2017届云南省曲靖市第一中学高三上学期第四次月考数学(理)考试试题

2017届云南省曲靖市第一中学高三上学期第四次月考数学（理）试题理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|540A x N x x =∈-+≤，{}2|40B x x =-=，下列结论成立的是（ ） A ．B A ⊆B ．AB A =C ．A B A =D ．{}2AB =2.若复数z 满足20171zi i=-，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+3.已知p ：1a =±，q ：函数2()ln()f x x a x =++为奇函数，则p 是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4.已知51cos()123πθ-=，则sin()12πθ+的值是（ ） A ．13-B ．223-C ．13D ．2235.在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且2BD DC =，3CE EA =，若AB a =，AC b =，则DE =（ ） A ．15312a b +B ．113312a b -C ．15312a b --D ．113312a b -+6.下列命题中正确的是（ ）A ．“1x <-”是“220x x -->”的必要不充分条件B ．对于命题p ：0x R ∃∈，使得20010x x +-<，则p ⌝：x R ∀∈，均有210x x +->C ．命题“2230ax ax -+>恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是0a <或3a ≥D ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“若2320x x -+=，则2x ≠”7.设函数|1|1lg(2),2,()10,2,x x x f x x -+->⎧=⎨≤⎩若()0f x b -=有三个不等实数根，则b 的取值范围是（ ）A ．(0,10]B ．1(,10]10C ．1(,10)10D ．(1,10]8.设实数x ，y 满足约束条件3240,40,20,x y x ay x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩已知2z x y =+的最大值是7，最小值是26-，则实数a 的值为（ ） A ．6B ．6-C ．1-D ．19.一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积为（ ） A ．2B ．22C ．25D ．21010.已知0a >，0b >，若直线220x y +-=平分圆222410x y ax by +--+=，则212a b+的最小值是（ ） A ．52B ．92C ．42D ．322+11.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，又知101ln eS xdx =⎰，2011S =，则30S 为（ ）A ．21B ．30C ．48D ．5012.已知函数()f x 满足()(2)f x f x =，当[1,2)x ∈，()ln f x x =，若在区间[1,4)内，函数()()g x f x ax =-恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．ln 2[1,)2B ．ln 2[1,)4C ．ln 2ln 2[,)42D ．ln 2ln 2(,)42第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设tan 2x =，则12sin cos x x -= ． 14.把数列121n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的所有数按照从大到小的原则写出如图所示的数表，第k 行有12k -个数，第t 行的第s个数（从左数起）记为(,)A t s ，则数列121n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭中的项1287应记为 ．15.如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC AC =，1AC ⊥1A B ，M ，N 分别是11A B ，AB 的中点，给出下列结论：①1C M ⊥平面11A ABB ；②1A B ⊥1NB ；③平面1//AMC 平面1CNB ；其中正确结论的序号是 ．16.已知α为锐角，且tan 21α=-，函数2()tan 2sin(2)4f x x x παα=+⋅+，数列{}n a 的首项112a =，1()n n a f a +=，则1n a +与n a 的大小关系为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数()2cos sin()3f x x x π=-23sin sin cos x x x ++．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若()0f x m -=在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恰有一实根，求m 的取值范围． 18.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 3sin a b C c B =+． （1）求B ；（2）若22b =，求△ABC 面积的最大值．19.已知数列{}n a 满足1(,)n n P a a +在直线20x y -+=上（*n N ∈），且11a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，数列{}n b 满足1n nb S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1n n T n >+．20.如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，//AB DC ，AB ⊥AD ，△PAB 和△PAD 是两个边长为2的正三角形，4DC =．（1）求证：平面PBD ⊥平面ABCD ； （2）求二面角P DC B --的余弦值．21.已知()2ln f x x x =，32()2g x x ax x =+-+．（1）如果函数()g x 的单调递减区间为1(,1)3-，求函数()g x 的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数()y g x =的图象在点(1,(1))P g --处的切线方程；（3）已知不等式()'()f x g x ≤2+恒成立，若方程0a ae m -=恰有两个不等实根，求m 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(2,)4π，判断点P 与曲线C 的位置关系；（2）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． 