Z变换及离散时间系统分析
离散时间信号与系统的复频域分析——z变换ppt
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6.6.1 数字滤波器的概念
与模拟滤波器相对应，在离散系统中 广泛应用数字滤波器。它的作用是利用离 散时间系统的特性对输入信号波形或频谱 加工处理。或者说，把输入的数字信号通 过一定的运算关系变成所需要的输出数字 信号。
数字滤波器一般可以用两种方法来实 现：一种方法是用数字硬件装配成一台专 门的设备，这种设备称为数字信号处理机； 另一种方法就是将所需要的运算编制成程 序利用计算机软件来实现。
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第6章 离散时间信号与系统的复 频域分析——z变换
6.1 z 变 换 的 定 义 6.2 常 用 序 列 的 z 变 换 6.3 z 变 换 的 性 质 6.4 逆 z 变 换 6.5 离散系统的z域分析 6.6 数 字 滤 波 器 6.7 用MATLAB进行z域分析
离散时间系统与z变换简介
离散时间系统与z变换简介离散时间系统是一种在时间轴上以离散方式运行的系统。
在这种系统中，信号的取样是在特定的时间间隔内进行的，而不是连续地采样。
离散时间系统可以用于模拟实际世界中的许多系统，如数字信号处理、数字滤波器和控制系统等。
离散时间系统的数学表达通常使用z变换。
z变换是一种将离散时间信号转换为复平面上的函数的变换。
它与连续时间系统中的拉普拉斯变换类似，但在z变换中，时间是用离散的步长表示的。
z变换将离散时间系统中的差分方程转换为复平面上的代数表达式，从而方便了对系统的分析和设计。
在离散时间系统中，信号和系统的运算通常使用差分方程进行描述。
差分方程是一种递推关系，它将当前时间步的输入和输出与其之前的时间步的输入和输出之间建立起关联。
z变换提供了一种将这些差分方程转换为代数方程的方法，从而可以更方便地分析系统的特性。
使用z变换，可以计算离散时间系统的频率响应、稳定性和传输函数等重要性质。
频率响应描述了系统对不同频率输入的响应。
稳定性判断了系统是否能够产生有界的输出，而传输函数则表示系统输入和输出之间的关系。
总结来说，离散时间系统是一种以离散方式运行的系统，可以使用z变换进行数学建模和分析。
z变换将离散时间信号和系统转换为复平面上的函数，方便了对系统的频率响应、稳定性和传输函数等特性进行研究。
离散时间系统和z变换在数字信号处理和控制系统等领域具有广泛的应用。
离散时间系统是现代通信、信号处理、控制系统等领域中的核心概念之一。
离散时间系统可以通过对输入信号进行离散采样，以特定的时间间隔获取信号的采样值，从而实现在离散时间点上对信号进行处理和操作。
与连续时间系统不同，离散时间系统的输入和输出信号在时间上都是离散的。
离散时间系统的分析和设计常常采用差分方程描述。
差分方程是一种递推关系，它表达了当前时间步的输入和输出与之前时间步的输入和输出之间的关系。
在离散时间系统中，z变换是一种非常重要的数学工具。
z变换将离散时间信号转换为复平面上的函数，从而方便了对离散时间系统进行数学建模和分析。
离散时间信号、系统和Z变换
冲激信号的强度压缩到原信号的1/2。
第二章信号分析和处理基础
设时域离散系统的输入为x(n)，经过规定的运算，系统输出序 列用 y(n) 表示。设运算关系用 T ［· ］ 表示，输出与输入之间关 系用下式表示：
y(n)=T［x(n)］
其框图如图所示:
在时域离散系统中，最重要的是线性时不变系统，因为很多物 理过程可用这类系统表征。
e j(ω +2πM)n= e jω n,
0 0
M=0,〒1,〒2…
复指数序列具有以2π为周期的周期性。
指数信号
表达式：
f (t ) K e
直流(常数) 指数衰减
指数增长
t
f (t )
0
K
a0 a0 a0
0 0
O
t
重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。
通常把 称为指数信号的时间常数，记作，代表 信号衰减速度，具有时间的量纲。
设输入为x1(n)和x2(n)时，输出分别为y1(n)和y2(n)，即： T[ax1(n)] =3ax1(n)+4;
例2 已知f(t)的波形如图所示，试画出f(-3t-2)的波形
1.5 1 0.5 0 -4 1.5 1 0.5 0 -4 1.5 1 0.5 0 -4 1.5 1 0.5 0 -4
