高一数学(对数与对数的运算)
#高中数学-对数及对数运算
理论迁移
例1 用logax，logay，logaz表示下列 各式：
(1) l o g a
xy z
;
(2)l o g a
x2
3
y z
.
例2 求下列各式的值：
(1) log2（47×25）；
(2) lg5 100
；
31 log3 2
(3) log318 -log32 ；
3 (4) 1 log 3 2
(3) lg0.01=-2
(4) ln10=2.303.
解 （1）(1/2)-4=16
（2）27=128
（3）10-2=0.01
（4）e2.303=10
练习
求下列各式的值：
(1)log2 4; (3)log5125; (5)10lg105 ;
(2)log3 27; (4)lg1000; (6)5log51125.
logaN=b 其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
负数和零没有对数. loga1=0 logaa=1
对数恒等式
aloga N N
证明： 设ab=N 则 b=logaN 所以
alogaN=N
常用对数与自然对数的定义
(1)以10为底的对数叫做常用对数. 为了方便,N的常用对数log10N简记为:lgN. (2)以e为底的对数叫做自然对数. 为了方便,N的自然对数logeN简记为:lnN.
2.3 对数与对数函数
对数 对数函数
• 问题
• 把一张纸对折剪开，再合起来对折剪开， 再一次合起来对折剪开，…依次下去的次 数与纸的张数关系为： y=2 x
• 问：纸的张数若为128，
• ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ对折多少次？
•
高一数学 对数与对数运算
对数与对数运算第1课时 对 数学习目标 1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值.知识点一 对数的概念思考 解指数方程：3x ＝ 3.可化为3x ＝123，所以x ＝12.那么你会解3x ＝2吗？ 答案 不会，因为2难以化为以3为底的指数式，因而需要引入对数概念.梳理 对数的概念：如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.常用对数与自然对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e 为底的对数称为自然对数，log 10N 可简记为lg N ，log e N 简记为ln N .知识点二 对数与指数的关系思考 log a 1(a >0，且a ≠1)等于？答案 设log a 1＝t ，化为指数式a t ＝1，则不难求得t ＝0，即log a 1＝0.梳理 一般地，有对数与指数的关系：若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ⇔log a N ＝x .对数恒等式：log a N a＝N ；log a a x ＝x (a >0，且a ≠1).对数的性质：(1)1的对数为零；(2)底的对数为1；(3)零和负数没有对数.类型一 对数的概念例1 在N ＝log (5－b )(b －2)中，实数b 的取值范围是( )A.b <2或b >5B.2<b <5C.4<b <5D.2<b <5且b ≠4 跟踪训练1 求f (x )＝log x 1－x 1＋x的定义域. 类型二 应用对数的基本性质求值例2 求下列各式中x 的值：(1)log 2(log 5x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1.解 (1)∵log 2(log 5x )＝0.∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1 000.反思与感悟 本题利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题.log a N ＝0⇒N ＝1；log a N ＝1⇒N ＝a 使用频繁，应在理解的基础上牢记.跟踪训练2 若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为( )A.9B.8C.7D.6类型三 对数式与指数式的互化命题角度1 指数式化为对数式例3 将下列指数式写成对数式：(1)54＝625；(2)2－6＝164；(3)3a ＝27；(4)⎝⎛⎭⎫13m ＝5.73. 解 (1)log 5625＝4；(2)log 2164＝－6； (3)log 327＝a ；(4)13log 5.73＝m .反思与感悟 指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：跟踪训练3 (1)如果a ＝b 2 (b >0，b ≠1)，则有( )A.log 2a ＝bB.log 2b ＝aC.log b a ＝2D.log b 2＝a (2)将3－2＝19，⎝⎛⎭⎫126＝164化为对数式. (3)解方程：⎝⎛⎭⎫13m ＝5.命题角度2 对数式化为指数式例4 求下列各式中x 的值：(1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg 100＝x ； (4)－ln e 2＝x ；(5))1log13＋22＝x . 解 (1)x ＝2364-＝()2334-＝4－2＝116. (2)因为x 6＝8，所以x ＝()()1111636266822x ===＝ 2. (3)10x ＝100＝102，于是x ＝2.(4)由－ln e 2＝x ，得－x ＝ln e 2，即e －x ＝e 2.所以x ＝－2.(5)因为)1log 13＋22＝x ， 所以(2－1)x ＝13＋22＝1(2＋1)2＝12＋1＝2－1， 所以x ＝1. 