23.选修4-5：不等式选讲设不等式|1|2x ->的解集与关于x 的不等式20x ax b -->的解集相同． （1）求a ，b 的值；（2）求函数15y a x b x =-+-的最大值，以及取得最大值时x 的值．曲靖一中高考复习质量监测卷四理科数学答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A B C C C D D A B B C 二、填空题13.1514.(8,17)A 15.①②③ 16.1n na a+>三、解答题17.解：（1）213()2cos (sin cos )3sin sin cos 22f x x x x x x x=-++22cos sin 3cos 3sin sin cos x x x x x x =-++222sin cos 3(cos sin )x x x x =--sin 23cos 2x x =-2sin(2)3x π=-，所以()f x 的最小正周期为π． （2）当203x π≤≤时，233x πππ-≤-≤，()f x m =恰有一个实根，所以30m -≤<． 18.解：（1）由已知及正弦定理得：sin sin cos 3sin sin A B C B C =+， ∵sin sin()sin cos 3sin sin A B C B C B C =+=+，由已知及余弦定理得2282cos 6a c ac π=+-，即2283a c ac +=+，代入222a c ac +≥，整理得8168323ac ≤=+-，当且仅当a c =时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为1(1683)4234+=+． 19. （1）解：由题意得120n n a a +-+=，即12n n a a +=+， 所以{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列， ∴12(1)21n a n n =+-=-． （2）证明：由（1）知2(121)2n n n S n +-==，所以21n b n=，22221111123n T n =++++…1111122334(1)n n >++++⨯⨯⨯+11111111223341n n =-+-+-++-+ (1)nn =+， 所以原不等式成立．20.（1）证明：设O 是BD 的中点，连接AO ，∵△PAB 和△PAD 是两个边长为2的正三角形，∴2PB PD ==， 又BO OD =，∴PO ⊥BD ， ∵AB ⊥AD ，∴在Rt ABD ∆中，由勾股定理可得，2222BD AD AB =+=，∴2OB =，在Rt POB 中，由勾股定理可得222PO PB OB =-=，在Rt △ABD 中，122AO BD ==． 在△PAO 中，2224PO OA PA +==，由勾股定理的逆定理可得PO ⊥AO ， 又∵BDAO O =，∴PO ⊥平面ABCD ， ∵PO ⊂平面PBD ， ∴平面PBD ⊥平面ABCD ．（2）解：由（1）知PO ⊥平面ABCD ，又AB ⊥AD ．∴过O 分别作AD ，AB 的平行线，以它们作x ，y 轴，以OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得：(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，(1,1,0)D -，(1,3,0)C ，(0,0,2)P ， 则(1,1,2)PD =--，(1,3,2)PC =-， 设平面PDC 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即320,20,x y z x y z ⎧+-=⎪⎨--=⎪⎩解得2,0,x z y ⎧=⎪⎨=⎪⎩令1z =，则平面PDC 的一个法向量为(2,0,1)n =，又平面BDC 的一个法向量为(0,0,1)m =， 则3cos ,3||||m n m n m n ⋅<>==⋅，∴二面角P DC B --的余弦值为33． 21.解：（1）2'()321g x x ax =+-，由题意23210x ax +-<的解集为1(,1)3-，即23210x ax +-=的两根分别是13-，1，代入得1a =-，∴32()2g x x x x =--+．（2）由（1）知，(1)1g -=，∴2'()321g x x x =--，'(1)4g -=， ∴点(1,1)P -处的切线斜率'(1)4k g =-=，∴函数()y g x =的图象在点(1,1)P -处的切线方程为14(1)y x -=+， 即450x y -+=．（3）由题意知22ln 321x x x ax ≤++对(0,)x ∈+∞上恒成立，可得31ln 22a x x x ≥--对(0,)x ∈+∞上恒成立， 设31()ln 22x h x x x =--， 则22131(1)(31)'()222x x h x x x x -+=-+=-，令'()0h x =，得1x =，13x =-（舍），当01x <<时，'()0h x >；当1x >时，'()0h x <， ∴当1x =时，()h x 取得最大值，max ()2h x =-，∴2a ≥-．令()aa ae ϕ=，则'()(1)aaaa e ae e a ϕ=+=+，所以()a ϕ在[]2,1--递减，在(1,)-+∞递增，∵222(2)2e e ϕ--=-=-，11(1)e eϕ--=-=-，当x →+∞时，()x ϕ→+∞， 所以要把方程0a ae m -=恰有两个不等实根，只需212m e e-<≤-．22.解：（1）把极坐标系下的点(2,)4P π化为直角坐标，得(1,1)P ，曲线C 的普通方程为22132x y +=，把P 代入得11132+<，所以P 在曲线C 内．（2）因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos ,2sin )αα， 从而点Q 到直线l 的距离为|3cos 2sin 4|2d αα-+=|5cos()4|2αϕ++=（其中6tan 3ϕ=）， 由此得cos()1αϕ+=-时，d 取得最小值，且最小值为42102-． 23.解：（1）不等式|1|2x ->的解集我{}|13x x x <->或，所以不等式20x ax b -->的解集为{}|13x x x <->或，∴2a =，3b =． （2）函数的定义域为[]1,5，显然有0y >，由柯西不等式得：2222213523(1)(5)213y x x x x =-+-≤+⨯-+-=，当且仅当2531x x -=-时等号成立，即2913x =时，函数取得最大值213．。