人教版高中数学选修一第三单元《圆锥曲线的方程》检测卷(包含答案解析)
一、填空题1．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率e A B =、分别是椭圆的左、右顶点，点P 是椭圆上的一点，直线PA PB 、的倾斜角分别为αβ、，满足tan tan 1αβ+=，则直线PA 的斜率为__________.2．设直线l :1y x =+与椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，与x 轴相交于左焦点F ，且3AF FB =，则椭圆的离心率e =_________3．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为F ，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若||3||PF QF =，且120PFQ ∠=，则椭圆E 的离心率为__.4．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与圆2222:,C x y b +=若在椭圆1C 上存在点P ，过P 作圆的切线PA ，PB ，切点为A ，B 使得,3BPA π∠=则椭圆1C 的离心率的取值范围是_____.5．已知O 为坐标原点，点(1,2)P 在抛物线C ：24y x =上，过点P 作两直线分别交抛物线C 于点A ，B ，若0PA PB k k +=，则AB OP k k ⋅的值为______.6．已知椭圆的方程为2212516x y +=，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，A 点的坐标为(2,1)，P 为椭圆上一点，则2||||PA PF +的最大值是___________.7．已知()1,0F c -，()()2,00F c c >分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左右焦点，过2F 作x 轴的垂线，与双曲线C 交于A ，B 两点，点M 为1ABF 外接圆的圆心，点M 到直线1AF 的距离为23c，则双曲线C 的离心率为______． 8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()3,0F ，且离心率为35，ABC 的三个顶点都在椭圆C 上，设ABC 三条边AB BC AC 、、的中点分别为D E M 、、，且三条边所在直线的斜率分别为123k k k 、、，且123k k k 、、均不为0．O 为坐标原点，若直线OD OE OM 、、的斜率之和为1.则123111k k k ++=________. 9．如图所示，已知A ､B ､C 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>上的三点，BC 过椭圆的中心O ，且,2AC BC BC AC⊥=.则椭圆的离心率为_______.10．已知直线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>)相交于不同的两点A ，B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足3AF BF =，OA b =(O 为坐标原点)，则双曲线C 的离心率为__________.11．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若222AF F C =，则椭圆的离心率为__________.12．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且||3||PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值是________.13．已知抛物线方程为24y x =-，直线l 的方程为240x y +-=，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，点A 到直线l 的距离为n ，则m n +的最小值为______.二、解答题14．已知A ，B 分别为椭圆2222:+=1(>>0)x y E a b a b的左右项点，G 为E 的上顶点，直线AG ，BG 的斜率之积为34-，且点3(1,)2P 在椭圆上． （1）求椭圆E 的方程；（2）过点(1,0)F 的直线l 交椭圆E 于C ，D 两点，交直线=4x 点Q ．设直线,,PC PD PQ的斜率分别为123,,.k k k 问：是否存在常数λ，使得123+=k k k λ？若存在求λ的值；若不存在，说明理由．15．已知椭圆E 中心为坐标原点，一个焦点为()1,0且与直线7y x =+有公共点. （1）求椭圆E 长轴最短时的标准方程；（2）在（1）的条件下，若椭圆E 上存在不同两点关于直线4y x m =+对称，求实数m 的取值范围.16．已知椭圆()222210x y C a b a b ∴+=>>的离心率22e =，左焦点为1F ，右焦点为2F ，且椭圆上一动点M 到2F 的最远距离为 21，过2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 的斜率存在且不为0时，试问x 轴上是否存在一点P 使得OPA OPB ∠=∠，若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由.17．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率12e =.（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 是椭圆C 上的两个动点，O 是坐标原点，若OA OB ⊥，证明：直线AB l 与以原点为圆心的某个定圆相切，并求这个定圆.18．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）O 是坐标原点，过椭圆的右焦点F 直线1l 交椭圆于P ，Q 两点，求OPQ △的最大值．19．已知椭圆()2222 :?10x y C a b a b +=>>的离心率e =，原点到过点(),0A a ，()0,B b -.（1）求椭圆C 的方程；（2）如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点E ，F ，且E ，F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值.20．已知抛物线22(0)y px p =>，其准线方程为10x +=，直线l 过点(,0)(0)T t t >且与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点. （1）求抛物线方程；（2）证明：OA OB ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关；（3）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式.21．已知椭圆()222210y x a b a b +=>>的离心率2e =，且过点(0,．（1）求椭圆方程；（2）已知1F 、2F 为椭圆的上、下两个焦点，AB 是过焦点1F 的一条动弦，求2ABF 面积的最大值．22．如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 上顶点为A ，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且1F 恰是2QF 的中点，若过A ，Q ，2F 三点的圆与直线:30l x --=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 为椭圆C 的长轴两端点，直线m 过点()4,0P 交C 于不同两点G ，H ，证明：四边形MNHG 的对角线交点在定直线上，并求出定直线方程．23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点61,2⎛ ⎝⎭，左、右焦点分别1F 、2F ，椭圆的四个顶点围成的菱形面积为2 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设Q 是椭圆C 上不在x 轴上的一个动点，O 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行线交椭圆于M 、N 两点，求2MN OQ的值．24．已知椭圆C ：22142x y +=.（1）求椭圆的离心率.（2）已知点A 是椭圆C 的左顶点，过点A 作斜率为1的直线m ，求直线m 与椭圆C 的另一个交点B 的坐标.（3）已知点(0,22M ，P 是椭圆C 上的动点，求PM 的最大值及相应点P 的坐标.25．已知命题p ：()()22210t a t a a t --+-<∈R ，命题q ：方程()22113x y t t t+=∈+-R 表示焦点在x 轴上的椭圆. （1）若10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，命题p 为真命题，求实数a 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.26．已知直线l 与抛物线()2:20C y px p =>交于A ，B 两点，且点()2,4-在C 上.()1求C 的方程；()2若l 的斜率为3，且过点()1,1，求AB .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、填空题1．或【分析】设出点坐标求得的表达式求得代入直线的斜率公式可得答案【详解】依题意设则即化简得由于是椭圆的左右顶点所以所以所以所以或所以当时当时所以直线的斜率为或故答案为：或【点睛】本小题主要考查椭圆的几解析：2或12- 【分析】设出P 点坐标，求得tan +tan αβ的表达式，求得00x y ，，代入直线的斜率公式可得答案. 【详解】依题意1,222c b a b a a ====.设()()000,0P x y x ≠，则2200221x y a b +=，即22002214x y a a +=，化简得222004y x a -=-. 由于,A B 是椭圆的左右顶点，所以()(),0,,0A a B a -，所以tan +tan αβ0000+y y x a x a =+-0000022200022142x y x y xx ay y ===-=--，所以002x y =-，所以0024x a y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0024x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以当00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，tanα002y x a ===+当00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，0012y x a --===+，所以直线PA的斜率为2或12，. 【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，直线的斜率公式，关键在于求得点P 的坐标，属于中档2．【分析】设联立方程组可得由可得进而可得再由椭圆的焦点坐标可得即可得解【详解】设将直线:代入椭圆方程消去x 化简得所以又所以所以所以化简得又直线:过椭圆的左焦点所以所以所以或（舍去）所以椭圆离心率故答案【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组可得12y y +、12y y ，由3AF FB =可得123y y =-，进而可得()()2222240a ab a b +-+=，再由椭圆的焦点坐标可得a ，即可得解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，将直线l :1y x =+代入椭圆方程，消去x 化简得222222()2(1)0a b y b y b a +-+-=，所以222121222222(1),b b a y y y y a b a b-+==++， 又3AF FB =，所以123y y =-，所以222222b y a b -=+，222222(1)3b a y a b --=+，所以22222222(1)3b b a a b a b ⎛⎫---= ⎪++⎝⎭，化简得()()2222240a a b a b +-+=， 又直线l :1y x =+过椭圆C 的左焦点F ， 所以()1,0F -，所以2221a b c -==， 所以22a =或21a =（舍去），所以a =2c e a ==.故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化3AF FB =为123y y =-，再结合韦达定理即可得解.3．【分析】取椭圆的右焦点由直线过原点及椭圆的对称性可得四边形为平行四边形由及椭圆的性质可得余弦定理可得离心率的值【详解】取椭圆的右焦点连接由椭圆的对称性可得四边形为平行四边形则而所以所以在中解得：故答解析：4【分析】取椭圆的右焦点F '，由直线l 过原点及椭圆的对称性可得四边形PFQF '为平行四边形，由||3||PF QF =及椭圆的性质可得2a PF '=，32a PF =，120PFQ ∠=︒余弦定理可得离心率 的值. 【详解】取椭圆的右焦点F '，连接QF '，PF '，由椭圆的对称性，可得四边形PFQF '为平行四边形，则PF QF '=，180********FPF PFQ ∠='=-∠-=，||3||PF QF =3||PF '=，而||||2PF PF a '+=，所以2a PF '=，所以32aPF =， 在PFF '中，2222222914||||58144cos 32332222a a c PF PF FF FPF e a PF PF a +-+-∠===-''''=⨯⨯，解得：7e = 7. 【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中,由椭圆的对称性以及椭圆的定义得到2a PF '=，所以32a PF =，然后在PFF '中，根据余弦定理得到所要求的等量关系.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．4．【分析】根据得到得到根据得结合可解得结果【详解】因为所以（为坐标原点）所以因为所以所以又所以即所以又所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率的取值范围解题关键是找到关于的不等关系本题 解析：312e ≤< 【分析】根据,3BPA π∠=得到6BPO π∠=得到||2OP b =，根据||b OP a <≤得2b a ≤，结合222b a c =-可解得结果. 【详解】因为3BPA π∠=，所以6BPO π∠=（O 为坐标原点），所以||2||2OP OB b ==，因为||b OP a <≤，所以2b a ≤，所以2240a b -≥，又222b a c =-，所以222430a a c -+≥，即2234a c ≤，所以c e a =≥，又01e <<，1e ≤<.1e ≤< 【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率的取值范围，解题关键是找到关于,,a b c 的不等关系．本题中根据圆的切线的夹角求出||2||2OP OB b ==，根据||b OP a <≤得到所要求的不等关系.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．5．－2【分析】可先设由斜率的定义表示出结合抛物线方程进行坐标代换全部代换成关于纵坐标的表达式通过即可求解【详解】设则同理∵∴得∴又∴故答案为－2【点睛】本题考查抛物线的几何性质设而不求方法的具体应用运解析：－2 【分析】可先设()11,A x y ，()22,B x y ，由斜率的定义表示出AB k ，PA k ，PB k ，结合抛物线方程进行坐标代换，全部代换成关于纵坐标的表达式，通过0PA PB k k +=即可求解 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则212122212112444AB y y y y k y y x x y y --===-+-.1121112241214PA y y k y x y --===-+-，同理242PB k y =+. ∵0PA PB k k +=，∴1244022y y +=++，得124y y +=-. ∴414AB k ==--.又221OP k ==，∴122AB OP k k ⋅=-⨯=-. 故答案为－2 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，设而不求方法的具体应用，运算能力，属于中档题6．【分析】本题先根据已知求出再求最后转化即可解题【详解】解：∵椭圆的方程为∴则∵∴∵∴故答案为：【点睛】本题考查椭圆上点到焦点与定点距离的和的最值椭圆的标准方程求是中档题解析：10+【分析】本题先根据已知求出2a 、c ，再求1||AF 、12||||10PF PF +=，最后转化2||||PA PF +即可解题. 【详解】解：∵椭圆的方程为2212516x y +=，∴225a =，2229c a b =-=，则210a =，3c =，∵(2,1)A ，1(3,0)F -，∴1||AF ==∵12||||210PF PF a +==，∴211||||10||||10||10PA PF PA PF AF +=+-≤+=故答案为：10+【点睛】本题考查椭圆上点到焦点与定点距离的和的最值、椭圆的标准方程求a ，b ，c ，是中档题.7．【分析】求出两点坐标由对称性设求出再由点为到直线距离公式（可先得出直线的方程）列出关于的等式变形后可求得离心率【详解】把代入双曲线的方程可求得可知点的坐标为点的坐标为由双曲线的对称可知点在轴上设点的【分析】求出,A B 两点坐标，由对称性设(,0)M m ，求出m ，再由点为到直线距离公式（可先得出直线1AF 的方程）列出关于,,a b c 的等式，变形后可求得离心率e ． 【详解】把x c =代入双曲线C 的方程可求得2b y a =±，可知点A 的坐标为2,b c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点B 的坐标为2,b c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．由双曲线的对称可知点M 在x 轴上，设点M 的坐标为()0m ,，所以直线1AF 的斜率为2222b b c ac=，直线1AF 的方程为()22b y x c ac =+2223b m c c ac +=，①，又有m c +=422b m a c =，代入①得23c=，化简得2238b a c=，2238b a c =，()2222238b c a a c +=，()()22222238c a c a a c -+=，42238c a c -430a -=，()()2222330c a c a +-=，可得223ca =，所以e=【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是列出关于,,a b c 的方程（等式）．本题还考查了学生的运算求解能力．8．【分析】求出椭圆标准方程设用点差法求出同理有利用直线的斜率之和为1可得结论【详解】由得∴椭圆标准方程为设在椭圆上椭圆方程为则两式相减得∴即同理已知∴故答案为：【点睛】本题考查求椭圆标准方程考查圆锥曲 解析：2516-【分析】求出椭圆标准方程，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，112233(,),(,),(,)D s t E s t M s t ， 用点差法求出116125ODk k =-⋅，同理有23,k k ，利用直线OD OE OM 、、的斜率之和为1可得结论． 【详解】3c =，由35c a =得5a =，∴4b =，椭圆标准方程为2212516x y +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，112233(,),(,),(,)D s t E s t M s t ，,A B 在椭圆上，椭圆方程为221625400x y +=．则22111625400x y +=，22221625400x y +=，两式相减得，121212121625y y x x x x y y -+=-⋅-+，∴1212111212116162525y y x x sk x x y y t -+==-⋅=-⋅-+，即111125251616OD t k k s =-⋅=-，同理212516OE k k =-，312516OM k k =-， 已知1OD OE OM k k k ++=，∴1231112516k k k ++=-． 故答案为：2516-． 【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查圆锥曲线中的点差法，利用点差法可圆锥曲线弦所在直线斜率与弦中点坐标建立关系．9．【分析】由BC 关于原点的对称性所以|BC|＝2|AC|可得|OC|＝|AC|由此可得C 点的横坐标由AC ⊥BC 可求出C 点的纵坐标再由点C 在椭圆上可求得abc 的一个关系式结合椭圆中a2＝b2+c2即可求【分析】由B 、C 关于原点的对称性，所以|BC |＝2|AC |可得|OC |＝|AC |，由此可得C 点的横坐标，由AC ⊥BC 可求出C 点的纵坐标，再由点C 在椭圆上可求得a 、b 、c 的一个关系式，结合椭圆中a 2＝b 2+c 2，即可求出离心率． 【详解】由|BC |＝2|AC |可得|OC |＝|AC |，所以C 点的横坐标为2a ，设C （2a，y ）， 由AC ⊥BC ，则224a y =，又因为点C 在椭圆上，代入椭圆方程得：223a b =，所以22222213c b e a a ==-=，所以e =． 【点睛】本题考查椭圆的离心率的求解，求得点C 坐标是关键，考查逻辑推理能力和运算能力．10．【分析】设双曲线的右焦点为连结则四边形为平行四边形由双曲线的定义可得进而可得在直角三角形中有勾股定理可得答案【详解】设双曲线的右焦点为如图连结由直线与双曲线都关于原点对称可得四边形为平行四边形所以由【分析】设双曲线的右焦点为1F ,连结11,AF BF ，则四边形1AFBF 为平行四边形，由双曲线的定义可得BF a =，3AF a =，进而可得90FBA ∠=︒，在直角三角形FBA 中有勾股定理可得答案. 【详解】设双曲线的右焦点为1F ,如图连结11,AF BF由直线y kx =与双曲线都关于原点对称，可得四边形1AFBF 为平行四边形 所以1BF AF =,由双曲线的定义可得：122AF AF AF BF BF a -=-==，所以BF a =3AF a =,在BFO 中，,,OB OA b OF c BF a ====所以222222OB BFa b c OF +=+==，所以BFO 为直角三角形，即90FBA ∠=︒在直角三角形FBA 中，()2222243AB BF a b a +=+=，即223a c =所以3==ce a故答案为：3【点睛】本题考查双曲线的定义的应用，考查双曲线的几何性质，考查求双曲线的离心率，属于中档题.11．【分析】过点作轴垂直为由三角形相似得到点的坐标代入椭圆方程变形求椭圆的离心率【详解】设过点作轴垂直为代入椭圆方程得解得：故答案为：【点睛】本题考查椭圆的性质重点考查数形结合分析问题的能力本题的关键是 5 【分析】过点C 作CD x ⊥轴，垂直为D ，由三角形相似得到点C 的坐标，代入椭圆方程，变形求椭圆的离心率. 【详解】()1,0F c -，()2,0F c 设2,b A c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点C 作CD x ⊥轴，垂直为D ，122Rt AF F Rt CDF ,22112212DF FC CD AF F F AF ∴===， 22,2b C c a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得222222222441144c b c a c a a a a -+=⇒+=， 解得：5c e a ==.5【点睛】本题考查椭圆的性质，重点考查数形结合分析问题的能力，本题的关键是利用三角形相似求得点C 的坐标，属于中档题型.12．【分析】转化条件得点则利用基本不等式即可得解【详解】由题意可知点设由可得则点当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】本题考查了抛物线的性质平面向量的应用以及基本不等式的应用属于中档题 3【分析】转化条件得点2003,884y y p M p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则001322OM k y p y p=+，利用基本不等式即可得解. 【详解】由题意可知点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0p >， 设()2000,02y P y y p ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由||3||PM MF =可得4PF MF =， 则200,884y y p MF p ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴点2003,884y y p M p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,∴2143332288OMykypypy pp==≤=++，当且仅当0322ypy p=时等号成立.【点睛】本题考查了抛物线的性质、平面向量的应用以及基本不等式的应用，属于中档题. 13．【分析】过点作直线的垂线垂足为过点作准线的垂线垂足为交轴于点根据抛物线的定义可知所以过点作直线的垂线垂足为当点在与抛物线的交点时最小从而可求出答案【详解】如图焦点为抛物线的准线方程为过点作直线的垂线解析：15-【分析】过点A作直线l的垂线，垂足为H，过点A作准线的垂线，垂足为C，交y轴于点B，根据抛物线的定义可知，1AF AC m==+，所以1m n AF AH+=+-，过点F作直线l的垂线，垂足为1H，当点A在1FH与抛物线的交点时，AF AH+最小，从而可求出答案.【详解】如图，焦点为()1,0F-，抛物线的准线方程为1x=，过点A作直线l的垂线，垂足为H，则AH n=，过点A作准线的垂线，垂足为C，交y轴于点B，则AB m=，1AC m=+，根据抛物线的定义可知，1AF AC m==+，所以1m n AF AH+=+-，过点F作直线l的垂线，垂足为1H，则15FH==,当点A在1FH与抛物线的交点时，AF AH+最小，为1FH=，此时，m n+1.1.【点睛】本题考查抛物线的性质，考查点到直线距离公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.二、解答题14．（1）22143x y +=；（2）存在实数2λ=.【分析】（1）由椭圆方程确定A ，B ，G 的坐标，再由已知条件有22191344AG BG a b k k +⎧⋅=-⎪⎪⎨=⎪⎪⎩即可求得2a ，2b ，写出椭圆E 的方程；（2）由题意有直线l 的方程为(1)y k x =-，联立椭圆方程、设11(,)C x y ，22(,)D x y ，()4,3Q k ，结合根与系数关系有12x x +，12x x ⋅，由斜率的两点公式可证1232k k k +=，即可确定λ的值； 【详解】解：（1）由题意，(),0A a -，(),0B a ，()0,G b ，22341914AG BG a b b b k k a a ⎧⋅=⋅=-⎪⎪-⎨+=⎪⎪⎩，解得24a =，23b =， 故椭圆E 的方程为：22143x y +=．（2）存在实数2λ=满足题意；由（1）知椭圆E 的方程：2234120x y +-=， 直线l 的方程为(1)y k x =-，代入椭圆方程并整理，得2223484120()k x k x k +-+-=，设11(,)C x y ，22(,)D x y ，()4,3Q k 则有2122834k x x k +=+，212241234k x x k -⋅=+， ()()121212121233331122221111y y k x k x k k x x x x ------+=+=+----22122212122282233342241282()12131234k x x k k k k k x x x x k k-+-+=-⋅=-⋅-⋅-++-+-+22222386822412834k kk k k k--=-⋅--++21k =-， 3332222141k k k -=⋅=--，即1232k k k +=， 故存在实数2λ=满足题意． 【点睛】关键点点睛：由直线斜率关系，椭圆过定点，应用待定系数法求2a ，2b ，写出椭圆E 的方程；根据直线与椭圆关系，联立方程由根与系数关系有12x x +，12x x ⋅，再由斜率的两点公式确定123,,k k k 的数量关系.15．（1）22143x y +=；（2）⎛ ⎝⎭. 【分析】（1）首先利用对称性作点1(1,0)F -关于直线y x =+的对称点()'1,F x y ，由对称性可知11PF PF '=，利用公式'12122||||||||a PF PF PF PF =+=+，求长轴的最小值； （2）首先设椭圆上存在111(,)A x y ，22(,)B x y 关于直线4y x m =+对称，则直线AB 方程为14y x n =-+，直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系和对称关系，列式求m 的取值范围. 【详解】（1）由已知椭圆焦点1(1,0)F -，2(1,0)F ， 设点P 是椭圆E与直线y x =+ 求得1(1,0)F -关于直线y x =的对称点()'1,F x y ，则12211y x y x -⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩，解得：1x y ==，即()11F ',124F F '==则椭圆长轴长''1212122||||||||||4a PF PF PF PF F F =+=+≥=，∴椭圆长轴最短时方程为：22143x y +=（2）设椭圆上111(,)A x y ，22(,)B x y 关于直线4y x m =+对称， 则,A B 在与直线4y x m =+垂直的直线上，设为14y x n =-+， 由2214143y x n x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：221324(3)04x nx n -+-= 令0∆>，则2413n <① 又12813nx x +=，,A B 中点412(,)1313n n ，代入4y x m =+有：413n m =，代入①解得：1313m -<<故m 的取值范围是：⎛ ⎝⎭. 【点睛】思路点睛：本题第一问考查与直线有关的对称问题，当点P 在直线上运动，求点P 到两个定点的距离的最值，需注意，两定点在直线的异侧，求和的最小值，两定点在直线的同侧，求差的最大值，如果不是这样，需用对称性，进行转化.16．（1）2212x y +=；（2）存在，()2,0P .【分析】（1）由已知条件列出关于,,a b c 的方程组，解得,,a b c 即得椭圆方程；（2）假设存在，设(),0P m ，()11,A x y ，()22,B x y ，设直线方程为(1)y k x =-，代入椭圆方程应用韦达定理得1212,x x x x +，然后计算由0AP BP k k +=是关于k 的恒等式可求得m 即得．【详解】（1）22221c e a a c a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，11a cb ⎧=⎪∴=⎨⎪=⎩，2212x y ∴+=.（2）假设存在(),0P m 满足题意，设()11,A x y ，()22,B x y ，():1AB l y k x =-，()22122y k x x y ⎧=-⎨+=⎩，()2222124220k x k x k ∴+-+-=， 2122412k x x k ∴+=+，21222212k x x k -=+，11APy k x m =-，22BP y k x m =-， ()()()()1221120AP BP y x m y x m k k x m x m -+-+==--，()1221120y x y x m y y ∴+-+=，211212(1)(1)(2)0kx x kx x km x x -+--+-=，()()1212220kx x k mk x x km ∴-+++=，代入1212,x x x x +整理得24,2km k m ==，()2,0P ∴． 【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆标准方程，求直线与椭圆相交中的定点问题．求椭圆方程的关键是列出关于,,a b c 的方程组，解之即得，直线与椭圆相交问题采用“设而不求”的思想方法，即设交点为1122(,),(,)x y x y ，设直线方程(1)y k x =-，同时假设定点在在．设坐标为(,0)m ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得1212,x x x x +，并代入定点满足的条件0AP BP k k +=，由此求出参数m ，得定点坐标．17．（1）22143x y +=；（2）证明见解析；22127x y +=.【分析】（1）根据条件得出221914a b +=且12c a =，解出,a b 即可得出方程； （2）设出直线方程，联立直线与椭圆，由OA OB ⊥得0OA OB ⋅=，由此可得=. 【详解】（1）由椭圆经过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，离心率12e =得： 221914a b +=且12c a =. 解得2a =，1c=，b =所以椭圆C ：22143x y +=.（2）当直线AB l 的斜率不存在时，设直线为x m =，则由OA OB ⊥可得(),A m m ±，代入椭圆得22143m m +=，解得2127m =，则与直线AB l相切且圆心为原点的圆的半径为m =， 即圆的方程为22127x y +=； 当斜率存在时，设直线AB l 的方程为：y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程22143y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得到：()()222348430k x kbx b +++-=.所以122834kbx x k +=-+，()21224334b x x k-=+. 因为OA OB ⊥，所以12120OA OB x x y y ⋅=+=， 又因为11y kx b =+，22y kx b =+，故()()12121212x x y y x x kx b kx b +=+++()()22121210k x x kb x x b =++++=，将122834km x x k +=-+，()21224334b x x k -=+代入上式，得到： ()()2222222413803434k b k b b k k+--+=++， 去掉分母得：()()()2222224138340k b k b b k +--++=，去括号得：22712120b k --=，=又因为与直线AB l相切且圆心为原点的圆的半径r === 所以该圆方程为22127x y +=， 综上，定圆方程为22127x y +=. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.18．（1）22143x y +=；（2）32． 【分析】（1）将点代入椭圆方程，并根据离心率得到,a c 关系，代入求椭圆方程；（2）首先设直线1:1l x my =+与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并表示OPQ △的面积1212S OF y y =⨯-，代入根与系数的关系，表示面积，最后利用换元求面积最大值. 【详解】 解：（1）由12c e a ==得2a c =，所以223b c = 由点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上得22914143c c+=解得1c =，b == 所求椭圆方程为22143x y +=．（2）()0,1F ，设直线1:1l x my =+， 代入方程化简得()2234690m y my ++-=， 由韦达定理得122634m y y m -+=+，122934y y m -=+， OPQ △的面积为12||||2OF y y ⋅-，所以求ABC 的最大值即求21y y -的最大值．()()()()222121212223644434m y y y y y y m+-=+-=+．令211m t +=≥，上式可表示成21441441(31)96t t t t=+++， 196y t t=++在[)1,+∞单调递增，所以当1t =时取得最大值9，此时32OPQS=． 【点睛】思路点睛：本题考查椭圆中三角形面积的最值问题，因为面积是用纵坐标表示，所以设直线x my t =+，表示直线过x 轴一点(),0t ，其中包含斜率不存在的直线，但不包含过定点，斜率为0的直线，这样联立方程后用根与系数的关系表示面积时，比较简单.19．（1）221164x y +=；（2）4k =±. 【分析】 （1）由离心率2e =，可得2a b =，再求出直线1:B x a A y b -=，从而得d ==，解方程组可求出,a b 的值，进而可得椭圆C 的方程； （2）设()22,E x y ，()33,F x y ，EF 的中点是(),M M M x y ，再将直线()10y kx k =+≠与椭圆方程联立成方程组，消元后利用根与系数的关系可得2234214M x x k x k +-==+，21114M M y kx k=+=+，再由E ，F 都在以B 为圆心的圆上，可得20M M x ky k ++=，从而可求出k 的值 【详解】 解：（1）因为c a =222a c b -=，所以2a b =. 因为原点到直线1:B x a A y b -=的距离d ==，解得4a =，2b =.故所求椭圆C 的方程为221164x y +=.（2）由题意2211164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()22148120k x kx ++-=.可知0∆>.设()22,E x y ，()33,F x y ，EF 的中点是(),M M M x y ，则2234214M x x kx k +-==+，21114M M y kx k =+=+，因为E ，F 都在以B 为圆心的圆上，且()0,2B -，所以21M My k x +⋅=-， 所以20M M x ky k ++=.即224201414k kk k k-++=++. 又因为0k ≠，所以218k =.所以4k =±. 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是将EF 的中点(),M M M x y 坐标用含k 的式子表示，再由E ，F 都在以B 为圆心的圆上，得20M M x ky k ++=，将点M 的坐标代入可求出k 的值，考查计算能力，属于中档题20．（1）24y x =；（2）证明见解析；（3）()202t d t tt ⎧>⎪=⎨<≤⎪⎩.【分析】（1）根据准线方程可求p ，从而可求抛物线方程.（2）设直线方程为x my t =+，联立直线方程和抛物线方程，利用韦达定理可证OA OB ⋅为与m 无关的定值.（3）设(),P x y ，则可用x 表示||PT ，利用二次函数的性质可求()d t . 【详解】（1）因为准线方程为10x +=，故12p=，故2p =， 故抛物线方程为：24y x =.（2）设直线l ：x my t =+，其中m R ∈，t 为常数，设()()1122,,,A x y B x y ，由24y x x my t⎧=⎨=+⎩可得2440y my t --=，所以124y y t .而()212212124416y y O y y x x A B t t t O +=-⋅=+=-，该值与斜率无关.（3）设(),P x y ，则PT ==0x ≥.令()()2224,0S x x t x t x =--+≥，对称轴为直线2x t =- 若02t <≤，则20t -≤，则()2min 0S S t ==，故()d t t =；若2t >，则20t ->，则()()22min 2244S S t t t t =-=--=-，故()d t =所以()2,02t d t t t ⎧>⎪=⎨<≤⎪⎩.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为关于1212,x x x x +（或1212,y y y y +的形式)； （5）代入韦达定理求解.21．（1）2212y x +=；（2【分析】（1）根据离心率的值，可列出a c ，的关系式，再根据经过()0,-2点，可得出a 的值和c 的值，最后再结合222a b c =+，可算出b 的值，直接写出椭圆方程即可.（2）根据题意设出直线的方程和椭圆方程联立方程组，由根和系数的关系，再结合三角形面积公式，可把三角形面积表示成含有参数的关系式，最后根据不等式，可求得面积的最大值. 【详解】 （1）由题意，a =c e a ==得1c =，所以1b =，所以椭圆方程是2212y x +=．（2）由于直线AB 经过上焦点()0,1，设直线AB 方程为1y kx =+，联立方程组22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩将1y kx =+代入椭圆方程2212y x +=，得()222210k x kx ++-=，则222A B k x x k +=-+，212A B x x k ⋅=-+， ∴A Bx x -==21212ABF A B S F F x x =⋅-△，可知122F F =则2211122ABF S k ===≤+△．=，即0k =时，2ABF S．【点睛】椭圆与直线相交时，三角形面积问题的关键点为：设直线方程、联立方程组、韦达定理、列出三角形面积的关系式，最后根据函数或不等式，可求出三角形面积的范围.22．（1）22143x y +=；（2）证明见解析， 1x =.【分析】（1）设椭圆C 的半焦距为()0c c >，由圆的定义可求得圆的半径，再由直线与圆的相切的条件可求得c ， 2a ，2b ，可求得椭圆方程．（2）设其方程为4x my =+，设()11,H x y ，()22,G x y ，直线与椭圆的方程联立整理得()223424360my my +++=，得出根与系数的关系，表示直线MH 的方程和直线GN 的方程。
人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》检测卷(含答案)
人教A 版（2019）高中数学选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》检测卷一、单选题（本题有12小题，每小题5分，共60分）1．抛物线22y x =的准线方程是（ ）A ．18y =- B ．14y =- C ．12yD ．1y =- 2．定长为3的线段AB 的两端点在抛物线C ：2x y =上移动.设M 为线段AB 的中点，则M 到x 轴的最短距离为（ ）A ．34B ．45C ．54D ．323．双曲线22132x y -=的焦点坐标是（ ）A ．(0,1)±B ．(1,0)±C ．(0,D ．(4．双曲线22916144y x -=的渐近线方程是（ ） A ．169y x =±B ．916y x =±C ．43y x =±D ．34yx5．已知双曲线的渐近线为2y x =±，且过点(P ，则该双曲线的标准方程为（ ） A ．2214x y -=B ．22122y x -=C ．2210.5x y -=D ．2210.25x y -=6．抛物线22x y =的准线方程为（ ） A ．1y =-B ．12yC ．12x =-D ．18x =-7．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F 2F 的直线l 交C 于,A B 两点，若1AF B △的周长为C 的方程为（ ） A ．22132x y +=B ．22112x y +=C ．221128x y +=D ．221124x y +=8．双曲线2211664x y -=上一点P 到它的一个焦点的距离为7，则点P 到另一个焦点的距离等于（ ） A ．1B ．15C ．1或15D ．9或239．已知△ABC 的顶点B ､C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长为（ ）A ．2B ．C ．4D ．10．已知1F ､2F 是椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥.若12PF F △的面积为9，则b =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．511．已知抛物线方程为24y x =，直线l 的方程为40x y -+=，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为1d ，P 到直线l 的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ）A 2-B 1C 1+D 2 12．过双曲线221916x y -=的右支上的一点P 分别向圆1C ：22(5)4x y ++=和圆2C ：222(5)x y r -+=(0r >)作切线，切点分别为M 、N ，若22||||PM PN -的最小值为58，则r =（ ）A B C ．2 D ．3二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，过右焦点F C 相交于A ,B两点，若12AF FB =，则椭圆C 的离心率为________.14．已知双曲线.()2222222:10,0,x y C a b c a b a b-=>>=+，直线)y x c =+与双曲线C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，O 是坐标原点，若AOB 是锐角三角形，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是________.15．已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，点A 在E 上，且2AF OF =，若OA p =________.16．已知P 为曲线C ：x =90,4T ⎛⎫⎪⎝⎭，()3,3A ，则PT PA +的最小值为________．三、解答题（本题有6小题，共70分）17．（10分）已知抛物线2:8C x y =的弦AB 经过它的焦点F ，且16AB =.求直线AB 的方程.18．（12分）已知双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线所成的锐角为60︒且点()2,3是E 上一点．（1）求双曲线E 的标准方程；（2）若过点()1,1P 的直线l 与E 交于A ，B 两点，点P 能否为线段AB 的中点？并说明理由．19．（12分）设椭圆C ：22221x y a b+=的左、右焦点为12,F F ，过点2F 的直线l ：x -y -1=0交C于A ，B 两点，1ABF 的周长等于8. （1）求C 的标准方程； （2）求1ABF 的面积.20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，()11,0F -，()21,0F 分别是椭圆2222:1x y E a b +=的左､右焦点，P 是椭圆E 上任意一点，且12PF F △（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过2F 作直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，点()4,0M ，请问AMBM k k +的值(),AM BM k k 分别表示直线AM 与直线BM 的斜率)是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由.21．（12分）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，并且经过点()1,2A -．（1）求抛物线C 的方程；（2）过原点O 作倾斜角为45°的直线l 交抛物线C 于M ，N 两点，求FMN 的面积．22．（12分）已知双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右顶点分别是12A A 、且经过点(M ，双曲线的右焦点2F l 与双曲线交于P 、Q 两点（异于12A A 、），P 关于原点O 的对称点为S . （1）求双曲线C 的标准方程;（2）若直线1A S 与直线2A Q 相交于点T ，直线OT 与直线PQ 相交于点R ，证明：在双曲线上存在定点E ，使得RME 的面积为定值，并求出该定值.参考答案1．A 【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可的准线的方程. 【详解】由22y x =，得212x y =，所以其准线方程是18y =-.故选: A 2．C 【分析】设直线AB 的方程为y kx b =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理表示出AB 可得()229441k b k =-+，然后再利用韦达定理得到()22122922441y y k k k +=+-+再利用基本不等式可得答案. 【详解】设直线AB 的方程为y kx b =+，()11,A x y 、()22,B x y ，联立2y kx bx y =+⎧⎨=⎩得：20x kx b --=，则12x x k +=，12x x b ⋅=-，∵3AB ===，可得()229441k b k=-+，由210k +>所以()()222222121212122922222441x x y y x x k k k x x b k +++==-⋅=+=+-+ ()222293114(1)44441k k k k +=+=+-++13154244≥=-=，当且仅当()2291441k k+=+即213k +=时等号成立. 故选：C. 3．D 【分析】根据双曲线方程可得,a b ，然后根据222c a b =+可得c ，最后得出结果. 【详解】由题可知：双曲线的焦点在x 轴上，且a b ，所以222c a b c =+⇒所以双曲线的焦点坐标为( 故选：D 4．C 【分析】把双曲线方程经为标准方程，由标准方程易得渐近线方程． 【详解】双曲线标准方程为221169y x -=，渐近线方程为43y x =±．故选：C ． 5．D 【分析】由渐近线设出双曲线方程，代入点的坐标求得参数后可得． 【详解】由题意设双曲线方程为224x y k -=，因为双曲线过点(1P ，所以431k -==， 双曲线方程为2241x y -=，即2210.25x y -=． 故选：D ． 6．B 【分析】根据抛物线的标准方程求出参数p ，得出准线方程．抛物线22x y =的焦参数1p =，所以准线方程为12y ． 故选：B ． 7．A 【分析】由题意可得c a a ==222a b c =+，可求出22,a b ，从而可得椭圆方程 【详解】解：由题意可得c a a =a 1c =， 所以2222b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22132x y +=，故选：A 8．B 【分析】利用双曲线的定义即可求解. 【详解】由双曲线的方程可得：216a =，264b =，所以4,8a b ，c = 所以由点P 到它的一个焦点的距离为7， 如17PF =， 则2128PF F a P -==， 解得215PF =， 故选：B 9．D【分析】根据椭圆定义得22||||||||2AB BF AC CF a +=+=，结合椭圆方程，即可知△ABC 的周长.【详解】由椭圆方程知：2a =又22||||||||2AB BF AC CF a +=+=，22||||||BF BF CF =+，∴△ABC 的周长为4a =10．B【分析】根据12PF F △的面积以及该三角形为直角三角形可得1218PF PF ⋅=，22212||||4PF PF c +=，然后结合12||||2PF PF a +=，简单计算即可.【详解】依题意有12||||2PF PF a +=，所以2121222|||||2||4|PF PF PF PF a +⋅+=又12PF PF ⊥，1212192PF F S PF PF =⋅=△，所以1218PF PF ⋅=， 又22212||||4PF PF c +=，可得224364c a +=，即229a c -=，则3b =， 故选：B. 11．B【分析】将12d d +转化为2||1PF d +-，通过点F 到直线40x y -+=的距离求得2||1PF d +-的最小值，从而确定正确选项.【详解】点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离， 从而P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1， 故122||1d d PF d +=+-.过焦点F 作直线40x y -+=的垂线， 此时122||1d d PF d +=+-最小，此时(10)F ，，2PF d +12d d +1. 故选：B12．A【分析】求得两圆的圆心和半径，则双曲线221916x y -=的左右焦点为1(5,0)F -，2(5,0)F ，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值． 【详解】设1F 、2F 是双曲线的左、右焦点，也是1C 、2C 的圆心，∴222222121212||(|4)(|)()()4PM PN PF PF r PF PF PF PF r -=---=-++-2126()4PF PF r =++-，显然其最小值为26(25)458r ⨯+-=，r =故选：A. 13．23【分析】数形结合，使用椭圆的第二定义进行计算，得到,BE AB ，然后利用cos BE ABE AB∠=计算即可.【详解】如图，作AD 垂直右准线交右准线于点D ，作BC 垂直右准线交右准线于点C 作AE 垂直BC 于点E 由12AF FB =，设,2AF m FB m ==，则3AB m = 由2,AFFB m m AD AD e e e e====所以mBE BC AD e=-=，又直线AB 60ABE AFx ∠=∠=所以112cos 323BE ABE e ABe ∠===⇒= 故答案为：2314．)【分析】根据AOB 是锐角三角形，分两种情况进行求解，逐个求解双曲线的离心率，然后可得范围. 【详解】由于直线)y x c +6π；所以AOB 的最大内角是AOB ∠或者OAB ∠；如图，当90AOB ∠=︒时，渐近线方程为y x =±，即1b a =，离心率c e a ==当90OAB ∠=︒时，即直线)y x c +与渐近线b y x a =-垂直时，b a2c e a ===，所以当AOB 是锐角三角形时，离心率)e ∈.故答案为：).15．