人教版高中数学必修4-3.2复习知识汇总：三角恒等变换
数学人教A版必修4： 3.2简单的三角恒等变换 含解析 精
备课资料一、三角函数的综合问题三角函数是中学学习的重要的基本初等函数之一,近年来,高考每年都要考查三角函数的图象和性质的基础知识.在综合题中,也常常会涉及三角函数的基础知识的应用.因此,对本单元的学习要落实在基础知识、基本技能和基本方法的前提下,还应注意与其他部分知识的综合运用.三角函数同其他函数一样,具有奇偶性、单调性、最值等问题,我们还要研究三角函数的周期性、图象及图象的变化,有关三角函数的求值、化简、证明等问题.应熟知三角函数的基本性质,并能以此为依据,研究解析式为三角式的函数的性质,掌握判断周期性,确定单调区间的方法,能准确认识三角函数的图象,会做简图、对图象进行变化.二、备用习题 1.20cos 10cos 20sin 10sin ++的值是（ ） A.tan10°+tan20° B.33 C.tan5° D.2-3 2.若α-β=4π,则sinαsinβ的最大值是（ ） A.422- B.422+ C.43 D.1 3.已知sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0,则cos(β-γ)的值是（ ）A.1B.-1C.21 D.21- 4.若cosαsinx=21,则函数y=sinαcosx 的值域是（ ） A.［23-,21］ B.［21-,21］ C.［21-,23］ D.［-1,1］5.log 2(1+tan19°)+log 2(1+tan26°)=______________.6.已知函数f(x)=cos2xcos(3π-2x),求f(x)的单调递减区间、最小正周期及最大值. 7.已知sinA=53-,cosB=419-,A ∈(23π,2π),B ∈(π,23π),求sin(2A-2B )的值,并判定2A-2B 所在的象限.8.已知f(0)=a,f(2π)=b,解函数方程:f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·cosy. 参考答案:1.D2.B3.D4.B5.16.f(x)=21［cos 3π+cos(4x-3π)］=21cos(4x-3π)+41,由2kπ≤4x -3π≤2kπ+π(k ∈Z ),得原函数的单调递减区间是［2πk +12π,2πk +3π］(k ∈Z ),T=2π,最大值是43.7.cosA=54,sin2A=2524-,cos2A=1-2sin 2A=257,∵B ∈(π,23π),∴2B ∈(2π,43π). ∴sin 2B =415,cos 2B =414-. ∴sin(2A-2B )=sin2 A cos 2B -cos2Asin 2B =10254161. 又cos(2A-2B )=cos2Acos 2B +sin2Asin 2B <0,∴2A-2B 是第二象限角. 8.分别取⎩⎨⎧==.,0t y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=.2,2ππy t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==.2,2t y x ππ代入方程,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∙-=-++=++∙=-+)3(,sin )2(2)()()2(,0)()()1(,cos )0(2)()(t f t f t f t f t f t f t f t f πππ①+②-③,得2f(t)=2f(0)cost+2f(2π)sint.∵f(0)=a,f(2π)=b,∴f(x)=acosx+bsinx.(设计者：房增凤）。
2019-2020学年人教A版必修4 3.2 简单的三角恒等变换 课件(19张)
第三章 三角恒等变换
2．(2018·安徽芜湖高一期末)已知等腰三角形的顶角的余弦
值等于275，则它的底角的余弦值为( )
3 A.4
B．35
1 C.2
D．45
数学 必修4 A
第三章 三角恒等变换
解析：选 B 设等腰三角形的顶角为 α，底角为 β，则 cos α
＝275.又 β＝π2－α2，所以 cos β＝cosπ2－α2＝sin α2＝ 35，故选 B.
第三章 三角恒等变换
第三章 三角恒等变换
3.2 简单的三角恒等变换
数学 必修4 A
第三章 三角恒等变换
掌握几个要点
题知 点识知点识判巩断固
提能达标过关
数学 必修4 A
第三章 三角恒等变换
掌握几个要点
数学 必修4 A
记住 1 组公式 半角公式
第三章 三角恒等变换
数学 必修4 A
第三章 三角恒等变换
θ 2.
