．200 C ．150 D ．1008．已知锐角ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若)(2c a a b +=，则)sin(sin 2A B A-的取值范围是（ ） A. )22,0( B. )23,21( C. )22,21( D.)23,0( 9．设201721,,,a a a 是数列2017,,2,1 的一个排列，观察如图所示的程序框图，则输出的F 的值为（ ）A ．2015B ．2016C ．2017D ．201810．在三棱锥ABC S -中，BC SB ⊥，AC SA ⊥，BC SB =，AC SA =，SC AB 21=，且三棱锥ABC S -的体积为239，则该三棱锥的外接球半径是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与函数x y =的图象交于点P ，若函数x y =的图象在P 处的切线过椭圆的左焦点)0,1(-F ，则椭圆的离心率是（ ） A ．213- B ．215- C ．223- D ．225-12．若关于x 的方程0=+-+m e x e e x xxx 有3个不相等的实数解321,,x x x ，且3210x x x <<<，其中R m ∈，71828.2=e ，则)1)(1()1(3213221---x x x e x e x e x 的值为（ ） A ．1 B ．m -1 C ．m +1 D ．e 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知)2,3(-=a ，)2,0(=+b a ，则=||b .14．已知二项式n xx )1(2+的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是（用数字作答）.15．已知P 是双曲线C ：1222=-y x 右支上一点，直线l 是双曲线的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，1F 是双曲线的左焦点，则||||1PQ PF +的最小值是 .16．已知动点),(y x P 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-+++≥≤+1)1)(1(14222y y x x x y x ，则x y x 622-+的最小值是 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列}{n a 中，11=a ，其前n 项的和为n S ，且满足)2(1222≥-=n S S a n nn .（1）求证：数列}1{nS 是等差数列； （2）证明：当2≥n 时，2313121321<++++n S n S S S .18．我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程.某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布制作成如下图表：（1）若采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元.利用样本估计总体，试估计政府执行此计划的年度预算.（单位：亿元，结果保留两位小数）19．如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PD 平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，060=∠BAD ，O 为AC 与BD 的交点，E 为PB 上任意一点.（1）证明：平面⊥EAC 平面PBD ；（2）若//PD 平面EAC ，并且二面角C AE B --的大小为045，求AD PD :的值.20．已知抛物线C ：)0(22>=p py x 的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于点B A ,，当直线l 的倾斜角是045时，AB 的中垂线交y 轴于点)5,0(Q .（1）求p 的值；（2）以AB 为直径的圆交x 轴于点N M ,，记劣弧MN 的长度为S ，当直线l 绕F 点旋转时，求||AB S的最大值.21．已知函数)(221ln )(2R k kx x x x f ∈-+=. （1）讨论)(x f 的单调性；（2）若)(x f 有两个极值点21,x x ，且21x x <，证明：23)(2-<x f .请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=t y tx 12（t 为参数），圆C 的极坐标方程为)4sin(24πθρ+=.（1）求直线l 的普通方程与圆C 的执直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线L 交于B A ,两点，若P 点的直角坐标为)1,2(，求||||||PB PA -的值.23．选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式m x x ≤-+|12||2|有解. （1）求实数m 的取值范围；（2）已知m b a b a =+>>,0,0，证明：312222≥+++b a b b a a .河南省六市2019届高三第一次联考（一模）数学（理）试题答案一、选择题1-5：CBCDB 6-10：BDCDC 11-12：BA 二、填空题13．5 14．10 15．221+ 16．940- 三、解答题17．解：（1）当2≥n 时，12221-=--n nn n S S S S ，112--=-n n n n S S S S2111=--n n S S ，从而}1{nS 构成以1为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）可知，122)1(111-=⨯-+=n n S S n ，∴121-=n S n ∴当2≥n 时，)111(21)22(1)12(11nn n n n n S n n --=-<-=从而232123)1113121211(21113121321<-<--++-+-+<++++n n n S n S S S n . 