§1.3 离散时间信号的DTFT与Z变换

为系统的频率响应。所以两个序列的时域卷积对 系统的频率响应。 应于DTFT的乘积。值得指出： 的乘积。 应于 的乘积 值得指出： （1）由于 ） ， e =e ω 是以 是以2π为周期的周期函数 所以 X(ejω ) 为周期的周期函数 （2）DTFT ）
X(ejω ) =
jω ω
n=−∞
jω
j(ω+2π)
Rx− < z < Rx+
j Im[ z]
Re[z]
Rx+ Rx−
X
第
变换及收敛域。 [例2-1] 求序列 x(n) = δ (n) 的Z变换及收敛域。 解：这相当
n1 = n2 = 0 时的有限长序列，
19 页
Z[δ (n)] =
n=−∞
∑δ (n)Z
∞
−n
= Z =1
0
其收敛域应包括 z = 0, z = ∞, 充满整个 平面。 整个Z 即 0 ≤ z ≤ ∞, 充满整个Z平面。
x(n)e− jnω ∑
∞
正是周期函数
X(e ) 的付氏级数展开
X
第
二 、 z变换
5 页
离散时间系统的z变换（ 离散时间系统的 变换（类似于模拟系统的拉氏变 变换 ），它是分析离散系统和离散信号的重要工具 它是分析离散系统和离散信号的重要工具。 换），它是分析离散系统和离散信号的重要工具。 变换定义为: 一个离散序列 x（n）的Z变换定义为 （ ） 变换定义为
1 −n 15 4 , 因此x(n) = 1 4n+2 , 15
zk 为c内的第 个极点，zm为c外的第 个极点， 内的第k个极点 外的第m个极点 内的第 个极点， 外的第 个极点，
Res[ ]表示极点处的留数。 表示极点处的留数。 表示极点处的留数
X
第 25 页
留数的求法： 留数的求法：
1、当Zr为一阶极点时的留数： 、 阶极点时的留数：
Re s[ X (z)zn−1]Z =Zr = [(z − zr ) X (z)zn−1]z=zr
C为环形解析域内 为环形解析域内 环绕原点的一条逆 时针闭合单围线. 时针闭合单围线
0
j Im z] [
Rx+
Re[z]
Rx−
c
X
第 24 页
二.求Z反变换的方法
1.留数法 留数法 由留数定理可知： 由留数定理可知：
1 X (z)zn−1dz = ∑Re s[ X (z)zn−1]z=zk 2πj ∫ c k 1 X (z)zn−1dz = −∑Re s[ X (z)zn−1] z =zm c 2πj ∫ m
.
x(n), n1 ≤ n ≤ n2 x(n) = 其他n 0,
Q X (z) = ∑x(n)z ,∴若x(n)z
−n n=n1 n2 −n
.
n1 0 n2
.
< ∞，n1 < n < n2 ;
考虑到x(n)是有界的，必有 z
−n
< ∞，n1 < n < n2 ;
X
第
因此，当n ≥ 0时， z
j Im z] [
Re[z]
z+
X
第 9 页
同样, 同样,对于级数
∑x(n)z ，满足
−n n=0
∞
z− < z ≤ ∞
பைடு நூலகம்级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛 的z， 级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛 半径。 半径。 j Im[ z]
Re[z]
z−
X
第
x (n)
10 页
(2).有限长序列 (2).有限长序列
∞
−n
可以把单边z变换看成是双边 变换的一种特例 可以把单边 变换看成是双边z变换的一种特例， 变换看成是双边 变换的一种特例， 即因果序列情况下的双边z变换 变换。 即因果序列情况下的双边 变换。
X
第
z变换的收敛域 变换的收敛域
z平面上使
n=−∞
7 页
∑x(n)z
∞
−n
收敛的区域称为“收敛域” 收敛的区域称为“收敛域”。
第 22 页
三、 Z反变换
一.定义： 定义： 已知X(z)及其收敛域, X(z)及其收敛域 已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n) 的变换称作Z反变换。 的变换称作Z反变换。
记作：x(n) = Z [ X (z)]
−1
X
第
Z反变换公式： 反变换公式： 反变换公式
23 页
1 n−1 x(n) = ∫c X (z)z dz, c ∈(Rx− , Rx+ ) 2πj
−n
= 1/ z , 只要z ≠ 0，则z
n n
−n
<∞
11 页
同样，当n < 0时，−n = z , 只要z ≠ ∞，则z−n < ∞ z 所以收敛域0 < z < ∞也就是除z = 0, z = ∞外的开域(0, ∞)， 即所谓“有限z平面”。
j Im[ z]
×
Re[z]
X
第
3. 右边序列
x(n), n ≥ n1 x(n) = n < n1 0,
X
第 3 页
