Z变换和离散时间系统的Z域分析
Z变换离散时间系统的Z域分析
| x[n] | M
n1
z 1
显然lim X (z) x[0]
z
学习材料
22
§8.2 Z变换及其收敛域
终值定理：假设n<0，xn]=0,则序列的终值为
lim x[n] lim{( z 1)X (z)}
n
z1
证明：利用单边Z 变换时移性质，有：
Z{x[n 1]} x[n 1]zn zX (z) zx[0] n0
注：交集 R1 一R2般小于R1或R2。但有时会扩大，如
零点与极点相消时。
学习材料
15
§8.2 Z变换及其收敛域
2).时域平移(双边信号〕
x[n] X (z), ROC Rz x[n n0 ] zn0 X (z), ROC Rz ,
证明：依据双边Z变换的定义式，有
Z[x[n n0 ]} x[n n0 ]zn zn0 x[k]zk
X (z) x[n]r ne jn DTFT{x[n]r n} n
DTFT{x[n] | z |n}
即x[n] | z |n 是收敛的
假设 x[n] | z |n x[n] n , n由0 .
| z |n n | z |
即，右边函数时收敛域为| z|>α的圆外地域。
其它信号依学习此材料 类推…。
z
,
n0
z 1
极点z1 1,
1
Re
∴收敛域为 |z|>1 的单位圆以外。
ROC | z | a
例8-2.求 x[n] anu的[nz变1换] 。xn]是一个从-1到-∞的左
边序列。
解：
X (z) x[n]zn anu[n 1]zn
n
n
1
第八章-Z变换与离散系统z域分析
第八章：Z 变换§8.1 定义、收敛域（《信号与系统》第二版（郑君里）8.1，8.2，8.3）定义（Z 变换）： ♦序列()x n 的双边Z 变换：()(){}()nn X z x n x n z+∞-=-∞∑Z（8-1）♦序列()x n 的单边Z 变换：()(){}()0n n X z x n x n z +∞-=∑Z（8-2）注：1）双边：()()()()10nnn n n n X z x n zx n zx n z +∞-∞+∞---=-∞=-===+∑∑∑（8-3）为Laurent 级数，其中，()1nn x n z-∞-=-∑是Laurent 级数的正则部，()0nn x n z+∞-=∑是主部。
2）z 是复平面上的一点图8-13）对因果序列：单边Z 变换=双边Z 变换。
♦定义（逆Z 变换）：对双边Z 变换()()nn X z x n z+∞-=-∞=∑()1C1d 2j m z X z z π-⎰(1C 12j m n z x π+∞-=-∞⎡=⎢⎣∑⎰ ()C 12j m n x n z π+∞=-∞⎡=⎢⎣∑⎰由Cauchy 定理，有1C d 0,2j m n z z m nπ--=⎨≠⎩⎰ （8-4）其中，C 为包围原点的闭曲线，()()1C1d 2j m x m z X z z π-∴=⎰上式= 定义：()()(){}11C1d 2j n x n z X z z X z π--==⎰Z（8-5）注：（8-4）的求解：j z re θ=，j d j d z r e θθ=，则有()()21110C 2011d 2j 2j 1102j m n m n m n j j m n m n z z r e rje d m n r e d m nπθθπθθππθπ--------==⎧==⎨≠⎩⎰⎰⎰，，图8-2 柯西定理证明示意图收敛域： ♦定义（收敛域）：对有界()x n ，使()()nn X z x n z+∞-=-∞=<∞∑一致的z 的集合。
第二章z变换
ˆ ( s ) Lx (t ) L x(nT ) (t nT ) Xs s n
st ˆ s x t e st dt XS x(nT ) (t nT )e dt s n
解：
X 1 ( z ) Z x1[n] a n z n
n0
如果|z|>a, 则上面的级数收敛， 1 z n n X1 ( z) a z 1 za 1 az n0
X 2 ( z ) Z x2 [n]
n
z a
(a n ) z n
lim
n
an1 ρ an
2．根值判定法 即令正项级数的一般项 a n 的n次根的极限等于，
lim n a n
n
则
<1：收敛 =1：可能收敛也可能发散 >1：发散
例2.1
例已知两序列分别为x1[n]=anu[n]， x2[n]= -anu[-n-1]，分别 求它们的z变换，并确定它们的收敛域。
1
a z 1 (a 1 z ) n
n n n 1 n0
1 z 1 1 1 a z z a
za
两个不同的序列对应于相同的z变换，但它们的收敛域不同。
三 几类序列的Z变换收敛域
1、有限长序列 此序列只在有限的区间(n1n n2)具有非零的有限值， 此时，Z变换为： n2
