上海市行知中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试卷 含答案

18. 如果数列{an} 、{bn} 满足 | an+1 − an |= bn （ n N* ），那么就称{bn} 为数列{an} 的“偏差数列”.
（1）若{bn} 为常数列，且为{an} 的“偏差数列”，试判断{an} 是否一定为等差数列，并说明理由；
（2）若无穷数列{an} 是各项均为正整数的等比数列，且 a3 − a2 = 6 ，{bn} 为数列{an} 的“偏差数列”，
a1
+
1 2
a2
+
+
1 n
an
= n2 + n （ n N* ），设数列{bn} 满足：bn
=
2n +1 an an +1
，数列{bn}
的前
n
项
和为Tn ，若 Tn
n n +1
（ n N*
）恒成立，则
的取值范围是
10. 已知无穷等比数列{an} ，公比 q 满足 0 | q | 1， an = k(an+1 + an+2 + an+3 + ) ，求实数 k 的取值范围
二. 选择题（本大题共 4 题，每题 4 分，共 16 分）
11.
已知数列{an} 的极限为 A，如果数列{bn} 满足 bn
=
2 3
an
n 106 ，那么数列{bn} 的极限是（
）
3an n 106
A. A
B. 2 A 3
C. 3A
D. 不存在
12. 某个命题与自然数 n 有关，若 n = k（ k N* ）时命题成立，那么可推得当 n = k +1 时该命题也成立，现已知 n = 5
=
6. 设函数 f (x) = arctan x ，则 f (−1) 的值为
7.
如果
lim
n→
3n 3n+1
+ +
an an+1
= 1 ，则实数 a 的取值范围是 3
8. 已知数列 1 ， 1 ， 1 ， ， 1 ， ，则数列的所有项和为
1 2 23 3 4
n(n +1)
9.
已知数列{an
}
满足
求 lim( 1 + 1 + 1 + + 1 ) 的值；
b n→ 1
b2
b3
bn
（3）设 bn
=
6
−
(
1 2
)n+1
，{bn
}
为数列{an
}
的“偏差数列”，a1
= 1，a2n
a2n−1 且 a2n
a2n+1 ，若|
an
|
M
对任意 n N*
恒成立，求实数 M 的最小值.
19. 对于数列{an} ，若存在正数 p ，使得 an+1 pan 对任意 n N* 都成立，则称数列{an} 为“拟等比数列”.
1
D.
2
14. 若数列{bn} 的每一项都是数列{an} 中的项，则称{bn} 是{an} 的子数列，已知两个无穷数列{an} 、{bn} 的各项
均为正数，其中 an
=
3 2n +1
，{bn} 是各项和为
1 2
的等比数列，且{bn}
是{an} 的子数列，则满足条件的数列{bn} 的
个数为（ ） A. 0 个
“拟等比数列”，求 p 的取值范围（请用 c1 、 d 表示）.
2
上海市行知中学 2020-20201 学年高二上 10 月月考卷
数学参考答案
一. 填空题
1. an = 6n − 3
4 2.
3
7. (−3,3]
8. 1
二. 选择题 11. C 三. 解答题
12. C
13. A
1
3.
2 9. (3 , +)
4
2
（3）设△ ABC 的三边分别是 a 、 b 、 c ，周长为 1，若 f (B) = − 1 ，求△ ABC 面积的最大值. 2
17.
已知各项均不为零的数列{an} 满足 a1
=
1，前
n
项和为
Sn
，且
S
2 n
−
S2 n−1
an
= 2n2 ， n N* ， n 2 ，数列{bn}
满足 bn = an + an+1 ， n N* . （1）求 a2 ， a3 ； （2）求 S2019 .
上海市行知中学 2020-20201 学年高二上 10 月月考卷
数 学 2020.10
一. 填空题（本大题共 10 题，1-6 每题 4 分，7-10 每题 5 分，共 44 分）
1. 设{an} 是等差数列，且 a1 = 3 ， a2 + a5 = 36 ，则{an} 的通项公式为
2.
已知数列{an} 满足 a1
作”后得到图 2，对剩下的小三角形重复进行上述操作，设 An 是第 n 次挖去的小三角形面积之和（如 A1 是第 1 次挖
去的中间小三角形面积， A2 是第 2 次挖去的三个小三角形面积之和）， Sn 是前 n 次挖去的所有三角形的面积之和，
则
lim
n→
Sn
=（
）
1
A. 3 4
3
B.
3
C. 3 2
时，该命题不成立，那么可以推得（ ）
A. n = 6 时该命题不成立
B. n = 6 时该命题成立
C. n = 4 时该命题不成立
D. n = 4 时该命题成立
13. 对于正三角形T ，挖去以三边中点为顶点的小正三角形，得到一个新的图形，这样的过程称为一次“镂空操作”，
设 T 是一个边长为 1 的正三角形，第一次“镂空操作”后得到图 1，对剩下的 3 个小正三角形各进行一次“镂空操
= 2， an+1an
= an
+ (−1)n （ n N* ），则 a4 a2
的值为
3. 已知向量
，
，
，若 ∥
，则 =
4. 已知 lim( 3n2 + 5n +1 ) = 1 ，则常数 a = n→ an2 + an − 2
5.
已知等比数列{an} 的前 n 项和 Sn 满足 Sn
= a − (1)n−1 ，则常数 a 2
B. 1 个
C. 2 个
D. 无穷多个
三. 解答题（本大题共 5 题，共 8+8+8+18+18=60 分）
15. 设 、 满足
，
，且 与 的夹角为 2 ，求：（1） ；（2）
3
；（3）
.
16. 已知 f (x) = 3sin xcos x − cos2 x + 1 . 2
（1）求 f ( ) ；（2）若 x [0, ] ，求 f (x) 的取值范围；
8
14. C
4. 3
（1）已知
a
0，b
0
且
a
b
，若数列{an} 和{bn} 满足： a1
=
a
+ 2
b
， b1
=
ab
且 an+1
=
an
+ bn 2
， bn+1
=
Байду номын сангаасanbn
（ n N* ）； ① 若 a1 = 1，求 b1 的取值范围；
② 求证：数列{an − bn}（ n N* ）是“拟等比数列”；
（2）已知等差数列{cn} 的首项为 c1 ，公差为 d ，前 n 项和为 Sn ，若 c1 0 ， S4035 0 ， S4036 0 ，且{cn} 是