18．解：（1）数据整理如下表：从图表中知采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，80岁及以上应抽取：32515158=+⨯人，80岁以下应抽取：52515258=+⨯人（2）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：6160020452015=+++ 用样本估计总体，80岁及以上长者为：116166=⨯万，80岁及以上长者占户籍人口的百分比为%75.2%10040011=⨯. （3）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X 元，54)0(==X P ，6009560047551)120(=⨯==X P ，600176008551)200(=⨯==X P ，60056002551)220(=⨯==X P ，60036001551)300(=⨯==X P ，则随机变量X 的分布列为：286003300522017200951200=⨯+⨯+⨯+⨯+=EX全市老人的总预算为84102176.210661228⨯=⨯⨯⨯元政府执行此计划的年度预算约为2.22亿元.19.解：（1）因为⊥PD 平面ABCD ，∴AC PD ⊥， 又ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，故⊥AC 平面PBD ∴平面⊥EAC 平面PBD .（2）解：连结OE ，因为//PD 平面EAC ， 所以OE PD //，所以⊥OE 平面ABCD ， 又O 是BD 的中点，故此时E 为PB 的中点，以O 为坐标原点，射线OE OB OA ,,分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系设h OE m OB ==,，则m OA 3=，),0,0(),0,,0(),0,0,3(h E m B m A向量)0,1,0(1=n 为平面AEC 的一个法向量 设平面ABE 的一个法向量为),,(2z y x n =， 则02=⋅AB n 且02=⋅BE n 即03=+-my mx 且0=-hz my ， 取1=x ，则3=y ，h mz 3=，则)3,3,1(2hm n = ∴2221212103313|,cos |45cos hm n n ⋅++==><=，解得26=m h故2:6:2:2:===m h m h AD PD .20.（1）)2,0(pF ，当l 的倾斜角为045时，l 的方程为2p x y +=，设),(),,(2211y x B y x A ，⎪⎩⎪⎨⎧=+=py x p x y 222得0222=--p px x p p x x y y p x x 3,2212121=++=+=+，得AB 的中点为)23,(p p D AB 中垂线为)(23p x p y --=-0=x 代入得525==p y∴2=p（2）设l 的方程为1+=kx y ，代入y x 42=得0442=--kx x444)(2||22121+=++=++=k x x k y y ABAB 中点为)12,2(2+k k D令α2=∠MDN （弧度），||||212AB AB S ⋅=⋅=αα∴α=||AB S∴D 到x 轴的距离12||2+=k DE∴22112212||21||cos 222+-=++==k k k AB DE α当02=k 时，αcos 取最小值21，α的最大值为3π 故||AB S的最大值为3π.21．（1）kx x x x f 221ln )(2-+=，),0(+∞∈x 所以xkx x k x x x f 1221)('2+-=-+=（1）当0≤k 时，0)('>x f ，所以)(x f 在),0(+∞上单调递增（2）当0>k 时，令12)(2+-=kx x x t ， 当0442≤-=∆k 即10≤<k 时，0)(≥x t 恒成立，即0)('≥x f 恒成立 所以)(x f 在),0(+∞上单调递增 当0442>-=∆k ，即1>k 时， 0122=+-kx x ，两根122,1-±=k k x 所以)1,0(2--∈k k x ，0)('>x f )1,1(22-+--∈k k k k x ，0)('<x f ),1(2+∞-+∈k k x ,0)('>x f 故当)1,(-∞∈k 时，)(x f 在),0(+∞上单调递增 当),1(+∞∈k 时，)(x f 在)1,0(2--k k 和),1(2+∞-+k k 上单调递增 )(x f 在)1,1(22-+--k k k k 上单调递减.（2）)0(221ln )(2>-+=x kx x x x f k x xx f 21)('-+= 由（1）知1≤k 时，)(x f ),0(+∞上单调递增，此时)(x f 无极值当1>k 时，xkx x k x x x f 1221)('2+-=-+= 由0)('=x f 得0122=+-kx x 0442>-=∆k ，设两根21,x x ，则k x x 221=+，121=⋅x x 其中11102221-+=<<--=<k k x k k x )(x f 在),0(1x 上递增，在),(21x x 上递减，在),(2+∞x 上递增121ln )1(21ln )(21ln 221ln )(22222222222122222222--=+-+=+-+=-+=x x x x x x x x x x x x kx x x x f 令)1(121ln )(2>--=x x x x t 01)('<-=x x x t ，所以)(x t 在),1(+∞上单调递减，且23)1(-=t 故23)(2-<x f . 