Z变换及离散时间系统.
26利用Z变换分析信号和系统的频域特性
26利用Z变换分析信号和系统的频域特性Z变换是一种用于分析离散时间信号和离散时间系统频域特性的数学工具。
在这篇文章中，我们将介绍Z变换的定义、性质以及如何利用Z变换分析信号和系统的频域特性。
首先，我们来定义Z变换。
对于一个离散时间信号序列x[n]，它的Z 变换被定义为：X(z) = ∑(from n=0 to ∞) x[n] * z^(-n)其中，z为复变量。
Z变换将一个离散时间信号序列映射到一个复平面上的函数。
通过计算X(z)，我们可以得到信号x[n]的频域特性。
下面，我们来讨论一些Z变换的性质。
首先是线性性质。
对于两个离散时间信号序列x1[n]和x2[n]，以及它们的Z变换X1(z)和X2(z)，以及常量a和b，则有：Z(a*x1[n]+b*x2[n])=a*X1(z)+b*X2(z)也就是说，Z变换具有线性性质。
另一个重要的性质是时移性。
对于一个离散时间信号序列x[n-k]，以及它的Z变换X(z)，则有：Z(x[n-k])=z^(-k)*X(z)这意味着在时域上的延迟会导致复平面上的旋转。
接下来，我们来讨论如何利用Z变换分析信号的频域特性。
首先，我们需要确定信号的Z变换X(z)。
对于一个给定的离散时间信号x[n]，我们可以通过对它进行Z变换的计算得到X(z)。
然后，我们可以通过观察X(z)在复平面上的分布来分析信号的频域特性。
例如，我们可以通过计算X(z)的极点和零点来确定信号的稳定性。
如果X(z)的所有极点都位于单位圆内，那么信号是稳定的；否则，信号是不稳定的。
另外，我们还可以通过计算X(z)的幅度和相位特性来分析信号的频域特性。
信号的幅度特性可以通过计算，X(z)，来获得，而信号的相位特性可以通过计算arg(X(z))来获得。
除了分析信号的频域特性，Z变换还可以用于分析离散时间系统的频域特性。
对于一个离散时间系统的冲激响应h[n]和输入信号x[n]，它们的Z变换分别为H(z)和X(z)。
离散时间信号及其Z变换
离散时间信号及其Z变换离散时间信号是信号与时间变量在一系列离散时间点上取值的函数，它在数字信号处理中有着重要的应用。
离散时间信号与连续时间信号类似，也可以通过不同的数学工具进行分析和处理。
其中，Z变换是离散时间信号的重要工具之一。
离散时间信号是在一系列离散时间点上取值的函数，这些离散时间点可以是整数、实数或复数。
离散时间信号通常用序列表示，即按一定顺序排列的值的集合。
离散时间信号可以是有限长度的，也可以是无限长度的。
离散时间信号在很多领域都有广泛的应用，包括通信、控制系统、数字图像处理等。
在通信系统中，信号可以是传输数据的形式，例如音频信号、视频信号等。
在控制系统中，离散时间信号可以作为控制信号，用于调整系统的状态和输出。
在数字图像处理中，图像可以被表示为二维离散时间信号，通过对其进行处理，可以实现图像的增强、压缩等功能。
Z变换是一种重要的工具，能够将离散时间信号从时域转换到复频域。
Z变换本质上是一种数学变换，它将离散时间信号转换为复平面上的函数。
Z变换的定义是通过对离散时间信号的每个样本点进行加权求和得到。
离散时间信号的Z变换可以表示为：X(z) = ∑[x(n) * z^(-n)] (n从负无穷到正无穷)其中，X(z)是离散时间信号X(n)的Z变换，x(n)是离散时间信号X(n)在时间点n上的取值，z是复平面上的变量。
通过Z变换，我们可以将离散时间信号转换到复频域，从而可以进行频域分析和处理。
在Z平面上，可以通过观察X(z)的性质来分析离散时间信号的频域特性，例如振幅谱、相位谱等。
我们还可以通过对Z变换进行逆变换，将离散时间信号恢复到时域。
Z变换的性质包括线性性、平移性、时域乘法、频域卷积等。
这些性质使得Z变换在信号处理中有着广泛的应用。
通过Z变换，我们可以分析离散时间系统的稳定性、频率响应、脉冲响应等。
此外，Z变换还可以用来设计离散时间系统，例如数字滤波器的设计等。
总结来说，离散时间信号及其Z变换在数字信号处理中起着重要的作用。
