高一数学-对数方程的常见解法 精品
如何解决高考数学中的指数对数方程组问题
如何解决高考数学中的指数对数方程组问题指数对数方程组问题是高考数学中的一类经典难题，许多学生在解决这类问题上存在一定的困惑。
本文将从基础概念的介绍、解题思路的分析以及实际例题的演示等方面，探讨如何解决高考数学中的指数对数方程组问题。
1.基础概念和公式的回顾在解题之前，我们需要重新回顾和了解指数和对数的基本概念和公式，这样才能更好地应用它们来解决方程组问题。
指数和对数是数学中重要的概念，是相互关联的。
比如，对于指数函数 $a^b=c$，我们可以用对数函数 $\log_a{c}=b$ 来表示。
这些基本转化公式的掌握对于解决指数对数方程组问题非常重要。
2.解题思路的分析解决指数对数方程组问题的关键在于找到合适的替换和转化，将复杂的方程组转化为一元方程。
在实际解题中，我们可以尝试以下几种常见思路：(1)指数对指数的转化：当两个方程均为指数形式时，我们可以尝试将它们以相同的底数表示，将指数相等，进而转化为一元方程。
(2)指数转化为对数：有时我们会遇到一个方程为指数形式，另一个方程为对数形式，此时可以尝试将指数转化为对数，再进行求解。
(3)对数转化为指数：同样地，有时方程组中一个方程为对数形式，另一个方程为指数形式，我们可以尝试将对数转化为指数，再进行计算。
(4)引入新的变量：当方程组较复杂时，我们可以尝试引入新的变量，将其视作一个整体，通过构造等式关系进行求解。
3.实际例题的演示为了更好地理解如何应用上述解题思路，我们来看几个实际例题的演示。
例题1：解方程组 $\begin{cases}2^{x-y}=3 \\3^x+4^y=85\end{cases}$解题思路：首先，我们观察到第一个方程是一个指数等式，而第二个方程中有两个底数为3和4的指数项。
于是我们尝试将第二个方程转化为以2为底的指数形式。
设 $3^x=a$ 和 $4^y=b$，则原方程组变为$\begin{cases}2^{x-y}=3 \\ a+b=85\end{cases}$。
对数及对数函数要点及解题技巧讲解
的最大值与最小值之差为12，则 a 等于( )
人
A. 2
B．2 或12
教
B
版
C．2 2
D．4 或14
分析：∵a>1 与 0<a<1 时，f(x)的单调性不同，∴最
小值、最大值也不同，故需分类讨论．
第2章 函数
高考数学总复习
解析：当 0<a<1 时，f(x)在[a,2a]上单调递减，由题意
得，logaa－loga2a＝12，∴loga2＝－12，∴a＝14.
人 教
B
当 a>1 时，∴f(x)＝logax 在[a,2a]上为增函数，
版
∴loga2a－logaa＝12，解得 a＝4，故选 D.
答案：D
第2章 函数
(2011·江苏四市联考)已知函数 f(x)＝|log2x|，正实 数 m、n 满足 m<n，且 f(m)＝f(n)，若 f(x)在区间[m2，
高考数学总复习
二、对数函数的图象与性质
定义
y＝logax(a>0，a≠1)
人 教
B
版
图象
第2章 函数
高考数学总复习
(1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R
(3)过点(1,0)，即当 x＝1 时，y＝0.
人
性质 (4)当 a>1 时，在(0，＋∞)是增函数；
教
B
当 0<a<1 时，在(0，＋∞)上是减函数．
B
版
(2)原式＝llgg23＋llgg29·llgg34＋llgg38
＝llgg23＋2llgg23·2llgg32＋3llgg32＝32llgg23·56llgg32＝54.
