广东省深圳实验,珠海一中等六校2019届高三第二次联考数学理试题(含精品解析)
设 = =λ，则 = =1﹣λ， ∴HI+IJ= ， ∴截面六边形的周长为 ；
故答案为： 【点睛】本题考查了几何体中动点问题，截面周长问题,考查了空间想象力，属于中档题.
三．解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
= ，解得 m，n 值，根据
【详解】∵2=1×2，6=2×3，30=5×6，42=6×7，
56=7×8，72=8×9，90=9×10，110=10×11，132=11×12，
∴1= + + + + + + + + + + + + =（1﹣ ）+ + +（ ﹣ ）+ ， ∴ += = ∴m=13，n=20，
关于 x 的函数 f（x），利用导
∴
=
=．
令 f（x）= ，得 f′（x）=
，
令 f′（x）=0 得 x= 或 x=﹣ （舍）．
当 0＜x＜ 时，f′（x）＜0，当 x
时，f′（x）＞0．
∴当 x= 时，f（x）取得最小值 f（ ）=
=3+2 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，函数的最值，属于中档题．
，根据正弦函数的性质可得 0≤ ≤π，进而得解．
∴[﹣ ， ]是函数的递增区间，且 [﹣ ， ]．
又∵函数在[
]上递增，
∴[﹣ ， ]⊇[
]，
∴得不等式组：﹣ ≤﹣ ， ≤ ， 又∵ω＞0，
∴0＜ω≤ ，
又在区间 上存在唯一的 使得
，
根据正弦函数的性质可知 ωx=2kπ+ ，k∈Z， 即函数在 x= + 处取得最大值，可得 0≤ ≤π， ∴ω≥ ， 综上，可得 ω∈[ ， ]． 故选：D．
由题意可知，每天走的路程里数构成以 为公比的等比数列，由 S6=378 求得首项，再由等比数列的通项公式求 得该人第五天走的路程． 【详解】记每天走的路程里数为{an}，
由题意知{an}是公比 的等比数列，
由 S6=378，得 解得：a1=192，
=378，
∴
=12（里）．
故选：D．
【点睛】等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：
C. 2 D.
【答案】A 【解析】
【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用纯虚数得到答案．
【详解】∵z1=2+ai（a∈R），z2=1﹣2i，
∴
，
由 为纯虚数，则
，解得 a=1，
故选：A．
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了纯虚数的定义，是基础题．
2.设全集
，集合
，
A.
B.
C.
14.已知向量 夹角为 ，且 【答案】 【解析】 【分析】
，则 __________
把已知式子两边平方，结合数量积的定义可得关于 的一元二次方程，解方程可得．
【详解】∵
∴
=
， =10，
代入数据可得 4×1+4×1× × + =10， 化简可得 + ﹣6=0，
解得 = ，或﹣3 （负数舍去） 故答案为： 【点睛】本题考查向量模长的求解，涉及数量积和向量的夹角，属基础题．
广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学， 惠州一中）
2019 届高三第二次联考试题 理科数学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求.
1.已知复数
R)，
（ 为虚数单位），若 为纯虚数，则 ( )
A. 1 B.
C．根据全称命题的否定是特称命题进行判断；
D．根据线面平行的判定定理及性质定理进行判断.
【详解】对于 A，若 为真命题，则 中至少有一个为真命题.正确；
对于 B，命题的逆命题是若 y=f（x）的图象不经过第四象限，则 y=f（x）是幂函数，错误比如函数 y=2x 的函数
图象不经过第四象限，满足条件，但函数 f（x）是指数函数，故命题的逆命题是假命题，则命题的否命题也是
【点睛】本题主要考查正弦函数的图象特征，判断[﹣ ， ]⊇[
]是解题的关键，属于中档题．
10.将正奇数数列
依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：
,
称 为第 1 组， 为第 2 组，
依此类推，则原数列中的 位于分组序列中( )
A. 第 组 B. 第 组 C. 第 组 D. 第 组
【答案】A
【解析】
【分析】
要条件的判断，知识点较多综合性较强，但难度不大．
6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.B. NhomakorabeaC.
D.
【答案】C
【解析】
由三视图可知，该几何体是一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥，
∴ 本题选择 C 选项.
点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观 图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用 公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
①化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素 和 ，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解． ②化基本量求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解． ③化基本量求公比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解． ④化基本量求和．直接将基本量代入前 项和公式求解或利用等比数列的性质求解．
4.函数
的单调递增区间是（ ）
11.定义：分子为 1 且分母为正整数的分数称为单位分数,我们可以把 1 分拆为若干个不同的单位分数之和。如：
,依此类推 ，其中
，且
设
则 A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】C
【解析】 【分析】
根据 1= + + + + + + + + + + + + ，结合裂项相消法，可得 + = 奇函数的定积分为零，即可得到结果.
C. [ ， ）
D. [ ， ）
化简不等式可得 mex＜ ，根据两函数的单调性得出正整数解为 1 和 2，列出不等式组解出即可．
【详解】当 x＞0 时，由 x2﹣mxex﹣mex＞0，可得 mex＜ （x＞0），
显然当 m≤0 时，不等式 mex＜ （x＞0），在（0，+∞）恒成立，不符合题意； 当 m＞0 时，令 f（x）=mex，则 f（x）在（0，+∞）上单调递增，
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用正弦函数的单调性，求出相应的区间，即可得到结论．
【详解】由
（n∈Z），可得
≤x≤
（n∈Z），
令 n=﹣k，则可得函数 y=3sin 故选：B．
的单调递增区间是
【点睛】本题考查函数的单调性，考查学生的计算能力，正确运用正弦函数的单调区间是关键．
5.下列有关命题的说法中错误的是( )
8.已知 是定义域为
的奇函数，满足
,若
，则
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得 f（0）=0，f（x）为周期为 4 的函数，分别求得一个周期内的函数值，计算可得所求和．
【详解】f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，
可得 f（﹣x）=﹣f（x），
f（1﹣x）=f（1+x）即有 f（x+2）=f（﹣x），
令 g（x）= ，则 g′（x）=
=
＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵f（0）=m＞0，g（0）=0，且 f（x）＜g（x）有两个正整数解，
则∴
，即
，解得 ≤m＜ ．
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式整数解问题，考查函数与方程思想，数形结合思想，属于中档题.
二．填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
7.如图所示，在△ABC 中，AD=DB，点 F 在线段 CD 上，设
，
,
）
，则
的最小值为（
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
用
表示 ，由 C，D，F 三点共线得出 x，y 的关系，消去 y，得到
数求出 f（x）的最小值．
【详解】
=2x y ．
∵C，F，D 三点共线，
∴2x+y=1．即 y=1﹣2x．由图可知 x＞0．
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据并集的定义求得 A∪B，再根据补集的定义即可求解．
【详解】∵集合 A={x|﹣1＜x＜5}，集合 B={x|﹣2＜x＜4}，
，则
∴A∪B={x|﹣2＜x＜5}， ={x|﹣5＜x≤2}，
故选：B． 【点睛】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题． 3.中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半， 六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走 378 里路，第一天健步走，从 第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地”，请问此人第 5 天走的路程为（ ） A. 36 里 B. 24 里 C. 18 里 D. 12 里 【答案】D 【解析】 【分析】
13.设变量 满足约束条件：
，则
的最大值是___________
【答案】
【解析】
【分析】
作出可行域，z=x2+y2 表示可行域内的点到原点距离的平方，数形结合可得．
广东省深圳实验,珠海一中等六校2019届高三第二次联考数学文试题
2019届高三第二次联考试题 文科数学广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.设集合2{log (1)0}M x x =-<，集合{2}N x x =≥-，则M N =I （ ）A.{}22x x -≤<B.{}2x x ≥-C.{}2x x <D.{}12x x << 2. 已知复数z 满足||2,2z z z =+=，（z 为z 的共轭复数）（i 为虚数单位）则z =（ ） A. 1i + B. 1i - C.1i +或1i - D.1i -+或1i -- 3.已知1sin 54πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则3cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.78-B.78C.18D.18- 4.等差数列{}n a 中22008a =，2008200416a a =-，则其前n 项和n S 取最大值时n 的值为（ ）A. 503B.504C.503或504D.5055.下列命题中，为真命题的是（ ） A ．0x R ∃∈，使得00x e≤ B ．2sin 22(π,)sin x x k k Z x+≥≠∈ C ．2,2xx R x ∀∈> D ．,a b R ∈，1,1a b >>是1ab >的充分不必要条件6.四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP 与BD 所成的角为（ ）A.6π B. 4π C. 3π D. 23π 7.已知,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-020y y x y x ，则y x z +=2的最大值为（ ）A. 4B. 3C. 2D.1 8.已知菱形ABCD 的边长为2，3B π∠=，点P 满足AP AB λ=uu u r uu u r ，R λ∈若3BD CP ⋅=-u u u r u u r，则λ=（ ） A. 12 B. 12- C. 13 D. 13-9.已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 的周期为πB. 函数()y f x π=-为偶函数C. 函数()f x 在[,]4ππ--上单调递增D. 函数()f x 的图象关于点3(,0)4π对称 10.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2，左右焦点分别为12,F F ，点A 在双曲线C上，若12AF F V 的周长为10a ，则12AF F V 的面积为（ ） A. 2215a B.215a C. 230a D. 215a11.在正方体1111ABCD A BC D -中，点P 是侧面11BCC B 内的一动点，若点P 到直线BC 与到直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A. 直线B. 圆C. 双曲线D.抛物线12.设函数()xf x x e -=-，直线y mx n =+是曲线()y f x =的切线，则m n +的最小值是（ ）A. 1e -B. 1C. 11e -D. 311e+ 二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。
2019年广东省珠海市高考数学二模试卷（理科）（有答案解析）
