物流运筹学——线性规划
线性规划在物流运输中数学模型及应用
目录线性规划在物流运输中数学模型及应用 (1)摘要 (1)关键词 (1)引言 (1)1、线性规划问题 (1)1.1、线性规划问题的提出 (1)1.2、线性规划数学模型 (6)1.3、线性规划问题的标准形式 (7)1.4、线性规划问题解的概念 (8)1.4.1、可行解 (9)1.4.2、基 (9)1.4.3、基可行解 (10)1.4.4、可行基 (10)2、物流运输问题 (10)2.1、物流运输 (10)2.2、物流运输的规划设计 (11)2.2.1、运输成本 (11)2.2.2、运输速度 (11)2.2.3、运输的一致性 (11)2.2.4、与物流节点的匹配程度 (11)2.3、运输规划设计内容 (12)2.3.1、确定运输战略 (12)2.3.2、确定运输线路 (12)2.3.3、选择运输方式 (12)2.3.4、运输过程控制 (12)2.4、物流运输问题的提出 (12)2.5、物流运输问题的数学模型 (14)3、物流运输问题线性规划数学模型实例 (14)3.1、车辆调度问题 (15)3.2、产销运输问题 (17)3.3、物资调运问题： (18)4、结束语 (25)致谢 (25)参考文献 (25)英文摘要 (26)Linear Programming in logistics and (26)transportand application of mathematical models (26)Abstract (26)Keywords (26)线性规划在物流运输中数学模型及应用线性规划在物流运输中数学模型及应用摘要：本论文重要是对线性规划问题的提出、标准型、以及求解进行分析，然后建立一些数学模型来解决一些实际问题。
针对物流运输这个方面的实际应用建立一些特殊的数学模型用线性规划进行分析，让物流运输变的简单、快捷、节约成本。
本文的关键是对物流运输中的问题建立的数学模型就行分析，利用线性规划来运算和求解，建立线性规划数学模型。
运筹学第一章线性规划
0
X1
约束条件所组成的可行 域为空集，无可行解。
《运筹学》 第一章 线性规划
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二、线性规划的标准形式
1、目标函数：max z c1x1 c2x2 cnxn
a x11 1 a x12 2 a x1n n b1 a x21 1 a x22 2 a x2n n b2
《运筹学》 第一章 线性规划
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方案 根数
ABC
下料
3m 2 3 0
4m 1 0 2
合计 (m)
10
9
8
料头 (m)
0
1
2
P70 习题1－1： 设按这三种方案下料的原材料
根数分别为x1、x2、x3 。 min x1+x2+x3 S.t. 2x1+3x2>=90 x1+2x3>=60 Xi>=0
minz=2X1＋3X2＋5X3
s.t. X1＋X2－X3>=－5 －6X1＋7X2－9X3=15 ︱19X1－7X2＋5X3︱<=13
X1>=0, X2>=0
令X3=X3`－X3`` -X1－X2＋X3 `－X3`` ＋X4=5 －6X1＋7X2－9X3`＋9X3``=15 19X1－7X2＋5X3`－5X3``+X5=13 －19X1＋7X2－5X3 `＋5X3``＋X6=13 maxz=－2X1－3X2－5X3 `＋5X3`` ＋0X4+0X5+0X6 X1,X2,X3`,X3``,X4,X5,X6>=0 三、线性规划的解的概念（参考P12例1.7） 1、可行解和最优解：满足约束条件的解（X1，X2， …，Xn）T称为线性规划的可行解。而使得目标函数达到 最优值的可行解称为最优解。 2、基：（注意课本P15的定义对“基”的定义有误） 设A是约束方程组m×n维的系数矩阵，其秩为m，B是 矩阵A中m×m阶非奇异子矩阵（B的行列式│B│≠0），则 称B是线性规划问题的一个基。