f(t)
-3
-2
-1
0 f(t-2)
1
2
3
4
-3
-2
-1
0
1 f(3t-2)
2
3
4
-3
-2
-1
0
1 f(-3t-2)
2
列就是时域离散信号。 实际信号处理中，这些数字序列值按顺序放在存贮器中，此时 nT 代表
matlab中z变换例题
matlab中z变换例题在MATLAB中，我们可以使用z变换来表示离散时间信号。
z变换是傅里叶变换在离散时间信号上的推广，它将离散时间信号表示为一个复平面上的函数。
通过z变换，我们可以对离散时间系统进行分析和设计。
下面介绍两个使用z变换进行分析的例题。
例题1：计算差分方程的z变换考虑一个差分方程：y[n] = 0.5y[n-1] + x[n] + x[n-1]，其中x[n]是离散时间输入信号，y[n]是输出信号。
我们可以使用z变换将这个差分方程转换为z域的函数。
首先，将差分方程中的y[n]项和x[n]项分别取z变换。
对于y[n]，将y[n-1]替换为z^-1Y(z)，其中Y(z)是y[n]的z变换。
对于x[n]，将x[n]替换为X(z)，其中X(z)是x[n]的z变换。
使用这些变换，将差分方程转换为z域的方程：Y(z) = 0.5z^-1Y(z) + X(z) + z^-1X(z)然后，我们可以通过移项，将Y(z)表示为X(z)的函数：Y(z) = X(z) / (1 - 0.5z^-1)这个方程表示了差分方程在z域的表达式。
通过求解这个方程，我们可以得到Y(z)关于X(z)的解析表达式。
例题2：通过z变换分析LTI系统考虑一个线性时不变(LTI)系统，它的差分方程为y[n] - 0.5y[n-1] = x[n]，其中x[n]是输入信号，y[n]是输出信号。
我们可以使用z变换对这个系统进行分析。
首先，将差分方程中的y[n]和x[n]分别进行z变换。
对于y[n]，将y[n-1]替换为z^-1Y(z)，其中Y(z)是y[n]的z变换。
对于x[n]，将x[n]替换为X(z)，其中X(z)是x[n]的z变换。
使用这些变换，将差分方程转换为z域的方程：Y(z) - 0.5z^-1Y(z) = X(z)然后，我们可以将Y(z)表示为X(z)的函数：Y(z) = X(z) / (1 - 0.5z^-1)这个方程表示了LTI系统在z域的传递函数。
信号与系统_第八章 z变换、离散时间系统的z域分析
Re(z)
C是包围X(z)zn-1所有极点之逆时针闭合积分路线，通常选 择z平面收敛域内以原点为中心的圆。
➢ 求X(z)的反z变换的三种方法 ✓留数法 ✓幂级数展开和长除法 ✓部分分式展开法
中国民航大学 CAUC
8.3 逆z变换
二、部分分式展开法求逆z变换（1）
✓ 步骤 （1）将X(z)除以z，得到X(z)/z=X1(z)； （2）将X1(z)按其极点展成部分分式（其方法与拉氏变换 的部分分式展开完全一致）；
3.x(n)为左边序列
x(n)是无始有终的序列，即当n n2 时, x(n)=0 。
X (z)
n2
x(n)
z
n
x(n)z n
jIm(z)
n
n n2
✓若n20，0z RX2
0
RX2 Re(z)
✓若n20，0z RX2
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8.2 z变换的收敛域
4.x(n)为双边序列
x(n)是从n =延伸到n = 的序列 。
（3）X(z)=zX1(z)，得到X(z)的部分分式展开式；
（4）对X(z)的每一个部分分式进行反z变换，就得到X(z) 对应的序列x(n)。
［例］求 X (z)
z2
( z 1) 的逆z变换。
(z 1)( z 0.5)
中国民航大学 CAUC
8.3 逆z变换
二、部分分式展开法求逆z变换（2）
［例］求收敛域分别为z1和 z1 两种情况下, X (z) 1 2z 1
➢X(z)收敛域的确定必须同时依赖于 ✓ 序列的性质（有限长，右边，左边，双边） ✓ 是对x(n)进行单边还是双边z变换 ✓ X(z)的极点
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Z变换及离散系统分析
ROC
then
X
(z)
1
1 az1
a1
X (z) z
za
例2：x(n)anu(n1)
{ u(n1)
1 n1,,
0 其他
1
X (z) an zn 1 (a1z)n
n
n0
1
1 1 a1z
z
z
a
ROC : a1z 1, z a
