高中数学必修第一册 第二章课件2.2函数的表示法-北师大版(2019)
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北师大版高中数学必修第一册 第二章 2-2《分段函数》课件PPT
+ = 1,
= −1,
解得ቊ
= 2,
= 2.
∴左侧射线对应的函数解析式为y=-x+2(x≤1).
同理,当x≥3时,对应的函数解析式为y=x-2(x≥3).
再设抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1<x<3,a<0).
∵点(1,1)在抛物线上,∴a+2=1,∴a=-1.
2.已知函数值求自变量的值的步骤
(1)先确定所求自变量的值可能存在的区间及其对应的函数解析式.
(2)再将函数值代入不同的解析式中.
(3)通过解方程求出自变量的值.
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.
延伸探究
在本例已知条件下,若f(x)>0,求x的取值范围.
≥ 2,
0 ≤ < 2,
< 0,
可得到以下函数解析式y=
4,10 < ≤ 15,∈N+ ,
5,15 < ≤ 19,∈N+ .
根据这个函数解析式,可画出函数图象,如图所示.
典例剖析
例
分段函数的理解与应用
如图所示,已知底角为45°的等腰梯形ABCD,底边BC长为7 cm,腰长为2 2 cm,
当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l
第二章
§2
函 数
2.2
函数的表示法
第2课时
分段函数
学习目标
1.了解分段函数的概念.
2.会求分段函数的函数值,能画出分段函数的图象.
3.能在实际问题中列出分段函数,并能解决有关问题.
核心素养：数学抽象、直观想象、数学建模
高中数学(北师大版)必修1 名师课件：第二章 §2 2.2 函数的表示法 (共26张PPT)
(3)消元法(或解方程组法)：在已知式子中，含有关 于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系， 这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两 个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组 消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做 消元法(或解方程组法)．
[活学活用]
2．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于 x f(x) A.1 C．3 1≤x＜2 1 2 2 B． 2 D．不存在 2＜x≤4 3
(
)
答案：C
3.函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的定义 域是________，值域是________．
答案：[－1,2) (－1,1]
x＋1，x≤1， 4．已知函数f(算就能知道两个变量之间的对应关 系，比较直观．但是，它只能表示有限个元素间的函数关系． (2)图像法可以直观地表示函数的局部变化规律，进而可以 预测它的整体趋势． (3)解析法表示的函数关系能较便利地通过计算等手段研究 函数性质．但是，一些实际问题很难找到它的解析式．
2．2
函数的表示法
预习课本P28～31，思考并完成以下问题
1．函数的表示方法有哪几种方法？
2．什么样的函数是分段函数？
[新知初探]
1．函数的三种表示方法 函数的表示方法通常有三种，它们分别是列表法、图像法和解析 法． (1)列表法：用 表格 的形式表示两个变量之间函数关系的方法． (2)图像法：用 图像 把两个变量间的函数关系表示出来的方法． (3)解析法：一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式 _______ (简称解析式)表示出来，这种方法称为解析法．
(2)法一(配凑法)： ∵f( x＋1)＝x＋2 x＝( x＋1)2－1( x＋1≥1)， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二(换元法)： 令 x＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2(t≥1)， ∴f(t)＝(t－1)2＋2 t－12＝t2－1(t≥1)． ∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
2019秋新版高中数学北师大版必修1课件：第二章函数2.1-2.2.1
题型二
题型三
题型四
【变式训练 4】 函数 f(x)=
1-������ 的定义域是 2������-1 1-������ ≥ 0, 1 解析:要使函数有意义,则 解得 < ������≤1, 2 2������-1 > 0, 1-������ 1 所以,函数 f(x)= 的定义域是 ������ < ������ ≤ 1 . 2������-1 2 1 答案: ������ < ������ ≤ 1 2
.
-27-
-28-
-29-
-30-
1
2
3
4
5
6
5 -2������
0
的定义域是
.
解析:要使函数有意义,需满足 数的定义域为(-∞,-1)∪
3 -1, 2
������ + 1 ≠ 0, 3 解得x< , 且x ≠-1.故该函 2 3-2������ > 0,
.
答案:(-∞,-1)∪ -1,
3 2
谢谢观看！
-33-
2
故定义域为
3 - ,0 2
∪(0,2).
-21-
题型一
题型二
题型三
题型四
(3)函数的定义域为 R. ∵y=x2-4x+6=(x-2)2+2≥ 2, ∴该函数的值域为[2,+∞). (4)设 t= 2������-1, 则 x= 问题转化为求 y=
1+������2 2 1 2 1+������2 2
������2 +1 , 且t≥0. 2
+ ������(������ ≥0)的值域 .