离散时间系统与z变换简介
离散时间系统与z变换简介离散时间系统是一种在时间轴上以离散方式运行的系统。
在这种系统中，信号的取样是在特定的时间间隔内进行的，而不是连续地采样。
离散时间系统可以用于模拟实际世界中的许多系统，如数字信号处理、数字滤波器和控制系统等。
离散时间系统的数学表达通常使用z变换。
z变换是一种将离散时间信号转换为复平面上的函数的变换。
它与连续时间系统中的拉普拉斯变换类似，但在z变换中，时间是用离散的步长表示的。
z变换将离散时间系统中的差分方程转换为复平面上的代数表达式，从而方便了对系统的分析和设计。
在离散时间系统中，信号和系统的运算通常使用差分方程进行描述。
差分方程是一种递推关系，它将当前时间步的输入和输出与其之前的时间步的输入和输出之间建立起关联。
z变换提供了一种将这些差分方程转换为代数方程的方法，从而可以更方便地分析系统的特性。
使用z变换，可以计算离散时间系统的频率响应、稳定性和传输函数等重要性质。
频率响应描述了系统对不同频率输入的响应。
稳定性判断了系统是否能够产生有界的输出，而传输函数则表示系统输入和输出之间的关系。
总结来说，离散时间系统是一种以离散方式运行的系统，可以使用z变换进行数学建模和分析。
z变换将离散时间信号和系统转换为复平面上的函数，方便了对系统的频率响应、稳定性和传输函数等特性进行研究。
离散时间系统和z变换在数字信号处理和控制系统等领域具有广泛的应用。
离散时间系统是现代通信、信号处理、控制系统等领域中的核心概念之一。
离散时间系统可以通过对输入信号进行离散采样，以特定的时间间隔获取信号的采样值，从而实现在离散时间点上对信号进行处理和操作。
与连续时间系统不同，离散时间系统的输入和输出信号在时间上都是离散的。
离散时间系统的分析和设计常常采用差分方程描述。
差分方程是一种递推关系，它表达了当前时间步的输入和输出与之前时间步的输入和输出之间的关系。
在离散时间系统中，z变换是一种非常重要的数学工具。
z变换将离散时间信号转换为复平面上的函数，从而方便了对离散时间系统进行数学建模和分析。
离散时间信号、系统和Z变换
冲激信号的强度压缩到原信号的1/2。
第二章信号分析和处理基础
设时域离散系统的输入为x(n)，经过规定的运算，系统输出序 列用 y(n) 表示。设运算关系用 T ［· ］ 表示，输出与输入之间关 系用下式表示：
y(n)=T［x(n)］
其框图如图所示:
在时域离散系统中，最重要的是线性时不变系统，因为很多物 理过程可用这类系统表征。
e j(ω +2πM)n= e jω n,
0 0
M=0,〒1,〒2…
复指数序列具有以2π为周期的周期性。
指数信号
表达式：
f (t ) K e
直流(常数) 指数衰减
指数增长
t
f (t )
0
K
a0 a0 a0
0 0
O
t
重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。
通常把 称为指数信号的时间常数，记作，代表 信号衰减速度，具有时间的量纲。
设输入为x1(n)和x2(n)时，输出分别为y1(n)和y2(n)，即： T[ax1(n)] =3ax1(n)+4;
例2 已知f(t)的波形如图所示，试画出f(-3t-2)的波形
1.5 1 0.5 0 -4 1.5 1 0.5 0 -4 1.5 1 0.5 0 -4 1.5 1 0.5 0 -4
f(t)
-3
-2
-1
0 f(t-2)
1
2
3
4
-3
-2
-1
0
1 f(3t-2)
2
3
4
-3
-2
-1
0
1 f(-3t-2)
2
列就是时域离散信号。 实际信号处理中，这些数字序列值按顺序放在存贮器中，此时 nT 代表
Z变换及其在离散系统中的应用
Z变换及其在离散系统中的应用Z变换是一种在信号处理和控制系统中广泛应用的数学工具。
它可以将离散时间信号转换为连续复平面上的函数，从而方便进行系统分析和设计。
本文将介绍Z变换的定义及其在离散系统中的应用。
一、Z变换的定义Z变换是一种将离散时间信号转换为连续复平面上的函数的数学变换方法。