反思与感悟 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解. 跟踪训练4 计算：(1)log 927；(2)；(3)625.命题角度3 对数恒等式log a N a＝N 的应用 例5 (1)求33log 3x +＝2中的x . (2)求log log log a b c b c N a⋅⋅的值(a ，b ，c 均为正实数且不等于1，N ＞0).跟踪训练5 设()5log 2125x -＝9，则x ＝ .1.log b N ＝a (b >0，b ≠1，N >0)对应的指数式是( )A.a b ＝NB.b a ＝NC.a N ＝bD.b N ＝a 2.若log a x ＝1，则( )A.x ＝1B.a ＝1C.x ＝aD.x ＝103.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )A.e 0＝1与ln 1＝0B.138-＝12与log 812＝－13C.log 39＝2与129＝3D.log 77＝1与71＝74.已知log x 16＝2，则x 等于( )A.±4B.4C.256D.25.设10lg x ＝100，则x 的值等于( )A.10B.0.01C.100D.1 0001.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a >0，且a ≠1，N >0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)log a N a ＝N .2.在关系式a x ＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算；而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.课时作业一、选择题1.有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e 为底的对数叫做自然对数.其中正确命题的个数为( )A.1B.2C.3D.42.已知b ＝log (a －2)(5－a )，则实数a 的取值范围是( )A.a >5或a <2B.2<a <5C.2<a <3或3<a <5D.3<a <4 3.方程3log 2x ＝14的解是( ) A.x ＝19B.x ＝33C.x ＝ 3D.x ＝94.下列四个等式： ①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若lg x ＝10，则x ＝10；④若ln x ＝e ，则x ＝e 2.其中正确的是( )A.①③B.②④C.①②D.③④ 5.(12)－1＋log 0.54的值为( ) A.6 B.72C.0D.37 6.若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m＋n 的值是( ) A.15B.75C.45D.225二、填空题 7.已知f (log 2x )＝x ，则f (12)＝ . 8.＝ .9.已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么12x-＝ . .10.设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －b ＝ .三、解答题11.(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值.①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13. (2)已知6a ＝8，试用a 表示下列各式.①log 68；②log 62；③log 26.12.求22＋log 23＋32log 93-的值.13.设M ＝{0,1}，N ＝{lg a,2a ，a,11－a }，是否存在a 的值，使M ∩N ＝{1}?四、探究与拓展14.log(n ＋1＋n )等于( ) A.1B.－1C.2D.－215.若集合{x ，xy ，lg(xy )}＝{0，|x |，y }，求log 2(x 2＋y 2)的值.对数的运算知识点一 对数运算性质思考 有了乘法口诀，我们就不必把乘法还原成为加法来计算.那么，有没有类似乘法口诀的东西，使我们不必把对数式还原成指数式就能计算？答案 有.例如，设log a M ＝m ，log a N ＝n ，则a m ＝M ，a n ＝N ，∴MN ＝a m ·a n ＝a m ＋n ，∴log a (MN )＝m ＋n ＝log a M ＋log a N .得到的结论log a (MN )＝log a M ＋log a N 可以当公式直接进行对数运算.梳理 一般地，如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；(2)log a M N＝log a M －log a N ； (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R ).知识点二 换底公式思考1 观察知识点一的三个公式，我们发现对数都是同底的才能用这三个公式.而实际上，早期只有常用对数表(以10为底)和自然对数表(以无理数e 为底)，可以查表求对数值.那么我们在运算和求值中遇到不同底的对数怎么办？答案 设法换为同底.思考2 假设log 25log 23＝x ，则log 25＝x log 23，即log 25＝log 23x ，从而有3x ＝5，再化为对数式可得到什么结论？ 答案 把3x ＝5化为对数式为：log 35＝x ，又因为x ＝log 25log 23，所以得出log 35＝log 25log 23的结论. 