∵y=
+ ������ = (������ + 1)2(������≥0),
北师大版高中数学必修1第二章《函数的表示法》教学课件
已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，求f(x)的解析式. 【错解】 ∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4， 设t＝x2＋2，则f(t)＝t2－4.∴f(x)＝x2－4.
【错因】 本题错解的原因是忽略了函数f(x)的定义域.上面的解法，似乎 是无懈可击，然而从其结论，即f(x)＝x2－4来看，并未注明f(x)的定义域，那 么按一般理解，就应认为其定义域是全体实数.但是f(x)＝x2－4的定义域不是 全体实数.
2.2 函数的表示法
1.两个函数相同是指它们的 定义域 相同，且 对应关系 完全一致.
2.在函数定义域中，任意的x∈A，在f的作用下，在B中都有唯一确定的
f(x)与之对应.这可概述为： 存在性 和 唯一性 .
3. f (x)
2x 3
7x
的定义域为
3 2
,7
1.函数的表示法
列表法 用 表格 的形式表示两个变量之间 函数 关系的方法 图象法 用 图象 把两个变量间的 函数 关系表示出来的方法
一个函数的 对应关系 可以用自变量的 解析表达式 (简 解析法
称 解析式 )表示出来的方法
2.分段函数 在函数的定义域内，如果对于自变量x的不同取值范围，有着 不同的对应关系，那么这样的函数通常叫做分段函数.
母“t”，然后从中解出x与t的关系，代入原式中便可求出关于“t”的函数关 系，此即为所求函数解析式.但在利用这种方法时要注意自变量的取值范围的 变化情况，否则就得不到正确的表达式.
(3)中解法称为待定系数法，我们只要清楚所求函数解析式的类型，便可设 出其函数解析式，只要想法确定其系数即可求出结果.
1.求下列函数的解析式：
－x＋2 (1)求 f(f(f(5)))的值； (2)若 f(a)＝－1，求 a 的值.
高中数学第2章函数22.2函数的表示法课件北师大版必修第一册
类型 1 函数的表示法 【例 1】 某商场新进了 10 台彩电，每台售价 3 000 元，试求售 出台数 x 与收款数 y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析 法表示出来．
[解] (1)列表法：
x/台
1
2
y/元 3 000
6 000
x/台
6
7
y/元 18 000 21 000
3 9 000
[答案] [－1,0)∪(0,2] [－1,1)
2.若反比例函数 f(x)满足 f(3)＝－6，则 f(x)的解析式为 ________．
[答案] f(x)＝－1x8
知识点 2 分段函数 (1)分段函数 如果函数 y＝f(x)，x∈A，根据自变量 x 在 A 中不同的取值范围， 有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数． (2)分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标 系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象 的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象．
2a＝2，
∴2b＝－4， 2a＋2c＝0，
a＝1，
∴b＝－2， c＝－1，
∴f(x)＝x2－2x－1.
待定系数法求函数解析式 已知函数的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出 f(x)的解 析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数， 进而求出函数解析式．
利用换元法(配凑法)求函数解析式 【例 4】 求下列函数的解析式： (1)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)； (2)已知 f(x＋2)＝2x＋3，求 f(x)．
6．已知函数 f(x)＝xx2＋－64，x＋x<60，，x≥0， 则不等式 f(x)>f(1)的解集 是________．
北师大版(2019)高一数学必修第一册2.2 函数的概念及其表示第1课时课件
解答：（1）w＝350d，w是工作天数d的函数．
北师大版（2019）高一数学必修第一 册2.2 函数的概念及其表示第1课时课件
北师大版（2019）高一数学必修第一 册2.2 函数的概念及其表示第1课时课件
新知探究
问题4 阅读材料，回答问题： 某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天．如 果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资． （2）问题3与问题4中函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函 数吗？为什么？
北师大版（2019）高一数学必修第一 册2.2 函数的概念及其表示第1课时课件
北师大版（2019）高一数学必修第一 册2.2 函数的概念及其表示第1课时课件
新知探究
表1 我国某居民恩格尔系数变化情况
（1）你认为按表1给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？ 为什么？
解答： r是y的函数．因为对于2006到2015年中任一个年份y，根据 表1，都有唯一确定的恩格尔系数r与之对应．
试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝x（10－x） 来描述．
北师大版（2019）高一数学必修第一 册2.2 函数的概念及其表示第1课时课件
北师大版（2019）高一数学必修第一 册2.2 函数的概念及其表示第1课时课件
新知探究
解：把y＝x（10－x）看成二次函数，那么它的定义域是R，值域是 B＝{y|y≤25}．对应关系f把R中的任意一个数x，对应到B中唯一的 数x（10－x）． 如果对x的取值范围作出限制，例如x∈{x|0＜x＜10}，那么可以构建 如下情境： 长方形的周长为20，设其一边长为x，面积为y，那么y＝x（10－x）． 其中，x的取值范围是A＝{x|0＜x＜10}，y的取值范围是B＝{y|0＜ y≤25}．对应关系f把每一个长方形的周长x，对应到唯一确定的面 积x（10－x）．
【数学】2.2.2《函数表示法》课件(北师必修1)
问题探究
3. 下表列出的是正方形面积变化情况.