它可以将离散时间信号转换为Z域中的复函数，为信号处理和控制系统的研究提供了便利。
Z变换的定义如下：X(z) = ∑[x(n) * z^(-n)]其中，X(z)是Z变换的结果，x(n)是离散时间信号，z是复平面上的复数。
在Z变换中，z的取值是复平面上的任意一点。
通过改变z的取值，可以得到不同的频域特性。
常见的选取方式有单位圆上的点、单位圆内的点以及单位圆外的点等。
二、Z变换的性质Z变换具有许多有用的性质，这些性质对于分析和设计离散系统非常有帮助。
以下是Z变换的几个重要性质：1. 线性性质：Z变换是线性的，即对于信号的和或差的Z变换等于该信号的Z变换的和或差。
2. 移位定理：对于离散时间序列，将序列向右或向左移动n个单位时，其Z变换结果乘以z的-n次方。
3. 初值定理：序列的初始值等于其Z变换在z=1处的值。
4. 终值定理：序列的最终值等于其Z变换在z=0处的值。
5. 延时定理：将序列推迟n个单位时，其Z变换结果乘以z的n次方。
三、Z变换在离散系统中的应用Z变换在离散系统中有广泛的应用。
它可以用来描述系统的传递函数，进而进行系统的分析和设计。
以下是几个常见的应用场景：1. 系统稳定性分析：通过对系统的传递函数进行Z变换，可以得到系统在Z域中的极点分布。
通过判断极点的位置，可以判断系统的稳定性。
2. 频率响应分析：通过将频域信号进行Z变换，可以得到系统在Z 域中的频率响应。
通过分析频率响应，可以了解系统对不同频率信号的特性。
3. 离散滤波器设计：Z变换可以用来分析和设计离散滤波器。
通过对滤波器的输入输出进行Z变换，可以得到滤波器的传递函数，并基于传递函数进行进一步设计和优化。
Z变换及离散时间系统分析
Z变换及离散时间系统分析Z变换是一种用于描述离散时间系统的重要数学工具。
离散时间系统是指信号的取样点在时间上离散的系统。
而Z变换可以将离散时间信号从时域（时间域）转换到频域（复频域），并在频域进行分析和处理。
Z变换在数字信号处理、控制系统和通信系统等领域有着广泛的应用。
Z变换的定义为：\[ X(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} x(n)z^{-n} \]其中，\(x(n)\)表示离散时间信号，\(X(z)\)表示该信号的Z变换，\(z\)表示复变量。
通过对离散时间系统的输入信号进行Z变换后，可以得到系统的传递函数。
系统的传递函数是指系统的输出与输入之间的关系。
在离散时间系统中，传递函数可以表示为：\[ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} \]其中，\(Y(z)\)表示系统的输出信号，\(X(z)\)表示系统的输入信号。
通过Z变换可以对离散时间系统进行频域分析。
频域分析可以用来研究离散时间系统的频率特性，比如系统的频率响应、幅频特性、相频特性等。
频域分析可以揭示系统在不同频率下对信号的处理情况，对于设计和优化离散时间系统非常有帮助。
Z变换具有一些重要的性质，可以方便地对离散时间系统进行分析和计算。
其中一些常用的性质包括：1. 线性性质：对于任意常数\(a\)和\(b\)，以及信号\(x(n)\)和\(y(n)\)，有\(Z(a \cdot x(n) + b \cdot y(n)) = a \cdot X(z) + b \cdot Y(z)\)。
这个性质说明Z变换对线性系统是可加性的。
2. 移位性质：如果将信号\(x(n)\)向左或向右移动\(k\)个单位，那么它的Z变换\(X(z)\)也将发生相应的移位，即\(Z(x(n-k)) = z^{-k} \cdot X(z)\)。
这个性质说明Z变换对系统的时移（时延）是敏感的。
3. 初值定理：如果离散时间信号\(x(n)\)在n=0处存在有限值，那么在Z变换中，它的初值可以通过计算\(X(z)\)在z=1处的值得到，即\(x(0) = \lim_{z \to 1}X(z)\)。
