002第2章ch 2-2离散时间系统分析end (修复的) (自动保存的)

2.2离散系统的时域分析离散系统分析与连续系统分析在于多方面是相互平行的，有许多类似之处。

连续系统可用微分方程描述，离散系统可用差分方程描述。

差分方程和微分方程的许多求解方法在许多方面是相互对应的。

在连续系统分析中，卷积积分具有重要的意义；在离散系统中，卷积和也具有同等重要的地位。

连续系统分析与离散系统分析的相似性为读者学习本章节提供了有力条件，不过，读者应该十分注意他们之间存在着的重要差异。

在离散系统分析中，激励（输入）用()f n 表示，响应（输出）用()y n 表示，其中n 为整数；初始状态用{}0()x n 表示，其中0n 为正常数，通常取00n =。

下面，从离散系统的差分方程（或系统框图）及其求解开始，研究LTI 离散系统的时域分析。

2.2.1 L TI 离散系统的响应 差分与差分方程与连续时间信号的微分与积分运算相对应，离散时间信号有差分及序列求和运算。

设有序列()f n ，则称(2)f n +，(1)f n +，(1)f n -，(2)f n -等为()f n 的位移序列。

序列的差分可分为前向差分和后向差分。

一阶前向差分定义为()(1)()deff n f n f n ∆+-（2.2-1）一阶后向差分定义为()()(1)deff n f n f n ∇-- （2.2-2） 式中∆和∇称为差分算子。

由式（2.2-1）和（2.2-2）可见，前向差分与后向差分的关系为()(1)f n f n ∇=∆-（2.2-3）二者仅位移不同，没有原则的差别，因而它们的性质也相同。

本书主要采用后向差分，并简称其为差分。

由差分的定义，若有序列1()f n 、2()f n 和常数1a 、2a ，则112211221122[()()][()()][(1)(2)]a f n a f n a f n a f n a f n a f n ∇+=+--+- 111222[()(1)][()(1)]a f n f n a f n f n =--+-- 1122()()a f n a f n =∇+∇（2.1-4）这表明差分运算具有线性性质。

二阶差分可定义为2(n)[()][()(1)]()(1)deff f n f n f n f n f n ∇∇∇=∇--=∇-∇-()2(1)(2)f n f n f n =--+-（2.2-5）类似的，可定义三阶、四阶、五阶···差分。

一般的，k 阶差分k10()[()](1)()kdefk jj k f n f n f n j j -=⎛⎫∇∇∇=-- ⎪⎝⎭∑（2.2-6）式中!,0,1,2,...()!!k k j kj k j j ⎛⎫== ⎪-⎝⎭（2.2-7）为二项式系数。

序列()f n 的求和运算为()ni f i =-∞∑（2.2-8）差分方程是包含关于变量n 的未知序列()f n 及各阶差分方程的方程式，它的一般形式可写为[,(),(),(),(),,()]0r N F n f n f n f n y n y n ∇∇∇∇=（2.2-9a ）式中差分的最高阶为n 阶，称为n 阶差分方程。

由式（2.2-6）可知，各阶差分均可写成(n)y 及其各位移序列的线性组合，故上式常写为[,(),(1),(),(),(1),,()]0F n f n f n f n r y n y n y n N ----=（2.2-9b ）通常所说的差分方程是指式（2.2-9b ）形式的方程。

差分方程是具有递推关系的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得差分方程的数值解。

例2.2-1 若描述某离散系统的差分方程为()3(1)2(2)()y n y n y n f n +-+-=已知初始条件(0)0,(1)2,y y ==激励()2()nf n n ε=，求()y n 。

解：将差分方程中除()y n 以外的各项都移到等号右端，得()3(1)2(2)()y n y n y n f n =----+对于2,n =将已知初始值(0)0,(1)2y y ==代入上式，得(2)3(1)2(0)(2)2y y y f =--+=-类似地，一次迭代可得(3)3(2)2(1)(3)10y y y f =--+=(4)3(3)2(2)(4)10y y y f =--+=-由上例可见，用迭代法求解差分方程思路清楚，便于编写计算机程序，能得到方程的数值解，但它常常不宜得出解析形式（或称闭式）的解。

2.2.2差分方程的经典解一般而言，如果单输入-单输出的LTI 系统的激励为()f n ，其全响应为()y n ，那么，描述该系统激励()f n 与响应()y n 之间的关系的数学模型是n 阶常系数线性差分方程，它可以写为10()(1)()N y n a y n a y n N -+-++-10()(1)()M M b f n b f n b f n M -=+-++-（2.2-10a ）式中(0,1,2,,1)i a i N =-，(0,1,,)j b j M =都是常数。

上式可缩写为NMN M 00()()i j i j a y n i b f n j --==-=-∑∑ (式中N 1a =) （2.2-10b ）与微分方程的经典解相类似，上述差分方程的解由齐次节和特解两部分组成。