答案：－tan
θ 2
数学 必修4 A
第三章 三角恒等变换
知识点二 三角恒等式的化简求值
4．若 π<α<2π，则化简
1－cos2α－π的结果是(
)
A．sin
α 2
B．cos
α 2
C．－cos
α 2
解析：选 C
D．－sin
α 2
∵π<α<2π，∴π2<α2<π，∴cos α2<0，
原式＝
1＋cos 2
题点知识巩固
数学 必修4 A
第三章 三角恒等变换
知识点一 半角公式
1． (2018·山东青 岛四校高一 期中 )已 知
sin
高一数学必修四三角恒等变换知识点
高一数学必修四三角恒等变换知识点两角和差公式⒉两角和与差的三角函数公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβtanα+tanβ(α+β)=——————1-tanα·tanβtanα-tanβtan(α-β)=——————1+tanα·tanβ倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)sin2α=2sinαcosαcos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)2tanαtan2α=—————1-tan^2(α)半角公式⒋半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)1-cosαsin^2(α/2)=—————21+cosαcos^2(α/2)=—————21-cosαtan^2(α/2)=—————1+cosα万能公式⒌万能公式2tan(α/2)sinα=——————1+tan^2(α/2)1-tan^2(α/2)cosα=——————1+tan^2(α/2)2tan(α/2)tanα=——————1-tan^2(α/2)和差化积公式⒎三角函数的和差化积公式α+βα-βsinα+sinβ=2sin—----·cos—---22α+βα-βsinα-sinβ=2cos—----·sin—----22α+βα-βcosα+cosβ=2cos—-----·cos—-----22α+βα-βcosα-cosβ=-2sin—-----·sin—-----22积化和差公式⒏三角函数的积化和差公式sinα·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]9解三角形步骤1.在锐角△ABC中，设三边为a，b，c。
人教版高中数学必修四《三角恒等变换-复习小结》
[借题发挥] 在三角函数式的化简求值问题中要注意角的变化 函数名的变化，合理选择公式进行变形，同时注意三角变换 技巧的运用．（给角求值，给值求值，给值求角）
1 tan B 3 , 1 tan B
(1 , 3 ) (cos A , sinA) 1 , 即 3 sinA cos A 1 , 2( 3 sin A 1 cos A) 1 , 2 2 sin(A ) 1 . 6 2 0 A , A 5 , 6 6 6 A , 即 A . 6 6 3
tan12 tan33 (5) 1 tan12 tan33
（
1 4
公式变，逆用）
2 2
质疑再探
例1：已知 ，为锐角， cos 1 13 , cos( ) 求 cos 的值 7 14
注：⑴ 常用角的变换：
① ( ) ② 2 ( ) ( )
设疑自探 5.三角变换的方针是什么？ 遵循原则
寻求差异
注意常识
消除差异
解疑合探
计算：
(1) cos74 sin 14 sin 74 cos14
(2) sin 20 cos110 cos160 sin 70
3 2
1
(3)1 2 sin 22.5
2
(4) sin 15 cos15
设疑自探
4．三角变换常识有哪些？
(1)sinα，cosα→凑倍角公式． (2)1± cosα→升幂公式． π α α2 (3)1± sinα 化为 1± cos(2± α)，再升幂或化为(sin2± cos2) . (4)asinα＋bcosα→辅助角公式 asinα＋bcosα＝ a2＋b2· sin(α＋ b φ)，其中 tanφ＝a或 asinα＋bcosα＝ a2＋b2· cos(α－φ)，其中 tanφ a ＝b.
必修4第三章三角恒等变换基础知识
必修4 第三章 三角恒等变换一、 基础知识：1 两角和与差的三角函数公式：⑴ sin()_____________________αβ±=； ⑵ cos()____________________αβ±= ； ⑶ tan()_____________αβ±= 2 二倍角公式；⑴ cos 2__________α= __________= __________= ⑵sin 2__________θ= ⑶tan 2____________θ= 3公式的变形应用： ⑴ 降次公式：2cos _______α=， 2sin _________α=；22cos _______α=， 22sin _________α=；sin cos _______θθ=⑵ 升幂公式：1cos 2______;α-= 1cos 2_______α+= ⑶ 常用变形公式：1sin _______2x x = ； sin cos _______x x +=；1cos _______2x x -=； sin cos _______x x -=； tan tan __________________αβ+=⑷ 常见的角的变换： 2α＝(α＋β)＋( )；α＝2βα+＋______； α＝(α＋β)－ ＝(α－β)＋2βα+＝(α－2β)－( )； ()(_____)4x π-+＝2π4 特殊公式：sin cos ______________a x b x += 5主要方法与思路：⑴．分析思路上，主要有三看： 、 、 ； ⑵．主要方法上：函数名称的变换（ 、 ）、角的变换（ ）、1的变换等方面；二典型例题：例1、若sinA=55，sinB=1010，且A ，B 均为钝角，求A+B 的值。
变式练习： 1、已知α∈(2π,π)，sin α=53,则tan(4πα+)等于 （ ） A.71 B.7 C.－ 71D.－7 2、sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 （ ）A.－21 B.21C.－23D.233、sin15______o=； cos15sin15_____oo-=；1tan15______1tan15oo+=- 4、（05年，文6理5）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是 （ ）(A)sin(α+β)>sin α+sin β (B)sin(α+β)>cos α+cos β (C)cos (α+β)<sin α+sin β (D)cos (α+β)<cos α+cos β 例2、求值0tan 35tan 2535tan 25+⋅变式练习：1、求(1tan 22)(1tan 23)_______oo++=。
高中数学人教版必修4课件3-2简单的三角恒等变换1
α ＝cos
α.