2019年广东省珠海市高考数学二模试卷（理科）（有答案解析）2019年广东省珠海市高考数学二模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集,,A. B. C. D.2.在复平面内,复数为虚数单位的共轭复数对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.函数的图象大致为（）A. B.C. D.4.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S25=50，则a11+a15=（）A. 4B. 8C. 16D. 25.通过抽样分析2019届高三珠海一模考试数据，我们发现全市理科数学成绩X近似服从正态分布N（85，σ2），且P（60＜X≤85）=0.3．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（）A. 40B. 60C. 80D. 1006.已知定义域为R的函数g(x)＝f(2x)+x2为奇函数，且f(2)＝3，则f(-2)＝（）A. -2B. -5C. 1D. -37.“-1≤x+y≤1且-1≤x-y≤1”是“x2+y2≤1”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图,若输入的a、b分别为176,320,则输出的a为( )A. 16B. 18C. 20D. 159.在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，=，=，若=12，则∠ADC=（）A. B. C. D.10.已知△ABC的直观图是如图所示的，其中==2，=，则△ABC绕AB所在直线旋转一周后形成的封闭几何体的表面积为（）A. B. C. D.11.已知双曲线的左,右焦点分别为,,圆与双曲线在第一象限内的交点为M,若,则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.D.12.设函数g（x）=e x+（1-）x-a（e为自然对数的底数），定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（-x）=x2，且当x≤0时，，若存在x0满足f（x0）+≥f（1-x0）+x0，且x0为函数y=g （x）-x的一个零点，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x,y均为正数,且,则的最小值为______．14.已知数列的各项均为正数,记为的前n项和，若，，则______．15.在△ABC中，若tan A+tan B+tan A tan B=1，则cos2A+cos2B的范围为______．16.已知,,圆O：,直线PM,PN分别与圆O相切,切点为M,N,若,则的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（a+2c）cos B+b cos A=0（1）求B；（2）若b=4，求△ABC的面积的最大值18.已知三棱锥P-ABC（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形ABCD为边长等于2的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P-ABC中．（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；（2）若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求直线MA与平面MBC 所成角的正弦值．19.设C：（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，点D在椭圆C上，△D1FF2的周长为2+2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过圆E：x2+y2=上任意一点P作圆E的切线l，若与椭圆C 交于A，B两点，O为坐标原点，求证：∠AOB为定值．20.某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得2011-2018年份20112012201320142015201620172018年生产台数（万台）2345671011该产品的年利润（百万元） 2.1 2.75 3.5 3.253 4.96 6.5年返修台数（台）2122286580658488部分计算结果：，，，，注：（Ⅰ）从该公司2011-2018年的相关数据中任意选取3年的数据，以X表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润y（百万元）关于年生产台数x（万台）的线性回归方程（精确到0.01）．附：线性回归方程中，，．21.已知函数,若,求的单调区间和极值；设,且有两个极值点,,若,求的最小值．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）设点M（0，3），直线与曲线C交于不同的两点A、B，求的值．23.已知函数f（x）=|x+a|+|2x-1|（a∈R）．（1）a=-1时，求不等式f（x）≥2解集；（2）若f（x）≤2x的解集是[，3]的子集，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x2-4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|y=lg（2-x）}={x|x＜2}，∴A∩B={x|1＜x＜2}．故选B．2.答案：D解析：【分析】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则化简后，求出共轭复数，即可做出判断．【解答】解：，∴其共轭复数为：1-2i，它复平面上对应的点（1，-2）位于第四象限．故选D．3.答案：A解析：【分析】本题考查了函数的图象与性质的应用，属于基础题．根据函数的单调性排除B，D，根据函数值，排除C．【解答】解：函数定义域为（-1，0）∪（0，+∞），由于，所以函数y=-ln（x+1）在（-1，0），（0，+∞）单调递减，故排除B，D，当x=1时，y=1-ln2＞0，故排除C，故选A．4.答案：A解析：【分析】本题考查等差数列的两项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．由等差数列{a n}的性质得（a1+a25）=（a11+a15）=50，由此能求出a11+a15的值．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S25=50，∴（a1+a25）=（a11+a15）=50，解得a11+a15=4．故选A．5.答案：D解析：解：∵全市理科数学成绩X近似服从正态分布N（85，σ2），且P（60＜X≤85）=0.3，∴P（X≥110）==0.2，∴理科数学成绩不低于110分的学生人数约为500×0.2=100．故选：D．由已知求得P（X≥110），乘以500得答案．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．6.答案：B解析：【分析】本题考查奇函数的定义，已知函数求值的方法，属于基础题.根据g（x）是定义在R上的奇函数即可得出g（-1）=-g（1），从而得出f（-2）+1=-[f（2）+1]，然后带入f（2）=3即可求出f（-2）．【解答】解：∵g（x）是R上的奇函数；∴g（-x）=-g（x）；∴g（-1）=-g（1）；∴f（-2）+1=-[f（2）+1]，且f（2）=3；∴f（-2）=-5．故选B．7.答案：A解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件结合平面区域的关系是解决本题的关键，属于基础题．作出不等式组对应的平面区域，利用区域关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则“-1≤x+y≤1且-1≤x-y≤1对应的区域在单位圆内，则“-1≤x+y≤1且-1≤x-y≤1”是“x2+y2≤1”的充分不必要条件，故选A．8.答案：A解析：【分析】本题考查了算法和程序框图，主要是对循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用问题，是基础题．由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=176，b=320，a≠b，且不满足a＞b，则b=320-176=144，由a＞b，则a=176-144=32，由a＜b，则b=144-32=112，由a＜b，则b=112-32=80，由a＜b，则b=80-32=48，由a＜b，则b=48-32=16，由a＞b，则a=32-16=16，由a=b，退出循环，输出a=16．故选：A．9.答案：C解析：【分析】本题考查了平面向量线性运算及平面向量数量积运算，属中档题．由平面向量线性运算及平面向量数量积运算得：=（）（+）=（-）（-）=2+2=12，所以=-3，所以||||cos∠ADC=-3，即cos∠ADC=-，又∠ADC∈（0，π），所以∠ADC=，得解．【解答】解：因为AB=3，AD=2，=，=，所以=（）（+）=（-）（-）=2+2=12，所以=-3，即||||cos∠ADC=-3，即cos∠ADC=-，又∠ADC∈（0，π），所以∠ADC=，故选：C．10.答案：B解析：【分析】本题考查了平面图形的直观图问题，也考查了旋转体的表面积求法，是基础题．根据“斜二测画法”可得AB=4，OC=2，AC=BC=4，△ABC是等边三角形；△ABC绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体，求它的表面积即可．【解答】解：根据“斜二测画法”可得AO=BO=2，OC=2，∴AC=BC==4，如图所示，∴△ABC是边长为4的等边三角形．△ABC绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体，它的表面积为S=2πrl=2π×2×4=16π．故选B．11.答案：D解析：【分析】本题考查双曲线的定义和方程、性质，主要是离心率的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．由双曲线的定义可得|MF2|=a，设M（m，n），m＞0，可列出，得到，结合-=1，可得a,b,c的关系，运用离心率公式可得所求值．【解答】解：由双曲线的定义可得|MF1|-|MF2|=2a，若|MF1|=3|MF2|，则|MF2|=a，设M（m，n），m＞0，则有,解得,①又-=1，②把①带入②可得：c2=3a2，则e==．故选D．12.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件构造函数，研究函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．构造函数T（x）=f（x）-x2，判断函数的奇偶性，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数零点的性质建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：构造函数T（x）=f（x）-x2，∵f（-x）+f（x）=x2，∴T（x）+T（-x）=f（x）-x2+f（-x）-（-x）2=f（x）+f（-x）-x2=0，∴T（x）为奇函数，当x≤0时，，∴T（x）在（-∞，0]上单调递减，又T（x）为奇函数，则T（x）在R上单调递减，∵存在x0，满足f（x0）+≥f（1-x0）+x0，∴f（x0）-x02≥f（1-x0）-（1-x0）2，化简得T（x0）≥T（1-x0），∴x0≤1-x0，即x0≤，令h（x）=g（x）-x=e x-x-a，（x≤），∵x0为函数y=g（x）-x的一个零点，∴h（x）在x≤时有一个零点，∵当x≤时，=e x-≤-=0，∴函数h（x）在x≤时单调递减，由选项知a＞0，-＜0＜，又∵h（-）=＞0，∴要使h（x）在x≤时有一个零点，只需使h（）=-a≤0，解得a≥，∴a的取值范围为[，+∞），故选：D．13.答案：4解析：【分析】本题主要考查了基本不等式的简单应用，属于基础试题．由已知可得，x+y=xy，解不等式可求．【解答】解：∵x+y=xy，解可得，x+y≥4，当且仅当x=y=2时取最小值4，故答案为：4．14.答案：127解析：【分析】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．已知关系可整理转化为（a n+a n+1）（a n+1-2a n）=0，根据数列{a n}的各项均为正数，可得a n+1=2a n，利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：a n+1=，∴-a n a n+1-2=0，化为：（a n+a n+1）（a n+1-2a n）=0，∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n+1=2a n，又∵a1=1，∴数列{a n}为等比数列，公比为2，首项为1，则S7==127．故答案为127．15.答案：（，+1]解析：【分析】本题考查了两角和与差的三角函数，属中档题．将已知条件切化弦可得A+B=，B=-A，再把cos2A+cos2B化成1+sin（2A+）后，利用三角函数的性质可得．【解答】解：由tan A+tan B+tan A tan B=1，得++=1，得sin（A+B）=cos（A+B），得tan（A+B）=1，∵0＜A+B＜π，∴A+B=，∴B=-A，0＜A＜，∴cos2A+cos2B=cos2A+cos2（-A）=+=1+（cos2A+sin2A）=1+sin（2A+），∵0＜A＜，∴2A+∈（，），∴sin（2A+）∈（，1]，cos2A+cos2B的范围为（，+1]．故答案为（，+1]．16.答案：解析：【分析】本题考查了圆外一点的切点问题和两点的距离公式，点和圆上的点的距离最值问题，属于较难题．由题意，由，可知R为MN的中点，进而求出R的轨迹方程，再根据点到圆上的距离求出最小值.【解答】解：如图，由，可知R为MN的中点，所以OR⊥MN，PR⊥MN，设P(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),则切线PM的方程为,即PM：,同理得，因为PM，PN都过,所以,所以M(x1,y1),N(x2,y2)在直线上，从而直线MN的方程为，因为,所以,即直线MN的方程为，所以直线MN过定点Q（-1，1），QR⊥OR,所以R在以OQ为直径的圆T：上，圆心为T(),半径为r=,所以,故答案为：2．17.答案：解：（1）∵（a+2c）cos B+b cos A=0，∴由正弦定理可得：（sin A+2sin C）cos B+sin B cos A=0，∴sin（A+B）+2cos B sin C=sin C+2cos B sin C=0，∵sin C≠0，可得cos B=-，∴由B∈（0，π），可得B=．（2）由余弦定理可得：b2=a2+c2-2ac×（-），可得：a2+c2+ac=16≥3ac，∴解得：ac≤，当且仅当a=c=时取等号，∴S△ABC=ac sin B≤=，△ABC的面积的最大值．解析：（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin C+2cos B sin C=0，结合sin C≠0，可得cos B=-，结合范围B∈（0，π），可得B的值．（2）由余弦定理，基本不等式可求ac≤，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，熟练掌握相关公式定理是解题的关键，属于基础题．18.答案：证明：（1）设AC的中点为O，连结BO，PO，由题意得PA=PB=PC=，PO=1，AO=BO=CO=1，∵在△PAC中，PA=PC，O为AC的中点，∴PO⊥AC，∵在△POB中，PO=1，OB=1，PB=，PO2+OB2=PB2，∴PO⊥OB，∵AC∩OB=O，AC，OB?平面ABC，∴PO⊥平面ABC，∵PO?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．解：（2）由（1）知，BO⊥PO，BO⊥AC，PO∩AC=O，∴BO⊥平面PAC，∴∠BMO是直线BM与平面PAC所成角，且tan∠BMO=，∴当OM最短时，即M是PA的中点时，∠BMO最大，由PO⊥平面ABC，OB⊥AC，∴PO⊥OB，PO⊥OC，∴以OC，OB，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），C（1，0，0），B（0，1，0），A（-1，0，0），P（0，0，1），M（-），=（1，-1，0），=（1，0，-1），=（），=（），设平面MBC的法向量=（x，y，z），直线MA与平面MBC所成角为θ，则由，得，令x=1，得=（1，1，3），则sinθ===，∴当直线BM与平面PAC所成的角最大时，直线MA与平面MBC 所成角的正弦值为．