n
b u ( n 1)z
n
n
= a z
n n 0
n
n
b
n 0
1
z
n
= a z
实验十一z变换及离散时间系统z域分析分析解析
南昌大学实验报告学生姓名： 周倩文 学 号： 6301712010 班级： 通信121班实验类型： ■验证□综合□设计□创新 实验日期： 5月30号 实验成绩：z 变换及离散时间系统的Z 域分析一、目的（1）掌握利用MATLAB 绘制系统零极点图的方法 （2）掌握离散时间系统的零极点分析方法（3）掌握用MATALB 实现离散系统频率特性分析的方法 （4）掌握逆Z 变换概念及MATLAB 实现方法二、离散系统零极点线性时不变离散系统可用线性常系数差分方程描述，即()()N Miji j a y n i b x n j ==-=-∑∑ （8-1）其中()y k 为系统的输出序列，()x k 为输入序列。
将式（8-1）两边进行Z 变换的00()()()()()Mjjj Nii i b zY z B z H z X z A z a z-=-====∑∑ （8-2） 将式（8-2）因式分解后有：11()()()Mjj Nii z q H z Cz p ==-=-∏∏ （8-3）其中C 为常数，(1,2,,)j q j M =为()H z 的M 个零点，(1,2,,)i p i N =为()H z 的N 个极点。
系统函数()H z 的零极点分布完全决定了系统的特性，若某系统函数的零极点已知，则系统函数便可确定下来。
因此，系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有非常重要意义。
通过对系统函数零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性：● 系统单位样值响应()h n 的时域特性； ● 离散系统的稳定性； ● 离散系统的频率特性；三、离散系统零极点图及零极点分析 1．零极点图的绘制设离散系统的系统函数为()()()B z H z A z =则系统的零极点可用MATLAB 的多项式求根函数roots()来实现，调用格式为：p=roots(A)其中A 为待根求多项式的系数构成的行矩阵，返回向量p 则是包含多项式所有根的列向量。
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第8章 z变换、离散时间系统的z域分
（7）
X
z
1 2
n
u
n
u
n
10
z
n
9 n0
1 2
n
z
n
9 n0
1 2z
n
1
1 2z
1 1
10
z 0
2z
X（z）的零、极点分布图如图 8-2-1（g）所示。
（8）
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X
z
n台
1 2
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台
第 8 章 z 变换、离散时间系统的 z 域分析
8.1 复习笔记
从本章开始陆续讨论 Z 变换的定义、性质以及它与拉氏变换、傅氏变换的联系。在此 基础上研究离散时间系统的 z 域分析，给出离散系统的系统函数与频率响应的概念。通过 本章，读者应掌握对于离散时间信号与系统的研究，是先介绍 z 变换，然后引出序列的傅 里叶变换以及离散傅里叶变换（第九章）。
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于实轴的直线映射到 z 平面是负实轴；
（3）在 s 平面上沿虚轴移动对应于 z 平面上沿单位圆周期性旋转，每平移 ωs，则沿
单位圆转一圈。
2．z 变换与拉氏变换表达式
Z
x nT X z zesT X s Z
n
u
n
1 3
n
u
n
z
n
n
（3）
X
z
n
1 3
n
u
n
z
n
n0
第八章_离散时间系统的z域分析4_北京交通真题库_大学915916通信系统及原
z0
七阶极点
j Im[z]
z
1 3
一阶极点
Re[z]
z 0
27
§8.4 逆z变换
X (z) ZT[x(n)] x(n)zn n
x(n) ZT 1[ X (z)] 1 X (z)zn1dz
2 j C
C是包围X(z)zn-1所有极点的逆时针闭合积分路线，一
般取z平面收敛域内以原点为中心的圆。
n0
n
an zn 1 bn zn
n0
n0
z a, z b
X (z) z 1 b za zb zz
za zb
25
jIm(z)
a
0
Re(z)
jIm(z)
a
0 b
Re(z)
图8.1序列单边Z变换的收敛域
图8.2序列双边Z变换的收敛域
当 z a时，X (z) z 当a z b时，X (z) z z
d s j
j
)
!