[类题通法] 化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联 系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系 它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的 名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变 形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．
(3)由于tan
α 2
＝
sin α 1＋cos
α
及tan
α 2
＝
1－cos sin α
α
不含被开方
数，且不涉及符号问题，所以求解题目时，使用相对方
便，但需要注意该公式成立的条件．
(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目时，常用
sin2α2＝1－c2os
α，cos2α2＝1＋c2os
α .
常考题型
(10分)
采用换元法实现了sin θ＋ cos θ与sin θcos θ间的转 化，从而将问题转化为熟 知的一元二次函数，但要 注意换元后的定义域．此 处易忽视t的取值范围而导 致答案错误.
故当t＝190时，S矩形PQCR有最小值950 m2；
当t＝ 2时，S矩形PQCR有最大值(14 050－9 000 2)m2.(12分)
原式＝2cos2α2＋2sinα2cosα2sinα2－cosα2 2·2cos2α2
＝2cosα2cosα2＋sinα2αsinα2－cosα2 2cos2
cosα2－cos α α . cos2
又∵180°<α<360°，∴90°<α2<180°，
∴cosα2<0，
∴原式＝cosα2－·－coscα2os
人教a版必修四第三章3.2简单的三角恒等变换(函数综合)(共18张PPT)
Q
设矩形ABCD的面积为S，则
D
C
S AB BC (cos 3 sin )sin
3
sin cos 3 sin2
O αA B P
3
1 sin 2 3 (1 cos 2 ) 1 sin 2 3 cos 2 3
2
6
2
6
6
1 ( 3 sin 2 1 cos 2 ) 3 1 sin(2 ) 3
于是OA 3 DA 3 BC 3 sin O α A
BP
3
3
3
AB OB OA cos 3 sin
3
一、例题分析
例3、如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为60°的
扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接形。
∠COP=α，求当α取何值时，矩形ABCD的面积最大？
并求出这个最大面积.
分析：考虑式子中是关于cosx和sinx的二次式，故可 考虑降幂升角，容易得
f ( x) sin 2x cos 2x 2
2 sin(2x ) 2
4
结合三角函数的图像和性质可求得结果
例2、已知a (5 3 cos x, cos x)，b (sin x, 2cos x)，
函数f
(x)
a
所以函数f ( x)的最小正周期是T
例2、已知a (5 3 cos x, cos x)，b (sin x, 2cos x)，
函数f
(x)
a
b
2
b
5sin(2x ) 7
62
(2)当 x 时，求函数f ( x)的值域。
6
2
解：(2)当 x 时， 2x ( , 7 )
函sin数(26f x( x)的6 )值2域(为12(,11,)1，7)故。6f
人教A版高中数学必修四课件：第三章 3.2(二)简单的三角恒等变换 (共56张PPT)
高中数学必修4第三章3.2简单的三角恒等变换
一、复习:两角和的正弦、余弦、正切公式:
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
tan
tan tan 1 tan tan
二sin 2 2sin cos
＝3(cosx 2)2 1 33
又 x 2 , 1 cosx 1 ,
3 当x＝ 2
3
32
时，(cosx) min
1 2
,
y2max＝145
;
当x＝
3
时，(cosx) max
1 2
, ymin＝
1 4.
七、y （a sinx+cosx)+bsinxcosx型
例7 求函数y sinx+cosx+sinxcosx的最值. <分析>注意到（sinx+cosx）2＝1 2sinxcosx.可把sinx+cosx
sin2 1 cos 2
2
降幂升角公式
二、讲授新课：
例1.试以cos表示sin2 ,cos2 ,tan2 .
2
2
2
半角公式
sin 1 cos ,
2
2
cos 1 cos ,
2
2
tan 1 cos .