梳理 一般地，对数换底公式：log a b ＝log c b log c a(a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)； 特别地：log a b ·log b a ＝1(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1).类型一 具体数字的化简求值例1 计算：(1)log 345－log 35；(2)log 2(23×45)； (3)lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 1.2； (4)log 29·log 38.解 (1)log 345－log 35＝log 3455＝log 39＝log 332＝2log 33＝2. (2)log 2(23×45)＝log 2(23×210)＝log 2(213)＝13log 22＝13.(3)原式＝)32lg 8lg1012lg 10-＝33322lg 321012lg 10⎛⎫⨯÷ ⎪⎝⎭ ＝3234lg 1012lg 10⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭ ＝32lg 1210lg 1210＝32. (4)log 29·log 38＝log 2(32)·log 3(23)＝2log 23·3log 32＝6·log 23·1log 23＝6.反思与感悟 具体数的化简求值主要遵循2个原则.(1)把数字化为质因数的幂、积、商的形式.(2)不同底化为同底.跟踪训练1 计算：(1)2log 63＋log 64；(2)(lg 25－lg 14)÷12100-； (3)log 43·log 98；(4)log 2.56.25＋ln e －130.064.类型二 代数式的化简命题角度1 代数式恒等变换例2 化简log a x 2y 3z. 解 ∵x 2y 3z>0且x 2>0，y >0，∴y >0，z >0. log a x 2y 3z＝log a (x 2y )－log a 3z ＝log a x 2＋log a y －log a 3z＝2log a |x |＋12log a y －13log a z . 反思与感悟 使用公式要注意成立条件，如lg x 2不一定等于2 lg x ，反例：log 10(－10)2＝2log 10(－10)是不成立的.要特别注意log a (MN )≠log a M ·log a N ，log a (M ±N )≠log a M ±log a N .跟踪训练2 已知y >0，化简log ax yz .命题角度2 用代数式表示对数例3 已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645.解 方法一 ∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－a . 方法二 ∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b 2－a. 方法三 ∵log 189＝a,18b ＝5，∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18，∴log 3645＝lg 45lg 36＝lg (9×5)lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9 ＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b 2－a. 反思与感悟 此类问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元.跟踪训练3 已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a ，b 表示log 4256.1.log 513＋log 53等于( ) A.0 B.1 C.－1 D.log 51032.设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A.log a b ·log c b ＝log c aB.log a b ·log c a ＝log c bC.log a (bc )＝log a b ·log a cD.log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c3.log 29×log 34等于( )A.14B.12C.2D.4 4.lg 0.01＋log 216的值是 .1.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.2.运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质.(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用.(3)在运算过程中避免出现以下错误：①log a N n ＝(log a N )n ，②log a (MN )＝log a M ·log a N ，③log a M ±log a N ＝log a (M ±N ).课时作业一、选择题1.下列各式(各式均有意义)不正确的个数为( )①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a (M －N )＝log a M log a N ；③nm a ＝1m a n ；④(a m )n ＝am n ；⑤log an b ＝－n log a b . A.2 B.3 C.4 D.52.4等于( )A.12B.14C.2D.4 3.化简log 58log 52等于( ) A.log 54 B.3log 52 C.2 D.34.