线性规划PPT课件
线性规划的基本定理
线性规划的解存在性
对于任何线性规划问题，都存在至少一个最优解。
最优解的唯一性
在某些情况下，线性规划问题的最优解是唯一的，这取决于目标函 数和约束条件的形状和位置。
解的稳定性
线性规划问题的最优解是稳定的，即使目标函数或约束条件略有变 化，最优解也不会发生大的变化。
03
线性规划的求解方法
优缺点：内点法具有全局收敛性和对初始点不敏 感的优点，但计算量较大，需要较高的计算资源 。
椭球法
01
总结词：几何方法
02
03
04
详细描述：椭球法是一种基 于几何方法的线性规划算法。 它将可行解的边界表示为椭 球，通过迭代移动椭球中心
来逼近最优解。
算法步骤：椭球法的基本步 骤包括初始化、构建椭球和 迭代更新。在每次迭代中， 根据当前椭球的位置和方向 来更新中心和半径，直到满
运输问题
总结词
运输问题是线性规划在物流和供应链管理中的重要应用，旨在优化运输成本、 运输时间和运输量等目标。
详细描述
运输问题通常需要考虑多个出发地、目的地、运输方式和运输成本等因素。通 过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输成本最低、运输时间 最短，同时满足运输量和运输路线的限制。
投资组合优化问题
03
单纯形法
单纯形法是线性规划的标 准算法，通过迭代和优化， 找到满足约束条件的最大 或最小目标函数值。
初始解
在应用单纯形法之前，需 要先找到一个初始解，这 可以通过手动计算或使用 软件工具来实现。
迭代过程
单纯形法通过不断迭代和 优化，逐步逼近最优解， 每次迭代都需要重新计算 目标函数值和最优解。
线性规划的几何意义
物流运筹学——线性规划
x4
x5
1
-2
1
0
0
0
1
-3
1
0
0
1
1
0
1
0
1
-2
0
0
2 0 ，则 X (2, 0, 0,1, 2)T 不是最优解， x2 作为换入基变量。
min{ bi 1i3 ai2
|
ai2
0}
min{1 , 1
2} 1
1，因此选
x4
作为换出基变量。
得到新的单纯形表
cj
CB
基
b
0
x1
4
1
x2
1
0
x5
【例2-1】某企业要将产品包装成Ⅰ、Ⅱ两种规格， 需要A、B两种原材料的数量、获利情况及两种材 料数量限制见表2-1，两种规格的产品各包装多少 件可获利最多？
表2-1
产品
A
规格
B
利润/（元/件）
Ⅰ
4
2
12
Ⅱ
5
1
9
材料限制 20
8
解 设 x1 ， x2 分别为Ⅰ、Ⅱ两种规格产品的包装件数，
该包装问题可用数学模型表示为：
学习目标
知识目标
掌握线性规划的基本形式及标准形式； 掌握单纯形法计算过程； 理解对偶问题； 掌握对偶问题的求法及性质； 了解灵敏度分析。
技能目标
能够结合实际情况建立线性规划的模型，并可利用单 纯形法求解。
第一节 线性规划问题及其数学模型
问题的提出 线性规划问题的标准形式
问题的提出
目标函数变量的系数
对偶问题（或原问题）
目标函数 min
n个
约束条件
物流运筹学
物流运筹学1、线性规划的标准形式有四个特点：（1）目标最大化（2）约束为等式（3）决策变量xj均非负（4）右端常数bi项非负2、库存的补充方式：（1）订货方式（2）自己组织生产3、检验数是目标函数用非基变量表达时的变量系数。
4、确定型存储模型指需求不随时间变化的存储模型。
5、什么叫物流预测？请简述预测的作用及预测的基本步骤。
含义：物流预测是根据客观事物过去和现在的发展规律，借助科学的方法和手段，对物流管理发展趋势和状况进行分析、描述，形成科学的假设和判断的一种科学理论。
作用：（1）预测是编制计划的基础。
物流系统的存储、运输等各项业务计划都是以预测资料为基础制定的。
（2）预测是决策的依据。
决策的前提是预测，正确的决策取决于可靠的预测。
步骤：6、请简述德尔菲法及具体步骤和特点。
内容：德尔菲法是由美国兰德公司研发提出的一种预测方法。
德尔菲法也叫专家调查法。
