固体物理学习题解答

第一章 晶体结构

1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。

证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪

⎪

=+⎨⎪

⎪=+⎪⎩

由倒格子基矢的定义：1232()b a a π

=

⨯Ω

3

1230,

,22

(),

0,224

,,0

2

2a a

a

a a a a a a a Ω=⋅⨯==，2

23,,,

0,()224,,0

2

2

i j k

a a a a a i j k a a ⨯==-++ 213422()()4a

b i j k i j k a a

π

π∴=⨯⨯-++=-++

同理可得：232()2()

b i j k a

b i j k a

π

π=

-+=+-即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。

所以，面心立方的倒格子是体心立方。

（2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a i j k a a i j k a a i j k ⎧=-++⎪⎪

⎪

=-+⎨⎪

⎪=+-⎪⎩

由倒格子基矢的定义：1232()b a a π

=

⨯Ω

3

123,,

222

(),,2222

,,222

a a a a a a a a a a a a a

-Ω=⋅⨯=-=

-

，223,,,,()2222,,222i j k a a a a a a j k a a a ⨯=-=+- 213222()()2a b j k j k a a

π

π∴=⨯⨯+=+

同理可得：232()2()

b i k a

b i j a

π

π=

+=+即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。

所以，体心立方的倒格子是面心立方。

1.4证明：倒格子原胞的体积为

()c v /23

π，其中v c 为正格子原胞的体积。

证 倒格子基矢2311232a a b a a a π

⨯=⋅⨯ 3121232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 12

3123

2a a b a a a π⨯=⋅⨯

倒格子体积*

0123()v b b b =⋅⨯

3*

23311230

(2)()()()v a a a a a a v π=⨯⋅⨯⨯⨯ 3*

00(2)v v π= 1.5、证明倒格子矢量112233G h b h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。 证

明

：

因

为

33121323

,a a a a CA CB h h h h =

-=-，

112233G h b h b h b =++

利用2i j ij a b πδ⋅=，容易证明

12312300

h h h h h h G CA G CB ⋅=⋅=

所以，倒格子矢量112233G h b h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。

1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(,,)h k l 的晶面系，面间距d 满足：2

2

2

2

2

()d a h k l =++，其中a 为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。解：简单立方晶格：123a a a ⊥⊥，123,,a ai a aj a ak === 由倒格子基矢的定义：2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯，3121232a a b a a a π⨯=⋅⨯，12

3123

2a a b a a a π⨯=⋅⨯

倒格子基矢：123222,,b i b j b k a a a

πππ

=

== 倒格子矢量：123G hb kb lb =++，222G h i k j l k a a a

πππ=++ 晶面族()hkl 的面间距：2d G

π

=

2221

()()()h k l a a a

=++

2

2

2

22()

a d h k l =++ 面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面越容易解理。

1.9、画出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面与（100）面、（111）面与（110）面的交线的晶向。

解：(111)

1、(111)面与(100)面的交线的AB ，AB 平移，A 与O 点重合，B 点位矢：B R aj ak =-+， (111)面与(100)面的交线的晶向AB aj ak =-+，晶向指数[011]。

(111)

2、(111)面与(110)面的交线的AB ，将AB 平移，A 与原点O 重合，B 点位矢：B R ai aj =-+，(111)面与(110)面的交线的晶向AB ai aj =-+，晶向指数[110]。 2.

3、若一晶体的相互作用能可以表示为 ()m

n

u r r r α

β

=-

+

试求：（1）平衡间距0r ；

（2）结合能W （单个原子的）；

（3）体弹性模量；

（4）若取02,10,3,4m n r A W eV ====，计算α及β的值。 解：（1）求平衡间距r 0

由

0)

(0

==r r dr

r du ，有：

m

n n

m n m m n n m r r n r m --++⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⇒=-1

101.0100αββαβ

α

结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量称为结

合能（用w 表示）

（2）求结合能w （单个原子的）

题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。

显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即U min

即：n

m

r r r U W 000)(β

α

-

+=-= （可代入r 0值，也可不代入）

（3）体弹性模量