d
zs
j
(z
zi )s
X (z)
z
zzi
32
或X (z)
A0
M m1
1
Am zm
z
1
s j 1
Cj (1 zi z1) j
A0
M m1
Am z z zm
C1z z zi
C2 z2 (z zi )2
Cs (z
zs zi )s
Cs
1 zi z1
s
X
(
z
)
z
6
§8.2 z变换的定义、典型序列的z变换
➢ 借助于抽样信号的拉氏变换引出。 ➢ 连续因果信号x(t)经均匀冲激抽样，则抽样信号xs(t)
第8章Z变换及其离散时间系统的Z域分析
第8章Z变换及其离散时间系统的Z域分析第8章Z变换及其离散时间系统的Z域分析学习⽬标了解z变换与拉⽒变换之间的联系掌握不同序列收敛域的特点熟练掌握基本信号的z变换及其基本性质熟练利⽤基本信号的z变换和基本性质求解信号的变换式熟练掌握求逆变换的部分分式展开法、长除法掌握周期信号的z变换及其逆变换的求解⽅法理解并掌握系统函数的概念及其4种求解⽅法掌握利⽤系统函数零极点分析系统的稳定性掌握系统函数与系统框图之间的对应关系重点定义式的透彻理解基本性质的灵活应⽤周期序列的z变换由系统函数零极点分析系统特性系统函数、差分⽅程、冲激响应及系统框图之间的内在联系难点周期序列的z变换由系统函数零极点分析系统特性H z画出系统的仿真框图和信号流图根据()8.1 Z 变换的定义8.1.1 Z 变换的基本定义1. Z 变换的定义对于给定的离散时间信号，Z 变换定义：()nn F z f n z ∞-=-∞=∑（）简记为：[]()[()]Z+-+-++++（）（）（）（）（）当0n <时，它是 z 的正幂级数；⽽当0n >时，它是 z 的负幂级数。
牢记这个特征，对今后的学习是很有帮助的。
对⼀些简单的序列，我们可以利⽤这个特征直接写出其变换式。
例题：()2(3)3(2)4(1)3()2(2)f n n n n n n δδδδδ=+++++++- 则该序列的Z 变换式为322()[()]()23432nn F z Z f n f n z z z z z ∞-=-∞-===++++∑由此也可以看到， Z 变换是由各个样点序列值的Z 变换之和组成，每个样点的序列值都对应⼀个 Z 变换。
如果()f n 是右边序列，⼜称为因果序列。
则：单边Z 变换：0()()nn F z f n z∞-==∑，简记为：()()Zf n F z ←?→Z 变换和拉普拉斯变换之间的关系，可以利⽤采样信号拉普拉斯变换说明如下： ()()()()()s n n f nT f t t nT f nT t nT δδ+∞+∞=-∞=-∞=-=-∑∑()()snTs n F s fnT e +∞-=-∞=∑ 令sTz e =，T=1,则()()ns n F z f n z=∑定义表明：Z 变换()F z 是关于复变量z 的幂级数。
Z变换与离散时间系统的Z域分析
第9章Z 变换与离散时间系统的Z 域分析z 变换是对离散序列进行的一种数学变换，其原始思想是英国数学家狄莫弗（De Moivre ）于1730年首先提出的，之后，从19世纪的拉普拉斯（place ）至20世纪的沙尔（H.L.Shal ）等数学家不断对其进行了完善性研究。
z 变换在工程上的应用直到20世纪50年代与60年代随着采样数据控制系统、数字通信以及数字计算机的研究与实践迅速开展才得以实现，并成为分析这些离散系统的重要数学工具。
类似与连续系统分析中拉氏变换可以将线性时不变系统的时域数学模型—微分方程转化为s 域的代数方程，z 变换则把线性移 (时)不变离散系统的时域数学模型—差分方程转换为z 域的代数方程，使离散系统的分析同样得以简化，还可以利用系统函数来分析系统的时域特性、频率响应以及稳定性等，因而在数字信号处理、计算机控制系统等领域中有着非常广泛的应用。
本章主要讨论z 变换的定义、收敛域、性质等基础知识，并在此基础上研究离散时间系统的z 域分析、离散时间系统的频域分析等方面的内容。
9.1 Z 变换的定义z 变换的定义可以从两个方面引出，一是由采样信号的拉氏变换过渡到z 变换，二是直接针对离散信号得出。
为了强调拉氏变换与z 变换之间的联系，首先从抽样信号的拉氏变换推演出z 变换。
