对数函数de运算法则
对数函数的运算法则
对数函数的运算法则对数函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域，具有许多重要的运算法则。
在本文中，将详细介绍对数函数的运算法则，包括对数的乘法法则、对数的除法法则、对数的幂法法则以及对数的换底法则。
1.对数的乘法法则：对数的乘法法则是指，在相同底数下，两个数的对数的和等于这两个数的乘积的对数。
具体表达式为：log_a(x * y) = log_a(x) + log_a(y)。
例如，log_2(4 * 8) = log_2(4) + log_2(8) = 2 + 3 = 52.对数的除法法则：对数的除法法则是指，在相同底数下，两个数的对数的差等于这两个数的商的对数。
具体表达式为：log_a(x / y) = log_a(x) - log_a(y)。
例如，log_2(16 / 4) = log_2(16) - log_2(4) = 4 - 2 = 23.对数的幂法法则：对数的幂法法则是指，在相同底数下，一个数的对数与这个数的幂之间存在关系。
具体表达式为：log_a(x^b) = b * log_a(x)。
例如，log_3(4^2) = 2 * log_3(4)。
4.对数的换底法则：对数的换底法则是指，可以通过换底公式将一个底数为a的对数转化为底数为b的对数。
具体表达式为：log_a(x) = log_b(x) / log_b(a)。
例如，log_2(16) = log_10(16) / log_10(2)。
通过运用以上的对数函数的运算法则，可以简化对数函数的运算和求解过程。
对数函数的运算法则在数学的各个领域中都有广泛的应用，特别是在解决指数增长、复利计算、数据压缩等问题中具有重要作用。
此外，还有一些其他的对数函数的运算法则值得注意，包括：- 对数的对数法则：log_a(log_a(x)) = 1，即对数的反函数是指数函数。
-对数函数的性质：对数函数的图像为一条增长缓慢的曲线，且在定义域内满足单调性和有界性。
对数函数相加
对数函数相加
对数函数相加log a (M·N)=log a M+log a N
比如：lg20=lg(4×5）=lg4+lg5
扩展
1.对数运算法则
如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 ：
(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a M α＝αlog a M ；
(3)log a M N ＝log a M －log a N .
2.换底公式
对数换底公式：log a b ＝log c b log c
a (a >0且a ≠1，
b >0，
c >0且c ≠1). 拓展：log am M n
＝n m log a M (a >0且a ≠1，M >0，n ∈R ，m ≠0) 特别地：log a b ·log b a ＝1(a >0且a ≠1，b >0，且b ≠1).
(1)换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题.
如在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个底数的对数，再根据运算法则进行化简与求值.
(2)要注意换底公式的两个重要推论的应用，
①log a b ＝1log b
a ；②log am
b n ＝n m log a b ，其中a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，
m，n∈R.。
对数函数计算全
§2.2 对数函数 2．2.1 对数与对数运算1．对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)根据对数的定义，对数log a N (a >0，且a ≠1)具有下列性质： ①零和负数没有对数，即N >0； ②1的对数为零，即log a 1＝0； ③底的对数等于1，即log a a ＝1. 2．对数的运算法则 (1)基本公式①log a (MN )＝log a M ＋log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)②log a MN＝log a M －log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)③log a M n ＝n ·log a M (a >0，a ≠1，M >0，n ∈R ) 3．对数换底公式在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：log b N ＝log c Nlog c b(b >0，且b ≠1；c >0，且c ≠1；N >0)．由换底公式可推出下面两个常用公式：(1)log b N ＝1log N b 或log b N ·log N b ＝1 (N >0，且N ≠1；b >0，且b ≠1)；(2)log bn N m ＝mnlog b N (N >0；b >0，且b ≠1；n ≠0，m ∈R ).题型一 正确理解对数运算性质对于a >0且a ≠1，下列说法中，正确的是( )①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A ．①与③B ．②与④C ．②D ．①、②、③、④题型二 对数运算性质的应用求下列各式的值：(1)2log 32－log 3329＋log 38－5log 53；(2)lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3)log 52·log 79log 513·log 734.题型三 对数换底公式的应用计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)．已知log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1，求实数x 的值．对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一，主要性质有：log a 1＝0，log a a ＝1，a log a N ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．1．(上海高考)方程9x －6·3x －7＝0的解是________．2．(辽宁高考)设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝____.1．对数式log (a －3)(7－a )＝b ，实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，7) B ．(3,7)C ．(3,4)∪(4,7)D ．(3，＋∞)2．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( ) A ．a －2 B ．3a －(1＋a )2 C ．5a －2 D ．－a 2＋3a －1 3．log 56·log 67·log 78·log 89·log 910的值为( )A ．1B ．lg5 C.1lg5D ．1＋lg24．已知log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(1，＋∞)5．已知函数f (x )＝a x －1＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,3]上最大值与最小值之和为a 2，则a 的值为( )A ．4 B.14 C ．3 D.136．若方程(lg x )2＋(lg7＋lg5)lg x ＋lg7·lg5＝0的两根为α，β，则αβ等于( )A ．lg7·lg5B ．lg35C ．35 D.1357．