解析：（1）设AC的中点为O，连结BO，PO，推导出PO⊥AC，PO⊥OB，从而PO⊥平面ABC，由此能证明平面PAC⊥平面ABC．（2）由BO⊥PO，BO⊥AC，得BO⊥平面PAC，从而∠BMO是直线BM与平面PAC所成角，且tan∠BMO=，当OM最短时，即M是PA的中点时，∠BMO最大，以OC，OB，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当直线BM与平面PAC所成的角最大时，直线MA与平面MBC所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.答案：（1）解：由题意知，，周长2a+2c=，且a2=b2+c2，联立解得，b=c=1．∴椭圆C的标准方程为；（2）证明：①当直线l的斜率不存在时，不妨设其方程为x=，则A（，），B（），∴，则，即；②当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，并设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（2k2+1）x2+4kmx+（2m2-2）=0．△=8（2k2-m2+1）＞0．，．由直线l与圆E相切，得d=，则3m2-2k2-2=0．∴==．从而，即．综上所述，．解析：（1）由已知可得关于a，c的关系式，结合隐含条件求得a，b，c的值，则椭圆方程可求；（2）当直线l的斜率不存在时，不妨设其方程为x=，求得A，B的坐标，由，得；当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及直线l与圆E 相切得到，得，由此可得∠AOB为定值．本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．20.答案：解：（1）由数据可知，2012，2013，2016，2017，2018五个年份考核优秀，故X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）===，故X的分布列为X0123P所求．（2）解法一：，，故去掉2015年的数据之后，，，，所以，从而回归方程为：．解法二：因为，所以去掉2015年的数据后不影响的值，所以，而去掉2015年的数据之后，，从而回归方程为：．注：若有学生在计算时用计算得也算对．解析：（1）由数据可知，2012，2013，2016，2017，2018五个年份考核优秀，从而ξ的所有可能取值为0，1，2，3．分别示出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（2）法一：，由此能求出回归方程．法二：因为，所以去掉2015年的数据后不影响的值，所以，由此能求出回归方程．本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查回归直线方程的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.答案：解：（1）将a=1代入f（x）中，得到f（x）=x2+x-ln x，求导，得到，结合x＞0，当f'（x）＞0得到：f（x）在单调递增，当f'（x）＜0，得f（x）到在单调递减，且f（x）在时有极小值，（2）将f（x）解析式代入，得g（x）=x2-（2b-2）x+2ln x，求导得到，令g'（x）=0，得到x2-（b-1）x+1=0，所以∴x1+x2=b-1，x1x2=1，，====因为0＜x1＜x2，所以设，令，则所以h（t）在（0，1）单调递减，又因为所以，所以或t≥3又因为0＜t＜1，所以所以，所以g（x1）-g（x2）的最小值为.解析：本题考查函数的极值、最值的综合问题，属于较难题目．（1）先求出导数，判断出函数的单调性，求出极小值；（2）先根据极值概念得出x1+x2=b-1，x1x2=1，然后对g（x1）-g（x2）进行化简整理，采用换元法，构造新函数，再研究新函数的单调性求出最小值即可．22.答案：解：（1）由消去参数t可得直线l的普通方程为：,由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ得曲线C的直角坐标方程为：x2+y2-4x=0，即（x-2）2+y2=4;（2）依题意可得直线l的参数方程为：（t为参数），将其代入曲线C的方程得：t2+（2+3）t+9=0，设A，B对应的参数为t1，t2，则t1+t2=-（2+3），t1t2=9，则+=+==．解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程和直线的参数方程，属中档题．（1）由消去参数t可得直线l的普通方程，由极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程．（2）根据参数t的几何意义可得．23.答案：解：（1）a=-1时，不等式f（x）≥2，即为|x-1|+|2x-1|≥2，当x≥1时，x-1+2x-1≥2，解得x≥；当＜x＜1时，1-x+2x-1≥2，解得x∈?；当x≤时，1-x+1-2x≥2，解得x≤0．可得不等式的解集为{x|x≤0或x≥}；（2）f（x）≤2x的解集是[，3]的子集，即有|x+a|≤2x-（2x-1）=1，即为-1-a≤x≤1-a，可得-1-a≥且1-a≤3，解得-2≤a≤-．解析：（1）由题意可得|x-1|+|2x-1|≥2，对x讨论，去绝对值，解不等式，求并集即可；（2）由题意可得|x+a|≤2x-（2x-1）=1，即为-1-a≤x≤1-a，由结合的包含关系可得a的不等式组，即可得到所求范围．本题考查绝对值不等式的解法，以及集合的包含关系，考查分类讨论思想方法和化简运算能力，属于基础题．。
广东省深圳实验,珠海一中等六校2019届高三第二次联考数学理试题(解析版)
广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）2019届高三第二次联考试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知复数R)，（为虚数单位），若为纯虚数，则( )A. 1B.C. 2D.【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用纯虚数得到答案．【详解】∵z1=2+ai（a∈R），z2=1﹣2i，∴，由为纯虚数，则，解得a=1，故选：A．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了纯虚数的定义，是基础题．2.设全集，集合，，则A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据并集的定义求得A∪B，再根据补集的定义即可求解．【详解】∵集合A={x|﹣1＜x＜5}，集合B={x|﹣2＜x＜4}，∴A∪B={x|﹣2＜x＜5}，={x|﹣5＜x≤2}，【点睛】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．3.中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问此人第5天走的路程为（）A. 36里B. 24里C. 18里D. 12里【答案】D【解析】【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第五天走的路程．【详解】记每天走的路程里数为{a n}，由题意知{a n}是公比的等比数列，由S6=378，得=378，解得：a1=192，∴=12（里）．故选：D．【点睛】等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：①化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素和，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解．②化基本量求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解．③化基本量求公比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解．④化基本量求和．直接将基本量代入前项和公式求解或利用等比数列的性质求解．4.函数的单调递增区间是（）A. B.C. D.【答案】B【分析】利用正弦函数的单调性，求出相应的区间，即可得到结论．【详解】由（n∈Z），可得≤x≤（n∈Z），令n=﹣k，则可得函数y=3sin的单调递增区间是故选：B．【点睛】本题考查函数的单调性，考查学生的计算能力，正确运用正弦函数的单调区间是关键．5.下列有关命题的说法中错误的是( )A. 若为真命题，则中至少有一个为真命题.B. 命题：“若是幂函数，则的图象不经过第四象限”的否命题是假命题.C. 命题“，有且”的否定形式是“，有且”.D. 若直线和平面，满足.则“” 是“”的充分不必要条件.【答案】C【解析】【分析】A．根据复合命题真假关系进行判断即可；B．根据逆否命题的等价性判断命题的逆命题为假命题即可；C．根据全称命题的否定是特称命题进行判断；D．根据线面平行的判定定理及性质定理进行判断.【详解】对于A，若为真命题，则中至少有一个为真命题.正确；对于B，命题的逆命题是若y=f（x）的图象不经过第四象限，则y=f（x）是幂函数，错误比如函数y=2x的函数图象不经过第四象限，满足条件，但函数f（x）是指数函数，故命题的逆命题是假命题，则命题的否命题也是假命题，正确；对于C，命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是“∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0”，错误；对于D，若直线和平面，满足.则“” 是“”的充分不必要条件，正确，故选：C【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题，含有量词的命题的否定，复合命题以及充分条件和必要条件的判断，知识点较多综合性较强，但难度不大．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥，∴本题选择C选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．7.如图所示，在△ABC中，AD=DB，点F在线段CD上，设，,，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】用表示，由C，D，F三点共线得出x，y的关系，消去y，得到关于x的函数f（x），利用导数求出f（x）的最小值．【详解】=2x y．∵C，F，D三点共线，∴2x+y=1．即y=1﹣2x．由图可知x＞0．∴==．令f（x）=，得f′（x）=，令f′（x）=0得x=或x=﹣（舍）．当0＜x＜时，f′（x）＜0，当x时，f′（x）＞0．∴当x=时，f（x）取得最小值f（）==3+2．故选：A．【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，函数的最值，属于中档题．8.已知是定义域为的奇函数，满足, 若，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得f（0）=0，f（x）为周期为4的函数，分别求得一个周期内的函数值，计算可得所求和．【详解】f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），f（1﹣x）=f（1+x）即有f（x+2）=f（﹣x），即f（x+2）=﹣f（x），进而得到f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），f（x）为周期为4的函数，若f（1）=2，可得f（3）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，f（2）=f（0）=0，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，可得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2018）=504×0+2+0=2．故选：B．【点睛】本题考查抽象函数的函数值的求和，注意运用函数的周期性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．9.已知函数在区间上是增函数，且在区间上存在唯一的使得，则的取值不可能为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由f（x）=2sinωx可得[﹣，]是函数的递增区间，结合已知可得[﹣，]⊇[]，可解得0＜ω≤，又函数在区间上存在唯一的使得，根据正弦函数的性质可得0≤≤π，进而得解．【详解】f（x）=2sinωx，∴[﹣，]是函数的递增区间，且[﹣，]．又∵函数在[]上递增，∴[﹣，]⊇[]，∴得不等式组：﹣≤﹣，≤，又∵ω＞0，∴0＜ω≤，又在区间上存在唯一的使得，根据正弦函数的性质可知ωx=2kπ+，k∈Z，即函数在x=+处取得最大值，可得0≤≤π，∴ω≥，综上，可得ω∈[，]．故选：D．【点睛】本题主要考查正弦函数的图象特征，判断[﹣，]⊇[]是解题的关键，属于中档题．10.将正奇数数列依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：,称为第1组，为第2组，依此类推，则原数列中的位于分组序列中( )A. 第组B. 第组C. 第组D. 第组【答案】A【解析】【分析】求出2019为第1010个证奇数，根据富足规则可得答案.【详解】正奇数数列1,3,5,7,9，的通项公式为则2019为第1010个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，故原数列中的2019位于分组序列中第404组选A.【点睛】本题考查闺女是推理，属中档题.11.定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数,我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和。
广东省深圳实验等六校2019届高三第二次联考数学理---精校解析Word版