边长x米 面积y 米2
1 1
1.5 2.25
2 4
2.5 6.25
3 9
当x在(0,+∞)变化时，这个函数关系你能用式子表示吗?
解析法有两个优点：一是简明、精确地概 括了变量间的关系；二是可以通过解析式 求出任意一个自变量的值所对应的函数 值．中学阶段所研究的主要是能够用解析 式表示的函数．
问题探究
4. 国内跨省市之间邮寄信函,每封 信函的质量和对应的邮资如下表:
信函质量(m)/g 0 m 2 0 邮资(M)/元
2 0 m 4 0 4 0 m 6 0 60 m 80 8 0 m 1 0 0
1.20
2.40
3.60
4.80
6.00
请画出图像,并写出函数的解析式.
10
O
v 30
质点的速度.
10
20
30
t
t+10, (0 ≤ t<5)
解 解析式为v (t)=
3t, (5 ≤ t＜10)
30, ( 10 ≤t ＜20) -3t+90,(20 ≤ t≤30)
t=9s时,v(9)=3×9=27 (cm/s)
小结： 1.函数图像可以是一些点或线段。 2.分段函数是一个函数，自变量在 不同的范围内时，函数的对应法则 不同（每段解析式不同）。
问题探究
1. 下表列出的是正方形面积变化情况.
边长x米 面积y 米2
1 1
1.5 2.25
2 4
2.5 6.25
3 9
这份表格表示的是函数关系吗?
列表法的优点：不需要计算就可以直接看 出与自变量的值相对应的函数值，简洁明 了．列表法在实际生产和生活中也有广泛 应用．如成绩表、银行的利率表等．
新北师大版高中数学必修1课件：第二章 §2 2.2 第1课时 函数的三种表示方法
题型一 题型二 题型三
反思列表法、图像法和解析法分别从三个不同的角度刻画了自 变量与函数值的对应关系.采用列表法的前提是定义域内自变量的 个数较少;采用图像法的前提是函数的变化规律清晰;采用解析法 的前提是变量间的对应关系明确.
题型一 题型二 题型三
【变式训练1】 某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个 笔记本需要y元,试用三种表示法表示函数y=f(x).
123456
解析:由题意知该学生离学校越来越近,故排除选项A;又由于开始 匀速,后来因交通堵塞停留一段时间,最后是加快速度行驶,故选C. 答案:C
123456
3若g(x+2)=2x+3,则g(3)的值是( ) A.9 B.7 C.5 D.3 答案:C
123456
4某航空公司规定,乘客所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由图中 的函数图像确定,则乘客可免费携带行李的最大质量为( )
题型一 题型二 题型三
题型一 函数的表示方法 【例1】 某商场新进了10台彩电,每台售价3 000元,试分别用列 表法、图像法、解析法表示售出台数x(x∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10})与 收款总额y(元)之间的函数关系. 分析:明确函数的定义域 明确函数的值域 用三种表示 方法表示函数
2.2 函数的表示法
第1课时 函数的三种表示方法
1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图像法、列表法. 2.会作简单函数的图像,掌握求函数解析式的一般方法.
1.函数的表示法
名师点拨函数的三种表示方法的优缺点比较.
【做一做1】 以下形式中,不能表示“y是x的函数”的是 ( )
A.
x
1
2
3
4
高中数学必修1第二章第二节第二课时《函数的表示方法》教学课件(北师大版,15张PPT)
的理解函数和运用函数 图像法：非常直观，可以清楚地看出函数的变化情 解决问题 况．但是，在图像中找对应值时往往不够准确，而且
有时函数画不出它的图像，还有很多函数不可能得到 它的完整图像．
例 1 、画出函数y x 的图像.
