考点23 等差数列及其前n项和
等差数列的前n项和_教学
• (1)等差数列{an}中，若a7＝m，a14＝n，则a21 ＝________.
[解析] (1)本题考查等差数列的基础量运算． 设{an}的公差为 d，由 S2＝a3 可得 d＝a1＝12，故 a2＝a1 ＋d＝1，Sn＝na1＋nn－2 1d＝14n(n＋1)． (2)设等差数列的公差为 d，由于数列是递增数列，所以 d>0，a3＝a1＋2d＝1＋2d，a2＝a1＋d＝1＋d，代入已知条件： a3＝a22－4 得：1＋2d＝(1＋d)2－4，解得 d2＝4，所以 d＝2(d ＝－2 舍去)，所以 an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. [答案] (1)1 14n(n＋1) (2)2n－1
• 等差数列的通项公式及前n项和公式中，共涉 及五个量，知三可求二，如果已知两个条件， 就可以列出方程组解之．如果利用等差数列 的性质、几何意义去考虑也可以．体现了用 方程思想解决问题的方法．
• [变式探究] (1)在等差数列{an}中，a1＝2， a2＋a5＝14，则a5＋a6＋a7＝________.
• (2)等差数列{an}前9项的和等于前4项的 和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.
• 答案：(1)36 (2)10
解析：(1)∵a2＋a5＝2a1＋5d＝14， ∴d＝2，∵a5＋a6＋a7＝3a6＝3a1＋15d＝36. (2)∵S9＝S4，∴a1＝－6d，∴d＝－16， ∴ak＋a4＝2a1＋(k＋2)d＝2＋(－16)(k＋2)＝0， ∴k＝10.
第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和(一)
第二章 数列 2.3 等差数列的前n 项和（一）明目标、知重点 1. 掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路．2. 经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思．3.熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个． 知识梳理1． 数列前n 项和的概念把a 1＋a 2＋…＋a n 叫数列{a n }的前n 项和，记做S n .a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝S n －1(n ≥2)． 2． 等差数列前n 项和公式(1)若{a n }是等差数列，则S n 能够用首项a 1和末项a n 表示为S n ＝n (a 1＋a n )2；(2)若首项为a 1，公差为d ，则S n 能够表示为S n ＝na 1＋12n (n －1)d .3． 等差数列前n 项和的性质(1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d2.(2)S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，公差为m 2d .(3)设两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.[情境导学]“数学王子”高斯是德国数学家．在高斯10岁时，老师出一道数学题为1到100的所有整数的和为多少？很快高斯即得出答案为5 050.老师大吃一惊，而更使人吃惊的是高斯的算法，高斯的算法是老师未曾教过的方法，那么这是一个什么样的方法呢？它用于解决什么类型的问题呢？这种方法叫倒序相加法，是等差数列求和的一种重要方法，本节我们就来研究它． 探究点一 等差数列前n 项和公式思考1 高斯是用怎样的方法快速求出1＋2＋3＋…＋100＝？ .思考2 人们从“高斯的算法”受到启示，创造了“倒序相加法”，即设S ＝1＋2＋3＋…99＋100，把加数倒序写一遍：S ＝100＋99＋98＋…＋2＋1.两式相加有2S ＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(99＋2)＋(100＋1)＝100×101，∴S ＝50×101＝5050.你能利用此种方法1＋2＋3＋…＋n 等于多少吗？ 答思考3 如何用“倒序相加法”求首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和S n 呢？答小结 (1)我们称a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 为数列{a n }的前n 项和，用S n 表示，即S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n . (2)等差数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .例1 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”的工程通知》．某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？解依题意得，反思与感悟建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．本题是根据首项和公差选择前n项和公式实行求解．易错方面：把前n项和与最后一项混淆，忘记答或写单位．跟踪训练1 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？解例2 已知一个等差数列{a n}前10项的和是310，前20项的和是1 220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？解方法一；方法二：反思与感悟(1)在解决与等差数列前n项和相关的问题中，要注意方程思想和整体思想的使用；(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，a n，S n，知其三能求其二．跟踪训练2 在等差数列{a n}中，已知d＝2，a n＝11，S n＝35，求a1和n.探究点二等差数列前n项和的性质思考1 设{a n }是等差数列，公差为d ，S n 是前n 项和，那么S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列吗？如果是，它们的公差是多少？ 答思考2 设S n 、T n 分别为两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和，那么a n b n 与S 2n －1T 2n －1有怎样的关系？请证明之．答例3 (1)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m (2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值．(3)解 (1)方法一 方法二反思与感悟 等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．跟踪训练3 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n . 解当堂检测1． 在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( )解析 由S 10＝10(a 1＋a 10)2，得a 1＋a 10＝S 105＝1205＝24.2． 记等差数列前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( )A ．2B ．3C ．6D ．7答案 B解析 方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝2a 1＋d ＝4S 4＝4a 1＋6d ＝20，解得d ＝3.方法二 由S 4－S 2＝a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 2＋2d ＝S 2＋4d ，所以20－4＝4＋4d ，解得d ＝3. 3． 在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝________.答案 190解析 S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19(a 10＋a 10)2＝19a 10＝19×10＝190.4． 已知等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a n ；(2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d . 解 (1)∵S n ＝n ·32＋(－12)×n (n －1)2＝－15，整理得n 2－7n －60＝0，解之得n ＝12或n ＝－5(舍去)， a 12＝32＋(12－1)×(－12)＝－4.