圆心角、圆周角、弦、弧的关系

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圆的基本性质

考点一、圆的相关概念 （1）圆的定义

圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。 （2）圆的几何表示

以点O 为圆心的圆记作“⊙O ”，读作“圆O ”

考点二、弦、弧等与圆有关的定义

（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AC ）

（2）直径：经过圆心的弦叫做直径。（如图中的AB ）直径等于半径的2倍。 （3）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （4）弧、优弧、劣弧

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“⌒”表示，以A ，B

为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）

考点三、垂径定理及其推论

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论1：

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 垂径定理及其推论可概括为：

过圆心

直径 平分弦

知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧

考点四、圆的对称性 （1）圆的轴对称性

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 （2）圆的中心对称性

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

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考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

（1）圆心角：顶点在圆心，角的两边和圆相交的角叫做圆心角。 （2）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。 （3）弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相 等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

题型一：垂径定理（连结半径形成直角三角形，利用勾股定理求线段长度）

【例1】如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD ，点O 是CD 的圆心，•其中CD=600m ，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径。

分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．

题型二：利用弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系（连接半径证明三角形全等）

【例2】如图，在⊙O 中，C 、D 是直径AB 上两点，且AC=BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M 、N • 在⊙O 上。

（1）求证：AM =BN ；

（2）若C 、D 分别为OA 、OB 中点，则AM MN NB ==成立吗？

B

A

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【巩固训练】

1. 下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③过圆内一点有无数多条弦，这些弦都相等；④直径是圆中最长的弦，其中正确的有（ B ） A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

2. 已知P 为⊙O 内一点，过P 点的最长的弦有（ A ）

A ．1条

B ．无数条

C ．1条或无数条

D ．以上答案均不对 3. 下列说法中正确的是（ D ）

A ．长度相等的弧是等弧

B ．弦是直径

C ．过圆心的直线是直径

D ．两个半径相等的圆是等圆 4. 在⊙O 中，AB 、CD 是两条相等的弦，则下列说法中错误的是（ A ）

A ．A

B 、CD 所对的弧一定相等； B ．AB 、CD 所对的圆心角一定相等；

C ．△AOB 和△CO

D 能完全重合；

D ．点O 到AB 、CD 的距离一定相等。

5. 如图，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，•错误的是（ C ） A ．CE=DE B ．BC BD = C ．AC>AD D ．∠BAC=∠BAD

6. 如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ D ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8

7. 如图，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，•则下列结论中不正确的是（ B ） A ．AB ⊥CD B ．PO=PD C ．AD BD = D ．∠AOB=2∠AOD

8. 如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，AB=10cm ，CD=6cm ， 则AC 的长为（ D ）

A ．0.5cm

B ．1cm

C ．1.5cm

D ．2cm

9. 如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE= 3 。

10. 如图，AB 为⊙O 直径，E 是BC 中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC= 8 。 11. 一点和⊙O 上的最近点距离为4cm ，最远距离为10cm ，则这个圆的半径是 3或7 c m 。 12. 已知⊙O 的半径为5cm ，AB 和CD 是⊙O 的弦，AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，求AB 与CD

之间的距离是 1或7 c m 。

（第5题）

（第6题）

C

（第7题）

B

A （第9题）

B

A

（第10题）

（第8题）