齐次解用()h y n 表示，特解用()p y n 表示。

即(n)()()h p y y n y n =+（2.2-11）齐次解当式（2.2-10）中的(n)f 及其各位移项均为零时，齐次方程10()(1)()0n y n a y n a y n N -+-++-=（2.2-12）（2.2-12）的解称为齐次解。

首先分析最简单的一阶差分方程，若一阶差分方程的齐次方程为()(1)0y n ay n +-=（2.2-13）它可改写为()(1)y n a y n =--()y n 与(1)y n -之比等于()a -表明，序列(n)y 是一个公比为()a -的等比序列，因此()y n应有如下形式n ()()y n C a =-（2.2-14）式中C 为常数，由初始条件确定。

对于n 阶齐次差分方程，它的齐次解由形式为n C λ的序列组合而成，将n C λ代入到时（2.2-12），得111100n n n N n N n C a C a C a C λλλλ-----++++=由于C 0≠，消去C ；且0λ≠，以n N λ-除上式，得11100N N n a a a λλλ--++++=（2.2-15）上式称为差分方程（2.1-10）和（2.1-12）的特征方程，它有n 个根(1,2,,)i i n λ=，称为差分方程的特征根。

显然，形式为C n i i λ的序列都满足式（2.2-12），因而它们是式（2.1-10）方程的解。

依特征根的不同取值，差分方程齐次解的形式如表2.2-1，其中C i 、D i 、A i 、i θ等为待定常数。

表2.2-1 不同特征根所对应的齐次解特征根λ 齐次解单实根n C λr 重实根121210C C C C r n r n n n r r k k n λλλλ----++++一对共轭复根1,2j a jb e βλρ±=+=[cos()sin()]n C n D n ρββ+或cos()n A n ρβθ-，其中j Ae C jD θ=+特解特解的函数形式与激励的函数形式有关，表2.2-2列出了几种典型的激励()f n 所对应的特解的(n)p y 。

选定特解后代入原差分方程，求出其待定系数i P （或A 、θ）等，就得出方程的特解。

表2.2-2 不同激励所对应的齐次解激励(n)f齐次解n m111n m m m m P P nPn P --++++所有特征根均不等于1时；1110[n ]r m m m m n P n P n P P --++++当有r 重等于1的特征根时。

n an Pa ，当a 不等于特征根时；110n m nP a P a -+当a 是特征根时； 1110r n r nn nr r Pn a P n a Pna P a --++++，当a 是r 重特征根时。

cos()n β或sin()n β Pcos()sin()n Q n ββ+当所有的特征根均不等于j e θ±或Acos()n βθ-，其中=P+j j Ae Q θ全解式（2.2-10）的线性差分方程的完全解是其齐次解与特解之和。

如果方程的特征根均为单根，则差分方程的全解为1()()()()Nn h p i i p i y n y n y n C y n λ==+=+∑ （2.2-16）如果特征根1λ为r 重根，而其余()n r -个特征根为单根时，差分方程的全解为111()()rNr in n i jjp i j r y n C n C y n λλ-==+=++∑∑（2.2-17）式中系数i C 、j C 由初始条件确定。

如果激励信号是在0n =时接入的，差分方程的解适用于0n ≥。

对于N 阶差分方程，用给定的n 初始条件(0),(1),,(1)y y y N -就可确定全部待定系数i C 和j C 。

如果差分方程的特征根都是单根，则方程的全解为式（2.2-16），将给定的初始条件(0),(1),...,(1)y y y N -分别代入到式（2.2-16），可得 1211221111122(0)(0)(1)(1)(1)(1)n p n n p N N N N n p y C C C y y C C C y y N C C C y N λλλλλλ---=++++⎫⎪=++++⎪⎬⎪⎪-=++++-⎭（2.2-18）由以上方程可求得全部待定系数(1,2,,)i C i n =。

例2.2-2 若描述某系统的差分方程为()4(1)4(2)(n)y n y n y n f +-+-=（2.2-19）已知初始条件(0)0y =，(1)1y =-；激励()2,0nf n n =≥。

求方程的全解。

解：首先求齐次解。

上述差分方程的特征方程为2440λλ++=可解得特征根122λλ==-，为二重根，由表2.2-1可知，其齐次解12()(2)(2)n n h y n C n C =-+-其次求特解。

由表2.2-2，根据()f n 的形式可知特解()2,0n p y n P n =≥将()p y n ，(1)p y n -和(2)p y n -代入到式（2.2-19），得1224242()2n n n n P P P f n --++==上式中消去2n，可解得14P =，于是得特解 1()(2),04np y n n =≥ 差分方程的全解()()()()()()121222,04nnnh p y n y n y n C n C n =+=-+-+≥ 将已知的初始条件代入上式，有21(0)04y C =+= 121(1)22.214y C C =--+=-由上式可求得11C =，214C =-，最后得方程的全解为11()(2)(2)(2)n 044n n n y n n =-+-+≥自由响应强迫响应，（2.2-20）差分方程的齐次解也称为系统的自由响应，特解也称为强迫响应。