ROC: z a
注意：x(n)anu(n)
X (z) z za
X(z) x(n)zn n0
x(nk) zkX(z)n 1kx(n)zn
x(n) 仍为双边序列
x(nk) zkX(z)n k 1 0x(n)zn
（3）x(n) 为因果序列, 则
X(z) X(z)
因果序列的双边Z变换 和其单边 Z 变换相同
x(n k) z k X (z)n 1 kx(n )z n z kX (z) x(nk) zkX(z)n k 1 0x(n)zn
H(z)
r0 N
1 ak zk
B(z) A( z )
k 1
6. H (ej) h(n)ejnH (z)|zej
rejeTsej Ts
得到：
r e Ts Ts
s与 z
z re j |r 1 e j
Ts 2 f fs
X (e j ) x (n )e j n n
离散时间序列的 傅里叶变换，
DTFT
Im [z]
z 平面
0
R e[z]
z 平面 Im [ z ]
r 1
0
R e[z]
Ts2f fs
ROC: 0|z|
双边有限长序列
z0, z
Z变换及离散时间系统分析
Z变换及离散时间系统分析Z变换是一种用于描述离散时间系统的重要数学工具。
离散时间系统是指信号的取样点在时间上离散的系统。
而Z变换可以将离散时间信号从时域（时间域）转换到频域（复频域），并在频域进行分析和处理。
Z变换在数字信号处理、控制系统和通信系统等领域有着广泛的应用。
Z变换的定义为：\[ X(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} x(n)z^{-n} \]其中，\(x(n)\)表示离散时间信号，\(X(z)\)表示该信号的Z变换，\(z\)表示复变量。
通过对离散时间系统的输入信号进行Z变换后，可以得到系统的传递函数。
系统的传递函数是指系统的输出与输入之间的关系。
在离散时间系统中，传递函数可以表示为：\[ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} \]其中，\(Y(z)\)表示系统的输出信号，\(X(z)\)表示系统的输入信号。
通过Z变换可以对离散时间系统进行频域分析。
频域分析可以用来研究离散时间系统的频率特性，比如系统的频率响应、幅频特性、相频特性等。
频域分析可以揭示系统在不同频率下对信号的处理情况，对于设计和优化离散时间系统非常有帮助。
Z变换具有一些重要的性质，可以方便地对离散时间系统进行分析和计算。
其中一些常用的性质包括：1. 线性性质：对于任意常数\(a\)和\(b\)，以及信号\(x(n)\)和\(y(n)\)，有\(Z(a \cdot x(n) + b \cdot y(n)) = a \cdot X(z) + b \cdot Y(z)\)。
这个性质说明Z变换对线性系统是可加性的。
2. 移位性质：如果将信号\(x(n)\)向左或向右移动\(k\)个单位，那么它的Z变换\(X(z)\)也将发生相应的移位，即\(Z(x(n-k)) = z^{-k} \cdot X(z)\)。
这个性质说明Z变换对系统的时移（时延）是敏感的。
3. 初值定理：如果离散时间信号\(x(n)\)在n=0处存在有限值，那么在Z变换中，它的初值可以通过计算\(X(z)\)在z=1处的值得到，即\(x(0) = \lim_{z \to 1}X(z)\)。
Z变换及离散时间系统分析
Z变换及离散时间系统分析Z变换是一种将离散时间信号转换为复平面上的函数的数学工具。
它在离散时间系统的分析和设计中起着重要的作用。
本文将介绍Z变换的定义、性质，以及如何利用Z变换分析离散时间系统。
1.Z变换的定义：Z变换可以将离散时间信号转换为复平面上的函数。
假设有一个离散时间信号x[n]，经过Z变换得到的函数为X(z)。
其定义为：X(z)=Z{x[n]}=∑(x[n]*z^(-n))其中，z是复变量，n为离散时间点。
2.Z变换的性质：Z变换具有许多重要的性质，其中一些性质与连续时间傅里叶变换类似，另一些则是离散时间系统的特有性质。
（1）线性性质：如果x1[n]和x2[n]是离散时间信号，a和b是常数，则有：Z{a*x1[n]+b*x2[n]}=a*X1(z)+b*X2(z)（2）平移性质：如果x[n]的Z变换是X(z)，那么x[n-m]的Z变换是z^(-m)*X(z)。
这意味着在离散时间域上的平移，在Z变换域上相当于乘以z的负幂次。