对于一个线性时不变离散系统， 对于一个线性时不变离散系统，其输入输 出关系为
y(n)＝x(n)*h(n) ＝
则有
Y(e ) =
jω
n=−∞
∑y(n)e
jω
∞
− jωn
= X(e )H(e )
X
jω
第 4 页
ω H(ejω )为系统单位脉冲响应 为系统单位脉冲响应h(n)的DTFT，称 其中 的 ，
X
第
变换及收敛域。 [例2-2] 求序列 x(n) = a u(n) 的Z变换及收敛域。
n
20 页
解： X (z) =
n=−∞
anu(n)z −n = ∑an z −n = ∑(az −1 )n ∑
n=0 n=0
∞
∞
∞
= 1+ az −1 + (az −1 )2 + L+ (az −1 )n L
当
z > a 时，这是无穷递缩等比级数。 这是无穷递缩等比级数。 递缩等比级数
−1
a1 1 z q = az , S = = = 。 −1 1− q 1− az z −a z = a为极点，在圆z = a 外， X (z)为解析函数，故收敛。
X
Z变换小结 变换小结
• Z 变换收敛域的特点： 变换收敛域的特点： 1） 收敛域是一个圆环，有时可向内收缩到原点 ） 收敛域是一个圆环， 有时可向外扩展到∞，只有x（ ） （ ） ， 有时可向外扩展到 ， 只有 （ n）=δ（n）的 平面。 收敛域是整个 z 平面。 2） 在收敛域内没有极点，X（z）在收敛域内每 ） 在收敛域内没有极点， （ ） 一点上都是解析函数。 一点上都是解析函数。 • Z 变换表示法： 变换表示法： 级数形式 解析表达式（注意:只表示收敛域上的函数 只表示收敛域上的函数， 解析表达式（注意 只表示收敛域上的函数，要 同时注明收敛域） 同时注明收敛域）
x+
故收敛域为 < z < Rx+ 0
j Im[ z]
×
Re[z]
X
z+ = Rx+
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(6)双边序列 (6)双边序列
x
L
0
L
n
双边序列指n为任意值时, n)皆有值的序 双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序 边序列和右边序列之和。 和右边序列之和 列，即左边序列和右边序列之和。
X (z) =
x(n), n ≤ n2 x(n) = n > n2 0,
x(n)
L
X (z) = =
0 n=−∞
∑x(n)z
−n
n2
0
−n
n2 n
n=−∞
∑x(n)z
+ ∑x(n)z
n=1
n2
−n
X
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∞ 第二项为有限长序列,其收敛域 0 < z < ; 项为有限长序列, 项为有限长序列 第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理, 第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理, 其收敛域为 0 ≤ z < Rx+ ; 最大收敛半径 R 为最大收敛半径 .
X
第 8 页
一些序列的收敛域
(1).预备知识 (1).预备知识 阿贝尔定理: 阿贝尔定理: ∞ x(n) z n 在 z = z (≠ 0) 如果级数 ∑ ， + n=0 z,级数必绝对收 收敛,那么,满足0 收敛,那么,满足0≤|z|<|z+|的z,级数必绝对收 为最大收敛半径。 敛。|z+|为最大收敛半径。
.. x(n) ... n1 0 1
∞
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X (z) =
n=n1
∑
∞
x(n)z −n =
n=n1
∑
−1
n
x(n)z −n +
∑
n=0
x(n)z −n
*第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数, 第一项为有限长序列，第二项为 的负幂级数 第一项为有限长序列
X
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第一项为有限长序列,其收敛域为0 第一项为有限长序列,其收敛域为0<|z|<∞; 第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知, 第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知, 其收敛域为 Rx-<|z|≤∞; 两者都收敛的域亦为Rx-<|z|<∞; Rx-为最小收敛半径。 最小收敛半径 收敛半径。
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