(2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (1－512)2＝－1 022，解之得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ， 解之得d ＝－171. [呈重点、现规律]1． 求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．2． 等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N *)；若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p . 3． 本节基本思想：方程思想，函数思想，整体思想，分类讨论思想.一、基础过关1． 已知等差数列{a n }中，a 2＋a 8＝8，则该数列的前9项和S 9等于( )解析 S 9＝92(a 1＋a 9)＝92(a 2＋a 8)＝36.2． 等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d等于( )A.12 B ．2C.14D ．4答案 A解析 由题意得：10a 1＋12×10×9d ＝4(5a 1＋12×5×4d )，∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ，∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝12.3． 已知等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为( )A ．－9B ．－11C ．－13D ．－15答案 D解析 由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n <0，∴a 3＋a 8＝－3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×(－3)2＝－15.4． 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27答案 B解析 数列{a n }为等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， ∵S 3＝9，S 6－S 3＝27，则S 9－S 6＝45. ∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.5． 在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )A ．765B ．665C ．763D ．663答案 B解析 ∵a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665.6． 含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( )A.2n ＋1nB.n ＋1nC.n －1nD.n ＋12n答案 B解析 S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2，S 偶＝n (a 2＋a 2n )2，∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ， ∴S 奇S 偶＝n ＋1n .7． 设S n 为等差数列{a n }前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，求a 9.解 设等差数列的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1，S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8.由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2.故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15. 二、能力提升8． 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于( )A ．38B ．20C ．10D ．9答案 C解析 因为{a n }是等差数列，所以a m －1＋a m ＋1＝2a m ，由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，得：2a m －a 2m ＝0，由S 2m－1＝38知a m ≠0，所以a m ＝2，又S 2m －1＝38，即(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝38，即(2m －1)×2＝38，解得m＝10，故选C.9．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．29答案 B解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210>200. ∴n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．10．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( )A.310 B.13C.18D.19答案 A 解析 方法一 S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13， ∴a 1＝2d ，S 6S 12＝6a 1＋15d 12a 1＋66d ＝12d ＋15d 24d ＋66d ＝310. 方法二 由S 3S 6＝13，得S 6＝3S 3.S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9仍然是等差数列，公差为(S 6－S 3)－S 3＝S 3，从而S 9－S 6＝S 3＋2S 3＝3S 3⇒S 9＝6S 3，S 12－S 9＝S 3＋3S 3＝4S 3⇒S 12＝10S 3，所以S 6S 12＝310.11． 已知等差数列{a n }的前3项依次为a,4,3a ，前k 项和S k ＝2 550，求a 及k .解 设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3a ＝2×4d ＝4－a ka ＋k (k －1)2d ＝2 550，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2d ＝2k ＝50.(注：k ＝－51舍)∴a ＝2，k ＝50.12．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．解 方法一 设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ， 则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知得⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100， ①100a 1＋100×992d ＝10. ②①×10－②整理得d ＝－1150，代入①，得a 1＝1 099100，∴S 110＝110a 1＋110×1092d＝110×1 099100＋110×1092×⎝⎛⎭⎫－1150＝110⎝⎛⎭⎫1 099－109×11100＝－110.故此数列的前110项之和为－110.方法二 设S n ＝an 2＋bn .∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10，解得⎩⎨⎧a ＝－11100，b ＝11110.∴S n ＝－11100n 2＋11110n .∴S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110.三、探究与拓展13．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c ，求非零常数c .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d >0. ∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3a 4＝117， ∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两个根． 又公差d >0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)知，S n ＝n ×1＋n (n －1)2×4＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c.∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3， ∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12 (c ＝0舍去)．经检验，c ＝－12符合题意，∴c ＝－12.。
高中数学课件：第二章 2.3 等差数列的前n项和 第一课时 等差数列的前n项和
n＝1 n≥2.