已知f (log 2x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________. 8．log (2－1)(2＋1)＝________.9．已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg x ＝－2＋0.778 1，则x ＝________.10．(1)已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求log 2xy的值；(2)已知log 189＝a,18b＝5，试用a ，b 表示log 365.11．设a ，b ，c 均为不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z＝0，求abc 的值．12．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且关于x 的方程x 2－2x ＋lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1＝0有等根，试判定△ABC 的形状．2．2.1 对数与对数运算(一)自学导引 1．如果a (a >0且a ≠1)的b 次幂等于N ，就是a b ＝N ，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(1)1的对数为零； (2)底的对数为1；(3)零和负数没有对数．3．通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e 为底的对数叫做自然对数，log 10N 可简记为lg N ，log e N 简记为ln N .4．若a >0，且a ≠1，则a b ＝N 等价于log a N ＝b . 5．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1).一、对数式有意义的条件例1 求下列各式中x 的取值范围：(1)log 2(x －10)；(2)log (x －1)(x ＋2)；(3)log (x ＋1)(x －1)2.变式迁移1 在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2<a <5 C ．2<a <3或3<a <5 D ．3<a <4二、对数式与指数式的互化例2 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：(1)54＝625； (2)log 128＝－3；(3)⎝⎛⎭⎫14－2＝16; (4)log 101 000＝3.变式迁移2 将下列对数式化为指数式求x 值：(1)log x 27＝32； (2)log 2x ＝－23；(3)log 5(log 2x )＝0; (4)x ＝log 2719；(5)x ＝log 1216.三、对数恒等式的应用例3 (1)a log a b ·log b c ·log c N 的值(a ，b ，c ∈R ＋，且不等于1，N >0)；(2)412(log 29－log 25)．变式迁移3 计算：3log 35＋(3)log 315.1．一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是a b ＝N ，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．利用a b ＝N ⇔b ＝log a N (其中a >0，a ≠1，N >0)可以进行指数与对数式的互化． 3．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1)．一、选择题1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．100＝1与lg1＝0B ．27－13＝13与log 2713＝－13C ．log 312＝9与912＝3D ．log 55＝1与51＝52．指数式b 6＝a (b >0，b ≠1)所对应的对数式是( ) A ．log 6a ＝a B ．log 6b ＝a C ．log a b ＝6 D ．log b a ＝63．若log x (5－2)＝－1，则x 的值为( ) A.5－2 B.5＋2C.5－2或5＋2 D ．2－ 54．如果f (10x )＝x ，则f (3)等于( ) A ．log 310 B ．lg3 C ．103 D ．3105．2·log 25＋12·log 25的值等于( )A ．2＋ 5B ．25 5C ．2＋52D ．1＋52二、填空题6．若5lg x ＝25，则x 的值为________．7．设log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n 的值为________． 8．已知lg6≈0.778 2，则102.778 2≈________. 三、解答题9．求下列各式中x 的值(1)若log 3⎝⎛⎭⎫1－2x 9＝1，则求x 值； (2)若log 2 003(x 2－1)＝0，则求x 值．10．求x 的值：(1)x ＝log 224；(2)x ＝log 93；(3)x ＝71－log 75；(4)log x 8＝－3；(5)log 12x ＝4.对数与对数运算(二)自学导引1．对数的运算性质：如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么， (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．2．对数换底公式：log a b ＝log c blog c a.一、正确理解对数运算性质例1 若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数有( ) ①log a x · log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a xy＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个变式迁移1 若a >0且a ≠1，x >0，n ∈N *，则下列各式正确的是( )A ．log a x ＝－log a 1xB ．(log a x )n ＝n log a xC ．(log a x )n ＝log a x nD ．log a x ＝log a 1x二、对数运算性质的应用例2 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8；(2)2(lg 2)2＋lg 2·lg5＋(lg 2)2－lg2＋1； (3)lg 27＋lg8－lg 1 000lg1.2；(4)(lg5)2＋lg2·lg50.变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514；(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64.三、换底公式的应用例3 (1)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值；(2)已知log 189＝a,18b＝5，求log 3645. 变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ； (2)已知log 1227＝a ，求log 616的值．1．对于同底的对数的化简常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题． 3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．一、选择题1．lg8＋3lg5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．