答案：(1)2
对数不等式知识点总结及习题精讲
对数不等式知识点总结及习题精讲1. 设0,1,log ()log ()a a a a f x g x >≠>﹒(1) 当1a >时()()()0()0f x g x f x g x >⎧⎪⇒>⎨⎪>⎩﹒(2)当01a <<时()()()0()0f x g x f x g x <⎧⎪⇒>⎨⎪>⎩2.欲解2(log )(log )0a a p x q x r ++>型式的不等式﹐则先令log a x t =﹐代入不等式得20pt qt r ++>﹐再利用因式分解求出t 的范围﹐即可求得x 之范围3.对数函数的极值求法：(1)欲求函数2()(log )(log )a a f x p x q x r =++的极值时﹐可以先令log a t x =代入函数得二次函数2()g t pt qt r =++﹐再利用配方法求极值 (2)利用算几不等式求极值典型例题1.解下列不等式：(1)log 2(3x ) > log 2(x + 2)﹒ (2)log 3(5x ) < log 3(x + 4)﹒【解答】(1)323020x x x x >+⎧⎪>⎨⎪+>⎩﹐得x > 1﹒(2)545040x x x x <+⎧⎪>⎨⎪+>⎩﹐得0 < x < 1﹒2.解不等式：(1) log 2(x - 1) < 1 + log 4(x + 2)之解为 。
(2) log 3(log 21x ) < 1之解为 。
【解答】(1)∵ 原式有意义 ⇒ ⎩⎨⎧>+>-0201x x ⇒ x > 1……①原式化为log 2(x - 1) < log 22 +21log 2(x + 2) ⇒ x - 1 < 2 (x + 2)21⇒ (x - 1)2 < 4 (x + 2)⇒ x 2 - 6x - 7 < 0 ⇒ (x + 1)(x - 7) < 0 ⇒ - 1 < x < 7……② 由①②得1 < x < 7(2)log 3(log 21x ) < 1 ⇒ log 3(log 21x ) < log 33 ⇒ 0 < log 21x < 3⇒ log 211 < log 21x < log 21(21)3⇒ 1 > x >813.解下列各不等式：(1)132log (log )2x ≥-﹒ (2)144log (log )2x >﹒【解答】(1)2131221log (log )2log ()2x -≥-=⇒ 0 < log 3x ≤ 4⇒ log 31 < log 3x ≤ log 334 ⇒ 1 < x ≤ 81﹒ (2)2141441log (log )2log ()4x >=⇒410log 16x <<⇒116444log 1log log 4x << ⇒1812x <<﹒随堂练习.解下列各不等式：(1)log 3(x - 4) < log 9(x - 2)﹒ (2)log 0.7(x + 3) < log 0.49(x 2 + 3x + 2)﹒【解答】(1)由真数x - 4 > 0与x - 2 > 0 ⇒ 即x > 4…①log 3(x - 4) = log 9(x - 4)2 ⇒ log 9(x - 4)2 < log 9(x - 2) 又底数9 > 1⇒ (x - 4)2 < x - 2﹐可得3 < x < 6…② 由①②可知﹕4 < x < 6﹒(2)真数恒正﹕x + 3 > 0且x 2 + 3x + 2 > 0 x > - 3且（x > - 1或x < - 2） ⇒ - 3 < x < - 2或x > - 1…① log 0.49(x + 3)2 < log 0.49(x 2 + 3x + 2) 又底数0.49 < 1⇒ (x + 3)2 > x 2 + 3x + 2 ⇒ 6x + 9 > 3x + 2 73x ⇒>-…②由①②知﹕723x -<<-或x > - 1﹒随堂练习.解下列各不等式：(1)212log (log )0x > (2)212log (log )0x <﹒【解答】(1)2122log (log )0log 1x >=⇒11221log 1log 2x >=⇒102x <<﹒ (2)2122log (log )0log 1x <=⇒120log 1x <<⇒1112221log 1log log 2x <<112x ⇒>>即112x <<﹒随堂练习.解不等式2122log (log (log ))1x >﹒【解答】2122log (log (log ))1x >21222log (log (log ))log 2x ⇒>2121122211log (log )2log ()log 24x ⇒>==（因为底数2 > 1）210log 4x ⇒<<（因为底数112<﹐且真数log 2x > 0）142222log 1log log 2log x ⇒<<=1x ⇒<随堂练习.不等式log 21(3x + 1) > 2之解为 。
高一数学对数函数题型及解题技巧
高一数学对数函数题型及解题技巧对数函数是高一数学中的一个重要概念，它的应用非常广泛。
下面我们来了解一些对数函数的题型及解题技巧。
一、基本概念对数函数的定义是：设a>0且a≠1，那么我们称y=loga(x)为以a为底，x的对数。
其中a称为底数，x称为真数，y称为以a为底，x的对数。
以10为底的对数函数常用符号是log(x)，而以e（自然对数）为底的对数函数常用符号是ln(x)。
二、题型分类1. 求解对数函数的定义域和值域。
定义域是x>0，值域是R（实数集）。
2. 计算对数函数的值。
根据定义，可以用对数的转化公式来计算对数函数的值。
例如log3(81)=4，因为3的4次方等于81。
3. 求解对数方程。
对数方程一般可以转化为指数方程来求解。
例如，求解log2(x)=3，可以将其转化为2的3次方等于x，即x=8。