已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则用a ，b 表示lg 15为( )A.b －a ＋1B.b (a －1)C.b －a －1D.b (1－a )5.若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于( ) A.9B.19C.25D.1256.计算(log 32＋log 23)2－log 32log 23－log 23log 32的值是( ) A.log 26B.log 36C.2D.1 二、填空题7.(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝ .8.(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝ .9.已知lg(x ＋2y )＋lg(x －y )＝lg 2＋lg x ＋lg y ，则x y＝ . 10.若3x ＝4y ＝36，则2x ＋1y＝ . 三、解答题11.若x ·log 32 016＝1，求2 016x ＋2 016－x 的值.12.计算： (1)2123log 3⎛⎫ ⎪⎝⎭＋log 0.2514＋9log 55－log 31； (2)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8.13.已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z,2x ＝py .(1)求p 的值；(2)求证：1z －1x ＝12y.四、探究与拓展14.计算⎝⎛⎭⎫－278－23＋log 827log 23＋(2－3)0－log 31＋2lg 5＋lg 4－5log 52＝ .。
高中数学必修一《对数与对数运算》教学设计
高中数学必修一《对数与对数运算》教学设计一、教学背景分析：（一）教材地位与作用我们在前面的学习过程中,已了解了指数函数的概念和性质,它是后续学习的基础,从本节开始我们学习对数及其运算.使学生认识引进对数的必要性,理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.（二）学情分析学生刚开始接触对数，从指数函数到对数函数的过渡，学生在学习上可能会有些困难，转化能力有待提高。
而且学生学习的主动意识不强，自主探究能力也有待提高。
（三）设计思想教材注重从现实生活的事例中引出对数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情景创设.教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持.注重引导学生通过自己观察、操作交流、讨论、有条理的思考和推理，让学生通过自主探索、合作交流，进一步认识和掌握对数式与指数式的互化，积累数学活动的经验。
（四）教法分析和学法指导掌握对数的双基，即对数产生的意义、概念等基础知识，求对数及对数式与指数式间转化等基本技能的掌握在本课的教学设计中，注重“引、思、探、练”的结合。
引导学生学习方式发生转变，采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的学习，形成师生互动的教学氛围。
在学习方法上，指导学生：通过实例启发学生产生主动运用的意识；通过解题思路的脉络分析，对学生进行解题思路的指导；通过对学生发言的点评，规范语言表达，指导学生进行交流和讨论。
（五）教具设备：多媒体课件.二、教学目标（一）知识与能力1．理解对数的概念，了解对数与指数的关系；2．理解和掌握对数的性质；3．掌握对数式与指数式的关系。
高一数学对数与对数的运算1
知识探究 探究2:根据对数定义，logal和logaa （a＞0且a≠1）的值分别是多少？
loga1=0 logaa=1 探究3:若ax＝N，则x＝logaN ，二者组 合可得什么等式？
aloga N N
课堂练习 1.将下列指数式化为对数式，对数式
化为指数式：
2.若 log3[log4 (log5 a)] 0， 求a的值.
拓展训练
1.求使下列各式有意义的x的取值范围：
1 (1) lg(x 1);(2) logx2 (2 | x |).
x 1 (1) x 1 1
（1，2）（2，+）
2 | x | 0(2)x来自log1.01
18 13
1
x
log
1 4
100
知识探究
特殊地：
10x N
x lg N 常用对数
ex N
x ln N 自然对数
(e 2.71828)
知识探究 2、指数式与对数式可相互转化；
幂变真数
指数变对数
ax N
x log a N
底数不变
知识探究
探究1:当a>0且a≠1时，loga（-2）， loga0存在吗？为什么？由此能得到 什么结论？
2
(4)
log
5
125;(5)
log
2
1 ;(6) 16
lg
1000;
(7) ln e 3;(8) lg 0.001.
迁移训练
1.求下列各式中x的值： 2
(1) log64 x 3 ;(2) logx 8 6; (3) lg100 x;(4) ln e2 x.
人教版高中数学必修第一册对数与对数运算(一)