22. 解：（1）直线l 的普通方程为1-=x y ，θθπθρcos 4sin 4)4sin(24+=+=， 所以θρθρρcos 4sin 42+=所以曲线C 的直角坐标方程为04422=--+y x y x .（2）点)1,2(P 在直线l 上，且在圆C 内，由已知直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 221222（t 为参数） 代入04422=--+y x y x ， 得0722=--t t ，设两个实根为21,t t ，则07,22121<-==+t t t t ，即21,t t 异号 所以2||||||||||||||2121=+=-=-t t t t PB PA .23.解：（1）1|)12(2||12||2|=--≥-+x x x x ，故1≥m（2）由题知1≥+b a ，故222)()22)(22(b a b a b a ba b b a a +≥++++++， ∴31)(312222≥+≥+++b a b a b b a a .。
河南省开封市2019届高三第一次模拟考试数学(理)试题
河南省开封市2019届高三第一次模拟考试数学（理科）试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合A，B，利用交并补运算得到结果.【详解】由题意易得：，∴,∴,故选：C【点睛】本题考查集合的交、并、补的基本运算，指数函数与对数函数的性质，考查计算能力．2.已知复数满足，则复平面内与复数对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【详解】由得，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，），在第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.已知函数，则下列说法正确的是A. 的最小正周期为B. 的最大值为2C. 的图像关于轴对称D. 在区间上单调递减【答案】C【解析】【分析】利用余弦型函数的图像与性质逐一判断即可.【详解】∵f（x）＝sin4x﹣cos4x＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，∴函数的最小正周期T＝π，∵f（﹣x）＝﹣cos（﹣2x）＝﹣cos2x＝f（x），∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，∵f（x）＝cos2x在[，]上单调递减，故f（x）＝﹣cos2x在[，]上单调递增．故选：C．【点睛】本题考查余弦函数的单调性、对称性以及最值，三角函数的周期公式，以及平方关系、二倍角的余弦公式的应用，熟练掌握函数的性质与公式是解题的关键．4.已知等比数列中，有，数列是等差数列，其前项和为，且，则A. 26B. 52C. 78D. 104【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为q，利用等比性质可得，即，再结合，即可得到结果.【详解】设等比数列的公比为q，∵，∴≠0，解得＝4，数列是等差数列，且．∴故选：B．【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.已知直线，和平面，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】试题分析：直线，平面，且，若，当时，，当时不能得出结论，故充分性不成立；若，过作一个平面，若时，则有，否则不成立，故必要性也不成立．由上证知“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D．考点：1、线面平行；2、命题的充分必要条件．6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先确定空间几何体的结构特征，然后利用体积公式确定其体积即可.【详解】由题意可知，题中的结合体是一个正方体去掉四分之一圆柱所得的组合体，其中正方体的棱长为4，圆柱的底面半径为2，高为4，则组合体的体积：.本题选择B选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．7.已知函数若，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依题意，对a分a与a讨论，再解相应的不等式即可．【详解】∵，∴或即或即∴的取值范围是故选：B【点睛】本题考查分段函数的图象与性质的应用，突出考查分类讨论思想与方程思想的综合应用，属于中档题．8.若，满足约束条件则的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】问题转化为在约束条件下目标函数的取值范围，作出可行域由斜率公式数形结合可得．【详解】作出x，y满足约束条件的可行域如图：△ABC，表示区域内的点与点（﹣2，0）连线的斜率，联方程组可解得B（2，﹣2），同理可得A（2，4），当直线经过点B时，M取最小值：，当直线经过点A时，M取最大值1．则的取值范围：[，1]．故选：A．【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.9.已知数列中，，，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，模拟程序的运行过程知，该程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A＝2时求出满足题意的选项即可．【详解】通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，循环前，A，n＝1；第1次循环，A＝1﹣2＝﹣1，n＝1+1＝2；第2次循环，A＝1+1＝2，n＝2+1＝3；第3次循环，A＝1，n＝3+1＝4；…所以，程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A＝2时，n能被3整除，此时不满足循环条件．