应力与应变间的关系共31页

例题7-6 已知一受力构件自由表面上的两主应变数值为
1240106 , 3160106 。构件材料为Q235钢，其弹
性模量E=210GPa，泊松比=0。3。求该点处的主应力值，
并求该点处另一主应变2的数值和方向。
ε2
物体表面 σ2 =0
ε3
ε1 σ3
σ1
解： 1 , 2 , 3 与 1 ,2 ,3一，一对应。
右侧面
σx
τ xz x
前面
2、各向同性材料的广义胡克定
z
律
(1)线应变的推导
σ x
在x y z 分别单独存在时, x 方
x
σ x
向的线应变 x 依次为:
σ y
x '
x
E
" y
x
E
"' z
x
E
σ z
σ z
σ y
在x y z同时存在时, x方向的线应变x为
1 x E x (y z )
由于构件自由表面，所以主应力2=0。 所以该点为平面应力状态。
由 解得
1E 1(13) 3E 1(31)
11 E 2(13)4.4 3MPa
31E 2(31)2.3 0MPa
该点处另一主应变2的数值为
2 E (1 3 ) 3.3 4 1 6 0
2是缩短的主应变，其方向必与1和3垂直，即沿构件的 外法线方向。
o
压应力为负。 z
σy
上面
τ Leabharlann Baidux
τ yz
τ xy
τ τ zy xz
τ zx
右侧面
σx
x
前面
(b)三个剪应力分量: 若正面(外法线与坐标轴
正向一致的平面)上剪应力矢 的指向与坐标轴正向一致, 或 负面(外法线与坐标轴负向一 致的平面)上剪应力矢的指向 与坐标轴负向一致，则该剪 应力为正, 反之为负。
y
o
z σz
σy
τ yx τ yz τ zy τ zx
上面
τ xy
右侧面
σx
τ xz
x
前面
图中表示的均为正方向
线应变: 以伸长为正,
y
缩短为负。
剪应变: 使直角减小者为正,
增大者为负。
γ xy
γ yz
γ zx
xOy yOz zox 。
O
z σz
σy
τ yx τ yz τ zy τ zx
上面
τ xy
dx
3
1
dy
dz
V ' d ( 1 x 1 ) d ( 1 y 2 ) d ( 1 z 3 )
体积应变为
V 'V
V
dx(1 1) dy(1 2 ) dz(1 3 ) dxdydz
dxdydz
dxdydz(1 1 2 3 ) dxdydz
dxdydz
1 2 3
σ 1 σ 2 1 .5 M 5 σ P 3 3 a M 0 ,P
体积应变和最大剪应力分别为
1 E 2(123 ) 1 .9 5 1 4 0
max 1 2(13)7.25MPa
例题9-8 壁厚 t =10mm , 外径 D=60mm 的薄壁圆筒, 在表面上 k 点 处与其轴线成 45°和135° 角即 x, y 两方向分别贴上应变片,然后在 圆筒两端作用矩为 m 的扭转力偶,如图 所示已知圆筒材料的弹性模 量为 E = 200GPa 和 = 0.3 ,若该圆筒的变形在弹性范围内,且 max = 80MPa , 试求k点处的线应变 x ,y 以及变形后的筒壁厚度。
P a
y
z
x
y 解：铜块上截面上的压应力为
yP A30 0 .1 1 20 3 0
y x
3M 0 Pa
x
(b) Z z
1[ ( )]0
x Ex
y
z
由
1[ ( )]0
z Ez
x
y
解得
x
z
(1 1 2
)
y
0.314-(01.3042.34)(30)
-15.5MPa
铜块的主应力为
123
将广义胡克定律
1E 1[1(23)] 2E 1[2(31)] 3E 1[3(12)]
代入得
1 E 2(123)
在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变
只与三个线应变x ，y， z有关。仿照上述推导有
1E2(xyz)
在任意形式的应力状态下, 各向同性材料内一点处的 体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正 应力之和成正比, 而与剪应力无关。
二、纯剪切应力状态下应力与应变的关系
G 或
G
τ γ γτ
G 为剪切弹性模量，单位为N/m2.
三、复杂应力状态下应力与应变的关系
x y z x y y z z x
y
x y z x y y z z x
1、各向同性材料的广义胡克定律 （1）符号规定
(a)三个正应力分量：拉应力为正
σz
xy
G
（2） 广义胡克定律用主应力和主应变表示时 三向应力状态下：
1E 1[1(23)] 2E 1[2(31)] 3E 1[3(12)]
(7-7-6)
平面应力状态下 设 3 = 0, 则
1E 1(12) 2E 1(21)
3E(12)
材料的三个弹性常数E, G, 间存在如下关系:
G E 2(1 v)
在x y z同时存在时, y,z方向的线应变为
y E 1[y (z x)] z E 1[z (x y)]
(2)剪应变的推导 剪应变 xy , yz ,zx与剪应力xy ,yz ,zx之间的关系为
xy
xy G
yz
yz G
zx
zx G
公式的适用范围 : 在线弹性范围内, 小变形条件下, 各向同性材料。
四、各向同性材料的体积应变
（1）概念:构件每单位体积的体积变化, 称为 体积应变用θ表示。
（2）各向同性材料在空间应力状态下的 体积应变
公式推导
2
设单元体的三对平面为主平面, 其 三个边长为d x, d y, d z 变形后的边 长分别为 d x(1+ , d y(1+2 , d z(1+3 , 因此变形后单元体的体 积为:
x
1 E
x
(y
z)
y E1[y (z x)]
z E1[z (x y)]
xy
xy G
yz
yz G
zx
zx G
公式的适用范围 : 在线弹性范围内,小
变形条件下, 各向同性材 料。
3、 特例
（1）平面应力状态下(假设 Z = 0 )
xE 1(xy) yE 1(yx)
zE(xy)
xy
特例
在平面纯剪切应力状态下：σ1σ3τxy σ2 0
代入得
1E2(123)
12
E
(xy
xy
0)
0
可见，材料的体积应变等于零。即在小变形下，剪 应力不引起各向同性材料的体积改变。
例题7-7 边长 a = 0.1m 的铜立方块, 无间隙地放入体积较
大, 变形可略去不计的钢凹槽中, 如图 所示。 已知铜的弹 性模量 E=100GPa, 泊松比 =0.34, 当受到P=300kN 的均布 压力作用时, 求该铜块的主应力. 体积应变以及最大剪应力。