【分析】设()00,A x y ，进而结合抛物线的定义与已知条件得,2p A p ⎛⎫± ⎪⎝⎭，进而由OA =解得答案.【详解】解：设()00,A x y ，由题知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，2p OF =，因为2AF OF =，所以2AF p OF == 因为点A 在E 上， 所以02F x p A p +==，解得02p x =， 所以,2p A p ⎛⎫± ⎪⎝⎭，所以OA p ，解得p =故答案为：16．214【分析】曲线C 是抛物线29x y =的右半部分，T 是抛物线的焦点，作出抛物线的准线，把PT 转化为P 到准线的距离，则A 到准线的距离为所求距离和的最小值． 【详解】易知曲线C 是抛物线29x y =的右半部分，如图，因为抛物线29x y =的准线方程为94y =-， T 是抛物线的焦点，所以PT 等于P 到直线:l 94y =-的距离PM ．过A 作该直线的垂线，垂足为H ，则PT PA +PA PM =+的最小值为921344AH =+=． 故答案为：214．17．2y x =±+ 【分析】依题意设直线AB 的方程为2y kx =+，联立282x yy kx ⎧=⎨=+⎩得28160x kx --=，由16AB =结合韦达定理可得结果. 【详解】因为抛物线C ：28x y =的焦点为()0,2F ，所以设直线AB 的方程为2y kx =+.联立282x y y kx ⎧=⎨=+⎩得28160x kx --=，264640k ∆=+>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则128x x k +=.所以()()()2121212422488816AB y y kx kx k x x k =++=++++=++=+=，解得1k =±.故直线AB 的方程为2y x =±+.18．（1）2213y x -=；（2）点P 不能为线段AB 的中点，理由见解析. 【分析】（1）由渐近线夹角求得一个斜率ba，再代入点的坐标，然后可解得,a b 得双曲线方程；（2）设直线方程为()11y k x =-+（斜率不存在时另说明），与双曲线方程联立，消元后应用韦达定理，结合中点坐标公式求得k ，然后难验证直线与双曲线是否相交即可得． 【详解】解：（1）由题意知，双曲线的渐近线的倾斜角为30°或60°，即b a =当b a =E 的标准方程为222213x y a a -=，代入()2,3，无解．当b a =E 的标准方程为222213x y a a-=，代入()2,3，解得21a =． 故E 的标准方程为2213y x -=．（2）P 不能是线段AB 的中点 设交点()11,A x y ，()22,B x y ，当直线l 的斜率不存在时，直线与双曲线只有一个交点，不符合题意. 当直线l 的斜率存在时，设直线方程为()11y k x =-+，联立方程组()221113y k x y x ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩，整理得()()()(222321130k x k k x k k ------=≠，则()()()22224143130k k k k ⎡⎤∆=-+--+>⎣⎦，由()1222123k k x x k -+==-得3k =， 将3k =代入判别式()()()22224143130k k k k ⎡⎤∆=-+--+<⎣⎦， 所以满足题意的直线也不存在． 所以点P 不能为线段AB 的中点．19．（1）22143x y +=；（2. 【分析】（1）根据题意求出,a b 的值，即可求出标准方程；（2）联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理求出12y y -，进而根据1121212ABF S F F y y =⋅-代入数值即可求出结果. 【详解】（1）由题意，令0y =，则1x =，所以()21,0F ，即1c =，又因为1ABF 的周长等于8，即48a =，则2a =，所以222213b =-=，故C 的标准方程为22143x y +=；（2）联立2214310x y x y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩，消去x 得27690y y +-=，设()()1122,,,A x y B x y ，结合韦达定理121267970y y y y ⎧+=-⎪⎪⎪=-⎨⎪∆>⎪⎪⎩，则12y y -=1121211222ABF SF F y y =⋅-=⨯=. 20．（1）22143x y +=，（2）0【分析】（1）由题意可得1c =，122cb ⨯=求出b .再由222a b c =+求出2a ，从而可得椭圆方程；（2）当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 为(1)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，将直线方程代入椭圆方程化简后，利用根与系数的关系得221212228412,4343k k x x x x k k -+==++，而21211212(1)(1)4444AM BM y y k x k x k k x x x x --+=+=+----，化简再结合上式可得答案，而当直线l 与x 轴垂直时，由对称性可得答案【详解】解：（1）由题意得1c =，因为P 是椭圆E 上任意一点，且12PF F △所以122cb ⨯=b =所以222314a b c =+=+=，所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=，（2）当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 为(1)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ， 将直线(1)y k x =-代入椭圆方程22143x y +=化简得 2222(43)84120,k x k x k +-+-= 则221212228412,4343k k x x x x k k -+==++， 所以2121212121(1)(1)1123()444444AM BM y y k x k x k k k x x x x x x ⎡⎤--+=+=+=⨯++⎢⎥------⎣⎦， 因为22122212121222888112434128444()1634164343k x x k k k x x x x x x k k -+-++===-----++-⋅+++， 所以223()03AM BM k k k ⎡⎤+=+⨯-=⎢⎥⎣⎦，当直线l 与x 轴垂直时，此时根据对称性可得0AM BM k k +=， 综上，AMBM k k +为定值021．（1）:4C y x =；（2）2. 【分析】（1）把已知点坐标代入抛物线方程求得p ，得抛物线方程；（2）写出直线方程与抛物线方程联立求出交点坐标，然后由面积公式计算． 【详解】解：（1）把点()1,2A -代入抛物线()2:20C y px p =>，可得()222p -=，解得2p = 所以抛物线C 的方程为:4C y x =（2）抛物线的焦点为()1,0F ，过原点O 作倾斜角为45︒的直线l 方程为y x =联立22y x y x=⎧⎨=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或44x y =⎧⎨=⎩．不妨设()0,0M ，()4,4N ． 则FMN 的面积为1114222N S MF y =⋅=⨯⨯=， 所以所求FMN 的面积为2．22．（1）22142x y -=；（2）存在(4,E，定值为. 【分析】（1）根据题意建立关系求出,a b 即可得出方程；（2）设出直线方程，与双曲线联立，得出韦达定理，利用韦达定理表示出直线OT 的斜率，即可得出点T 在定直线2x =-上，即可求解. 【详解】（1）设双曲线的右焦点2(,0)F c ，一条渐近线为0ay bx +=，则由题可得221661a b b ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以双曲线的标准方程为22142x y -=；（2）设()()()()11221100,,,,,,,P x y Q x y S x y T x y --， 设直线:,(0)l y kx m k =+≠，联立直线与双曲线22142x y y kx m⎧-=⎪⎨⎪=+⎩可得()()222124240,2k x kmx m k ---+=≠±，由0∆>可得2242m k >-，所以0m ≠，则()22212121212222224424,,,12121212m km m m k x x x x y y y y k k k k -+-+==+==----， 12212812kx y x y k -+=-，由题12(2,0),(2,0)A A -， 由1,,T S A 三点共线可得010122y y x x -=+-+，即010122x x y y +-=，由2,,T S A 三点共线可得020222y yx x =--，即020222x x y y --=， 相加可得()12211201201212222242x y x y y y x x x y y y y y k m+-+--=+==-， 所以直线00:22y k my x x O x T -==， 联立直线,OT PQ 可得22k m y x y kx m -⎧=⎪⎨⎪=+⎩可得2x =-，因此点T 在定直线2x =-上，则使得RME 的面积为定值的点E 一定为过点M 且与直线2x =-平行的直线与双曲线的交点，此时(4,E，则162RME S =⨯=△【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.。
新人教版高中数学选修一第三单元《圆锥曲线的方程》检测(含答案解析)(4)
一、填空题1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆的离心率为______．2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过函数31x y x =-图象的对称中心，若椭圆C 的离心率13,23e ⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭，则C 的长轴长的取值范围是_____________. 3．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点作x 轴的垂线，交椭圆C 于,A B 两点，直线l 过C 的左焦点和上顶点，若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，则椭圆C 的离心率的取值范围是__________.4．设点P 为椭圆22:14924x y C +=上一点，1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，且12PF F △的重心为G ，如果1212||,||,||PF PF F F 成等差数列，那么12GF F △的面积为___.5．在平面直角坐标系中，已知抛物线24y x =的准线与双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线分别交于P ，Q 两点，若POQ △的内切圆半径为13，则双曲线的离心率为________.6．已知O 为坐标原点，12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，A 为椭圆的右顶点，P 为C 上一点，且2PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段2PF 交于点M ，与y 轴交于点N ，若直线1F M 与y 轴交于点Q ，且3ON OQ =，则C 的离心率为___________.7．设12,F F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为()6,4，则1PM PF +的最大值为________．8．在直角坐标平面内的△ABC 中，(2,0)A -、(2,0)C ，若sin sin 2sin A C B +=，则△ABC 面积的最大值为____________.9．已知点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，已知12F PF ∠=120°，且12||3||PF PF =，则椭圆的离心率为___________.10．已知1F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点，P 是双曲线右支上一点，线段1PF 与以该双曲线实轴为直径的圆相交于A ，B 两点，且1F A AB BP ==，则该双曲线的离心率为______.11．M 是抛物线24y x =上一点，F 是抛物线的焦点，以Fx 为始边、FM 为终边的角60xFM ∠=︒，则||FM =______.12．已知直线y kx m =+与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线交于A B 、两点，与1yx k交于点N ，若N 为AB 的中点，则双曲线的离心率等于____. 13．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且||3||PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值是________.二、解答题14．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的焦距为23，点()0,2P 关于直线y x =-的对称点在椭圆E 上.（1）求椭圆E 的方程.（2）如图，过点P 的直线l 与椭圆E 交于两个不同的点C ，D （点C 在点D 的上方），试求COD △面积的最大值.15．双曲线221124x y -=，1F ､2F 为其左右焦点，曲线C 是以2F 为圆心且过原点的圆.（1）求曲线C 的方程；（2）动点P 在C 上运动，M 满足1F M MP →→=，求M 的轨迹方程. 16．已知抛物线2:y 2)3(0C px p <<=，其焦点为F ，点3(,2Q m 在抛物线C 上，且|QF |=4，过点(4,0)的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，连结OA ，OB ． （1）求抛物线C 的方程； （2）证明：OA OB ⊥．17．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率12e =.（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 是椭圆C 上的两个动点，O 是坐标原点，若OA OB ⊥，证明：直线AB l 与以原点为圆心的某个定圆相切，并求这个定圆.18．已知集合(){}22|4300A x x ax a a =-+<>，集合B ={a 方程221382x y a a+=--表示圆锥曲线C }（1）若圆锥曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，求实数a 的取值范围；（2）若圆锥曲线C 表示双曲线，且A 是B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.19．已知椭圆M ：22213x y a +=()0a >的一个焦点为()1,0F -，左右顶点分别为A ，B ．经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点． （Ⅰ）求椭圆M 方程；（Ⅱ）当直线l 的倾斜角为45时，求线段CD 的长；（Ⅲ）记△ABD 与△ABC 的面积分别为1S 和2S ，求12S S -的最大值．20．已知双曲线1C 的方程为22143x y -=，椭圆2C 与双曲线有相同的焦距，1F ，2F 是椭圆的上、下两个焦点，已知P 为椭圆上一点，且满足12PF PF ⊥，若12PF F △的面积为9. （1）求椭圆2C 的标准方程；（2）点A 为椭圆的上顶点，点B 是双曲线1C 右支上任意一点，点M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程. 21．已知P 为抛物线y =14x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是(2,0)，求|PA |+|PM |的最小值22．已知焦点在x 轴的抛物线C 经过点()2,4-. （1）求抛物线C 的标准方程.（2）过焦点F 作直线l ，交抛物线C 于A ，B 两点，若线段AB 中点的纵坐标为1-，求直线l 的方程.23．已知抛物线C 的准线方程为14x =-.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若过点(,0)P t 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过原点O ，求证：t 为常数，并求出此常数.24．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>C 过点3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知O 为原点，过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求OAB 的面积的最大值.25．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点(1,0),F O 为坐标原点，,A B 是抛物线C 上异于O 的两点.（1）求抛物线C 的方程； （2）若直线,OA OB 的斜率之积为12-，求证：直线AB 过定点，并求出定点坐标. 26．已知椭圆M 的焦点与双曲线N ：22197x y -=的顶点重合，且椭圆M 短轴的端点到双曲线N 渐近线的距离为3． （1）求椭圆M 的方程；（2）已知直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，若弦AB 中点为()2,1，求直线l 的方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、填空题1．【分析】作出图形设过椭圆右焦点且垂直于长轴的弦为计算出再利用椭圆的定义可得出关于的等式进而可求得椭圆的离心率的值【详解】如下图所示设椭圆的左右焦点分别为设过椭圆右焦点且垂直于长轴的弦为则由勾股定理可【分析】作出图形，设过椭圆右焦点2F 且垂直于长轴的弦为AB ，计算出1AF ，再利用椭圆的定义可得出关于a 、c 的等式，进而可求得椭圆的离心率的值. 【详解】如下图所示，设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，设过椭圆右焦点2F 且垂直于长轴的弦为AB ，则2AB c =，212AF AB c ==，由勾股定理可得1AF ==，由椭圆的定义可得122AF AF a +=52c c a +=，所以，该椭圆的离心率为()()251512515151c e a ====++-. 51-. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.2．【分析】用分离常数法求得函数的对称中心代入椭圆方程得的关系变形后得然后由的范围得出的范围【详解】因为可化为所以曲线的对称中心为把代入方程得整理得因为所以从而故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查求椭解析：22110⎝⎭【分析】用分离常数法求得函数的对称中心，代入椭圆方程得,a b 的关系，变形后得221911a e=+-，然后由e 的范围得出2a 的范围． 【详解】因为31x y x =-可化为111393y x =+⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以曲线31x y x =-的对称中心为11,33⎛⎫⎪⎝⎭，把11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭代入方程22221x y a b +=，得2211199a b +=，整理得22222221911a c a a c e-==+--.因为1,23e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2759,32a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而2,93a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：93⎛ ⎝⎭．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆长轴长的范围．解题关键是建立长半轴长a 与离心率e 的关系式，求出函数对称中心代入椭圆方程，利用222b a c =-进行转化是是解题的基本方法．3．【分析】求出直线的方程利用点到直线的距离与半通径的关系列出不等式求解即可【详解】解：直线的方程为：椭圆的右焦点过椭圆的右焦点作轴的垂线交于两点直线过的左焦点和上顶点若以为直径的圆与存在公共点可得：可解析：0,5⎛ ⎝⎦【分析】求出直线l 的方程，利用点到直线的距离与半通径的关系，列出不等式，求解即可． 【详解】解：直线l 的方程为：1x yc b+=-，椭圆的右焦点(,0)c ， 过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点作x 轴的垂线，交C 于A ，B 两点，直线l 过C 的左焦点和上顶点．若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，2b a可得：2b c ，即2224a c c -，即：215e，(0,1)e ∈， 解得：50e<．故答案为：⎛ ⎝⎦． 【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．4．8【分析】根据条件计算出可以判断△PF1F2是直角三角形即可计算出△PF1F2的面积由△PF1F2的重心为点G 可知△PF1F2的面积是的面积的3倍即可求解【详解】∵P 为椭圆C ：上一点且又且又∴易知△解析：8 【分析】根据条件计算出1212,,PF PF F F ，可以判断△PF 1F 2是直角三角形，即可计算出△PF 1F 2的面积，由△PF 1F 2的重心为点G 可知△PF 1F 2的面积是12GF F △的面积的3倍，即可求解. 【详解】∵P 为椭圆C ：2214924x y +=上一点，且1212||,||,||PF PF F F1122||||2||PF F F PF ∴+=，又210c ==,12||102||PF PF ∴+=且12214PF PF a +==126,8PF PF ∴==，又1210F F =，∴易知△PF 1F 2是直角三角形，12121242PF F S PF PF =⋅=， ∵△PF 1F 2的重心为点G ， ∴12123PF F GF F S S =△△， ∴12GF F △的面积为8. 故答案为：8 【点睛】关键点点睛：该题主要根据条件及椭圆的定义联立方程求出12,PF PF ，证明△PF 1F 2是直角三角形，求出面积后利用重心的性质可求12GF F △的面积，属于中档题.5．【分析】先求出的面积再利用等积法可求的关系从而可求离心率【详解】不妨设在轴的上方在轴的下方抛物线的准线方程为：双曲线的渐近线方程为：故故而故所以故故答案为：【点睛】关键点点睛：圆锥曲线的离心率的计算解析：3【分析】先求出POQ △的面积，再利用等积法可求,,a b c 的关系，从而可求离心率. 【详解】不妨设P 在x 轴的上方，Q 在x 轴的下方.抛物线24y x =的准线方程为：1x =-，双曲线的渐近线方程为：b y x a=±. 故1,b P a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,b Q a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故1212POQb b S a a =⨯⨯=△.而c OP OQ a ===，故122123b c b a a a ⎛⎫⨯+⨯=⎪⎝⎭，所以2c b =，故3c e a ===.故答案为：3. 【点睛】关键点点睛：圆锥曲线的离心率的计算，关键是利用已知条件构建关键,,a b c 的等量关系式，遇到三角形的内切圆半径的计算问题时，一般利用等积法来沟通半径与三角形的边的关系.6．【分析】根据椭圆的几何性质由轴设写出的直线方程求出与轴的交点的坐标以及点的坐标根据化简得到即可求解【详解】由题意椭圆的左右焦点分别为且因为轴不妨设则直线的方程为令可得所以直线与轴的交点为又由所以化简解析：13【分析】根据椭圆的几何性质，由2PF x ⊥轴，设(,)M c t ，写出AM 的直线方程，求出AM 与y 轴的交点N 的坐标，以及Q 点的坐标，根据3ON OQ =，化简得到3a c =，即可求解. 【详解】由题意，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，且(,0)A a ，因为2PF x ⊥轴，不妨设(,)(0)M c t t ≠， 则直线AM 的方程为()ty x a c a=--， 令0x =，可得aty a c=-， 所以直线AM 与y 轴的交点为1(0,),(0,)2at N Q t a c -， 又由3ON OQ =，所以132at t a c =⨯-，化简得3a c =， 所以椭圆的离心率为13c e a ==.故答案为：13. 【点睛】求解椭圆的离心率的三种方法：定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ； 齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.7．15【分析】利用椭圆的定义将左焦点问题转化为右焦点问题然后求解最值即可【详解】由椭圆方程可得：由椭圆的定义可得：则的最大值为15故答案为：15【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质等价转化的数学思解析：15 【分析】利用椭圆的定义将左焦点问题转化为右焦点问题，然后求解最值即可. 【详解】由椭圆方程可得：5,4,3a b c ===，12(3,0),(3,0)F F ∴-， 由椭圆的定义可得：12210PF PF a +==，()1222||||210||101015PM PF PM a PF PM PF MF ∴+=+-=+-≤+=+=，则1||PM PF +的最大值为15. 故答案为：15. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．【分析】由正弦定理可得结合椭圆的定义可得点的轨迹方程即可得解【详解】因为所以所以点的轨迹是以为左右焦点长轴长的椭圆（不在x 轴上）该椭圆焦距所以所以点的轨迹方程为当时所以面积的最大值故答案为：【点睛】解析：【分析】由正弦定理可得2BC AB AC +=，结合椭圆的定义可得点B 的轨迹方程，即可得解. 【详解】因为sin sin 2sin A C B +=，4AC =，所以28BC AB AC AC +==>， 所以点B 的轨迹是以A 、C 为左右焦点，长轴长28a =的椭圆（不在x 轴上）， 该椭圆焦距24c =，所以22212b a c =-=，所以点B 的轨迹方程为()22101612x y y +=≠，当0x =时，y =±，所以ABC 面积的最大值max 142S =⨯⨯=故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用正弦定理转化条件为2BC AB AC +=，再结合椭圆的定义即可得解.9．【解析】设由余弦定理知所以故填【解析】设21,3,24PF x PF x a x ===，由余弦定理知22(2)13c x =，所以c a =10．【分析】先取的中点证明是的中点再设得到最后建立方程并求双曲线的离心率即可【详解】设为双曲线的右焦点取的中点则如图因为所以是的中点则设则因为所以则又因为所以即该双曲线的离心率故答案为：【点睛】本题考查【分析】先取AB 的中点M ，证明M 是1PF 的中点，再设AB t =，得到65t a =，1185PF a =，285PF a =，最后建立方程2221212PF PF F F +=并求双曲线的离心率即可.【详解】设2F 为双曲线22221x y a b-=的右焦点，取AB 的中点M ，则1OM PF ⊥，如图.因为1F A AB BP ==，所以M 是1PF 的中点，则2//OM PF ，212OM PF =. 设AB t =，则13PF t =，232PF t a =-，2t AM =. 因为222OM AMOA =+，所以65t a =，则1185PF a =，285PF a =.又因为2221212PF PF F F +=，所以29725e =，即该双曲线的离心率5e =.故答案为：975. 【点睛】本题考查圆的几何性质、求双曲线的离心率，考查数形结合的数学思想，是基础题.11．4【分析】设点为过点作垂直于轴垂足为利用点在抛物线上建立方程即可求得的长【详解】解：由题意得设点为过点作垂直于轴垂足为即即整理得①又是抛物线上一点②由①②可得或（舍去）故答案为：【点睛】本题给出抛物解析：4 【分析】设点M 为(,)a b ，过点M 作MA 垂直于x 轴，垂足为A ，利用60xFM ∠=︒，点M 在抛物线24y x =上，建立方程，即可求得FM 的长． 【详解】解：由题意得(1,0)F设点M 为(,)a b 过点M 作MA 垂直于x 轴，垂足为A 60xFM ∠=︒，||2||MF FA ∴=，即||2(1)FM a =- ||3MF =，即||3MF =，2(1)3a ∴-223(1)b a =-⋯①又M 是抛物线24y x =上一点24b a ∴=⋯②由①②可得3a =或13a =（舍去） ||2(31)4MF ∴=-=故答案为：4．【点睛】本题给出抛物线上的点M 满足60xFM ∠=︒，求焦半径||FM 的长，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．12．【分析】由题意联立方程组可得由中点的性质可得化简后利用即可得解【详解】由题意双曲线的两条渐近线为则同理联立为的中点即整理得故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解考查了直线交点的问题和 2【分析】由题意联立方程组可得A am x ka b -=+、B amx b ka=-、21N km x k =-，由中点的性质可得2A B N x x x +=，化简后利用221b e a=+即可得解. 【详解】由题意双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线为b y x a=±，则A y kx mam x b ka b y x a =+⎧-⎪⇒=⎨+=-⎪⎩，同理B am x b ka =-， 联立211N y kx mkm x k y x k =+⎧⎪⇒=⎨-=⎪⎩，N 为AB 的中点，∴2A B N x x x +=，即221am am mkb ka b ka k -+=+--， 整理得221b a =，∴2212b e a=+= 2. 【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解，考查了直线交点的问题和运算能力，属于中档题.13．【分析】转化条件得点则利用基本不等式即可得解【详解】由题意可知点设由可得则点当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】本题考查了抛物线的性质平面向量的应用以及基本不等式的应用属于中档题【分析】转化条件得点2003,884y y p M p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则001322OM k y p y p=+，利用基本不等式即可得解. 【详解】 由题意可知点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，0p >， 设()2000,02y P y y p ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由||3||PM MF =可得4PF MF =， 则200,884y y p MF p ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴点2003,884y y p M p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,∴02014332288OM y k y p y p y pp==≤=++，当且仅当00322y p y p =时等号成立.故答案为：3. 【点睛】本题考查了抛物线的性质、平面向量的应用以及基本不等式的应用，属于中档题.二、解答题14．（1）2214x y +=；（2）1.【分析】（1）根据椭圆的焦距为c =()0,2P 关于直线y x =-的对称点在椭圆E 上，得到()2,0-在椭圆E 上，进而得到a 即可.（2）设过点()0,2P 的直线方程为2y mx =+，与椭圆方程联立，求得弦长CD 以及点O 到直线CD 的距离，代入面积公式求解. 【详解】（1）因为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的焦距为2c ∴=c =()0,2P 关于直线y x =-的对称点在椭圆E 上，()2,0∴-在椭圆E 上，2a ∴=， 2221b a c ∴=-=，2214x y ∴+=. （2）设过点()0,2P 的直线方程为2y mx =+，联立方程组可得22214y mx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消y 可得()221416120mxmx +++=，2430m =->△，设(),C C C x y ，(),y D D D x ，21614C D m x x m ∴+=-+，21214C Dx x m =+，CD ∴== ∴点O 到直线CD 的距离d =142CODS CD d ∴=⋅=△， 设214m t +=，则4t >，CODS ∴===△ 当8t =时，取得最大值，即为1. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的三角形最值问题的求法：一般由直线与曲线联立求得弦长及相应点的直线的距离，得到含参数的△OMN 的面积的表达式，再应用基本不等式或函数法求最值．15．（1）()22416x y -+=；（2）224x y +=. 【分析】（1）求出圆心和半径即得解；（2）设动点(),M x y ，()00,P x y ，由1F M MP →→=得00242x x y y =+⎧⎨=⎩，代入圆的方程即得解. 【详解】（1）由已知得212a =，24b =，故4c ==， 所以()14,0F -､()24,0F， 因为C 是以2F 为圆心且过原点的圆，故圆心为()4,0，半径为4， 所以C 的轨迹方程为()22416x y -+=；（2）设动点(),M x y ，()00,P x y ，则()14,F M x y →=+，()00,MP x x y y →=--， 由1F M MP →→=，得()()004,,x y x x y y +=--， 即()()004x x x y y y ⎧+=-⎪⎨=-⎪⎩，解得00242x x y y =+⎧⎨=⎩，因为点P 在C 上，所以()2200416x y -+=，代入得()()22244216x y +-+=，化简得224x y +=.所以M 的轨迹方程为224x y +=. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程常见的方法有：（1）直接法；（2）定义法；（3）相关点代入法；（4）消参法.要根据数学情景灵活选择方法求动点的轨迹方程. 16．（1）24y x =；（2）证明见解析. 【分析】（1）由点在抛物线上，焦半径的长|QF |=4，列方程求p ，写出抛物线方程；（2）讨论直线l 斜率的存在性，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，结合向量数量积的坐标表示有0OA OB ⋅=，则OA OB ⊥即得证.【详解】解：（1）由(,Q m 在抛物线C 上可得，212pm =， 由4QF =可得，42pm +=， ∵03p <<， ∴2p =，3m =． 抛物线的方程为24y x =．（2）当直线l 的斜率不存在时，方程为4x =，易求得()4,4A -，()4,4B(4,4)OA =-，(4,4)OB =，16160OA OB ⋅=-=,此时OA OB ⊥成立．当直线l 的斜率存在时，设直线方程为()4y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由24(4)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得24160ky y k --=，216640k ∆=+>，124y y k +=，1216y y =-，2121212121()1616016OA OB x x y y y y y y ⋅=+=+=-=此时OA OB ⊥成立， 综上可得，OA OB ⊥． 【点睛】关键点点睛：由抛物线过点，已知焦半径长并结合抛物线定义列方程组求参数，写出抛物线方程；利用向量垂直的坐标表示12120OA OB x x y y ⋅=+=即可证OA OB ⊥.17．（1）22143x y +=；（2）证明见解析；22127x y +=.【分析】（1）根据条件得出221914a b +=且12c a =，解出,a b 即可得出方程； （2）设出直线方程，联立直线与椭圆，由OA OB ⊥得0OAOB ⋅=，由此可得=. 【详解】（1）由椭圆经过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，离心率12e =得：221914a b +=且12c a =. 解得2a =，1c =，b =所以椭圆C ：22143x y +=.（2）当直线AB l 的斜率不存在时，设直线为x m =，则由OA OB ⊥可得(),A m m ±，代入椭圆得22143m m +=，解得2127m =，则与直线AB l 相切且圆心为原点的圆的半径为m =， 即圆的方程为22127x y +=； 当斜率存在时，设直线AB l 的方程为：y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程22143y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得到：()()222348430k x kbx b +++-=.所以122834kbx x k +=-+，()21224334b x x k-=+. 因为OA OB ⊥，所以12120OA OB x x y y ⋅=+=， 又因为11y kx b =+，22y kx b =+，故()()12121212x x y y x x kx b kx b +=+++()()22121210k x x kb x x b =++++=，将122834km x x k +=-+，()21224334b x x k -=+代入上式，得到： ()()2222222413803434k b k b b k k+--+=++， 去掉分母得：()()()2222224138340k b k b b k +--++=，去括号得：22712120b k --=，=又因为与直线AB l相切且圆心为原点的圆的半径r === 所以该圆方程为22127x y +=， 综上，定圆方程为22127x y +=. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解. 18．（1）1143a <<；（2）01a <≤或4a ≥. 【分析】（1）根据椭圆的标准方程，求出a 的范围；（2）再确定集合A ，由双曲线的标准方程得集合B ，然后根据充分必要条件的定义集合包含关系，从而得出a 的不等关系，求得结论． 【详解】（1）由方程221382x y a a+=--表示的曲线是表示焦点在x 轴上的椭圆∴(3)(82)0a a ->->， ∴1143a << 解不等式22430(0)x ax a a -+<>可得3(0)a x a a <<>方程221382x y a a+=--表示的曲线是双曲线∴(3)(82)0a a --<， ∴4a >或3a <因为A 是B 的充分不必要条件所以(,3)a a 是(,3)(4,)-∞⋃+∞的真子集 所以033a <≤或4a ≥ 解得01a <≤或4a ≥所以a 的取值范围是01a <≤或4a ≥． 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．19．（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）247；（Ⅲ）12||S S -【分析】（Ⅰ）根据椭圆的几何性质求出,a b 可得结果； （Ⅱ）联立直线与椭圆，根据弦长公式可求得结果；（Ⅲ）设直线l ：1x ty =-(0)t ≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ，联立直线l 与椭圆M 的方程，利用韦达定理求出12y y +，12||S S -=212||34t t +，变形后利用基本不等式可求得最大值. 【详解】（Ⅰ）因为椭圆的焦点为()1,0F -，所以1c =且23b =，所以222314a b c =+=+=，所以椭圆M 方程为22143x y +=.（Ⅱ）因为直线l 的倾斜角为45，所以斜率为1，直线l 的方程为1y x =+，联立221143y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得27880x x +-=，设11(,)C x y ，22(,)D x y ， 则1287x x +=-，1287x x =-，所以||CD =247=. （Ⅲ）由（Ⅰ）知(2,0),(2,0)A B -，设直线l ：1x ty =-(0)t ≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ，联立221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得22(34)690t y ty +--=，则122634ty y t +=+，123934y y t =-+0<，所以12,y y 异号， 所以121211|||4||4|||22S S y y -=⨯-⨯⨯122||||||y y =-122||y y =+212||34t t =+ 1243||||t t =+≤==当且仅当||t =.所以12||S S -. 【点睛】关键点点睛：第（Ⅲ）问中将三角形面积用,C D 两点的纵坐标表示，并利用韦达定理和基本不等式解决是解题关键.20．（1）221169y x +=；（2）()222413y x --=（1≥x ）. 【分析】（1）根据条件先求解出双曲线的半焦距c ，然后结合三角形的面积、勾股定理、椭圆的定义求解出椭圆方程中2a 的值，从而椭圆方程可求；（2）设(),M x y ，()00,B x y ，根据条件用M 点的坐标表示出B 点的坐标，再根据B 在双曲线上求解出,x y 满足的等式即为轨迹方程. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为c ，由题2437c =+=，设椭圆方程22221y xa b+=（0a b >>）.∴1222212121924282PF PF PF PF c PF PF a⎧=⎪⎪⎪+==⎨⎪+=⎪⎪⎩，∴2221212142+4=64a PF PF PF PF ⎛⎫ ⎪⎝⎭=+∴216a =，∴2221679b a c =-=-=，∴2:C 221169yx +=；（2）由题点()0,4A .设双曲线右支上任意一点B 的坐标为()00,x y ，AB 中点M 的坐标为(),x y ，则00242x x y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴00224x x y y =⎧⎨=-⎩，又点B 在双曲线上，∴2200143x y -=∴()222413y x --=（1≥x ）.【点睛】结论点睛：椭圆或双曲线的焦点三角形的顶点为P ，焦点为12,F F ，且12F PF θ∠=，则有：（1）椭圆的焦点三角形的面积为：2tan2b θ（b 为短轴长度一半）；（2）双曲线的焦点三角形的面积为：2tan2b θ（b 为虚轴长度一半）.21．51-【分析】根据抛物线标准方程有焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-，根据抛物线定义||||||||1PA PM PA PF +=+-，结合三角形三边的性质即可求||||PA PM +最小值.【详解】抛物线标准形式为24x y =，则焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-，延长PM 交准线于N ，连PF ，由抛物线定义知：||||||||1||||1PA PM PA PN PA PF +=+-=+-，而在△PFA 中，||||||PA PF AF +>，∴仅当F 、P 、A 共线时，||||||PA PF AF +==为最小值，∴此时||||1PA PM +=为最小值.【点睛】关键点点睛：由抛物线的定义将问题转化为求||||||||1PA PM PA PF +=+-最小值，由三角形三边的性质知：三点共线时||||PA PF +有最小值.22．（1）28y x =；（2）480x y +-=.【分析】（1）由题意可设抛物线方程为：22y px =（0p >），再将点()2,4-代入抛物线的方程中得到p 的值，最后写出抛物线的方程即可；（2）设l 的方程为2x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线的方程可得28160y my --=，由韦达定理可得128y y m +=，再由线段AB 中点的纵坐标为1-可得122y y +=-，进而求出m 的值，最后写出直线的方程即可.【详解】（1）由题意可设抛物线方程为：22y px =（0p >），∵抛物线过点()2,4-，∴1644p p =⇒=，∴28y x =；（2）设l 的方程为2x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，则由22881602y x y my x my ⎧=⇒--=⎨=+⎩，264640m ∆=+>， 所以128y y m +=， 由题意1212122y y y y +=-⇒+=-，121824y y m m +==-⇒=-， 故124804x y x y =-+⇒+-=， 即直线l 的方程为480x y +-=. 【点睛】方法点睛：对于第二问，有两种方法：方法一：设点()11,A x y ，()22,B x y ，根据中点纵坐标即可利用点差法求得直线的斜率，再由点斜式写出直线的方程；方法二：设出直线的方程，联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理和中点的纵坐标，即可求得直线的方程. 23．（1）2y x =；（2）证明见解析，1,0t t ==.【分析】（1）由准线方程为14x =- 求得12p =，得解抛物线C 的方程 （2）设过P 的直线l 方程为：x my t =+（m R ∈），联解后，利用原点O 落在以AB 为直径的圆上得0OA OB ⋅= 得到12120x x y y +=得解【详解】（1）由准线方程为14x =-可设抛物线C 的方程22(0)y px p => 求得12p = 故所求的抛物线C 的方程为：2y x =（2）依题意可设过P 的直线l 方程为：x my t =+（m R ∈），设1122(,),(,)A x y B x y由2x my t y x=+⎧⎨=⎩得：2y my t =+ 依题意可知0∆>，且12y y t =-原点O 落在以AB 为直径的圆上令0OA OB ⋅=即()22212121212t 0x x y y y y y y t +=+=--= 解得：1,0t t ==即t 为常数，∴ 原题得证【点睛】本题利用0OA OB ⋅=得到12120x x y y +=是解题关键.24．（1）22132x y +=；（2. 【分析】（1）根据离心率3c e a ==，将点坐标代入曲线方程，结合222a b c =+，即可求得a ，b ，c 的值，即可求得答案；（2）由题意得右焦点为()1,0F ，设直线l 的方程为：()10x my m =+≠，与椭圆联立，根据韦达定理，可得12y y +，12y y 的表达式，即可求得12y y -的表达式，根据m 的范围，即可求得12y y -的最大值，代入面积公式，即可求得OAB 的面积的最大值.【详解】（1）由题意得22222392144c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a =b =1c =.故椭圆方程为：22132x y +=. （2）易知椭圆的右焦点为()1,0F ，设直线l 的方程为：()10x my m =+≠，联立直线l 方程代入椭圆方程221321x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理可得：()2223440m y my ++-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则222(4)4(23)(4)48(+1)0m m m ∆=-+-=> 122423m y y m -+=+，122423y y m -=+， 所以12y y -===， 因为20m ≥，所以2110,233m ⎛⎤∈ ⎥+⎝⎦， 易知当0m =，即211233m =+时，原式12y y -取得最大值= 此时AOB S的最大值为1211122y F y O ⨯⨯=⨯=-.即三角形OAB . 【点睛】解题的技巧为：设直线l 的方程为：()10x my m =+≠，可联立消去x ，得到关于y 的一元二次方程，进而可直接求得12y y -的表达式，即可得12y y -的最大值，即可求得面积的最大值，考查分析理解，计算求值的能力属中档题.25．（1）24y x =，（2）证明见解析，定点(8,0)【分析】（1）利用抛扔线的焦点坐标，求出p ，然后求抛物线的方程；（2）通过直线的斜率是否存在，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及斜率乘积关系，转化求解即可【详解】解：（1）因为抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0)，所以12p =，得2p =， 所以抛物线的方程为24y x =，（2）①当直线AB 的斜率不存在时，设22(,),(,)44t t A t B t -， 因为直线,OA OB 的斜率之积为12-，所以224412t t t t -⋅=-，化简得232t =， 所以(8,),(8,)A t B t -，此时直线AB 的方程为8x =，②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx b =+，1122(,),(,)A x y B x y ，由24y x y kx b⎧=⎨=+⎩，得2440ky y b -+=，则124b y y k =， 因为,OA OB 的斜率之积为12-，所以121212y y x x ⋅=-， 即121220x x y y +=，即可2212122044y y y y ⋅+=， 解得120y y =（舍去），或1232y y =-， 所以432b k=-，即8b k =-，所以8y kx k =-，即(8)y k x =-， 综上所述，直线AB 过x 轴上的一定点(8,0) 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法，解题的关键是将直线方程y kx b =+与抛物线方程24y x =联立方程组可得2440ky y b -+=，再利用根与系数的关系可得124b y y k =，再结合直线,OA OB 的斜率之积为12-，可得到,k b 的关系，从而可得答案，考查计算能力，属于中档题 26．（1）2212516x y +=；（2）3225890x y +-=． 【分析】（1）由题可得22a b 9-=3=，求出,a b 即得椭圆方程； （2）利用点差法可求直线斜率，即可得出直线方程.【详解】（1）设椭圆M 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则22a b 9-=， 双曲线N30y ±=，3=，所以4b=，于是5a=，所以椭圆M的方程为2212516x y+=．（2）显然直线l的斜率是存在的，设直线l的斜率为k，设A，B的坐标分别为11(,)x y，22(,)x y，则221122221251612516x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，相减得2222121202516x y yx--+=，整理得121212121625y y x xx x y y-+=-⨯-+，所以162232252125k⨯=-⨯=-⨯，所以直线l的方程为321(2)25y x-=--，即3225890x y+-=．【点睛】方法点睛：点差法解决中点弦问题：设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为11(,)A x y，22(,)B x y，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量.。
最新人教版高中数学选修一第三单元《圆锥曲线的方程》检测卷(答案解析)(1)