分析选项中的条件，满足题意的C．故选：C．【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10.已知的内角，，，为所在平面上一点，且满足，设，则的值为A. B. 1 C. D. 2【答案】A【解析】【分析】由题意结合三点共线的充分必要条件讨论的最大值即可.【详解】由题意可知，O为△ABC外接圆的圆心，如图所示，在圆中，所对的圆心角为，，点A,B为定点，点为优弧上的动点，则点满足题中的已知条件，延长交于点，设，由题意可知：，由于三点共线，据此可得：，则，则的最大值即的最大值，由于为定值，故最小时，取得最大值，由几何关系易知当是，取得最小值，此时.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查数形结合解题，三点共线的充分必要条件，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则双曲线的离心率为A. 3B. 2C.D.【答案】B【解析】【分析】利用三角形的面积求出P的纵坐标，通过直线的斜率，求出P的横坐标，然后求解a，c，然后求解双曲线的离心率即可．【详解】P是双曲线1（a＞0，b＞0）上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|＝12，c＝6，△PF1F2的面积为24，可得P的纵坐标y为：，y＝4．直线PF2的斜率为﹣4，所以P的横坐标x满足：，解得x＝5，则P（5，4），|PF1|13，|PF2|7，所以2a＝13﹣7，a＝3，所以双曲线的离心率为：e2．故选：B．【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或不等式)求解．12.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力．当构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，a有最小值，易得a的取值范围，由此能求出此三棱锥体积的取值范围．【详解】构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，AD=BC=a,此时0＜a ＜2．取BC中点为E,连接AE,DE,易得：BC⊥平面ADE,∴，当且仅当4即时，等号成立，∴此三棱锥体积的取值范围是故选：【点睛】本题考查的知识点是空间想像能力，我们要结合数形结合思想，极限思想，求出a的最大值和最小值，进而得到形成的三棱锥体积最大值．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的展开式中，的系数等于__________．【答案】-120【解析】【分析】利用通项公式即可得出．【详解】（1﹣x）10的展开式中，T r+1（﹣x）r，令r＝3，则T4x3，则x3的系数120．故答案为：﹣120．【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.14.已知向量，，且在方向上的投影为-3，则向量与的夹角为__________．【答案】【解析】，，解得，，，所以与的夹角为 .15.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽炫图”（以弦为边长得到的正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是__________．【答案】【解析】【分析】根据几何概型的概率公式，设DF＝2AF＝2a，求出△DEF和△ABC的面积，计算所求的概率值．【详解】由题意，设DF＝2AF＝2a，且a＞0，由∠DFE，∴∠AFC＝π；∴△DEF的面积为S△DEF•2a•2a•sin a2，△AFC的面积为S△AFC•a•3a•sin a2，∴在大等边三角形中随机取一点，此点取自小等边三角形的概率是P．故答案为：．【点睛】题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.16.已知数列的前项和为，数列的前项和为，满足，，，且.若存在，使得成立，则实数的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】先根据数列的递推公式可求出，再利用累乘法求出通项公式，再构造数列B n＝T2n ﹣T n，判断数列的单调性，即可求出【详解】∵3S n＝（n+m）a n，∴3S1＝3a1＝（1+m）a1，解得m＝2，∴3S n＝（n+2）a n，①，当n≥2时，3S n﹣1＝（n+1）a n﹣1，②，由①﹣②可得3a n＝（n+2）a n﹣（n+1）a n﹣1，即（n﹣1）a n＝（n+1）a n﹣1，∴，∴，，，…，，，累乘可得a n＝n（n+1），经检验a1＝2符合题意，∴a n＝n（n+1），n∈N*，∵a n b n＝n，∴b n，令B n＝T2n﹣T n，则B n+1﹣B n0，∴数列{B n}为递增数列，∴B n≥B1，∵存在n∈N*，使得λ+T n≥T2n成立，∴λ≥B1，故实数λ的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和，以及数列的函数特征，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，综合性强，难度大.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，内角，，所对的边分别为，，，且.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求面积的最大值.