离散时间信号z变换共41页文档
用离散时间复指数信号表示信号Z变换.
Z反变换：
1 m 0 1 m -1 z dz 2j c 0 其它
C为F(z) 的ROC中的一闭合曲线。
1 n -1 f [ n] F ( z ) z dz 2j c
Re s{F ( z) z
i
n -1
}z zi zi为F(z)zn-1在C中的极点
二、收敛域（ROC)
主要内容
• z变换的定义 • 基本信号的z变换 • z反变换 • 使用z变换分析系统
Ch7.2 Z变换 (the Z - Transform)
• 定义 • 收敛域 • S平面
一、定义
双边Z变换
F ( z)
n -
f [ n] z - n
收敛域(ROC):
k -
f [ n] z - n
1.线性(linearity)
af1[n] bf2 [n] aF 1 ( z ) bF 2 ( z) ROC包含 R f 1 R f 2
例：RN [n] u[n] - u[n - N ]
1 z -N 1 - z -N F ( z) -1 -1 1- z 1- z 1 - z -1
k
ROC 包含Rf1∩Rf2
证：Z[ f1[n] f 2 [n]] Z[ f1[k ] f 2 [n - k ]]
f1[k ]Z [ f 2 [n - k ]] F2 ( z ) f1[k ]z - k F1 ( z) F2 ( z)
k k
例：Z [ f [k ]] Z [ f [n] u[n]]
ch7 用离散时间复指数信号表示信号：Z变换 (the Laplace Transform)
离散时间信号及其Z变换
离散时间信号及其Z变换离散时间信号是信号与时间变量在一系列离散时间点上取值的函数，它在数字信号处理中有着重要的应用。
离散时间信号与连续时间信号类似，也可以通过不同的数学工具进行分析和处理。
其中，Z变换是离散时间信号的重要工具之一。
离散时间信号是在一系列离散时间点上取值的函数，这些离散时间点可以是整数、实数或复数。
离散时间信号通常用序列表示，即按一定顺序排列的值的集合。
离散时间信号可以是有限长度的，也可以是无限长度的。
离散时间信号在很多领域都有广泛的应用，包括通信、控制系统、数字图像处理等。
在通信系统中，信号可以是传输数据的形式，例如音频信号、视频信号等。
在控制系统中，离散时间信号可以作为控制信号，用于调整系统的状态和输出。
在数字图像处理中，图像可以被表示为二维离散时间信号，通过对其进行处理，可以实现图像的增强、压缩等功能。
Z变换是一种重要的工具，能够将离散时间信号从时域转换到复频域。
Z变换本质上是一种数学变换，它将离散时间信号转换为复平面上的函数。
Z变换的定义是通过对离散时间信号的每个样本点进行加权求和得到。
离散时间信号的Z变换可以表示为：X(z) = ∑[x(n) * z^(-n)] (n从负无穷到正无穷)其中，X(z)是离散时间信号X(n)的Z变换，x(n)是离散时间信号X(n)在时间点n上的取值，z是复平面上的变量。
通过Z变换，我们可以将离散时间信号转换到复频域，从而可以进行频域分析和处理。
在Z平面上，可以通过观察X(z)的性质来分析离散时间信号的频域特性，例如振幅谱、相位谱等。
我们还可以通过对Z变换进行逆变换，将离散时间信号恢复到时域。
Z变换的性质包括线性性、平移性、时域乘法、频域卷积等。
这些性质使得Z变换在信号处理中有着广泛的应用。
通过Z变换，我们可以分析离散时间系统的稳定性、频率响应、脉冲响应等。
此外，Z变换还可以用来设计离散时间系统，例如数字滤波器的设计等。
总结来说，离散时间信号及其Z变换在数字信号处理中起着重要的作用。
离散时间信号、系统和Z变换
冲激信号的强度压缩到原信号的1/2。
第二章信号分析和处理基础
设时域离散系统的输入为x(n)，经过规定的运算，系统输出序 列用 y(n) 表示。设运算关系用 T ［· ］ 表示，输出与输入之间关 系用下式表示：
y(n)=T［x(n)］
其框图如图所示:
在时域离散系统中，最重要的是线性时不变系统，因为很多物 理过程可用这类系统表征。
e j(ω +2πM)n= e jω n,
0 0
M=0,〒1,〒2…
复指数序列具有以2π为周期的周期性。
指数信号
表达式：
f (t ) K e
直流(常数) 指数衰减
指数增长
t
f (t )
0
K
a0 a0 a0
0 0
O
t
重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。
通常把 称为指数信号的时间常数，记作，代表 信号衰减速度，具有时间的量纲。
