三角形中考压轴题(带答案)

中考专题----- 二角形

一•选择题（共3小题）

1如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC 于点M、N .若正方形ABCD的边长为a,则重叠部分四边形EMCN的面积为（）

A . : 2 B. 2 C. 1。2 D. ■ 2

一 a 一 a 一 a 一a

3 4 9 9

考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质.

专题：几何图形问题；压轴题.

分析：过E作EP丄BC于点P, EQ丄CD于点Q , △ EPM ◎△ EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解.

解答：解：过E作EP丄BC于点P, EQ丄CD于点Q,

•••四边形ABCD是正方形，•••/ BCD=90 °

又•••/ EPM= / EQN=90 ° PEQ=90° PEM+ / MEQ=90 °

•••三角形FEG 是直角三角形，•/ NEF= / NEQ+ / MEQ=90 ° PEM= / NEQ ,

••• AC是/ BCD的角平分线，/ EPC= / EQC=90 ° , • EP=EQ ,四边形PCQE是正方形，

（Z PEJII=Z NEQ

在厶EPM 和厶EQN 中，* EP二EQ •••△ EPM◎△ EQN （ASA ）• S^EQN=S^EPM ,

[ZEPM=ZEQN

•四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积

•••正方形ABCD 的边长为a, • AC=^a , •/ EC=2AE , • EC吕互a ,

3

EP=PC=^a，•正方形PCQE的面积=^a是a=£2，•四边形EMCN的面积二a2,故选：D .

3 3 3 9 9

点评：本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出△ EPM EQN .

2.如图/ A= / ABC= / C=45 ° E、F分别是AB、BC的中点，则下列结论,

③ / ADC= / BEF+ / BFE ,④AD=DC，其中正确的是（）

A .①②③④B.①②③C.①②④|D .②③④

考点：三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质.

专题：压轴题.

① EF 丄BD ,② EF= BD ,

B F CB F Q C

分析：根据三角形的中位线定理

三角形的中位线平行于第三边 ”同时利用三角形的全等性质求解.

解答：解：如下图所示：连接 AC ,延长BD 交AC 于点M ，延长AD 交BC 于Q ,延长CD 交AB 于P . •••/ ABC= /

C=45°••• CP 丄 AB v/ ABC= / A=45 °/. AQ 丄 BC

点D 为两条高的交点，所以 BM 为AC 边上的高，即：BM 丄AC . 由中位线定理可得 EF // AC , EF=_1AC ••• BD 丄EF ，故① 正确.

2

v/ DBQ+ / DCA=45 ° / DCA+ / CAQ=45 ° DBQ= / CAQ , v/ A= / ABC , • AQ=BQ ,

•••/ BQD= / AQC=90 ° •根据以上条件得 △ AQC BQD , • BD=AC • EF=2A C ，故② 正确.

2

v/ A= / ABC= / C=45 ••/ DAC+ / DCA=180。-（/ A+ / ABC+ / C ） =45 °

• / ADC=180 °-（/ DAC+ / DCA ） =135° = / BEF+ / BFE=180 °-/ ABC 故③/ADC= / BEF+ / BFE 成立；无法证明 AD=CD ，故④错误.故选 B .

点评：本题考点在于三角形的中位线和三角形全等的判断及应用.

3.四边形 ABCD 中，AC 和BD 交于点E ,若AC 平分/ DAB ，且AB=AE , AC=AD ，有以下四个命题：

①AC 丄BD ;②BC=DE ;③/ DBC= / DAB ;④AB=BE=AE .其中命题一定成立的是（

）

2

A .①②

B .②③

C .①③

D .②④

考点： 专题： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.

压轴题.

分析： 根据等腰三角形的性质，等边三角形的判定，圆内接四边形的性质，全等三角形的性质判断各选项 是否正确即可.

解答： 解：v AB=AE ，一个三角形的直角边和斜边一定不相等，•

AC 不垂直于BD ,① 错误；

利用边角边定理可证得 △ ADE ◎△ ABC ，那么BC=DE ,②正确； 由厶 ADE

ABC 可得/ ADE= / ACB ,那么 A , B , C , D 四点共圆，•/ DBC= / DAC=」/ DAB ,

2

③ 正确；△ ABE 不一定是等边三角形，那么 ④ 不一定正确；②③ 正确，故选B .

点评： 此题主要考查了全等三角形的性质，以及直角三角形中斜边最长；全等三角形的对应边相等；等边 三角形的三边相等.

二.填空题（共6小题）

4•如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小

的正三角形，••如此继续下去，结果如下表，则

a n = 3n+1 （用含n 的代数式表示）

考点：等边三角形的性质. 专题：压轴题；规律型.

分析：根据图跟表我们可以看出 n 代表所剪次数，a n 代表小正三角形的个数， 也可以根据图形找出规律加

所剪次数 1 2 3 4

n 正三角形个数

4

7

10

13

a n