一、填空题1．P 是非等轴双曲线222:116x y C a -=上的一点，12,F F 分别是双曲线C 左､右焦点，若1122,12PF F F PF ⊥=，则双曲线C 的渐近线方程是__________.2．ABC 的三个顶点都在抛物线E ：232y x =上，其中A (2，8)，ABC 的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 所在直线的方程为_________．3．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过函数31x y x =-图象的对称中心，若椭圆C 的离心率13,2e ⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭，则C 的长轴长的取值范围是_____________. 4．已知ABC 的周长为20，且顶点()0,3B -，()0,3C ，则顶点A 的轨迹方程是___________.5．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得122PF PF =，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是____.6．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率3,e A B =、分别是椭圆的左、右顶点，点P 是椭圆上的一点，直线PA PB 、的倾斜角分别为αβ、，满足tan tan 1αβ+=，则直线PA 的斜率为__________.7．如图，过椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点1F 作直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，O为坐标原点，连接BO 并延长交椭圆E 于C 点，若1CF AB ⊥，且113CF AF =，则该椭圆E 的离心率e 为____________．8．椭圆2214x y +=的右焦点为F ，以点F 为焦点的抛物线的标准方程是___________.9．已知点F 为椭圆22:143x y Γ+=的左焦点，点P 为椭圆Γ上任意一点，点O 为坐标原点，则OP FP ⋅的最大值为________10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过点2F 交双曲线右支于P ，Q 两点，若123PF PF =，23PQ PF =，则双曲线 C 的离心率为__________.11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，则其渐近线与圆()22214x a y a -+=的位置关系是________. 12．已知P 是椭圆2214x y +=上的一点，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，当123F PF π∠=时，则12PF F △的面积为________．13．设D 为椭圆2215y x +=上任意一点，()0,2A -，()0,2B ，延长AD 至点P ，使得PD BD =，则点P 的轨迹方程为______. 二、解答题14．双曲线221124x y -=，1F ､2F 为其左右焦点，曲线C 是以2F 为圆心且过原点的圆.（1）求曲线C 的方程；（2）动点P 在C 上运动，M 满足1F M MP →→=，求M 的轨迹方程. 15．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()22:21F x y -+=，动圆M 与直线:1l x =-相切且与圆F 外切．（1）记圆心M 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）已知()2,0A -，曲线C 上一点P 满足PA ，求PAF ∠的大小．16．已知()11,0F -，()21,0F，动点P 满足124PF PF +=，动点P 的轨迹为曲线Γ. （1）求点P 的轨迹方程；（2）直线l 与曲线Γ交于A 、B 两点，且线段AB 的中点为()1,1M ，求直线l 的方程. 17．已知抛物线1C ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与曲线1C 交于A ，B 两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，则126x x +=且弦AB 的中点到准线的距离为4．（1）求曲线1C 的方程；（24的椭圆2C 的方程为()222210x y a b a b +=>>．又椭圆2C与过点()1,0Q -且斜率存在的直线l '相交于M ，N 两点，已知45MONS =，O 为坐标原点，求直线l '的方程．18．已知椭圆的2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的焦距为26，且过点(2,1)A .（1）求椭圆C 的方程；（2）若不经过点A 的直线:l y kx m =+与C 交于,P Q 两点，且直线AP 与直线AQ 的斜率之和为0，求k 的值.19．已知椭圆C ：22221x y a b+=（a >b >0)， 直线330x y +-=经过椭圆的上顶点和右焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ， B 两点.若OAB 的面积为26，求直线l 的方程.20．如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为12,F F ，过1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点.（1）若01260AF F ∠=，且 120AF AF ⋅=求椭圆的离心率. （2）若2,1a b ==，求22F A F B ⋅的最大值和最小值.21．已知点Q 是圆M ：()22116x y ++=上一动点（M 为圆心），点N 的坐标为()1,0，线段QN 的垂直平分线交线段QM 于点C ，动点C 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）求直线1y x =-与曲线E 的相交弦长；（3）曲线E 的右顶点为B ，直线l ：y kx m =+与椭圆E 相交于点S ，T ，则直线BS ，BT 的斜率分别为1k ，2k 且123k k +=，BD ST ⊥，D 为垂足，问是否存在某个定点A ，使得以AB 为直径的圆经过点D ？若存在，请求出A 的坐标；若不存在，请说明理由？22．已知圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，过(,0)(02)A n n <<的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，当1n =，l x ⊥轴时，||3PQ =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若l 不垂直于坐标轴，且在x 轴上存在一点(,0)B m ，使得PBA QBA ∠=∠成立，求m 的取值范围．23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，且经过点61(,)22.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于M N 、两点，B 为椭圆C 的上顶点，那么椭圆C 的右焦点F 是否可以成为BMN △的垂心．．？若可以，求出直线l 的方程；若不可以，请说明理由.（注：垂心是三角形三条高线的交点）24．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上.由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F .已知112BF F F ⊥，153F B =，124F F =.（1）试建立适当的坐标系，求截口BAC 所在的椭圆的方程；（2）如图，若透明窗DE 所在的直线与截口BAC 所在的椭圆交于一点P ，若1260F PF ∠=︒求12F PF △的面积.25．已知椭圆222:1(1)x E y a a +=>的离心率为22.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线:0l x y m -+=与椭圆交于E F 、两点，且线段EF 的中点在圆22+1x y =，求m 的值.26．已知椭圆M 的焦点与双曲线N ：22197x y -=的顶点重合，且椭圆M 短轴的端点到双曲线N 渐近线的距离为3． （1）求椭圆M 的方程；（2）已知直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，若弦AB 中点为()2,1，求直线l 的方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、填空题1．【分析】由双曲线定义可得根据已知可解得再由渐近线方程是可得答案【详解】因为所以又因为所以即解得或（舍去）所以双曲线C 的渐近线方程是故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的定义焦点三角形的问题关键点是焦点解析：2y x =±【分析】由双曲线定义可得212PF PF a -=，根据112PF F F ⊥、已知可解得2a =，再由渐近线方程是by x a=±可得答案. 【详解】因为2122,12PF PF a PF -==，所以122122PF PF a a =-=-， 又因为112PF F F ⊥，2222212444464F F c a b a ==+=+，所以2221122PF F F PF +=，即()222212412a c -+=，解得2a =或4a =（舍去）， 所以双曲线C 的渐近线方程是422y x x =±=±. 故答案为：2y x =±. 【点睛】本题考查了双曲线的定义、焦点三角形的问题，关键点是焦点三角形中112PF F F ⊥，考查了分析问题、解决问题的能力.2．【分析】根据重心坐标公式可得由此得到BC 的中点坐标再根据点差法得到BC 的斜率然后点斜式写出直线方程【详解】设由重心坐标公式又所以所以中点坐标为因为两式相减得所以直线的斜率为所以BC 所在直线的方程为即 解析：4400+-=x y【分析】根据重心坐标公式可得1222x x +=，128y y +=-，由此得到BC 的中点坐标，再根据点差法得到BC 的斜率，然后点斜式写出直线方程.【详解】设()11B x y ， ，()22C x y ，，由重心坐标公式，12122833x x y y G ++++⎛⎫⎪⎝⎭，，又()80G ，， 所以1222x x +=，128y y +=-，所以BC 中点坐标为()11,4-，因为21132y x =，22232y x =，两式相减得12124y y x x -=--， 所以直线BC 的斜率为4-，所以BC 所在直线的方程为()4411y x +=--，即4400+-=x y . 故答案为：4400+-=x y 【点睛】方法总结：涉及中点弦或者斜率问题时考虑使用点差法，即设点作差.3．【分析】用分离常数法求得函数的对称中心代入椭圆方程得的关系变形后得然后由的范围得出的范围【详解】因为可化为所以曲线的对称中心为把代入方程得整理得因为所以从而故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查求椭解析：⎝⎭【分析】用分离常数法求得函数的对称中心，代入椭圆方程得,a b 的关系，变形后得221911a e=+-，然后由e 的范围得出2a 的范围． 【详解】 因为31xy x =-可化为111393y x =+⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以曲线31x y x =-的对称中心为11,33⎛⎫⎪⎝⎭，把11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭代入方程22221x y a b +=，得2211199a b +=，整理得22222221911a c a a c e-==+--.因为1,23e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2759,32a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而2,93a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：93⎛ ⎝⎭．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆长轴长的范围．解题关键是建立长半轴长a 与离心率e 的关系式，求出函数对称中心代入椭圆方程，利用222b a c =-进行转化是是解题的基本方法．4．【分析】由周长确定故轨迹是椭圆注意焦点位置和抠除不符合条件的点即可【详解】的周长为20且顶点所以点到两个定点的距离和为定值故点的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆则顶点A 的轨迹方程是故答案为：【点睛】易错点睛解析：()22104049x y x +=≠【分析】由周长确定146AB AC +=>，故轨迹是椭圆，注意焦点位置和抠除不符合条件的点即可. 【详解】ABC 的周长为20，且顶点()0,3B -，()0,3C ， 6BC ∴=，146AB AC +=>，所以点A 到两个定点的距离和为定值，故点A 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆，2147a a =⇒=，3c =，22249940b a c =-=-=则顶点A 的轨迹方程是()22104049x y x +=≠.故答案为：()22104049x y x +=≠.【点睛】易错点睛：本题考查椭圆定义的应用，在求解过程中要注意椭圆的定义要检查两个线段的大小，看是否可以构成椭圆，还要注意要围城三角形需要排除不符合的点，考查学生的转化能力与运算能力，属于基础题.5．【分析】利用双曲线的定义可求得再由结合可求得双曲线的离心率的取值范围【详解】由双曲线的定义可得又则所以因此双曲线的离心率的取值范围是故答案为：【点睛】求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接 解析：(]1,3【分析】利用双曲线的定义可求得22PF a =，再由2PF c a ≥-结合1e >可求得双曲线C 的离心率e 的取值范围. 【详解】由双曲线的定义可得1222222PF PF PF PF PF a -=-==， 又22PF a c a =≥-，则3c a ≤，1e >，所以，13e <≤.因此，双曲线C 的离心率e 的取值范围是(]1,3. 故答案为：(]1,3. 【点睛】求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e 的关系式求e 或e 的范围；另一种是建立a 、b 、c 的齐次关系式，将b 用a 、c 表示，转化为e 的关系式，进而求解．6．或【分析】设出点坐标求得的表达式求得代入直线的斜率公式可得答案【详解】依题意设则即化简得由于是椭圆的左右顶点所以所以所以所以或所以当时当时所以直线的斜率为或故答案为：或【点睛】本小题主要考查椭圆的几解析：2或12- 【分析】设出P 点坐标，求得tan +tan αβ的表达式，求得00x y ，，代入直线的斜率公式可得答案. 【详解】依题意1,222c b a b a a ====.设()()000,0P x y x ≠，则2200221x y a b +=，即22002214x y a a+=，化简得222004y x a -=-. 由于,A B 是椭圆的左右顶点，所以()(),0,,0A a B a -，所以tan +tan αβ0000+y y x a x a =+-0000022200022142x y x y xx ay y ===-=--，所以002x y =-，所以0024x a y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0024x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以当0024x y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，tanα002y x a ===+当00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，0012y x a --===+，所以直线PA的斜率为2或12，故答案为：2或12. 【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，直线的斜率公式，关键在于求得点P 的坐标，属于中档题.7．【分析】设椭圆的右焦点为连根据点的对称性和推出四边形为矩形所以设利用椭圆定义得到和根据勾股定理可得从而可得离心率【详解】设椭圆的右焦点为连如图：因为关于原点对称关于原点对称所以四边形为平行四边形又所解析：22【分析】设椭圆的右焦点为2F ，连2BF ，2CF ，2AF ，根据点的对称性和1CF AB ⊥推出四边形12BF CF 为矩形，所以2AB BF ⊥，设1||AF m =，利用椭圆定义得到2||AF 和1||BF ，根据勾股定理可得2a c =，从而可得离心率.【详解】设椭圆的右焦点为2F ，连2BF ，2CF ，2AF ，如图：因为,B C 关于原点对称，12,F F 关于原点对称，所以四边形12BF CF 为平行四边形， 又1CF AB ⊥，所以四边形12BF CF 为矩形，所以2AB BF ⊥，设1||AF m =，因为113CF AF =，所以1||3CF m =，所以2||3BF m =，22||AF a m =-，1||23BF a m =-，在直角三角形2ABF 中，由22222||||||AB BF AF +=得222(23)(3)(2)a m m m a m -++=-，化简得3a m =，所以1||BF a =， 2||BF a =，在直角三角形12BF F 中，由2221212||||||BF BF F F +=得2224a a c +=，即2a c =，所以椭圆E 的离心率e 2c a ==. 故答案为：22【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中利用椭圆定义以及勾股定理得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．8．【分析】根据椭圆的方程求得焦点的坐标得到抛物线的焦点坐标求得的值即可求得抛物线的标准方程【详解】由题意椭圆可得则所以椭圆的右焦点为即抛物线的焦点坐标为设抛物线的标准方程为可得即所以抛物线的标准方程为解析：2y =【分析】根据椭圆的方程求得焦点F 的坐标，得到抛物线的焦点坐标，求得p 的值，即可求得抛物线的标准方程. 【详解】由题意，椭圆2214x y +=，可得224,1a b ==，则c ==所以椭圆的右焦点为F ，即抛物线的焦点坐标为F ，设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，可得2p=，即p =所以抛物线的标准方程为2y =.故答案为：2y =. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及几何性质的应用，以及抛物线的标准方程的求解，其中解答中熟记椭圆的几何性质，以及抛物线的标准方程的形式是解答的关键，着重考查运算与求解能力.9．【分析】设点的坐标为则可得出利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最大值【详解】设点的坐标为则则可得椭圆的左焦点为则二次函数在区间上单调递增所以因此的最大值为故答案为：【点睛】本 解析：6【分析】设点P 的坐标为(),x y ，则22x -≤≤，可得出22334y x =-，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得OP FP ⋅的最大值. 【详解】设点P 的坐标为(),x y ，则22x -≤≤，则22143x y +=，可得22334y x =-，椭圆Γ的左焦点为()1,0F -，(),OP x y =，()1,FP x y =+， 则()()2222231113322444OP FP x x y x x x x x x ⋅=++=++-=++=++， 二次函数()()21224f x x =++在区间[]22-,上单调递增， 所以，()()2max 124264f x f ==⨯+=. 因此，OP FP ⋅的最大值为6. 故答案为：6.【点睛】本题考查椭圆中向量数量积最值的求解，考查了椭圆有界性以及二次函数基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.10．【分析】设则推出由双曲线的定义得再在和应用余弦定理得进而得答案【详解】解：设则∴由双曲线的定义得此时在和应用余弦定理得：；所以即故所以故答案为：【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用是基本知识的考查解析：3【分析】设2||PF m =，则1||3PF m =，3PQ m =，推出22QF m =，由双曲线的定义得14QF a m a⎧=⎨=⎩，再在1PQF △和12QF F 应用余弦定理得2225243a c a -=，进而得答案. 【详解】解：设2||PF m =，则1||3PF m =，3PQ m =，∴22QF m =，由双曲线的定义，得12112122422PF PF m aQF a m a QF QF QF m a ⎧-==⎧=⎪⇒⎨⎨=-=-=⎩⎪⎩， 此时，在1PQF △和12QF F 应用余弦定理得：2222221112116992cos 22433QF PQ PF a a a FQF QF PQa a +-+-∠===⨯⨯2222222212121221216445cos 22424QF QF F F a a c a c FQF QF QF a a a+-+--∠===⨯⨯； 所以2225243a c a -=，即2237c a =，故2273c a =，所以3c e a ==．. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．11．相离【分析】由双曲线的离心率可得出然后计算出圆心到双曲线的渐近线的距离并与圆的半径作大小比较由此可得出结论【详解】双曲线的离心率为可得所以双曲线的渐近线方程为圆的圆心坐标为半径为圆心到直线的距离为因解析：相离 【分析】由双曲线的离心率可得出b a =，然后计算出圆心到双曲线的渐近线的距离，并与圆的半径作大小比较，由此可得出结论. 【详解】双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为2222212c a b b e a a a+===+=，可得b a =，所以，双曲线的渐近线方程为0x y ±=，圆()22214x a y a -+=的圆心坐标为(),0a ，半径为2ar =， 圆心到直线0x y ±=的距离为21222a d r a ==>=， 因此，双曲线的渐近线与圆()22214x a y a -+=相离. 故答案为：相离. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断，涉及双曲线的离心率以及渐近线方程的应用，求出b 与a 的等量关系是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.12．【分析】由题意画出图形利用椭圆定义及余弦定理求得的值代入三角形面积公式得答案【详解】解：如图由椭圆得则由余弦定理可得：即的面积故答案为：【点睛】本题考查椭圆的简单性质考查椭圆定义的应用是中档题 解析：33【分析】由题意画出图形，利用椭圆定义及余弦定理求得12PF PF 的值，代入三角形面积公式得答案． 【详解】 解：如图，由椭圆2214x y +=，得2a =，1b =，则24a =，223c a b =-=1224PF PF a ∴+==，由余弦定理可得：2221212122cos60F F PF PF PF PF =+-︒，()22121243c PF PF PF PF ∴=+-，即1243PF PF =． 12F PF ∴的面积1211433sin 6022323S PF PF =︒=⨯⨯=．故答案为：3． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆定义的应用，是中档题，13．【分析】由已知可得为椭圆两焦点再由已知结合椭圆定义可得点的轨迹是以为圆心以为半径的圆写出圆的标准方程得答案【详解】如图由椭圆方程得所以则为椭圆两焦点所以由于则所以点的轨迹是以为圆心以为半径的圆其方程 解析：()22220x y ++=【分析】由已知可得，(0,2)A -，(0,2)B 为椭圆两焦点，再由已知结合椭圆定义可得点P 的轨迹是以A 为圆心，以25为半径的圆，写出圆的标准方程得答案． 【详解】 如图，由椭圆方程2215y x +=，得25a =，21b =，所以222c a b =-=，则(0,2)A -，(0,2)B 为椭圆两焦点， 所以||||25DA DB a +== 由于||||PD BD =，则||||||||||5PA PD DA BD DA =+=+=所以点P 的轨迹是以A 为圆心，以2522(2)20x y ++=． 故答案为：22(2)20x y ++=． 【点睛】本题考查轨迹方程的求法，运用了椭圆的标准方程、椭圆定义和焦点坐标，同时考查数学转化思想方法，是中档题．二、解答题14．（1）()22416x y -+=；（2）224x y +=. 【分析】（1）求出圆心和半径即得解；（2）设动点(),M x y ，()00,P x y ，由1F M MP →→=得00242x x y y =+⎧⎨=⎩，代入圆的方程即得解.【详解】（1）由已知得212a =，24b =，故4c ==， 所以()14,0F -､()24,0F， 因为C 是以2F 为圆心且过原点的圆，故圆心为()4,0，半径为4， 所以C 的轨迹方程为()22416x y -+=；（2）设动点(),M x y ，()00,P x y ，则()14,F M x y →=+，()00,MP x x y y →=--， 由1F M MP →→=，得()()004,,x y x x y y +=--， 即()()004x x x y y y ⎧+=-⎪⎨=-⎪⎩，解得00242x x y y =+⎧⎨=⎩，因为点P 在C 上，所以()2200416x y -+=，代入得()()22244216x y +-+=，化简得224x y +=.所以M 的轨迹方程为224x y +=. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程常见的方法有：（1）直接法；（2）定义法；（3）相关点代入法；（4）消参法.要根据数学情景灵活选择方法求动点的轨迹方程. 15．（1）28y x =；（2）π4PAF ∠=． 【分析】（1）方法一，利用直线与圆的位置关系，以及圆与圆的位置关系，转化为抛物线的定义求曲线方程；方法二，利用等量关系，直接建立关于(),x y 的方程；（2）方法一，利用条件求点P 的坐标，再求PA k ；方法二，利用抛物线的定义，转化PF 为点P 到准线的距离，利用几何关系求PAF ∠的大小. 【详解】解：（1）设(),M x y ，圆M 的半径为r ． 由题意知，1MF r =+，M 到直线l 的距离为r ． 方法一：点M 到点()2,0F 的距离等于M 到定直线2x =-的距离，根据抛物线的定义知，曲线C 是以()2,0F 为焦点，2x =-为准线的抛物线． 故曲线C 的方程为28y x =． 方法二：因为1MF r ==+，1x r +=，1x >-，2x =+，化简得28y x =，故曲线C 的方程为28y x =．（2）方法一：设()00,P x y ，由PA ，得()()22220000222x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，又2008y x =，解得02x =，故()42,P ±，所以1PA k =±，从而π4PAF ∠=． 方法二：过点P 向直线2x =-作垂线，垂足为Q ．由抛物线定义知，PQ PF =，所以PA =，在APQ 中，因为π2PQA ∠=，所以sin 2PQ QAP PA ∠==， 从而π4QAP ∠=，故π4PAF ∠=． 【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.16．（1）22143x y +=；（2）3470x y +-=.【分析】（1）根据椭圆的定义判定轨迹方程并求出；（2）点差法求出直线的斜率，点斜式即可写出直线方程.【详解】（1）由椭圆的定义可知点P 的轨迹是以()11,0F -，()21,0F 为焦点，长轴长为4的椭圆. Γ∴的方程为22143x y +=. （2）（点差法）设()11,A x y ，()22,B x y ，A 、B 是Γ上的点，由2211222234123412x y x y ⎧+=⎨+=⎩作差得，()()()()12121212340x x x x y y y y -++-+=， 又线段AB 的中点为()1,1M ，12122x x y y ∴+=+=，从而直线AB 斜率212134AB y y k x x -==--. 直线l 的方程为31(1)4y x -=--， 即3470x y +-=. 【点睛】关键点点睛：直线与圆锥曲线相交时，若涉及弦的中点问题，弦所在直线的斜率问题， 可以利用“点差法”，可简化运算，求出直线斜率或中点，属于中档题. 17．（1）24y x =（2）10x y ±+=． 【分析】（1）由题意联立直线方程与抛物线方程，结合题意和韦达定理求得p 的值即可确定曲线方程；（2）首先确定曲线2C 的方程，设直线l '的方程为1x my =-，然后连线直线和椭圆方程，结合韦达定理得到关于m 的方程，解方程求得m 的值即可确定直线方程． 【详解】 （1）由已知得(,0)2p F ，设直线l 的方程为2p y x =-， ∴22230242p y x p x px y px⎧=-⎪⇒-+=⎨⎪=⎩， 123x x p ∴+=，又因为126x x +=， 所以2p =，∴曲线1C 的方程为24y x =．（2）由已知得2a =，c =1b ∴=，∴曲线2C 的方程为2214x y +=， 设直线l '的方程为1x my =-，则22221(4)23041x y m y my x my ⎧+=⎪⇒+--=⎨⎪=-⎩， 设3(M x ，3)y ，4(N x ，4)y ，34342223,44m y y y y m m +==-⋅++，∴3411||22OMNS y y =⨯⨯-==△， 因为45MONS=所以42471101m m m +-=⇒=±，∴直线l '的方程为10x y ±+=．【点睛】关键点点睛：本题主要考查抛物线方程的求解，椭圆方程的确定，直线与圆锥曲线的位置关系等知识，关键在于联立椭圆方程，由韦达定理及三角形面积公式可得出m ,求出直线方程，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．18．（1）22182x y +=；（2）12k =【分析】（1）利用椭圆的定义122a AF AF =+，求a ，再利用222b a c =-求解；（2）直线与曲线方程联立，利用根与系数的关系，表示0AP AQ k k +=，化简变形求解k 的值. 【详解】（1）由条件可知2c c ==x轴，所以()1F，)2F ，则122a AF AF =+====28a ∴=，2222b a c =-=，所以椭圆C 的方程22182x y +=；（2）设()11,P x y ，()22,Q x y联立方程22182y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，()222148480k x kmx m +++-=，()()222264414480k m k m ∆=-+-> 即2228m k <+，122814km x x k +=-+，21224814m x x k -=+，121211022AP AQ y y k k x x --+=+=--， 即()()()()()()2112122121022x y x y x x --+--=-- ()()()()211221210x kx m x kx m -+-+-+-=， ()()()1212221410kx x k m x x m --++--=即()()()2222488214101414k m km k m m k k--++--=++， 整理得()()21210k m k -+-=，所以12k =或12m k =-，若12m k =-，则直线l 过点()2,1A ，不合题意， 所以直线PQ 的斜率为定值，该定值是12. 【点睛】关键点点睛：解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出1212,x x x x +，得121211022AP AQ y y k k x x --+=+=--，得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．19．（1）2214x y +=；（2）0x y --=或0x y +=或20x --=或20x -=.【分析】（1）由直线方程，求出椭圆的上顶点和右焦点，可得出a 、b 的值，进而可求出椭圆C 的方程；（2）设直线l的方程为x my =，设点()11,A x y 、()22,B x y ，于是得出OAB 的面积为1212OABSOF y y =⋅-，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，将韦达定理代入OAB 的面积表达式可求出m 的值，从而可得出直线l 的方程．【详解】（1）由0x -=，令0x =可得1y =；令0y =可得x =因为直线0x +-=经过椭圆的上顶点和右焦点，所以半焦距为c =1b =，因此2a ==，所以，椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）由（1）可得)2F ，设过)2F的直线方程为x my =，由2214x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去x ，整理得()22410m y ++-=， 显然22124164280m m ∆=++=+>. 设12(,)A x x ，12(,)B x x，则12y y +=，12214y y m -=+，从而12y y -=所以121122OABSOF y y =⋅-==，解得1m =±或2m =± 所以直线l的方程为0x y -=或0x y +=，20x --=或20x -=.【点睛】 思路点睛：求解椭圆中三角形（或四边形）面积相关问题时，一般需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，以及弦长公式等，表示出三角形（或）四边形的面积，结合题中条件列出方程求解即可.20．（11；（2）最大值72；最小值1-. 【分析】（1）因为在焦点三角形12AF F 中，120AF AF ⋅=，则12AF AF ⊥，又因为01260AF F ∠=，所以12,AF c AF ==，所以1212212F F c c e a a AF AF =====+， （2）若1a b ==，则1c =，12(1,0),(1,0)F F -，当AB 垂直于x 轴时，可求出,A B两点的坐标，从而可得22F A F B ⋅的值，当AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为(1)y k x =+，与椭圆方程联立成方程组，消去y 后，整理再利用韦达定理得2122412k x x k+=-+, 21222(1)12k x x k -⋅=+，从而可得22F A F B ⋅=22271791222(12)k k k -=-++，进而可求出其取值范围 【详解】 （1）120AF AF ⋅=，12AF AF ∴⊥因为1260AF F ∠=。
新人教版高中数学选修一第三单元《圆锥曲线的方程》测试卷(有答案解析)(3)
一、填空题1．直线l ：240x y +-=与椭圆C ：22416+=x y 交于A ，B 两点，则弦长AB =___________.2．已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，()1,4A ，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为________．3．已知ABC 的周长为20，且顶点()0,3B -，()0,3C ，则顶点A 的轨迹方程是___________.4．已知F 是双曲线C ：2218y x -=的右焦点，P 是C 的左支上一点，点A 的坐标为()0,4，则APF 周长的最小值为_____________.5．已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为()1,0F c -，右顶点为A ，上顶点为B ，现过A 点作直线1F B 的垂线，垂足为T ，若直线OT （O 为坐标原点）的斜率为3b c-，则该椭圆的离心率为______． 6．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为F ，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若||3||PF QF =，且120PFQ ∠=，则椭圆E 的离心率为__.7．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，O 为坐标原点.过点F 的直线240x y +-=与椭圆的交点为Q (点Q 在x 轴上方)，且||||OF OQ =，则椭圆C 的离心率为_____.8．设1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且123PF PF =，则该双曲线的离心率为__________.9．已知O 为坐标原点，点(1,2)P 在抛物线C ：24y x =上，过点P 作两直线分别交抛物线C 于点A ，B ，若0PA PB k k +=，则AB OP k k ⋅的值为______. 10．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为____．11．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上存在一点P使12PF e PF =，则该椭圆的离心率e 的取值范围是______.12．已知直线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>)相交于不同的两点A ，B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足3AF BF =，OA b =(O 为坐标原点)，则双曲线C 的离心率为__________.13．已知抛物线方程为24y x =-，直线l 的方程为240x y +-=，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，点A 到直线l 的距离为n ，则m n +的最小值为______.二、解答题14．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>2.（1）求椭圆C 的方程（2）设A ，B 为椭圆C 上任意两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥.求证：原点O 到直线AB 的距离为定值，并求出该定值.15．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()22:21F x y -+=，动圆M 与直线:1l x =-相切且与圆F 外切．（1）记圆心M 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）已知()2,0A -，曲线C 上一点P 满足PA ，求PAF ∠的大小． 16．过双曲线22142x y -=的右焦点F 作斜率为2的直线l ，交双曲线于A ，B 两点. （1）求双曲线的离心率和渐近线；（2）求AB 的长.17．已知椭圆()222210y x a b a b +=>>的离心率2e =，且过点(0,． （1）求椭圆方程；（2）已知1F 、2F 为椭圆的上、下两个焦点，AB 是过焦点1F 的一条动弦，求2ABF 面积的最大值．18．已知椭圆C ：22221x y a b+=（a >b >0)， 直线0x -=经过椭圆的上顶点和右焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ， B 两点.若OAB 的面积为5，求直线l 的方程.19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且椭圆上的点到焦点的最长距离为12+. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(0,2)P 的直线l (不过原点O )与椭圆C 交于两点A ､B ，M 为线段AB 的中点. （i ）证明：直线OM 与l 的斜率乘积为定值；（ii ）求OAB 面积的最大值及此时l 的斜率.20．如图，椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为,A B ，离心率5e =，长轴与短轴的长度之和为10.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）在椭圆E 上任取点P （与,A B 两点不重合），直线PA 交y 轴于点C ，直线PB 交y 轴于点D ，证明：OC OD ⋅为定值.21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，点33,2P ⎭在C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）设1F ，2F 分别是椭圆C 的左，右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，求1F AB 面积的最大值.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>3C 过点322⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知O 为原点，过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求OAB 的面积的最大值.23．抛物线2:4C x y =与直线:(0)=+≠l y kx m k 有唯一公共点，且C 的焦点为F . （1）用含k 的式子表示m .（2）若点E 与F 关于直线l 对称，证明E 的纵坐标为定值.24．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点(2,0)，一个焦点为(3,0)． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线(1)(0)y k x k =-≠与x 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，求||||AB PQ 的取值范围． 25．求符合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心为坐标原点焦距为6，实轴长为4；（2）焦点在x 轴上，中心为坐标原点，渐近线方程为y x =±，且过点(1)-.26．已知曲线()()222240.a x by b a b R Γ--+-=∈：，下面给出的三个问题，从中任选出一个问题，然后对选择的问题进行求解.①若42a b ==，，写出曲线的方程，指出曲线的名称，并求出该曲线的对称轴方程､顶点坐标､焦点坐标､及x y 、的取值范围；②若32a b ==，，写出曲线的方程，并求经过点(-1，0)且与曲线Γ只有一个公共点的直线方程；③若3a =，请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点，此两点满足条件：无论b 如何变化，这两点都不在曲线Γ上.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、填空题1．【分析】将直线与椭圆方程联立根据韦达定理确定根与系数关系再利用弦长公式求得弦长【详解】由直线：与椭圆：交于两点设得弦长故答案为：【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时要注意：(1)注意观察应用题设中的每解析：【分析】 将直线与椭圆方程联立，根据韦达定理确定根与系数关系，再利用弦长公式AB =求得弦长.【详解】由直线l ：240x y +-=与椭圆C ：22416+=x y 交于A ，B 两点设11(,)A x y ，22(,)B x y 22240416x y x y +-=⎧⎨+=⎩得240x x -= 12124,0x x x x +=⋅=弦长AB ===.故答案为：【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．2．【分析】作出图形设双曲线的右焦点为根据双曲线的定义可得可得出利用三点共线时取得最小值即可得解【详解】对于双曲线则如下图所示：设双曲线的右焦点为则由双曲线的定义可得则所以当且仅当三点共线时等号成立因此 解析：9【分析】作出图形，设双曲线的右焦点为M ，根据双曲线的定义可得4PF PM =+，可得出4PF PA PM PA +=++，利用A 、P 、M 三点共线时PF PA +取得最小值即可得解. 【详解】 对于双曲线221412x y -=，则2a =，23b =，4c =，如下图所示：设双曲线的右焦点为M ，则()4,0M ，由双曲线的定义可得4PF PM -=，则4PF PM =+，所以，()()2244144049PF PA PM PA AM +=++≥+=-+-=， 当且仅当A 、P 、M 三点共线时，等号成立.因此，PF PA +的最小值为9.故答案为：9.【点睛】关键点点睛：利用双曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法：（1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题；（2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解. 3．【分析】由周长确定故轨迹是椭圆注意焦点位置和抠除不符合条件的点即可【详解】的周长为20且顶点所以点到两个定点的距离和为定值故点的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆则顶点A 的轨迹方程是故答案为：【点睛】易错点睛 解析：()22104049x y x +=≠ 【分析】 由周长确定146AB AC +=>，故轨迹是椭圆，注意焦点位置和抠除不符合条件的点即可.【详解】 ABC 的周长为20，且顶点()0,3B -，()0,3C ，6BC ∴=，146AB AC +=>，所以点A 到两个定点的距离和为定值，故点A 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆， 2147a a =⇒=，3c =，22249940b a c =-=-=则顶点A 的轨迹方程是()22104049x y x +=≠. 故答案为：()22104049x y x +=≠. 【点睛】易错点睛：本题考查椭圆定义的应用，在求解过程中要注意椭圆的定义要检查两个线段的大小，看是否可以构成椭圆，还要注意要围城三角形需要排除不符合的点，考查学生的转化能力与运算能力，属于基础题.4．12【分析】设左焦点为由双曲线的定义转化的周长为即可得解【详解】由双曲线方程可知故左焦点当点在双曲线左支上运动时由双曲线定义知所以从而的周长为因为为定值所以当最小时的周长最小此时点在线段与双曲线的交 解析：12【分析】设左焦点为()13,0F -，由双曲线的定义转化APF 的周长为12AP PF AF +++，即可得解.【详解】 由双曲线方程2218y x -=可知，1a =，3c =，故()3,0F ，左焦点()13,0F -， 当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知12PF PF -=，所以12PF PF =+， 从而APF 的周长为12AP PF AF AP PF AF =+++++，因为22345AF =+=为定值， 所以当()1AP PF +最小时，APF 的周长最小，此时点P 在线段1AF 与双曲线的交点处，如图所示，此时()2211min 345AP PF AF +==+=， 所以APF 周长的最小值为12.故答案为:12.【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键是利用双曲线的性质转化三角形的周长，数形结合即可得解. 5．【分析】由已知先求出直线与直线的方程联立得到T 的坐标再利用建立abc 的方程即可得到答案【详解】由题意得直线的方程为：又所以直线的方程为：由得所以又所以即化简得所以故答案为：【点睛】关键点睛本题解题关解析：12【分析】由已知先求出直线1F B 与直线OT 的方程，联立得到T 的坐标，再利用1AT BF ⊥，11AT BF k k ⋅=-，建立a ，b ，c 的方程即可得到答案.【详解】由题意，得(,0)A a ，(0,)B b ，1BF b k c =，直线1F B 的方程为：b y x b c =+ 又3OT b k c =-，所以直线OT 的方程为：3b y x c=- 由3b y x b c b y x c ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得434c x b y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以3(,)44c b T -，303444AT b b k c c a a -==-+--又1AT BF ⊥，所以1314AT BF b b k k c a c ⋅=-⋅=-+，即2222433()c ac b a c +==- 化简，得(32)(2)0a c a c +-=，所以2a c =，12c e a == 故答案为：12【点睛】关键点睛，本题解题关键是先联立直线1F B 与直线OT 的方程得到T 的坐标，再利用1AT BF ⊥得到11AT BF k k ⋅=-从而使问题获解.6．【分析】取椭圆的右焦点由直线过原点及椭圆的对称性可得四边形为平行四边形由及椭圆的性质可得余弦定理可得离心率的值【详解】取椭圆的右焦点连接由椭圆的对称性可得四边形为平行四边形则而所以所以在中解得：故答 解析：74【分析】取椭圆的右焦点F '，由直线l 过原点及椭圆的对称性可得四边形PFQF '为平行四边形，由||3||PF QF =及椭圆的性质可得2a PF '=，32a PF =，120PFQ ∠=︒余弦定理可得离心率的值.【详解】取椭圆的右焦点F '，连接QF '，PF '，由椭圆的对称性，可得四边形PFQF '为平行四边形，则PF QF '=，180********FPF PFQ ∠='=-∠-=，||3||PF QF =3||PF '=，而||||2PF PF a '+=，所以2a PF '=，所以32a PF =， 在PFF '中，2222222914||||58144cos 32332222a a c PF PF FF FPF e a PF PF a +-+-∠===-''''=⨯⨯，解得：4e =，. 【点睛】 关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中,由椭圆的对称性以及椭圆的定义得到2a PF '=，所以32a PF =，然后在PFF '中，根据余弦定理得到所要求的等量关系.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．7．【分析】转化条件为设点列方程可得点结合椭圆定义可得再由离心率的公式即可得解【详解】因为点在直线上所以椭圆左焦点设点则解得或（舍去）所以点所以即所以椭圆的离心率故答案为：【点睛】关键点点睛：解决本题的【分析】 转化条件为()2,0F ，设点(),24Q x x -+，列方程可得点68,55Q ⎛⎫⎪⎝⎭，结合椭圆定义可得a ，再由离心率的公式即可得解.【详解】因为点F 在直线240x y +-=上，所以()2,0F ，椭圆左焦点()12,0F -，设点(),24Q x x -+，则2OQ OF ===，解得65x =或2x =（舍去），所以点68,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以125a QF QF =+==，即5a =，所以椭圆的离心率5cea===【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是求出点Q的坐标，再结合椭圆的定义、离心率公式即可得解.8．【分析】取的中点由可得由是的中位线得到由双曲线的定义求出和的值进而在中由勾股定理可得结论【详解】解：取的中点则∵∴∴∵是的中位线∴由双曲线的定义得∵∴中由勾股定理得∴∴故答案为：【点睛】本题考查求双1【分析】取2PF的中点A，由()220OP OF F P+⋅=，可得2OA F P⊥，由OA是12PF F△的中位线，得到12PF PF⊥，由双曲线的定义求出1PF和2PF的值，进而在12PF F△中，由勾股定理可得结论.【详解】解：取2PF的中点A，则∵()220OP OF F P+⋅=，∴220OA F P⋅=，∴2OA F P⊥，∵OA是12PF F△的中位线，∴12PF PF⊥，112OA PF=.由双曲线的定义得122PF PF a-=，∵12PF=，∴2PF=，1PF=.12PF F△中，由勾股定理得222124PF PF c+=，∴2224c⎛⎫+=，∴1e=.1.本题考查求双曲线的离心率，考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，判断12PF F △是直角三角形，是解题的关键.9．－2【分析】可先设由斜率的定义表示出结合抛物线方程进行坐标代换全部代换成关于纵坐标的表达式通过即可求解【详解】设则同理∵∴得∴又∴故答案为－2【点睛】本题考查抛物线的几何性质设而不求方法的具体应用运解析：－2 【分析】可先设()11,A x y ，()22,B x y ，由斜率的定义表示出AB k ，PA k ，PB k ，结合抛物线方程进行坐标代换，全部代换成关于纵坐标的表达式，通过0PA PB k k +=即可求解 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则212122212112444AB y y y y k y y x x y y --===-+-.1121112241214PA y y k y x y --===-+-，同理242PBk y =+. ∵0PA PBk k +=，∴1244022y y +=++，得124y y +=-. ∴414AB k ==--. 又221OP k ==，∴122AB OP k k ⋅=-⨯=-.故答案为－2 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，设而不求方法的具体应用，运算能力，属于中档题10．6【解析】因为双曲线的右焦点为所以解析：6 【解析】因为双曲线22145x y -=的右焦点为(3,0) ，所以3,62p p ==11．【分析】由椭圆的定义可得解得由椭圆的性质可得解不等式求得离心率的取值范围【详解】设点的横坐标为则由椭圆的定义可得由题意可得则该椭圆的离心率的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查椭圆的定义以及简单性质解析：)1,1由椭圆的定义可得22()()a a e x e e x c c +=⨯-，解得(1)c a x e e -=+，由椭圆的性质可得(1)c aaa e e --+，解不等式求得离心率e 的取值范围．【详解】设点P 的横坐标为x ，12PF e PF =，则由椭圆的定义可得22()()a a e x e e x c c +=⨯-，(1)c a x e e -∴=+，由题意可得(1)c a a a e e --+， 111(1)e e e -∴-+，∴2211e e e e e e⎧--⎨-+⎩，∴11e <，则该椭圆的离心率e 的取值范围是1，1)，故答案为：1，1)． 【点睛】本题考查椭圆的定义，以及简单性质的应用，由椭圆的定义可得22()()a a e x e e x c c+=⨯-，是解题的关键．12．【分析】设双曲线的右焦点为连结则四边形为平行四边形由双曲线的定义可得进而可得在直角三角形中有勾股定理可得答案【详解】设双曲线的右焦点为如图连结由直线与双曲线都关于原点对称可得四边形为平行四边形所以由【分析】设双曲线的右焦点为1F ,连结11,AF BF ，则四边形1AFBF 为平行四边形，由双曲线的定义可得BF a =，3AF a =，进而可得90FBA ∠=︒，在直角三角形FBA 中有勾股定理可得答案. 