9.1.1 从抽样信号的拉氏变换导出z 变换定义在区间t -∞<<∞上的任意有界连续信号()()()x t x t <∞经过单位冲激周期信号 ()()T n t t nT δδ∞=-∞=-∑ 抽样后所得到的抽样信号()s x t 可以表示为()()()()()()()s T n n x t x t t x t t nT x nT t nT δδδ∞∞=-∞=-∞==-=-∑∑ （9.1）式（9.1）中，T 为抽样间隔，对式（9.1）取双边拉氏变换可得()()()()st st s s n X s x t e dt x nT t nT e dt δ∞∞∞---∞-∞=-∞⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦∑⎰⎰ 交换积分与求和次序，并利用冲激函数的性质可得()()() ()st snT s n n X s x nT t nT e dt x nT e δ∞∞∞---∞=-∞=-∞=-=∑∑⎰ （9.2） 式（9.2）中snT e -并非复变量s 的代数式，故引入一个新的复变量z ，即令11n sT z e s z T ⎫=⎪⎬=⎪⎭（9.3） 这样，式（9.2）变为变量z 的函数，有()()1ln ()n s s z T n X s x nT z X z ∞-==-∞==∑ （9.4）于是得到一个以z 为变量的代数式，即序列()x nT 的z 变换()X z ，其本质上是序列()x nT 的拉氏变换。
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Z[x(n)]
z z 1
z2
z 1
z2
z 1
z2
,
z
1
33
3. Z域尺度变换(乘以指数序列)
如果 Z [x(n) ]X (z),R xzR x，则
Z [a nx (n ) ]X (z); a
aR x za R x
证明： Z[a n x(n)] a n x(n) z n
n
x(n)( z )n X ( z ) ;
25
（2）部分分式法
X(z)a0 b 0 a 1 b z 1z b a r k1 z 1z r k 1 1 br a zkrzk
只有一 阶极点
k r
A0
b0 a0
X(z)A0
k
Amz
m1zpm
kr A00
X(z) mk11Apm mz1
X (z)
Am 是 z 在 Pm 处的留数
23
例 X (z) z32z21 (z1 ) x(n)? Z(z 1 )z(0.5)
解 z1 x(n) 必然是因果序列，右边序列
x(n) Res[X(z)zn1]zzm
n
z3 2z2 1 Resz(z1)(z0.5)
zn1 zzm
n2, z11, z2 0.5
n0, z11, z2 0.5, z3,4 0
rm
(m 0 z 0, )
(m 0, z 0)
1
(3) ZT[(n1)] (n1)zn (n1)zn
n
n0
z10z
(0z)
15
Z[u T (n ) ]n 0 u (n )z n 1 1 z 1 z z1 (z 1 )
Z[n T (n u ) ]n 0n(n u )z n (1 1 z 1 )2 (z z1 )2
2j C 22
x(n) 1 X(z)zn1dz
2j C
用留数求 围线积分
Res[X(z)zn1]zzm
一阶极点：
n
R s [ X ( z e ) z n 1 ] z z m [z ( z m ) X ( z ) z n 1 ] z z m
S 阶极点：
(s 11) !d dss z 11[X(z)zn1(zzm)s] zzm3j Im[z]
1 z 3 3
Re[ z ]
13
§8.3 典型序列的Z变换
• 单位样值序列 • 单位阶跃序列 • 斜变序列 • 指数序列 • 正弦余弦序列
14
(1 ) Z[T (n) ] (n)z n1(z0)
n 0
(2) ZT [ (n m)] (n m) z n
n0
(r ) z (r m) z m
X (z)n 0x(n)z nx(0)x(z1 )xz (2 2)
收敛域：当x(n)为有界时，令上述级数收敛的 z的
所有可取的值的集合称为收敛域
1）比值判别法 lim an1
n an
2) 根值判别法
limn
n
an
1 1 1
4
例：
x(n)anu(n)
X(z) anzn (a z1)n
第八章、Z变换和离散时间系统 的Z域分析
本章要点 • Z变换的基本概念和基本性质 • 利用Z变换解差分方程 • 离散系统的系统函数 • 离散系统的频率响应 • 数字滤波器
1
§8.1 Z变换的定义—由拉氏变
换引出Z变换
• 有抽样信号 xs(t) x(nT)(tnT)
• 单边拉氏变换
n0
X s (s)
dz
dz n
n
dz
nx (n ) z n 1 z 1
nx(n)z n
n
n
即， Z [nx (n)] z dX ( z ) dz
35
5. 共轭序列
