第10章 离散时间信号的z变换

10-2-4 z域微分性
若 f ( k ) F ( z ) ，则
dF ( z ) dz 证明：由 z 变换定义，有 kf ( k ) z

（10-2-5）
F ( z ) f ( k ) z k
k 0
将上式两端对 z 求导，得
dF ( z ) d [ f ( k ) z k ] ( k ) f ( k ) z k 1 z 1 kf ( k ) z k dz dz k 0 k 0 k 0 dF ( z ) 即 kf ( k ) z dz
f ( k ) a k ( k ) * b k ( k 1) F ( z )
z b bz 2 z a z b z ( a b) z ab
10-2-6 序列求和
若 f ( k ) F ( z ) ，则
g (k ) f (n) G( z )
Z [ f1 ( k ) ( k ) * f 2 ( k ) ( k )] [ f1 ( n ) ( n ) f 2 ( k n ) ( k ( n ) f 2 ( k n )] ( k n ) z k


令n k 1

z[ f ( n ) z n f (0)] zF ( z ) zf (0)
k 0

（2）右移性
Z [ f ( k 1)] f ( k 1) z k z 1 f ( k 1) z ( k 1) z 1 f ( n ) z n
10.1.3 常见离散时间信号的z变换
由 z 变换的定义易得如下常见信号的 z 变换。 （1）单位函数 (k ) 1 （2）单位阶跃序列 （3）单边指数序列 （4）单边斜坡序列
(k )
z z 1 z a k (k ) za z k ( k ) ( z 1) 2
10.2 z变换的性质
k 0 k 0 k 1


令n k 1

z 1 [ f ( n ) z n zf ( 1)] z 1 F ( z ) f ( 1)
k 0

此性质可以作如下推广
f (k m) z m [ F ( z ) f (k ) z k ]
k 0
m 1
z 。 za
一般而言，对于单边 z 变换，其收敛域总是 z 平面内以原点为圆心的圆外区域，圆的半径 为称为收敛半径，其取值与时域信号有关；对于双边 z 变换，其收敛域有以下几种情形：z 平 面内以原点为圆心的圆内区域、圆外区域、两个圆之间（即环）的区域，亦可以是整个 z 平面。
jIm(z)
|a| 0 Re(z)
n 0 k
10-2-5 时域卷积定理
若 f 1 ( k ) ( k ) F1 ( z ) ， f 2 ( k ) ( k ) F2 ( z ) ，则
f 1 ( k ) ( k ) * f 2 ( k ) ( k ) F1 ( z ) F2 ( z )
证明：由 z 变换定义，有

（10-2-6）
10.1.2 z变换的收敛域
z 变换的收敛域是指为使 z 变换所对应幂级数收敛的 z 的取值范围，此时可把幂级数表示 为闭合式。譬如，对于 F ( z ) 1 az 1 a 2 z 2 a k z k ，为使其收敛，则 | az 1 | 1 ，即
| z || a | ，如图 10-1-1 所示中阴影部分，即以 | a | 为半径的圆外区域，称 | a | 为收敛半径，此时 F ( z ) 的闭合式表示为 F ( z )
f ( k 1) z 1 F ( z ) f ( 1)
证明：由 z 变换的定义，有 （1）左移性
Z [ f ( k 1)] f ( k 1) z k z f ( k 1) z ( k 1) z f ( n ) z n
k 0 k 0 k 1
第 10 章 离散时间信号的z变换
与连续时间信号的分析类似，离散时间信号的分析同样涉及时域分析和变换域分析，其 中离散时间信号的变换域分析以 z 变换为数学工具。 本章介绍离散时间信号的 z 变换，涉及 z 变换的定义、z 变换性质、z 反变换等。
10.1 z变换
10.1.1 z变换的定义
离散时间信号（序列） f ( k ) 的 z 变换 F ( z ) 定义为
5 ( k 2) 2 k 1 ( k 1)
5z 2z 3z 2 8 z z 1 z 2 ( z 1)( z 2)
10.2.2 移位（移序）性
若 f ( k ) F ( z ) ，则 f ( k 1) zF ( z ) zf (0) （10-2-2a） （10-2-2b）
F ( z ) f ( 2) z 2 f ( 1) z1 f (0) z 0 f (1) z 1 f ( 2) z 2
k
f (k ) z

k
（10-1-1）
其中 F ( z ) 称为 f ( k ) 的像函数， f ( k ) 为 F ( z ) 的原函数。上式可简写为 F ( z ) Z [ f ( k )] ， 也可用双向箭头表示两者之间的对应关系，即 f ( k ) F ( z ) 。 如果只考察 f ( k ) 在 k 0 后的情形，则有
F ( z ) f (k ) z k
k 0