【详解】设双曲线的右焦点为1F ,如图连结11,AF BF由直线y kx =与双曲线都关于原点对称，可得四边形1AFBF 为平行四边形 所以1BF AF =,由双曲线的定义可得：122AF AF AF BF BF a -=-==，所以BF a =3AF a =,在BFO 中，,,OB OA b OF c BF a ====所以222222OB BFa b c OF +=+==，所以BFO 为直角三角形，即90FBA ∠=︒在直角三角形FBA 中，()2222243AB BF a b a +=+=，即223a c =所以3==ce a故答案为：3【点睛】本题考查双曲线的定义的应用，考查双曲线的几何性质，考查求双曲线的离心率，属于中档题.13．【分析】过点作直线的垂线垂足为过点作准线的垂线垂足为交轴于点根据抛物线的定义可知所以过点作直线的垂线垂足为当点在与抛物线的交点时最小从而可求出答案【详解】如图焦点为抛物线的准线方程为过点作直线的垂线 651 【分析】过点A 作直线l 的垂线，垂足为H ，过点A 作准线的垂线，垂足为C ，交y 轴于点B ，根据抛物线的定义可知，1AF AC m ==+，所以1m n AF AH +=+-，过点F 作直线l 的垂线，垂足为1H ，当点A 在1FH 与抛物线的交点时，AF AH +最小，从而可求出答案. 【详解】如图，焦点为()1,0F -，抛物线的准线方程为1x =， 过点A 作直线l 的垂线，垂足为H ，则AH n =，过点A 作准线的垂线，垂足为C ，交y 轴于点B ，则AB m =，1AC m =+， 根据抛物线的定义可知，1AF AC m ==+， 所以1m n AF AH +=+-，过点F 作直线l 的垂线，垂足为1H ，则124655FH --==,当点A 在1FH 与抛物线的交点时，AF AH +最小，为1655FH =， 此时，m n +取得最小值6515-. 故答案为：651-.【点睛】本题考查抛物线的性质，考查点到直线距离公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.二、解答题14．（1）2214x y +=；（225. 【分析】（1）根据题意，将离心率公式与短轴端点到焦点的距离公式联立，可求得,,a b c 的值，从而可得椭圆的标准方程；（2）分为两种情况，一种为直线不存在斜率，一种为直线存在斜率，则设直线方程为y kx m =+，并设()()1122,,A x y B x y 与椭圆方程联立可得根与系数的关系，然后再根据OA OB ⊥，利用韦达定理及平面向量数量积公式可得m 与k 的关系，进而可知原点O 到直线AB 的距离为定值. 【详解】（1）由题意知，32c e a ==，222a b c +=，又222a b c =+， 所以2a =，3c =1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）当直线AB 的斜率不存在时，直线AB的方程为5x =±； 此时，原点O 到直线AB； 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y .代入椭圆方程2244x y +=，得()222148440kx kmx m +++-=， 则()()()()2222284144416140km kmk m ∆=-+-=+->，122814km x x k +=-+，21224414m x x k-=+， 则()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++222222224484141414m km m k k km m k k k --⎛⎫=⋅+-+= ⎪+++⎝⎭， 由OA OB ⊥得1OA OB k k =-，即12120x x y y +=，所以222544014m k k--=+，即()22415m k =+， 所以原点O 到直线AB的距离为d ==综上，原点O 到直线AB. 【点睛】关键点点睛：当直线斜率存在时，设直线为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，根据OA OB ⊥利用向量得到k ,m 的关系，再根据点到直线的距离，化简即可得到定值，这是定值问题的常见处理方式.15．（1）28y x =；（2）π4PAF ∠=． 【分析】（1）方法一，利用直线与圆的位置关系，以及圆与圆的位置关系，转化为抛物线的定义求曲线方程；方法二，利用等量关系，直接建立关于(),x y 的方程；（2）方法一，利用条件求点P 的坐标，再求PA k ；方法二，利用抛物线的定义，转化PF 为点P 到准线的距离，利用几何关系求PAF ∠的大小. 【详解】解：（1）设(),M x y ，圆M 的半径为r ． 由题意知，1MF r =+，M 到直线l 的距离为r ．方法一：点M 到点()2,0F 的距离等于M 到定直线2x =-的距离，根据抛物线的定义知，曲线C 是以()2,0F 为焦点，2x =-为准线的抛物线． 故曲线C 的方程为28y x =． 方法二：因为1MF r ==+，1x r +=，1x >-，2x =+，化简得28y x =，故曲线C 的方程为28y x =．（2）方法一：设()00,P x y ，由PA ，得()()22220000222x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，又2008y x =，解得02x =，故()42,P ±，所以1PA k =±，从而π4PAF ∠=． 方法二：过点P 向直线2x =-作垂线，垂足为Q ．由抛物线定义知，PQ PF =，所以PA =，在APQ 中，因为π2PQA ∠=，所以sin 2PQ QAP PA ∠==， 从而π4QAP ∠=，故π4PAF ∠=． 【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.16．（1）2e =，渐近线方程为2y x =±；（2）207.【分析】（1）由双曲线方程得出,a b ，再求出c ，可得离心率，渐近线方程；（2）写出直线方程，代入双曲线方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，由韦达定理得1212,x x x x +，然后由弦长公式计算弦长．【详解】解：（1）因为双曲线方程为22142x y -=，所以2a =，b =则c == 所以62cea ，渐近线方程为2y x =±.（2）双曲线右焦点为0)，则直线l 的方程为2(y x =代入双曲线22142xy -=中，化简可得27520x -+=设()11,A x y ，()22,B xy 所以127x x +=，12527x x ⋅=，所以2120||||7AB x x =-==. 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线的离心率和渐近线方程，考查直线与双曲线相交弦长．解题方法是直线方程与双曲线方程联立并消元后应用韦达定理求出1212,x x x x+，然后由弦长公式12d x =-求出弦长．17．（1）2212y x +=；（2【分析】（1）根据离心率的值，可列出a c ，的关系式，再根据经过()0,-2点，可得出a 的值和c 的值，最后再结合222a b c =+，可算出b 的值，直接写出椭圆方程即可.（2）根据题意设出直线的方程和椭圆方程联立方程组，由根和系数的关系，再结合三角形面积公式，可把三角形面积表示成含有参数的关系式，最后根据不等式，可求得面积的最大值. 【详解】（1）由题意，a =2c e a ==得1c =，所以1b =，所以椭圆方程是2212y x +=．（2）由于直线AB 经过上焦点()0,1，设直线AB 方程为1y kx =+，联立方程组22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩将1y kx =+代入椭圆方程2212y x +=，得()222210k x kx ++-=，则222A B k x x k +=-+，212A Bx x k ⋅=-+， ∴A Bx x -==21212ABF A B S F F x x =⋅-△，可知122F F =则2211122ABF S k ===≤+△．=，即0k =时，2ABF S．【点睛】椭圆与直线相交时，三角形面积问题的关键点为：设直线方程、联立方程组、韦达定理、列出三角形面积的关系式，最后根据函数或不等式，可求出三角形面积的范围.18．（1）2214x y +=；（2）0x y --=或0x y +=或20x --=或20x -=.【分析】（1）由直线方程，求出椭圆的上顶点和右焦点，可得出a 、b 的值，进而可求出椭圆C 的方程；（2）设直线l 的方程为x my =，设点()11,A x y 、()22,B x y ，于是得出OAB 的面积为1212OABSOF y y =⋅-，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，将韦达定理代入OAB 的面积表达式可求出m 的值，从而可得出直线l 的方程．【详解】（1）由0x -=，令0x =可得1y =；令0y =可得x=因为直线0x +-=经过椭圆的上顶点和右焦点， 所以半焦距为c =1b =，因此2a ==，所以，椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）由（1）可得)2F ，设过)2F 的直线方程为x my =，由2214x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去x ，整理得()22410m y ++-=， 显然22124164280m m ∆=++=+>. 设12(,)A x x ，12(,)B x x，则12y y +=，12214y y m -=+，从而1224y y m -=+.所以121122OABSOF y y =⋅-==，解得1m =±或m = 所以直线l的方程为0x y -=或0x y +=，20x --=或20x -=.【点睛】 思路点睛：求解椭圆中三角形（或四边形）面积相关问题时，一般需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，以及弦长公式等，表示出三角形（或）四边形的面积，结合题中条件列出方程求解即可.19．（1）2212x y +=；（2）（i ）证明见解析；（ii ）OAB面积的最大值是2，此时l的斜率为. 【分析】（1）根据离心率为2，且椭圆上的点到焦点的最长距离为1+12a c c a⎧+=+⎪⎨=⎪⎩求解.（2）（i ）设直线l 为：2y kx =+，与椭圆方程联立，利用韦达定理求得M 的坐标，进而求得OM k 验证即可.（ii ）由（i ）求得弦长AB 和点O 到直线l 的距离，由三角形面积公式12OABSd AB =⨯⨯求解. 【详解】（1）由题意得1a c c a⎧+=+⎪⎨=⎪⎩，解得2 1ac⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴22a=，2221b a c=-=，∴椭圆C的方程为2212xy+=.（2）（i）设直线l为：2y kx=+，1122(,),(,),(,)M MA x yB x y M x y，由题意得22212y kxxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴22(12)860k x kx+++=，∴28(23)0k∆=->，即232k>由韦达定理得：22121286,1212kx x x xk k-+==++∴2412Mkxk=-+，22212M My kxk=+=+∴12MOMMykx k==-，，∴12OMk k⋅=-∴直线OM与l的斜率乘积为定值（ii）由（i）可知：2222212121222(1)(23) 11()4k kAB k x k x x x x+-=+-=++-=，又点O到直线l的距离21dk=+∴222222(1)(23)112223221OABk k kS d ABk+--=⨯⨯==+223k t-=，则0t>，∴22222224OABtStt==≤=+，当且仅当2t=时等号成立，此时14k=0∆>，∴OAB面积的最大值是2，此时l的斜率为2±【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．20．（1）22194x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由条件建立关于,,a b c 的方程，再写出椭圆方程；（2）解法1：设()00,P x y ，()10,C y ，()20,D y ，利用,,P C A 和,,P B D 三点共线，表示12,y y ，再利用点P 在椭圆上，化简OC OD ⋅为定值，解法2：由公式22PA PB b k k a⋅=-，写出直线PA 和PB ，并求直线与y 轴的交点，利用公式22PA PBb k k a⋅=-，化简OC OD ⋅为定值；解法3：如图所示，||||OC OD OC OD ⋅=⋅||||||||||||OC OD OA OB OA OB =⋅⋅⋅，利用公式22PA PB b k ka ⋅=-，化简OC OD ⋅为定值. 【详解】 （1）由题可知2210,c e ab a ==+=解得3,2a b == 故椭圆E 的标准方程为22:194x y E +=（2）解法1：设00(,)P x y ，直线PA 交y 轴于点1(0,)C y ，直线PB 交y 轴于点2(0,)D y.则2200194x y +=，即2020949y x =-.易知OC 与OD 同向，12OC OD y y ⋅=⋅ 因为(3,0),(3,0)A B -，所以得直线PA 的方程为00003y y x x y x --=---，令0x =，则01033y y x =+；直线PB 的方程为00003y y x x y x --=--，令0x =，则02033y y x =-所以212294,9y OC OD y y x ⋅=⋅==-为定值. 解法2：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，2200194x y +=，即2020949y x =-，∴ 2000200043399PA PB y y y k k x x x ⋅=⋅==-+--，由（1）知，设直线,PA PB 斜率分别为12,k k ，则124.9k k ⋅=-直线PA 的方程为1(3)y k x =+，令0x =得113y k =；直线PB 的方程为2(3)y k x =- 令0x =得223y k =-.所以121294OC OD y y k k ⋅==-=解法3：22194x y +=的左、右顶点分别为,A B ，由解法2可知，4.9PA PB k k ⋅=-如题图所示，||||OC OD OC OD ⋅=⋅||||||||()33||||PA PB OC OD OA OB k k OA OB =⋅⋅⋅=⋅-⨯⨯ ()3394PA PB PA PB k k k k =⋅-⨯⨯=-⋅=.【点睛】结论点睛：本题第三问，当点P 在椭圆上，并且,A B 为长轴端点时，则22PA PBb k k a⋅=-.21．（1）22143x y +=；（2）最大值为3.【分析】（1）根据离心率为12以及过定点P ⎭，列方程即可得解； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，根据题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+和22143x y +=联立可得()2234690m y my ++-=，结合韦达定理带入面积公式，即可得解. 【详解】（1）依题意有22222123314c a a b c a b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，解得2,1.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 故椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，根据题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2234690m y my ++-=()()22636340m m ∆=++>，m ∈R ，由韦达定理得122634m y y m -+=+，122934y y m -=+， ∴112212112F ABS F F y y y y =-=-==△，令t =，则1t ≥，∴121241313F AB t S t t t==++△.令()13f t t t=+，则当1t ≥时，()f t 单调递增， ∴()()413f t f ≥=，13F AB S ≤△，即当1t =，0m =时，1F ABS 的最大值为3.【点睛】本题考查了直线和椭圆的位置关系，考查了椭圆中面积的最值问题，考查了韦达定理的应用，有一定的计算量，属于中档题. 本题的关键有：（1）韦达定理的应用，韦达定理是联系各个变量之间关系的桥梁，是解决直线和圆锥曲线问题的最重要的方法；（2）计算能力和计算技巧，计算能力和计算技巧是解决解析几何问题的基础.22．（1）22132x y +=；（2）3. 【分析】（1）根据离心率c e a ==，将点坐标代入曲线方程，结合222a b c =+，即可求得a ，b ，c 的值，即可求得答案；（2）由题意得右焦点为()1,0F ，设直线l 的方程为：()10x my m =+≠，与椭圆联立，根据韦达定理，可得12y y +，12y y 的表达式，即可求得12y y -的表达式，根据m 的范围，即可求得12y y -的最大值，代入面积公式，即可求得OAB 的面积的最大值. 【详解】（1）由题意得2222292144c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a=b =1c =.故椭圆方程为：22132x y +=.（2）易知椭圆的右焦点为()1,0F ，设直线l 的方程为：()10x my m =+≠，联立直线l 方程代入椭圆方程221321x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理可得：()2223440m y my ++-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则222(4)4(23)(4)48(+1)0m m m ∆=-+-=>122423m y y m -+=+，122423y y m -=+， 所以12y y -===，因为20m ≥，所以2110,233m ⎛⎤∈ ⎥+⎝⎦， 易知当0m =，即211233m =+时，原式12y y -取得最大值=此时AOBS的最大值为1211122y F y O ⨯⨯=⨯=-.即三角形OAB . 【点睛】解题的技巧为：设直线l 的方程为：()10x my m =+≠，可联立消去x ，得到关于y 的一元二次方程，进而可直接求得12y y -的表达式，即可得12y y -的最大值，即可求得面积的最大值，考查分析理解，计算求值的能力属中档题. 23．（1）2m k =-；（2）证明见解析. 【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，利用0∆=得到k 和m 的关系式；（2）设(,)E x y ，EF 的中点为M ，利用1EF l k k ⋅=-及点M 在直线l 上，列出关于,x y 的方程组，解出点E 的纵坐标即可证明. 【详解】解：（1）将y kx m =+代入24x y =，2440x kx m ⇒--=，∵l 与C 只有一个交点，故方程有两个相等的实数根，2216160k m m k ⇒∆=+=⇒=-. （2）设(,)E x y ，∵(0,1)F ，设M 为EF 中点，∴1,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭， M 在直线l 上，得122y kx m +=+①， EF 的斜率为1y k x'-=， 则由EF 与l 垂直可得1k k'=-， 故()111y x y k x k-=-⇒=-② 联立①②：21(1)22y k y m +=-+∵222112222k k m k y ⎛⎫=-⇒+=-- ⎪⎝⎭1y ⇒=-∴E 点纵坐标为定值1-. 【点睛】本题的难点在于（2）的证明，其核心是解决点关于线的对称点问题．一般地，设点(,)P x y 关于直线():00l Ax By C B ++=≠的对称点为()00',P x y ，则0x ，0y 满足：00001022y y A x x B x x y y A B C ⎧-⎛⎫⋅-=- ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨++⎪++=⎪⎩． 24．（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）(4,．【分析】（Ⅰ）依题意2a =，c =222a c b -=求解b 的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系求出A ，B 横纵坐标的和与积，进一步求得AB 的垂直平分线方程，求得Q 的坐标，由两点间的距离公式求得||PQ ，由弦长公式求得||AB ，作比后求得||||AB PQ 的取值范围． 【详解】解：（Ⅰ）由题意得2a =，c =因为222a c b -=，即2222b -=，所以1b =．。
最新人教版高中数学选修一第三单元《圆锥曲线的方程》检测卷(有答案解析)(2)
一、填空题1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆的离心率为______．2．已知圆的方程为224x y +=，若抛物线过点()1,0A -，()1,0B ，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________. 3．已知动圆Q 与圆()221:49C x y ++=外切，与圆()222:49C x y +-=内切，则动圆圆心Q 的轨迹方程为__________．4．在直角坐标平面内的△ABC 中，(2,0)A -、(2,0)C ，若sin sin 2sin A C B +=，则△ABC 面积的最大值为____________.5．已知点F 为椭圆22:143x y Γ+=的左焦点，点P 为椭圆Γ上任意一点，点O 为坐标原点，则OP FP ⋅的最大值为________6．若点(,)x y 在双曲线2214xy -=上，则232x y -的最小值是____________．7．设12,F F 是双曲线22154x y -=的两个焦点，P 是该双曲线上一点，且12:2:1PF PF =，则12PF F ∆的面积等于__________．8．已知F 为双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个端点，过F ，A 两点的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若3AB FA =，则此双曲线的离心率为________.9．已知P 是椭圆2214x y +=上的一点，F 为右焦点，点A 的坐标为，则AFP周长的最大值为_______.10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF 的三边长2BF 、||AB 、2AF 成等差数列，则C 的离心率为___________．11．如图，过原点O 的直线AB 交椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>于A ，B 两点，过点A 分别作x 轴、AB 的垂线AP ．AQ 交椭圆C 于点P ．Q ，连接BQ 交AP 于一点M ，若45AM AP =，则椭圆C 的离心率是__________．12．已知直线y kx m =+与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线交于A B 、两点，与1yx k交于点N ，若N 为AB 的中点，则双曲线的离心率等于____. 13．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且||3||PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值是________.二、解答题14．如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：22221x ya b+=(0)a b >>的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，过点A 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的(0)k k ≠都有OP EQ ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（III ）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AEOM+的最小值. 15．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，其左，右焦点分别是12,F F ，椭圆上的4个点,,,A B M N 满足：直线AB 过左焦点1F ，直线AM 过坐标原点O ，直线AN 的斜率为32-，且2ABF 的周长为8 （1）求椭圆C 的方程．（2）求AMN 面积的最大值16．已知椭圆的左焦点为()3,0F -，右顶点为()2,0D ，设点A 的坐标是11,2⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程.17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点231,E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1A ，2A 为椭圆的左右顶点，且直线1A E ，2A E 的斜率的乘积为23-.（1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交直线l 于点P ，交直线2x =-于点Q ，求PQMN的最小值. 18．已知椭圆的两焦点分别为()13,0F -、()23,0F ，短轴长为2.（1）椭圆C 的标准方程；（2）已知过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭且斜率为1的直线交椭圆C 于,A B 两点，求线段AB 的长度.19．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，过右焦点2F 且斜率为1的直线l 与圆()()222221x y -+-=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）1F 为椭圆的左焦点，P 为椭圆上的一点，若12120PF F ∠=︒，求12PF F △的面积.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()2,0F ，且右焦点到左准线的距离为10．（1）求椭圆C 的方程;（2）O 为坐标原点，过点F 且斜率为1的直线与椭圆交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．21．已知椭圆()222210y x a b a b +=>>的离心率22e =，且过点()0,2-．（1）求椭圆方程；（2）已知1F 、2F 为椭圆的上、下两个焦点，AB 是过焦点1F 的一条动弦，求2ABF 面积的最大值． 22．已知P 为抛物线y =14x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是(2,0)，求|PA |+|PM |的最小值23．如图，椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为,A B ，离心率53e =，长轴与短轴的长度之和为10.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）在椭圆E 上任取点P （与,A B 两点不重合），直线PA 交y 轴于点C ，直线PB 交y 轴于点D ，证明：OC OD ⋅为定值.24．抛物线2:4C x y =与直线:(0)=+≠l y kx m k 有唯一公共点，且C 的焦点为F . （1）用含k 的式子表示m .（2）若点E 与F 关于直线l 对称，证明E 的纵坐标为定值.25．已知椭圆C ：22142x y +=.（1）求椭圆的离心率.（2）已知点A 是椭圆C 的左顶点，过点A 作斜率为1的直线m ，求直线m 与椭圆C 的另一个交点B 的坐标.（3）已知点(0,22M ，P 是椭圆C 上的动点，求PM 的最大值及相应点P 的坐标.26．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，且经过点(3.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若154AB =，求直线l 的方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、填空题1．【分析】作出图形设过椭圆右焦点且垂直于长轴的弦为计算出再利用椭圆的定义可得出关于的等式进而可求得椭圆的离心率的值【详解】如下图所示设椭圆的左右焦点分别为设过椭圆右焦点且垂直于长轴的弦为则由勾股定理可解析：512- 【分析】作出图形，设过椭圆右焦点2F 且垂直于长轴的弦为AB，计算出1AF ，再利用椭圆的定义可得出关于a 、c 的等式，进而可求得椭圆的离心率的值. 【详解】如下图所示，设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，设过椭圆右焦点2F 且垂直于长轴的弦为AB ，则2AB c =，212AF AB c ==， 由勾股定理可得2212125AF AF F F c =+=，由椭圆的定义可得122AF AF a +=52c c a +=，所以，该椭圆的离心率为()()25151515151c e a -====++-. 故答案为：512. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.2．【分析】根据题意可知：焦点到和的距离之和等于和分别到准线的距离和；而距离之和为和的中点到准线的距离的二倍即所以焦点的轨迹方程是以和为焦点的椭圆由此能求出该抛物线的焦点的轨迹方程【详解】解：设抛物线焦解析：22143x y +=(0)y ≠【分析】根据题意可知：焦点到A 和B 的距离之和等于A 和B 分别到准线的距离和；而距离之和为A 和B 的中点O 到准线的距离的二倍，即24r =，所以焦点的轨迹方程C 是以A 和B 为焦点的椭圆，由此能求出该抛物线的焦点F 的轨迹方程. 【详解】解：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线1AA ，1BB ，1OO ， 则|有11124AA BB OO +==； 由抛物线定义得11AA BB FA FB +=+，4FA FB ∴+=，故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)，∴ 抛物线的焦点轨迹方程22143x y +=(0)y ≠.故答案为：22143x y +=(0)y ≠.【点睛】关键点点睛：抛物线方程中，抛物线上的点到焦点F 的距离等于到准线的距离，牢记它对解题非常有益．3．【分析】根据题意和双曲线的定义得到动圆圆心Q 的轨迹是以为焦点的双曲线的上支求得的值即可求得轨迹方程【详解】设动圆Q 的半径为因为动圆Q 与圆外切与圆内切可得所以由双曲线的定义可得动圆圆心Q 的轨迹是以为焦解析：221(0)97y x y -=>【分析】根据题意和双曲线的定义，得到动圆圆心Q 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线的上支，求得,,a b c 的值，即可求得轨迹方程. 【详解】设动圆Q 的半径为R ，因为动圆Q 与圆()221:49C x y ++=外切，与圆()222:49C x y +-=内切，可得123,3QC R QC R =+=-，所以121268QC QC C C -=<=， 由双曲线的定义，可得动圆圆心Q 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线的上支， 其中26,28a c ==，解得3,4a c ==， 又由2221697b c a =-=-=，所以动圆圆心Q 的轨迹方程为221(0)97y x y -=>.故答案为：221(0)97y x y -=>.【点睛】求曲线的轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立,x y 之间的关系式或0(),F x y =，直接化简求解； 待定系数法：已知所求曲线的类型，先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定稀释；定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方法；代入转移法：动点(,)P x y 依赖于另一动点00(,)Q x y 的变化而变化，并且00(,)Q x y 又在某已知曲线上，则可先用,x y 的代数式表示00,x y ，将00,x y 代入已知曲线求解.4．【分析】由正弦定理可得结合椭圆的定义可得点的轨迹方程即可得解【详解】因为所以所以点的轨迹是以为左右焦点长轴长的椭圆（不在x 轴上）该椭圆焦距所以所以点的轨迹方程为当时所以面积的最大值故答案为：【点睛】解析：【分析】由正弦定理可得2BC AB AC +=，结合椭圆的定义可得点B 的轨迹方程，即可得解. 【详解】因为sin sin 2sin A C B +=，4AC =，所以28BC AB AC AC +==>， 所以点B 的轨迹是以A 、C 为左右焦点，长轴长28a =的椭圆（不在x 轴上）， 该椭圆焦距24c =，所以22212b a c =-=，所以点B 的轨迹方程为()22101612x y y +=≠，当0x =时，y =±，所以ABC 面积的最大值max 142S =⨯⨯=故答案为：【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用正弦定理转化条件为2BC AB AC +=，再结合椭圆的定义即可得解.5．【分析】设点的坐标为则可得出利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最大值【详解】设点的坐标为则则可得椭圆的左焦点为则二次函数在区间上单调递增所以因此的最大值为故答案为：【点睛】本 解析：6【分析】设点P 的坐标为(),x y ，则22x -≤≤，可得出22334y x =-，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得OP FP ⋅的最大值. 【详解】设点P 的坐标为(),x y ，则22x -≤≤，则22143x y +=，可得22334y x =-，椭圆Γ的左焦点为()1,0F -，(),OP x y =，()1,FP x y =+， 则()()2222231113322444OP FP x x y x x x x x x ⋅=++=++-=++=++， 二次函数()()21224f x x =++在区间[]22-,上单调递增， 所以，()()2max 124264f x f ==⨯+=. 因此，OP FP ⋅的最大值为6. 故答案为：6. 【点睛】本题考查椭圆中向量数量积最值的求解，考查了椭圆有界性以及二次函数基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.6．【分析】根据点在曲线上可以二元化一元得到再由二次函数的性质得到结果【详解】点在双曲线上故进而得到：二次函数对称轴为结合二次函数图像及性质可知最小值为时对应的值为故答案为【点睛】这个题目考查了双曲线的 解析：14312【分析】根据点在曲线上可以二元化一元得到()22232314212212x y y y yy -=+⨯-=-+再由二次函数的性质得到结果. 【详解】点(),x y 在双曲线2214x y -=上，故2214x y =+，进而得到：()22232314212212x y yy yy -=+⨯-=-+，二次函数对称轴为112y =，结合二次函数图像及性质可知最小值为112y =时对应的值为14312. 故答案为14312. 【点睛】这个题目考查了双曲线的几何意义的应用，根据点在曲线上可以二元化一元，最终转化为二次函数求最值的问题，结合图像性质即可得到结果.7．12【分析】通过双曲线的定义可先求出的长度从而利用余弦定理求得于是可利用面积公式求得答案【详解】由于因此故由于即而所以所以因此【点睛】本题主要考查双曲线定义余弦定理面积公式的综合应用意在考查学生的分解析：12 【分析】通过双曲线的定义可先求出12PF PF ，的长度，从而利用余弦定理求得12cos F PF ∠，于是可利用面积公式求得答案. 【详解】由于22154x y -=，因此a =3c =，故12|26|=F F c =，由于12:2:1PF PF =即12=2PF PF，而122PF PF a -==1PF，2PF ，222121212124cos 25PF PF F F F PF PF PF +-∠==⋅，所以123sin 5F PF ∠=，因此1212121||||sin 122PF F S PF PF F PF ∆=∠=. 【点睛】 本题主要考查双曲线定义，余弦定理，面积公式的综合应用，意在考查学生的分析能力，计算能力及转化能力，难度中等.8．【分析】首先根据题意得到直线的方程为与双曲线的渐近线联立得到再根据得到从而得到【详解】由得直线的方程为根据题意知直线与渐近线相交联立得消去得由得所以即整理得则故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的离解析：43【分析】首先根据题意得到直线AF 的方程为by x b c=+，与双曲线的渐近线联立得到=-B ac x c a ，再根据3AB FA =得到34c a =，从而得到43e =. 【详解】 由(),0F c -，()0,A b ，得直线AF 的方程为by x b c=+ 根据题意知，直线AF 与渐近线by x a=相交， 联立得b y x b cb y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去y 得，=-B ac x c a . 由3AB FA =，得()(),3,-=B B x y b c b ， 所以3=B x c ，即3=-acc c a，整理得34c a =， 则43c e a ==. 故答案为：43【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，同时考查学生的计算能力，属于中档题.9．10【分析】如图所示设椭圆的左焦点为利用利用即可得到结果【详解】解：如图所示设椭圆的左焦点为由题意可知则因为的坐标为所以由椭圆的定义可得因为所以周长为当且仅当三点共线时取等号所以周长的最大值为10故解析：10 【分析】如图所示，设椭圆的左焦点为'F ，利用'AF AF =，'24PF PF a +==，利用''PA PF AF -≤，即可得到结果【详解】解：如图所示，设椭圆的左焦点为'F ，由题意可知2,1,a b c ===F ，因为A的坐标为，所以'3AF AF ==， 由椭圆的定义可得'24PF PF a +==， 因为''PA PF AF -≤，所以AFP 周长为'434310AF PA PF AF PA PF ++=++-≤++=， 当且仅当',,A P F 三点共线时取等号，所以AFP 周长的最大值为10， 故答案为：10【点睛】此题考查了椭圆的定义及其性质，三角形的三边大小关系，考查数形结合的思想，考查计算能力，属于中档题10．【分析】由已知设据勾股定理有；由椭圆定义知的周长为4a 由勾股定理可得选项【详解】由已知设所以根据勾股定理有解得；由椭圆定义知所以的周长为4a 所以有；在直角中由勾股定理∴离心率故答案为：【点睛】本题考 解析：22【分析】由已知，设2BF x =，||AB x d =+，22AF x d =+，据勾股定理有3x d =；由椭圆定义知2ABF 的周长为4a ，由勾股定理，2224a c =，可得选项. 【详解】由已知，设2BF x =，||AB x d =+，22AF x d =+，所以根据勾股定理有()()222+2++x d x x d =，解得3x d =；由椭圆定义知1212++2AF AF BF BF a ==，所以2ABF 的周长为4a ，所以有3a d =，21BF a BF ==；在直角2BF F △中，由勾股定理，2224a c =，∴离心率22e =． 故答案为：22. 【点睛】本题考查椭圆离心率，椭圆的定义，重在对问题的分析，抓住细节，同时考查计算能力，属于中档题.11．【分析】先设出两点的坐标分别为由此可得而则得再由和BMQ 三点共线可得而两点在椭圆上把其坐标代入椭圆方程中两方程作差得由此可得从而可求出离心率【详解】设）则由则再由BMQ 三点共线则故故即又因为即所以故【分析】先设出,A Q 两点的坐标分别为()()1122 ,,,A x y Q x y ，由此可得()()1111,,,B x y P x y ---，而则45AM AP =得113(,)5M x y -，再由AB AQ ⊥，和B ，M ，Q 三点共线可得222221211()5y y x x -=--，而,A Q 两点在椭圆上，把其坐标代入椭圆方程中，两方程作差得22221212220x x y y a b --+=，由此可得2215b a =，从而可求出离心率. 【详解】设()()1122 ,,,A x y Q x y ）， 则()()1111,,,B x y P x y ---，113(,)5M x y - 由AB AQ ⊥，则1211211y y y x x x -⋅=--， 再由B ，M ，Q 三点共线，则1211215y y y x x x +=+， 故2121212115y y x xx x y y +-=-⋅+-，故即 222221211()5y y x x -=--，又因为2211221x y a b +=，2222221x y a b+=， 即22221212220x x y y a b --+=，所以2215b a =，故椭圆C．【点睛】此题考查椭圆的简单几何性质，求椭圆的离心率，考查运算能力，利用了数形结合的思想，属于中档题.12．【分析】由题意联立方程组可得由中点的性质可得化简后利用即可得解【详解】由题意双曲线的两条渐近线为则同理联立为的中点即整理得故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解考查了直线交点的问题和【分析】由题意联立方程组可得A am x ka b -=+、B amx b ka=-、21N km x k =-，由中点的性质可得2A B N x x x +=，化简后利用e =即可得解. 【详解】由题意双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线为b y x a=±，则A y kx mam x b ka b y x a =+⎧-⎪⇒=⎨+=-⎪⎩，同理Bam x b ka =-， 联立211N y kx mkm x k y x k =+⎧⎪⇒=⎨-=⎪⎩， N 为AB 的中点，∴2A B N x x x +=，即221am am mkb ka b ka k -+=+--， 整理得221b a =，∴e ==. 【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解，考查了直线交点的问题和运算能力，属于中档题.13．【分析】转化条件得点则利用基本不等式即可得解【详解】由题意可知点设由可得则点当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】本题考查了抛物线的性质平面向量的应用以及基本不等式的应用属于中档题【分析】转化条件得点2003,884y y p M p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则001322OM k y p y p=+，利用基本不等式即可得解. 【详解】 由题意可知点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，0p >，设()2000,02y P y y p ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由||3||PM MF =可得4PF MF =， 则200,884y y p MF p ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴点2003,884y y p M p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,∴020143332288OM y k y p y p y pp==≤=++，当且仅当00322y p y p =时等号成立.【点睛】本题考查了抛物线的性质、平面向量的应用以及基本不等式的应用，属于中档题.二、解答题14．（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）存在，3(,0)2-；（III）【分析】（Ⅰ）根据离心率和顶点求出,a c ，再求出b 即可得出方程；（Ⅱ）联立直线与椭圆方程求出点D 坐标，进而得出点P 坐标，再利用1OP EQ k k ⋅=-即可求出定点；（III ）设OM 的方程为y kx =，与椭圆联立，得出M 横坐标，利用D AE AMx x x x AD AE OM x -+-+=表示出，即可求出最值.【详解】解：（Ⅰ）因为椭圆C ：22221x y a b+=0a b >>（）的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -， 所以2a =，又12e =，所以1c =，可得2223b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；(Ⅱ)直线l 的方程为(2)y k x =+，由22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,可得：22(2)(43)860x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以12x =-，2228643k x k -+=+，当 228643k x k -+=+时，2228612(2)4343k ky k k k -+=+=++， 所以2228612(,)4343k kD k k -+++， 因为点P 为AD 的中点，所以P 点坐标为22286(,)4343k kk k -++，则3(0)4OP k k k-=≠， 直线l 的方程为(2)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,2)k ， 假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠使得OP EQ ⊥， 则1OP EQ k k ⋅=-，即3214n kk m -⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭恒成立， 所以(46)30m k n +-=，所以46030m n +=⎧⎨-=⎩，即320m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以定点Q 的坐标为3(,0)2-.（III ）因为//OM l ，所以OM 的方程可设为y kx =，和22143x y +=联立可得M点的横坐标为x =， 由//OM l可得：22D A E A D A M M x x x x x x AD AE OM x x -+--+===≥，即k =时取等号，所以当k =AD AE OM +的最小值为.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.15．（1）22143x y+=；（2）23．【分析】（1）根据2ABF的周长为8，解得2a=，再由离心率为12求解.()2设直线3:2AN y x t=-+，与椭圆方程联立，由弦长公式求得AN，点O到直线AN的距离，然后根据直线AM过坐标原点，由2AMN AONS S=求解.【详解】()1由椭圆的定义知48,2a a==，12ca=，1c∴=，从而2223b a c=-=，所以椭圆C的方程为22143x y+=.()2如图所示：设直线3:2AN y x t=-+，代入椭圆方程223412x y+=，化简得：223330x tx t-+-=，设()()1122,,,A x y N x y，由()23120t∆=->，得212t<，且()2312914tAN-=+而点O 到直线AN的距离d =， 且直线AM 过坐标原点，21AMNAONSS∴==+，()2212t t +-=≤=当且仅当2212t t=- ， 即26t =时取等号，AMN ∴面积的最大值为【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y1)，B (x 2，y 2)，弦长公式为；AB ==k 为直线斜率)．16．（1）2214x y +=；（2）22114124x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【分析】（1）设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，根据题意可求得a 、c 的值，进而可求得b 的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）设点()00,P x y 、(),M x y ，利用重点坐标公式可得0021122x x y y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，代入220014x y +=化简可得点M 的轨迹方程. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，c由题意可得20c a b ⎧==⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，因此，椭圆的标准方程为2214x y +=；（2）设点()00,P x y 、(),M x y ，则220014x y +=，由中点坐标公式可得0012122x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得0021122x x y y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， 代入220014x y +=得()222112142x y -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即22114124x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因此，线段PA 的中点M 的轨迹方程为22114124x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.17．（1）22132x y +=；（2）3. 【分析】（1）由题可得221413a b+=，233113a a ⋅=-+-，解得,ab ，即可得椭圆C 的方程； （2）由题可设直线l ：1x my =+，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式计算出点P ，MN，计算得2PQMN =，令t =，采用换元法求解最小值. 【详解】（1）依题意有，221413a b +=，233113a a ⋅=-+-， 解得23a =，22b =，椭圆的方程为22132x y +=；（2）由题意知直线l 的斜率不为0，设其方程为1x my =+， 设点()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程()2222123440321x y m y my x my ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩， 得到122423m y y m -+=+，122423y y m -=+ 由弦长公式MN =整理得22123m MN m +=+， 又1222223P y y m y m +-==+，2323Px m =+，2P PQ x =-=212PQMN =， 令t =，1t ≥，上式24554t t t t +⎫==+≥⎪⎝⎭， 当254t =，即12m =±时，PQ MN【点睛】方法点睛：求解弦长问题通常应用弦长公式： 直线与圆锥曲线交于点()()1122,,,A x y B x y，则弦长1212AB x y =-=-（k 为直线的斜率）. 18．（1）2214x y +=；（2）5. 【分析】（1）由焦点坐标可求c ，短轴长求b ，然后可求出a ，进而求出椭圆C 的标准方程． （2）先求出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及弦长公式求出线段AB 的长度． 【详解】（1）由()1F，)2F ，短轴长为2，得：1c b ==，又222a b c =+，所以24a =∴椭圆方程为2214x y +=（2）易知直线AB 的方程为12y x =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，联立 221412x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，化简整理得：25430x x +-= 由韦达定理得：12124,355x x x x +=-=- 所以AB ==【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的方程，考查韦达定理及弦长公式的应用，解题的关键是熟悉弦长公式，考查学生的运算能力，属于基础题．19．（1）2212x y+=；（2）7【分析】（1）运用椭圆的离心率和a ，b ，c 的关系，设出直线l 的方程，由直线和圆相切的条件，解方程可得c ，即可得到椭圆方程； （2）在12PF F 中，运用余弦定理和椭圆的定义，解方程可得1||PF ，运用三角形的面积公式，计算可得所求值．【详解】解：（1）2c a =，可得a =，所以2222b a c c =-=， 所以椭圆C 的方程可化为222212x y c c+=.过椭圆的右焦点且斜率为1的直线方程为y x c =-， 此直线与圆()()222221x y -+-=相切，2=，解得1c =，所求椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）在12PF F △中，设1||PF m =，2||PF n =，m n +=，12||2F F ， 由余弦定理得，22422cos120n m m =+-⨯︒，2242n m m =++，因为n m =代入上式解得m =所以12PF F △面积1211sin12022227S m F F =︒=⨯=故12PF F △【点睛】方法点睛：对于椭圆和双曲线的问题，看到焦半径要马上联想到椭圆双曲线的定义，利用其定义解题，必要时需借助正弦余弦定理求解.20．（1）2211612x y +=；（2【分析】（1）由题得2c =，210a c c+=，联解可得.（2）写出:2AB y x =-，与椭圆方程联解，利用根与系数关系及求得三角形面积得解.