设输入为x1(n)和x2(n)时，输出分别为y1(n)和y2(n)，即： T[ax1(n)] =3ax1(n)+4;
例2 已知f(t)的波形如图所示，试画出f(-3t-2)的波形
1.5 1 0.5 0 -4 1.5 1 0.5 0 -4 1.5 1 0.5 0 -4 1.5 1 0.5 0 -4
f(t)
-3
-2
-1
0 f(t-2)
1
2
3
4
-3
-2
-1
0
1 f(3t-2)
2
3
4
-3
-2
-1
0
1 f(-3t-2)
2
列就是时域离散信号。 实际信号处理中，这些数字序列值按顺序放在存贮器中，此时 nT 代表
z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)
az
n 1
1 az
az 1 z 1/ a
an zn
n0
1 1 az1
az1 1 z a
当 a 1时，无公共收敛域，X(z)不存在
当a
1时，X (z)
az 1 az
1
1 az
1
z(1 a2 ) (1 az)(z a)
Roc : a < z 1/ a
j Im[z]
零点：z 0, 极点：z a,a1
1）有限长序列
x(n)
x(n) 0
n1 n n2 其它n
n2
其Z变换：X (z) x(n)zn
n n1
Roc至少为： 0 z
j Im[z]
Re[z] 0
• 除0和∞两点是否收敛与n1和n2取值情况 有关外，整个z 平面均收敛。
X (z) x(n1)zn1 x(n1 1)z(n11) x(1)z1 x(0)z0 x(1)z1 x(n2 1)z(n21) x(n2 )zn2
[n]ZT 1,0 z
δ [n]zn 1 n
收敛域应是整个z的闭平面
例2：求x(n)=RN(n)的z变换及其收敛域
解：X(z)= x(n)zn = RN (n)zn
n
n
N 1
=
zn
1 zN 1 z1
n0
zN 1 z N 1(z 1)
n2 qn qn1 qn2 1
n n1
z
4
4
z
z n 1
z
1/
4
z
4
4n2
15
x(n) 4n u(n 1) 4n2 u(n 2)
15
15
j Im[z]
C
第二章z变换
ˆ ( s ) Lx (t ) L x(nT ) (t nT ) Xs s n
st ˆ s x t e st dt XS x(nT ) (t nT )e dt s n
解：
X 1 ( z ) Z x1[n] a n z n
n0
如果|z|>a, 则上面的级数收敛， 1 z n n X1 ( z) a z 1 za 1 az n0
X 2 ( z ) Z x2 [n]
n
z a
(a n ) z n
lim
n
an1 ρ an
2．根值判定法 即令正项级数的一般项 a n 的n次根的极限等于，
lim n a n
n
则
<1：收敛 =1：可能收敛也可能发散 >1：发散
例2.1
例已知两序列分别为x1[n]=anu[n]， x2[n]= -anu[-n-1]，分别 求它们的z变换，并确定它们的收敛域。
1
a z 1 (a 1 z ) n
n n n 1 n0
1 z 1 1 1 a z z a
za
两个不同的序列对应于相同的z变换，但它们的收敛域不同。
三 几类序列的Z变换收敛域
1、有限长序列 此序列只在有限的区间(n1n n2)具有非零的有限值， 此时，Z变换为： n2
n
b u ( n 1)z
n
n
= a z
n n 0
n
n
b
n 0
1
z
n
= a z
离散信号的z变换
的部分分式
（5）写出原序列
例1.5 已知
收敛域为
，求其z反变换。
解：因为
展开为部分分式得
乘以z得
求z反变换得
信号与系统
其z变换存在的所有z值的集合。
z变换收敛的充分必要条件
例1.1 已知离散时间信号为
求它的z变换及z变换的收敛域。
解：信号的z变换为
若该级数收敛，只有使 z变换的收敛域为 且此时 收敛半径
例1.2 已知离散时间信号为
求它的z变换及z变换的收敛域。 解：由z变换的定义可得
前一个级数的收敛条件为
即
因此，z变换的收敛域为
信号与系统
离散信号的z变换
1.1 z变换的定义
z变换
为原序列 简写作
z为复变量
为像函数
单边 z变换 仅考虑 时的序列 的值，则有
抽样信号的拉氏变换
连续信号 抽样信号
两边同时取双边拉普拉斯变换，得
令
可得
当令
时，序列 的z变换就等于抽
样信号 的拉氏变换，即
1.2 z变换的收敛域
z变换的收敛域 对于任意给定的序列 ，使
解：由于收敛域为
故 为因果序列
根据多项式除法，得
即
于是得
时，
部分分式法