对数与对数运算（一）三维目标一、知识与技能1.理解对数的概念.2.理解指数式和对数式之间的关系，能熟练地进行对数式和指数式的互化.3.了解自然对数和常用对数的概念以及对数恒等式.二、过程与方法1.通过探究对数的概念以及对数式和指数式之间的关系，明确数学概念的严谨性和科学性，感受化归的数学思想，使学生能用相互转化的观点辩证地看问题.2.通过计算器或计算机的演示，使学生加深对“N＞0”的理解，培养学生数学地分析问题的意识.3.通过探究、思考、反思、完善，培养学生理性思维能力.三、情感态度与价值观1.通过具体实例引出对数的概念，使学生感受到数学源于实际生活，激发学生的学习兴趣.2.在教学过程中，通过学生的相互交流，来加深对数概念理解，增强学生数学交流能力，培养学生倾听、接受别人意见的优良品质.3.通过指导学生阅读“对数的发展史”不断了解数学、走进数学，增强学生的数学素养.教学重点1.对数式和指数式之间的关系.2.对数的概念以及对数式和指数式的相互转化. 教学难点对数概念的理解以及对数符号的理解. 教具准备多媒体课件、投影仪、计算器或计算机、打印好的作业. 教学过程一、创设情景，引入新课（多媒体投影我国人口增长情况分析图，并显示如下材料） 截止到1999年底，我国人口约13亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少？（精确到亿）师：设今后人口年平均增长率为1%，经过x 年后，我国人口数为y 亿，则y =13×1.01x.我们能从这个关系式中算出任意一个年头x 的人口总数.反之，如果问“哪一年的人口数可达到18亿，20亿，30亿……”该如何解决？（生思考，师组织学生讨论得出）由y =1.01x的图象可求出当y =1318、1320、1330时，相应的x 的值，实际上就是从1.01x=1318，1.01x=1320，1.01x=1330……中分别求出x .师：根据指数的有关知识，在关系式1.01x=1318中，要我们求解的量在什么位置？生：在等式左边的指数位置上.师：那么，要求x 的值，也就是让我们求指数式中的哪一个量？ 生：求指数x .师：这样，就出现了与前面学习指数时不同的一类问题——已知指数式的底数和幂值，求指数式的指数，这就是我们本节课所要研究的对数问题.（引入新课，书写课题——对数） 二、讲解新课（一）介绍对数的概念合作探究：若1.01x=1318，则x 称作是以1.01为底的1318的对数.你能否据此给出一个一般性的结论？（生合作探究，师适时归纳总结，引出对数的定义并板书） 一般地，如果a x=N （a ＞0，且a ≠1），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x =log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.合作探究：根据对数的概念写出几个对数式，同桌之间互相检查写法是否正确.师：你如何理解“log ”和log a N ？ （生探讨，得出如下结论） 知识拓展：符号“log ”与“+，”等符号一样表示一种运算，log a N 是一个整体，表示以a 为底N 的对数，不表示log 、a 、N三者的乘积.读作以a为底N的对数，注意a应写在右下方.（二）概念理解合作探究：对数和指数幂之间有何关系？（生交流探讨得出如下结论）说明：括号内属填空、选择的题目.合作探究：是不是所有的实数都有对数呢？在对数式log a N=b 中，真数N可以取哪些值？为什么？（生讨论，结合指数式加以解释）∵在指数式中幂N=a b＞0，∴在对数式中，真数N＞0.（师借助计算器或计算机进行示范）可以发现真数为负数时，计算器会提示出错信息.师：条件N＞0说明了什么？生：负数与零没有对数.合作探究：根据对数的定义以及对数式和指数式的关系，试求log a1和log a a（a＞0，且a≠1）的值.（生根据对数式和指数式之间的关系，得出如下结论）∵对任意a＞0且a≠1，都有a0=1，∴log a1=0.同样，∵对任意a＞0且a≠1，都有a1=a，∴log a a=1.合作探究：a N a log=N、log a a b=b是否成立？（师生共同讨论，给出如下解释）（1）设a Na log =x ，则log a N =log a x ，所以x =N ，即a Na log =N .（2）∵a b =a b ，∴log a a b=b （对数恒等式）.师：对数运算在研究科学和了解自然中起了巨大的作用，其中有两类对数贡献最大，它们就是自然对数和常用对数.（师指导学生阅读课本第57页常用对数和自然对数的概念和记法，然后板书）（三）常用对数通常将以10为底的对数称为常用对数，如log 102、log 1012等，并把对数log 10N 简记为lg N ，如lg2、lg12等.（四）自然对数在科学技术中，常常使用以e （e=2.71828…是一个无理数）为底的对数，这种对数称为自然对数.正数N 的自然对数log e N 一般简记为ln N ，如ln2、ln15等.（五）例题讲解师：我们已经对对数的概念有了一定的理解，你能快速地完成下面练习吗？（投影显示如下例题）【例1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）54=625；（2）2－6=641；（3）（31）m =5.73；（4）log 2116=－4；（5）lg0.01=－2；（6）ln10=2.303.方法引导：进行指数式和对数式的相互转化，关键是要抓住对数与指数幂之间的关系，以及每个量在对应式子中扮演的角色.（生口答，师板书）解：（1）log 5625=4；（2）log 2641=－6；（3）log 315.73=m ；（4）（21）－4=16；（5）10－2=0.01；（6）e2.303=10.【例2】 求下列各式中的x 的值：（1）log 64x =－32；（2）log x 8=6；（3）lg100=x ；（4）－lne 2=x .（师生共同讨论，师板书）解：（1）因为log 64x =－32，所以x =6432-=（43）32-=4－2=161； （2）因为log x 8=6，所以x 6=8，x =861=（23）61=221=2；（3）因为lg100=x ，所以10x=100，10x=102，于是x =2； （4）因为－lne 2=x ，所以lne 2=－x ，e 2=e －x，于是x =－2. 方法小结：在解决对数式求值问题时，若不能一下子看出结果，根据指数式与对数式的关系，首先将其转化为指数式，进一步根据指数幂的运算性质求出结果.