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)【解析】【分析】（Ⅰ）利用正弦定理和三角形内角和定理与三角恒等变换求得A的值；（Ⅱ）的面积，由余弦定理及均值不等式即可得到bc的最值.【详解】（Ⅰ）由已知及正弦定理得：，∵，∴，∵∴，∵∴.（Ⅱ）的面积，由及余弦定理得，又，故，当且仅当时，等号成立.∴面积的最大值为.【点睛】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.如图所示，是边长为2的正方形，平面，且.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）线段上是否存在一点，使二面角所成角的余弦值为？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ) F为AD中点.【解析】【分析】（Ⅰ）先证BC⊥平面ABE，进而得面面垂直；（Ⅱ）建立空间坐标系，设点F的位置，利用向量列方程求解．【详解】（Ⅰ）∵平面，平面，平面，∴，，又∵，∴，∴平面，又平面，∴平面平面.（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系，∵，，，∴.假设线段上存在一点满足题意，，，，，易知：平面的一个法向量为，∵，，∴设平面的一个法向量为，由，得，取，得，，∴.点为线段的中点时，二面角所成角的余弦值为.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的动弦过点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点.（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）求的最小值.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)2【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆求得右焦点，根据抛物线的焦点求出p的值，再写出抛物线C的标准方程；（Ⅱ）①当动弦AB所在的直线斜率不存在时，求得2；②当动弦AB所在的直线斜率存在时，写出AB所在直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|AB|；写出FM所在的直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|MF|，再求的最小值，从而得出结论．【详解】（Ⅰ）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为∴抛物线的焦点为，∴，抛物线的标准方程为.（Ⅱ）①当动弦所在直线的斜率不存在时，易得：，，.②当动弦所在的直线斜率存在时，易知，的斜率不为0.设所在直线方程为，且，.联立方程组：，得；，，，所在的直线方程为，联立方程组：，得点，∴∴，综上所述：的最小值为2.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．20.大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：（Ⅰ）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？（Ⅱ）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率. （ⅰ）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（ⅱ）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为，求的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数.参考数据：参考公式：，其中【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论；（Ⅱ）（ⅰ）分成四类情况，利用互斥概率加法公式计算即可；（ⅱ）设获得高校自主招生通过的人数为，则，从而得到的分布列及今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数.【详解】（Ⅰ）列联表如下：由列联表可得，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.（Ⅱ）（ⅰ）由题意得所求概率为.（ⅱ）设获得高校自主招生通过的人数为，则，，，∴的分布列为估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为.【点睛】独立性检验的一般步骤：（I）根据样本数据制成列联表；（II）根据公式计算的值；（III）查表比较与临界值的大小关系，作统计判断．（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误．）21.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）若，且方程在区间内有解，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ) 极小值为，极大值为. (Ⅱ)【解析】【分析】（Ⅰ）将a＝b＝1代入函数f（x）的解析式，求函数f（x）的导数f′（x），求出极值点，并分析函数f（x）的单调性，即可确定函数的极大值和极小值；（Ⅱ）由f（1）＝1，得b＝e﹣1﹣a，再由f（x）＝1，得e x＝ax2+bx+1，构造函数g（x）＝e x﹣ax2﹣bx﹣1，分析函数g（x）在区间（0，1）上的单调性，结合函数g（x）的极值正负确定方程f（x）＝1在区间（0，1）内有解的等价条件，从而构造不等式求出实数a的取值范围．