（10-1-2）
称上式为单边 z 变换，相应地称式（10-1-1）为双边 z 变换。 与拉普拉斯变换类似，如果 f ( k ) 为因果信号，则其单双边 z 变换相同。对于多个非因果 信号，若它们在 k 0 后的定义一样，则它们的单边 z 变换亦一样，即 f ( k ) 与 f ( k ) ( k ) 的单 边 z 变换相同，从而 F ( z ) 与非因果信号 f ( k ) 不再是一一对应的关系。鉴于此，对于单边 z 变 换，若 f ( k ) 为非因果信号，则只能用单向箭头来表示 f ( k ) 与其 z 变换 F ( z ) 之间的对应关系， 即 f (k ) F ( z ) 。 本书后续内容主要讨论单边 z 变换，简称为 z 变换。 例 10-1-1 求 f ( k ) {1,2,1,2,3} 的 z 变换。 解： F ( z ) f (0) z 0 f (1) z 1 f ( 2) z 2 1 2 z 1 3z 2
k 0 n 0
f 1 ( n ) z n f 2 ( k n ) z ( k n )
n 0 k n 令m k n


f (n) z f
n n 0 1 m 0

2
( m ) z m
F1 ( z ) F2 ( z )
此性质针对的是两因果序列的卷积和。如果卷积和中涉及非因果序列，则没有此性质。 例 10-2-6 f ( k ) a k ( k ) * b k ( k 1) ? 解：根据时域卷积定理，有
从 z 变换的定义易于得出此性质，它反映了 z 变换是一种线性运算。 例 10-2-1 2 k ( k ) 3k ( k ) ?
（10-2-1）
解：根据 z 变换的线性性质，有 z z z 2 k ( k ) 3k ( k ) z 2 z 3 ( z 2)( z 3) 例 10-2-2 5 ( k 2) 2 k 1 ( k 1) ? 解：根据 z 变换的线性性质，有
z z Z [a k f ( k )] a k f ( k ) z k f ( k )( ) k F ( ) a a k 0 k 0
（10-2-4）
例 10-2-4 f ( k ) ka k F ( z ) ? 解：根据 z 变换的比例性，有 z k ( z 1) 2 z/a az ka k 2 ( z / a 1) ( z a)2
（1） ( k 1) z 1 z (0) 0 （2） ( k 1) z 1 1 z 1
z z z (0) z 1 z 1 z 1 （4） ( k 1) z 1 z 1 z 1 z z z 0 （5） k 1 z z z z z r 1 （6） k 1 z 1 (z ) z z 1 （7） k 1 ( k 1) z 1 z z 另外，对于（1） 、 （3） 、 （5） 、 （6） ，亦可以不采用此移位性质求解。譬如， ( k 1) 在 k 0 时均为 0 ，其单边 z 变换自然为 0 ； ( k 1) 在 k 0 时的定义与 ( k ) 相同，故其单边 z 变换与
z 变换建立了离散时间信号时域特性和 z 域特性之间的对应关系，z 变换性质描述了这种 对应关系的规律。而且，利用 z 变换的性质有助于求取一些非典型信号的 z 变换。
10.2.1 线性性
若 f1 ( k ) F1 ( z ) ， f 2 ( k ) F2 ( z ) ，则
af1 ( k ) bf 2 ( k ) aF1 ( z ) bF2 ( z )
（10-2-3a） （10-2-3b） （10-2-3c）
f (k m) z m [ F ( z ) f ( k ) z k ]
k 1
m
f ( k m ) ( k m ) z m F ( z )
对于因果序列 f ( k ) 而言，由于 f ( k m ) ( k m ) f ( k m ) ，因此 f ( k m ) z m F ( z ) 。 例 10-2-3 计算下列各式。 （1） ( k 1) ? （2） ( k 1) ? （4） ( k 1) ? （7） k 1 ( k 1) ? 解：根据 z 变换的移位性，有 （5） k 1 ? （3） ( k 1) ? （6） k 1 ?