（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）广东省六校高三第二次联考试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知复数R)，（为虚数单位），若为纯虚数，则( )A. 1B.C. 2D.【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用纯虚数得到答案．【详解】∵z1=2+ai（a∈R），z2=1﹣2i，∴，由为纯虚数，则，解得a=1，故选：A．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了纯虚数的定义，是基础题．2.设全集，集合，，则A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据并集的定义求得A∪B，再根据补集的定义即可求解．【详解】∵集合A={x|﹣1＜x＜5}，集合B={x|﹣2＜x＜4}，∴A∪B={x|﹣2＜x＜5}，={x|﹣5＜x≤2}，故选：B．【点睛】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．3.中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问此人第5天走的路程为（）A. 36里B. 24里C. 18里D. 12里【答案】D【解析】【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第五天走的路程．【详解】记每天走的路程里数为{a n}，由题意知{a n}是公比的等比数列，由S6=378，得=378，解得：a1=192，∴=12（里）．故选：D．【点睛】等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：①化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素和，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解．②化基本量求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解．③化基本量求公比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解．④化基本量求和．直接将基本量代入前项和公式求解或利用等比数列的性质求解．4.函数的单调递增区间是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦函数的单调性，求出相应的区间，即可得到结论．【详解】由（n∈Z），可得≤x≤（n∈Z），令n=﹣k，则可得函数y=3sin的单调递增区间是故选：B．【点睛】本题考查函数的单调性，考查学生的计算能力，正确运用正弦函数的单调区间是关键．5.下列有关命题的说法中错误的是( )A. 若为真命题，则中至少有一个为真命题.B. 命题：“若是幂函数，则的图象不经过第四象限”的否命题是假命题.C. 命题“，有且”的否定形式是“，有且”.D. 若直线和平面，满足.则“” 是“”的充分不必要条件.【答案】C【解析】【分析】A．根据复合命题真假关系进行判断即可；B．根据逆否命题的等价性判断命题的逆命题为假命题即可；C．根据全称命题的否定是特称命题进行判断；D．根据线面平行的判定定理及性质定理进行判断.【详解】对于A，若为真命题，则中至少有一个为真命题.正确；对于B，命题的逆命题是若y=f（x）的图象不经过第四象限，则y=f（x）是幂函数，错误比如函数y=2x的函数图象不经过第四象限，满足条件，但函数f（x）是指数函数，故命题的逆命题是假命题，则命题的否命题也是假命题，正确；对于C，命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是“∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f （n0）＞n0”，错误；对于D，若直线和平面，满足.则“” 是“”的充分不必要条件，正确，故选：C【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题，含有量词的命题的否定，复合命题以及充分条件和必要条件的判断，知识点较多综合性较强，但难度不大．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥，∴本题选择C选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．7.如图所示，在△ABC中，AD=DB，点F在线段CD上，设，,，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】用表示，由C，D，F三点共线得出x，y的关系，消去y，得到关于x的函数f（x），利用导数求出f（x）的最小值．【详解】=2x y．∵C，F，D三点共线，∴2x+y=1．即y=1﹣2x．由图可知x＞0．∴==．令f（x）=，得f′（x）=，令f′（x）=0得x=或x=﹣（舍）．当0＜x＜时，f′（x）＜0，当x时，f′（x）＞0．∴当x=时，f（x）取得最小值f（）==3+2．故选：A．【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，函数的最值，属于中档题．8.已知是定义域为的奇函数，满足,若，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得f（0）=0，f（x）为周期为4的函数，分别求得一个周期内的函数值，计算可得所求和．【详解】f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），f（1﹣x）=f（1+x）即有f（x+2）=f（﹣x），即f（x+2）=﹣f（x），进而得到f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），f（x）为周期为4的函数，若f（1）=2，可得f（3）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，f（2）=f（0）=0，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，可得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2018）=504×0+2+0=2．故选：B．【点睛】本题考查抽象函数的函数值的求和，注意运用函数的周期性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．9.已知函数在区间上是增函数，且在区间上存在唯一的使得，则的取值不可能为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由f（x）=2sinωx可得[﹣，]是函数的递增区间，结合已知可得[﹣，]⊇[]，可解得0＜ω≤，又函数在区间上存在唯一的使得，根据正弦函数的性质可得0≤≤π，进而得解．【详解】f（x）=2sinωx，∴[﹣，]是函数的递增区间，且[﹣，]．又∵函数在[]上递增，∴[﹣，]⊇[]，∴得不等式组：﹣≤﹣，≤，又∵ω＞0，∴0＜ω≤，又在区间上存在唯一的使得，根据正弦函数的性质可知ωx=2kπ+，k∈Z，即函数在x=+处取得最大值，可得0≤≤π，∴ω≥，综上，可得ω∈[，]．故选：D．【点睛】本题主要考查正弦函数的图象特征，判断[﹣，]⊇[]是解题的关键，属于中档题．10.将正奇数数列依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：,称为第1组，为第2组，依此类推，则原数列中的位于分组序列中( )A. 第组B. 第组C. 第组D. 第组【答案】A【解析】【分析】求出2019为第1010个证奇数，根据富足规则可得答案.【详解】正奇数数列1,3,5,7,9，的通项公式为则2019为第1010个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，故原数列中的2019位于分组序列中第404组选A.【点睛】本题考查闺女是推理，属中档题.11.定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数,我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和。
广东省深圳实验、珠海一中等六校2019届高三数学第二次联考试题
广东省深圳实验、珠海一中等六校届高三数学第二次联考试题文（含解析）一、选择题：共小题，每小题分，共分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
.设集合，集合，则（）. . . .【答案】【解析】由题意得，∴．选．.已知复数满足，（为的共轭复数）.下列选项（选项中的为虚数单位）中（）.. . . 或 . 或【答案】【解析】设，则，，所以，得，所以或.本题选择选项..已知，则( ). . . .【答案】【解析】由题意可得：本题选择选项..等差数列中，，则其前项和取最大值时的值为（）. . . 或 .【答案】【解析】【分析】题目所给数列为等差数列，故将所给的两个条件都转化为的形式，解方程组解出，然后利用通项大于或等于零，求得最大时的值.【详解】由于数列为等差数列，故，解得，故，当时，解得，故当或时，取得最大值.故选.【点睛】本小题主要考查等差数列的通项公式以及前项和公式.在求解等差数列通项的过程中，首先明确题目给定的数列是等差数列还是等比数列，若是等差数列，则将已知条件转化为和的形式，若是等比数列，则将已知条件转化为和的形式，然后通过解方程组求得对应的首项和公差或者首项和公比，由此求得数列的通项公式..下列命题中，为真命题的是（）. ，使得 .. . ，是的充分不必要条件【答案】【解析】【分析】对于两个选项，利用指数函数和幂函数的性质进行排除，对于选项，利用基本不等式的知识进行排除.对于选项，利用不等式的性质和充要条件的知识来说明.【详解】对于选项，由于对任意的实数都成立，故选项错误.对于选项，当时，不等式不成立.当时，，故选项错误.根据不等式的性质，当时，，反过来不一定，故选项正确.故选.【点睛】本小题主要考查指数函数和幂函数的图像与性质，考查基本不等式使用的条件：一正二定三相等，考查全称命题与特称命题，考查充要条件的判断以及不等式的性质等知识，属于中档题..四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线与所成的角为（）. . . .【答案】【解析】【分析】画出图像，将两条异面直线平移到一起，然后利用三角形的知识求得两条异面直线所成的角. 【详解】画出图像如下图所示，将平移到的位置，连接，则角即是两条异面直线所成的角.由于三角形为等边三角形，故两条异面直线所成的角为.故选.【点睛】本小题主要考查空间两条异面直线所成的角.要求空间两条异面直线所成的角，需要通过平移，将两条异面直线平移到有一个公共顶点的三角形内，然后通过解三角形求得异面直线所成的角.将异面直线平移的主要方法是通过平行四边形平移，或者通过中位线平移，或者通过面面平行来平移..已知满足，则的最大值为（）. . . .【答案】【解析】【分析】画出可行域，通过平移到边界位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，通过平移到点的位置，此时截距取得最大值，也即目标函数取得最大值为.故选.【点睛】本小题主要考查线性规划知识，目标函数是线性型的.画出可行域后，平移目标函数到边界位置来取得最值.属于基础题..已知菱形的边长为，，点满足，若，则（）. . . .【答案】【解析】【分析】将两个向量，用表示，再根据向量数量积的运算，列方程，解方程求得的值. 【详解】依题意,.故选.【点睛】本小题主要考查平面向量的数量积运算，考查平面向量的加法和减法的运算，还考查了化归与转化的数学思想方法.属于中档题..已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）. 函数的周期为. 函数为偶函数. 函数在上单调递增. 函数的图象关于点对称【答案】【解析】【分析】根据三角函数的最低点求得，再结合图像过和这两个点，可求得的解析式，然后对选项逐一进行判断和排除，从而得出正确选项.【详解】由于三角函数图像最小值为，故.，将点代入，解得，，再将代入，解得，故.函数的周期为，所以选项错误. 为奇函数，故选项错误.，故选项错误.所以选.【点睛】本小题主要考查利用三角函数的图像，求三角函数的解析式，并利用解析式求三角函数的最小正周期、单调区间等问题，综合性较强，属于中档题..已知双曲线的离心率为，左右焦点分别为，点在双曲线上，若的周长为，则的面积为（）. . . .【答案】【解析】【分析】根据离心率可得，根据双曲线的定义和三角形的周长，列方程组求得三角形的三条边长，然后利用勾股定理算出高，再用三角形面积公式计算出面积.【详解】根据离心率得，即，根据双曲线的定义，有，根据三角形的周长有，故，故三角形的高为，故面积为.故选.【点睛】本小题主要考查双曲线的定义、双曲线的离心率和焦点三角形的面积.离心率在本题中的作用是将转化为的形式.在解答过程中，主要是方程的数学思想方法，利用双曲线的定义，得到一个方程，再利用题目所给的周长这个条件，又列出另一个方程，根据这两个方程可以求解出三角形的边长..在正方体中，点是侧面内的一动点，若点到直线与到直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（）. 直线 . 圆 . 双曲线 . 抛物线【答案】【解析】【分析】由于到直线的距离，也即是的长度.由此将问题转化为到直线的距离和到点的距离相等，符合抛物线的定义.由此得出选项.【详解】画出图像如下图所示，由于到直线的距离，也即是的长度.由此将问题转化为到直线的距离和到点的距离相等，这恰好是抛物线的定义，故选.【点睛】本小题主要考查空间点到直线的距离，考查圆锥曲线的定义，主要是抛物线的定义，属于基础题..设函数，直线是曲线的切线，则的最小值是（）. . . .【答案】【解析】分析：设切点是，求出切线方程，可得，利用导数研究函数的单调性，根据单调性求出的最小值即可的结果.详解：设切点是，由是切线斜率，切线方程为，整理得，，记，当，递减；当，递增；故，即的最小值是故选.点睛：本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与最值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（）由点斜式求得切线方程.二、填空题：共小题，每小题分，共分。
2019届广东省珠海市高三二模数学(理)试题(解析版)
【解析】画出“ , , ,所表示的平面区域,即可进行判断.
【详解】
如图，“ 且 ”表示的区域是如图所示的正方形，
记为集合P，“ ”表示的区域是单位圆及其内部，记为集合Q，
显然 是 的真子集,所以答案是充分非必要条件，
故选: .
【点睛】
本题考查了不等式表示的平面区域问题,考查命题的充分条件和必要条件的判断,难度较易.
所以 在 时有一个零点
因为当 时， ，
所以函数 在 时单调递减，
由选项知 ， ，
又因为 ，
所以要使 在 时有一个零点，
只需使 ，解得 ，
所以a的取值范围为 ，故选D.
【点睛】
本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.
二、填空题
9．若x，y均为正数，且 ，则 的最小值为________.
【答案】4
【解析】由基本不等式可得 ,则 ,即可解得 .
17．已知函数 ，
（1）若 ，求 的单调区间和极值；
（2）设 ，且 有两个极值点 ， ，若 ，求 的最小值.
则直线 过定点 ,由 则点 在以 为直径的圆 上，则 .即可求得.