【详解】（Ⅰ），当时，，，得，∴在上单调递增；，得或，∴在和上单调递减.∴的极小值为，极大值为.（Ⅱ）由得，由得，设，则在内有零点，设为在内的一个零点，由知在和不单调.设，则在和上均存在零点，即在上至少有两个零点.，，当时，，在上递增，不可能有两个及以上零点，当时，，在上递减，不可能有两个及以上零点，当时，令得，∴在上递减，在上递增，在上存在最小值，若有两个零点，则有，，，，，设，，则，令，得，当时，，递增；当时，，递减.∴，∴恒成立.由，，得.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值、最值，考查了分类讨论的思想，属于难题. 求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），曲线的参数方程是（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求直线和曲线的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线（其中）与曲线交于，两点，射线与直线交于点，若的面积为1，求的值和弦长.【答案】(Ⅰ)，(Ⅱ)，.【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用三角函数关系式的恒等变变换和三角形的面积公式的应用求出结果．【详解】（Ⅰ）直线的普通方程为，极坐标方程为，曲线的普通方程为，极坐标方程为.（Ⅱ）依题意，∵，∴，，，∴，，∴，.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．选修4-5：不等式选讲23.已知函数，.（Ⅰ）若的最小值为1，求实数的值；（Ⅱ）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围.【答案】(1) 或4.(2) .【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用绝对值不等式求函数的最小值从而得到a的值. (2)第（2）问，先求出不等式的解集，再比较它们的关系得到实数a的取值范围.试题解析：（1）当时，，因为的最小值为3，所以，解得或4.（2）当时，即，当时，，即，因为不等式的解集包含，所以且，即，故实数的取值范围是.。
河南省开封市外国语中学2019年高三数学理联考试题含解析
河南省开封市外国语中学2019年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且，，则的最大值为（）A. 5 B. 4 C. 3 D. 2参考答案：C【分析】先根据已知分析出，再分析出,检验即得解.【详解】因为为的零点，所以,因为为图象的对称轴，所以（1）+（2）得，因为.(2)-(1)得,当时，如果，令，当k=2时，x=,与已知不符.如果，令，当k=1时，x=,与已知不符.如果如果，令，当k=1时，x=,与已知不符.如果，令，与已知相符.故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2. 设P(x，y)是曲线上的任意一点，，则的值(A)小于8 (B)大于8 (C)不小于8 (D)不大于8参考答案：D3. 根据下表中的数据可以得到线性回归直线方程＝0.7x+0.35，则实数m，n应满足（）A. n﹣0.7m＝1.7B. n﹣0.7m＝1.5C. n+0.7m＝1.7D. n+0.7m＝1.5参考答案：A【分析】分别求出x，y的平均数，代入回归方程，求出n﹣0.7m的值即可．【详解】解：由题意：＝（3+m+5+6）＝（14+m），＝（2.5+3+4+n）＝（9.5+n），故（9.5+n）＝0.7×（14+m）+0.35，解得：n﹣0.7m＝1.7，故选：A．【点睛】本题考查了回归方程，其中样本点的中心在直线上是解题的关键．4. 已知，，，则（）A．B．C．D ．参考答案：D,故答案为：D.5. 设f（x）=lnx，a＞b＞0，M=f（），N=f（），R=[f（a）+f（b）]，则下列关系式中正确的是( )A．N=R＜M B．N=R＞M C．M=R＜N D．M=R＞N参考答案：C【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】利用指数的运算性质、指数函数的单调性、基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵f（x）=lnx，a＞b＞0，∴M=f（）=（lna+lnb），N=f（）=ln＞=M，R=[f（a）+f（b）]===M，∴N＞M=R．故选：C．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性、运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6. 若为等差数列,是其前项和,且S15 =,则tan的值为( )A．B．C．D．参考答案：B略7. 已知奇函数与偶函数满足，且，则的值为A.B. 2C.D.参考答案：D8. 设，满足约束条件，则的取值范围为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】先根据约束条件画出可行域，设z＝x-y，再利用z的几何意义求最值，从而得到z的取值范围．【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示，当直线过点时，取得最大值3，故.故选B.【点睛】本题主要考查了线性规划问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解，属中档题．9. 是偶函数，且在上是增函数，不等式对恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：D10. 