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在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
[解] 法一：(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1，
1010－1 d＝100， 10a1＋ 2 公差为 d，则 100a ＋100100－1d＝10. 1 2
2
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1 022，求公差d；
(2)已知等差数列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，求a10.
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nn－1 解：(1)因为 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋ 2 d， 又 a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022， 1＋n－1d＝－512， 所以 1 n＋2nn－1d＝－1 022. ① ②
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[研一题] [例1] 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝
35，求a1和n.
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[自主解答]
an＝a1＋n－1d， 由 nn－1 Sn＝na1＋ 2 d，
பைடு நூலகம்
a1＋2n－1＝11， 得 nn－1 na1＋ 2 ×2＝35，
n＝5， 解方程组得 a1＝3， n＝7， 或 a1＝－1.
2 . 3
课前预习·巧设计
第 二 章 数 列
等 差 数 列 的 前
第一 课时 等差 数列 的前 n项 和
名 师 课 堂 · 一 点 通
创 新 演 练 · 大 冲 关
考点一 考点二 考点三
n
项 和
N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测
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2.3.2等差数列的前n项和的性质
性质1
若数列an 是公差为d的等差数列，
2
则s n，s 2 n - s n，s3n - s 2 n ...是公差为n d的等差数列
c
（2）一个等差数列的前10项和为50，后10项和为60，则其前n 项和为 .
性质2
若数列a n 是公差为d的等差数列 s奇 s偶 s n 当项数为偶数时， n 2m时 s奇 am s 偶 - s 奇 md s 偶 am 1
性质3
当项数为奇数时， n 2m - 1时 s偶 （m 1）am s 奇 mam s奇 m s偶 m 1
s 偶 s 奇 sn (2m - 1)am
性质4
a n 和bn 的前n项和分别为Sn , Tn 若等差数列
S2 n1 an 则 T2 n1 bn
第二章 数列
2.3 等差数列前n项和的性质
知识回顾:
知识点 1 ：a n与sn的关系
a n 一般地，我们称 a1 a2 a3 ... an为数列
的前n项的和sn即有sn a1 a2 a3 ... an
s1 , n 1 注意：an sn sn 1 , n 1
二.等差数列的前n项和公式:
n(a1 an ) n(n 1) sn na1 d 2 2
注. 数列an 的前n项和s n pn qn( p, q是常数）
2
d 数列an 是等差数列，且 p 2
三.等差数列的前n项和的性质:
n(a1 an ) n(n 1) sn na1 d 2 2
性质5
a n 的前n项和分别为Sn 若等差数列
Sn 则 也是等差数列 n
n(a1 an ) 1.等差数列的前项和公式1：S n 2
2023版高考数学一轮总复习第四章数列第二讲等差数列及其前n项和课件
2.已知等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，
且有 a1＋a9＝2，b4＋b6＝8，则TS99的值为(
)
1
1
A.6
B.4
C.2
D.3
解析：因为等差数列{an}和{bn}中，a1＋a9＝2a5＝2， b4＋b6＝2b5＝8，所以 a5＝1，b5＝4，则TS99＝ab11＋ ＋22 ab99××99＝ ab11＋ ＋ab99＝22ab55＝ab55＝14.故选 B.
(2)当 a1>0，λ＝100 时，由(1)知，an＝120n0，则 bn＝
lg a1n＝lg 120n0＝lg 100－lg 2n＝2－nlg 2， 所以数列{bn}是单调递减的等差数列，公差为－lg 2，
所以 b1>b2>…>b6＝lg
12060＝lg
100 64 >lg
1＝0，
当 n≥7 时，bn≤b7＝lg
在这个问题中，记这位公公的第 n 个儿子的年龄为 an，则 a1＝( )
A.23
B.32
C.35
D.38
解析：由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公 差为－3，则 9a1＋9×2 8×(－3)＝207，解得 a1＝35.故选 C.
答案：C
【题后反思】 (1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式共涉及五个量 a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称 “知三求二”). (2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首 项 a1 和公差 d.