【详解】
如图，由 可知R为MN的中点，所以 ， ，
设 ，则切线PM的方程为 ，
即 ，同理可得 ，
因为PM，PN都过 ，所以 ， ，
所以 在直线 上，
从而直线MN方程为 ，
因为 ，所以 ，
即直线MN方程为 ，
所以直线MN过定点 ,
所以R在以OQ为直径的圆 上，
【答案】（1） （2）见解析
【解析】(1)由 ，周长 ,解得 , 即可求得标准方程.
(2)通过特殊情况 的斜率不存在时,求得 ,再证明 的斜率存在时 ,即可证得 为定值.通过设直线 的方程为 与椭圆方程联立,借助韦达定理求得 ,利用直线 与圆相切,即 ,求得 的关系代入,化简即可证得 即可证得结论.
广东省2019届高三六校第二次联考数学(理科)试题
广东省2019届高三六校第二次联考2019-11-2 本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则集合A．B．C．D．2．若，则下列结论不正确．．．的是A．B．C．D．3．函数，已知的两个极值点为，，则A．B．C．D．4．设，，则函数的最大值为A．B．C．D．5．函数对于任意实数满足条件，若，则A．B．C．D．6．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，D在边AC上，已知BC＝2，CD＝1，∠ABD＝45°，则AD ＝A．2 B．5 C．4 D．17．在平面直角坐标系中，不等式组（为常数）表示的平面区域的面积是4，则的最小值为A．B．C．D．8．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染16后面最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…．则在这个红色子数列中，由1开始的第2019个数是A．3948 B．3953 C．3955 D．3958二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．已知数列为等差数列，且，则____________．10．在中，角，，所对的边分别是，，，若，且，则的面积等于____________．11．方程在上有解，则的取值范围是____________．12．设曲线在点（1，1）处的切线与轴的交点的横坐标为，令，则的值为____________．13．设函数，[]表示不超过的最大整数，则函数[]的值域是____________．14．若定义在区间上的函数对上的任意个值，，…，，总满足≤，则称为上的凸函数．已知函数在区间上是“凸函数”，则在△中，的最大值是____________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（本小题满分12分）已知向量，，函数．（1）求函数的最小正周期和值域；（2）在中，分别是角的对边，且，，，且，求的值．16．（本小题满分12分）数列的前项和为，数列满足，且，．（1）求，的表达式；（2）设，求数列的前项和．17．（本小题满分14分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件．（1）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值．18．（本小题满分14分）已知，若在区间上的最大值为，最小值为，令．（1）求的函数表达式；（2）判断的单调性，并求出的最小值．19．（本小题满分14分）已知函数，其中，为参数，且．（1）当时，判断函数是否有极值；（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围．20．（本小题满分14分）已知，．（1）若恒成立，求的取值范围；（2）若广东省2019届高三六校第二次联考数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A 2．C 3．D 4．D 5．D 6．B 7．D 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．10．11．12．13．14．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（本小题满分12分）解：（1）………………3分∴函数的最小周期,值域为………………5分（2）………………6分是三角形内角∴，∴即： (8)分∴即：………………10分将可得：解之得：∴∴，………………12分16．（本小题满分12分）解：（1）………………2分当时，，所以………………3分………………4分成等比数列,且首项,公比………………5分,………………6分（2），………………7分令，记则相减，故………………10分故………………12分17．（本小题满分14分）解：（1）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：………………4分（2）………………5分令得或（不合题意，舍去）． (6)分，．在两侧的值由正变负．………………8分所以（a）当即时，．………………10分（b）当即时，，……12分所以………………13分答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）． (14)分18．（本小题满分14分）19．（本小题满分14分）解：（I）当时则在内是增函数，故无极值。
2019届广东省深圳实验,珠海一中等六校高三第二次联考数学理试题(word版)
广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）2019届高三第二次联考试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知复数R)，（为虚数单位），若为纯虚数，则( )A. 1B.C. 2D.【答案】A2.设全集，集合，，则A. B.C. D.【答案】B3.中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问此人第5天走的路程为（）A. 36里B. 24里C. 18里D. 12里【答案】D4.函数的单调递增区间是（）A. B.C. D.【答案】B5.下列有关命题的说法中错误的是( )A. 若为真命题，则中至少有一个为真命题.B. 命题：“若是幂函数，则的图象不经过第四象限”的否命题是假命题.C. 命题“，有且”的否定形式是“，有且”.D. 若直线和平面，满足.则“” 是“”的充分不必要条件.【答案】C6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B.C. D.【答案】C7.如图所示，在△ABC中，AD=DB，点F在线段CD上，设，,，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A8.已知是定义域为的奇函数，满足,若，则( )A. B. C. D.【答案】B9.已知函数在区间上是增函数，且在区间上存在唯一的使得，则的取值不可能为( )A. B. C. D.【答案】D10.将正奇数数列依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：,称为第1组，为第2组，依此类推，则原数列中的位于分组序列中( )A. 第组B. 第组C. 第组D. 第组【答案】A11.定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数,我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和。
广东省珠海一中等六校2019届高三上学期第二次联考数学文
2019届高三六校第二次联考数学试题一、选择题.本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卡的相应位置. 1.设2{0,2},{|320}A B x x x ==-+=，则AB ＝ （ ）A ．{0,2,4}--B ．{0,2,4}-C ．{0,2,4}D ．{0,1,2} 2.命题“x R ∃∈，2210x x -+<”的否定是 （ ） A ．x R ∃∈，2210x x -+≥ B ．x R ∃∈，2210x x -+> C ．x R ∀∈，2210x x -+≥D ．x R ∀∈，2210x x -+<4.一个物体的运动方程为1s t t =-+，其中的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是 （ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒5.函数()ln 26f x x x =+-的零点位于 （ ） A ．[1,2] B ．[2,3] C ．[3,4] D ．[4,5]6.“1sin 2α=”是“1cos 22α=”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7.函数1()(0,1)xf x a a a a=->≠的图象可能是 （ ）1A B C D8.如图：正方体1111ABCD A BC D -，棱长为1，黑白二蚁都从点A 出发，沿棱向前爬行，每走一条行的棱称为“走完一段”.白蚁爬行的路线是111,AA A D →→2i +路线是1.AB BB →→它们都遵循如下规则：所爬行的第段所在直线与第i 段所在直线必须是异面直线（其中*i N ∈）.设黑白二蚁走完第2019段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时距离是 ( )A ．二、填空题.本大题共 6小题，每小题 5分，共 30 分 . 请把答案填在答题卡的相应位置. 9.函数()()lg 43x f x x -=-的定义域为____________.10.若函数()y f x =是函数(0,x y a a =>且1)a ≠的反函数，且函数()y f x =的图像经过点)a ， 则()f x = ____________.11.已知函数(2),2()1,22x f x x f x x +<⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，则(3)f -的值为12.如图是函数()sin(),(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图象，则其解析式是____________.13.由曲线xy e =与直线0x =、直线y e =所围成的图形的面积为____________.14.设函数221()lg ()(0)2f x ax x b b a ⎡⎤=++-+≠⎢⎥⎣⎦,若对任意实数b ，函数()f x 的定义域为R ，则a 的取值范围为____________.三、解答题.本大题共 6 小题，共 80 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 15．（本小题满分12分）已知函数())12f x x π=-,x R ∈（1）求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （2）若43sin ,,252πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，求(2)3f πθ+.16.（本小题满分12分）设函数3()65f x x x =-+,x R ∈ （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[]2,2-上的最值.17．（本小题满分14分）设函数2()sin cos f x x x x =,x R ∈（1）求函数()f x 的最小正周期，并求()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值； （2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，A 为锐角，若()()32f A f A +-=，7b c +=，ABC ∆的面积为求a .18.（本小题满分14分）已知函数2()ln f x x a x =+)(R a ∈（1）若函数)(x f 在1x =处的切线垂直y 轴,求a 的值； （2）若函数)(x f 在区间),1(+∞上为增函数，求a 的取值范围； （3）讨论函数()()(2)g x f x a x =-+的单调性.19.（本小题满分14分） 已知函数(1ln )(),(1)1x x f x x x +=>-（1）设0x 为函数()f x 的极值点，求证: 00()f x x =；（2）若当1x >时，ln (1)0x x k x k +-+>恒成立，求正整数．．．k 的最大值.20.（本小题满分14分）设函数2*()1,(,)1!2!!nn x x x f x x R n N n =-++++∈∈ （1）证明对每一个*n N ∈，存在唯一的1,12n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，满足()0n n f x =； （2）由（1）中的n x 构成数列{}n x ，判断数列{}n x 的单调性并证明；（3）对任意*p N ∈，,n n p x x +满足（1），试比较n n p x x +-与1n的大小.2019届六校十月联考理科数学参考答案一.选择题1 2 3 4 5 6 7 8 D CCCBADB二.填空题9.{}|43x x x <≠且 10. 12log x 11.1812.3sin(2)3y x π=+ 13. ____1____ 14. (1,)+∞三.解答题15．（本小题满分12分）已知函数())12f x x π=-,x R ∈（1）求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （2）若43sin ,,252πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，求(2)3f πθ+.解: （1）())12f x x π=-())6612f πππ∴-=-- ……2分)sin()44ππ=-= ……4分1=- ……5分（2）43sin ,,252πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭3cos 5θ∴==……7分 24sin 22sin cos 25θθθ∴==- ……8分27cos 22cos 125θθ=-=- ……9分(2))34f ππθθ∴+=+ ……10分2coscos 2sin )44ππθθ=+=24731252525--=- ……12分16.（本小题满分12分） 设函数3()65f x x x =-+,x R ∈ （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[]2,2-上的最值. 