解:由绝对值的概念知:
x, x 0 y x, x 0
同学们，函数的表示方法有哪几种？你能 谈谈它们的优缺点吗？
解析法：即全面地概括了变量之间的依赖关系，又简 单明了，便于对函数进行理论上的分析和研究．但有 时函数不能用解析法表示，或很难找到这个函数的解 析式． 用适当的方法表示函数， 列表法：自变量的值与其对应的函数值一目了然，查 或者把几种方法结合起 找方便．但有很多函数，往往不可能把自变量的所有 来，能够帮助我们更好 值与其对应的函数值都列在表中．
k y ( k 0) x
S 100 t
C 2r
y 15 x
函 数 解 析 式
把两个变量之间的依赖关系用数学式子来表达，这种表示函 数的方法叫做解析法．
2、观察 2005年10月17日，我国“神舟”六号载人飞船顺利返回地 面．下面是“神舟”六号飞船返回舱返回过程中的相关记录：
同学们，我们已学习了函数这一概念，现在一起研 究这样一些例子： (1)气温的摄氏度数x与华氏度数y之间可以进行 9 y 32 转化， 5 x 华氏度数 y是不是摄氏度x的函数？为什 么？
(2)某气象站测得当地某一天的气温变化情况如图所示：
8 6 4 ２ 0 ２ ２ ４ ６ ８ 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2t ( 2 2 间 时 0 2 4 )
5 4 3 2
1
5 10 15 20
O
所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的 不同部分，有不同的对应法则的函数，对 它应有以下两点基本认识： （1）分段函数是一个函数，不要把它误 认为是几个函数；
2.2函数的表示法课件——高中数学北师大版必修第一册
左加右减：函数 = 的图像沿轴方向向左 > 0 或向右 < 0 平移 个单
位长度得到函数 = + 的图像。 = − (向左平移1个单位) ⟶
+1
上加下减：函数 = 的图像沿轴方向向上 > 0 或向下 < 0 平移 个单
位长度得到函数 = + 的图像。
2、函数图像的变换
（2）对称变换：常见的对称规则如下
① = 的图像
② = 的图像
③ = 的图像
关于轴对称
关于轴对称
关于原点对称
= − 的图像
= − 的图像
= − − 的图像
（3）翻折变换：
① = 保留轴上方的图像，把轴
下方的图像翻折到轴上方
（4）已知 是一元二次函数，满足 0 = 1, 1 = 2, 2 = 5，求 的解
析式；
（5）已知 是一元二次函数，且 0 = 3, + 2 − = 4 + 2，求
�� 的解析式。
对 点 练 习
1、求函数的解析式
复合函数解析式的求解方法：整体代入法，换元法和配凑法
1
（3）已知函数 满足
+ 2 2 = 4，求 的解析式。
2
对 点 练 习
1、求函数的解析式
抽象函数（已知含有 , 情势的函数）的解析式求解方法：赋值法
（1）设 是定义在上的函数，且满足 0 = 1，并且对任意的实数, 都有
− = − 2 − + 1 ，求 的解析式；
，其中 > 0。若存在实数，使
− 2 + 4, >
位长度得到函数 = + 的图像。 = − (向左平移1个单位) ⟶
+1
上加下减：函数 = 的图像沿轴方向向上 > 0 或向下 < 0 平移 个单
位长度得到函数 = + 的图像。
2、函数图像的变换
（2）对称变换：常见的对称规则如下
① = 的图像
② = 的图像
③ = 的图像
关于轴对称
关于轴对称
关于原点对称
= − 的图像
= − 的图像
= − − 的图像
（3）翻折变换：
① = 保留轴上方的图像，把轴
下方的图像翻折到轴上方
（4）已知 是一元二次函数，满足 0 = 1, 1 = 2, 2 = 5，求 的解
析式；
（5）已知 是一元二次函数，且 0 = 3, + 2 − = 4 + 2，求
�� 的解析式。
对 点 练 习
1、求函数的解析式
复合函数解析式的求解方法：整体代入法，换元法和配凑法
1
（3）已知函数 满足
+ 2 2 = 4，求 的解析式。
2
对 点 练 习
1、求函数的解析式
抽象函数（已知含有 , 情势的函数）的解析式求解方法：赋值法
（1）设 是定义在上的函数，且满足 0 = 1，并且对任意的实数, 都有
− = − 2 − + 1 ，求 的解析式；
，其中 > 0。若存在实数，使
− 2 + 4, >