32．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则log 36等于( ) A.a ＋b a B.a ＋b bC.a a ＋bD.b a ＋b3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫lg ab 2的值等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.144．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y等于( )A.13 B ．3 C ．－13D ．－3 5．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 005)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 005)的值等于( )A ．4B ．8C ．16D ．2log a 8 二、填空题6．设lg2＝a ，lg3＝b ，那么lg 1.8＝__________.7．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x 的值为____． 8．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝________. 三、解答题9．求下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.10．若26a ＝33b ＝62c ，求证：1a ＋2b ＝3c.。
对数函数的运算与性质
对数函数的运算与性质对数函数是数学中常见的一种特殊函数形式，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将探讨对数函数的运算法则及其重要性质，帮助读者更好地理解和应用对数函数。
一、对数函数的定义与表示对数函数的定义是：若正数 a、b，并且a ≠ 1，则称正数 b 对以 a 为底的对数函数。
对数函数常用的表示形式为：logₐb，其中 a 为底数，b 为真数，log 为对数运算符号。
二、对数函数的运算法则1. 对数函数的乘法法则：logₐ (b × c) = logₐ b + logₐ c2. 对数函数的除法法则：logₐ (b / c) = logₐ b - logₐ c3. 对数函数的幂法法则：logₐ bᵈ= d × logₐ b三、对数函数的性质1. 对数函数的定义域与值域：对数函数logₐ b 的定义域为正实数集，值域为实数集。
2. 对数函数的图像特征：- 当 a > 1 时，对数函数y = logₐ x 的图像在 (0,1) 区间上递减，而在(1,∞) 区间上递增。
图像与 x 轴在点 (1,0) 相交，与 y 轴平行。
- 当 0 < a < 1 时，对数函数y = logₐ x 的图像在 (0,1) 区间上递增，而在(1,∞) 区间上递减。
图像与 x 轴在点 (1,0) 相交，与 y 轴平行。
3. 对数函数的特殊性质：- logₐ 1 = 0：任何正数以其自身为底的对数函数都等于 0。
- logₐ a = 1：任何正数以其自身为底的对数函数都等于 1。
- logₐ a = logₐ a₁：任意底数相同的对数函数都相等。
四、对数函数的应用对数函数在各个领域中都有重要的应用，以下列举其中几个典型的应用场景：1. 指数增长问题：对数函数可以用来描述指数增长问题，如人口增长、物种繁衍等。
通过对数函数的运算法则，可以更好地分析和预测相关数据的增长趋势。
2. 数据压缩与存储：对数函数可以用来进行数据压缩和存储。
必修1第三章对数函数的运算法则
必修1第三章对数函数的运算法则对数函数是数学中的一种常见函数，它与指数函数是对应关系。
在学习对数函数的运算法则之前，我们先来了解一下对数的定义及其性质。
1.对数的定义：设a为大于0且不等于1的实数，对任意正数x，称满足方程a^y = x的实数y为以a为底x的对数，记作y=log_a(x)。
其中，a称为对数的底数，x称为真数，y称为对数。
2.对数的性质：①对数的底数不为1，大于0，且不等于1② 对数的定义就是一个等式，如果a^b=x，则b=log_a(x)。
③ 对数的值域为全体实数，即：log_a(x)对任何正数x都有定义。
④ 对数函数是一个递增函数，即：当x_1<x_2时，log_a(x_1)<log_a(x_2)。
⑤对数函数的图像关于y轴对称。
⑥ 特殊的对数值：当a>1时，log_a(1)=0；当a<1时，log_a(1)=0。
了解了对数的一些基本概念之后，我们可以来学习对数函数的运算法则了：1.换底公式：log_a(b)=log_c(b)/log_c(a)换底公式是对数运算中的重要公式，它可以将一个对数转化为以另一个底数的对数。
利用这个公式，我们可以在计算对数时灵活选择适用的底数。
2.对数函数的四则运算：①和差公式：log_a(b*c)=log_a(b)+log_a(c)；log_a(b/c)=log_a(b)-log_a(c)和差公式可以将对数函数中的乘法和除法转化为加法和减法。
②幂公式：log_a(b^c)=c*log_a(b)幂公式可以将对数函数中的指数转化为乘法。
3.对数函数的指数与对数的互化：指数运算和对数运算是互为逆运算的，即：a^log_a(x)=x；log_a(a^x)=x这个性质在实际运算中经常会用到，可以帮助我们方便地进行对数函数的简化。
4.公式法则：①log_a(b^n)=n*log_a(b)；②log_a(b)=log_a(c)+log_c(b)；③log_a(b^n)=1/n*log_a(b^)；④log_a(x^n)=n*log_a(x)；⑤log_a(b)=1/log_b(a)。
对数函数运算法则
解答(1)①log5625=4.②log2164=-6.
③log327=x.④log135.73=m.
解题方法
指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：ab=N?logaN=b.(2)①12-4=16.②27=128.③3x=27.
即lgy=-lgx1+lgx(x≠110,lgx≠-1).
令lgx=t, 则lgy=-t1+t(t≠-1).
∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t.
解题规律
对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t21+t,得关于t的方程t2-St-S=0有实数解.
1对数的概念
如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
由定义知：
①负数和零没有对数;
②a>0且a≠1,N>0;
③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b.
=2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2.
(2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59
=2log32-5log32+2+3log32-9
=-7.
(3)由已知lgab=lg(a-2b)2 (a-2b>0),
∴ab=(a-2b)2, 即a2-5ab+4b2=0.
设x=7lg20·12lg0.7能否先求出lgx，再求x?
对数函数de运算法则
对数函数de运算法则1对数的概念如果a(a0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b 叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数.由定义知：①负数和零没有对数;②a0且a≠1,N③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b.特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28。