（六）目标检测课本P 74练习第1，2，3，4题.（生完成，师组织学生进行课堂评价）解答：1.（1）log 28=3；（2）log 232=5；（3）log 221=－1；（4）log 2731=－31.2.（1）32=9；（2）53=125；（3）2－2=41；（4）3－4=811. 3.（1）设x =log 525，则5x =25=52，所以x =2； （2）设x =log 2161，则2x=161=2－4，所以x =－4；（3）设x =lg1000，则10x=1000=103，所以x =3； （4）设x =lg0.001，则10x=0.001=10－3，所以x =－3. 4.（1）1；（2）0；（3）2；（4）2；（5）3；（6）5. 三、课堂小结师：请同学们回顾一下本节课的教学过程，你觉得哪些知识你已经掌握？哪些东西你还没有掌握？（生总结，并互相交流讨论，师投影显示本课重点知识） 1.对数的定义及其记法； 2.对数式和指数式的关系； 3.自然对数和常用对数的概念. 四、布置作业 板书设计2.2.1 对数与对数运算（1）1.对数的定义2.对数式和指数式的关系3.自然对数和常用对数的概念 一、例题解析及学生练习 例1例2二、课堂小结与布置作业。
高中数学第七节 对数与对数函数
数学
首页
上一页
下一页
末页
第七节
对数与对数函数
结束
[类题通法]
对数运算的一般思路
(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数 幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．
(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用 对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
2．解决与对数函数有关的问题时易漏两点：
(1)函数的定义域；
(2)对数底数的取值范围．
数学
首页
上一页
下一页
末页
第七节
对数与对数函数
结束
[试一试] 1． (2013· 苏中三市、 连云港、 淮安二调)“M>N”是“log2M>log2N”
成立的____________条件(填“充分不必要”“必要不充 分”“充要”或“既不充分又不必要”)． 解析：当 M，N 为负数时，不能得到 log2M>log2N，而根据函
数学
首页
上一页
下一页
末页
第七节
对数与对数函数
结束
1．对数值的大小比较的基本方法
(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法； (3)利用中间量(0 或 1)；(4)化同真数后利用图像比较．
2．明确对数函数图像的基本点
(1)当 a>1 时，对数函数的图像“上升”；
当 0<a<1 时，对数函数的图像“下降”．
(2)是否存在实数 a，使 f(x)的最小值为 0？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由．
[解] (1)∵f(1)＝1， ∴log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1， 这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)． 由－x2＋2x＋3>0得－1<x<3，函数f(x)的定义域为(－1，3)．
对数与对数运算说课稿（精选5篇）
对数与对数运算说课稿（精选5篇）以下是网友分享的关于对数与对数运算说课稿的资料5篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。
篇一§2.2.1对数与对数运算说课稿大家好，我是。
，我今天的讲课内容是对数与对数的运算。
我将从以下5个方面来进行今天的说课，第一是教学内容分析，第二是学生的学情分析，第三是教学方法的策略，第四是教学过程的设计，第五的教学反思。
一、教学内容分析对数与对数的运算是人教版高中教材必修一第二章第二节第一课时的内容。
本节课是第一课时，主要讲的就是认识对数和对数的一些基本运算性质。
本节课的学习蕴含着转化化规的数学思想，类比与对比等基本数学方法。
在上节课，我们学习了指数函数以及指数函数的性质，是本节课学习对数与对数的运算的基础，而下节课，我们又将学习对数函数与对数函数的性质，这节课恰好为下节课的学习做了一个铺垫。
二、学生学情分析接下来我将从认知、能力、情感三个方面来进行学生的学情分析。
首先是认知，该阶段的高中生已经学习了指数及指数函数的性质，具备了学习对数的基础知识；在能力方面，高一的学生已经初步具备运用所学知识解决问题的能力，但是大多数同学还缺乏类比迁移的能力；而在情感方面，大多数学生有积极的学习态度，能主动参与研究，但是还有部分的学生还是需要老师来加以引导的。
三、教学方法的策略根据教材的要求以及本阶段学生的具体学习情况，我制定了一下的教学目标。
首先是知识与技能，理解对数与指数的关系，能进行指对数互化并可利用对数的简单性质求值；接着是过程与方法，通过探究对数和指数之间的互化，培养发现问题、分析问题、解决问题的能力；最后是情感态度与价值观，通过对问题转化过程的引导，培养学生敢于质疑、勇于开拓的创新精神。
基于以上的分析，我制定了本节课的重难点。
本节课的教学重点是对数的定义，对数式与指数式的互化，对数的运算法则及其推导和应用；本节课的难点是对数概念的理解和对数运算法则的探究和证明；本节课我所采用的教学方法是探究式教学法，分为以下几个环节：教师创设问题情境，启发式地讲授，讲练结合，引导学生思考，最后鼓励学生自主探究学习。
2.2.1对数与对数运算(必修一优秀课件)
课 堂 互 动 探 究
【解析】选B.由对数定义可知(1)(2)(4)均正确，而(3)中
对数的底数不等于1.