解：(1)3()65f x x x =-+2'()36f x x ∴=- ……2分令'()0,f x = x ∴=……3分'(),()f x f x x 随着的变化情况如下表：x(,-∞ ()+∞'()f x +0 — 0 +()f x单调递增极大值单调递减极小值单调递增 ……5分由上表可知()f x 的单调递增区间为(,-∞和)+∞,单调递减区间为(. ……6分（2）由（1）可知函数()f x 在2,⎡-⎣ 上单调递增，在⎡⎣ 上单调递减，在2⎤⎦上单调递增， ……7分()f x ∴的极大值(5f ==+……8分()f x 的极小值5f ==-……9分又(2)15(f f =<+= ， ……10分(2)95f f -=>-= ……11分∴函数()f x 在区间[]2,2-上的最大值为5+，最小值为5- . ……12分17．（本小题满分14分）设函数2()sin cos f x x x x =,x R ∈（1）求函数()f x 的最小正周期，并求()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值； （2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，A 为锐角，若()()32f A f A +-=，7b c +=，ABC ∆的面积为求a .解：（1）()21cos 2sin cos 22x f x x x x x -=+=+ 1sin 226x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ……3分 所以函数()f x 的最小正周期为22||2T πππω=== ……4分 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,4ππx ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-6,3262πππx .所以当262ππ-=-x 时，函数()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,4ππ上的最小值为12-. ……7分（2）由()()32f A f A +-=得：2362sin 62sin 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ππA A . 化简得：212cos -=A ，又因为20π<<A ，解得：3π=A . ……10分 由题意知：32sin 21==∆A bc S ABC ， 解得8=bc ，又7=+c b ， ……12分由余弦定理：()()22222cos 21cos 25a b c bc A b c bc A =+-=+-+=，5a ∴=. ……14分18. （本小题满分14分）已知函数2()ln f x x a x =+)(R a ∈（1）若函数)(x f 在1x =处的切线垂直y 轴,求a 的值； （2）若函数)(x f 在),1(+∞为增函数，求a 的取值范围； (3) 讨论函数()()(2)g x f x a x =-+的单调性. 解：（1）因为2()ln f x x a x =+，故()2af x x x'=+， ……1分 函数)(x f 在1x =处的切线垂直y 轴，所以(1)202f a a '=+=⇒=- ……3分 （2）函数)(x f 在),1(+∞为增函数，所以当(1,)x ∈+∞时，()20af x x x'=+≥恒成立，分离参数得：22a x ≥-，从而有：2a ≥-. ……7分 （3）2()()(2)(2)ln g x f x a x x a x a x =-+=-++22(2)(1)(2)()2(2)a x a x a x x a g x x a x x x-++--'=-++== ……10分令12()01,2ag x x x '=⇒==，因为函数()g x 的定义域为(0,)+∞，所以 （1）当02a≤，即0a ≤时，函数()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增； ……11分 （2）当012a <<，即02a <<时，函数()g x 在(0,)2a上递增， 在(,1)2a 上递减，在(1,)+∞上递增 ……12分（3）当12a=，即2a =时，函数()g x 在(0,)+∞上递增； ……13分（4）当12a >，即2a >时，函数()g x 在(0,1)上递增，在(1,)2a 上递减，在(,)2a+∞上递增. ……14分19.（本小题满分14分） 已知函数(1ln )(),(1)1x x f x x x +=>-（1）设0x 为函数()f x 的极值点，求证: 00()f x x =；（2）若当1x >时，ln (1)0x x k x k +-+>恒成立，求正整数k 的最大值. 解：（1）因为(1ln )(),(1)1x x f x x x +=>-，故22ln ()(1)x xf x x --'=-, ……2分 0x 为函数)(x f 的极值点,0()0f x '∴=, ……3分即002ln 0x x --=,于是0011ln x x -=+, 故00000000(1ln )(1)()11x x x x f x x x x +-===-- ……5分(2) ln (1)0x x k x k +-+>恒成立,分离参数得(1ln )()1x x k f x x +<=- ……7分则1>x 时，()f x k >恒成立，只需min ()f x k >，22ln ()(1)x xf x x --'=-，记()2ln g x x x =--，1()10g x x '∴=->， ……9分 ()g x ∴在),1(+∞上递增，又(3)1ln30,(4)2ln 40g g =-<=->， ()g x ∴在),1(+∞上存在唯一的实根0x ，且满足0(3,4)x ∈， ……11分∴当01x x <<时()0g x <，即()0f x '<；当0x x >时()0g x >，即()0f x '>,min 00()()(3,4)f x f x x ==∈,故正整数k 的最大值为3 ……14分20. （本小题满分14分）设函数2*()1,(,)1!2!!nn x x x f x x R n N n =-++++∈∈ （1）证明对每一个*n N ∈，存在唯一的1,12n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，满足()0n n f x = ； （2）由（1）中的n x 构成数列{}n x ，判断数列{}n x 的单调性并证明； （3）对任意*p N ∈，,n n p x x +满足（1），试比较n n p x x +-与1n的大小. 解:（1）21()12!(1)!n n x x f x x n -'=++++- 显然,当0x >时,()0n f x '>,故()n f x 在(0,)+∞上递增. ……2分 又11(1)1102!!n f n =-++++≥，221111()()(1())1111112222()11()()1()01222!!222212nn n n n f n -=-++++<-++++=-+=-<-故存在唯一的1[,1]2n x ∈，满足()0n n f x = ……4分 （2）由（1）知()n f x 在(0,)+∞上递增因为21111()12!!n nnn n n x x f x x n ++++=-++++·11· 所以21111111111()1()02!!(1)!(1)!n n n n n n n n n n n n x x x x f x x f x n n n ++++++++++=-+++++=+=++ ……6分 111()0()(1)!n n n n n n x f x f x n +++=-<=+，由（1）知()n f x 在(0,)+∞上递增 故1n n x x +<，即数列{}n x 单调递减. ……9分(3) 由（2）数列{}n x 单调递减，故0n n p x x +->而2()102!!nnnn n n x x f x x n =-++++= 21()102!!(1)!()!nn n pn p n p n p n pn p n p n p x x x x f x x n n n p +++++++++=-+++++++=++ ……11分 两式相减：并结合0n p n x x +-<，以及1[,1]2n x ∈211111!!11!!(1)111111k kkn p nn p n n pn n p k k n kn p n pn p n p k n k n k n n pk n x x x x x k k x k k k k k k n n p n++++==+++++=+=+=++=+--=+<≤<-⎡⎤=-=-<⎢⎥-+⎣⎦∑∑∑∑∑∑ 所以有1||n n p x x n +-<……14分。
广东省深圳市2019届高三下学期第二次调研(二模)理科数学试卷及答案
绝密★启用前 试卷类型： A深圳市2019年高三年级第二次调研考试数 学（理科） 2019．4本试卷共6页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．12iz +=−所对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 3．2019年是新中国成立70周年，也是全面建成小康社会的关键之年．为喜迎祖国70周年生日，全民齐心奋力建设小康社会，某校特举办“喜迎国庆，共建小康”知识竞赛活动．下面的茎叶图是参赛两组选手的答题得分情况，则下列说法正确的是注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答. 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|0}M x x =>，2{|40}N x x =−≥，则M N =（A ）(,2](0,)−∞−+∞ （B ）(,2][2,)−∞−+∞ （C ）[2,+)∞ （D ）(0,)+∞2．在复平面内，复数i(1i)（第3题图）甲乙7895237373451（A ）甲组选手得分的平均数小于乙组选手得分的平均数 （B ）甲组选手得分的中位数大于乙组选手得分的平均数 （C ）甲组选手得分的中位数等于乙组选手得分的中位数（D ）甲组选手得分的方差大于乙组选手得分的方差 4．已知等比数列{}n a 满足112a =，且2434(1)a a a ⋅=−，则5a = （A ）8 （B ）16 （C ）32 （D ）64 5．已知函数22()(1)f x ax a x x=+−+是奇函数，则曲线()y f x =在1x = 处的切线的倾斜角为 （A ）π4 （B ）3π4 （C ）π3 （D ）2π36．在平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为AE 的中点．设AB =a ，AD =b ，则FB = （A ）3142−+a b （B ）1324+a b （C ）1324−a b （D ）3142−a b （第7题图）7．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A ）(842)π+ （B ）(942)π+ （C ）(882)π+ （D ）(982)π+8．十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了 “贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三种方法求解，所得结果均不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，这极大地促进了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设A 为圆O 上一个定点，在圆周上随机取一点B ，连结AB ，求所得弦长AB 大于圆O 的内接等边三角形边长的概率．记该概率为p ，则p =（A ）15 （B ）14 （C ）13 （D ）129．已知函数()ln 1af x x x=+−有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为 （A ）(,0]{1}−∞ （B ）[0,1] （C ）(,0]{2}−∞ （D ）[0,2]10．设点1F 、2F 分别为椭圆2222:1x y C a b+=的左、右焦点，点A 、B 分别为椭圆C 的右顶点和下顶点，且点1F 关于直线AB 的对称点为M ．若212MF F F ⊥，则椭圆C 的离心率为 （A）12（B）13 （C）12（D）211．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>在区间ππ[,]43−上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值范围为 （A ）8[,7)3 （B ）8[,4)3（C ）20[4,)3 （D ）20(,7)3（A（B）2 （C ）52 （D ）54第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答. 第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．A（第12题图）BCDFE12. 如图，在四面体ABCD 中，2AB CD ==，AC BD ==， AD BC ==E 、F 分别是AD 、BC 的中点.若用一个与 直线EF 垂直，且与四面体的每个面都相交的平面α去截该四面 体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为13．设实数x ，y 满足23124x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≤⎩，，，则1y x −的最大值为___________．14．已知双曲线C ：22221x y a b−=，且圆E ：21x y −+=C E A BA n S {}na n 13a =2n ≥1122n n n n n S S S S na −−+−=2019m SS S ≥m ABC 2AB BC =25AC =13a =18．（本小题满分12分）在边长为D 的正方形AC 中，点2=AD CD 、2∠=∠A B D C B D 分别为边ABC ∠、AD 的中点，以CE ，CF 为折痕将△DFC 和△BCE 折起，使点B 、D 重合于点P ，连结PA ，得到如图所示的四棱锥P AECF −．（1）求证：EF PC ⊥；（2）求直线PA 与平面PEC 所成角的正弦值．CDFP22(2)1x y −+=的圆心是双曲线C 的右焦点，若圆E 与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为___________．15．