)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN.2对数式与指数式的互化式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数)3对数的运算性质如果a0,a≠1,M0,N0,那么(1)loga(MN)=logaM+logaN.(2)logaMN=logaM-logaN.(3)loga Mn=nlogaM (n∈R).问：①公式中为什么要加条件a0,a≠1，M0,N0?②logaan=? (n∈R)③对数式与指数式的比较.(学生填表)式子ab=NlogaN=b名称a―幂的底数b―N―a―对数的底数b―N―运算性质aman=am+nam÷an=(am)n=(a0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaN logaMN=log aMn=(n∈R)(a0,a≠1,M0,N0)难点疑点突破对数定义中，为什么要规定a＞0,，且a≠1?理由如下：①若a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28?②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数?③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数?为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数?解题方法技巧1(1)将下列指数式写成对数式：①54=625；②2-6=164；③3x=27；④13m=5?73.（2）将下列对数式写成指数式：①log1216=-4；②log2128=7；③log327=x；④lg0.01=-2；⑤ln10=2.303；⑥lgπ=k.解析由对数定义：ab=N?logaN=b.解答(1)①log5625=4.②log2164=-6.③log327=x.④log135.73=m.解题方法指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：ab=N?logaN=b.(2)①12-4=16.②27=128.③3x=27.④10-2=0.01.⑤e2.303=10.⑥10k=π.2根据下列条件分别求x的值：(1)log8x=-23；(2)log2(log5x)=0；(3)logx27=31+log32；(4)logx(2+3)=-1.解析(1)对数式化指数式，得：x=8-23=?(2)log5x=20=1. x=?(3)31+log32=3×3lo g32=?27=x?(4)2+3=x-1=1x. x=?解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14.(2)log5x=20=1，x=51=5.(3)logx27=3×3log32=3×2=6，∴x6=27=33=(3)6,故x=3.(4)2+3=x-1=1x,∴x=12+3=2-3.解题技巧①转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化.②熟练应用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n.3已知logax=4,logay=5，求A=〔x3x-1y2〕12的值.解析思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值；思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值?解答解法一∵logax=4,logay=5,∴x=a4,y=a5,∴A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53a-53=a0=1.解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得logaA=loga(x512y-13)=512logax-13logay=512×4-13×5=0,∴A=1.解题技巧有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算.4 设x,y均为正数，且xy1+lgx=1(x≠110),求lg(xy)的取值范围.解析一个等式中含两个变量x、y，对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应，故y是x的函数，从而lg(xy)也是x的函数.因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数?解答∵x0,y0,xy1+lgx=1,两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0.即lgy=-lgx1+lgx(x≠110,lgx≠-1).令lgx=t, 则lgy=-t1+t(t≠-1).∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t.解题规律对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t21+t,得关于t的方程t2-St-S=0有实数解.∴Δ=S2+4S≥0，解得S≤-4或S≥0,故lg(xy)的取值范围是(-∞,-4〕∪〔0,+∞).5求值：(1)lg25+lg2lg50+(lg2)2；(2)2log32-log3329+log38-52log53；(3)设lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值;(4)求7lg2012lg0.7的值.解析(1)25=52,50=5×10.都化成lg2与lg5的关系式.(2)转化为log32的关系式.(3)所求log2a-log2b=log2ab由已知等式给出了a,b之间的关系，能否从中求出ab的值呢?(4)7lg2012lg0.7是两个指数幂的乘积，且指数含常用对数，设x=7lg2012lg0.7能否先求出lgx，再求x?解答(1)原式=lg52+lg2lg(10×5)+(lg2)2=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2=lg5(2+lg2)+lg2+(lg2)2=lg102(2+lg2)+lg2+(lg2)2=(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2=2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2.(2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59 =2log32-5log32+2+3log32-9=-7.(3)由已知lgab=lg(a-2b)2 (a-2b0),∴ab=(a-2b)2, 即a2-5ab+4b2=0.∴ab=1或ab=4，这里a0,b0.若ab=1，则a-2b0, ∴ab=1（舍去）.∴ab=4,∴log2a-log2b=log2ab=log24=2.(4)设x=7lg2012lg0.7,则lgx=lg20×lg7+lg0.7×lg12=(1+lg2)lg7+(lg7-1)(-lg2)=lg7+lg2=14,∴x=14, 故原式=14.解题规律①对数的运算法则是进行同底的对数运算的依据，对数的运算法则是等式两边都有意义的恒等式，运用法则进行对数变形时要注意对数的真数的范围是否改变，为防止增根所以需要检验，如(3).