基 础 自 主 演 练 课 后 巩 固 作 业
课 前 新 知 初 探
2.(2011·海口高一检测)设a>0,a≠1,x∈R,下列结论错误的 是( ) (B)logax2=2logax (D)logaa=1
2
(3)lg 0.01 2
1 4 解：(1)( ) 16 2
(4)ln10 2.303
(2)27 128
(3)10 0.01
2
(4)e2.303 10
求下列各式的值 （1）log0.5 1 （4） log3 243 （5） lg 4 64 （6）log
2
log （2） 9 81
是2010年的2倍？
a 1 8%
x=
x
2a
x 2 即 1.08
小结：
这是已知底数和幂的值，求指数的问题。 即指数式ab=N中，已知a 和N，求b的问题。
这里( a 0且a 1 ）
你能看得出来吗？怎样求呢？
对数的定义
如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对
特的方法构造出对数方法。1614年6月在爱丁堡出版的
第一本对数专著》《奇妙的对数表的描述》中阐明了 对数原理，后人称为纳皮尔对数。
假设2010年我国的国民生产总值为a亿元，如果每年 平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值
是2010年的2倍？
假设2010年我国的国民生产总值为a亿元，如果每年
平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值
（3）log25 625 解： （1）log0.5 1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例6 求下列各式中x的值：
2 (1) log64 x (2)logx 8 6 3 (3) lg100 x (4) - lne2 x
(5) logx (3 2 2 ) 2
( 5)
(6) log5 (log2 x) 0
2 例7．求x的值： log 64 x 3
思考4:log2x2=2log2x对任意实数x恒成 立吗？
思考5:如果a>0，且a≠1，M>0，则
log a M 等于什么？
n
思考6:上述关于对数运算的三个基本 性质如何用文字语言描述？
①两数积的对数，等于各数的对数的和； ②两数商的对数，等于被除数的对数减 去 除数的对数；
4.对数的运算法则
如果a > 0, 且a ≠ 1, M > 0, N > 0, n ∈ R, 那么 (1) loga ( M N ) = loga M + loga N ; M (2) loga = loga M loga N ; N n (3) log M = n loga M ; (4) loga
思考Ⅲ：已知 log1 (log2 x) log1 (log3 y) 1
2 3
1
试比较x和y的大小
1 解： log1 (log2 x) 1 log2 x 2 2
1 1 即： log 2 x 22 x 2 同理可得： y 3 3
x 2
6
x
logc N p 即证得 logc a
logc N loga N logc a
其他重要公式 2:
1 log a b logb a
logb b loga b logb a
a, b (0,1) (1,)
证明:由换底公式 取以b为底的对数得：
1 logb b 1 loga b logb a
即3
3x
2 log 5x 1
3 x
3
2
x 5
3 3
2
2 即3 x 2 x 3
注：把对数式化成指数式， 利用指数的性质进行运算
例5、求下列式子中的 x 的值 注：把对数式化成指数式，
3 (3) log x 27 4
由题意
解 :
x 0, x 1
a;
1 (2) 3
5
2
3;
(4) e a.