【详解】解（1）设椭圆的半焦距为c ，()2,0F2c ∴=，210a c c+=，216a ∴= 22216412b a c ∴=-=-=∴椭圆C 的方程为2211612x y +=（2）:2AB y x =-22211612y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩2712360y y ∴+-= 设()11,A x y ，()22,B x y1212127367y y y y ⎧+=-⎪⎪∴⎨⎪⋅=-⎪⎩12y y ∴-==△AOB的面积121122277S OF y y =-=⨯⨯=【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系通常是直线方程与圆锥曲线方程联解，利用根与系数关系求解，达到设而不求，简化运算.21．（1）2212y x +=；（2【分析】（1）根据离心率的值，可列出a c ，的关系式，再根据经过()0,-2点，可得出a 的值和c 的值，最后再结合222a b c =+，可算出b 的值，直接写出椭圆方程即可.（2）根据题意设出直线的方程和椭圆方程联立方程组，由根和系数的关系，再结合三角形面积公式，可把三角形面积表示成含有参数的关系式，最后根据不等式，可求得面积的最大值. 【详解】 （1）由题意，a =2c e a ==得1c =，所以1b =，所以椭圆方程是2212y x +=．（2）由于直线AB 经过上焦点()0,1，设直线AB 方程为1y kx =+，联立方程组22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩将1y kx =+代入椭圆方程2212y x +=，得()222210k x kx ++-=，则222A B k x x k +=-+，212A B x x k ⋅=-+， ∴A Bx x -==21212ABF A B S F F x x =⋅-△，可知122F F=则21112ABF S ===≤△．=，即0k =时，2ABF S．【点睛】椭圆与直线相交时，三角形面积问题的关键点为：设直线方程、联立方程组、韦达定理、列出三角形面积的关系式，最后根据函数或不等式，可求出三角形面积的范围.22．51-【分析】根据抛物线标准方程有焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-，根据抛物线定义||||||||1PA PM PA PF +=+-，结合三角形三边的性质即可求||||PA PM +最小值.【详解】抛物线标准形式为24x y =，则焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-，延长PM 交准线于N ，连PF ，由抛物线定义知：||||||||1||||1PA PM PA PN PA PF +=+-=+-，而在△PFA 中，||||||PA PF AF +>，∴仅当F 、P 、A 共线时，||||||5PA PF AF +==为最小值， ∴此时||||51PA PM +=为最小值. 【点睛】关键点点睛：由抛物线的定义将问题转化为求||||||||1PA PM PA PF +=+-最小值，由三角形三边的性质知：三点共线时||||PA PF +有最小值.23．（1）22194x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由条件建立关于,,a b c 的方程，再写出椭圆方程；（2）解法1：设()00,P x y ，()10,C y ，()20,D y ，利用,,P C A 和,,P B D 三点共线，表示12,y y ，再利用点P 在椭圆上，化简OC OD ⋅为定值，解法2：由公式22PA PB b k k a⋅=-，写出直线PA 和PB ，并求直线与y 轴的交点，利用公式22PA PBb k k a⋅=-，化简OC OD ⋅为定值；解法3：如图所示，||||OC OD OC OD ⋅=⋅||||||||||||OC OD OA OB OA OB =⋅⋅⋅，利用公式22PA PB b k k a ⋅=-，化简OC OD ⋅为定值. 【详解】 （1）由题可知2210,c e a b a ==+=解得3,2a b == 故椭圆E 的标准方程为22:194x y E +=（2）解法1：设00(,)P x y ，直线PA 交y 轴于点1(0,)C y ，直线PB 交y 轴于点2(0,)D y.则2200194x y +=，即2020949y x =-.易知OC 与OD 同向，12OC OD y y ⋅=⋅ 因为(3,0),(3,0)A B -，所以得直线PA 的方程为00003y y x x y x --=---，令0x =，则01033y y x =+；直线PB 的方程为00003y y x x y x --=--，令0x =，则02033y y x =-所以212294,9y OC OD y y x ⋅=⋅==-为定值. 解法2：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，2200194x y +=，即2020949y x =-，∴ 2000200043399PA PB y y y k k x x x ⋅=⋅==-+--， 由（1）知，设直线,PA PB 斜率分别为12,k k ，则124.9k k ⋅=-直线PA 的方程为1(3)y k x =+，令0x =得113y k =；直线PB 的方程为2(3)y k x =- 令0x =得223y k =-.所以121294OC OD y y k k ⋅==-=解法3：22194x y +=的左、右顶点分别为,A B ，由解法2可知，4.9PA PB k k ⋅=-如题图所示，||||OC OD OC OD ⋅=⋅||||||||()33||||PA PB OC OD OA OB k k OA OB =⋅⋅⋅=⋅-⨯⨯ ()3394PA PB PA PB k k k k =⋅-⨯⨯=-⋅=.【点睛】结论点睛：本题第三问，当点P 在椭圆上，并且,A B 为长轴端点时，则22PA PB b k k a⋅=-.24．（1）2m k =-；（2）证明见解析. 【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，利用0∆=得到k 和m 的关系式；（2）设(,)E x y ，EF 的中点为M ，利用1EF l k k ⋅=-及点M 在直线l 上，列出关于,x y 的方程组，解出点E 的纵坐标即可证明. 【详解】解：（1）将y kx m =+代入24x y =，2440x kx m ⇒--=，∵l 与C 只有一个交点，故方程有两个相等的实数根，2216160k m m k ⇒∆=+=⇒=-.（2）设(,)E x y ，∵(0,1)F ， 设M 为EF 中点，∴1,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭， M 在直线l 上，得122y kx m +=+①， EF 的斜率为1y k x'-=， 则由EF 与l 垂直可得1k k'=-， 故()111y x y k x k-=-⇒=-② 联立①②：21(1)22y k y m +=-+∵222112222k k m k y ⎛⎫=-⇒+=-- ⎪⎝⎭1y ⇒=-∴E 点纵坐标为定值1-. 【点睛】本题的难点在于（2）的证明，其核心是解决点关于线的对称点问题．一般地，设点(,)P x y 关于直线():00l Ax By C B ++=≠的对称点为()00',P x y ，则0x ，0y 满足：00001022y y A x x B x x y y A B C ⎧-⎛⎫⋅-=- ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨++⎪++=⎪⎩． 25．（1）2；（2）24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）PM取最大值P的坐标是(0,.【分析】（1）由方程直接求出,a c ，即可求出离心率；（2）可得直线方程为2y x =+，联立直线与椭圆方程即可求出交点坐标；（3）设()00,P x y ，利用距离公式与椭圆的有界性即可求出. 【详解】（1）因为24a =，22b =， 所以2a =，b =c ==所以椭圆的离心率2c e a ==. （2）()2,0A -，直线m 的方程为：2y x =+，联立方程组222142y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得：23840x x ++=，解得12x =-，223x =-， 所以点B 的坐标为24,33⎛⎫-⎪⎝⎭. （3）设()00,P x y ，因为P 是椭圆C 上的动点，所以2200142x y +=，220042x y =-，因为(M ，所以M P ====因为0y ≤≤所以当0y =时，PM 取最大值P 的坐标是(0,. 【点睛】关键点睛：本题考查直线与椭圆的交点坐标，可直接联立方程求解，第三问求椭圆上的点到定点的距离最值，解题的关键是正确表示距离，利用椭圆的有界性求解.26．（1）22143x y +=；（2）()1+12y x =±．【分析】（1）根据已知条件求得c ，b ，再求得a ，从而求得椭圆C 的标准方程.（2）设出直线AB 的方程()+1y k x =，联立直线AB 的方程和椭圆方程，化简后写出根与系数关系，利用弦长154AB =列方程，解方程求得k ，进而求得直线AB 的方程. 【详解】（1）依题意可知1c=，b =2a ==，。
新人教版高中数学选修一第三单元《圆锥曲线的方程》测试卷(含答案解析)(3)
一、填空题1．已知A 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点，O 为坐标原点，若直线:2l x c =上存在点P 使得45APO ∠=︒，则椭圆离心率的最大值为__________.2．已知动圆M 过定点()30A -,，并且内切于定圆()22:364B x y -+=，则动圆圆心M 的轨迹方程._______ 3．已知动圆Q 与圆()221:49C x y ++=外切，与圆()222:49C x y +-=内切，则动圆圆心Q 的轨迹方程为__________．4．已知点P 为抛物线C ：24y x =上的动点，抛物线C 的焦点为F ，且点()3,1A ，则PA PF +的最小值为_______．5．设12,F F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为()6,4，则1PM PF +的最大值为________．6．如图，过椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点1F 作直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，O为坐标原点，连接BO 并延长交椭圆E 于C 点，若1CF AB ⊥，且113CF AF =，则该椭圆E 的离心率e 为____________．7．设直线l :1y x =+与椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，与x 轴相交于左焦点F ，且3AF FB =，则椭圆的离心率e =_________8．已知M 是抛物线24y x =上一点，F 为其焦点，点A 在圆22:(6)(1)1C x y -++=上，则||||MA MF +的最小值是__________.9．椭圆2212516x y +=的左、右焦点为F 1､F 2，点P 在椭圆上，若F 1PF 2为直角三角形，则点P 到x 轴的距离为_____.10．椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆于P ，Q 两点（P 在x 轴上方），1PF PQ =，若1PQ PF ⊥，则椭圆的离心率e =______. 11．已知P 是椭圆2214x y +=上的一点，F 为右焦点，点A 的坐标为(0,6)，则AFP周长的最大值为_______.12．已知直线y kx m =+与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线交于A B 、两点，与1yx k交于点N ，若N 为AB 的中点，则双曲线的离心率等于____. 13．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>离心率为2，则其渐近线与圆()22214x a y a -+=的位置关系是________. 二、解答题14．已知抛物线2:2C y px =过点()1,2A ． （1）求抛物线C 的方程；（2）求过点()3,2P -的直线与抛物线C 交于M 、N 两个不同的点(均与点A 不重合)．设直线AM 、AN 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k ⋅为定值．15．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的焦距为23，点()0,2P 关于直线y x =-的对称点在椭圆E 上.（1）求椭圆E 的方程.（2）如图，过点P 的直线l 与椭圆E 交于两个不同的点C ，D （点C 在点D 的上方），试求COD △面积的最大值.16．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点F 在x 轴上，且抛物线C 上横坐标为4的点P 到焦点F 的距离为92. （1）求抛物线C 的标准方程.（2）已知点()2,0P ，点Q 在抛物线C 上.①若点Q 在第一象限内，且2PQ =，求点Q 的坐标. ②求PQ 的最小值.17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>M 到直线40y ++=距离为3.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 过点()4,2-且与椭圆C 相交于,A B 两点，l 不经过点M .证明：直线MA 的斜率与直线MB 的斜率之和为定值.18．在①01PF x =+，②0022y x ==，③PF x ⊥轴时，2PF =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答．问题：已知抛物线2:3(0)C y px p =>的焦点为F ，点()00,P x y 在抛物线C 上，且______，（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若直线:20l x y --=与抛物线C 交于A ，B 两点，求ABF 的面积．19．已知抛物线()220y px p =>以椭圆22143x y +=的右焦点为焦点F .（1）求抛物线方程.（2）过F 作直线L 与抛物线交于C ，D 两点，已知线段CD 的中点M 横坐标3，求弦CD 的长度.20．已知抛物线22(0)y px p =>，其准线方程为10x +=，直线l 过点(,0)(0)T t t >且与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点. （1）求抛物线方程；（2）证明：OA OB ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关；（3）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式.21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，椭圆C 的中心O 关于直线250x y --= 的对称点落在直线2x a =上；（1）求椭圆C ：的方程；（2）设()4,0P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两点，连接PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 斜率的取值范围； （3）证明直线ME 与x 轴相交于定点．22．已知抛物线1C ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与曲线1C 交于A ，B 两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，则126x x +=且弦AB 的中点到准线的距离为4．（1）求曲线1C 的方程；（2）设离心率为32且长轴为4的椭圆2C 的方程为()222210x y a b a b +=>>．又椭圆2C 与过点()1,0Q -且斜率存在的直线l '相交于M ，N 两点，已知45MONS =，O 为坐标原点，求直线l '的方程．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的四个顶点围成的四边形的面积为43，离心率23e =. （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在斜率为1-的直线l 与椭圆C 相交于两点M ，N 使得11FM F N =（1F 为椭圆的左焦点）?若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.24．（1）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦距为23，准线方程为33x =±，求椭圆1C 的方程；（2）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为52y x =，且与椭圆221123x y +=有2个公共交点，求双曲线2C 的方程. 25．如图，已知圆221:(22)48O x y ++=，点2(22,0)O ，P 是圆1O 上的一动点，N 是1PO 上一点，M 是平面内一点，满足2PM MO =，20NM PO ⋅=．（1）求点N 轨迹Γ的方程；（2）若,,(3,)(0)A B Q t t >均为轨迹Γ上的点，且以AB 为直径的圆过Q ，求证：直线AB 过定点．26．已知椭圆222:1(1)x E y a a +=>的离心率为22.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线:0l x y m -+=与椭圆交于E F 、两点，且线段EF 的中点在圆22+1x y =，求m 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、填空题1．【分析】设则利用直线倾斜角及两角差的正切可得在上有解该分式方程可转化为一元二次方程利用判别式可得的不等式从而可求离心率的最大值【详解】设右焦点为则故因为直线上存在点P 使得故在上有解即在上有解所以即故解析：14【分析】设()2,P c t ，则利用直线,AP OP 倾斜角及两角差的正切可得()2122att c c a =++在R 上有解，该分式方程可转化为一元二次方程，利用判别式可得,a c 的不等式，从而可求离心率的最大值. 【详解】设()2,P c t ，右焦点为F ， 则tan 2t PAO c a ∠=+，tan 2tPOF c∠=， 故()()2222tan 22122t tat c c a APO t t c c a c c a -+∠==++++，因为直线:2l x c =上存在点P 使得45APO ∠=︒，故()2122att c c a =++在R 上有解即()2220t at c c a -++=在R 上有解， 所以()2820a c c a -+≥即216810e e +-≤，故104e <≤.故离心率的最大值为14.. 【点睛】方法点睛：离心率的取值范围的计算，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组，有时也可以根据题设条件构建关于,,a b c 的等量关系，可根据方程有解得到基本量的不等式．2．【分析】由圆的标准方程有圆心为半径为8根据圆内切于定圆且过定点即有即知轨迹为椭圆写出轨迹方程即可【详解】由圆方程知：圆的圆心为半径为8∵圆过定点且内切于圆若设圆的圆心为∴由题意知：而故可知在以为焦点解析：221167x y +=【分析】由圆的标准方程有圆心为(3,0)B ，半径为8，根据圆M 内切于定圆B 且过定点()30A -,，即有||||8AM BM +=，||6AB =即知M 轨迹为椭圆，写出轨迹方程即可.【详解】由圆方程知：圆B 的圆心为(3,0)B ，半径为8，∵圆M 过定点()30A -,且内切于圆B ，若设圆M 的圆心为(,)M x y ， ∴由题意知：||||8AM BM +=，而||6AB =，故可知M 在以,A B 为焦点的椭圆上，∴2224,c 3,b 7a a c ===-=，即圆心M 的轨迹方程：221167x y +=.【点睛】关键点点睛：根据动圆过定点且与另一圆内切，即两圆圆心的距离加上动圆到定点的距离为定值，又两圆心距离为定值，即可知动圆圆心轨迹.3．【分析】根据题意和双曲线的定义得到动圆圆心Q 的轨迹是以为焦点的双曲线的上支求得的值即可求得轨迹方程【详解】设动圆Q 的半径为因为动圆Q 与圆外切与圆内切可得所以由双曲线的定义可得动圆圆心Q 的轨迹是以为焦解析：221(0)97y x y -=>【分析】根据题意和双曲线的定义，得到动圆圆心Q 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线的上支，求得,,a b c 的值，即可求得轨迹方程. 【详解】设动圆Q 的半径为R ， 因为动圆Q 与圆()221:49C xy ++=外切，与圆()222:49C x y +-=内切，可得123,3QC R QC R =+=-，所以121268QC QC C C -=<=， 由双曲线的定义，可得动圆圆心Q 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线的上支， 其中26,28a c ==，解得3,4a c ==， 又由2221697b c a =-=-=，所以动圆圆心Q 的轨迹方程为221(0)97y x y -=>.故答案为：221(0)97y x y -=>.【点睛】求曲线的轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立,x y 之间的关系式或0(),F x y =，直接化简求解； 待定系数法：已知所求曲线的类型，先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定稀释；定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方法；代入转移法：动点(,)P x y 依赖于另一动点00(,)Q x y 的变化而变化，并且00(,)Q x y 又在某已知曲线上，则可先用,x y 的代数式表示00,x y ，将00,x y 代入已知曲线求解.4．4【分析】设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知进而把问题转化为求取得最小进而可推断出当三点共线时最小答案可得【详解】抛物线的准线为设点在准线上的射影为如图则根据抛物线的定义可知要求取得最小值即解析：4 【分析】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知||||PF PD =进而把问题转化为求||||PA PD +取得最小，进而可推断出当D ，P ，A 三点共线时||||PA PD +最小，答案可得． 【详解】抛物线2:4C y x =的准线为1x =-． 设点P 在准线上的射影为D ，如图，则根据抛物线的定义可知||||PF PD =，要求||||PA PF +取得最小值，即求||||PA PD +取得最小． 当D ，P ，A 三点共线时，||||PA PD +最小，为3(1)4--=． 故答案为：4． 【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D ，P ，A 三点共线时||||PA PD +最小，是解题的关键．5．15【分析】利用椭圆的定义将左焦点问题转化为右焦点问题然后求解最值即可【详解】由椭圆方程可得：由椭圆的定义可得：则的最大值为15故答案为：15【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质等价转化的数学思解析：15 【分析】利用椭圆的定义将左焦点问题转化为右焦点问题，然后求解最值即可. 【详解】由椭圆方程可得：5,4,3a b c ===，12(3,0),(3,0)F F ∴-， 由椭圆的定义可得：12210PF PF a +==，()221222||||210||10103415PM PF PM a PF PM PF MF ∴+=+-=+-≤+=++=，则1||PM PF +的最大值为15. 故答案为：15. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．【分析】设椭圆的右焦点为连根据点的对称性和推出四边形为矩形所以设利用椭圆定义得到和根据勾股定理可得从而可得离心率【详解】设椭圆的右焦点为连如图：因为关于原点对称关于原点对称所以四边形为平行四边形又所 解析：2【分析】设椭圆的右焦点为2F ，连2BF ，2CF ，2AF ，根据点的对称性和1CF AB ⊥推出四边形12BF CF 为矩形，所以2AB BF ⊥，设1||AF m =，利用椭圆定义得到2||AF 和1||BF ，根据勾股定理可得2a c =，从而可得离心率.【详解】设椭圆的右焦点为2F ，连2BF ，2CF ，2AF ，如图：因为,B C 关于原点对称，12,F F 关于原点对称，所以四边形12BF CF 为平行四边形， 又1CF AB ⊥，所以四边形12BF CF 为矩形，所以2AB BF ⊥， 设1||AF m =，因为113CF AF =，所以1||3CFm =，所以2||3BF m =，22||AF a m =-，1||23BF a m =-，在直角三角形2ABF 中，由22222||||||AB BF AF +=得222(23)(3)(2)a m m m a m -++=-，化简得3a m =，所以1||BF a =， 2||BF a =，在直角三角形12BF F 中，由2221212||||||BF BF F F +=得2224a a c +=，即a =，所以椭圆E 的离心率e c a ==.【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中利用椭圆定义以及勾股定理得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．7．【分析】设联立方程组可得由可得进而可得再由椭圆的焦点坐标可得即可得解【详解】设将直线:代入椭圆方程消去x 化简得所以又所以所以所以化简得又直线:过椭圆的左焦点所以所以所以或（舍去）所以椭圆离心率故答案解析：2【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组可得12y y +、12y y ，由3AF FB =可得123y y =-，进而可得()()2222240a ab a b +-+=，再由椭圆的焦点坐标可得a ，即可得解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，将直线l :1y x =+代入椭圆方程，消去x 化简得222222()2(1)0a b y b y b a +-+-=，所以222121222222(1),b b a y y y y a b a b-+==++， 又3AF FB =，所以123y y =-，所以222222b y a b -=+，222222(1)3b a y a b--=+， 所以22222222(1)3b b a a b a b ⎛⎫---= ⎪++⎝⎭，化简得()()2222240a a b a b +-+=，又直线l :1y x =+过椭圆C 的左焦点F ， 所以()1,0F -，所以2221a b c -==， 所以22a =或21a =（舍去）， 所以2a =，椭圆离心率22c e a ==. 故答案为：22. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化3AF FB =为123y y =-，再结合韦达定理即可得解.8．【分析】根据抛物线方程求得准线方程过点作垂直于准线于根据抛物线的定义判断问题转化为求的最小值根据在圆上判断出当三点共线时有最小值进一步求出结果【详解】解：是抛物线上一点抛物线的准线方程为过点作垂直于 解析：6【分析】根据抛物线方程求得准线方程，过点M 作MN 垂直于准线于N ，根据抛物线的定义判断MN MF =，问题转化为求||||MA MN +的最小值，根据A 在圆C 上，判断出当,,M N C 三点共线时，||||MA MN +有最小值，进一步求出结果【详解】解：M 是抛物线24y x =上一点，抛物线的准线方程为1x =-， 过点M 作MN 垂直于准线于N ，则MN MF =， 所以||||MA MF MA MN +=+，因为点A 在圆C 上，圆22:(6)(1)1C x y -++=的圆心(6,1)C -，半径为1， 所以当,,M N C 三点共线时，||||MA MN +取得最小值6， 故答案为：6【点睛】关键点点睛：此题考查了抛物线的简单性质的应用，解题的关键是利用了抛物线的定义，结合图形将||||MA MF +转化为||||MA MN +进行求解，考查数形结合的思想和转化思想，属于中档题9．【分析】设点P(xy)表示出点P 到x 轴的距离为由哪一个角是直角来分类讨论在第一类中直接令x=士3得结果在第二类中要列出方程组【详解】设点则到轴的距离为由于（1）若或令得即到轴的距离为（2）若则由可得 解析：165【分析】设点P (x ,y )，表示出点P 到x 轴的距离为||y ，由哪一个角是直角来分类讨论，在第一类中直接令x =士3得结果，在第二类中要列出方程组. 【详解】设点(,)P x y ，则到x 轴的距离为||y 由于5a =，4b =，3c ∴=，（1）若1290PF F ∠=︒或2190PF F ∠=︒，令3x =±得2y =291616(1)2525-=，16||5y ∴=，即P 到x 轴的距离为165． （2）若1290F PF ∠=︒，则122221210||6PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 22121||||(106)322PF PF ∴=-=，由1210PF PF +=可得此情况不存在. 综上，P 到x 轴的距离为165. 故答案为：165． 【点睛】解决本题的关键是要注意分类讨论的思想，题目中的直角三角形，要分清楚那个角是直角，是解决问题的先决条件.10．【分析】根据椭圆定义设则进而表示出由得在两个三角形中由勾股定理可得ac 的关系进而求出椭圆的离心率【详解】如图所示设根据椭圆定义得由得由椭圆的定义可得因为在中且得即①在中得即②由①②可得可得③将③代入-【分析】 根据椭圆定义，设2PF m =，则12PF a m =-，进而表示出222QF a m =-，12QF m =，由1PQ PF ⊥，得在两个三角形中由勾股定理可得a ，c 的关系，进而求出椭圆的离心率． 【详解】如图所示，设()20PF m m =>，根据椭圆定义得12PF a m =-， 由1PF PQ =，得2222QFa m m a m =--=-，由椭圆的定义可得()12222QF a a m m =--=，因为1PQ PF ⊥，在1Rt PFQ ∆中，且1PF PQ =，得22112QF PF =，即()22422m a m =-①，在12Rt PF F ∆中，得2221212F F PF PF =+，即()22242c a m m =-+②，由①-②2⨯可得222482m c m -=-，可得23m c =，③， 将③代入②可得22223233423c a c c ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得：22330e e +-=，()0,1e ∈，解得63e =-.故答案为：63-.【点睛】本题考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合，考查椭圆离心率的求法，属于中档题．11．10【分析】如图所示设椭圆的左焦点为利用利用即可得到结果【详解】解：如图所示设椭圆的左焦点为由题意可知则因为的坐标为所以由椭圆的定义可得因为所以周长为当且仅当三点共线时取等号所以周长的最大值为10故解析：10 【分析】如图所示，设椭圆的左焦点为'F ，利用'AF AF =，'24PF PF a +==，利用''PA PF AF -≤，即可得到结果【详解】解：如图所示，设椭圆的左焦点为'F ， 由题意可知2,1,3a b c ===，则(3,0)F ，因为A 的坐标为(0,6)，所以'3AF AF ==， 由椭圆的定义可得'24PF PF a +==， 因为''PA PF AF -≤，所以AFP 周长为'434310AF PA PF AF PA PF ++=++-≤++=， 当且仅当',,A P F 三点共线时取等号， 所以AFP 周长的最大值为10， 故答案为：10【点睛】此题考查了椭圆的定义及其性质，三角形的三边大小关系，考查数形结合的思想，考查计算能力，属于中档题12．【分析】由题意联立方程组可得由中点的性质可得化简后利用即可得解【详解】由题意双曲线的两条渐近线为则同理联立为的中点即整理得故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解考查了直线交点的问题和 2【分析】由题意联立方程组可得A am x ka b -=+、B amx b ka=-、21N km x k =-，由中点的性质可得2A B N x x x +=，化简后利用221b e a=+即可得解. 【详解】由题意双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线为b y x a=±，则A y kx mam x b ka b y x a =+⎧-⎪⇒=⎨+=-⎪⎩，同理B am x b ka =-， 联立211N y kx mkm x k y x k =+⎧⎪⇒=⎨-=⎪⎩， N 为AB 的中点，∴2A B N x x x +=，即221am am mkb ka b ka k -+=+--， 整理得221b a =，∴e ==. 【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解，考查了直线交点的问题和运算能力，属于中档题.13．相离【分析】由双曲线的离心率可得出然后计算出圆心到双曲线的渐近线的距离并与圆的半径作大小比较由此可得出结论【详解】双曲线的离心率为可得所以双曲线的渐近线方程为圆的圆心坐标为半径为圆心到直线的距离为因解析：相离 【分析】由双曲线的离心率可得出b a =，然后计算出圆心到双曲线的渐近线的距离，并与圆的半径作大小比较，由此可得出结论. 【详解】双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为c e a ====b a =，所以，双曲线的渐近线方程为0x y ±=，圆()22214x a y a -+=的圆心坐标为(),0a ，半径为2ar =， 圆心到直线0x y ±=的距离为122d r a ==>=， 因此，双曲线的渐近线与圆()22214x a y a -+=相离. 故答案为：相离. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断，涉及双曲线的离心率以及渐近线方程的应用，求出b 与a 的等量关系是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 二、解答题14．（1）24y x =；（2）证明见解析. 【分析】（1）本题可将()1,2A 代入抛物线方程中求出p 的值，即可得出结果； （2）本题首先可设()11,M x y 、()22,N x y 以及直线MN 的方程23xt y ，然后通过联立直线MN 的方程与抛物线方程即可得出124y y t +=、12812y y t =--，最后通过1212122211y y k k x x 并化简即可得出结果.【详解】（1）因为抛物线2:2C y px =过点()1,2A ， 所以42p =，2p =，抛物线方程为24y x =.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为23x t y ，联立()2234x t y y x⎧=++⎨=⎩，整理得248120y ty t ---=，21632480t t ∆=++>，124y y t +=，12812y y t =--，则1212122212122222111144y y y y k k y y x x 1212161622481284y y y y t t ，故12k k ⋅为定值2-. 【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线方程的求法以及抛物线与直线相交的相关问题的求解，通过联立直线的方程与抛物线方程以及韦达定理得出12y y +、12yy 的值是解决本题的关键，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.15．（1）2214x y +=；（2）1.【分析】（1）根据椭圆的焦距为c =()0,2P 关于直线y x =-的对称点在椭圆E 上，得到()2,0-在椭圆E 上，进而得到a 即可.（2）设过点()0,2P 的直线方程为2y mx =+，与椭圆方程联立，求得弦长CD 以及点O 到直线CD 的距离，代入面积公式求解. 【详解】（1）因为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的焦距为2c ∴=c =()0,2P 关于直线y x =-的对称点在椭圆E 上，()2,0∴-在椭圆E 上，2a ∴=， 2221b a c ∴=-=，2214x y ∴+=. （2）设过点()0,2P 的直线方程为2y mx =+，联立方程组可得22214y mx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消y 可得()221416120mxmx +++=，2430m =->△，设(),C C C x y ，(),y D D D x ，21614C D m x x m ∴+=-+，21214C Dx x m =+，CD ∴== ∴点O 到直线CD 的距离d =142CODS CD d ∴=⋅=△， 设214m t +=，则4t >，CODS ∴===△ 当8t =时，取得最大值，即为1. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的三角形最值问题的求法：一般由直线与曲线联立求得弦长及相应点的直线的距离，得到含参数的△OMN 的面积的表达式，再应用基本不等式或函数法求最值．16．（1）22y x =；（2）①()2,2； 【分析】（1）由抛物线定义：抛物线上点到焦点距离等于点到其准线的距离有42pPF =+，即可求p ，写出抛物线方程.（2）令(,)Q x y ，利用两点距离公式得PQ =Q 的坐标，利用点在抛物线上，结合二次函数最值求PQ 的最小值. 【详解】（1）由题意，可设抛物线C ：22y px =，焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则9422p PF =+=，解得1p =，∴抛物线C 的标准方程为22y x =， （2）令(,)Q x y ， ①由已知条件得2PQ ==，将22y x =代入上式，并变形得，220x x -=，解得0x =(舍去)或2x =， 当2x =时，2y =±，只有2x =，2y =满足条件， ∴点Q 的坐标为()2,2.②2PQ ==，其中22y x =，()()()22222224130PQ x x x x x x =-+=-+=-+≥，当1x =时，min PQ = 【点睛】 关键点点睛：（1）由抛物线定义，由待定系数法求p ，写出抛物线方程.（2）由点在抛物线上，结合两点坐标的距离公式，求点坐标以及距离的最小值.17．（1）221164x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由题可得，列出不等式组，求解4,2a b ==，即可求解椭圆的标准方程； （2）设直线l 方程：()24y k x +=-，直线的方程和椭圆的方程联立，利用根与系数的关系得到1212,x x x x +，在利用斜率公式和韦达定理化简，即可得到定值. 【详解】（1）解：由题可得，222432c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得4a =，2b =，故椭圆C 的方程为221164x y +=.（2）证明：易知直线l 斜率小于0，设直线l 方程为()24y k x +=-，0k <且1k ≠-， 设()11,A x y ，()22,B x y ，联立222(4)1164y k x x y +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()221416(21)64(1)0kxk k x k k +-+++=，则12216(21)14k k x x k ++=+，12264(1)14k k x x k+=+， 因为()()1221121212444422MA MB kx k x kx k x y y k k x x x x --+----+=+=， 所以121216(21)2(44)24(1)2(21)164(1)MA MB x x k k k k k k k k k k x x k k +++=-+=-+=-+=-+（为定值）. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，其中解答中涉及到椭圆的标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系的综合应用求解定值问题，解答中把直线与圆锥曲线的位置关系的应用转化为一元二次方程的根和系数的关系是解答此类问题的关键. 18．（1）任选一个条件，抛物线方程都为24y x =；（2） 【分析】（1）选①：由抛物线的性质可得02pPF x =+，即可求出p ；选②：由题将点P 代入抛物线即可求出p ；选③：由题可得222p pPF p =+==；（2）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求出AB ，利用点到直线距离公式求出高，即可得出面积. 【详解】解：（1）若选①：由抛物线的性质可得02p PF x =+ 因为01PF x =+，所以0012px x +=+，解得2p =． 故抛物线C 的标准方程为24y x =． 若选②：因为0022y x ==所以002,1y x ==，因为点()00,P x y 在抛物线C 上，所以2002y px =，即24p =，解得2p =， 故抛物线C 的标准方程为24y x =． 若选③：因为PF x ⊥轴，所以22p pPF p =+=， 因为2PF =，所以2p =． 故抛物线C 的标准方程为24y x =．（2）设()()1122,,,A x y B x y 由（1）可知(1,0)F ． 联立2204x y y x--=⎧⎨=⎩，整理得2480y y --=，则1212124,8,y y y y y y +==--===故12AB y y =-==因为点F 到直线l 的距离2d ==，所以ABF 的面积为11222AB d ⋅=⨯= 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解. 19．（1）24y x =；（2）8. 【分析】（1）根据椭圆的方程得出1c =，则得出椭圆的右焦点为()1,0，进而得出抛物线的焦点为()1,0F ，根据抛物线的性质得出2p =，从而得出抛物线的标准方程；（2）设C 、D 两点横坐标分别为1x ，2x ，结合条件和中点坐标公式得出126x x +=，最后根据抛物线的焦点弦公式得出12CD CF DF x x p =+=++，即可得出答案. 【详解】解：（1）由椭圆22143x y +=，可知224,3a b ==，则21c =，即1c =，则椭圆22143x y +=的右焦点为()1,0，所以抛物线()220y px p =>的焦点为()1,0F ，可知：12p=，∴2p =， 所以抛物线的标准方程为24y x =；（2）因为抛物线为24y x =，所以2p =，设C 、D 两点横坐标分别为1x ，2x ， 因为线段CD 中点M 的横坐标为3，则1232x x +=，即126x x +=， 故12628CD CF DF x x p =+=++=+=. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的简单几何性质，考查抛物线的标准方程、定义以及抛物线的焦点弦公式，熟记抛物线的焦点弦公式是解题的关键.20．（1）24y x =；（2）证明见解析；（3）()202t d t tt ⎧>⎪=⎨<≤⎪⎩.【分析】（1）根据准线方程可求p ，从而可求抛物线方程.（2）设直线方程为x my t =+，联立直线方程和抛物线方程，利用韦达定理可证OA OB ⋅为与m 无关的定值.（3）设(),P x y ，则可用x 表示||PT ，利用二次函数的性质可求()d t . 【详解】（1）因为准线方程为10x +=，故12p=，故2p =， 故抛物线方程为：24y x =.（2）设直线l ：x my t =+，其中m R ∈，t 为常数，设()()1122,,,A x y B x y ，由24y x x my t⎧=⎨=+⎩可得2440y my t --=，所以124y y t .而()212212124416y y O y y x x A B t t t O +=-⋅=+=-，该值与斜率无关.（3）设(),P x y ，则PT ==0x ≥.令()()2224,0S x x t x t x =--+≥，对称轴为直线2x t =- 若02t <≤，则20t -≤，则()2min 0S S t ==，故()d t t =；若2t >，则20t ->，则()()22min 2244S S t t t t =-=--=-，故()d t =所以()2,02t d t t t ⎧>⎪=⎨<≤⎪⎩. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为关于1212,x x x x +（或1212,y y y y +的形式)； （5）代入韦达定理求解.21．（1）22143x y +=（2）1(2-，0)(0⋃，1)2（3）证明见解析.【分析】（1）由题意知12c e a ==，则2a c =，求出椭圆C 的中心O 关于直线250x y --=的对称点，可求a ，即可得出椭圆C 的方程；（2）设直线PN 的方程为(4)y k x =-代入椭圆方程，根据判别式，可求直线PN 的斜率范围；（3）求出直线ME 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--，令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+，即可得出结论．【详解】 （1）由题意知12c e a ==，则2a c =， 设椭圆C 的中心O 关于直线250x y --=的对称点(,)m n ，则·212?5022n mm n ⎧=-⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，4m ∴=，2n =-，椭圆C 的中心O 关于直线250x y --=的对称点落在直线2x a =上．24a ∴=，1c ∴=，b ∴=∴椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =-．代入椭圆方程，可得2222(43)3264120k x k x k +-+-=．① 由2222(32)4(43)(6412)0kk k ∆=--+->，得2410k -<，1122k ∴-<< 又0k =不合题意，∴直线PN 的斜率的取值范围是：1(2-，0)(0⋃，1)2．（3）设点1(N x ，1)y ，2(E x ，2)y ，则1(M x ，1)y -． 直线ME 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--． 令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+．将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-．②由①得21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+代入②整理，得1x =．∴直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)．【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的方程，设出直线与椭圆方程联立，消元后，利用二次方程的判别式求k 的取值范围，求出与x 轴交点的坐标表达式，化简即可证明交点为定点，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 22．（1）24y x =（2）10x y ±+=． 【分析】（1）由题意联立直线方程与抛物线方程，结合题意和韦达定理求得p 的值即可确定曲线方程；（2）首先确定曲线2C 的方程，设直线l '的方程为1x my =-，然后连线直线和椭圆方程，结合韦达定理得到关于m 的方程，解方程求得m 的值即可确定直线方程． 【详解】 （1）由已知得(,0)2p F ，设直线l 的方程为2p y x =-， ∴22230242p y x p x px y px ⎧=-⎪⇒-+=⎨⎪=⎩， 123x x p ∴+=，又因为126x x +=， 所以2p =，∴曲线1C 的方程为24y x =．（2）由已知得2a =，c =1b ∴=，∴曲线2C 的方程为2214x y +=， 设直线l '的方程为1x my =-，则22221(4)23041x y m y my x my ⎧+=⎪⇒+--=⎨⎪=-⎩， 设3(M x ，3)y ，4(N x ，4)y ，34342223,44m y y y y m m +==-⋅++，∴3411||22OMNS y y =⨯⨯-==△， 因为45MONS=所以42471101m m m +-=⇒=±，∴直线l '的方程为10x y ±+=．【点睛】关键点点睛：本题主要考查抛物线方程的求解，椭圆方程的确定，直线与圆锥曲线的位置关系等知识，关键在于联立椭圆方程，由韦达定理及三角形面积公式可得出m ,求出直线方程，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．23．（1）22162x y +=；（2）不存在，理由见解析.【分析】（1）由离心率得2223c a =，由面积可得2ab =，结合222a b c =+即可求出,a b ，得出椭圆方程；（2）设出直线方程y x t =-+，联立直线与椭圆，利用判别式可得t -<<由11FM F N =可求得4t =-，即可判断. 【详解】 （1）由ce a ==2223c a =，又因为四个顶点围成的四边形的面积为2ab =， 由222a b c =+，得a =b =故椭圆C 的方程为：22162x y +=（2）不存在符合题意的直线.假设存在满足条件的直线l ，设直线l 的方程为y x t =-+，。
新人教版高中数学选修一第三单元《圆锥曲线的方程》测试卷(包含答案解析)(3)