前 n 项 验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对 和公式法 任意的正整数n都成立⇔{an}是等
差数列
适合题型
选择、填 空题中的 判定问题
2024年高考数学总复习第六章数列真题分类23等差数列及其前n项和
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真题分类23 等差数列及其前n项和
C2.等差数列中的单调性问题
高考·数学
命题者说：深入探究公差d与等差数列单调性之间的关系，并能判断所给数列的单调性．
第1题 第2题
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真题分类23 等差数列及其前n项和
高考·数学
1．(2022·北京，6，4 分)设{an}是公差不为 0 的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”
答案：16 由 S9＝27⇒9（a12＋a9） ＝27⇒a1＋a9＝6⇒2a5＝6⇒2a1＋ 8d＝6 且 a5＝3.
又 a2a5＋a8＝0⇒2a1＋5d＝0，解得 a1＝－5，d＝2. 故 S8＝8a1＋8×（82－1） d＝16.
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真题分类23 等差数列及其前n项和
高考·数学
A．64 B．128 C．256 D．512
答案：B 由已知条件可得ab11 ＝ab55 ，则 b5＝aa5b11 ＝962×81892 ＝64，因此 b3＝ b1＋b5 192＋64
2 ＝ 2 ＝128. 故选 B.
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真题分类23 等差数列及其前n项和
高考·数学
2．(2019·课标全国Ⅰ(理)，9，5 分)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．已知 S4＝0，a5
真题分类23 等差数列及其前n项和
高考·数学
第六章 数列
§6.2 等差数列 真题分类23 等差数列及其前n项和
C1.等差数列中基本量的求解 C2.等差数列中的单调性问题 C3.等差数列的证明与判定技巧 C4.等差数列中的设项技巧
C5.等差数列的性质及其应用 C6.等差数列前n项和公式的应用 C7.等差数列前n项和的性质及其应用 C8.求等差数列前n项和最值的方法
等差数列的前N项和公式
等差数列的前N项和公式等差数列是指数列中任意两个相邻项之差保持不变的数列。
前N项和指的是数列前N项之和。
首先，我们来推导等差数列的通项公式。
设等差数列的第一项为a1，公差为d，第n项为an。
根据等差数列的定义可知，第2项为a2 = a1 + d，第3项为a3 = a1 + 2d，以此类推，第n项为an = a1 + (n-1)d。
我们可以把等差数列展开，得到：a1,a1+d,a1+2d,a1+3d,...,a1+(n-2)d,a1+(n-1)d将这些项相加，得到：S=(a1+a1+d+a1+2d+a1+3d+...+a1+(n-2)d+a1+(n-1)d)我们可以将等差数列中的每一项按照公差d进行分组，得到：S=(a1+a1+(n-1)d)+(a1+d+a1+(n-2)d)+(a1+2d+a1+(n-3)d)+...+(a1+(n-2)d+a1+d)+(a1+(n-1)d+a1)根据等差数列的恒等差性质，每一组中的两项之和都等于2a1+(n-1)d。
因此，上式可以进一步化简为：S=n(2a1+(n-1)d)这就是等差数列的前N项和公式，也被称为等差数列求和公式。
为了更好地理解该公式，我们可以举一个具体的例子。
假设有一个等差数列：2,5,8,11,14，求前四项的和。
首先，确定已知量：a1=2(第一项)d=5-2=3(公差)n=4(前四项)代入前N项和公式，可得：S=4(2+(4-1)3)=4(2+3*3)=4(2+9)=4*11=44因此，2,5,8,11的和为44除了使用前N项和公式，我们还可以利用等差数列的性质进行计算。
等差数列可以通过两种方法计算前N项的和：方法一：逐项相加。
通过将每一项相加，可以得到等差数列的前N项和。
在大多数情况下，这种方法适用于较小的N。
方法二：首项加末项乘N除以2、由于等差数列的第一项和最后一项之和等于N，将这两项相加，并乘以N除以2，即可得到前N项和。
这个方法适用于所有的等差数列。
高考数学复习考点知识专题讲解课件31---等差数列及其前n项和
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6．一物体从 1960m 的高空降落，如果第 1 秒降落 4.90 m，以后每秒比前一秒多 降落 9.80 m，那么经过________秒落到地面． 解析：设物体经过 t 秒降落到地面． 物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为 4.90，公差为 9.80 的等差数列． 所以 4.90t＋12t(t－1)×9.80＝1 960， 即 4.90t2＝1 960，解得 t＝20. 答案：20
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题型分类 深度剖析
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题型一 等差数列基本量的运算
1．(2019·全国Ⅰ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．已知 S4＝0，a5＝5，则( )
A．an＝2n－5 C．Sn＝2n2－8n
B．an＝3n－10 D．Sn＝12n2－2n
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题组三 易错排查
4．一个等差数列的首项为215，从第 10 项起开始比 1 大，则这个等差数列的公差
d 的取值范围是( ) A．d>785