4. 求解等比数列。
等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
如果要求等比数列的第n项，则有an=a1*q^(n-1)，其中q=loga(r)，a是公比的底数。
5. 求解对数函数的性质。
对数函数有多种性质，如对称轴、单调性、奇偶性等。
可以根据对数函数的图像来分析求解。
三、解题技巧1. 掌握对数函数的基本概念，理解对数函数的定义、性质和应用。
2. 熟练掌握对数函数的计算方法，掌握对数的转化公式、对数方程的转化方法和等比数列的求解方法。
3. 学会对数函数的图像分析方法，掌握对数函数的对称轴、单调性、奇偶性等特点，从而更好地解决对数函数相关的问题。
以上是关于高一数学对数函数题型及解题技巧的介绍，希望能够帮助大家更好地掌握对数函数的应用。
高中数学对数函数解题技巧
高中数学对数函数解题技巧对数函数是高中数学中的一个重要概念，它在各个领域都有广泛应用。
掌握对数函数的解题技巧对于高中学生来说至关重要。
本文将介绍一些常见的对数函数解题技巧，并通过具体题目进行分析和说明，帮助读者更好地理解和应用。
一、对数函数的定义与性质在开始解题之前，我们首先需要了解对数函数的定义和一些基本性质。
对数函数是指以某个正数为底的对数函数，通常表示为loga(x)，其中a为底数，x为真数。
对数函数的定义是：loga(x) = y，等价于ay = x。
对数函数的性质包括对数的乘法公式、对数的除法公式、对数的幂运算法则等，这些性质是解题过程中的基础。
二、对数函数的解题技巧1. 对数函数的定义域和值域确定在解题过程中，我们需要确定对数函数的定义域和值域。
对于对数函数loga(x)，定义域为x > 0，值域为实数集。
在解题过程中，我们要根据题目中的条件确定定义域和值域，以便正确地进行运算。
例如，题目如下：“已知对数函数f(x) = log2(x)，求f(x)的定义域和值域。
”解析：根据对数函数的定义，我们知道x > 0，所以定义域为x > 0。
对于值域，由于底数为2，所以对于任意正实数y，都存在一个正实数x使得2^y = x，因此值域为实数集。
2. 对数函数的性质运用在解题过程中，我们可以灵活运用对数函数的性质来简化计算或推导结论。
对数函数的性质包括对数的乘法公式、对数的除法公式、对数的幂运算法则等。
例如，题目如下：“已知对数函数f(x) = log2(x)，求f(8)的值。
”解析：根据对数函数的定义，我们知道f(8) = log2(8)。
由于8 = 2^3，所以log2(8) = 3。
因此，f(8)的值为3。
3. 对数方程的解法对数方程是指含有对数函数的方程，我们需要通过一定的方法来求解。
常见的对数方程解法包括对数函数的定义、对数函数的性质以及换底公式等。
例如，题目如下：“求解方程log2(x+1) + log2(x-1) = 2。
根据换元法解对数方程
根据换元法解对数方程
对数方程是含有对数函数的方程。
当我们遇到对数方程时，可以使用换元法来解决。
换元法是一种常见且有效的解题方法。
换元法的基本思想是通过引入一个新的变量，将原方程转化为一个更简单形式的方程。
这个新的变量被选为原方程中的对数函数的底数。
以下是换元法解对数方程的步骤：
步骤一：将对数方程表示成指数形式。
例如，对数方程log(x) = 2可以表示为x = 10^2。
步骤二：引入新的变量，将对数函数的底数作为新变量。
对于上述例子，我们可以引入一个新变量y，使得x = y^2。
步骤三：将原对数方程转化为新变量的形式。
对于上述例子，我们可以将原方程转化为y^2 = 10^2。
步骤四：解决新变量的方程。
对于上述例子，我们可以求解
y^2 = 100，得到y = ±10。
步骤五：代入新变量的解，求出原变量的解。
对于上述例子，我们可以代入y = 10和y = -10，求出x的解为x = 10^2 = 100和x = (-10)^2 = 100。
通过以上步骤，我们可以根据换元法解决对数方程。
换元法的优点在于它能够简化复杂的对数方程，使其更易于解决。
然而，对于一些特殊的对数方程，换元法可能不适用。
总结起来，根据换元法解对数方程的步骤包括将对数方程表示成指数形式、引入新变量、转化为新变量的方程、解决新变量的方程，最后代入新变量的解求出原变量的解。
通过这些步骤，我们可以有效地解决对数方程。
对数与对数运算知识点及例题解析
对数与对数运算知识点及例题解析1、对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． 2、以10为底的对数叫做常用对数,log 10N 记作lg N .3、以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数，logeN 记作ln N4、对数的性质: (1)log 10,log 1a a a ==(2)对数恒等式①a log aN ＝N ；②log a a N ＝N (a >0，且a ≠1)．5、对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN +=②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈⑤log a m M n ＝n mlog a M . ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且特殊情形：log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .类型一、指数式与对数式互化及其应用例1、将下列指数式与对数式互化：（1）；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).