（3）初值定理和终值定理：如果x[n]的Z变换是X(z)，则有：x[0] = lim(z->∞) X(z)x[-1] = lim(z->0) X(z)（4）共轭对称性：如果x[n]的Z变换是X(z)，那么x*[n]（x[n]的共轭）的Z变换是X*(z)（X(z)的共轭）。
（5）频率抽样定理：如果x(t)是带限信号，那么它的频谱可以通过对x[n]进行离散化来获得，即X(jω)=X(e^(jωT))，其中T是采样间隔。
3.离散时间系统的分析：利用Z变换，可以对离散时间系统进行分析和设计。
通常，我们可以将离散时间系统看作是一个线性差分方程，通过对该差分方程进行Z变换，可以得到系统的传输函数H(z)。
离散时间系统的输入输出关系可以表示为：Y(z)=H(z)*X(z)其中，Y(z)为输出信号，X(z)为输入信号，H(z)为系统的传输函数。
通过分析传输函数H(z)，我们可以确定系统的稳定性、频率响应、相位特性等。
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Fs f(t)estdt
(sj )
F j f (t)ejtdt
X(z) x(n)zn
(zesTs)
(w ΩTs )
2020/10/7
8
2.1 Z变换定义
• Z变换与拉氏变换
理想冲激抽样序列
s(t)T(t) (tnTs)
x(t)：有限带宽信号
通过抽样，得到如下的离散序列：
x s(n T s) x (t)s (t) x (t) (t n T s)x (n T s)(t n T s)
注意：
➢ 积分路径为收敛域内逆时针方向的闭合曲线
➢ 积分路径内部
的极点的留数
➢ 当n取不同的值，z=0处的极点的阶次不同
2020/10/7
20
2.5 Z反变换
已知：
2020/10/7
21
2.5 Z反变换
2020/10/7
22
2.5 Z反变换
2020/10/7
23
2.6 Z变换求解差分方程
2020/10/7
Y(z) X (z)H(z)
Y(z) H(z) X (z)
2020/10/7
31
2.7 转移函数
• FIR系统：h(n)为有限长，输入端不含输出对输入的反 馈，系统总是稳定的
M
H(z)1 b(r)zr r1 M
y(n)b(r)x(nr)x(n) r1 M
h(n) b(r)(nr) r0
h(0)b(0)h ,(1 )b(1 ),.h .(M .,)b(M )h ,(n)0,nM
e t
使得：
limf(te)t 0
t
对 f (t)e t 求傅氏变换得到如下的拉氏变换 ：
Fs f(t)estdt
(sj )
可见，傅氏变换是复平面虚轴上的拉氏变换， 即拉氏变换的特例
2020/10/7
5
2.1 Z变换定义
• 利用差分方程可求离散系统的结构及瞬态解，为了分析 系统的另外一些重要特性，如稳定性和频率响应等，需 要研究离散时间系统的z变换（类似于模拟系统的拉氏变 换），它是分析离散系统和离散信号的重要工具。
akzk
k0 零输入解
2020/10/7
27
2.6 Z变换求解差分方程
例1：
2020/10/7
28
2.6 Z变换求解差分方程
例2：
2020/10/7
29
2.7 转移函数
• 线性时不变离散系统四种表示方法
频率响应
H(ej) h(n)ejn n0
转移函数
（也称系统函数）
H(z) h(n)zn n0
f tdt
傅里叶变换的局限性:
1) 工程中一些信号不满足绝对可积条件[如U(t)];
2) 有些信号不存在傅立叶变换如 et(0)
3) 求反变换时,求 (-∞,∞)上的广义积分,很困难;
4) 只能求零状态响应,不能求零输入响应
2020/10/7
4
2.0 预备内容——
• 拉普拉斯变换
j
引入衰减因子：
ak zk y( j)z j
Y(z) k0
jk N
ak zk
k 0
26
2.6 Z变换求解差分方程
• 全响应
N
1
M
a kz k[Y (z) y(j)zj] b kX (z)z k
k 0
j k
k 0
M
N
1
bkzk
akzk y(j)zj
Y(z)kN0
X(z)k0
jk N
akzk
k0 零状态解
2020/10/7Biblioteka 332.7 转移函数n
h(n)
n n
x(n)zn
n
2020/10/7
34
2.7 转移函数
M
M
(1crz1)
(zcr)
H(z)K
r1 N
Kz(NM)
r1 N
(1drz1)
(zdr)
r1
r1
其中K为实数，用z=e jw代入，即系统的频率响应为：
M
M
(1crejw)