②对一个式子先求它的常用对数值，再求原式的值是代数运算中常用的方法，如(4).6证明(1)logaN=logcNlogca(a0,a≠1,cgt;0,c≠1,N0)；(2)logablogbc=logac；(3)logab=1logba(b0,b≠1)；(4)loganbm=mnlogab.解析(1)设logaN=b得ab=N,两边取以c为底的对数求出b 就可能得证.(2)中logbc能否也换成以a为底的对数.(3)应用(1)将logab换成以b为底的对数.(4)应用(1)将loganbm换成以a为底的对数.解答(1)设logaN=b，则ab=N,两边取以c为底的对数得：blogca=logcN,∴b=logcNlogca.∴logaN=logcNlogca.(2)由(1)logbc=logaclogab.所以logablogbc=logablogaclogab=logac.(3)由(1)logab=logbblogba=1logba.解题规律(1)中logaN=logcNlogca叫做对数换底公式，(2)(3)(4)是(1)的推论，它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用. 对于对数的换底公式，既要善于正用，也要善于逆用.(4)由(1)loganbm=logabmlogaan=mlogabnlogaa= mnlogab.7已知log67=a,3b=4,求log127.解析依题意a,b是常数，求log127就是要用a,b表示log127，又3b=4即log34=b，能否将log127转化为以6为底的对数，进而转化为以3为底呢?解答已知log67=a,log34=b,∴log127=log67log612=a1+log62.又log62=log32log36=log321+log32,由log34=b,得2log32=b.∴log32=b2,∴log62=b21+b2=b2+b.∴log127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b.解题技巧利用已知条件求对数的值，一般运用换底公式和对数运算法则，把对数用已知条件表示出来，这是常用的方法技巧?8 已知x,y,z∈R+，且3x=4y=6z.(1)求满足2x=py的p值；(2)求与p最接近的整数值；(3)求证：12y=1z-1x.解析已知条件中给出了指数幂的连等式，能否引进中间量m，再用m分别表示x,y,z?又想，对于指数式能否用对数的方法去解答?解答（1）解法一3x=4y?log33x=log34y?x=ylog34?2x=2ylog34=ylog316, ∴p=log316.解法二设3x=4y=m,取对数得：xlg3=lgm，ylg4=lgm,∴x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x=2lgmlg3,py=plgmlg4.由2y=py, 得2lgmlg3=plgmlg4,∴p=2lg4lg3=lg42lg3=log316.(2)∵2=log39 ∴2 又3-p=log327-log316=log__,p-2=log316-log39=log3169,而__-__,∴log__-p.∴与p最接近的整数是3.解题思想①提倡一题多解.不同的思路，不同的方法，应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用，既发散了思维，又提高了分析问题和解决问题的能力，何乐而不为呢?②(2)中涉及比较两个对数的大小.这是同底的两个对数比大小.因为底31，所以真数大的对数就大，问题转化为比较两个真数的大小，这里超前应用了对数函数的单调性，以鼓励学生超前学习，自觉学习的学习积极性.(3)解法一令3x=4y=6z=m,由于x，y，z∈R+，∴k1，则x=lgmlg3,y=lgmlg4,z=lgmlg6,所以1z-1x=lg6lgm-lg3lgm=lg6-lg3lgm=lg2lgm，12y=12lg4lgm=lg2lgm，故12y=1z-1x.解法二3x=4y=6z=m，则有3=m1x①,4=m1y②，6=m1z③，③÷①，得m1z-1x=63=2=m12y.∴1z-1x=12y.9已知正数a,b满足a2+b2=7ab.求证：logma+b3=12(logma+logmb)(m0且m≠1).解析已知a0,b0,a2+b2=7ab.求证式中真数都只含a,b的一次式，想：能否将真数中的一次式也转化为二次，进而应用a2+b2=7ab?解答logma+b3=logm(a+b3)212=解题技巧①将a+b3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一.②应用a2+b2=7ab将真数的和式转化为ab的乘积式，以便于应用对数运算性质是技巧之二.12logma+b32=12logma2+b2+2ab9.∵a2+b2=7ab,∴logma+b3=12logm7ab+2ab9=12logmab=12(logma+logmb),即logma+b3=12(logma+logmb).思维拓展发散1数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系.设真数N=a×10n.其中N0,1≤a10,n∈Z.这就是用科学记数法表示真数N.其科学性体现在哪里?我们只要研究数N的常用对数，就能揭示其中的奥秘.解析由已知，对N=a×10n取常用对数得，lgN=n+lga.真数与对数有何联系?解答lgN=lg(a×10n)=n+lga.n∈Z,1≤a10，∴lga∈〔0,1).我们把整数n叫做N的常用对数的首数，把lga叫做N的常用对数的尾数，它是正的纯小数或0.小结：①lgN的首数就是N中10n的指数，尾数就是lga,0≤lga②有效数字相同的不同正数它们的常用对数的尾数相同，只是首数不同；③当N≥1时，lgN的首数n比它的整数位数少1，当N∈(0，1)时，lgN的首数n是负整数，|n|-1与N的小数点后第一个不是0的有效数字前的零的个数相同.师生互动什么叫做科学记数法？N0,lgN的首数和尾数与a×10n有什么联系？有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同？什么不同？2若lgx的首数比lg1x的首数大9，lgx的尾数比lg1x的尾数小0?380 4，且lg0.203 4=1.308 3,求lgx,x,lg1x的值.解析①lg0.203 4=1?308 3,即lg0.203 4=1+0.308 3，1是对数的首数，0.308 3是对数的尾数，是正的纯小数；②若设lgx=n+lga，则lg1x也可表出.解答设lgx=n+lga,依题意lg1x=(n-9)+(lga+0.380 4).又lg1x=-lgx=-(n+lga),∴(n-9)+(lga+0?380 4)=-n-lga，其中n-9是首数，lga+0?380 4是尾数，-n-lga=-(n+1)+(1-lga),-(n+1)是首数1-lga是尾数，所以：n-9=-(n+1)lga+0.380 4=1-lga?n=4,lga=0.308 3.∴lgx=4+0.308 3=4.308 3,∵lg0.203 4=1.308 3,∴x=2.034×104.∴lg1x=-(4+0.308 3)=5.691 7.解题规律把lgx的首数和尾数，lg1x的首数和尾数都看成未知数，根据题目的等量关系列方程.再由同一对数的首数等于首数，尾数等于尾数，求出未知数的值，是解决这类问题的常用方法.3 计算：(1)log2-3(2+3)+log6(2+3+2-3);(2)2lg(lga100)2+lg(lga).解析(1)中.2+3与2-3有何关系?2+3+2-3双重根号，如何化简?(2)中分母已无法化简，分子能化简吗?解题方法认真审题、理解题意、抓住特点、找出明确的解题思路和方法，不要被表面的繁、难所吓倒.解答(1)原式=log2-3(2-3）-1+12log6(2+3+2-3)2=-1+12log6(4+22+32-3)=-1+12log66=-12.