B．d<235
83 C.75<d<25
D．785<d≤235
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解析：由题意可得aa19≤ 0>11，， 即221155＋＋89dd≤>11，， 所以785<d≤235.故选 D. 答案：D
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跟踪训练 1 (1)已知等差数列{an}，a2＝2，a3＋a5＋a7＝15，则数列{an}的公差 d
等于( )
A．0
B．1
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考点23 等差数列及其前n 项和一、选择题1. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ7）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若21-=-m S ,0=m S ,31=+m S ，则=m （ ）A.3B.4C.5D. 6【解题指南】利用1--=n n n S S a ，求出m a 及1+m a 的值，从而确定等差数列}{n a 的公差，再利用前n 项和公式求出m 的值.【解析】选C.由已知得，21=-=-m m m S S a ,311=-=++m m m S S a ，因为数列}{n a 为等差数列，所以11=-=+m m a a d ，又因为02)(1=+=m m a a m S ，所以0)2(1=+a m ，因为0≠m ，所以21-=a ，又2)1(1=-+=d m a a m ，解得5=m .2.（2013·安徽高考文科·Ｔ7）设S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，837=4,2S a a =-，则a 9=（ ）A.-6B.-4C.-2D.2【解题指南】利用等差数列的前n 项和公式及通项公式求出首项及公差。
【解析】选A 。
由83117187=484(2),2622S a a d a d a a d 由´?=?=-?=-，联立解得1102a d ==-，，所以91810166a a d =+=-=-。
3. （2013·辽宁高考文科·Ｔ4）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ4）相同 下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题：1:p 数列{}n a 是递增数列；2:p 数列{}n na 是递增数列；3:p 数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列；4:p 数列{}3n a nd +是递增数列；其中的真命题为（ ）12342314.,.,.,.,A p p B p p C p p D p p【解题指南】借助增函数的定义判断所给数列是否为递增数列 【解析】选D. 递由1(1)n n n a na ++-11(1)()[(1)]n a nd n a n d =++-+-12a nd =+，仅由0d >是无法判断 12a nd +的正负的，因而不能判定 1(1),n n n a na ++的大小关系递显然，当n a n =时，1,n a n =数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数数列，不是递增数列，是数列的第1n +项减去数列的第1[3(1)](3)n n a n d a nd +++-+1()[3(1)n n a a n +=-++二、填空题4. （2013·重庆高考文科·Ｔ12）若2、a 、b 、c 、9成等差数列，则c a -= ．【解题指南】可根据等差数列的性质直接求解.【解析】因为2、a 、b 、c 、9成等差数列，所以公差47429=-=d ,272==-d a c . 【答案】725．（2013·上海高考文科·T2）在等差数列{}n a 中，若a 1+ a 2+ a 3+ a 4=30，则a 2+ a 3= .【解析】 1530)(232324321=+⇒=+=+++a a a a a a a a 【答案】 156. （2013·广东高考理科·Ｔ12）在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则573a a +=___ 【解题指南】本题考查等差数列的基本运算,可利用通项公式和整体代换的思想求解.【解析】设公差为d ，则3812910a a a d +=+=，571134182(29)20a a a d a d +=+=+=. 【答案】20.7.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T16)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 10=0,S 15=25,则n S n 的最小值为 .【解题指南】求得S n 的表达式,然后表示出nS n ,将其看作关于n 的函数,借助导数求得最小值.【解析】由题意知:111091002151415252d a d a ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩解得d=23,a 1=-3,所以()212103,233n n n n nS n --=-+⨯= 即nS n =3210,3n n -,令f(n)= 3210,3n n -,则有()220,3n f n n '=-令f'(n)>0,得203n >,令f'(n)<0,得200,3n <<又因为n 为正整数,所以当n=7时, ()32103n n f n -=取得最小值,即nS n 的最小值为-49.【答案】-498.（2013·安徽高考理科·Ｔ14））如图，互不相同的点A 1,A 2,…,A n ,…和B 1,B 2,…,B n ,…分别在角O 的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等。