该方法的主要思想：依靠专家小组背靠背的独立判断，来代替面对面的会议，使不同专家意见分歧的幅度和理由都能够表达出来，经过客观的分析，达到符合客观规律的一致意见。
步骤：挑选专家。
聘请企业内、外若干专家，对所需预测的问题组成技术专家小组，但组内成员一般没有人是整个问题的专家。
进行函询。
向选定的专家组成员发放预测问卷和预测资料，要求专家们根据预测资料，针对预测目标，独立做出自己的回答，提出个人独立的预测结果。
函询修正。
将专家预测结果进行综合编辑，将不同的专家预测结果整理成新一轮预测的参考资料。
把新的参考资料和修改后的预测问卷提供给专家做新一轮的分析和预测。
经过多次的重复，直至问题能得到相对集中、意见能相对统一为止。
得出预测结果。
根据专家们提供的预测结果做出最终的预测结果。
特点：优点：简明直观，避免了专家会议的许多弊端。
缺点：专家的选择、函询调查表的设计、答卷处理等难度较大。
7、请简述单位线段博弈模型与中庸思想，并联系实际论述其在物流管理中的重要作用。
（要求举例说明）8、请简要介绍囚徒困境模型并说明其本质，联系实际论述其合作双赢思想在物流与供应链中的重要作用。
运筹学基础-线性规划(方法)
线性规划问题通常由三个基本部分组成，即决策变量、约束条件 和目标函数。决策变量是问题中需要求解的未知数，约束条件是 限制决策变量取值的条件，目标函数是要求最大或最小的函数。
线性规划的应用领域
01
02
03
04
生产计划
在制造业中，线性规划可以用 于制定最优的生产计划，以最 大化利润或最小化成本。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组是由多个线性方程组成的数学模型，描 述了多个变量之间的线性关系。
线性方程组可以用矩阵和向量表示，通过矩阵运算 和代数方法求解。
线性方程组有多种解法，如高斯消元法、LU分解、 迭代法等。
约束条件与目标函数
02
01
03
约束条件是限制变量取值的条件，通常表示为变量的 上界、下界或等式约束。
目标函数是描述问题目标的数学表达式，通常是最小 化或最大化的线性或非线性函数。
约束条件和目标函数共同构成了线性规划问题的数学 模型。
线性规划的解
线性规划的解是指满足 所有约束条件并使目标 函数取得最优值的变量 取值。
线性规划问题可能有多 个解，也可能无解或无 界解。
最优解的性质包括最优 性、可行性和唯一性。
最优解可以通过求解线 性方程组或使用专门的 优化软件获得。
03
线性规划的求解方法
单纯形法
01
基本概念
单纯形法是一种求解线性规划问题的迭代算法，通过 不断迭代寻找最优解。
02 1. 初始化 选择一个初始可行解，并确定初始基可行解。
03
2. 迭代
根据目标函数系数和约束条件系数，计算出单纯形表 格，然后进行迭代更新。
运筹学基础-线性规划(方法)
运筹学第1章-线性规划
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
下一页 返回
1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
线性规划在物流管理中的应用及优化研究
线性规划在物流管理中的应用及优化研究物流管理是一门综合性的管理学科，涉及到货物的运输、仓储、配送等环节。
如何高效地安排物流流程，降低物流成本，提升物流服务质量成为物流企业和研究者们关注的重点。
线性规划作为一种常用的数学方法，在物流管理中有着广泛的应用，并能对物流系统进行优化研究。
线性规划是一种数学优化方法，用于解决一类线性约束条件下的最优化问题。
物流管理中的许多问题可以抽象为线性规划问题，例如货物的运输路径、仓库的位置选择、运输车辆的调度等。
通过建立数学模型，利用线性规划方法求解，可以找到最优的物流方案。
首先，线性规划在物流网络规划中的应用。
物流网络规划是指在特定的地理区域内，通过建立供应链网络，合理规划仓储、运输和配送等环节，实现物资的高效流通。
线性规划可以用来确定物流网络的最优结构，例如确定仓库的数量和位置，合理分配货物的运输路径。