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第8章 z变换、离散时间系统的z域分
（7）
X
z
1 2
n
u
n
u
n
10
z
n
9 n0
1 2
n
z
n
9 n0
1 2z
n
1
1 2z
1 1
10
z 0
2z
X（z）的零、极点分布图如图 8-2-1（g）所示。
（8）
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X
z
n台
1 2
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台
第 8 章 z 变换、离散时间系统的 z 域分析
8.1 复习笔记
从本章开始陆续讨论 Z 变换的定义、性质以及它与拉氏变换、傅氏变换的联系。在此 基础上研究离散时间系统的 z 域分析，给出离散系统的系统函数与频率响应的概念。通过 本章，读者应掌握对于离散时间信号与系统的研究，是先介绍 z 变换，然后引出序列的傅 里叶变换以及离散傅里叶变换（第九章）。
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于实轴的直线映射到 z 平面是负实轴；
（3）在 s 平面上沿虚轴移动对应于 z 平面上沿单位圆周期性旋转，每平移 ωs，则沿
单位圆转一圈。
2．z 变换与拉氏变换表达式
Z
x nT X z zesT X s Z
n
u
n
1 3
n
u
n
z
n
n
（3）
X
z
n
1 3
n
u
n
z
n
n0
数字信号处理-z变换与离散时间傅立叶变换(DTFT)
N a i y i ( n ) T a i xi ( n ) i 1 i 1
N
9
4.移不变系统
——系统的响应与激励施加于系统的时刻无关
x ( n)
移位m
T[ ]
T [ x(n m)]
x ( n)
T[ ]
移位m
y ( n m)
10
5.单位抽样响应与卷积和
序列x(n)的Fourier反变换定义：
a<-1
0<a<1
-1<a<0
a=1
a=-1
7
5.复指数序列 x(n) Ca n
x(n) C a n cos(0 n ) j sin( 0 n )
|a|=1
C C e j a a e j0
|a|>1
|a|<1
8
3.线性系统
——满足叠加原理（可加性、比例性）
15
1.1 z变换的定义
序列x(n)的Z变换定义为：
X ( z) Z x(n) x(n) z
n
n
Z是复变量，所在的平面称为Z平面
16
1.2 z变换的收敛域
对于任意给定的序列x(n)，使其Z变换X(z)收敛的所有z值
的集合称为X(z)的收敛域(Region of convergence,ROC)。
=X (e
jT
ˆ ( j ) ) X a
抽样序列在单位圆上的z变换=其理想抽样信号的傅里叶变换
52
第五节 序列的傅立叶变换（DTFT）
5.1 序列的傅立叶变换定义
序列x(n)的Fourier变换定义：
X (e ) DTFT [ x(n)]
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1 zN
, z 0
1 z 1
三、S、Z复平面间的映射关系 S平面到Z平面的映射是非单一的。
四、频率轴的定标
2.2 Z变换的定义域ROC
X (z) x[n]zn n
令 z re jω, z r.
z 变换收敛意味着:
X (z) x[n]zn x[n] z n
n
n
x[n] r n
例2. 左边序列：x[n] a nu[n 1],
1
X (z) a n z n n a 1 z n n1
ROC : a 1z 1,
i.e. z a .
X
(z)
1
1 az
1
.
唯一性问题
Z变换与F变换的关系
• DTFT : 在 z e j 的z 变换, i.e., z 1。 • DTFT : 在单位圆上的 z 变换。 • DTFT 存在 (i.e. 序列稳定 ) ROC 含单位圆。
(b) 再用观察法求x[n].
• 例1. X (z) e z1 , z 0.