设.n n OA a =若a 1=1,a 2=2则数列{}n a 的通项公式是_______。
O【解题指南】利用三角形的面积比等于相似比的平方得到等式关系化简求解. 【解析】由题意可得：2010()n nS aS S a -=+ ①2001()2n n S S a S S a ++=+ 即2010+2()n nS S aS S a +=+ ② ①②两式相加得2222211112222n n n n n n na a a a a a a -+-+=+?+，所以数列2{}n a 是公差为2221-3a a =的等差数列.故2213n a a =+（n-1）=3n-2，即n a 【答案】n a三、解答题9. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ17）等差数列{}n a 中，71994,2,a a a == （I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和 【解题指南】（I ）根据条件中给出的特殊项求出等差数列的首项和公差，再根据等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=求出{}n a 的通项公式. （II ）将（I ）中的通项公式代入到nn na b 1=中,采用裂项相消法求和.【解析】（I ）设等差数列}{n a 的公差为d ，则d n a a n )1(1-+=. 因为⎩⎨⎧==919724a a a ，所以⎩⎨⎧+=+=+)8(21846111d a d a d a ，解得21,11==d a .所以}{n a 的通项公式为21+=n a n . （II ）因为)111(2)1(21+-=+==n n n n na b n n 所以)1113121211[2+-+⋅⋅⋅+-+-=n nS n 12+=n n . 10.（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ17）等差数列{}n a 的前n 项和为232124.=,,,n S S a S S S 已知且成等比数列，求{}n a 的通项式.【解析】设}{n a 的公差为d ，由232=S a ，得2223=a a ，故02=a 或32=a . 由1S ，2S ，4S 成等差数列得2214=S S S . 又d a S -=21，d a S -=222，d a S 2424+=. 故=-22)2(d a )(2d a -)24(2d a +.若02=a ，则222d d -=，解得0=d ，此时0=n S ，不符合题意. 若32=a ，则2(6)(3)(122)-=-+d d d ，解得0=d 或2=d . 因此}{n a 得通项公式为3=n a 或12-=n a n .11.（2013·安徽高考文科·Ｔ19） 设数列{}n a 满足1242,8a a a =+=,且对任意n ∈*N ，函数 1212()()cos sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++-，满足'()02f p =。
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12()2nn n a b a =+求数列{}n b 的前n 项和n S 。
【解题指南】（1）由()02f p¢=证得{}n a 是等差数列；（2）求出 {}n b 的通项公式，利用等差、等比数列的求和公式计算。
【解析】（1）由题设可得，1212()sin cos n n n n n f x a a a a x a x ++++¢=-+--，对任意n ∈*N ，121()=02n n n n f a a a a p +++¢=-+-，即+121={}n n n n n a a a a a ++--，故为等差数列.由1242,8a a a =+=解得{}n a 的公差d=1，所以a n =2+1·(n-1)=n+1. （2）由11112()=22222n n n a n n b a +=++（n+1+）=2n+知， 21211[1()](1)122 (223112212)n n n nn n S b b b n n n -+=+++=++=++--。
12. （2013·湖北高考文科·T19）已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n ，使得2013n S ≥？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．【解题指南】（Ⅰ）由条件4S ，2S ，3S 成等差数列和23418a a a ++=-列出方程组，解出首项和公比，运用等比数列通项公式得出{}n a 的通项公式。
（Ⅱ）假设存在正整数n ，使得2013n S ≥，解不等式，求n 的解集。
(){}(){}()123211124321223411,0,0.,,3,18, 2.118,32.n n n n a q a q a q a q a q S S S S a a a a q a q q q a a -≠≠⎧--=-=-=⎧⎧⎪⎨⎨⎨++=-=-++=-⎩⎩⎪⎩=-设数列的公比为则由题意得即解得故数列的通项公为【解】式析Ⅰ()()()()()()()()(){}31212.12,201322013,22012.20,222012,22012,11.21,,5.nn n n nn nn n n S n S n n n n n n n k k N k ⎡⎤--⎣⎦==----≥-≥-≤-->-=-≤-≥≥=+∈≥由有若存在使得，则1-即当为偶数时，上式不成立；当为奇数时，即则综上，存在符合条件的正整数，且所有这样的的集合为ⅡⅠ13. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ17）已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且11113,,a a a 成等比数列。