精准扶贫是全面建成小康社会、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某单位拟组成4男3女共7人的扶贫工作队，派驻到3个贫困地区A 、B 、C 进行精准扶贫工作．若每个地区至少派驻1男1女两位工作人员，且男性甲必须派驻到A地区，则不同的派驻方式有_______种．16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且13a =，当2n ≥时，有1122n n n n n S S S S na −−+−=.则使得122019m S S S ⋅⋅⋅≥成立的正整数m 的最小值为_________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知△ABC 中，2AB BC =，25AC =，点D 在边AC 上，且2=AD CD ，2∠=∠ABD CBD ．（1）求ABC ∠的大小； （2）求△ABC 的面积．最小二乘法估计分别为121()()ˆ()niii nii w w v v v v ==−−=−∑∑β，ˆˆw v =−αβ． ②参考数据：月销售量/千件月售价/元10816201804122146024681210••••••••••19．（本小题满分12分）某网店销售某种商品，为了解该商品的月销量y （单位：千件）与月售价x （单位：元/件）之间的关系，对近几年的月销售量i y 和月销售价i x (1,2,3,,10)i =数据进行了统计分析，得到了下面的散点图：（1）根据散点图判断，ln y c d x =+ 与y bx a =+哪一个更适宜作为月销量y 关于月销售价x 的回归方程类型？（给出判断即可，不需说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（2）利用（1）中的结果回答问题：已知该商品的月销售额为z （单位：千元），当月销售量为何值时，商品的月销售额预报值最大？(月销售额=月销售量⨯当月售价) 参考公式、参考数据及说明： ①对一组数据1122(,),(,)(,)n n v w v w v w ，，，其回归直线w v αβ=+的斜率和截距的表中ln =i i u x ，110i i u u ==∑．③计算时，所有的小数都精确到0.01，如ln 4.06 1.40≈. 20．（本小题满分12分）已知抛物线2:4C xy =，过点(2,3)的直线l 交C 于A 、B 两点，抛物线C 在点A 、B处的切线交于点P ．（1）当点A 的横坐标为4时，求点P 的坐标；（2）若Q 是抛物线C 上的动点，当||PQ 取最小值时，求点Q 的坐标及直线l 的方程．21．（本小题满分12分）已知函数()e e (1)−=−−+xxf x a a x (a ∈R ).（其中常数e=2.718 28⋅⋅⋅，是自然对数的底数）.（1）求函数()f x 的极值点；（2）若对于任意01<<a ，关于x 的不等式21[()](e )λ−<−a f x a 在区间(1,)−+∞a 上存在实数解，求实数λ的取值范围.22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,sin ,αα=⎧⎨=⎩x y （α为参数），圆2C 的方程为22(2)4x y −+=，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为0θθ=(0)ρ≥．（1）求曲线1C 和圆2C 的极坐标方程； （2）当0π02θ<<时，射线l 与曲线1C 和圆2C 分别交于异于点O 的M 、N 两点，若||2||ON OM =，求△2MC N 的面积．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数1()||||(1)f x x m x m m=−++>． （1）当2m =时，求不等式()3f x >的解集； （2）证明：1()3(1)f x m m +≥−．2019年深圳市高三第二次调研考试理科数学试题答案及评分参考第Ⅰ卷一．选择题1.A2.C3.D4.A5.B6.D7.A8.C9.A 10.C 11.B 12. B 二．填空题：13.214. 2213x y −= 15. 72 16. 100911. 解析：π()3sin cos 2sin()6f x x x x =+=+ωωω，x R ∈，令π6t x =+ω，()2sin f x t =. 若函数()f x 恰有一个最大值点和一个最小值点在区间ππ[,]43−上， 也即函数2sin y t =恰有一个最大值点和一个最小值点在区间ππππ[,]4636−++ωω上， ∴3ππππ,2462πππ3π,2362⎧−<−+≤−⎪⎪⎨⎪≤+<⎪⎩ωω，解得820,3314,⎧≤<⎪⎨⎪≤<⎩ωω，即843≤<ω， ∴ω的取值范围为8[,4)3，故应选B ．12. 解析：（法一）补成长，宽，高分别为3,2,1的长方体(如下图)， 由于EF α⊥，故截面为平行四边形MNKL ，可得5KL KN +=， 设异面直线BC 与AD 所成的角为θ，则sin sin sin HFB LKN θ=∠=∠， 算得26sin θ=，∴sin MNKL S NK KL NKL =⋅⋅∠四边形2266()2NK KL +≤=， 当且仅当NK KL =时取等号，故应选B ．（法二）()12FE AD FA FD AD ⋅=+⋅uur uuu r uu r uu u r uuu r ()14BA CA BD CD AD =+++⋅uu r uu r uu ur uu u r uuu r()()104BA AD CD AD CA AD BD AD ⎡⎤=⋅+⋅+⋅+⋅=⎣⎦uu r uuur uu u r uuu r uu r uuu r uu u r uuu r∴EF AD ⊥，同理可得EF BC ⊥，设异面直线BC 与AD 所成的角为θ，则sin sin sin HFB LKN θ=∠=∠，()321BC AD BA AC AD BA AD AC AD ⋅=+⋅=⋅+⋅=−+=−uu u r uuu r uu r uuu r uuu r uu r uuu r uuu r uuu rQ ，∴1cos ,5||||BC AD BC AD BC AD ⋅<>==−⋅uu u r uuu ruu u r uuu r uu u r uuu r ，sin ,sin BC AD θ∴<>==uu u r uuu r即sin NKL ∠=同法一可得sin MNKL S NK KL NKL =⋅⋅∠≤四边形， 当且仅当NK KL =时取等号，故应选B ． 16.解析：1122n n n n n S S S S na −−+−=，∴11122()n n n n n n S S S S n S S −−−+−=−， ∴112(21)(21)n n n n S S n S n S −−=+−−， ∴121212n n n n S S −+−−=， 令21n nn b S +=，则12n n b b −−=（2n ≥）， ∴数列{}n b 是以111331b S a ===为首项，公差2d =的等差数列， ∴21n b n =−，即2121n n n S +=−，∴2121n n S n +=−， ∴12521321321m m S S S m m +⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯=+−， 由212019m +≥，解得1009m ≥，即正整数m 的最小值为1009，故应填1009． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知△ABC中，AB =，AC =点D 在边AC 上，且2=AD CD ，2∠=∠ABD CBD ． （1）求ABC ∠的大小； （2）求△ABC 的面积．解：（1）(法一)依题意设22θ∠=∠=ABD CBD ， ∵2=AD CD，AC =∴AD =，3CD =， …………………………………………2分 在△BAD 中，由正弦定理，可得sin sin AB ADADB ABD=∠∠ ，∴sin sin AB ABD ADB AD ∠∠==， ……………………………………4分同理，在△BCD 中，由正弦定理，可得sin sin BC CBD BDC CD ∠∠== ， ……………………………………6分∵πBDC BDA ∠+∠=，∴sin sin ∠=∠BDC BDA ，=∵AB =cos sin θθθ=， ∵0πθ<<，∴sin 0θ>，∴cos 2θ=，∴π4θ=， ∴3π34BC BC =+−⋅， 解得2BC =， …………………………………………………………10分∴213πsin3sin 224ABC S AB BC θ∆=⋅⋅==. …………………………………12分 (法二)2=AD CD ，∴12==BDC BDASCD SAD ，……………………………………2分 1sin 2BDC S BC BD θ∆=⋅⋅，1sin 22BDA S AB BD θ∆=⋅⋅，且AB =， 4ABC θ∠==. ……………………………………………………8分 （2）在△ABC 中，由余弦定理，得2222cos3AC AB AC AB BC θ=+−⋅， ∴2223π)cos∴2cos 2θ=，即4πθ=，∴334πθ∠=∠+∠==ABC ABD CBD 4ABCD E F ABAD CE CF DFC BCE B D P PAP AECF −EF PC ⊥PEC EFAC EF O AB BC ⊥AD CD ⊥PC PE⊥，…………………7分PC PF⊥，PE PF P =，设点PC ∴⊥到平面PEF 的距离为EF ⊂，EF PC ∴⊥，EF，解得AC EF⊥，…………………9分BE DF =OPE PF=O EF EF PO∴⊥AC EF⊥PO（第18题图）BE DF=OPE PF=O EFEF PO∴⊥AC EF⊥πθ∠=∠+∠==ABC ABD CBD ， ……………………………………8分 (以下同法一)【说明】本题主要考察正弦定理，余弦定理，二倍角公式及三角形面积计算公式等知识，意在考察考生数形结合、转化与化归思想，考察了学生的逻辑推理，数学运算等核心素养． 18．（本小题满分12分）在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别为边AB 、AD 的中点，以CE ，CF 为折痕将△DFC 和△BCE 折起，使点B 、D 重合于点P ，连结PA ，得到如图所示的四棱锥P AECF −．（1）求证：EF PC ⊥；（2）求直线PA 与平面PEC 所成角的正弦值． 解析：（1）(法一)证明：连结EF ， 记AC 与EF 的交点为O ，在正方形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥， 翻折后PC PE ⊥，PC PF ⊥，……………………3分 又PE PF P =，PC ∴⊥平面PEF ，……………4分EF ⊂平面PEF ，EF PC ∴⊥；………………………5分(法二)证明：连结EF ，记AC 与EF 的交点为O ，在正方形ABCD 中，AC EF ⊥，BE DF =，O 为EF 的中点，翻折后，PE PF =，……………2分 O 是EF 的中点，EF PO ∴⊥， 而AC EF ⊥，PO 与AC 相交于O 点，EF ∴⊥平面PAC ，………………………4分又PC ⊂平面PAC ，EF PC ∴⊥；………………………5分 （2）(法一)由（1）可知△OPC 为直角三角形，2OP =，4PC =，32OC =， 设P 到AC的距离为h ，2432h ⋅=⋅，在Rt △POC 中，1cos 3PO POC OC ∠==，1cos 3POA ∴∠=−， 在△POA 中，222482cos 9PA OA OP OP OA POA =+−⋅⋅⋅∠=，PA ∴=PA 与平面PEC 所成角为θ，………………………10分sin h PA θ'∴==，………………………11分 ∴直线PA 与平面PEC所成角的正弦值为3．………………………12分 (法二)连结AC ，AC 与EF 交于O 点，以OA ，OE 所在的直线分别为x ，y 轴，过O 作垂直于面ABCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意有A，(C −，E ，………………………6分 过P 作PG AC ⊥，在Rt POC ∆中，OP =4PC =，OC = OP PC OC PG ∴⋅=⋅， 43PG ∴=，3OG ==，4(0)33P ∴−，，…………………8分 44()3PA ∴=−，24()24()33PF =−，…………………10分 设PA 与平面33PE =−所成角为C E =，则2PF PE ==，………………11分∴直线PA 与平面PEC 所成角的正弦值为3．……………………12分思路2：设平面22EF =的法向量为∴，PC P=3PE =−，CE =， 思路1：2PF PE ==，EF =∴PF PE ⊥，…………………9分显然PF PC ⊥，又PEPC P =，∴PF ⊥平面PEC ，易知(0,F ，∴平面PEC 的一个法向量CE PE ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩n n，04033x z ⎧+=∴+−=⎩， 取1x =，则3y =−，z =−则(1,3,=−−n ，………………………10分 设PA 与平面PEC 所成角为θ，则||sin ||||PA PA θ⋅==⋅n n ，………………11分 ∴直线PA 与平面PEC 所成角的正弦值为11021()()27.54ˆ10.202.70()iii ii y y u u du u ==−−−===−−∑∑， 月销售量/千件月售价/元108162018041221462461210••••••••••C3．……………………12分 【说明】本题以翻折问题为载体考察空间中点，线，面的位置关系，异面直线垂直的判定，直线与平面所成角等知识，意在考察考生的空间想象能力，逻辑推理能力以及运算求解能力． 19．（本小题满分12分）某网店销售某种商品，为了解该商品的月销量y （单位：千件）与月售价x （单位：元/件）之间的关系，对近几年的月销售量i y 和月销售价i x (1,2,3,,10)i =数据进行了统计分析，得到了下面的散点图：（1）根据散点图判断，ln y c d x =+ 与y bx a =+哪一个更适宜作为月销量y 关于月销售价x 的回归方程类型？（给出判断即可，不需说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程； （2）利用（1）中的结果回答问题：已知该商品的月销售额为z （单位：千元），当月销售量为何值时，商品的月销售额预报值最大？解：（1）ln y c d x =+更适宜销量y 关于月销售价x 的回归方程类型．