一、填空题1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆的离心率为______．2．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点作x 轴的垂线，交椭圆C 于,A B 两点，直线l 过C 的左焦点和上顶点，若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，则椭圆C 的离心率的取值范围是__________.3．已知双曲线M ：()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆()22x c y a -+=的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是________．4．已知点P 为抛物线C ：24y x =上的动点，抛物线C 的焦点为F ，且点()3,1A ，则PA PF +的最小值为_______．5．已知点A ，B 分别是椭圆2213620x y +=长轴的左、右端点，点P 在椭圆上，直线AP 的斜率为33，设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值为______．6．已知M 是抛物线24y x =上一点，F 为其焦点，点A 在圆22:(6)(1)1C x y -++=上，则||||MA MF +的最小值是__________.7．在直角坐标平面内的△ABC 中，(2,0)A -、(2,0)C ，若sin sin 2sin A C B +=，则△ABC 面积的最大值为____________.8．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系xoy ，根据图上尺寸， 溢流孔ABC 所在抛物线的方程为_________， 溢流孔与桥拱交点A 的横坐标．．．为 ___________ .9．已知1F ，2F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，且离心率23e =，点P是椭圆上位于第二象限内的一点，若12PF F △是腰长为4的等腰三角形，则12PF F △的面积为_______.10．设M ，N 是抛物线2y x =上的两个不同点，O 是坐标原点，若直线OM 与ON 的斜率之积为12-，则下列结论①42OM ON +；②O 到直线MN 的距离不大于2；③直线MN 过抛物线2y x =的焦点；④MN 为直径的圆的面积大于4π，不正确的有__11．已知P 是椭圆2214x y +=上的一点，F 为右焦点，点A 的坐标为，则AFP周长的最大值为_______.12．已知直线y kx m =+与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线交于A B 、两点，与1yx k交于点N ，若N 为AB 的中点，则双曲线的离心率等于____. 13．已知P 是椭圆2214x y +=上的一点，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，当123F PF π∠=时，则12PF F △的面积为________．二、解答题14．已知抛物线2:2C y px =过点()1,2A ． （1）求抛物线C 的方程；（2）求过点()3,2P -的直线与抛物线C 交于M 、N 两个不同的点(均与点A 不重合)．设直线AM 、AN 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k ⋅为定值．15．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点F 在x 轴上，且抛物线C 上横坐标为4的点P 到焦点F 的距离为92. （1）求抛物线C 的标准方程.（2）已知点()2,0P ，点Q 在抛物线C 上.①若点Q 在第一象限内，且2PQ =，求点Q 的坐标. ②求PQ 的最小值.16．双曲线221124x y -=，1F ､2F 为其左右焦点，曲线C 是以2F 为圆心且过原点的圆.（1）求曲线C 的方程；（2）动点P 在C 上运动，M 满足1F M MP →→=，求M 的轨迹方程.17．已知()()()22:3400,q :112x y p m a m a a m m--<>+=--．（1）若q 表示双曲线，求实数m 的取值范围；（2）若q 表示焦点在y 轴上的椭圆，且q ⌝是p ⌝中的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，其左，右焦点分别是12,F F ，椭圆上的4个点,,,A B M N 满足：直线AB 过左焦点1F ，直线AM 过坐标原点O ，直线AN 的斜率为32-，且2ABF 的周长为8 （1）求椭圆C 的方程． （2）求AMN 面积的最大值19．已知命题:p 方程22113x ym m+=+-表示焦点在y 轴上的椭圆，命题:q 关于x 的不等式22230x mx m +++>恒成立；（1）若命题q 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题.求实数m 的取值范围.20．对于椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，有如下性质：若点()00,P x y 是椭圆外一点，PA ，PB 是椭圆的两条切线，则切点A ，B 所在直线的方程是00221x x y ya b+=，可利用此结论解答下列问题．已知椭圆C ：22143x y +=和点(4,)()P t t R ∈，过点P 作椭圆C 的两条切线，切点是A ，B ，记点A ，B 到直线PO （O 是坐标原点）的距离是1d ，2d ．（1）当3t =时，求线段AB 的长； （2）求12||AB d d +的最大值．21．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为63，且过点31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若不过点()0,1A 的动直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且0AP AQ ⋅=，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标.22．如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为12,F F ，过1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点.（1）若01260AF F ∠=，且 120AF AF ⋅=求椭圆的离心率. （2）若2,1a b ==，求22F A F B ⋅的最大值和最小值.23．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，且椭圆C 过点33,2M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎭，离心率12e =，点P 在椭圆C 上，延长1PF 与椭圆C 交于点Q ，点R 是2PF 的中点．（1）求椭圆C 的方程．（2）若点O 是坐标原点，记1QF O 与1PF R 的面积之和为S ，试求S 的最大值． 24．已知焦点在x 轴的抛物线C 经过点()2,4-. （1）求抛物线C 的标准方程.（2）过焦点F 作直线l ，交抛物线C 于A ，B 两点，若线段AB 中点的纵坐标为1-，求直线l 的方程.25．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，点P ⎭在C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）设1F ，2F 分别是椭圆C 的左，右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，求1F AB 面积的最大值.26．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，过点F 的直线l 交椭圆C于,A B 两点，当直线l 垂直于x 轴时，OAB （O 为原点）． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l ，求直线OA 的斜率的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、填空题1．【分析】作出图形设过椭圆右焦点且垂直于长轴的弦为计算出再利用椭圆的定义可得出关于的等式进而可求得椭圆的离心率的值【详解】如下图所示设椭圆的左右焦点分别为设过椭圆右焦点且垂直于长轴的弦为则由勾股定理可解析：12【分析】作出图形，设过椭圆右焦点2F 且垂直于长轴的弦为AB ，计算出1AF ，再利用椭圆的定义可得出关于a 、c 的等式，进而可求得椭圆的离心率的值. 【详解】如下图所示，设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，设过椭圆右焦点2F 且垂直于长轴的弦为AB ，则2AB c =，212AF AB c ==，由勾股定理可得1AF ==，由椭圆的定义可得122AF AF a +=52c c a +=，所以，该椭圆的离心率为()()251512515151c e a ====++-. 51-. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.2．【分析】求出直线的方程利用点到直线的距离与半通径的关系列出不等式求解即可【详解】解：直线的方程为：椭圆的右焦点过椭圆的右焦点作轴的垂线交于两点直线过的左焦点和上顶点若以为直径的圆与存在公共点可得：可解析：50,5⎛ ⎝⎦【分析】求出直线l 的方程，利用点到直线的距离与半通径的关系，列出不等式，求解即可． 【详解】解：直线l 的方程为：1x yc b+=-，椭圆的右焦点(,0)c ， 过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点作x 轴的垂线，交C 于A ，B 两点，直线l 过C 的左焦点和上顶点．若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，22211b a c b +可得：2b c ，即2224a c c -，即：215e，(0,1)e ∈， 解得：50e<．故答案为：⎛ ⎝⎦．【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．3．【分析】要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直必有而焦点到双曲线渐近线的距离为故利用双曲线的离心率的计算公式解答【详解】解：∵所以离心率圆是以为圆心半径的圆要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直必有解析：(【分析】要使得经过点T 所作的圆的两条切线互相垂直，必有2TF a =，而焦点(),0F c 到双曲线渐近线的距离为b ，故2TF a b =≥，利用双曲线的离心率的计算公式解答．【详解】解：∵0b >，0a >，所以离心率1c e a ==>，圆()22x c y a -+=是以(),0F c 为圆心，半径r a =的圆，要使得经过点T 所作的圆的两条切线互相垂直，必有TF =，而焦点(),0F c 到双曲线渐近线的距离为b ，所以TF b =≥，即b a c e a ==，所以双曲线M 的离心率的取值范围是(．故答案为：(． 【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的灵活运用．4．4【分析】设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知进而把问题转化为求取得最小进而可推断出当三点共线时最小答案可得【详解】抛物线的准线为设点在准线上的射影为如图则根据抛物线的定义可知要求取得最小值即解析：4 【分析】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知||||PF PD =进而把问题转化为求||||PA PD +取得最小，进而可推断出当D ，P ，A 三点共线时||||PA PD +最小，答案可得． 【详解】抛物线2:4C y x =的准线为1x =-． 设点P 在准线上的射影为D ，如图，则根据抛物线的定义可知||||PF PD =，要求||||PA PF +取得最小值，即求||||PA PD +取得最小． 当D ，P ，A 三点共线时，||||PA PD +最小，为3(1)4--=． 故答案为：4． 【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D ，P ，A 三点共线时||||PA PD +最小，是解题的关键．5．【分析】求出直线的方程设则由点到直线的距离公式可得解得再由椭圆的有界性即可得出最值【详解】解：由题可知则直线的方程是设点的坐标是则到直线的距离是于是又解得所以点设椭圆上的点到点的距离为有由于所以当时 15【分析】求出直线AP 的方程，设(),0M m ，则由点到直线的距离公式可得662m m +=-，解得2m =，再由椭圆的有界性即可得出最值. 【详解】解：由题可知()()6,0,6,0A B -，则直线AP 的方程是360x y -+=．设点M 的坐标是()0m ,，则M 到直线AP 的距离是62m +， 于是662m m +=-，又66-≤≤m ，解得2m =，所以点()2,0M ． 设椭圆上的点(),x y 到点M 的距离为d ，有()222225244209d x y x x x =-+=-++-2491592x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由于66x -≤≤．所以当92x =时，d 取最小值15． 故答案为：15．6．【分析】根据抛物线方程求得准线方程过点作垂直于准线于根据抛物线的定义判断问题转化为求的最小值根据在圆上判断出当三点共线时有最小值进一步求出结果【详解】解：是抛物线上一点抛物线的准线方程为过点作垂直于 解析：6【分析】根据抛物线方程求得准线方程，过点M 作MN 垂直于准线于N ，根据抛物线的定义判断MN MF =，问题转化为求||||MA MN +的最小值，根据A 在圆C 上，判断出当,,M N C 三点共线时，||||MA MN +有最小值，进一步求出结果【详解】解：M 是抛物线24y x =上一点，抛物线的准线方程为1x =-， 过点M 作MN 垂直于准线于N ，则MN MF =， 所以||||MA MF MA MN +=+，因为点A 在圆C 上，圆22:(6)(1)1C x y -++=的圆心(6,1)C -，半径为1， 所以当,,M N C 三点共线时，||||MA MN +取得最小值6， 故答案为：6【点睛】关键点点睛：此题考查了抛物线的简单性质的应用，解题的关键是利用了抛物线的定义，结合图形将||||MA MF +转化为||||MA MN +进行求解，考查数形结合的思想和转化思想，属于中档题7．【分析】由正弦定理可得结合椭圆的定义可得点的轨迹方程即可得解【详解】因为所以所以点的轨迹是以为左右焦点长轴长的椭圆（不在x 轴上）该椭圆焦距所以所以点的轨迹方程为当时所以面积的最大值故答案为：【点睛】解析：【分析】由正弦定理可得2BC AB AC +=，结合椭圆的定义可得点B 的轨迹方程，即可得解. 【详解】因为sin sin 2sin A C B +=，4AC =，所以28BC AB AC AC +==>， 所以点B 的轨迹是以A 、C 为左右焦点，长轴长28a =的椭圆（不在x 轴上）， 该椭圆焦距24c =，所以22212b a c =-=，所以点B 的轨迹方程为()22101612x y y +=≠，当0x =时，y =±，所以ABC 面积的最大值max 142S =⨯⨯=故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用正弦定理转化条件为2BC AB AC +=，再结合椭圆的定义即可得解.8．【分析】根据题意设桥拱所在抛物线的方程为溢流孔ABC 所在方程为运用待定系数法求得可得右边第二个溢流孔所在方程联立抛物线方程可得所求【详解】设桥拱所在抛物线方程由图可知曲线经过代入方程解得：所以桥拱所 解析：()236145x y -=-14013【分析】根据题意，设桥拱所在抛物线的方程为22x py =-，溢流孔ABC 所在方程为()21:142(0)C x p y p ''-=->，运用待定系数法，求得p ，p '，可得右边第二个溢流孔所在方程，联立抛物线方程，可得所求. 【详解】设桥拱所在抛物线方程22x py =-，由图可知，曲线经过()20,5-，代入方程()22025p =-⨯-，解得：40p =，所以桥拱所在抛物线方程280x y =-； 四个溢流孔轮廓线相同，所以从右往左看， 设第一个抛物线()21:142C x p y '-=-，由图抛物线1C 经过点()20,5A -，则()()2201425p '-=-⨯-，解得185p '=， 所以()2136:145C x y -=-， 点A 即桥拱所在抛物线280x y =-与()2136:145C x y -=-的交点坐标， 设(),,714A x y x <<由()228036145714x y x y x ⎧=-⎪⎪-=-⎨⎪<<⎪⎩，解得：14013x = 所以点A 的横坐标为14013. 故答案为：()236145x y -=-；14013【点睛】关键点点睛：此题考查根据实际意义求抛物线方程和交点坐标，关键在于合理建立模型正确求解，根据待定系数法，及平移抛物线后方程的形式即可.9．【分析】由题意可计算出由是腰长为4的等腰三角形且点在第二象限可得的值过作于点可得的值可得的面积【详解】解：由题意知则又∴由椭圆的定义得又是腰长为4的等腰三角形且点在第二象限∴过作于点则∴的面积为故答【分析】由题意可计算出2c =，3c =，由12PF F △是腰长为4的等腰三角形，且点P 在第二象限，可得2PF 、1PF 的值，过2F 作21F D PF ⊥于点D ，可得PD ，2DF 的值，可得12PF F △的面积.【详解】解：由题意知24c =，则2c =， 又23c e a ==，∴3a =，由椭圆的定义得1226PF PF a +==， 又12PF F △是腰长为4的等腰三角形，且点P 在第二象限，∴24PF =，12=PF ， 过2F 作21F D PF ⊥于点D ，则1PD =，2DF =∴12PF F △的面积为122⨯=【点睛】本题主要考查椭圆的定义及简单的几何性质、三角形面积的计算，考查学生的逻辑推理能力、数学计算能力，属于中档题.10．①③④【分析】当直线的斜率不存在时根据斜率公式即可求得的方程当斜率存在时设直线的方程代入抛物线方程利用韦达定理及直线的斜率公式即可求得直线恒过定点然后判断出以为直径的圆的面积再根据抛物线几何性质求得解析：①③④ 【分析】当直线MN 的斜率不存在时，根据斜率公式，即可求得MN 的方程，当斜率存在时，设直线MN 的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及直线的斜率公式即可求得直线MN 恒过定点，然后判断出OM ON +=<||MN =，以MN 为直径的圆的面积2π，再根据抛物线几何性质求得焦点坐标求得答案． 【详解】当直线MN 的斜率不存在时，设200(,)M y y ，200(,)N y y -，因为斜率之积为12-，所以20112y -=-，即202y =， 所以MN 的直线方程为2x =；当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，联立2y kx my x =+⎧⎨=⎩， 可得20ky y m -+=．设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则12m y y k =，2122m x x k=，所以12121·2OM ON y y k k k x x m ===-，即2m k =-． 所以直线方程为2(2)y kx k k x =-=-．则直线MN 过定点(2,0)．则O 到直线MN 的距离不大于2．故②正确． 当MN 的直线方程为2x =时，(2,M N，此时OM ON +=<①错误；当MN 的直线方程为2x =时，(2,M N，此时||MN =MN 为直径的圆的面积2π，故④错误；抛物线2y x =的焦点是1(,0)4，故③错误；故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，直线的斜率公式的应用以及直线恒过定点问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题．11．10【分析】如图所示设椭圆的左焦点为利用利用即可得到结果【详解】解：如图所示设椭圆的左焦点为由题意可知则因为的坐标为所以由椭圆的定义可得因为所以周长为当且仅当三点共线时取等号所以周长的最大值为10故解析：10 【分析】如图所示，设椭圆的左焦点为'F ，利用'AF AF =，'24PF PF a +==，利用''PA PF AF -≤，即可得到结果【详解】解：如图所示，设椭圆的左焦点为'F ， 由题意可知2,1,3a b c ===，则(3,0)F ，因为A 的坐标为(0,6)，所以'3AF AF ==， 由椭圆的定义可得'24PF PF a +==， 因为''PA PF AF -≤，所以AFP 周长为'434310AF PA PF AF PA PF ++=++-≤++=， 当且仅当',,A P F 三点共线时取等号， 所以AFP 周长的最大值为10， 故答案为：10【点睛】此题考查了椭圆的定义及其性质，三角形的三边大小关系，考查数形结合的思想，考查计算能力，属于中档题12．【分析】由题意联立方程组可得由中点的性质可得化简后利用即可得解【详解】由题意双曲线的两条渐近线为则同理联立为的中点即整理得故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解考查了直线交点的问题和【分析】由题意联立方程组可得A am x ka b -=+、B amx b ka=-、21N km x k =-，由中点的性质可得2A B N x x x +=，化简后利用e =即可得解. 【详解】由题意双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线为b y x a=±，则A y kx mam x b ka b y x a =+⎧-⎪⇒=⎨+=-⎪⎩，同理B am x b ka =-， 联立211N y kx mkm x k y x k =+⎧⎪⇒=⎨-=⎪⎩，N 为AB 的中点，∴2A B N x x x +=，即221am am mkb ka b ka k -+=+--， 整理得221b a =，∴e ==. 【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解，考查了直线交点的问题和运算能力，属于中档题.13．【分析】由题意画出图形利用椭圆定义及余弦定理求得的值代入三角形面积公式得答案【详解】解：如图由椭圆得则由余弦定理可得：即的面积故答案为：【点睛】本题考查椭圆的简单性质考查椭圆定义的应用是中档题解析：3【分析】由题意画出图形，利用椭圆定义及余弦定理求得12PF PF 的值，代入三角形面积公式得答案． 【详解】 解：如图，由椭圆2214x y +=，得2a =，1b =，则24a =，223c a b =-=1224PF PF a ∴+==，由余弦定理可得：2221212122cos60F F PF PF PF PF =+-︒，()22121243c PF PF PF PF ∴=+-，即1243PF PF =． 12F PF ∴的面积1211433sin 6022323S PF PF =︒=⨯⨯=．故答案为：33． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆定义的应用，是中档题，二、解答题14．（1）24y x =；（2）证明见解析. 【分析】（1）本题可将()1,2A 代入抛物线方程中求出p 的值，即可得出结果； （2）本题首先可设()11,M x y 、()22,N x y 以及直线MN 的方程23xt y ，然后通过联立直线MN 的方程与抛物线方程即可得出124y y t +=、12812y y t =--，最后通过1212122211y y k k x x 并化简即可得出结果.【详解】（1）因为抛物线2:2C y px =过点()1,2A ， 所以42p =，2p =，抛物线方程为24y x =.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为23xt y ，联立()2234x t y y x⎧=++⎨=⎩，整理得248120y ty t ---=，21632480t t ∆=++>，124y y t +=，12812y y t =--，则1212122212122222111144y y y y k k y y x x 1212161622481284y y y y t t ，故12k k ⋅为定值2-. 【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线方程的求法以及抛物线与直线相交的相关问题的求解，通过联立直线的方程与抛物线方程以及韦达定理得出12yy +、12y y 的值是解决本题的关键，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题. 15．（1）22y x =；（2）①()2,2； 【分析】（1）由抛物线定义：抛物线上点到焦点距离等于点到其准线的距离有42pPF =+，即可求p ，写出抛物线方程.（2）令(,)Q x y ，利用两点距离公式得PQ =Q 的坐标，利用点在抛物线上，结合二次函数最值求PQ 的最小值. 【详解】（1）由题意，可设抛物线C ：22y px =，焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则9422p PF =+=，解得1p =，∴抛物线C 的标准方程为22y x =， （2）令(,)Q x y ， ①由已知条件得2PQ ==，将22y x =代入上式，并变形得，220x x -=，解得0x =(舍去)或2x =， 当2x =时，2y =±，只有2x =，2y =满足条件， ∴点Q 的坐标为()2,2. ②2PQ ==，其中22y x =，()()()22222224130PQ x x x x x x =-+=-+=-+≥，当1x =时，min PQ =【点睛】 关键点点睛：（1）由抛物线定义，由待定系数法求p ，写出抛物线方程.（2）由点在抛物线上，结合两点坐标的距离公式，求点坐标以及距离的最小值. 16．（1）()22416x y -+=；（2）224x y +=. 【分析】（1）求出圆心和半径即得解；（2）设动点(),M x y ，()00,P x y ，由1F M MP →→=得00242x x y y =+⎧⎨=⎩，代入圆的方程即得解. 【详解】（1）由已知得212a =，24b =，故4c ==， 所以()14,0F -､()24,0F， 因为C 是以2F 为圆心且过原点的圆，故圆心为()4,0，半径为4， 所以C 的轨迹方程为()22416x y -+=；（2）设动点(),M x y ，()00,P x y ，则()14,F M x y →=+，()00,MP x x y y →=--， 由1F M MP →→=，得()()004,,x y x x y y +=--， 即()()004x x x y y y ⎧+=-⎪⎨=-⎪⎩，解得00242x x y y =+⎧⎨=⎩，因为点P 在C 上，所以()2200416x y -+=，代入得()()22244216x y +-+=，化简得224x y +=.所以M 的轨迹方程为224x y +=. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程常见的方法有：（1）直接法；（2）定义法；（3）相关点代入法；（4）消参法.要根据数学情景灵活选择方法求动点的轨迹方程. 17．（1）()()–,12,∞+∞；（2）13,38⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据曲线方程，列式()()120m m --<，求m 的取值范围；（2）分别求两个命题为真命题时，m 的取值范围，根据命题的等价性转化为p 是q 的充分不必要条件，转化为真子集关系，求实数a 的取值范围. 【详解】（1）由()()120m m --<，得1m <或2m >，即()()–,12,m ∈∞⋃+∞（2）命题p ∶由()()()3400m a m a a --<>，得34a m a <<．命题q ∶22112x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆， 则102021m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得312m <<，因为q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的充分不必要条件，则31342a a ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得1338a ≤≤，故实数a 的取值范围为：13,38⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．18．（1）22143x y +=；（2）【分析】（1）根据2ABF 的周长为8，解得2a =，再由离心率为12求解. ()2设直线3:2AN y x t =-+，与椭圆方程联立，由弦长公式求得AN ，点O 到直线AN 的距离，然后根据直线AM 过坐标原点，由2AMNAONSS=求解.【详解】()1由椭圆的定义知48,2a a ==，12c a =， 1c ∴=，从而2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.()2如图所示：设直线3:2AN y x t =-+， 代入椭圆方程223412x y +=， 化简得：223330x tx t -+-=， 设()()1122,,,A x y N x y ， 由()23120t ∆=->，得212t <，且()2312914t AN -=+ 而点O 到直线AN 的距离914t d =+，且直线AM 过坐标原点，()23129214914AMNAONt t SS-∴==++，()()2222121222333t t t t +--=≤=当且仅当2212t t =- ， 即26t =时取等号，AMN ∴面积的最大值为3【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦长公式为；AB==k为直线斜率)．19．（1）13m-<<；（2）[)1,3.【分析】（1）根据判别式小于0可解得结果；（2）根据复合命题的真假可得p，q为一个真命题，一个假命题，分两种情况讨论列式可解得结果.【详解】（1）若命题q是真命题，则关于x的不等式22230x mx m+++>恒成立；则判别式244(23)0m m∆=-+<，即2230m m--<，得13m-<<（2）∵方程22113x ym m+=+-表示焦点在y轴上的椭圆.∴013m m<+<-，解得：11m-<<，∴若命题p为真命题，则实数m的取值范围是11m-<<；由（1）知，若命题q为真命题，则实数m的取值范围是13m-<<若“p q∧”为假命题，“p q∨”为真命题，则p，q为一个真命题，一个假命题，若p真q假，则1131mm m-<<⎧⎨≥≤-⎩或，此时无解，若p假q真，则1311mm m-<<⎧⎨≥≤-⎩或，得13m≤<.综上，实数m的取值范围是[)1,3.【点睛】关键点点睛：分别根据命题,p q为真命题，求出m的取值范围是解题关键.20．（1）247；（2．【分析】（1）由已知结论求出直线AB的方程，联立方程，得韦达定理，利用弦长公式即可求得AB的长；（2）将12||ABd d+表示为关于t的函数，再利用换元法与分离常数法两种方法分别求出最值.【详解】（1）解当3t=时，直线AB方程为1x y+=，联立，得27880x x--=．设()11,A x y，()22,B x y，则1287x x+=，1287x x=-．则1224||7AB x=-==．（2）解直线AB：13tx y+=，即13tx y=-+，直线OP：4ty x=．设()11,A x y，()22,B x y，则12||AB y y=-，12d d+===记12||ABmd d=+，则12||ABmd d==+，接下来介绍求最值的不同方法．法1：常规换元法令212s t=+，12s≥，则222222(3)(4)12121114949112244848 s s s sms s s s s-++-⎛⎫===-++=--+≤⎪⎝⎭m≤，当24s即t=±12||ABd d+．法2：分离常数法422242422514412414424144t t tmt t t t++==+++++，显然0t=时不取得最大值，则222149111444824mtt=+≤+=++，12m≤当t=±12||ABd d+的最大值是12．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21．（1）2213xy+=；（2）证明见解析；定点10,2⎛⎫-⎪⎝⎭.【分析】（1）运用离心率公式和基本量a，b，c的关系，以及点满足椭圆方程，解方程可得椭圆方程；（2）由已知可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为()1y kx t t=+≠，与椭圆方程联立，整理得()()222136310kxktx t +++-=.由0AP AQ ⋅=，利用根与系数的关系求得t值，从而可证明直线l 过定点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【详解】（1）解：椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为3，且过点31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得3c e a ==，222a c b -=，且2291144a b +=，解得a =1b =，c =则椭圆方程为2213x y +=.（2）证明：由0AP AQ ⋅=，可知AP AQ ⊥，从而直线l 与x 轴不垂直， 故可设直线l 的方程为()1y kx t t =+≠，联立2213y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()()222136310k x ktx t +++-=. 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122613kt x x k -+=+，()21223113t x x k-=+，()* 由()()222(6)413310kt k t∆=-+⨯->，得2231k t >-，由0AP AQ ⋅=，得()()1122,1,1AP AQ x y x y ⋅=-⋅-()()2212121(1)(1)0k x x k t x x t =++-++-=，将()*代入，得12t =-， 所以直线l 过定点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的综合，及定点问题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用. (1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22．（11；（2）最大值72；最小值1-. 【分析】（1）因为在焦点三角形12AF F 中，120AF AF ⋅=，则12AF AF ⊥，又因为01260AF F ∠=，所以12,AF c AF ==，所以1212212F F c c e a a AF AF =====+， （2）若1a b ==，则1c =，12(1,0),(1,0)F F -，当AB 垂直于x 轴时，可求出,A B两点的坐标，从而可得22F A F B ⋅的值，当AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为(1)y k x =+，与椭圆方程联立成方程组，消去y 后，整理再利用韦达定理得2122412k x x k+=-+, 21222(1)12k x x k -⋅=+，从而可得22F A F B ⋅=22271791222(12)k k k -=-++，进而可求出其取值范围 【详解】 （1）120AF AF ⋅=，12AF AF ∴⊥因为1260AF F ∠=。
人教版高中数学选修一第三单元《圆锥曲线的方程》测试卷(包含答案解析)(2)
一、填空题1．若,A B 是曲线x =O 为坐标原点，则OA OB ⋅的取值范围是__________.2．椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，以原点为圆心，半径为椭圆C 的半焦距的圆恰与椭圆四个项点围成的四边形的四边都相切，则椭圆C 的离心率为________.3．已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为()1,0F c -，右顶点为A ，上顶点为B ，现过A 点作直线1F B 的垂线，垂足为T ，若直线OT （O 为坐标原点）的斜率为3bc-，则该椭圆的离心率为______．4．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为F ，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若||3||PF QF =，且120PFQ ∠=，则椭圆E 的离心率为__.5．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作C 的一条渐近线的垂线垂足为A ，且||2||OA AF =，O 为坐标原点，则C 的离心率为_________．6．已知F 为双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个端点，过F ，A 两点的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若3AB FA =，则此双曲线的离心率为________.7．已知椭圆的方程为2212516x y +=，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，A 点的坐标为(2,1)，P 为椭圆上一点，则2||||PA PF +的最大值是___________.8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与方向向量为(6,6)k =的直线交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(4,1)，则该双曲线的渐近线方程是_______.9．已知1F ､2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，2POF ∆为正三角形，则C 的离心率为__________.10．椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆于P ，Q 两点（P 在x 轴上方），1PF PQ =，若1PQ PF⊥，则椭圆的离心率e =______. 11．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若222AF F C =，则椭圆的离心率为__________.12．已知椭圆的对称轴为坐标轴，两个焦点坐标分别为()()0,2,0,2-，且过点35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆的标准方程为____________. 13．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且||3||PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值是________.二、解答题14．已知()()()22:3400,q :112x y p m a m a a m m--<>+=--．（1）若q 表示双曲线，求实数m 的取值范围；（2）若q 表示焦点在y 轴上的椭圆，且q ⌝是p ⌝中的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，且上顶点M 到直线340x y ++=距离为3.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 过点()4,2-且与椭圆C 相交于,A B 两点，l 不经过点M .证明：直线MA 的斜率与直线MB 的斜率之和为定值.16．如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的上顶点为(0,1)A ，离心率为22.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点A 作圆()222:1M x y r ++=的两条切线，记切点分别为,S T ，令1,r =求此时两切点连线ST 的方程；（3）若过点A 作圆()222:1M x y r ++=的两条切线分别与椭圆C 相交于点,B D （不同于点A ）.当r 变化时，试问直线BD 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.17．已知椭圆的两焦点分别为()13,0F -、)23,0F ，短轴长为2.（1）椭圆C 的标准方程；（2）已知过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭且斜率为1的直线交椭圆C 于,A B 两点，求线段AB 的长度. 18．已知椭圆1C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左焦点为(),0F c -，右顶点为(),0A a ，短轴长为2b ，点E 的坐标为()0,c ，EFA △的面积为22b .（1）求椭圆1C 的离心率；（2）若椭圆过，求椭圆的方程.19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()2,0F ，且右焦点到左准线的距离为10．（1）求椭圆C 的方程;（2）O 为坐标原点，过点F 且斜率为1的直线与椭圆交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．20．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，且过点31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若不过点()0,1A 的动直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且0AP AQ ⋅=，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点(0,A ，且椭圆C 的右顶点B 到直线0x y ++=的距离为4．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点()20P ，且与直线AB 平行的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，求OMN 的面积(O 为坐标原点)．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且椭圆上的点到焦点的最长距离为1+（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(0,2)P 的直线l (不过原点O )与椭圆C 交于两点A ､B ，M 为线段AB 的中点. （i ）证明：直线OM 与l 的斜率乘积为定值； （ii ）求OAB 面积的最大值及此时l 的斜率.23．已知椭圆22:1126y x Γ+=，F 是Γ的下焦点，过点()0,6R 的直线l 交Γ于M 、N 两点，（1）求F 的坐标和椭圆Γ的焦距；（2）求MNF 面积的最大值，并求此时直线l 的方程；（3）在y 轴上是否存在定点S ，使得RSM RSN π∠+∠=恒成立?若存在，求出定点S 的坐标；若不存在，请说明理由．24．已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）长轴长为短轴长的两倍，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，直线l 过点(,0)A a -，且与椭圆相交于另一点B ．（1）求椭圆的方程；（2）若线段AB 长为5，求直线l 的倾斜角．25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且经过点1)22.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于M N 、两点，B 为椭圆C 的上顶点，那么椭圆C 的右焦点F 是否可以成为BMN △的垂心．．？若可以，求出直线l 的方程；若不可以，请说明理由.（注：垂心是三角形三条高线的交点）26．已知椭圆22221(0)x y E a b a b+=>>：的左右焦点分别是1F 和2F ，离心率为13，以P 在椭圆E 上，且12PF F △的面积的最大值为 （1）求椭圆E 的方程；（2）已知直线:2(0)l y kx k =+≠与椭圆E 交于不同的两点,M N ，若x 轴上存在点G ，使得GM GN =，求点G 的横坐标的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、填空题1．【分析】先整理化简得设得到分轴和不垂直于轴两种情况讨论当不垂直于轴设:两方程联立消得到关于的一元二次方程再利用韦达定理代入化简整理即可得出结果【详解】∵∴可化为设则则∴若轴此时∴若不垂直于轴设:∴∴解析：[2,)+∞【分析】先整理化简得()221022x y x -=≥，设()11,A x y ，()22,B x y ，得到1212OA OB x x y y ⋅=+，分AB x ⊥轴和AB 不垂直于x 轴，两种情况讨论，当AB 不垂直于x 轴，设AB l :y kx m =+，两方程联立消y ，得到关于x 的一元二次方程，再利用韦达定理，代入1212OA OB x x y y ⋅=+，化简整理即可得出结果. 【详解】∵x =∴可化为(22122x y x -=≥，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则120x x ⋅>，则()11,OA x y =，()22,OB x y =， ∴1212OA OB x x y y ⋅=+，若AB x ⊥轴，此时12x x =，12y y =-，∴22112OA OB x y ⋅=-=，若AB 不垂直于x 轴，设AB l :y kx m =+， ∴222y kx mx y =+⎧⎨-=⎩， ∴()2221220kxkmx m ----=，∴12221km x x k +=-，22122222011m m x x k k --+⋅==>--， 则21k >，∴()()12121212OA OB x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++2222222222224(1)21111m km k k km m k b k k --+=+++==+----， 又∵21k >， ∴210k ->， ∴2OA OB ⋅>， ∴[2,)OA OB ⋅∈+∞， 故答案为：[2,)+∞. 【点睛】分AB x ⊥轴和AB 不垂直于x 轴，两种情况讨论，当AB 不垂直于x 轴，设AB l :y kx m =+，两方程联立消y ，得到关于x 的一元二次方程，再利用韦达定理是解决本题的关键.2．【分析】由题意画出图形利用等面积法可得关于的等式结合隐含条件即可求得椭圆的离心率【详解】解：如图所示过点作则由题意可得即又由可得整理可得因为所以解得因为所以故答案为：【点睛】本题考查椭圆的几何性质考解析：512- 【分析】由题意画出图形，利用等面积法可得关于a ，b ，c 的等式，结合隐含条件即可求得椭圆的离心率. 【详解】解：如图所示，过点O 作22OM A B ⊥，则290OMA ∠=︒，由题意可得，22221122OB OA A B OM ⋅=⋅，即22a b a b c ⋅=+，又由222a b c =+可得，()()2222222a a c a a c c -=+-，整理可得442230a c a c +-=，因为c e a =，所以42310e e -+=，解得235e -=， 因为01e <<，所以51e -=. 故答案为：512. 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.3．【分析】由已知先求出直线与直线的方程联立得到T 的坐标再利用建立abc 的方程即可得到答案【详解】由题意得直线的方程为：又所以直线的方程为：由得所以又所以即化简得所以故答案为：【点睛】关键点睛本题解题关 解析：12【分析】由已知先求出直线1F B 与直线OT 的方程，联立得到T 的坐标，再利用1AT BF ⊥，11AT BF k k ⋅=-，建立a ，b ，c 的方程即可得到答案.【详解】由题意，得(,0)A a ，(0,)B b ，1BF b k c =，直线1F B 的方程为：by x b c=+又3OT b k c =-，所以直线OT 的方程为：3by x c=-由3b y x b c b y x c ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得434c x b y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以3(,)44c b T -，303444AT b b k c c a a-==-+-- 又1AT BF ⊥，所以1314AT BF b bk k c a c⋅=-⋅=-+，即2222433()c ac b a c +==- 化简，得(32)(2)0a c a c +-=， 所以2a c =，12c e a == 故答案为：12【点睛】关键点睛，本题解题关键是先联立直线1F B 与直线OT 的方程得到T 的坐标，再利用1AT BF ⊥得到11AT BF k k ⋅=-从而使问题获解.4．【分析】取椭圆的右焦点由直线过原点及椭圆的对称性可得四边形为平行四边形由及椭圆的性质可得余弦定理可得离心率的值【详解】取椭圆的右焦点连接由椭圆的对称性可得四边形为平行四边形则而所以所以在中解得：故答 解析：74【分析】取椭圆的右焦点F '，由直线l 过原点及椭圆的对称性可得四边形PFQF '为平行四边形，由||3||PF QF =及椭圆的性质可得2a PF '=，32a PF =，120PFQ ∠=︒余弦定理可得离心率 的值.【详解】取椭圆的右焦点F '，连接QF '，PF '，由椭圆的对称性，可得四边形PFQF '为平行四边形，则PF QF '=，180********FPF PFQ ∠='=-∠-=，||3||PF QF =3||PF '=，而||||2PF PF a '+=，所以2a PF '=，所以32a PF =， 在PFF '中，2222222914||||58144cos 32332222a a c PF PF FF FPF e a PF PF a +-+-∠===-''''=⨯⨯，解得：74e =， 7. 【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中,由椭圆的对称性以及椭圆的定义得到2a PF '=，所以32a PF =，然后在PFF '中，根据余弦定理得到所要求的等量关系.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．5．【分析】由已知求出渐近线的斜率得结合转化后可求得离心率【详解】由题意可得渐近线方程为∴故故答案为：【点睛】本题考查求双曲线的离心率解题关键是列出关于的一个等式本题中利用直角三角形中正切函数定义可得 5【分析】由已知求出渐近线的斜率，得ba，结合222c a b -=转化后可求得离心率． 【详解】由题意可得||||1tan ||2||2AF AF AOF OA AF ∠===，渐近线方程为by x a=， ∴12b a =，222222222544a a c ab e a a a ++====，故2e =．． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于,,a b c 的一个等式，本题中利用直角三角形中正切函数定义可得．6．【分析】首先根据题意得到直线的方程为与双曲线的渐近线联立得到再根据得到从而得到【详解】由得直线的方程为根据题意知直线与渐近线相交联立得消去得由得所以即整理得则故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的离解析：43【分析】首先根据题意得到直线AF 的方程为by x b c=+，与双曲线的渐近线联立得到=-B ac x c a ，再根据3AB FA =得到34c a =，从而得到43e =. 【详解】 由(),0F c -，()0,A b ，得直线AF 的方程为by x b c=+ 根据题意知，直线AF 与渐近线by x a=相交， 联立得b y x b cb y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去y 得，=-B ac x c a . 由3AB FA =，得()(),3,-=B B x y b c b ， 所以3=B x c ，即3=-acc c a，整理得34c a =， 则43c e a ==. 故答案为：43【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，同时考查学生的计算能力，属于中档题.7．【分析】本题先根据已知求出再求最后转化即可解题【详解】解：∵椭圆的方程为∴则∵∴∵∴故答案为：【点睛】本题考查椭圆上点到焦点与定点距离的和的最值椭圆的标准方程求是中档题解析：10+【分析】本题先根据已知求出2a 、c ，再求1||AF 、12||||10PF PF +=，最后转化2||||PA PF +即可解题. 【详解】解：∵椭圆的方程为2212516x y +=，∴225a =，2229c a b =-=，则210a =，3c =， ∵(2,1)A ，1(3,0)F -，∴1||AF ==∵12||||210PF PF a +==，∴211||||10||||10||10PA PF PA PF AF +=+-≤+=故答案为：10+【点睛】本题考查椭圆上点到焦点与定点距离的和的最值、椭圆的标准方程求a ，b ，c ，是中档题.8．【分析】设代入到双曲线的方程中运用点差法可求得可得答案【详解】设则且因为线段的中点为所以由题意可得直线的斜率为1所以即故双曲线的渐近线方程为故答案为：【点睛】本题考查点差法的运用之得双曲线的渐近线方解析：12y x =±【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入到双曲线的方程中，运用点差法可求得12b a =，可得答案. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2211221x y a b -=且2222221x y a b-=，因为线段AB 的中点为(4,1)，所以()()2221212221214b x x y y b x x a y y a+-==-+， 由题意可得直线AB 的斜率为1，所以2241b a=，即12b a =，故双曲线的渐近线方程为12y x =±. 故答案为：12y x =±. 【点睛】本题考查点差法的运用之得双曲线的渐近线方程，属于中档题.9．【分析】根据题意作出图示求解出的长度然后根据椭圆的定义得到之间的关系即可求解出离心率【详解】如图因为为正三角形所以所以是直角三角形因为所以所以所以因为所以即所以故答案为：【点睛】本题考查根据几何关系 解析：31-【分析】根据题意作出图示，求解出12,PF PF 的长度，然后根据椭圆的定义得到,a c 之间的关系即可求解出离心率. 【详解】如图，因为2POF 为正三角形，所以12||||||OF OP OF ==，所以12F PF ∆是直角三角形. 因为2160PF F ∠=，21||2F F c =，所以2||PF c =，所以22212122122cos60PF PF F F PF F F =+-⋅⋅︒，所以13PF c =， 因为21||||2PF PF a +=，所以32c c a +=， 即3131ca ，所以31e =-.故答案为：31-.【点睛】本题考查根据几何关系以及椭圆的定义求解椭圆的离心率，难度一般.求解离心率的问题，如果涉及到特殊几何图形，一定要注意借助图形本身的性质去求解问题.10．【分析】根据椭圆定义设则进而表示出由得在两个三角形中由勾股定理可得ac 的关系进而求出椭圆的离心率【详解】如图所示设根据椭圆定义得由得由椭圆的定义可得因为在中且得即①在中得即②由①②可得可得③将③代入 63-【分析】 根据椭圆定义，设2PF m =，则12PF a m =-，进而表示出222QF a m =-，12QF m =，由1PQ PF ⊥，得在两个三角形中由勾股定理可得a ，c 的关系，进而求出椭圆的离心率．【详解】如图所示，设()20PF m m =>，根据椭圆定义得12PF a m =-， 由1PF PQ =，得2222QFa m m a m =--=-，由椭圆的定义可得()12222QF a a m m =--=，因为1PQ PF ⊥，在1Rt PFQ ∆中，且1PF PQ =，得22112QF PF =，即()22422m a m =-①，在12Rt PF F ∆中，得2221212F F PF PF =+，即()22242c a m m =-+②，由①-②2⨯可得222482m c m -=-，可得233m c =，③， 将③代入②可得222232342c a c c ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得：22330e e +-=，()0,1e ∈，解得63e =-.故答案为：63-.【点睛】本题考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合，考查椭圆离心率的求法，属于中档题．11．【分析】过点作轴垂直为由三角形相似得到点的坐标代入椭圆方程变形求椭圆的离心率【详解】设过点作轴垂直为代入椭圆方程得解得：故答案为：【点睛】本题考查椭圆的性质重点考查数形结合分析问题的能力本题的关键是 5【分析】过点C 作CD x ⊥轴，垂直为D ，由三角形相似得到点C 的坐标，代入椭圆方程，变形求椭圆的离心率. 【详解】()1,0F c -，()2,0F c 设2,b A c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点C 作CD x ⊥轴，垂直为D ，122Rt AF F Rt CDF ,22112212DF F C CD AF F F AF ∴===， 22,2b C c a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得222222222441144c b c a c a a a a -+=⇒+=， 解得：5c e a ==.5【点睛】本题考查椭圆的性质，重点考查数形结合分析问题的能力，本题的关键是利用三角形相似求得点C 的坐标，属于中档题型.12．【分析】由题意可设椭圆方程为且利用椭圆定义及两点间的距离公式求得结合隐含条件求得则可求出椭圆方程【详解】解：由题意可设椭圆方程为且由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点距离之和等于得则则椭圆方程为：故答案为解析：221106y x +=【分析】由题意可设椭圆方程为22221,(0)x y a b b a+=>>，且2c =，利用椭圆定义及两点间的距离公式求得a ，结合隐含条件求得b ，则可求出椭圆方程． 