如果 Z [x(n) ]X (z),R xzR x ，则
Z[x*(n)]X*(z*)，Rx z Rx ; 其中， x*(n)为x(n)的共轭序列。
（1）双边序列：只在 n区间内，
有非零的有限值的序x列(n)
X(z) x(n)zn n
n
1
X(z) x(n)zn x(n)zn
n
n0
j Im[z]
圆内收敛
圆外收敛
Rx2 Rx1
Rx2 Rx1 Rx2 Rx1
有环状收敛域 没有收敛域
Re[ z ]
9
例： (1) x(n)1nu(n) 3
X(z) x(n)zn nn1
n1n
圆外为
收敛域
lim n x ( n ) z n 1
n
j Im[z]
lim n
n
x(n)
R x1
z
R x1
z R x1
Re[ z ]
收敛半径
7
（1）左边序列：只在n n2区间内，有非零的有限值的序列 x(n)
n2
X(z) x(n)zn n
nn2
n
a
a
Rx
z a
Rx;即
a Rx
z
a Rx
34
4. 序列的线性加权(Z域求导数)
如果 Z [x(n) ]X (z),R xzR x，则
Z [n(n x ) ] zd dX z(z),R xzR x
证明：X ( z )
x(n) z n , 对其两端求导得
n
dX ( z ) d [ x (n) z n ] x (n) d ( z n )
z8
(
1 3
)
8
e
j2 k
z e1
j
2
K 8
3
8个零点
z0
7阶极点
z
1 3
一阶极点
收敛域为除了 0 和
z 的整个 平面
j Im[z]
Re[ z ]
12
例：
(4) x(n) 1n
双边序列
3
X(z)
1
1 n
zn
1
z1
n
n 3
n0 3
z 1
8 3
z
z 3 z 1 (z 3)(z 13)
zm 1 X (z )d z zm 1 x (n )z n d z x (n )z n m 1 d
C
C n 0
n 0 C
21
• 由复变函数中的柯西定理
Czk1dz20j
k0 k0
• 只有右边的 nm 1 1即nm一项，
• 于是
X (z)zn1dz 2jx(n)
C
• 逆变换 x(n) 1 X (z)z n1dz
右边序列
X(z)1z1n
n03
1 11z1
zz1
3
3
j Im[z]
1 R x1 3
R x1
1 3
z 1 3
1
Re[ z ]
3
10
例： (2) x(n)1nu(n1) 3
X(z)
1
1
z1n
nm
1 z1 m
n 3
m13
左边序列
1 (3z)m
m0
1113z1
z
z 1
3
j Im[z]
R x2
30
Z变换的基本性质和定理
1.线性
如果 Z[x(n)]X(z),RxzRx 则有： Z[y(n)]Y(z),Ry z Ry
Z[a(x n)b(y n) ]a(X z)b(Y z), maRxx ,R (y)zmiRn x,R (y)
*即满足均匀性与叠加性； *收敛域为两者重叠部分。
31
[例]已知 x(n)co0 sn)(u(n),求其z变换。
m n
nm
X(z) x(m )zm x(n)zn
圆内为收敛域，
若 n2 0
则不包括z=0点
m n2
nn2
j Im[z]
lim n x ( n ) z n 1
R x2
n
lim n x ( n ) z 1
n
Re[ z ]
1 z lim n x ( n ) R x 2
收敛半径
n
8
证明：Z[x*(n)] x*(n)zn [x(n)(z*)n]*
n
n
[ x(n)(z*)n]*X*(z*)，Rxz Rx; n
X(z) k Am
z m1 z pm
26
A mRs e X z (z) zpm X z (z)(zpm ) zpm
k
( z R) x(n) Ampm nu(n)A0(n) m1 k
( z R) x(n) A mpm nu(n1)A 0(n) m 1
27
含有M个一阶 S个高阶极点
解：
cos(0n)u(n)
1 [e j0n e j0n ]u(n) 2
Z[anu(n)]
1 1 az1
,
z
a
Z[e
j u0n (n)]
1
1 e j0
z
1
,
z
e j0
1
Z[e
j0nu(n)]
1
1 e j0
z 1
,
z
e j0
1
因此，Z[cos(0n)u(n)]
11
2
[ 1
e
j0
z
1
1 1 e j0 z1 ],
X(z)A0m M 1zA mpzmjS1zBjzj
Bj (s 1j)!d dss zjj
(zj)s
X(z)
z
zj
部分分式为
另一种形式
X(z)A0m M 1zA m p zmjS 1(zC jzjj)j