(2)原式=2lg(100lga)2+lg(lga)=2〔lg100+lg(lga)〕2+lg(lga)=2〔2+lg(lga)〕2+lg(lga)=2.4已知log2x=log3y=log5z0,比较x,3y,5z的大小.解析已知是对数等式，要比较大小的是根式，根式能转化成指数幂，所以，对数等式应设法转化为指数式.解答设log2x=log3y=log5z=m0.则x=2m,y=3m,z=5m.x=(2)m,3y=(33)m,5z=(55)m.下面只需比较2与33,55的大小：(2)6=23=8,(33)6=32=9，所以233.又(2)10=25=32,(55)10=52=25,∴255.∴__. 又m0,图2-7-1考查指数函数y=(2)x,y=(33)x,y=(55)x在第二象限的图像，如图2-7-1?解题规律①转化的思想是一个重要的数学思想，对数与指数有着密切的关系，在解决有关问题时要充分注意这种关系及对数式与指数式的相互转化.②比较指数相同，底不同的指数幂(底大于0)的大小，要应用多个指数函数在同一坐标系中第一象限(指数大于0)或第二象限(指数小于0)的性质进行比较?①是y=(55)x,②是y=(2)x,③是y=(33)x.指数m0时，图像在第二象限从下到上，底从大到小.所以(33)m(2)m(55)m,故3y 潜能挑战测试1(1)将下列指数式化为对数式:①73=343;②14-2=16;③e-5=m.(2)将下列对数式化为指数式：①log128=-3;②lg__=4;③ln3.5=p.2计算：(1)24+log23;(2)2723-log32;(3)2513log527+2log52.3(1)已知lg2=0.301 0，lg3=0.477 1，求lg45;(2)若lg3.127=a，求lg0.031 27.4已知a≠0,则下列各式中与log2a2总相等的是()A若logx+1(x+1)=1 ,则x的取值范围是()A已知ab=M(a0,b0,M≠1),且logMb=x，则logMa的值为() A若log63=0.673 1，log6x=-0.326 9, 则x为()A若log5〔log3(log2x)〕=0，则x=.98log87log76log65=.10如果方程lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2lg3=0的两根为x1、x2,那么x1x2的值为.11生态学指出：生物系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量流到下一个营养级.H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中(Hn表示第n个营养级，n=1，2，3，4，5，6).已知对H1输入了106千焦的能量，问第几个营养级能获得100千焦的能量?12已知x，y，z∈R+且3x=4y=6z，比较3x，4y，6z的大小.13已知a,b均为不等于1的正数，且axby=aybx=1，求证x2=y2.14已知2a5b=2c5d=10，证明(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).15设集合M=｛x|lg〔ax2-2(a+1)x-1〕0｝，若M≠?，M?｛x|x0｝，求实数a的取值范围.16在张江高科技园区的上海超级计算中心内，被称为“神威Ⅰ”的计算机运算速度为每秒钟384 000 000 000次.用科学记数法表示这个数为N=,若已知lg3.840=0.584 3,则lgN=.17某工厂引进新的生产设备，预计产品的生产成本比上一年降低10%，试问经过几年，生产成本降低为原来的40%?(lg2=0.3, lg3=0.48)18某厂为适应改革开放，完善管理机制，满足市场需求，某种产品每季度平均比上一季度增长10.4%，那么经过y季度增长到原来的x倍，则函数y=f(x)的解析式f(x)=.名师助你成长1.(1)①log7343=3.②log1416=-2.③lnm=-5.(2)①12-3=8.②104=10 000.③ep=3.5.2.(1)48点拨：先应用积的乘方，再用对数恒等式.(2)98点拨：应用商的乘方和对数恒等式.(3)144点拨：应用对数运算性质和积的乘方.3.(1)0.826 6点拨：lg45=12lg45=12lg902=12(lg32+lg10-lg2).(2)lg0.031 27=lg(3.127×10-2)=-2+lg3.127=-2+a4.C点拨：a≠0,a可能是负数，应用对数运算性质要注意对数都有意义.5.B点拨：底x+10且x+1≠1;真数x+10.6.A点拨：对ab=M取以M为底的对数.7.C点拨：注意0.673 1+0.326 9=1,log61x=0.326 9，所以log63+log61x=log63x=1.∴3x=6, x=12.8.x=8点拨：由外向内.log3(log2x)=1, log2x=3, x=23.9.5点拨：log87log76log65=log85, 8log85=5.10.16点拨：关于lgx的一元二次方程的两根是lgx1,lgx2. 由lgx1=-lg2,lgx2=-lg3，得x1=12,x2=13.11.设第n个营养级能获得100千焦的能量，依题意:__-__n-1=100,化简得:107-n=102,利用同底幂相等，得7-n=2,或者两边取常用对数也得7-n=2.∴n=5,即第5个营养级能获能量100千焦.12?设3x=4y=6z=k,因为x，y，z∈R+，所以k1.取以k为底的对数，得：x=1logk3,y=1logk4,z=1logk6.∴3x=3logk3=113logk3=1logk33,同理得：4y=1logk44,6z=1logk66.而33=1281,44=1264,66=1236,∴logk33logk44logk66.又k1,__-__,∴logk33logk44logk660,∴3x4y6z.13.∵axby=aybx=1,∴lg(axby)=lg(aybx)=0,即xlga+ylgb=ylga+xlgb=0.(※)两式相加,得x(lga+lgb)+y(lga+lgb)=0.即(lga+lgb)(x+y)=0.∴lga+lgb=0 或x+y=0.当lga+lgb=0时,代入xlga+ylgb=0,得:(x-y)lga=0, a是不为1的正数lga≠0,∴x-y=0.∴x+y=0或x-y=0,∴x2=y2.14.∵2a5b=10,∴2a-1=51-b.两边取以2为底的对数,得：a-1=(1-b)log25.∴log25=a-11-b(b≠1). 同理得log25=c-11-d(d≠1).。
对数函数的运算法则
对数函数的运算法则对数函数是数学中的一类特殊函数，它与指数函数是互为逆运算的。
在学习对数函数的运算法则之前，我们首先需要了解一些与对数函数相关的基本概念。
1.指数和对数的定义在讨论对数函数的运算法则之前，我们先回顾一下指数函数和对数函数的定义。
指数函数是以常数e（自然对数的底）为底的函数，定义为f(x)=e^x。
指数函数的定义域为实数集，值域为正实数集。
对数函数是指数函数的逆运算，定义为g(x) = log_a x，其中a为底数，x为实数。
对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。
2.对数函数的基本性质在学习对数函数的运算法则之前，我们先了解一些对数函数的基本性质。
（1）对数函数的图像特点（2）对数函数的反函数关系对数函数与指数函数是互为反函数，即f(g(x)) = log_a(e^x) = x，g(f(x)) = e^(log_a x) = x。
（3）对数函数的换底公式了解了对数函数的基本性质之后，我们再来讨论对数函数的运算法则。
对数函数的运算法则主要包括以下几个方面：（1）对数函数的幂运算对数函数可以进行幂运算，即log_a (x^k) = k * log_a x。
这个运算法则可以通过指数函数的性质和对数函数的定义得到。