符号由α所在象限决定. 2
1 cos
2
1．半角公式
sin 1 cos
分析:要求当角取何值时,矩形ABCD的面积 S最大, 可分二步进行. ①找出S与之间的函数关系; ②由得出的函数关系,求S的最大值.
解 在Rt△OBC中,OB=cos,BC=sin 在Rt△OAD中,
高一必修4数学三角恒等变换知识点总结
高一必修4数学三角恒等变换知识点总结
高一必修4数学三角恒等变换知识点
三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果.化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值;(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少;(3)分式中的分母尽量不含根式等.
1.求值中主要有三类求值问题：
(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看
是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，
要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角
的三角函数而得解.
(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些
角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种
关系.
(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单
调区间求得角.
2.三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：
(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等.
(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α=(α+β)+(α-β)，
α=(α+β)-β，α=(α-β)+β，α+β2=α-β2+β-α2，α2是
α4的二倍角等.
(3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式.
(4)消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异.。
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三角恒等变换复习知识汇总
一、两角和与差、二倍角公式应掌握的要点
1．正、余弦函数的两角和与差、二倍角公式中的αβ，是任意角，即对任意角αβ，来说公式都成立．要注意正切函数自身的定义域对正切函数的两角和与差公式及二倍角公式中αβ，的范围的限制．
2．当αβ，中有一个角是π2
的整数倍时，利用正、余弦函数的诱导公式比较简便，和（差）角公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是和（差）角公式的特例．
3．二倍角公式的推导过程充分体现了由一般到特殊的化归思想，使二倍角三角函数能够用它的简单三角函数表示．
4．要注意两角和与差以及二倍角的相对性，熟悉“角的演变”规律，如2()()ααβαβ=++-；()()ααββαββ=+-=-+； (2)()22αβ
αβ
βαβαβ+-=-=+-+；2()()ααβαβ=++-；
()()αβαγγβ-=-+-，154530=-；
πππ424αα⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭， 3πππ()442
βααβ⎛⎫⎛⎫+--=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；还有α有2α的倍角，3α是32α的倍角等．三角函数式中往往出现较多的差异角，注意观察角与角之间的和、差、倍、半、互补、互余等关系，运用角的变换，化复角为单角或想方设法减少未知角的数目，沟通条件角与结论角的联系，使问题顺利获解．
二、几个常见的三角变换
1．函数名称变换：三角变换中，常常需要变换函数．若能把所给式子中的三角函数都化成同名的三角函数，减少函数种类，就能达到变换的目的．则此三角函数式的化简，实质上是代数式的变形．
2．常数的变换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，尤其要重视常数“1”的各种变形，这样，就增加了多种可用的工具．常见的代换有：221sin cos αα=+，1tan 45=等，在具体的三角变换过程中，可以添加在任意位置，往往能起到意想不到的效果．
3．公式变换：三角公式作为恒等式，在运用时，不能仅局限于它的正用，还应熟悉公式的逆用和变形应用．比如对于公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ
++=-，应注意其两种变形：tan tan tan()(1tan tan )βααβαβ+=+-·和tan tan 1tan tan tan()αβα
βαβ-=++·，这些都是在解题中经常用到的．
4．结构变换：在三角变换中，常常对条件、结论的结构施行调整，或重新分组，或移项，或变乘为除，或求差等等，在形式上需要分解因式、配方等．
三、三角变换的三个常见用途
1．三角函数式的化简问题
（１）三角函数式的化简原则：①项数尽量少；②三角函数种类尽量少；③次数尽量低；④分母尽量不含三角函数；⑤根号下尽量不含三角函数；⑥能求值的求出值来．
（２）化简三角函数式的一般要求是：①异角化同角；②异次化同次；③异名化同名；④特殊值与特殊角的三角函数互化；⑤弦、切互化；⑥升幂、降幂．
2．三角函数求值问题
三角函数的求值问题的思考程序是：将角化为特殊角或将三角函数化为同角、同名函数进行合并与化简，最后求出三角函数值来．在求值过程中，要注意差异分析法的有效运用．
（1）给角求值
一般所给出的角都是非特殊角，但若仔细观察,非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时要利用观察得到的关系，将非特殊角转化为特殊角并且求出特殊角的三角函数值而得解．但应注意的是，要重视角的范围对三角函数值的影响，因此还要注意角的范围的讨论．
（2）给值求值
给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使已知角与所求角具有某种关系．
解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化，进而推出结论．其中“凑角法”是解决此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这种关系来选择公式．
（3）给式求值。