通过优化物流网络结构，可以降低物流成本，提高物流效率。
其次，线性规划在运输成本优化中的应用。
物流管理中，运输成本是一个重要的影响因素。
通过线性规划方法，可以对运输成本进行优化研究。
例如，在确定货物的运输路径时，可以利用线性规划方法确定运输线路的最优组合，以降低运输成本。
另外，线性规划还可以用于车辆调度问题，通过合理安排车辆的行程，减少空载率，提高车辆的利用率，从而降低运输成本。
再次，线性规划在库存管理中的应用。
库存管理是物流管理中的一个重要环节，对于物流企业来说，合理管理库存可以提高资金利用率，减少滞销和过剩库存。
线性规划可以用于确定最优的库存策略，例如在确定订货量时，可以利用线性规划方法考虑各种因素的权衡，确定最佳的订货量，从而避免过多或者过少的库存。
最后，线性规划在物流服务水平优化中的应用。
物流服务水平是指物流企业向客户提供的服务质量，包括配送时间、准时率等指标。
通过线性规划方法，可以实现对物流服务水平的优化研究。
例如，在确定配送路线时，可以通过线性规划方法综合考虑各种因素，如路况、货物数量等，确定最优的配送方案，从而提高配送的准时率和效率。
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知识目标
掌握线性规划的基本形式及标准形式； 掌握单纯形法计算过程； 理解对偶问题； 掌握对偶问题的求法及性质； 了解灵敏度分析。
技能目标
能够结合实际情况建立线性规划的模型，并可利用单 纯形法求解。
第一节 线性规划问题及其数学模型
问题的提出 线性规划问题的标准形式
问题的提出
…
x1
…
1 0 M 0
0
cm
…
cj
…
cn
xm
…
xj
…
xn
0
a' 1j
a' 1n
0
a'
a'
2j
2n
M
M
M
1
a'
a'
mj
mn
m
m
0
c j cBiaij
cn cBiain
i 1
i 1
单纯形法的计算步骤
步骤 1：求初始基可行解，列出它的单纯形表。
步骤 2：最优性检验。若 j 0, j 1,L , n ，则最优解已找到，
x1 0，x2 0，x3取值无约束
第二节 线性规划模型的求解
图解法 单纯形法
• 满足所有约束条件的向量称为线性规划问题的可行解 • 所有可行
称为线性规划问题的最优解。 • 最优解的全体称为最优解集合。 • 最优解对应的目标函数值称为最优值。
xij
0 ，i
1，2；j
1，2，3，4
上面两个例子的共同特征： （1）每一个问题都由一组决策变量来表示某一方案， 一般情况下这些变量的取值是非负且连续的。 （2）存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一 组线性的等式或不等式来表示。 （3）都有一个要求达到的目标，它用决策变量的线 性函数（称为目标函数）来表示。按照具体问题的不 同，要求目标实现最小或最大。
图解法
【例 2-4】用图解法求解例 2-1。
max z 12x1 9x2
4x1 5x2 20
s.t.2x1 x2 8
x1,
x2
0
x2
z
4
0
2x1 x2 8
4x1 5x2 20 Q
45
x1
线性规划解的可能情况
唯一最优解 无穷多最优解 无界解 无可行解
考虑线性规划的标准形式：
单纯形法的基本原理： 寻找一种规则，从一个基可行解转移
到另一个基可行解，目标函数值是增大 的，即“顶点转换，目标上升”。
对矩阵 ( A,b) 作初等变换：
a11 a12 … a1m a1,m1
(
A，b)
a21
a22
…
a2m a2,m1 ……
am1 am2 … amm am,m1
? a1n b1
应的 m 个分量称为基变量，其余变量为非基变量，令所有的非基
变量取值为 0，得到的解 X B1b, 0 T 称为相应于 B 的基解。
若 B1b 0 则称基解为基可行解，这时对应的基 B 为可行基。 如果 B1b 0 则称该基可行解为非退化的，如果一个线性
规划的所有基可行解都是非退化的则称该规划为非退化的。
max z CX
单
纯 形
AX b
s.t.