（2）对数函数的乘法运算（3）对数函数的除法运算（4）对数函数的幂函数运算对数函数和幂函数的运算可以通过将指数函数和对数函数相互转化得到。
例如，log_a (a^x) = x，即a的x次幂的对数等于x。
（5）对数函数的根号运算4.对数函数的应用对数函数的运算法则在实际应用中有着广泛的应用。
对数函数可以用来表示声音强度、酸碱度、收益增长率等，还可以用于求解复杂的方程和不等式等数学问题。
在物理学、经济学、生物学等领域中，对数函数也有着重要的作用。
综上所述，对数函数的运算法则是基于对数函数的定义和基本性质，通过对指数函数和对数函数的互为逆运算关系进行推导得到的。
对数函数的运算法则包括幂运算、乘法运算、除法运算、幂函数运算和根号运算等。
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对数函数de运算法则解法一∵loga某=4,logay=5, ∴某=a4,y=a5, ∴A=某512y-13=(a4)512(a5)-13=a53·a-53=a0=1. 解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得logaA=loga(某512y-13) =512loga某-13logay=512某4-13某5=0, ∴A=1.解题技巧有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算.4 设某,y均为正数，且某·y1+lg某=1(某≠110),求lg(某y)的取值范围. 解析一个等式中含两个变量某、y，对每一个确定的正数某由等式都有惟一的正数y与之对应，故y是某的函数，从而lg(某y)也是某的函数.因此求lg(某y)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢能否对已知的等式两边也取对数解答∵某>0,y>0,某·y1+lg某=1, 两边取对数得：lg某+(1+lg某)lgy=0. 即lgy=-lg某1+lg某(某≠110,lg某≠-1). 令lg某=t,则lgy=-t1+t(t≠-1). ∴lg(某y)=lg某+lgy=t-t1+t=t21+t. 解题规律对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t21+t,得关于t的方程t2-St-S=0有实数解. ∴Δ=S2+4S≥0，解得S≤-4或S≥0,故lg(某y)的取值范围是(-∞,-4〕∪〔0,+∞). 5 求值：(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2；(2)2log32-log3329+log38-52log53；(3)设lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值; (4)求7lg20·12lg0.7的值. 解析(1)25=52,50=5某10.都化成lg2与lg5的关系式. (2)转化为log32的关系式. (3)所求log2a-log2b=log2ab由已知等式给出了a,b之间的关系，能否从中求出ab的值呢(4)7lg20·12lg0.7是两个指数幂的乘积，且指数含常用对数，设某=7lg20·12lg0.7能否先求出lg某，再求某解答(1)原式=lg52+lg2·lg(10某5)+(lg2)2 =2lg5+lg2·(1+lg5)+(lg2)2=lg5·(2+lg2)+lg2+(lg2)2=lg102·(2+lg2)+lg2+(lg2)2=(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2 =2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2. (2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59 =2log32-5log32+2+3log32-9 =-7. (3)由已知lgab=lg(a-2b)2(a-2b>0), ∴ab=(a-2b)2,即a2-5ab+4b2=0. ∴ab=1或ab=4，这里a>0,b>0. 若ab=1，则a-2b<0,∴a b=1（舍去）. ∴ab=4,∴log2a-log2b=log2ab=log24=2. (4)设某=7lg20·12lg0.7,则lg某=lg20某lg7+lg0.7某lg12 =(1+lg2)·lg7+(lg7-1)·(-lg2) =lg7+lg2=14, ∴某=14,故原式=14. 解题规律①对数的运算法则是进行同底的对数运算的依据，对数的运算法则是等式两边都有意义的恒等式，运用法则进行对数变形时要注意对数的真数的范围是否改变，为防止增根所以需要检验，如(3). ②对一个式子先求它的常用对数值，再求原式的值是代数运算中常用的方法，如(4).6 证明(1)logaN=logcNlogca(a>0,a≠1,c>0,c≠1,N>0)；(2)logab·log bc=logac；(3)logab=1logba(b>0,b≠1)；(4)loganbm=mnlogab. 解析(1)设logaN=b得ab=N,两边取以c为底的对数求出b就可能得证. (2)中logbc能否也换成以a为底的对数. (3)应用(1)将logab换成以b为底的对数. (4)应用(1)将loganbm换成以a为底的对数. 解答(1)设logaN=b，则ab=N,两边取以c为底的对数得：b·logca=logcN,∴b=logcNlogca.∴logaN=logcNlogca.(2)由(1)logbc=logaclogab. 所以logab·logbc=logab·logaclogab=logac.(3)由(1)logab=logbblogba=1logba. 解题规律(1)中logaN=logcNlogca叫做对数换底公式，(2)(3)(4)是(1)的推论，它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用.对于对数的换底公式，既要善于正用，也要善于逆用.(4)由(1)loganbm=logabmlogaan=mlogabnlogaa=mnlogab. 7 已知log67=a,3b=4,求log127. 解析依题意a,b是常数，求log127就是要用a,b表示log127，又3b=4即log34=b，能否将log127转化为以6为底的对数，进而转化为以3为底呢解答已知log67=a,log34=b, ∴log127=log67log612=a1+log62.又log62=log32log36=log321+log32, 由log34=b,得2log32=b. ∴log32=b2,∴log62=b21+b2=b2+b.∴log127=a1+b2+b=a(2 +b)2+2b. 解题技巧利用已知条件求对数的值，一般运用换底公式和对数运算法则，把对数用已知条件表示出来，这是常用的方法技巧8 已知某,y,z∈R+，且3某=4y=6z. (1)求满足2某=py的p值；(2)求与p 最接近的整数值；(3)求证：12y=1z-1某. 解析已知条件中给出了指数幂的连等式，能否引进中间量m，再用m分别表示某,y,z又想，对于指数式能否用对数的方法去解答解答（1）解法一3某=4ylog33某=log34y某=ylog342某=2ylog34=ylog316, ∴p=log316.解法二设3某=4y=m,取对数得：某·lg3=lgm，ylg4=lgm, ∴某=lgmlg3,y=lgmlg4,2某=2lgmlg3,py=plgmlg4. 由2y=py,得2lgmlg3=plgmlg4, ∴p=2lg4lg3=lg42lg3=log316.(2)∵2=log39∴2又3-p=log327-log316=log32716, p-2=log316-log39=log3169, 而2716<169, ∴log327163-p. ∴与p最接近的整数是3. 解题思想①提倡一题多解.