(ejw cr)
15
2.4 Z变换性质
例
(2)中结果不对
2020/10/7
16
2.5 Z反变换
定义及求解法
2020/10/7
17
2.5 Z反变换
• 长除法——幂级数展开
X(z) x(n)zn n0
2020/10/7
18
2.5 Z反变换
• 部分分式
|z|＞1/2
2020/10/7
19
2.5 Z反变换
• 留数法 x(n) re[sX(z)zn1]zzk k
2.7 转移函数
频响几何分析示例一
2020/10/7
36
2.7 转移函数
频响几何分析示例二
H(e j )
。
。
0 2
零点在单位圆上：0,
极点在 /2 , 3 /2
2020/10/7
3 2 ω
2
37
2.7 转移函数
频响几何分析示例三
2020/10/7
38
结束
2020/10/7
39
统的零点和极点。
✓ 分析系统因果性
✓ 分析系统稳定性:一个LTI系统稳定的充要条件是其所有的极 点位于单位圆内
✓ 估计系统频率响应：几何分析法
✓ 数字滤波器设计的一般法则：阻止一个频率，在单位圆相应 频率处设置一个零点；突出一个频率，在单位圆内相应频率 处设置一个极点，且越接近单位圆，幅频响应的幅值越大。
H(ejw) K
r1 N
Kej(NM)w
r1 N
(1drejw)
(wjw dr)
r1
r1
| H(ejw)| ejarg[H(ejw)]
其模等于： 其相角为：
M
| (e jw cr ) |
| H (e jw) || K |
r 1 N
| (e jw dr ) |
r 1
M
N
2020/10/7 a r g [ H ( e j w ) ] a r g [ K ] r 1 a r g [ e j w c r ] r 1 a r g [ e j w d r ] ( N 3M 5 ) w
几条重要性质
z变换
收敛域
X(z) H(z) aX(z)+bH(z) z-mX(z) X*(z*) X(1/z) X(z)H(z)
Rx-<|z|<Rx+ Rh-<|z|<Rh+ max[Rx-，Rh-] <|z|min[Rx+, Rh+] Rx-<|z|<Rx+ Rx-<|z|<Rx+ 1/Rx+<|z|<1/Rxmax[Rx-，Rh-] <|z|min[Rx+, Rh+]
第二章 Z变换及离散时间系统分析
Chapter 2 Z-Transform and Discrete Time Systems
Analysis
2020/10/7
1
思考
• 本章z变换分析法，即离散信号与系统的 “频率域分析”，与前一章“时域分析” 相对。
• 思考：为什么要进行“频域分析”？
2020/10/7
• IIR系统： h(n)为无限长，输入端包含输出对输入的反 馈，存在稳定性问题
2020/10/7
32
2.7 转移函数
• 零极点分析
由式2.1因式分解，得到：
M
M
(1-cmz-1)
(zcm)
H(z)KmN1
Kz(NM)
m1 N
(1-dkz-1)
(zdk)
k1
k1
使以上转移函数分子、分母多项式等于零的z值分别称为系
n
n
2020/10/7
9
2.1 Z变换定义
j
• Z变换与拉氏变换
X s L[xs (nTs )] xs (nTs )es tdt [ x(nTs ) (t nTs )]es tdt
n
x(nTs ) (t nTs )es tdt
n
x(nTs )es nTs n
|z|<|α|
n u(n)
z -1 (1 - z -1) 2
|z|>1
α z -1
2020/10/n7αn u(n)
(1 - αz -1) 2
|z|>|α|
14
2.4 Z变换性质
序列 x(n) h(n) ax(n)+bh(n) x(n-m) x*(n) x(-n) x(n)*h(n)
2020/10/7
24
2.6 Z变换求解差分方程
零状态解
2020/10/7
25
2.6 Z变换求解差分方程
• II)求暂态解（零输入解）
N
ak y(n k) 0
Z T [y (n - k )u (n )]
k 0
= y ( n k ) z n n0
z k y ( n k ) z ( n k ) n0
5. 极点：分母多项式Q(z)的根
2020/10/7
13
2.3 常用序列Z变换
序列
Z变换
收敛域
δ(n)
1
全Z平面
1
u(n)
|z|>1
1 - z -1
αn u(n)
1 1 - αz -1
|z|>|α|
RN (n)
1 - z -N 1 - z -1
|z|>0