X
0
法令 A (B, N ) ， X (xB , xN )T ，由 AX b 知
BxB Nx N b
两边同时左乘 B1 得 xB B1NxN B1b ，从而
xB B1b B1NxN 。令 xN =0，X B1b, 0 T 。
设 B 是约束矩阵 A 的一个 m 阶满秩子方阵，则称 B 为一个 基； B 中 m 个线性无关的列向量称为基向量，变量 X 中与之对
解 设从仓库 Ai 运往 B j 的产品数量设为 xij ， i 1, 2 ，
j 1, 2,3, 4 ，该运输问题可用数学模型表示为
24
min z
cij xij
i1 j1
s.t.
xi1 x1 j
xi 2 x2
xi3 j bj
xi4 ai ，i ，j 1，2，3，4
1，2
max z 12x1 9x2
4x1 5x2 20
s.t.2x1 x2 8
x1
,
x2
0
【例 2-2】某物流公司要把若干单位的产品从两个仓库 Ai （ i 1, 2 ） 发送到零售点 B j （ j 1, 2,3, 4 ），仓库 Ai 供应的产品数量为 ai ，零 售点 B j 所需的产品的数量为 b j 。假设供给总量和需求总量相等， 且已知从仓库 Ai 运一个单位产品往 B j 的运价为 cij 。问应如何组织 运输才能使总运费最小？
s.t.
a21x1 L
a2n xn ……
( ，)b2
am1x1 L amn xn ( ，)bn
xj 0，j 1，2，…，n
2．紧缩形式
max(min) z c1x1 L cn xn
s.t.
n j 1
aij x j
(, )bi
，i
1，2，…，m
x
j
0
,
j 1，2，…，n
3．矩阵和向量的形式
max(min)z CX
AX ( ，)b
s.t.
X 0
线性规划问题的标准形式
max z CX
AX b
s.t.
X
0
【例 2-3】将下列线性规划问题化为标准形：
min z x1 2x2 3x3
2x1 x2 x3 9
s.t.
3x1 4x1 2
x2 x2
2x3 4 3x3 = 6
【例2-1】某企业要将产品包装成Ⅰ、Ⅱ两种规格， 需要A、B两种原材料的数量、获利情况及两种材 料数量限制见表2-1，两种规格的产品各包装多少 件可获利最多？
表2-1
产品
A
规格
B
利润/（元/件）
Ⅰ
4
2
12
Ⅱ
5
1
9
材料限制 20
8
解 设 x1 ， x2 分别为Ⅰ、Ⅱ两种规格产品的包装件数，
该包装问题可用数学模型表示为：
线性规划定义
求取一组变量，使之既满足线性约束条件， 又使具有线性表达式的目标函数取得极大值或极 小值的一类最优化问题称为线性规划问题，简称 线性规划（LP）。决策变量、约束条件和目标函 数是其三个基本要素。
1．线性规划问题模型的一般形式
max(min) z c1x1 L cn xn
a11x1 L a1n xn ( ，)b1
?
a2n
b2
… amn bm
1 0 … 0 0 1 … 0 0 0 … 1
a' … a'
1,m1
1n
a' … a'
2 ,m1
2n
……
a' … a'
m ,m1
mn
b' 1
b'
2
b' m
cj
CB
基
b
c1
x1
b1
c2
x2
b2
MMM
cm
xm
bm
j cj zj
表 2-2 单纯形表
c1