2020-2021学年广东省湛江一中等四校高三上学期第一次联考数学(理科)试题Word版含解析

2020-2021学年广东省湛江一中等四校高三上学期第一次联考

数学（理科）试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设集合A={x|（x﹣3）（1﹣x）＞0}，B={x|y=lg（2x﹣3）}，则A∩B=（）

A．（3，+∞） B．[，3）C．（1，）D．（，3）

2．设复数z满足（1+i）z=|+i|，其中i为虚数单位，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）

A．（，﹣）B．（1，﹣1） C．（1，﹣i） D．（2，﹣2i）

3．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（）

A．30尺B．90尺C．150尺D．180尺

4．设f（x）是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（）

A．f（x）f（﹣x）是奇函数B．f（x）|f（﹣x）|是奇函数

C．f（x）﹣f（﹣x）是偶函数 D．f（x）+f（﹣x）是偶函数

5．若函数f（x）=，则f（f（））=（）

A．﹣1 B．0 C．1 D．3

6．执行如图所示的程序框图，如果输入n=4，则输出的S=（）

A．B．C．D．

7．如图，网格纸上小正方形的边长

为2，粗线画出的是某几何体的三视

图则该几何体的体积是（）

A．6πB．7π C．12π

D．14π

8．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则该双曲线的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为（）

A．B． C． D．

9．已知函数f（x）=4﹣x2，g（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，g（x）=lnx，则函数y=f（x）•g（x）的大致图象为（）

A．B．C．D．

10．设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）

A．B．C．D．

11．已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a，b为常数，a≠0，x∈R）的图象关于x=对称，则函数y=f（﹣x）是（）

A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称

B．偶函数且它的图象关于点对称

C．奇函数且它的图象关于点对称

D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称

12．已知函数f（x）=x﹣存在单调递减区间，且y=f（x）的图象在x=0处的切线l与曲线y=e x相切，符合情况的切线l（）

A．有3条B．有2条C．有1条D．不存在

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13．已知实数x、y满足，则z=2x+y的最小值是．

14．已知向量与的夹角是120°，||=3，|+|=，则||= ．

15．5的展开式中x的系数是．

16．已知数列{a

n }的前n项和为S

n

，且a

1

=1，a

n+1

=2S

n

，则数列{a

n

}的通项公式为．

三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=6，cos∠ABC=﹣．

（Ⅰ）若∠BAC=，求AC的长；

（Ⅱ）若BD=9，求△BCD的面积．

18．（12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f

1

（x）=x，

f 2（x）=x2，f

3

（x）=x3，f

4

（x）=sinx，f

5

（x）=cosx，f

6

（x）=2．

（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；

（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．

19．（12分）如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．

（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD

（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．

20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的

距离为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．

21．（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a∈R）．

（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；

（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）单调区间；

（Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x

1，x

2

∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x

1

）﹣f（x

2

）

|成立，求实数m的取值范围．

请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分

[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为x2﹣2x+y2=0，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=（ρ∈R）．

（Ⅰ）写出C的极坐标方程，并求l与C的交点M，N的极坐标；

（Ⅱ）设P是椭圆+y2=1上的动点，求△PMN面积的最大值．

[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）

23．设函数f（x）=x﹣|x+2|﹣|x﹣3|﹣m（m∈R）．

（Ⅰ）当m=﹣4时，求函数f（x）的最大值；

（Ⅱ）若存在x

0∈R，使得f（x

）≥﹣4，求实数m的取值范围．