【详解】解：由题意可设椭圆方程为22221,(0)x y a b b a+=>>，且2c =，由椭圆的定义，椭圆上一点P 到两焦点距离之和等于2a ． 222235352()(2)()(2)2102222a ∴=-++-+-=得a =b ==则椭圆方程为：221106y x +=．故答案为：221106y x +=.【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了利用椭圆定义求椭圆的标准方程，属于基础题．13．【分析】转化条件得点则利用基本不等式即可得解【详解】由题意可知点设由可得则点当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】本题考查了抛物线的性质平面向量的应用以及基本不等式的应用属于中档题【分析】转化条件得点2003,884y y p M p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则001322OM k y p y p=+，利用基本不等式即可得解. 【详解】 由题意可知点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，0p >， 设()2000,02y P y y p ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由||3||PM MF =可得4PF MF =， 则200,884y y p MF p ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴点2003,884y y p M p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,∴020014332288OM y k y p y p y pp==≤=++，当且仅当00322y p y p =时等号成立.故答案为：3. 【点睛】本题考查了抛物线的性质、平面向量的应用以及基本不等式的应用，属于中档题.二、解答题14．（1）()()–,12,∞+∞；（2）13,38⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据曲线方程，列式()()120m m --<，求m 的取值范围；（2）分别求两个命题为真命题时，m 的取值范围，根据命题的等价性转化为p 是q 的充分不必要条件，转化为真子集关系，求实数a 的取值范围. 【详解】（1）由()()120m m --<，得1m <或2m >，即()()–,12,m ∈∞⋃+∞（2）命题p ∶由()()()3400m a m a a --<>，得34a m a <<．命题q ∶22112x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆， 则102021m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得312m <<，因为q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的充分不必要条件，则31342a a ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得1338a ≤≤，故实数a 的取值范围为：13,38⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．15．（1）221164x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由题可得，列出不等式组，求解4,2a b ==，即可求解椭圆的标准方程； （2）设直线l 方程：()24y k x +=-，直线的方程和椭圆的方程联立，利用根与系数的关系得到1212,x x x x +，在利用斜率公式和韦达定理化简，即可得到定值. 【详解】（1）解：由题可得，222432c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得4a =，2b =，故椭圆C 的方程为221164x y +=.（2）证明：易知直线l 斜率小于0，设直线l 方程为()24y k x +=-，0k <且1k ≠-， 设()11,A x y ，()22,B x y ，联立222(4)1164y k x x y +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()221416(21)64(1)0kxk k x k k +-+++=，则12216(21)14k k x x k ++=+，12264(1)14k k x x k+=+， 因为()()1221121212444422MA MB kx k x kx k x y y k k x x x x --+----+=+=， 所以121216(21)2(44)24(1)2(21)164(1)MA MB x x k k k k k k k k k k x x k k +++=-+=-+=-+=-+（为定值）. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，其中解答中涉及到椭圆的标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系的综合应用求解定值问题，解答中把直线与圆锥曲线的位置关系的应用转化为一元二次方程的根和系数的关系是解答此类问题的关键.16．（1）2212x y +=；（2）0x y +=；（3）过定点(0,3)-，理由见解析.【分析】（1）利用待定系数法求椭圆方程；（2）方法一，由数形结合，直接看出切线方程，求切点，再求切线方程，方法二，设圆上切点11(,)S x y ，写出过该切点的圆的切线方程，同理得到过()22,T x y 的切线方程，切线过点()0,1，利用两点确定一条直线，求切线方程，方法三，点,S T 也在以AM 为直径的圆上，利用两圆相减就是直线ST 的方程；（3）方法一，设切线方程为1y kx =+，与椭圆方程联立，求点,B D 的坐标，并表示直线BD 的斜率，并求直线BD 的方程，表示定点；方法二，可设BD 的直线方程为y mx t =+，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并表示121k k =，得到t 的值. 【详解】（1）由已知可得，222211122b b b a a=⎧⎧=⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩，所求椭圆的方程为2212x y += （2）法一，数形结合易知，切线AS 的方程为1,y =切线AT 的方程为0x =，故切点(1,1),(0,0)S T -，所以切点ST 连线的方程为,y x =-即0x y +=法二设圆上切点11(,)S x y ，过该切点的圆的切线方程为11(1)(1)1x x y y +⋅++⋅=，又因为过点(0,1)A 所以有11(1)(01)10x y +⋅++⋅=，即111x y +=同理设另一个切点22(),T x y ，由同构可知220x y +=，经过不同两点有且只有一条直线，所以ST 的直线方程为0x y +=法三 ,S T 在AM 为直径的圆：22111()()222x y ++-=上，由两圆相减得ST 的方程为0x y +=（3）法一设切线方程为1y kx =+r =，即222(1)210r k k r --+-=，由0∆>得(01)r r <<≠设两切线,AB AD 的斜率为1212,()k k k k ≠，则12,k k 是上述方程的两根， 所以 121k k ⋅=； 联立 22122y kx x y =+⎧⎨+=⎩ 可得2212k )40x kx ++=（，设1122(:),(:)B x y D x y 则由韦达定理得124,12k x k -=+2121212k y k -=+； 由121k k ⋅=得224,2k x k -=+ 22222k y k -=+， 直线BD 的斜率221211y y k x x k-+=-- ∴直线BD 的方程为22222114()2112k k ky x k k k-++=-+++ 整理得213k y x k+=--，故直线BD 过定点(0,3).-法二设切线方程为1y kx =+r =，即222(1)210r k k y --+-=，设两切线,AB AD 的斜率为1212,()k k k k ≠，则12,k k 是上述方程的两根，所以121k k ⋅=；可设BD 的直线方程为y mx t =+2222y mx t x y =+⎧⎨+=⎩ 可得22212m )4220x tmx t +++-=（，设1122(:),(:)B x y D x y ，由韦达定理得122412tm x x m ∴+=-+，21222t 212m x x -=+， 121212111y y k k x x --=⨯= 代入1212111mx t mx t x x +-+-⨯= 2212121)(1)()(1)0m x x m t x x t -+-++-=（将韦达定理代入得2222221)41)(1)(1)01212t tmm m t t m m---+-+-=++（（ 化简得 3t =-或1t =(舍去)故直线BD 的直线方程为3y mx =-，直线BD 经过定点(0,3)-. 【点睛】关键点点睛：本题第三问求直线过定点问题，关键一点时利用切线方程1y kx =+与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求出121k k =，围绕着这个条件，利用坐标表示，得到直线所过的定点.17．（1）2214x y +=；（2【分析】（1）由焦点坐标可求c ，短轴长求b ，然后可求出a ，进而求出椭圆C 的标准方程． （2）先求出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及弦长公式求出线段AB 的长度． 【详解】（1）由()1F，)2F ，短轴长为2，得：1c b ==，又222a b c =+，所以24a =∴椭圆方程为2214x y +=（2）易知直线AB 的方程为12y x =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，联立 221412x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，化简整理得：25430x x +-=由韦达定理得：12124,355x x x x +=-=- 所以5AB ==【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的方程，考查韦达定理及弦长公式的应用，解题的关键是熟悉弦长公式，考查学生的运算能力，属于基础题．18．（1）12；（2）221129x y +=.【分析】（1）由题意，||AF a c =+，||EO c =，再由EFA △的面积可得22c ac b +=，结合222a b c =+即可求椭圆1C 的离心率；（2）椭圆1C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，设方程为22221(0)x ya b a b+=>>，由椭圆的离心率、椭圆过定点及222a b c =+可求椭圆方程. 【详解】（1）椭圆1C 的离心率为ce a=， 依题意有：||AF a c =+，||EO c =，所以21()||||222EFAc a c b SAF EO +=⋅==， 即22c ac b +=，又222a b c =+，所以2220c ac a +-=，即2210e e +-=，01e <<， 椭圆1C 的离心率12e =. （2）22214c e a ==，222114b e a =-=，2234b a =椭圆1C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，所以方程为22221(0)x y a b a b+=>>，2222134x y a a+=，2246134a a +=，212a =，29b =， 椭圆的方程为221129x y +=.【点睛】方法点睛：本题考查椭圆的几何性质，第一问的关键点是由EFA △的面积得出22c ac b +=，然后得到e 的齐次方程，考查椭圆方程的求法，考查运算求解能力.19．（1）2211612x y +=；（2【分析】（1）由题得2c =，210a c c+=，联解可得.（2）写出:2AB y x =-，与椭圆方程联解，利用根与系数关系及求得三角形面积得解.【详解】解（1）设椭圆的半焦距为c ，()2,0F2c ∴=，210a c c+=，216a ∴= 22216412b a c ∴=-=-=∴椭圆C 的方程为2211612x y +=（2）:2AB y x =-22211612y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩2712360y y ∴+-= 设()11,A x y ，()22,B x y1212127367y y y y ⎧+=-⎪⎪∴⎨⎪⋅=-⎪⎩127y y ∴-==△AOB的面积1211222S OF y y =-=⨯=【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系通常是直线方程与圆锥曲线方程联解，利用根与系数关系求解，达到设而不求，简化运算.20．（1）2213x y +=；（2）证明见解析；定点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】（1）运用离心率公式和基本量a ，b ，c 的关系，以及点满足椭圆方程，解方程可得椭圆方程；（2）由已知可得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y kx t t =+≠，与椭圆方程联立，整理得()()222136310kxktx t +++-=.由0AP AQ ⋅=，利用根与系数的关系求得t值，从而可证明直线l 过定点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【详解】（1）解：椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为3，且过点31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得3c e a ==，222a c b -=，且2291144a b +=，解得a =1b =，c =则椭圆方程为2213x y +=.（2）证明：由0AP AQ ⋅=，可知AP AQ ⊥，从而直线l 与x 轴不垂直， 故可设直线l 的方程为()1y kx t t =+≠，联立2213y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()()222136310k x ktx t +++-=. 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122613kt x x k -+=+，()21223113t x x k-=+，()* 由()()222(6)413310kt k t∆=-+⨯->，得2231k t >-，由0AP AQ ⋅=，得()()1122,1,1AP AQ x y x y ⋅=-⋅-()()2212121(1)(1)0k x x k t x x t =++-++-=，将()*代入，得12t =-， 所以直线l 过定点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的综合，及定点问题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用. (1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21．（1）22182x y +=；（2【分析】（1）根据点(0,A得b =B到直线0x y ++=的距离为4得a =（2）求出直线l 的方程，与椭圆方程联立，设()11,M x y ，()22,N x y ，求出12||y y -，利用1212111222S OP y OP y OP y y =+=⨯⨯-可求出面积. 【详解】（1）由题得b =因为椭圆C 的右顶点(,0)B a到直线0x y ++=的距离为4．4=，解得a =故椭圆C 的标准方程为22182x y +=．（2）由题意知1(0,2AB A B k ∴= 所以直线l 的方程为220x y --=联立22220182x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得22210y y +-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则121y y +=-，1212y y =- 从而12y y -===故OMN的面积1212111122222S OP y OP y OP y y =+=⨯⨯-=⨯． 【点睛】关键点点睛：将OMN 的面积化为OMP 和ONP △的面积之和，再利用12||y y -进行计算时解题关键.22．（1）2212x y +=；（2）（i ）证明见解析；（ii ）OAB，此时l的斜率为. 【分析】（1，且椭圆上的点到焦点的最长距离为1+12a c c a⎧+=+⎪⎨=⎪⎩求解.（2）（i ）设直线l 为：2y kx =+，与椭圆方程联立，利用韦达定理求得M 的坐标，进而求得OM k 验证即可.（ii ）由（i ）求得弦长AB 和点O 到直线l 的距离，由三角形面积公式12OABSd AB =⨯⨯求解. 【详解】（1）由题意得122a c c a⎧+=+⎪⎨=⎪⎩， 解得21a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴22a =，2221b a c =-=，∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）（i ）设直线l 为：2y kx =+，1122(,),(,),(,)M M A x y B x y M x y ，由题意得22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴22(12)860k x kx +++=， ∴28(23)0k ∆=->，即232k > 由韦达定理得：22121286,1212k x x x x kk-+==++∴2412M k x k =-+，22212M My kx k =+=+ ∴12M OM M y k x k ==-，，∴12OM k k ⋅=- ∴直线OM 与l 的斜率乘积为定值 （ii ）由（i ）可知：2222212121222(1)(23)11()4k k AB k x kx x x x +-=+-=++-=，又点O 到直线l 的距离21d k=+∴1122OABS d AB=⨯⨯==t=，则0t>，∴24442OABSt tt==≤=++，当且仅当2t=时等号成立，此时k=0∆>，∴OAB面积的最大值是2，此时l的斜率为2±【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．23．（1）(0,F，焦距为2c=2）MNF直线l的方程为6y=+；（3）存在定点()0,2S，使得RSM RSNπ∠+∠=恒成立．【分析】（1）利用椭圆方程求出a，b，然后求解c，即可得到结果．（2）设直线:6l y kx=+，与椭圆方程联立．利用判别式以及韦达定理，结合弦长公式点到直线的距离公式，然后求解三角形的面积，利用基本不等式求解最值即可推出直线方程．（3）由（2）得122122kx xk-+=+，122242x xk=+，推出直线系方程，然后求解定点坐标．验证当直线l的斜率不存在时，直线l也过定点(0,2)S，即可．【详解】（1）椭圆22:1126y xΓ+=，可得a=b，所以c=(0,F，焦距为2c=；（2）由题意得直线l的斜率存在，设直线:6l y kx=+，由2211266y xy kx⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()22212240k x kx+++=，所以()()2221449624840k k k∆=-+=->，故240k->，设()11,M x y ，()22,N x y ，则122122kx x k -+=+，122242x x k =+，所以12MN x =-=====(或用MN = 点F 到直线l的距离d =所以162MNFS MN d =⋅==△， 令0t =>，则))216666MNF tS t t t==++△，所以6MNF S ≤=△，当且仅当k =时取等号，所以MNFl 的方程为6y =+； （3）当直线l 的斜率存在时，由（2）得122122kx x k -+=+，122242x x k =+， 因为RSM RSN π∠+∠=，所以0MS NS k k +=， 即12120y t y tx x --+=，所以()()21120x y t x y t -+-=， 所以()()2112660x kx t x kx t +-++-=， 所以()()1212260kx x t x x +-+=， 所以()()2222412122620222k kkt t k k k -+-=-=+++， 因为0k ≠，所以2t =，所以()0,2S ，当直线l 的斜率不存在时，直线l 也过定点()0,2S ，故y 轴上存在定点()0,2S ，使得RSM RSN π∠+∠=恒成立． 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，解决本题的关键点是将RSM RSN π∠+∠=恒成立转化为0MS NS k k +=，利用两点连线斜率的坐标公式以及根与系数的关系，求出定点，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．24．（1）2214x y +=；（2）4π或34π．【分析】（1）由题设列出基本量方程组，解得基本量，从而得方程.（2）设直线l 方程，代入椭圆方程得关于x 的一元二次方程，韦达定理整体思想及弦长公式得关于斜率的方程，解得斜率得直线方程. 【详解】(1)由题意可知22222212242b a a b a b c ⨯=⎧⎪⎪⨯⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎩， 2a = ，1b =，c =。
人教版高中数学选修一第三单元《圆锥曲线的方程》测试卷(包含答案解析)(1)
一、填空题1．ABC 的三个顶点都在抛物线E ：232y x =上，其中A (2，8)，ABC 的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 所在直线的方程为_________．2．若椭圆C ：22184x y +=的右焦点为F ，且与直线l ：20x +=交于P ，Q 两点，则PQF △的周长为_______________.3．已知双曲线M ：()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆()22x c y a -+=的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是________．4．已知点1,0A ，直线l ：1x =-，两个动圆均过点A 且与l 相切，其圆心分别为1C 、2C ，若动点M 满足22122C M C C C A =+，则M 的轨迹方程为______.5．若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与双曲线()2211221110,0x y a b a b -=>>有相同的焦点12,F F ，点P 是两条曲线的一个交点，122F PF π∠=，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，122e e ，则2212e e +=__________.6．已知A B 、为椭圆2214x y +=和双曲线2214x y -=的公共顶点， P Q 、分别为双曲线和椭圆上不同于两点A B 、的动点，且有()(),||1PA PB QA QBR λλλ+=+∈>，设直线AP 、BP 、AQ 、BQ 的斜率分别为1234,,,k k k k ，则1234 k k k k +++=______．7．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为F ，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若||3||PF QF =，且120PFQ ∠=，则椭圆E 的离心率为__.8．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，O 为坐标原点.过点F 的直线240x y +-=与椭圆的交点为Q (点Q 在x 轴上方)，且||||OF OQ =，则椭圆C 的离心率为_____.9．已知M 是抛物线24y x =上一点，F 为其焦点，点A 在圆22:(6)(1)1C x y -++=上，则||||MA MF +的最小值是__________.10．若点(,)x y 在双曲线2214xy -=上，则232x y -的最小值是____________．11．设12,F F 是双曲线22154x y -=的两个焦点，P 是该双曲线上一点，且12:2:1PF PF =，则12PF F ∆的面积等于__________．12．在直角坐标系xOy 中，抛物线C ：22y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上第一象限内的一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，直线MN 与x 轴交于点R ，若1FR =，则直线PF 的斜率为______.13．椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆于P ，Q 两点（P 在x 轴上方），1PF PQ =，若1PQ PF⊥，则椭圆的离心率e =______. 二、解答题14．如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：22221x ya b+=(0)a b >>的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，过点A 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的(0)k k ≠都有OP EQ ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（III ）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AEOM+的最小值. 15．已知椭圆()2222:10x y G a b a b +=>>过点33P ⎝⎭，且它的一个焦点在直线220x y +=.（1）求椭圆G 的方程；（2）设直线y x m =+与椭圆G 相交于不同的两点,M N ，且()0,1B -，是否存在实数m ，使得BM BN =?若存在，求出实数m ；若不存在，请说明理由.16．已知椭圆()222210x y C a b a b ∴+=>>的离心率22e =，左焦点为1F ，右焦点为2F ，且椭圆上一动点M 到2F 的最远距离为 21，过2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 的斜率存在且不为0时，试问x 轴上是否存在一点P 使得OPA OPB ∠=∠，若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由.17．如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的上顶点为(0,1)A ，离心率为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点A 作圆()222:1M x y r ++=的两条切线，记切点分别为,S T ，令1,r =求此时两切点连线ST 的方程；（3）若过点A 作圆()222:1M x y r ++=的两条切线分别与椭圆C 相交于点,B D （不同于点A ）.当r 变化时，试问直线BD 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.18．已知集合(){}22|4300A x x ax a a =-+<>，集合B ={a 方程221382x y a a+=--表示圆锥曲线C }（1）若圆锥曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，求实数a 的取值范围；（2）若圆锥曲线C 表示双曲线，且A 是B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()2,0F ，且右焦点到左准线的距离为10．（1）求椭圆C 的方程;（2）O 为坐标原点，过点F 且斜率为1的直线与椭圆交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．20．已知椭圆的2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的焦距为26(2,1)A .（1）求椭圆C 的方程；（2）若不经过点A 的直线:l y kx m =+与C 交于,P Q 两点，且直线AP 与直线AQ 的斜率之和为0，求k 的值.21．已知点Q 是圆M ：()22116x y ++=上一动点（M 为圆心），点N 的坐标为()1,0，线段QN 的垂直平分线交线段QM 于点C ，动点C 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）求直线1y x =-与曲线E 的相交弦长；（3）曲线E 的右顶点为B ，直线l ：y kx m =+与椭圆E 相交于点S ，T ，则直线BS ，BT 的斜率分别为1k ，2k 且123k k +=，BD ST ⊥，D 为垂足，问是否存在某个定点A ，使得以AB 为直径的圆经过点D ？若存在，请求出A 的坐标；若不存在，请说明理由？22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点1,2⎛ ⎝⎭，左、右焦点分别1F 、2F ，椭圆的四个顶点围成的菱形面积为 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设Q 是椭圆C 上不在x 轴上的一个动点，O 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行线交椭圆于M 、N 两点，求2MN OQ的值．23．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，且经过点(.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若154AB =，求直线l 的方程.24．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且经过点1)2.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于M N 、两点，B 为椭圆C 的上顶点，那么椭圆C 的右焦点F 是否可以成为BMN △的垂心．．？若可以，求出直线l 的方程；若不可以，请说明理由.（注：垂心是三角形三条高线的交点）25．已知椭圆222:1(1)x E y a a +=>的离心率为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线:0l x y m -+=与椭圆交于E F 、两点，且线段EF 的中点在圆22+1x y =，求m 的值.26．已知椭圆M 的焦点与双曲线N ：22197x y -=的顶点重合，且椭圆M 短轴的端点到双曲线N 渐近线的距离为3． （1）求椭圆M 的方程；（2）已知直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，若弦AB 中点为()2,1，求直线l 的方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、填空题1．【分析】根据重心坐标公式可得由此得到BC 的中点坐标再根据点差法得到BC 的斜率然后点斜式写出直线方程【详解】设由重心坐标公式又所以所以中点坐标为因为两式相减得所以直线的斜率为所以BC 所在直线的方程为即解析：4400+-=x y【分析】根据重心坐标公式可得1222x x +=，128y y +=-，由此得到BC 的中点坐标，再根据点差法得到BC 的斜率，然后点斜式写出直线方程. 【详解】设()11B x y ， ，()22C x y ，，由重心坐标公式，12122833x x y y G ++++⎛⎫⎪⎝⎭，，又()80G ，， 所以1222x x +=，128y y +=-，所以BC 中点坐标为()11,4-，因为21132y x =，22232y x =，两式相减得12124y y x x -=--， 所以直线BC 的斜率为4-，所以BC 所在直线的方程为()4411y x +=--，即4400+-=x y . 故答案为：4400+-=x y 【点睛】方法总结：涉及中点弦或者斜率问题时考虑使用点差法，即设点作差.2．【分析】求出左焦点坐标利用直线经过椭圆的左焦点结合椭圆的定义求三角形的周长即可【详解】由题得椭圆的左焦点所以直线经过左焦点的周长故答案为：【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的问题时如果遇到了焦半径要联想 解析：82【分析】求出左焦点坐标，利用直线经过椭圆的左焦点，结合椭圆的定义求三角形的周长即可． 【详解】由题得椭圆C 的左焦点(2,0)F '-， 所以直线:320l x -+=经过左焦点F '，PQF ∴的周长||||||PQ PF QF ++||||||||PF PF QF QF ''=+++4a ==，故答案为： 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的问题时，如果遇到了焦半径，要联想到圆锥曲线的定义，利用定义优化解题.3．【分析】要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直必有而焦点到双曲线渐近线的距离为故利用双曲线的离心率的计算公式解答【详解】解：∵所以离心率圆是以为圆心半径的圆要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直必有解析：(【分析】要使得经过点T 所作的圆的两条切线互相垂直，必有2TF a =，而焦点(),0F c 到双曲线渐近线的距离为b ，故2TF a b =≥，利用双曲线的离心率的计算公式解答．【详解】解：∵0b >，0a >，所以离心率1c e a ==>，圆()22x c y a -+=是以(),0F c 为圆心，半径r a =的圆，要使得经过点T 所作的圆的两条切线互相垂直，必有TF =，而焦点(),0F c 到双曲线渐近线的距离为b ，所以TF b =≥，即b a c e a ==，所以双曲线M 的离心率的取值范围是(．故答案为：(． 【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的灵活运用．4．【分析】由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹方程设根据可得利用可求得结果【详解】由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹是以为焦点直线：为准线的抛物线其方程为设因为动点满足所以即所以因为所以所以即的轨迹方程为故答案 解析：221y x =-【分析】由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹方程24y x =，设()1,C a b ，()2,C m n ，(),M x y ，根据22122C M C C C A =+可得21a x =-，2b y =，利用24b a =可求得结果. 【详解】由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹是以1,0A 为焦点，直线l ：1x =-为准线的抛物线，其方程为24y x =，设()1,C a b ，()2,C m n ，(),M x y ，因为动点M 满足22122C M C C C A =+， 所以()()()2,,1,x m y n a m b n m n --=--+--，即21x a =+，2y b =， 所以21a x =-，2b y =，因为24b a =，所以()()22421y x =-， 所以221y x =-，即M 的轨迹方程为221y x =-. 故答案为：221y x =- 【点睛】关键点点睛：由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹方程24y x =是解题关键.5．【分析】设PF1＝sPF2＝t 由椭圆的定义可得s+t ＝2a 由双曲线的定义可得s ﹣t ＝2a1利用勾股定理和离心率公式得到化简计算即可得出结论【详解】不妨设P 在第一象限再设PF1＝sPF2＝t 由椭圆的定 解析：8【分析】设PF 1＝s ，PF 2＝t ，由椭圆的定义可得s +t ＝2a ，由双曲线的定义可得s ﹣t ＝2 a 1，利用勾股定理和离心率公式得到2212224e e =+，化简计算即可得出结论． 【详解】不妨设P 在第一象限，再设PF 1＝s ，PF 2＝t ，由椭圆的定义可得s +t ＝2a ， 由双曲线的定义可得s ﹣t ＝2a 1， 解得s ＝a +a 1，t ＝a ﹣a 1， 由∠F 1PF 22π=，在三角形F 1PF 2中，利用勾股定理可得22222221114()()22c s t a a a a a a =+=++-=+． ∴2212224e e =+， 化简221222221212121=e e e e e e ++=，又由e 1e 2＝2，所以22221212=28e e e e +=. 故答案为：8． 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．在解题的过程中要合理的利用平面几何的思想，适当利用勾股定理，建立离心力的关系式，在化简的过程中根据题目的条件和结论合理构造和变形，这样解题会轻松一点.6．0【分析】可根据题的已知条件设利用斜率公式得到；同理可得结合三点共线即可得出的值【详解】由题意可知三点共线设点在双曲线上则所以①又由点在椭圆上则同理可得②三点共线由①②得故答案为：0【点睛】本题考查解析：0 【分析】可根据题的已知条件，设()11,P x y 、()22,Q x y ，利用斜率公式得到11212x k k y +=； 同理可得23422x k k y +=-， 结合O P Q 、、三点共线即可得出1234k k k k +++的值． 【详解】由题意，()(),||1PA PB QA QB R λλλ+=+∈>可知O P Q 、、三点共线．()2,0A -、()2,0B设()11,P x y 、()22,Q x y ，点P 在双曲线2214x y -=上，则221144x y -=． 所以11111111222111112222442y y x y x y xk k x x x y y +=+===+--① 又由点Q 在椭圆2214x y +=上，则222242x y -=-． 同理可得23422x k k y +=-② O P Q 、、三点共线．1212x x y y ∴=． 由①、②得12340k k k k +++=． 故答案为：0 【点睛】本题考查运算求解能力、数形结合思想、化归与转化思想．主要思路为结合曲线与点的位置关系、向量关系式，根据斜率公式，列相关关系式化简求解.7．【分析】取椭圆的右焦点由直线过原点及椭圆的对称性可得四边形为平行四边形由及椭圆的性质可得余弦定理可得离心率的值【详解】取椭圆的右焦点连接由椭圆的对称性可得四边形为平行四边形则而所以所以在中解得：故答解析：7【分析】取椭圆的右焦点F'，由直线l过原点及椭圆的对称性可得四边形PFQF'为平行四边形，由||3||PF QF=及椭圆的性质可得2aPF'=，32aPF=，120PFQ∠=︒余弦定理可得离心率的值.【详解】取椭圆的右焦点F'，连接QF'，PF'，由椭圆的对称性，可得四边形PFQF'为平行四边形，则PF QF'=，180********FPF PFQ∠='=-∠-=，||3||PF QF=3||PF'=，而||||2PF PF a'+=，所以2aPF'=，所以32aPF=，在PFF'中，2222222914||||58144cos32332222a a cPF PF FFFPF eaPF PF a+-+-∠===-''''=⨯⨯，解得：7e=7.【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c的等量关系．本题中,由椭圆的对称性以及椭圆的定义得到2a PF '=，所以32a PF =，然后在PFF '中，根据余弦定理得到所要求的等量关系.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．8．【分析】转化条件为设点列方程可得点结合椭圆定义可得再由离心率的公式即可得解【详解】因为点在直线上所以椭圆左焦点设点则解得或（舍去）所以点所以即所以椭圆的离心率故答案为：【点睛】关键点点睛：解决本题的【分析】转化条件为()2,0F ，设点(),24Q x x -+，列方程可得点68,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合椭圆定义可得a ，再由离心率的公式即可得解.【详解】因为点F 在直线240x y +-=上，所以()2,0F ，椭圆左焦点()12,0F -， 设点(),24Q x x -+，则2OQ OF ===，解得65x =或2x =（舍去）， 所以点68,55Q ⎛⎫⎪⎝⎭，所以12a QF QF =+==，即5a =，所以椭圆的离心率3c e a ===.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是求出点Q 的坐标，再结合椭圆的定义、离心率公式即可得解.9．【分析】根据抛物线方程求得准线方程过点作垂直于准线于根据抛物线的定义判断问题转化为求的最小值根据在圆上判断出当三点共线时有最小值进一步求出结果【详解】解：是抛物线上一点抛物线的准线方程为过点作垂直于 解析：6【分析】根据抛物线方程求得准线方程，过点M 作MN 垂直于准线于N ，根据抛物线的定义判断MN MF =，问题转化为求||||MA MN +的最小值，根据A 在圆C 上，判断出当,,M N C 三点共线时，||||MA MN +有最小值，进一步求出结果【详解】解：M 是抛物线24y x =上一点，抛物线的准线方程为1x =-， 过点M 作MN 垂直于准线于N ，则MN MF =， 所以||||MA MF MA MN +=+，因为点A 在圆C 上，圆22:(6)(1)1C x y -++=的圆心(6,1)C -，半径为1， 所以当,,M N C 三点共线时，||||MA MN +取得最小值6， 故答案为：6【点睛】关键点点睛：此题考查了抛物线的简单性质的应用，解题的关键是利用了抛物线的定义，结合图形将||||MA MF +转化为||||MA MN +进行求解，考查数形结合的思想和转化思想，属于中档题10．【分析】根据点在曲线上可以二元化一元得到再由二次函数的性质得到结果【详解】点在双曲线上故进而得到：二次函数对称轴为结合二次函数图像及性质可知最小值为时对应的值为故答案为【点睛】这个题目考查了双曲线的解析：14312【分析】根据点在曲线上可以二元化一元得到()22232314212212x y y y yy -=+⨯-=-+再由二次函数的性质得到结果. 【详解】点(),x y 在双曲线2214x y -=上，故2214x y =+，进而得到：()22232314212212x y yy y y -=+⨯-=-+，二次函数对称轴为112y =，结合二次函数图像及性质可知最小值为112y =时对应的值为14312. 故答案为14312. 【点睛】这个题目考查了双曲线的几何意义的应用，根据点在曲线上可以二元化一元，最终转化为二次函数求最值的问题，结合图像性质即可得到结果.11．12【分析】通过双曲线的定义可先求出的长度从而利用余弦定理求得于是可利用面积公式求得答案【详解】由于因此故由于即而所以所以因此【点睛】本题主要考查双曲线定义余弦定理面积公式的综合应用意在考查学生的分解析：12 【分析】通过双曲线的定义可先求出12PF PF ，的长度，从而利用余弦定理求得12cos F PF ∠，于是可利用面积公式求得答案. 【详解】由于22154x y -=，因此a =3c =，故12|26|=F F c =，由于12:2:1PF PF =即12=2PF PF，而122PF PF a -==1PF，2PF ，222121212124cos 25PF PF F F F PF PF PF +-∠==⋅，所以123sin 5F PF ∠=，因此1212121||||sin 122PF F S PF PF F PF ∆=∠=. 【点睛】 本题主要考查双曲线定义，余弦定理，面积公式的综合应用，意在考查学生的分析能力，计算能力及转化能力，难度中等.12．【分析】根据题意画出示意图由几何关系证得是等边三角形后即可求解【详解】解:根据题意作示意图如下图所示：记与轴的交点为则且由几何关系可证过点作的垂线可知其垂足就为点且可得是等边三角形由几何关系可得：所【分析】根据题意画出示意图，由几何关系证得PQF ∆是等边三角形后，即可求解. 【详解】解:根据题意，作示意图如下图所示：22y x =，1,02F ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，记l 与x 轴的交点为H ，则1FH =，1FR =，且由几何关系可证PMN FNR ∆≅∆1PM FR ⇒==，∴过点F 作PQ 的垂线，可知其垂足就为点M ，且可得||||FQ PF PQ ==，PQF ∴∆是等边三角形，由几何关系可得：3PFR QPF π∠=∠=，所以直线PF 的斜率为33tan PFR tan π∠==3【点睛】在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.13．【分析】根据椭圆定义设则进而表示出由得在两个三角形中由勾股定理可得ac 的关系进而求出椭圆的离心率【详解】如图所示设根据椭圆定义得由得由椭圆的定义可得因为在中且得即①在中得即②由①②可得可得③将③代入 63-【分析】 根据椭圆定义，设2PF m =，则12PF a m =-，进而表示出222QF a m =-，12QF m =，由1PQ PF ⊥，得在两个三角形中由勾股定理可得a ，c 的关系，进而求出椭圆的离心率． 【详解】如图所示，设()20PF m m =>，根据椭圆定义得12PF a m =-， 由1PF PQ =，得2222QFa m m a m =--=-，由椭圆的定义可得()12222QF a a m m =--=，因为1PQ PF ⊥，在1Rt PFQ∆中，且1PF PQ =，得22112QF PF =，即()22422m a m =-①，在12Rt PF F ∆中，得2221212F F PF PF =+，即()22242c a m m =-+②，由①-②2⨯可得222482m c m -=-，可得233m c =，③， 将③代入②可得22223233423c a c c ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得：22330e e +-=，()0,1e ∈，解得63e =-.故答案为：63-.【点睛】本题考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合，考查椭圆离心率的求法，属于中档题．二、解答题14．（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）存在，3(,0)2-；（III ）22【分析】（Ⅰ）根据离心率和顶点求出,a c ，再求出b 即可得出方程；（Ⅱ）联立直线与椭圆方程求出点D 坐标，进而得出点P 坐标，再利用1OP EQ k k ⋅=-即可求出定点；（III ）设OM 的方程为y kx =，与椭圆联立，得出M 横坐标，利用D AE AMx x x x AD AE OM x -+-+=表示出，即可求出最值.【详解】解：（Ⅰ）因为椭圆C ：22221x y a b+=0a b >>（）的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，所以2a =，又12e =，所以1c =，可得2223b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；(Ⅱ)直线l 的方程为(2)y k x =+，由22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,可得：22(2)(43)860x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以12x =-，2228643k x k -+=+，当 228643k x k -+=+时，2228612(2)4343k ky k k k -+=+=++， 所以2228612(,)4343k kD k k -+++， 因为点P 为AD 的中点，所以P 点坐标为22286(,)4343k kk k -++，则3(0)4OP k k k-=≠， 直线l 的方程为(2)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,2)k ， 假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠使得OP EQ ⊥，则1OP EQ k k ⋅=-，即3214n kk m-⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭恒成立， 所以(46)30m k n +-=，所以46030m n +=⎧⎨-=⎩，即320m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以定点Q 的坐标为3(,0)2-.（III ）因为//OM l ，所以OM 的方程可设为y kx =，和22143x y +=联立可得M点的横坐标为x =， 由//OM l可得：22D A E A D A M M x x x x x x AD AE OM x x -+--+===≥，即2k =±时取等号，所以当2k =±时，AD AE OM +的最小值为.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.15．（1）2213x y +=；（2）不存在，理由见解析.【分析】（1）由直线方程求得焦点坐标，结合点的坐标可列出关于,a b 的方程组，解之可得； （2）直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后，由判别式大于0得m 的范围，设交点坐标()()1122,,,M x y N x y ，应用韦达定理得1212,x x x x +，从而可得中点坐标，若存在，则利用等腰三角形性质，得垂直，从而由向量数量积为0求出m ，若m 满足判别式大于0，说明存在，不满足说明不存在． 【详解】（1）在20x y ++=中，令0y =得x c =-=所以224a b -=又过点P ⎝⎭所以22222214ab a b ⎧⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨+=⎪⎪-=⎩解得2231a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆G 的方程为2213x y +=；（2）由2213x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪++⎩得()2246310x mx m ++-=所以()2223648104m m m ∆=-->⇒< 设()()1122,,,M x y N x y则()1221232314m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩设,M N 的中点为(),p p P x y 则3,44p p p m mx y x m =-=+= 若BM BN =，则MN BP ⊥，则0MN BP ⋅= 又()30,1,,144m m B BP ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭所以()3,11,1044m m ⎛⎫-+⋅= ⎪⎝⎭解得2m = 所以与24m <矛盾所以不存在实数m ，使得BM BN =． 【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交中的存在性问题．解题方法是“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，直线方程与椭圆方程联立方程组后消元应用韦达定理得1212,x x x x +，然后把这个结论代入题中其他条件去证明、去求参数．在在性问题一般都是假设存在，按照存在的性质求解，如果能求出相应参数值，说明存在，求不出说明不存在．16．（1）2212x y +=；（2）存在，()2,0P .【分析】（1）由已知条件列出关于,,a b c 的方程组，解得,,a b c 即得椭圆方程；（2）假设存在，设(),0P m ，()11,A x y ，()22,B x y ，设直线方程为(1)y k x =-，代入椭圆方程应用韦达定理得1212,x x x x +，然后计算由0AP BP k k +=是关于k 的恒等式可求得m 即得．【详解】（1）22221c e a a c a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，11a cb ⎧=⎪∴=⎨⎪=⎩，2212x y ∴+=.（2）假设存在(),0P m 满足题意，设()11,A x y ，()22,B x y ，():1AB l y k x =-，()22122y k x x y ⎧=-⎨+=⎩，()2222124220k x k x k ∴+-+-=， 2122412k x x k ∴+=+，21222212k x x k -=+，11APy k x m =-，22BP y k x m =-， ()()()()1221120AP BP y x m y x m k k x m x m -+-+==--，()1221120y x y x m y y ∴+-+=，211212(1)(1)(2)0kx x kx x km x x -+--+-=，()()1212220kx x k mk x x km ∴-+++=，代入1212,x x x x +整理得24,2km k m ==，()2,0P ∴． 【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆标准方程，求直线与椭圆相交中的定点问题．求椭圆方程的关键是列出关于,,a b c 的方程组，解之即得，直线与椭圆相交问题采用“设而不求”的思想方法，即设交点为1122(,),(,)x y x y ，设直线方程(1)y k x =-，同时假设定点在在．