人教B版高中数学精编必修二学案：1.1.2 第1课时 平行直线、直线与平面平行

1.2.2.空间中的平行关系
第1课时.平行直线、直线与平面平行
[学习目标].1.能认识和理解空间平行线的传递性，会证明空间等角定理.2.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用两个定理解决空间中的平行关系问题
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[知识链接]
1.直线和平面的位置关系有：平行、相交、直线在平面内.
2.当直线与平面无公共点时，直线和平面平行. [预习导引]
1.平行直线的定义及平行公理
在平面几何中，我们把在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线. 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行. 2.基本性质4
平行于同一条直线的两条直线互相平行，即如果直线a ∥b ，c ∥b ，那么a ∥c . 3.等角定理
如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等. 解决学生凝难点：. 4.直线和平面的位置关系
5.
要点一.基本性质4及等角定理的应用
例1.如图，已知棱长为a 的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD 、AD 的中点.
(1)求证：四边形MNA 1C 1是梯形； (2)求证：∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.
证明.(1)如图，连接AC ，在△ACD 中，
∵M ，N 分别是CD 、AD 的中点， ∴MN 是△DAC 的中位线， ∴MN ∥AC ，MN ＝1
2AC .
由正方体的性质得： AC ∥A 1C 1，AC ＝A 1C 1.
∴MN ∥A 1C 1，且MN ＝1
2A 1C 1，即MN ≠A 1C 1，
∴四边形MNA 1C 1是梯形. (2)由(1)可知MN ∥A 1C 1， 又∵ND ∥A 1D 1，
∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补.
而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.
规律方法.(1)空间两条直线平行的证明：①定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；②利用基本性质4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行. (2)等角定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般再借助于图形判断是相等，还是互
补，还是两种情形都有可能.
跟踪演练1.如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点.
(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；
(2)若四边形EFGH 是矩形，求证：AC ⊥BD . 证明.(1)在△ABD 中，
∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点， ∴EH ∥BD .同理FG ∥BD ，则EH ∥FG . 故E ，F ，G ，H 四点共面.
(2)由(1)知EH ∥BD ，同理AC ∥GH .
又∵四边形EFGH 是矩形，∴EH ⊥GH .故AC ⊥BD . 要点二.线面平行的判定
例2.已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不同在一个平面内，P ，Q 分别是对角线AE 、BD 上的点，且AP ＝DQ .求证：PQ ∥平面CBE .
证明.方法一.作PM ∥AB 交BE 于点M ，作QN ∥AB 交BC 于点N ，如图①，
①
则PM ∥QN ， ∴PM AB ＝EP EA ，QN CD ＝BQ BD . 又∵EA ＝BD ，AP ＝DQ ， ∴EP ＝BQ .
又AB ＝CD ，∴PM 綊QN .
∴四边形PMNQ 是平行四边形.∴PQ ∥MN . 又PQ ⊄平面CBE ，MN ⊂平面CBE ， ∴PQ ∥平面CBE .
方法二.连接AQ ，并延长交直线BC 于R ，连接ER ，如图②.
②
∵AD ∥BR ， ∴AQ AR ＝DQ DB
. 又DQ ＝AP ，DB ＝AE ， ∴AQ AR ＝AP
AE
∴PQ ∥ER . 又PQ ⊄平面CBE ，ER ⊂平面CBE ，∴PQ ∥平面CBE .
规律方法.1.利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线.
2.证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、平行公理等.
跟踪演练2.如图，ABCD 是平行四边形，S 是平面ABCD 外一点，M 为SC 的中点，求证：SA ∥平面MDB .
证明.连接AC 交BD 于点O ，连接OM .
∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴O 是AC 的中点， 又∵M 是SC 的中点， ∴OM ∥SA .
∵OM ⊂平面MDB ，SA ⊄平面MDB ，∴SA ∥平面MDB . 要点三.线面平行的性质定理的应用
例3.已知：α、β是两个平面，a 、l 是两条直线，且α∩β＝l ，a ∥α，a ∥β.求证：a ∥l . 证明.如图所示，过a 作平面γ交平面α于b ，
∵a∥α，∴a∥b.
同样过a作平面δ交平面β于c，
∵a∥β，∴a∥c，∴b∥c.
又b⊄β，c⊂β，∴b∥β.
又b⊂α，α∩β＝l，∴b∥l，∴a∥l.
线∥线.在空间平行关系中，交替使用线线平行、线面平行的判规律方法.线∥面线面平行的性质
线面平行的判定
定与性质是解决此类问题的关键.
跟踪演练3.如图，在直四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD.AB＝4.BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点.
证明：直线EE1∥平面FCC1.
证明.如图，在直四棱柱ABCD -A1B1C1D1中.
取A1B1的中点F1，连接A1D，C1F1，CF1，FF1.
∵FF1∥BB1∥CC1，
∴F1F⊂平面FCC1，
∴平面FCC1即为平面C1CFF1.
∵AB＝4，CD＝2且AB∥CD，∴CD綊A1F1，
∴A1F1CD为平行四边形，
∴CF1∥A1D.
又E，E1分别是棱AD，AA1的中点，
∴EE1∥A1D，∴CF1∥EE1，
又EE1⊄平面FCC1，CF1⊂平面FCC1，
∴直线EE1∥平面FCC1.
1.如果OA∥O1A1，OB∥O1B1，那么，∠AOB和∠A1O1B1(..)
A.相等
B.互补
C.相等或互补
D.大小无关
答案.C
解析.因为角的方向不定，所以∠AOB与∠A1O1B1相等或互补.
2.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(..)
A.一条直线不相交
B.两条相交直线不相交
C.无数条直线不相交
D.任意一条直线不相交
答案.D
解析.线面平行，则线面无公共点，所以选D，对于C，要注意“无数”并不代表所有.
3.如图，在下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(..)
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
答案.B
解析.①中，取NP中点O，连MO，则MO∥AB，AB⊄平面MNP.MO⊂平面MNP，∴AB∥平面MNP；
②中，在平面MNP内找不到与AB平行的直线，故②不能得出；③中，AB与平面MNP相交；
④中，∵AB∥NP，AB⊄平面MNP.NP⊂平面MNP.
∴AB∥平面MNP.
4.l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(..)
A.l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3
B.l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3
C.l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面
D.l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面 答案.B
解析.在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A 错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B 正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C 错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D 错.
5.如图所示，a ∥α，A 是α的另一侧的点，B 、C 、D ∈a ，线段AB 、AC 、AD 分别交α于E 、F 、G ，若BD ＝4，CF ＝4，AF ＝5，则EG ＝________.
答案.209
解析.由已知EG ∥BD ， ∴EG BD ＝AF AC ，∴EG ＝209
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1.求证两直线平行有两种常用的方法：一是应用基本性质4，证明时要充分应用好平面几何知识，如平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理等；二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点.
2.求证角相等也有两种常用的方法：一是应用等角定理，在证明的过程中常用到基本性质4，注意两角对应边方向的讨论；二是应用三角形全等或相似.
3.利用直线与平面平行的判定定理来证明线面平行，关键是寻找面内与已知直线平行的直线，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等.
4.利用线面平行的性质定理解题的步骤： (1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面；
(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平面相交的平面； (3)确定交线，由性质定理得出结论.。