思路点拨：运用对数的定义进行互化. 解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).例2、求下列各式中x 的值：(1) (2) (3)lg100=x (4)思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.解：(1)；(2)；(3)10x =100=102，于是x=2； (4)由例3、若x＝log43，则(2x－2－x)2等于( )A.94B.54C.103D.43解由x＝log43，得4x＝3，即2x＝3，2－x＝33，所以(2x－2－x)2＝⎝⎛⎭⎪⎫2332＝43.类型二、利用对数恒等式化简求值例4、求值：解：.总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数例5、求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.解：.类型三、积、商、幂的对数例6、已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15解：(1)原式=lg32=2lg3=2b（2）原式=lg26=6lg2=6a（3）原式=lg2+lg3=a+b（4）原式=lg22+lg3=2a+b（5）原式=1-lg2=1-a（6）原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a例7、(1) (2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2解：(1)(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.例8、已知3a=5b=c，，求c的值.解：由3a=c得：同理可得.例9、设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.证明：.例10、已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：.证明：∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴lg(a+b)2=lg(9ab)，∵a>0，b>0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb即 .类型四、换底公式的运用例11、(1)已知log x y=a，用a表示；(2)已知log a x=m，log b x=n，log c x=p，求log abc x.解：(1)原式=；(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.方法一：a m=x，b n=x，c p=x，；方法二：.例12、求值：(1)；(2)；(3).解：(1)（2）；（3)法一：法二：.总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.类型五、对数运算法则的应用例13、求值(1) log89·log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)解：(1)原式=.(2)原式=(3)原式=(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)例14、已知：log23=a，log37=b，求：log4256=?解：∵∴，。
对数函数的方程和不等式
对数函数的方程和不等式对数函数是高中数学课程中的重要内容，它在数学和科学领域中具有广泛的应用。
在解对数函数的方程和不等式时，我们需要掌握一定的基本知识和解题技巧。
本文将介绍对数函数的基本性质以及解对数函数方程和不等式的方法。
一、对数函数的基本性质对数函数是指以某个常数为底的对数函数。
常见的对数函数有自然对数函数ln(x)和常用对数函数log(x)。
对数函数的基本性质如下：1. 对数函数的定义域：对数函数的定义域为正实数集，即x>0。
2. 对数函数的值域：对数函数的值域为实数集，即(-∞,+∞)。
3. 对数函数的性质：对数函数的图像都经过点(1, 0)，并且随着自变量x的增大而增大。
4. 对数函数的特殊性质：ln(1) = 0，log(1) = 0；ln(e) = 1，log(10) = 1。
二、解对数函数的方程解对数函数的方程主要涉及到对数函数与其他类型函数的组合运算。
下面将介绍几种常见的对数函数方程的解法。
1. 对数函数与常数的方程：例如，求解ln(x) = a的解，其中a为常数。
解这类方程可以通过求对数函数的反函数指数函数来得到，即x =e^a。
2. 对数函数与多项式的方程：例如，求解ln(x+1) = x的解。
对这类方程，我们可以通过观察方程左右两边的变化趋势，或者通过绘制函数图像来获得近似解。
3. 对数函数与指数函数的方程：例如，求解ln(x) = e^x的解。
对这类方程，可以使用图像法或数值逼近法求得近似解。
4. 对数函数的高阶方程：例如，求解ln^2(x) - 3ln(x) + 2 = 0的解。
对这类方程，可以将其转化为一元二次方程进行求解。
三、解对数函数的不等式解对数函数的不等式与解对数函数的方程类似，需要注意对数函数的性质和不等式的性质。
下面将介绍几种常见的对数函数不等式的解法。
1. 对数函数与常数的不等式：例如，求解ln(x) > a的解，其中a为常数。
解这类不等式时，需要利用对数函数的单调性质，将不等式转化为x > e^a的形式。