(b) 时移 : x[n d ] z d X (z)
(c)
指数相乘:
z
n 0
x[n]
X(z /
z0 ),
ROC z0 ROCx
(d ) 微分 : nx[n] z dX (z) , ROC不变 dz
(e) 反序 : x[n] X (z 1 ), ROC 1/ ROC
( f ) 共轭 : x[n] X (z ), ROC 不变
Z变换是F变换的一般化、推广， 序列的F变换是在单位圆周（|Z|＝1）上 的Z变换。
(1) [n] 1, z C
(2)
u[n]
1
1 z
1
,
z 1
(3) x[n] u[n] a nu[n 1] 1 1 ,1 z a 1 z 1 1 az 1
(4)
x[n]
1,
0 n N 1， 0, 其它，
x[n] 2 [n 1] 8 [n] 13(1/ 2)n u[n]
二、 部分分式展开法 (PEE)
M
M
bm z m
(1 sm z 1 )
H (z) m0 N
K m0 N
am zk
(1 d k z 1 )
பைடு நூலகம்
k 0
k 0
N
• PEE: H(z)
Ak ,
k 0 1 d k z 1
X (e j ) x[n]e j n n
X (z) x[n]z n n
2.3 Z变换的性质
(a) 线性 : e.g. :
ax1[n] bx2[n] aX1 (z) bX 2 (z), ROC ROC1 ROC2
x[n] u[n] a nu[n 1] 1 1 ,1 z a 1 z 1 1 az 1
z 1 8 (z 1 1)
z 1 3
5, 2
A2
z 1 (z 1
8 3)
z 1 1
7. 2
x[n]
[n]
5
1n
u[n]
7
1
n
u[n]
2
2 3
三、 指数展开法（幂级数法）
基本思想：将H (z)表示为指数序列：
(a) H (z) x[2]z 2 x[1]z x[0] x[1]z 1 x[2]z 2
2 Z变换及离散时间系统
• Z变换的定义 • Z变换的收敛域ROC • 与FT的关系 • Z变换的性质 • 逆Z变换
• LSI系统的转移函数 • 离散系统的极零分析 • 滤波的概念 • IIR系统的信号流图与结构
Z变换是DTS分析、综合的重要工具，其在离散 系统中的作用地位犹如拉斯变换之于连续系统。
2.1 Z变换的定义
一、直接定义
X (z) x(n)zn n0
Z为复变量，一般写成极坐标的形式。
给定一序列x(n)： …x(-n),x(-n+1),…,x(-1),x(0),x(1),…,x(n-1),x(n),… 以其为系数构成一双边无穷级数x(n)z-n。
二、由L氏变换引出Z变换
xs (nts ) x(t) (t nTs ) x(nT s) (t nTs )
X(s)
xs
(nTs
)est
dt
x(nTs ) (t nTs ) est dt
x(nTs )
(t
nTs )
est dt
x(nTs )esnTs
z esTs
复变量 s j
z esTs eTs e jTs e j
X (z) x(n) n e jn F[x(n) n ]
n
收敛性取决于：z r.
如 其 ROC 包含单位圆，则意味着对 z 1收敛,
i.e. 序列的DTFT收敛。
例1. 指数序列（右边） x[n] a nu[n],
X (z) a n z n n0 az 1 n n0
ROC : az -1 1,
i.e. z a .
X (z) 1 . 1 az 1
(g) 卷积 : x1[n] bx2[n] X1 (z) X 2 (z),
ROC ROC1 ROC2 e.g. :
令 x1[n] a nu[n], x2[n] u[n],则
X
1
(z)
1
1 az
1
,
z
a
;
X
2
(
z)
1
1 z
1
,
z
1.
若 a 1, Y (z)
1
, z 1.
(1 az 1 )(1 z 1 )
y[n] 1 (u[n] a n1u[n]) 1 a
(h) x[n]初值 ：lim X (z) x[0]. z
2.4 逆Z变换
一、观察法
• 基本思想：用已知的变换对关系求未知z变换的反变换！
• 例1： 已知：a nu[n] 1 , z a , 1 az 1
求： X (z) 1 1 , z b a , 1 az 1 1 bz 1
其中， Ak (1 d k z 1 )H (z) zdk , 假设（M N ).
• 再用观察法求所得分式。
H (z)
z 2 z 2
3z 1 5 4z 1 3 ,
x[n] 为因果序列。
H (z)
1
(z 1
z 1 8 1)(z 1
3)
1
A1 (z 1 1)
A2 (z 1
3)
,
式中，A1
可得：x[n] (a n bn )u[n], (注 : 注意ROC).
•
例2：求： X (z)
Z 2 1
2Z 1 (1/ 2)z
1
5
,
且x[ n]稳定,
极点: z 1/ 2, z 0 ROC : z 1/ 2,
用除法得: X (z) 2z 1 8 13 , 1 1 z 1 2