……1分 令ln u x =，先建立y 关于u 的线性回归方程，由于10122y x =+，…………1分 联立24,12,2x y y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得2,1,x y =−⎧⎨=⎩，或4,4,x y =⎧⎨=⎩，(2,1)B ∴−，………………2分 由24x y =得2x y '=，所以2PA k =，直线PA 方程为24y x =−，…………3分同理可得直线PB 方程为1y x =−−，………………………4分 联立241=−⎧⎨=−−⎩y x y x ，可得12=⎧⎨=−⎩x y ，故点P 的坐标为(1,2)−. …………………5分（2）（法一）设11(,)4x A x ，22(,)4x B x ，由24x y =，2x y '=，所以12PA x k =，所以直线PA 的方程为2111()42x x y x x −=−，即21124x x y x =−，…………6分 ˆˆ 6.610.20 1.7524.45cy du =−=+⨯=， ………………………4分 所以y 关于u 的线性回归方程为ˆ24.4510.20yu =−， 因此y 关于x 的回归方程为ˆ24.4510.20ln yx =−. ………………………6分 （2）依题意得：(24.4510.20ln )z xy x x ==−， ………………………7分[(24.4510.20ln )]14.2510.20ln z xy x x x ''==−=−， ………………………8分令0z '=，即14.2510.20ln 0x −=，解得ln 1.40x ≈，所以 4.06x ≈， ………………………10分 当时(0,4.06)x ∈，z 递增，当(4.06,)x ∈+∞时，z 递减，故当 4.06x =，即月销售量10.17=y （千件）时，月销售额预报值最大. ……12分【命题意图】本题考查线性回归方程的知识和应用，通过散点图判断变量之间的关系建立回归模型，通过利用线性回归方程求非线性回归方程，通过建立函数模型利用导数求最大销售额问题．综合考查概率统计知识分析处理数据，解决实际问题的能力． 20．（本小题满分12分）已知抛物线2:4C x y =，过点(2,3)的直线l 交C 于A 、B 两点，抛物线C 在点A 、B 处的切线交于点P ．（1）当点A 的横坐标为4时，求点P 的坐标；（2）设Q 是抛物线C 上的动点，当||PQ 取最小值时，求点Q 的坐标及直线l 的方程． 解：（1）点A 的横坐标为4，(4,4)A ∴，易知此时直线l 的方程为同理PB 的方程为22224x x y x =−，联立解得1212(,)24x x x x P +，……………7分依题意直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为3(2)y k x −=−，由24,3(2),x y y k x ⎧=⎨−=−⎩得248120x kx k −+−=， 易知0∆>，因此124x x k +=，12812x x k =−，∴(2,23)P k k −，………………………8分∴点P 在直线1:30l x y −−=上，当||PQ 取最小值时，即抛物线2:4C x y =上的动点Q 到直线1l 的距离最小，…………………9分设200(,)4x Q x ，则Q 到1l的距离2220000|3||(1)2|(1)x x x x d 3,30,y x x y =−+⎧⎨−−=⎩解得(3,0)P ，32k =，∴直线l 的方程为32y x =，综上，点Q 的坐标为(2,1)，直线l 的方程为32y x =．…………12分 （法二）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)P x y ，由24x y =，2xy '=，∴12PA x k =，直线PA 的方程为111()2x y y x x −=−，即112x y x y =−，同理PB 的方程为222x y x y =−，………………………7分 因为点P 在切线，PB 上，∴∴，∴11(,)A x y ，22(,)B x y 在直线02x =上，∴直线d 的方程为02x =，………………………8分又直线d 的过点2，∴(2,1)Q ，即点P 在直线1:30l x y −−=上．………………………9分−−−+−===，…………10分 ∴当02x =时，d ，此时(2,1)Q ，………………………11分易知过点Q 且垂直于1l 的直线方程为3y x =−+，由以下同法一．（法三）设00(,)P x y ，显然两条切线的斜率均存在，可设过点P 与C 相切的直线方程为00()y y k x x −=−，且切线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ， 把00()y y k x x −=−与24x y =联立，并化简得，2004440x kx kx y −+−=，∴200(4)4(44)0k kx y ∆=−−=，即2000k x k y −+=，∴1k ，2k 是方程2000k x k y −+=的两根，120k k x +=，120k k y =，………………7分此时2004440x kx kx y −+−=的两根为12x k =或22x k =，即为切点A ，B 的横坐标，∴211(2,)A k k ，222(2,)B k k ，22211221222l k k k k k k k −+==−， 直线l 的方程为21211(2)2k k y k x k +−=−，即12122k k−−−'=+−+=x x xxxa f x a a ，…………………………………1分 ①当0≤a 时，∴函数()f x 的极小值点为0=x ，无极大值点； …………………………………………2分②当01<<a 时，y x k k +=−，…………8分 又直线l 过点(2,3)M ，则1212=3k k k k +−，即00=3x y −，∴点P 在直线1:30l x y −−=上．………………………9分以下同法一．【说明】本题以直线与抛物线为载体，及其几何关系为背景，利用方程思想解决几何问题，主要考察抛物线的切点弦，直线与抛物线的位置关系等知识，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力. 21．（本小题满分12分）已知函数()e e(1)−=−−+xxf x a a x (a ∈R ).（其中常数e=2.718 28⋅⋅⋅，是自然对数的底数）（1）求函数()f x 的极值点；（2）若对于任意01<<a ，关于x 的不等式21[()](e )λ−<−a f x a 在区间(1,)−+∞a 上存在实数解，求实数λ的取值范围.解：（1）易知(e 1)(e )()e e (1)e∴函数的极大值点为，极小值点为；………………………………………3分③当1=a 时，2(e 1)()0e−'=≥x xf x 1()1'=−g a a，当01<<a 时，()0'>g a ， ∴()(1)0<=g a g ，即1ln −>a a ，显然10−<a ，∴ln 10<−<a a ， ……………………………………………6分∴由（1）可知当01<<a 时，()f x 在区间(1,0)−a 上递减，在区间(0,)+∞上递增，∴()f x 在区间(1,)−+∞a 上的最小值为(0)1=−f a ，关于x 的不等式21[()](e)λ−<−a f x a 在区间(1,)−+∞a 上存在实数解，∴只需当01<<a 时，关于a 的不等式21(1)(e )λ−−<−a a a 恒成立，……………………8分由上易知当01<<a 时，1e0−−>a a ，， ∴函数()f x 单调递增，即()f x 无极值点； ……………………………………………4分④当1>a 时，∴5分综上所述，当0≤a 时，函数()f x 的极小值点为0=x ，无极大值点； 当01<<a 时，函数()f x 的极大值点为ln =x a ，极小值点为0=x ； 当1=a 时，函数()f x 无极值点；当1>a 时，函数()f x 的极大值点为0=x ，极小值点为ln =x a .（2）以下需多次引用到如下不等式：e 1xx ≥+，当且仅当0=x 时取等号，证明略. 注意到当01<<a 时，有ln 10<−<a a . (法一)当01<<a 时，1e11−>+−=a a a ，∴ln 10<−<a a ， ……………6分(法二) 令()ln 1=−+g a a a ，则∴只需当01<<a 时，不等式21(1)e λ−−>−a a a恒成立即可，……………………………………9分 令函数21(1)()e −−=−x x F x x ，01≤<x ，则1112(1)(3e e 1)()(e )−−−−−−−'=−x x x x x x F x x ()Gx 01≤<x 1()(2)e 1−'=−−x G x x 01<<x 1e 2−>−x x ∴1(2)e 1−−<x x ()Gx ()0<G x ()(1)0>=G x G ()Gx ∴()0>G x 1()(3)e −=−x u x x 1()(2)e 0−'=−>x u x x (1)1'=u (1)2=u 1e 2−>−x x (1,2)T21−=−y x 1y x =+∴当01<<a 时，不等式1(3)e 1−−≥+x x x 恒成立，只需1=x ，综上，实数()0'<F x 的取值范围为()(0)e <=F x F . …………………………………………………………………12分 【命题意图】 本题以基本初等函数、不等式问题为载体，考查学生利用导数分析、解决问题的能力，分类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有一定综合性. 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系()e <F x 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,sin ,αα=⎧⎨=⎩x y （α为参数），圆2C 的方程为22(2)4x y −+=，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为0θθ=(0)ρ≥． （1）求曲线1C 和圆2C 的极坐标方程；x ， (法一)令函数11()3e e 1−−=−−−x x G x x x ，01≤<x ，则1()(2)e 1−'=−−x G x x ， 当01<<x 时，1e 2−>−x x ，∴1(2)e 1−−<x x ，∴()0'<G x ， ∴()(1)0>=G x G ，即()0>G x ，……………………………………………………………11分(法二)令函数1()(3)e−=−x u x x ，01≤<x ，则1()(2)e 0−'=−>x ux x ，∴(1)1'=u ，又(1)2=u ， ∴函数1()(3)e −=−x u x x 在点(1,2)T 处的切线方程为21−=−y x ，即1y x =+，如图所示，易知1(3)e 1−−≥+x x x ，当且仅当1=x 时取等号， ∴当01<<x 时，()0>G x ，………………11分∴当01<<x 时，()0'<F x ， ∴()(0)e <=Fx F ，即()e <F x ，（2）当0π02θ<<时，射线l 与曲线1C 和圆2C 分别交于异于点O 的M 、N 两点，若||2||ON OM =，求△2MC N 的面积．解：（1）由2cos ,sin αα=⎧⎨=⎩x y ，得1C 的普通方程为2214x y +=，…………………………………1分把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得22(cos )(sin )14ρθρθ+=，即222244cos 4sin 13sin ρθθθ==++， 所以1C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+；………………………………………………………3分 由22(2)4x y −+=，把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得4cos ρθ=，所以2C 的极坐标方程为4cos ρθ=； …………………………………………………………5分（2）把0θθ=代入22413sin ρθ=+，得22016(4cos )13sin θθ=+，解得， ………………………7分 202sin 3θ=，201cos 3θ=，又0π02θ<<，所以3ρ=M，04cos 3ρθ==N ， …………………8分 所以△2MC N 的面积222∆∆∆=−MC N C N C M O O S S S2011||()sin 222ρρθ=−⋅=⨯N M OC ． ……………………10分 【说明】本题主要考查了椭圆，圆的极坐标方程与直角坐标方程以及参数方程的互化、极坐标的几何意义与应用等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．考察考生的化归与转化能力．23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数1()||||(1)f x x m x m m=−++>． （1）当2m =时，求不等式()3f x >的解集；413sin ρθ=+M， 把0θθ=代入4cos ρθ=，得04cos ρθ=N ， ………………………6分 由||2||ON OM =，得2N M ρρ=，即224N M ρρ=， 即202（2）证明：1()3(1)f x m m +≥−．解：（1）当2m =时，1()|2|||2f x x x =−++， ………………………1分 ①当12x ≤−时，原不等式等价于1(2)()32x x −−+>，解得34x <−， ……………2分 ②当122x −<<时，原不等式等价于532>，不等式无解，……………3分 ③当2x ≥时，原不等式等价于()12+32x x ⎛⎫−+> ⎪⎝⎭，解得94x >， ………………4分 综上，不等式()3f x >的解集为39(,)(,)44−∞−+∞； ………………5分 （2）由题11()||||||f x x m x m m m=−++≥+， ………………………6分 0m >，11||m m m m∴+=+， 1()f x m m ∴≥+， 当且仅当1,x m m ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦时等号成立． ………………7分 11111()(1)1(1)(1)11f x m m m m m m m m m m ∴+≥++=+=−++−−−−，1m >，10m ∴−>，1(1)1131m m ∴−++≥+=−，…………………9分 1()3(1)f x m m ∴+≥−，当2m =，且1[,2]2x ∈−时等号成立．…………………………10分【说明】本题主要考查绝对值三角不等式以及不等式的解法，分段函数，基本不等式等知识点，重点考查分类讨论，数形结合的思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．。