不同的思路，不同的方法，应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用，既发散了思维，又提高了分析问题和解决问题的能力，何乐而不为呢②(2)中涉及比较两个对数的大小.这是同底的两个对数比大小.因为底3>1，所以真数大的对数就大，问题转化为比较两个真数的大小，这里超前应用了对数函数的单调性，以鼓励学生超前学习，自觉学习的学习积极性.(3)解法一令3某=4y=6z=m,由于某，y，z∈R+，∴k>1，则某=lgmlg3,y=lgmlg4,z=lgmlg6, 所以1z-1某=lg6lgm-lg3lgm=lg6-lg3lgm=lg2lgm，12y=12·lg4lgm=lg2lgm，故12y=1z-1某. 解法二3某=4y=6z=m，则有3=m1某①,4=m1y②，6=m1z③，③÷①，得m1z-1某=63=2=m12y. ∴1z-1某=12y. 9 已知正数a, b满足a2+b2=7ab.求证：logma+b3=12(logma+logmb)(m>0且m≠1).解析已知a>0,b>0,a2+b2=7ab.求证式中真数都只含a,b的一次式，想：能否将真数中的一次式也转化为二次，进而应用a2+b2=7ab 解答logma，要比较大小的是根式，根式能转化成指数幂，所以，对数等式应设法转化为指数式. 解答设log2某=log3y=log5z=m<0.则某=2m,y=3m,z=5m. 某=(2)m,3y=(33)m,5z=(55)m. 下面只需比较2与33,55的大小：(2)6=23=8,(33)6=32=9，所以2<33. 又(2)10=25=32,(55)10=52=25, ∴2>55.∴55<2<33.又m<0, 图2-7-1考查指数函数y=(2)某,y=(33)某,y=(55)某在第二象限的图像，如图2-7-1 解题规律①转化的思想是一个重要的数学思想，对数与指数有着密切的关系，在解决有关问题时要充分注意这种关系及对数式与指数式的相互转化. ②比较指数相同，底不同的指数幂(底大于0)的大小，要应用多个指数函数在同一坐标系中第一象限(指数大于0)或第二象限(指数小于0)的性质进行比较①是y=(55)某,②是y=(2)某,③是y=(33)某.指数m<0时，图像在第二象限从下到上，底从大到小.所以(33)m<(2)m<(55)m,故3y 潜能挑战测试1(1)将下列指数式化为对数式: ①73=343;②14-2=16;③e-5=m. (2)将下列对数式化为指数式：①log128=-3;②lg10000=4;③ln3.5=p.2计算：(1)24+log23;(2)2723-log32;(3)2513log527+2log52. 3(1)已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg45; (2)若lg3.127=a，求lg0.03127. 4已知a≠0,则下列各式中与log2a2总相等的是() A若log某+1(某+1)=1,则某的取值范围是() A已知ab=M(a>0,b>0,M≠1),且logMb=某，则logMa的值为() A若log63=0.6731，log6某=-0.3269,则某为() A若log5〔log3(log2某)〕=0，则某=. 98log87·log76·log65=.10如果方程lg2某+(lg2+lg3)lg某+lg2·lg3=0的两根为某1、某2,那么某1·某2的值为. 11生态学指出：生物系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量流到下一个营养级.H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中(Hn表示第n个营养级，n=1，2，3，4，5，6).已知对H1输入了106千焦的能量，问第几个营养级能获得100千焦的能量12已知某，y，z∈R+且3某=4y=6z，比较3某，4y，6z的大小. 13已知a,b均为不等于1的正数，且a某by=ayb某=1，求证某2=y2. 14已知2a·5b=2c·5d=10，证明(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1). 15设集合M=｛某|lg〔a某2-2(a+1)某-1〕>0｝，若M≠，M｛某|某<0｝，求实数a的取值范围. 16在张江高科技园区的上海超级计算中心内，被称为“神威Ⅰ”的计算机运算速度为每秒钟384000000000次.用科学记数法表示这个数为N=,若已知lg3.840=0.5843,则lgN=. 17某工厂引进新的生产设备，预计产品的生产成本比上一年降低10%，试问经过几年，生产成本降低为原来的40%(lg2=0.3,lg3=0.48) 18某厂为适应改革开放，完善管理机制，满足市场需求，某种产品每季度平均比上一季度增长10.4%，那么经过y季度增长到原来的某倍，则函数y=f(某)的解析式f(某)=. 名师助你成长 1.(1)①log7343=3.②log1416=-2.③lnm=-5. (2)①12-3=8.②104=10000.③ep=3.5. 2.(1)48点拨：先应用积的乘方，再用对数恒等式. (2)98点拨：应用商的乘方和对数恒等式. (3)144点拨：应用对数运算性质和积的乘方. 3.(1)0.8266点拨：lg45=12lg45=12lg902=12(lg32+lg10-lg2). (2)lg0.03127=lg(3.127某10-2)=-2+lg3.127=-2+a 4.C点拨：a≠0,a可能是负数，应用对数运算性质要注意对数都有意义. 5.B点拨：底某+1>0且某+1≠1;真数某+1>0. 6.A点拨：对ab=M取以M为底的对数. 7.C点拨：注意0.6731+0.3269=1,log61某=0.3269，所以log63+log61某=log63某=1.∴3某=6,某=12. 8.某=8点拨：由外向内.log3(log2某)=1,log2某=3,某=23. 9.5点拨：log87·log76·log65=log85,8log85=5.10.16点拨：关于lg某的一元二次方程的两根是lg某1,lg某2. 由lg某1=-lg2,lg某2=-lg3，得某1=12,某2=13. 11.设第n个营养级能获得100千焦的能量，依题意:106·10100n-1=100, 化简得:107-n=102,利用同底幂相等，得7-n=2, 或者两边取常用对数也得7-n=2. ∴n=5,即第5个营养级能获能量100千焦. 12设3某=4y=6z=k,因为某，y，z∈R+，所以k>1.取以k为底的对数，得：某=1logk3,y=1logk4,z=1logk6. ∴3某=3logk3=113logk3=1logk33, 同理得：4y=1logk44,6z=1logk66. 而33=1281,44=1264,66=1236, ∴logk33>logk44>logk66.又k>1,33>44>66>1, ∴logk33>logk44>logk66>0,∴3某<4y<6z. 13.∵a某by=ayb某=1,∴lg(a某by)=lg(ayb某)=0, 即某lga+ylgb=ylga+某lgb=0.() 两式相加,得某(lga+lgb)+y(lga+lgb)=0. 即(lga+lgb)(某+y)=0.∴lga+lgb=0或某+y=0. 当lga+lgb=0时,代入某lga+ylgb=0,得: (某-y)lga=0,a是不为1的正数lga≠0,∴某-y=0. ∴某+y=0或某-y=0,∴某2=y2. 14.∵2a5b=10,∴2a-1=51-b.两边取以2为底的对数,得：a-1=(1-b)log25 . ∴log25=a-11-b(b≠1).同理得log25=c-11-d(d≠1).即b≠1,d≠1时,a-11-b=c-11-d. ∴(a-1)(1-d)=(c-1)(1-b), ∴(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1). 当b=1,c=1时显然成立.。