设坐标为(,0)m ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得1212,x x x x +，并代入定点满足的条件0AP BP k k +=，由此求出参数m ，得定点坐标．17．（1）2212x y +=；（2）0x y +=；（3）过定点(0,3)-，理由见解析.【分析】（1）利用待定系数法求椭圆方程；（2）方法一，由数形结合，直接看出切线方程，求切点，再求切线方程，方法二，设圆上切点11(,)S x y ，写出过该切点的圆的切线方程，同理得到过()22,T x y 的切线方程，切线过点()0,1，利用两点确定一条直线，求切线方程，方法三，点,S T 也在以AM 为直径的圆上，利用两圆相减就是直线ST 的方程；（3）方法一，设切线方程为1y kx =+，与椭圆方程联立，求点,B D 的坐标，并表示直线BD 的斜率，并求直线BD 的方程，表示定点；方法二，可设BD 的直线方程为y mx t =+，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并表示121k k =，得到t 的值. 【详解】（1）由已知可得，222211122b b b a a=⎧⎧=⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩，所求椭圆的方程为2212x y += （2）法一，数形结合易知，切线AS 的方程为1,y =切线AT 的方程为0x =，故切点(1,1),(0,0)S T -，所以切点ST 连线的方程为,y x =-即0x y +=法二设圆上切点11(,)S x y ，过该切点的圆的切线方程为11(1)(1)1x x y y +⋅++⋅=，又因为过点(0,1)A 所以有11(1)(01)10x y +⋅++⋅=，即111x y +=同理设另一个切点22(),T x y ，由同构可知220x y +=，经过不同两点有且只有一条直线，所以ST 的直线方程为0x y +=法三 ,S T 在AM 为直径的圆：22111()()222x y ++-=上，由两圆相减得ST 的方程为0x y +=（3）法一设切线方程为1y kx =+r =，即222(1)210r k k r --+-=，由0∆>得(01)r r <<≠设两切线,AB AD 的斜率为1212,()k k k k ≠，则12,k k 是上述方程的两根， 所以 121k k ⋅=； 联立 22122y kx x y =+⎧⎨+=⎩ 可得2212k )40x kx ++=（，设1122(:),(:)B x y D x y 则由韦达定理得124,12k x k -=+2121212k y k -=+； 由121k k ⋅=得224,2k x k -=+ 22222k y k -=+， 直线BD 的斜率221211y y k x x k-+=-- ∴直线BD 的方程为22222114()2112k k ky x k k k-++=-+++ 整理得213k y x k+=--，故直线BD 过定点(0,3).-法二设切线方程为1y kx =+r =，即222(1)210r k k y --+-=，设两切线,AB AD 的斜率为1212,()k k k k ≠，则12,k k 是上述方程的两根， 所以121k k ⋅=；可设BD 的直线方程为y mx t =+2222y mx t x y =+⎧⎨+=⎩ 可得22212m )4220x tmx t +++-=（，设1122(:),(:)B x y D x y ，由韦达定理得122412tm x x m ∴+=-+，21222t 212m x x -=+， 121212111y y k k x x --=⨯= 代入1212111mx t mx t x x +-+-⨯= 2212121)(1)()(1)0m x x m t x x t -+-++-=（将韦达定理代入得2222221)41)(1)(1)01212t tm m m t t m m---+-+-=++（（ 化简得 3t =-或1t =(舍去)故直线BD 的直线方程为3y mx =-，直线BD 经过定点(0,3)-. 【点睛】关键点点睛：本题第三问求直线过定点问题，关键一点时利用切线方程1y kx =+与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求出121k k =，围绕着这个条件，利用坐标表示，得到直线所过的定点. 18．（1）1143a <<；（2）01a <≤或4a ≥. 【分析】（1）根据椭圆的标准方程，求出a 的范围；（2）再确定集合A ，由双曲线的标准方程得集合B ，然后根据充分必要条件的定义集合包含关系，从而得出a 的不等关系，求得结论． 【详解】（1）由方程221382x y a a+=--表示的曲线是表示焦点在x 轴上的椭圆∴(3)(82)0a a ->->， ∴1143a << 解不等式22430(0)x ax a a -+<>可得3(0)a x a a <<>方程221382x y a a+=--表示的曲线是双曲线∴(3)(82)0a a --<， ∴4a >或3a <因为A 是B 的充分不必要条件所以(,3)a a 是(,3)(4,)-∞⋃+∞的真子集所以033a <≤或4a ≥ 解得01a <≤或4a ≥所以a 的取值范围是01a <≤或4a ≥． 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．19．（1）2211612x y +=；（2【分析】（1）由题得2c =，210a c c+=，联解可得.（2）写出:2AB y x =-，与椭圆方程联解，利用根与系数关系及求得三角形面积得解.【详解】解（1）设椭圆的半焦距为c ，()2,0F2c ∴=，210a c c+=，216a ∴= 22216412b a c ∴=-=-=∴椭圆C 的方程为2211612x y +=（2）:2AB y x =-22211612y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩2712360y y ∴+-= 设()11,A x y ，()22,B x y1212127367y y y y ⎧+=-⎪⎪∴⎨⎪⋅=-⎪⎩127y y ∴-==△AOB的面积121122277S OF y y =-=⨯⨯=【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系通常是直线方程与圆锥曲线方程联解，利用根与系数关系求解，达到设而不求，简化运算.20．（1）22182x y +=；（2）12k =【分析】（1）利用椭圆的定义122a AF AF =+，求a ，再利用222b a c =-求解；（2）直线与曲线方程联立，利用根与系数的关系，表示0AP AQ k k +=，化简变形求解k 的值. 【详解】（1）由条件可知2c c ==x轴，所以()1F，)2F ，则122a AF AF =+====28a ∴=，2222b a c =-=，所以椭圆C 的方程22182x y +=；（2）设()11,P x y ，()22,Q x y联立方程22182y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，()222148480k x kmx m +++-=，()()222264414480k m k m ∆=-+-> 即2228m k <+，122814km x x k +=-+，21224814m x x k-=+， 121211022AP AQ y y k k x x --+=+=--， 即()()()()()()2112122121022x y x y x x --+--=-- ()()()()211221210x kx m x kx m -+-+-+-=， ()()()1212221410kx x k m x x m --++--=即()()()2222488214101414k m km k m m k k--++--=++， 整理得()()21210k m k -+-=，所以12k =或12m k =-，若12m k =-，则直线l 过点()2,1A ，不合题意，所以直线PQ 的斜率为定值，该定值是12. 【点睛】关键点点睛：解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出1212,x x x x +，得121211022AP AQ y y k k x x --+=+=--，得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．21．（1）22143x y +=；（2）247；（3）存在；()2,1A -.【分析】（1）因为点E 在线段QN 的垂直平分线上，所以EQ EN =，再由题意得42EM EQ EM EQ MQ MN +=+==>=，所以点E 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，从而可得其方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立，消去x ，利用根与系数的关系，然后利用弦长公式可求得答案； （3））联立223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，消去y ，再利用根与系数的关系，342834km x x k +=-+，234241234m x x k-=+ ，从而得()()()3434343412224324kx x m k x x m k k x x x x +-+-+==-++，解得2m k =-或21m k =--，经验证21m k =--，则直线()21y kx m k x =+=--，且过定点()2,1-，从而可得答案【详解】解：（1）因为点E 在线段QN 的垂直平分线上， 所以EQ EN =又QM 是圆的半径，所以42EM EQ EM EQ MQ MN +=+==>= 所以点E 的轨迹是椭圆 因为24a =，所以2a =，1c = 所以23b =所以动点E 的轨迹方程为22143x y +=（2）设直线1y x =-与曲线E 相交于1122(,),(,)x y x y 联立2213412y x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 得27880x x --=，则121288,77x x x x +==-，于是28478288∆=+⨯⨯=所以弦长122477l x x=-==（3）设3344(,),(,)S x y T x y，联立223412y kx mx y=+⎧⎨+=⎩消去y得()2223484120k x kmx m+++-=判别式()()2222226416483419248144k m m k k m∆=--+=-+342834kmx xk+=-+，234241234mx xk-=+()()()()()()344334343412222222kx m x kx m xy yk kx x x x+-++-+=+=----()()()34343434224324kx x m k x x mx x x x+-+-==-++化简得()()()343423264120k x x m k x x m-+-++--=即()()()()()()2223412268412340k m m k km m k--+-+--++=也即()()2210m k m k+++=解得2m k=-或21m k=--当2m k=-时，直线()2y kx m k x=+=-过点B，不合题意所以21m k=--，此时直线()21y kx m k x=+=--，且过定点()2,1-又因为D在以AB为直径的圆上所以A在直线()21y kx m k x=+=--上所以存在定点()2,1A-满足条件.【点睛】关键点点睛：此题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是设出直线方程，与椭圆方程联立方程组，消元后利用根与系数的关系，再结合已知条件列方程求解，考查计算能力，属于中档题22．（1）22142x y+=；（Ⅱ）1.【分析】（Ⅰ）由椭圆的四个顶点围成的菱形的面积得到2ab=1,2⎛⎫⎪⎪⎝⎭，列出另一方程，求解，即可得出结果；。
最新人教版高中数学选修一第三单元《圆锥曲线的方程》检测卷(包含答案解析)
一、填空题1．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若以12F F 为直径的圆和曲线C 在第一象限交于点P ，且2POF 恰好为正三角形，则双曲线C 的离心率为______.2．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点作x 轴的垂线，交椭圆C 于,A B 两点，直线l 过C 的左焦点和上顶点，若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，则椭圆C 的离心率的取值范围是__________.3．已知ABC 的周长为20，且顶点()0,3B -，()0,3C ，则顶点A 的轨迹方程是___________.4．已知双曲线M ：()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆()22x c y a -+=的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是________． 5．已知F 是双曲线22145x y -=的右焦点，若点P 是双曲线的左支上一点，(0,66)A ，则APF 周长的最小值为______．6．已知点P 为抛物线C ：24y x =上的动点，抛物线C 的焦点为F ，且点()3,1A ，则PA PF +的最小值为_______．7．如图，过椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点1F 作直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，O 为坐标原点，连接BO 并延长交椭圆E 于C 点，若1CF AB ⊥，且113CF AF =，则该椭圆E 的离心率e 为____________．8．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为F ，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若||3||PF QF =，且120PFQ ∠=，则椭圆E 的离心率为__.9．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，O 为坐标原点.过点F 的直线240x y +-=与椭圆的交点为Q (点Q 在x 轴上方)，且||||OF OQ =，则椭圆C 的离心率为_____.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的右焦点为F ，定点111,(0)bx P x x a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭和动点222,(0)bx Q x x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭满足：2POF QOF ∠=∠，且POF 是底边长为43的等腰三角形，则双曲线C 的标准方程为__________.11．已知点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，已知12F PF ∠=120°，且12||3||PF PF =，则椭圆的离心率为___________.12．M 是抛物线24y x =上一点，F 是抛物线的焦点，以Fx 为始边、FM 为终边的角60xFM ∠=︒，则||FM =______.13．设D 为椭圆2215y x +=上任意一点，()0,2A -，()0,2B ，延长AD 至点P ，使得PD BD =，则点P 的轨迹方程为______.二、解答题14．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为3，短轴端点到焦点的距离为2.（1）求椭圆C 的方程（2）设A ，B 为椭圆C 上任意两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥.求证：原点O 到直线AB 的距离为定值，并求出该定值.15．如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的上顶点为(0,1)A ，离心率为22.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点A 作圆()222:1M x y r ++=的两条切线，记切点分别为,S T ，令1,r =求此时两切点连线ST 的方程；（3）若过点A 作圆()222:1M x y r ++=的两条切线分别与椭圆C 相交于点,B D （不同于点A ）.当r 变化时，试问直线BD 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.16．已知命题:p 方程22113x y m m +=+-表示焦点在y 轴上的椭圆，命题:q 关于x 的不等式22230x mx m +++>恒成立；（1）若命题q 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题.求实数m 的取值范围.17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点231,3E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1A ，2A 为椭圆的左右顶点，且直线1A E ，2A E 的斜率的乘积为23-.（1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交直线l 于点P ，交直线2x =-于点Q ，求PQ MN的最小值. 18．已知点(3,0)M -，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点N 在直线PQ 上，且满足0MP PN ⋅=，12PN PQ =． （1）当P 点在y 轴上移动时，求动点N 的轨迹C 的方程；（2）过点()2,0T 作一直线交曲线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AOT 的面积是BOT 面积的2倍，求弦长AB ．19．已知双曲线1C 的方程为22143x y -=，椭圆2C 与双曲线有相同的焦距，1F ，2F 是椭圆的上、下两个焦点，已知P 为椭圆上一点，且满足12PF PF ⊥，若12PF F △的面积为9.（1）求椭圆2C 的标准方程；（2）点A 为椭圆的上顶点，点B 是双曲线1C 右支上任意一点，点M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程.20．已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b +=>>的离心率为3，点3,1P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上． （1）求椭圆的方程；（2）设1F ，2F 分别是椭圆C 的上、下焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，求1F AB 的内切圆的半径的最大值．21．已知椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为12，1B 是椭圆的上顶点，以1B 及左右焦点1F ，2F 为顶点的三角形面积为3.（1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()1,1M -，求直线l 的方程.22．如图，椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为,A B ，离心率53e =，长轴与短轴的长度之和为10.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）在椭圆E 上任取点P （与,A B 两点不重合），直线PA 交y 轴于点C ，直线PB 交y 轴于点D ，证明：OC OD ⋅为定值.23．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，点33,P ⎭在C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）设1F ，2F 分别是椭圆C 的左，右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，求1F AB 面积的最大值.24．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点6⎛ ⎝⎭，左、右焦点分别1F 、2F ，椭圆的四个顶点围成的菱形面积为2（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设Q 是椭圆C 上不在x 轴上的一个动点，O 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行线交椭圆于M 、N 两点，求2MN OQ 的值． 25．已知圆22:(2)1M x y +-=，动圆P 与圆M 外切，且与直线1y =-相切． （1）求动圆圆心P 的轨迹C 的方程．（2）若直线:2l y kx =+与曲线C 交于A ，B 两点，分别过A ，B 作曲线C 的切线，交于点Q ．证明：Q 在一定直线上．26．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上.由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F .已知112BF F F ⊥，153F B =，124F F =.（1）试建立适当的坐标系，求截口BAC 所在的椭圆的方程；（2）如图，若透明窗DE 所在的直线与截口BAC 所在的椭圆交于一点P ，若1260F PF ∠=︒求12F PF △的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、填空题1．【分析】根据题意得是直角三角形进而得再结合双曲线的定义得进而可求得离心率【详解】解：如图为正三角形则因为为圆上的一点且为圆的直径所以因为所以在中又因为为双曲线右支上的一点所以所以则故答案为：【点睛】31【分析】根据题意得12PF F △是直角三角形，进而得2PF c =，13PF c =，再结合双曲线的定义得32c c a -=，进而可求得离心率.【详解】解：如图，2POF 为正三角形，则260POF ∠=︒，因为P 为圆O 上的一点，且12F F 为圆O 的直径，所以1290F PF ∠=︒，1230PF F ∠=︒，因为122F F c =，所以在12Rt PF F △中，2PF c =，13PF c =，又因为P 为双曲线右支上的一点，所以122PF PF a -=，所以32c c a -=，则31==+c e a. 故答案为：31+【点睛】本题解题的关键在于根据三角形的边角关系得2PF c =，13PF c =，进而结合双曲线的定义求解，是双曲线焦点三角形中的常考题型，考查数形结合思想与运算求解能力，是中档题.2．【分析】求出直线的方程利用点到直线的距离与半通径的关系列出不等式求解即可【详解】解：直线的方程为：椭圆的右焦点过椭圆的右焦点作轴的垂线交于两点直线过的左焦点和上顶点若以为直径的圆与存在公共点可得：可解析：5⎛ ⎝⎦【分析】求出直线l 的方程，利用点到直线的距离与半通径的关系，列出不等式，求解即可．【详解】解：直线l 的方程为：1x y c b+=-，椭圆的右焦点(,0)c ， 过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点作x 轴的垂线，交C 于A ，B 两点， 直线l 过C 的左焦点和上顶点．若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，2b a可得：2b c ，即2224a c c -，即：215e，(0,1)e ∈， 解得：50e <． 故答案为：⎛⎝⎦． 【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．3．【分析】由周长确定故轨迹是椭圆注意焦点位置和抠除不符合条件的点即可【详解】的周长为20且顶点所以点到两个定点的距离和为定值故点的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆则顶点A 的轨迹方程是故答案为：【点睛】易错点睛解析：()22104049x y x +=≠ 【分析】由周长确定146AB AC +=>，故轨迹是椭圆，注意焦点位置和抠除不符合条件的点即可.【详解】ABC 的周长为20，且顶点()0,3B -，()0,3C ， 6BC ∴=，146AB AC +=>，所以点A 到两个定点的距离和为定值，故点A 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆，2147a a =⇒=，3c =，22249940b a c =-=-=则顶点A 的轨迹方程是()22104049x y x +=≠.故答案为：()22104049x y x +=≠. 【点睛】易错点睛：本题考查椭圆定义的应用，在求解过程中要注意椭圆的定义要检查两个线段的大小，看是否可以构成椭圆，还要注意要围城三角形需要排除不符合的点，考查学生的转化能力与运算能力，属于基础题.4．【分析】要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直必有而焦点到双曲线渐近线的距离为故利用双曲线的离心率的计算公式解答【详解】解：∵所以离心率圆是以为圆心半径的圆要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直必有解析：(【分析】要使得经过点T 所作的圆的两条切线互相垂直，必有2TF a =，而焦点(),0F c 到双曲线渐近线的距离为b ，故2TF a b =≥，利用双曲线的离心率的计算公式解答．【详解】解：∵0b >，0a >，所以离心率1c e a ==>， 圆()22x c y a -+=是以(),0F c 为圆心，半径r a =的圆， 要使得经过点T 所作的圆的两条切线互相垂直，必有TF =，而焦点(),0F c 到双曲线渐近线的距离为b ，所以TF b =≥，即b a c e a ==，所以双曲线M 的离心率的取值范围是(．故答案为：(．【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的灵活运用． 5．34【分析】把到右焦点的距离转化为到左焦点的距离后易得最小值【详解】双曲线中即设是双曲线的左焦点则∵在双曲线的左支上∴即∴周长为显然当且仅当是线段与双曲线的交点时等号成立∴周长的最小值为故答案为：3 解析：34【分析】把P 到右焦点F 的距离转化为P 到左焦点的距离后易得最小值．【详解】 双曲线22145x y -=中，2,5a b ==，453c =+=，即(3,0)F ， 设F '是双曲线的左焦点，(3,0)F '-，则()2236615AF AF ==+='-∵P 在双曲线的左支上，∴24PF PF a '-==，即4PF PF '=+，∴APF 周长为41519l PF PA AF PF PA PA PF ''=++=+++=++， 显然223(66)15PA PF AF ''+≥=+=，当且仅当P 是线段AF '与双曲线的交点时等号成立．∴APF 周长l 的最小值为151934+=．故答案为：34．【点睛】 方法点睛：本题考查双曲线上的点到定点和双曲线一个焦点距离和（或差）的最值问题．解题关键是掌握转化思想，根据双曲线的定义，如果涉及的是PF ，则把PF 转化为到另一焦点的距离，如果涉及的是1PF e，则转化为到相应准线的距离． 6．4【分析】设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知进而把问题转化为求取得最小进而可推断出当三点共线时最小答案可得【详解】抛物线的准线为设点在准线上的射影为如图则根据抛物线的定义可知要求取得最小值即 解析：4【分析】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知||||PF PD =进而把问题转化为求||||PA PD +取得最小，进而可推断出当D ，P ，A 三点共线时||||PA PD +最小，答案可得．【详解】抛物线2:4C y x =的准线为1x =-．设点P 在准线上的射影为D ，如图，则根据抛物线的定义可知||||PF PD =，要求||||PA PF +取得最小值，即求||||PA PD +取得最小．当D ，P ，A 三点共线时，||||PA PD +最小，为3(1)4--=．故答案为：4．【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D ，P ，A 三点共线时||||PA PD +最小，是解题的关键．7．【分析】设椭圆的右焦点为连根据点的对称性和推出四边形为矩形所以设利用椭圆定义得到和根据勾股定理可得从而可得离心率【详解】设椭圆的右焦点为连如图：因为关于原点对称关于原点对称所以四边形为平行四边形又所 解析：22【分析】设椭圆的右焦点为2F ，连2BF ，2CF ，2AF ，根据点的对称性和1CF AB ⊥推出四边形12BF CF 为矩形，所以2AB BF ⊥，设1||AF m =，利用椭圆定义得到2||AF 和1||BF ，根据勾股定理可得2a c =，从而可得离心率.【详解】设椭圆的右焦点为2F ，连2BF ，2CF ，2AF ，如图：因为,B C 关于原点对称，12,F F 关于原点对称，所以四边形12BF CF 为平行四边形， 又1CF AB ⊥，所以四边形12BF CF 为矩形，所以2AB BF ⊥，设1||AF m =，因为113CF AF =，所以1||3CF m =，所以2||3BF m =，22||AF a m =-，1||23BF a m =-，在直角三角形2ABF 中，由22222||||||AB BF AF +=得222(23)(3)(2)a m m m a m -++=-，化简得3a m =，所以1||BF a =， 2||BF a =，在直角三角形12BF F 中，由2221212||||||BF BF F F +=得2224a a c +=，即2a c =，所以椭圆E 的离心率e 2c a ==.故答案为：22【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中利用椭圆定义以及勾股定理得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．8．【分析】取椭圆的右焦点由直线过原点及椭圆的对称性可得四边形为平行四边形由及椭圆的性质可得余弦定理可得离心率的值【详解】取椭圆的右焦点连接由椭圆的对称性可得四边形为平行四边形则而所以所以在中解得：故答 解析：7 【分析】取椭圆的右焦点F '，由直线l 过原点及椭圆的对称性可得四边形PFQF '为平行四边形，由||3||PF QF =及椭圆的性质可得2a PF '=，32a PF =，120PFQ ∠=︒余弦定理可得离心率 的值. 【详解】取椭圆的右焦点F '，连接QF '，PF '，由椭圆的对称性，可得四边形PFQF '为平行四边形，则PF QF '=，180********FPF PFQ ∠='=-∠-=，||3||PF QF =3||PF '=，而||||2PF PF a '+=，所以2a PF '=，所以32aPF =， 在PFF '中，2222222914||||58144cos 32332222a a c PF PF FF FPF e a PF PF a +-+-∠===-''''=⨯⨯，解得：7e = 故答案为：74.【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中,由椭圆的对称性以及椭圆的定义得到2a PF '=，所以32a PF =，然后在PFF '中，根据余弦定理得到所要求的等量关系.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．9．【分析】转化条件为设点列方程可得点结合椭圆定义可得再由离心率的公式即可得解【详解】因为点在直线上所以椭圆左焦点设点则解得或（舍去）所以点所以即所以椭圆的离心率故答案为：【点睛】关键点点睛：解决本题的【分析】转化条件为()2,0F ，设点(),24Q x x -+，列方程可得点68,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合椭圆定义可得a ，再由离心率的公式即可得解.【详解】因为点F 在直线240x y +-=上，所以()2,0F ，椭圆左焦点()12,0F -， 设点(),24Q x x -+，则2OQ OF ===，解得65x =或2x =（舍去）， 所以点68,55Q ⎛⎫⎪⎝⎭，所以12a QF QF =+==，即a =，所以椭圆的离心率3c e a ===.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是求出点Q 的坐标，再结合椭圆的定义、离心率公式即可得解.10．【分析】根据题意可以判断点在渐近线点在渐近线根据渐近线关于坐标轴对称可得由是底边长为的等腰三角形可得在中由正弦定理可得：结合即可求出和的值进而求得双曲线的标准方程【详解】由题意知：双曲线的渐近线方程解析：221412x y -=【分析】根据题意可以判断点111,(0)bx P x x a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭在渐近线2:bl y x a =-，点222,(0)bx Q x x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭在渐近线1:bl y x a =，根据渐近线关于坐标轴对称可得3QOF π∠=，3b a=，由POF是底边长为43的等腰三角形，可得6OFP OPF π∠=∠=，43PF =，在POF 中，由正弦定理可得：4c =，结合222c a b =+，即可求出a 和b 的值，进而求得双曲线C 的标准方程. 【详解】由题意知：双曲线的渐近线方程为：by x a=±， 所以点111,(0)bx P x x a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭在渐近线2:bl y x a =-， 点222,(0)bx Q x x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭在渐近线1:bl y x a =，设1:b l y x a =的倾斜角为α，则2:bl y x a=-的倾斜角为2α，所以1l 平分∠POF ，且2ααπ+=，解得3πα=，即直线1l的斜率是：tan 3b a π==23POF π∠=，因为POF是底边长为 所以6OFP OPF π∠=∠=，PF =，在POF 中，由正弦定理可得：2sinsin 63OFPF ππ=，即12c =，解得：4c =，由2224ba c c ab ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线C 的标准方程为221412x y -=，故答案为：221412x y -=【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是能判断P 和Q 两点在双曲线的渐近线上，求出3QOF π∠=，b a =23POF π∠=，判断出PF =，在POF 中可以求出4OF c ==，即可得出a 和b 的值.11．【解析】设由余弦定理知所以故填【解析】设21,3,24PF x PF x a x ===，由余弦定理知22(2)13c x =，所以c a =12．4【分析】设点为过点作垂直于轴垂足为利用点在抛物线上建立方程即可求得的长【详解】解：由题意得设点为过点作垂直于轴垂足为即即整理得①又是抛物线上一点②由①②可得或（舍去）故答案为：【点睛】本题给出抛物解析：4 【分析】设点M 为(,)a b ，过点M 作MA 垂直于x 轴，垂足为A ，利用60xFM ∠=︒，点M 在抛物线24y x =上，建立方程，即可求得FM 的长． 【详解】解：由题意得(1,0)F设点M 为(,)a b 过点M 作MA 垂直于x 轴，垂足为A 60xFM ∠=︒，||2||MF FA ∴=，即||2(1)FM a =- ||3MF =，即||3MF =，2(1)3a ∴-=，整理得223(1)b a =-⋯①又M 是抛物线24y x =上一点24b a ∴=⋯②由①②可得3a =或13a =（舍去） ||2(31)4MF ∴=-=故答案为：4．【点睛】本题给出抛物线上的点M 满足60xFM ∠=︒，求焦半径||FM 的长，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．13．【分析】由已知可得为椭圆两焦点再由已知结合椭圆定义可得点的轨迹是以为圆心以为半径的圆写出圆的标准方程得答案【详解】如图由椭圆方程得所以则为椭圆两焦点所以由于则所以点的轨迹是以为圆心以为半径的圆其方程 解析：()22220x y ++=【分析】由已知可得，(0,2)A -，(0,2)B 为椭圆两焦点，再由已知结合椭圆定义可得点P 的轨迹是以A 为圆心，以5 【详解】 如图，由椭圆方程2215y x +=，得25a =，21b =，所以222c a b =-=，则(0,2)A -，(0,2)B 为椭圆两焦点， 所以||||25DA DB a +== 由于||||PD BD =，则||||||||||5PA PD DA BD DA =+=+=所以点P 的轨迹是以A 为圆心，以2522(2)20x y ++=． 故答案为：22(2)20x y ++=． 【点睛】本题考查轨迹方程的求法，运用了椭圆的标准方程、椭圆定义和焦点坐标，同时考查数学转化思想方法，是中档题．二、解答题14．（1）2214x y +=；（225. 【分析】（1）根据题意，将离心率公式与短轴端点到焦点的距离公式联立，可求得,,a b c 的值，从而可得椭圆的标准方程；（2）分为两种情况，一种为直线不存在斜率，一种为直线存在斜率，则设直线方程为y kx m =+，并设()()1122,,A x y B x y 与椭圆方程联立可得根与系数的关系，然后再根据OA OB ⊥，利用韦达定理及平面向量数量积公式可得m 与k 的关系，进而可知原点O 到直线AB 的距离为定值. 【详解】（1）由题意知，3c e a ==222a b c +=，又222a b c =+， 所以2a =，3c =1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）当直线AB 的斜率不存在时，直线AB的方程为5x =±； 此时，原点O 到直线AB； 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y .代入椭圆方程2244x y +=，得()222148440kx kmx m +++-=， 则()()()()2222284144416140km kmk m ∆=-+-=+->，122814km x x k +=-+，21224414m x x k-=+， 则()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++222222224484141414m km m k k km m k k k --⎛⎫=⋅+-+= ⎪+++⎝⎭， 由OA OB ⊥得1OA OB k k =-，即12120x x y y +=，所以222544014m k k--=+，即()22415m k =+， 所以原点O 到直线AB的距离为d ==综上，原点O 到直线AB. 【点睛】关键点点睛：当直线斜率存在时，设直线为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，根据OA OB ⊥利用向量得到k ,m 的关系，再根据点到直线的距离，化简即可得到定值，这是定值问题的常见处理方式.15．（1）2212x y +=；（2）0x y +=；（3）过定点(0,3)-，理由见解析.【分析】（1）利用待定系数法求椭圆方程；（2）方法一，由数形结合，直接看出切线方程，求切点，再求切线方程，方法二，设圆上切点11(,)S x y ，写出过该切点的圆的切线方程，同理得到过()22,T x y 的切线方程，切线过点()0,1，利用两点确定一条直线，求切线方程，方法三，点,S T 也在以AM 为直径的圆上，利用两圆相减就是直线ST 的方程；（3）方法一，设切线方程为1y kx =+，与椭圆方程联立，求点,B D 的坐标，并表示直线BD 的斜率，并求直线BD 的方程，表示定点；方法二，可设BD 的直线方程为y mx t =+，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并表示121k k =，得到t 的值. 【详解】（1）由已知可得，222211122b b b a a=⎧⎧=⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩，所求椭圆的方程为2212x y += （2）法一，数形结合易知，切线AS 的方程为1,y =切线AT 的方程为0x =，故切点(1,1),(0,0)S T -，所以切点ST 连线的方程为,y x =-即0x y +=法二设圆上切点11(,)S x y ，过该切点的圆的切线方程为11(1)(1)1x x y y +⋅++⋅=，又因为过点(0,1)A 所以有11(1)(01)10x y +⋅++⋅=，即111x y +=同理设另一个切点22(),T x y ，由同构可知220x y +=，经过不同两点有且只有一条直线，所以ST 的直线方程为0x y +=法三 ,S T 在AM 为直径的圆：22111()()222x y ++-=上，由两圆相减得ST 的方程为0x y +=（3）法一设切线方程为1y kx =+r =，即222(1)210r k k r --+-=，由0∆>得(01)r r <<≠设两切线,AB AD 的斜率为1212,()k k k k ≠，则12,k k 是上述方程的两根， 所以 121k k ⋅=； 联立 22122y kx x y =+⎧⎨+=⎩ 可得2212k )40x kx ++=（，设1122(:),(:)B x y D x y 则由韦达定理得124,12k x k -=+2121212k y k -=+； 由121k k ⋅=得224,2k x k -=+ 22222k y k -=+， 直线BD 的斜率221211y y k x x k-+=-- ∴直线BD 的方程为22222114()2112k k ky x k k k-++=-+++ 整理得213k y x k+=--，故直线BD 过定点(0,3).-法二设切线方程为1y kx =+r =，即222(1)210r k k y --+-=，设两切线,AB AD 的斜率为1212,()k k k k ≠，则12,k k 是上述方程的两根， 所以121k k ⋅=；可设BD 的直线方程为y mx t =+2222y mx t x y =+⎧⎨+=⎩ 可得22212m )4220x tmx t +++-=（，设1122(:),(:)B x y D x y ，由韦达定理得122412tm x x m ∴+=-+，21222t 212m x x -=+， 121212111y y k k x x --=⨯= 代入1212111mx t mx t x x +-+-⨯= 2212121)(1)()(1)0m x x m t x x t -+-++-=（将韦达定理代入得2222221)41)(1)(1)01212t tm m m t t m m---+-+-=++（（ 化简得 3t =-或1t =(舍去)故直线BD 的直线方程为3y mx =-，直线BD 经过定点(0,3)-. 【点睛】关键点点睛：本题第三问求直线过定点问题，关键一点时利用切线方程1y kx =+与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求出121k k =，围绕着这个条件，利用坐标表示，得到直线所过的定点.16．（1）13m -<<；（2）[)1,3. 【分析】（1）根据判别式小于0可解得结果；（2）根据复合命题的真假可得p ，q 为一个真命题，一个假命题，分两种情况讨论列式可解得结果. 【详解】（1）若命题q 是真命题，则关于x 的不等式22230x mx m +++>恒成立； 则判别式244(23)0m m ∆=-+<，即2230m m --<，得13m -<<（2）∵方程22113x y m m+=+-表示焦点在y 轴上的椭圆.∴013m m <+<-，解得：11m -<<，∴若命题p 为真命题，则实数m 的取值范围是11m -<<；由（1）知，若命题q 为真命题，则实数m 的取值范围是13m -<<若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，则p ，q 为一个真命题，一个假命题， 若p 真q 假，则1131m m m -<<⎧⎨≥≤-⎩或，此时无解，若p 假q 真，则1311m m m -<<⎧⎨≥≤-⎩或，得13m ≤<.综上，实数m 的取值范围是[)1,3.【点睛】关键点点睛：分别根据命题,p q 为真命题，求出m 的取值范围是解题关键.17．（1）22132x y +=；（2【分析】（1）由题可得221413a b+=，233113a a ⋅=-+-，解得,ab ，即可得椭圆C 的方程； （2）由题可设直线l ：1x my =+，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式计算出点P ，MN，计算得2PQMN =，令t =，采用换元法求解最小值. 【详解】 （1）依题意有，221413a b+=，233113a a ⋅=-+-， 解得23a =，22b =，椭圆的方程为22132x y +=；（2）由题意知直线l 的斜率不为0，设其方程为1x my =+， 设点()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程()2222123440321x y m y my x my ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩， 得到122423m y y m -+=+，122423y y m -=+ 由弦长公式MN =整理得22123m MN m +=+， 又1222223P y y m y m +-==+，2323P x m =+，2P PQ x =-=212PQMN =，令t =，1t ≥，上式2455412123t t t t +⎫=⋅=+≥⎪⎝⎭， 当254t =，即12m =±时，PQ MN【点睛】方法点睛：求解弦长问题通常应用弦长公式： 直线与圆锥曲线交于点()()1122,,,A x y B x y，则弦长1212AB x y =-=-（k 为直线的斜率）. 18．（1）()2302y x x =>；（2）2. 【分析】（1）设(),N x y ，由已知向量的数量关系及位置关系得()()3,2,0y x y ⋅-=，即可知N 的轨迹C 的方程；（2）由直线与抛物线相交关系，令直线AB 的方程为：2x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程，应用根与系数关系有12120323y y m y y ∆>⎧⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎩，结合已知条件、弦长公式即可求AB . 【详解】（1）设点(),N x y ，由12PN PQ =，得()0,2P y ，(2,0)Q x ， 由0MP PN ⋅=得()()3,2,0y x y ⋅-=， 所以232y x =．又因为点Q 在x 轴的正半轴上， ∴()2302y x x =>． （2）设直线AB 的方程为：2x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立2232x my y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，消去x 得：22360y my --=，故12120323y y m y y ∆>⎧⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎩，又AOT 的面积是BOT 面积的2倍，得122y y =-，联立方程解得223m =，由弦长公式可得：122AB y y=-=．【点睛】关键点点睛：（1）由向量的数量关系，应用向量的坐标表示求动点轨迹方程.（2）根据直线与抛物线相交，设直线方程2x my=+并联立抛物线方程，得到12y y+、12y y结合已知求参数m，根据弦长公式求弦长.19．（1）221169y x+=；（2）()222413yx--=（1≥x）.【分析】（1）根据条件先求解出双曲线的半焦距c，然后结合三角形的面积、勾股定理、椭圆的定义求解出椭圆方程中2a的值，从而椭圆方程可求；（2）设(),M x y，()00,B x y，根据条件用M点的坐标表示出B点的坐标，再根据B在双曲线上求解出,x y满足的等式即为轨迹方程.【详解】（1）设双曲线的半焦距为c，由题2437c=+=，设椭圆方程22221y xa b+=（0a b>>）.∴1222212121924282PF PFPF PF cPF PF a⎧=⎪⎪⎪+==⎨⎪+=⎪⎪⎩，∴2221212142+4=64a PF PF PF PF⎛⎫⎪⎝⎭=+∴216a=，∴2221679b a c=-=-=，∴2:C221169y x+=；（2）由题点()0,4A.设双曲线右支上任意一点B的坐标为()00,x y，AB中点M的坐标为(),x y，则242xxyy⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴0224x xy y=⎧⎨=-⎩，又点B在双曲线上，∴2200143x y-=∴()222413yx--=（1≥x）.【点睛】结论点睛：椭圆或双曲线的焦点三角形的顶点为P，焦点为12,F F，且12F PFθ∠=，则有：（1）椭圆的焦点三角形的面积为：2tan2b θ（b 为短轴长度一半）；（2）双曲线的焦点三角形的面积为：2tan2b θ（b 为虚轴长度一半）. 20．（1）2214y x +=；（2）12.【分析】（1）根据椭圆离心率以及点在椭圆上，结合222a b c =+得到关于,,a b c 的方程组，求解出,,a b c 的值，则椭圆方程可求；（2）根据等面积法将内切圆的半径与12x x -联系在一起，采用联立方程思想并结合韦达定理以及基本不等式求解出12x x -的最大值，从而内切圆的半径的最大值可求. 【详解】（1）因为c a =2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上，所以222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，所以2241a b ⎧=⎨=⎩， 所以椭圆方程为：2214y x +=；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，内切圆的半径为R ，由条件可知直线AB 的斜率存在，故设直线:AB y kx =-因为()11212111122F ABSF F x x F A F B AB R =⋅-=++⋅，且1148F A F B AB a ++==，122F F c ==124x x R -=R =，所以当12x x -取最大值时R 有最大值，又2244y kx x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，所以()22410k x +--=，所以1212214x x x x k +==-+， 所以12244x x k -===+，所以1243+3x x -==≤=，=，即k =所以12R =≤=，所以内切圆的半径最大值为12.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中求解三角形面积的常用方法：（1）利用弦长以及点到直线的距离公式，结合12⨯底⨯高，表示出三角形的面积； （2）根据直线与圆锥曲线的交点，利用公共底或者公共高的情况，将三角形的面积表示为1212AB x x ⋅⋅-或1212EF y y ⋅⋅-； （3）借助三角形内切圆的半径，将三角形面积表示为()12a b c R ⋅++⋅（,,a b c 为三角形三边长度，R 为内切圆半径）.21．（1）22143x y +=；（2）3470x y --=.【分析】（1）根据离心率和三角形面积公式，列方程求解即可； （2）联立方程，利用点差法进行求解即可 【详解】（1）12122c e a S c b ⎧==⎪⎪⎨⎪=⨯⋅=⎪⎩12c a c b ⎧=⎪⎨⎪⋅=⎩∴21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆E ：22143x y +=（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则122x x +=，122y y +=-代入椭圆方程得22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∴22221212043x x y y --+= ∴()()()()1212121243x x x x y y y y -+-+=-∴()()()12122243x x y y ---=-即()()121243x x y y --=∴()()121234y y x x -=-，∴直线的斜率为34k =，∴l ：3470x y --=【点睛】解题关键在于利用点差法，得到22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22221212043x x y y --⇒+=()()()()1212121243x x x x y y y y -+-+⇒=-，进而，利用中点坐标消去12x x +和12y y +，进而求解，属于中档题22．（1）22194x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由条件建立关于,,a b c 的方程，再写出椭圆方程；（2）解法1：设()00,P x y ，()10,C y ，()20,D y ，利用,,P C A 和,,P B D 三点共线，表示12,y y ，再利用点P 在椭圆上，化简OC OD ⋅为定值，解法2：由公式22PA PB b k k a⋅=-，写出直线PA 和PB ，并求直线与y 轴的交点，利用公式22PA PBb k k a⋅=-，化简OC OD ⋅为定值；解法3：如图所示，||||OC OD OC OD ⋅=⋅||||||||||||OC OD OA OB OA OB =⋅⋅⋅，利用公式22PA PB b kk a ⋅=-，化简OC OD ⋅为定值. 【详解】 （1）由题可知,2210,3c e a b a ==+=解得3,2a b == 故椭圆E 的标准方程为22:194x y E +=（2）解法1：设00(,)P x y ，直线PA 交y 轴于点1(0,)C y ，直线PB 交y 轴于点2(0,)D y.则2200194x y +=，即2020949y x =-.易知OC 与OD 同向，12OC OD y y ⋅=⋅ 因为(3,0),(3,0)A B -，所以得直线PA 的方程为00003y y x x y x --=---，令0x =，则01033y y x =+；直线PB 的方程为00003y y x x y x --=--，令0x =，则02033y y x =-所以212294,9y OC OD y y x ⋅=⋅==-为定值.。