常常是较为复杂的有理分式，即
可将
展开成若干简单的部分分式之和，然后
分别求出各部分分式的z反变换，从而求得 对应的
原序列
基本步骤: （1）将 除以z，得到
（2）将
展开为部分分式
（3）将展开的部分分式乘以z，得到 （4）将各部分分式进行z反变换
1.4 z反变换
定义：由z变换 和其收敛域求原序列
Z变换及离散时间系统分析
Z变换及离散时间系统分析Z变换是一种用于描述离散时间系统的重要数学工具。
离散时间系统是指信号的取样点在时间上离散的系统。
而Z变换可以将离散时间信号从时域（时间域）转换到频域（复频域），并在频域进行分析和处理。
Z变换在数字信号处理、控制系统和通信系统等领域有着广泛的应用。
Z变换的定义为：\[ X(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} x(n)z^{-n} \]其中，\(x(n)\)表示离散时间信号，\(X(z)\)表示该信号的Z变换，\(z\)表示复变量。
通过对离散时间系统的输入信号进行Z变换后，可以得到系统的传递函数。
系统的传递函数是指系统的输出与输入之间的关系。
在离散时间系统中，传递函数可以表示为：\[ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} \]其中，\(Y(z)\)表示系统的输出信号，\(X(z)\)表示系统的输入信号。
通过Z变换可以对离散时间系统进行频域分析。
频域分析可以用来研究离散时间系统的频率特性，比如系统的频率响应、幅频特性、相频特性等。
频域分析可以揭示系统在不同频率下对信号的处理情况，对于设计和优化离散时间系统非常有帮助。
Z变换具有一些重要的性质，可以方便地对离散时间系统进行分析和计算。
其中一些常用的性质包括：1. 线性性质：对于任意常数\(a\)和\(b\)，以及信号\(x(n)\)和\(y(n)\)，有\(Z(a \cdot x(n) + b \cdot y(n)) = a \cdot X(z) + b \cdot Y(z)\)。
这个性质说明Z变换对线性系统是可加性的。
2. 移位性质：如果将信号\(x(n)\)向左或向右移动\(k\)个单位，那么它的Z变换\(X(z)\)也将发生相应的移位，即\(Z(x(n-k)) = z^{-k} \cdot X(z)\)。
这个性质说明Z变换对系统的时移（时延）是敏感的。
3. 初值定理：如果离散时间信号\(x(n)\)在n=0处存在有限值，那么在Z变换中，它的初值可以通过计算\(X(z)\)在z=1处的值得到，即\(x(0) = \lim_{z \to 1}X(z)\)。
数字信号处理-z变换与离散时间傅立叶变换(DTFT)
N a i y i ( n ) T a i xi ( n ) i 1 i 1
N
9
4.移不变系统
——系统的响应与激励施加于系统的时刻无关
x ( n)
移位m
T[ ]
T [ x(n m)]
x ( n)
T[ ]
移位m
y ( n m)
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5.单位抽样响应与卷积和
序列x(n)的Fourier反变换定义：
a<-1
0<a<1
-1<a<0
a=1
a=-1
7
5.复指数序列 x(n) Ca n
x(n) C a n cos(0 n ) j sin( 0 n )
|a|=1
C C e j a a e j0
|a|>1
|a|<1
8
3.线性系统
——满足叠加原理（可加性、比例性）
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1.1 z变换的定义
序列x(n)的Z变换定义为：
X ( z) Z x(n) x(n) z
n
n
Z是复变量，所在的平面称为Z平面
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1.2 z变换的收敛域
对于任意给定的序列x(n)，使其Z变换X(z)收敛的所有z值
的集合称为X(z)的收敛域(Region of convergence,ROC)。
=X (e
jT
ˆ ( j ) ) X a
抽样序列在单位圆上的z变换=其理想抽样信号的傅里叶变换
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第五节 序列的傅立叶变换（DTFT）
5.1 序列的傅立叶变换定义
序列x(n)的Fourier变换定义：
X (e ) DTFT [ x(n)]