定义在R上的函数是增函数，且对任意的恒有，若实数满足不等式组，则的范围为（）A. B . C . D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在边长为1的正三角形ABC中，，，若，则λ的值为．参考答案：3【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】由确定点D是BC的中点，根据向量加法、减法、数乘运算，用、表示出和，由条件和数量积的运算化简=，即可求出λ的值．【解答】解：由题意画出图象如右图：∵，∴D为BC的中点，则=（+），∵，∴==﹣，∴=﹣=﹣﹣=（1﹣）﹣，∵=，∴（+）[（1﹣）﹣]=﹣，∴（1﹣）﹣+（1﹣）﹣=﹣，∴（﹣）﹣+（1﹣）=，∴（﹣）×1×1×﹣1+（1﹣）=，解得λ=3，故答案为：3．【点评】本题考查向量的数量积的运算，以及向量加法、减法、数乘运算及其几何意义，属于中档题．12. 当时，不等式恒成立，则实数a的最大值为________.参考答案：2【分析】根据均值不等式得到，再计算得到答案.【详解】，当且时等号成立，即时等号成立.，实数的最大值为故答案为：【点睛】本题考查了均值不等式，意在考查学生对于不等式的应用能力.13. 的展开式中，常数项是______________.参考答案：1514. 已知实数x，y满足不等式组，则z=的最大值是．参考答案：2【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图则z=的几何意义为动点P到定点Q（﹣1，﹣1）的斜率，由图象可知当P位于A（0，1）时，直线AQ的斜率最大，此时z==2，故答案为：2．15. 已知实数x，y满足，则z=x﹣2y﹣1的最大值为．参考答案：考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．解答：解：由z=x﹣2y﹣1得y=+，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=+，由图象可知当直线y=+过点A时，直线y=+的截距最小，此时z最大，由，解得，即A（1，0），代入目标函数z=x﹣2y﹣1，得z=1﹣1=0∴目标函数z=x﹣2y﹣1的最大值是0．故答案为：0点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．16. 为了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三分别有学生800名、600名、500名．若2015届高三学生共抽取25名，则2014-2015学年高一学生共抽取名．参考答案：40考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样在各部分抽取的比例相等求解．解答：解：根据分层抽样在各部分抽取的比例相等，分层抽样抽取的比例为=，∴2014-2015学年高一应抽取的学生数为800×=40．故答案为：40．点评：本题考查了分层抽样的定义，熟练掌握分层抽样的特征是关键．17. 直线与圆x2+y2﹣2x﹣2=0相切，则实数m= ．参考答案：或【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】求出圆x2+y2﹣2x﹣2=0的圆心为C（1，0）、半径r=，根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列式，解之即可得到实数m的值．【解答】解：∵将圆x2+y2﹣2x﹣2=0化成标准方程，得（x﹣1）2+y2=3，∴圆x2+y2﹣2x﹣2=0的圆心为C（1，0），半径r=．∵直线与圆x2+y2﹣2x﹣2=0相切，∴点C到直线的距离等于半径，即=，解之得m=或．故答案为：或【点评】本题给出含有参数m的直线与已知圆相切，求参数m之值．着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学(理)答案(PDF版)
， k 0， 1，， 2 3，， 4
………………10 分
估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为 150
，∴ h=1 .
………………10 分
点 F 为线段 AD 的中点时，二面角 A-BF-E 所成角的余弦值为 19.解：（Ⅰ）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为 1, 0
6 . ………………12 分 4
………………2 分
2
∴抛物线的焦点为 F 1, 0 ， p 2, 抛物线的标准方程为y 4 x . （Ⅱ）①当动弦 AB 所在直线的斜率不存在时，易得：
AE BC ，…2 分 18. 解： （Ⅰ）AE 平面BCE ， BE 平面BCE，BC 平面BCE ，AE BE，
又 BC AB ， AE AB A ， BC 平面ABE ， ………………4 分 ………………5 分
又BC 平面ABCD， 平面ABCD 平面ABE .
综上所述：
2 1, ， k
………………9 分
………………11 分
MF
的最小值为 2.
………………12 分
（理科）
·2·
20.解：（Ⅰ）列联表如下： 优等生 学习大学先修课程 50 没有学习大学先修课程 100 总计 150 由列联表可得 k
非优等生 200 900 1100
（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系 A—xyz， 假设线段 AD 上存在一点 F 满足题意，
AE 1，AB 2，AE BE， BE 3 .
………………6 分
3 1 E h 0 ， 2 , 2 ,0 , B 0,2,0 , F 0,0, h ， 易知：平面 ABF 的一个法向量为 m 1,0,0 ， ……………8 分 3 3 , ,0 , BF 0, 2, h ， BE 2 2 设平面 BEF 的一个法向量为 n x, y, z ，