• 例 3.求下列各式的值:
(1) log 2 64; (2) log9 27;
解: 6 log2 64 6. (1) 由2 64，得：
1 (3)lg . 100
(2) 设x=log9 27, 则根据对数的定义知:
还可以变形,得
loga b logb a 1
例14 计算
（ 1）
log2 (2 4 )
5 7
5
解 : log2 (2
4 ) log2 2 log2 4
7
5
7
log2 2 log2 2 =5+14=19
5
14
（ 2）
解 :
log9 27 3 3 log9 27 log32 3 log 3 3 2 3 2
x
即负数和零没有对数 2、两个恒等式： loga 1 0
loga a 1
3、常用对数 lg N 和自然对数 ln N
请同学们回顾一下指数运算法则 ：
(1)a a a
m n m n n n
mn
(m, n R)
n
(2)(a ) a (m, n R)
mn
(3)(ab) a b (n R )
b
思考：
1.是否所有的实数都有对数呢？
零和负数没有对数.
n N a 2.如果 ，那么上式变为：
loga a n（对数恒等式1）
n
思考3:当a>0，且a≠1时，loga（2），loga0存在吗？为什么？由此能 得到什么结论？ 思考4:根据对数定义，logal和logaa （a>0，a≠1）的值分别是多少？
①
解：∵
∴
2 log 64 x 3
求真数
2 3 2 3
x 64
(4 )
3
4
2
1 16
②
log x 8 6
1 6
解： ∵ log 8 6,又∵ x 0 x
x 8 (2 ) 2 2 ③ ln e 2x 解： ∵ ln x e 2 2 x ∴ ln e x, e e
∴ ∴
3
1 6
求对数
x 2.
课堂练习 3 求下列各式中x的值
(1)
(2)
2 log 64 x 3 log x 8 6
(3) lg100
(4)
2
x
ln e x
课堂练习 4、求 x 的值： (1)
2
log2x 1 3x 2x 1 1
2
(2)
log2 log3 log4 x 0
1.截止到1999年底，我国人口约 13亿.如果今后能将人口年平均增长 率控制在1%，那么经过20年后，我国 人口数最多为多少（精确到亿）？到 哪一年我国的人口数将达到18亿？
13×
x (1＋1％) ＝18，求x=?
2.假设2006年我国国民生产总值 为a亿元，如果每年的平均增长率为 8% ，那么经过多少年我国的国民生 产总值是2006年的2倍？
?
N
t
(a 0, a 1)
对数恒等式
loga N
证明： 令t loga N，则：
t loga N a N
训练：
即：a
N
(1)2
(3)2
log2 10
10 _____ (2)2
2log2 8
32 _______
2 log2 10
100 (4)4log2 8 _______ 64 _____
思考Ⅰ： 求下列式子中的
解：
log2 x2 1 3x 2x 1 1
2
x
的值
log 2 x 2 1 3x 2 x 1 1 2 x 1 3x 2 x 1 都能
2 2 2
1
0…… 和-2 回顾定义 取吗 ？
即2x 1 3x 2x 1 x 2x 0
a
loga N
N
b
证 明： 设 a N
b loga N
a
loga N
N
• 例１．将下列指数式改写成对数式：
1 (1) 2 = 16； (2) 3 = ； 27
4 -3
1 (3) 5 = 20； (4) = 0.45 . 2
a
b
解：(1)log2 16 4
(3) log5 20 a;
2 2 2
x 0或 2
当x 0时，底数x 2 1 1 0 不合，则舍去 当x 2时，底数x 2 1 3, 且真数3x 2 2x 1 3 符合题意 综上所述 x=-2
注：在底数和真数有未知数的时候一定要注意 底数和真数的范围限制
思考Ⅱ：
a
loga N
思考1:当a>0，且a≠1时，若ax＝N， 则x＝logaN，反之成立吗？ 思考2:在指数式ax＝N和对数式x＝ logaN中，a，x，N各自的地位有什么 不同？ a N x
指数式ax＝N 指数的底数 幂 幂指数 对数式x＝ 对数的底数 真 对数 logaN 数
数学理论
即a N loga N b
(1＋8％)x＝2，求x=? 3.上面的实际问题归结为一个什 么数学问题？
已知底数和幂的值，求指数.
思考1:若24＝M，则M＝？
若2－2＝N，则N＝？ 思考2:若2x＝16，则x＝？
1 若2 x＝ 4
若4 x＝8 ， 若2 x＝3 ，
,则x＝？
则x＝？ 则x＝？
思考3:满足2x＝3的x的值，我们用 log23表示，即x＝log23，并叫做“以 2为底3的对数”.那么满足2x＝16，2x ＝ 32，4x＝8的x的值可分别怎样表示？ 思考4:一般地，如果ax＝N（a>0，且 a≠1），那么数x叫做什么？怎样表示？
思考5:若ax＝N，则x＝logaN ，二者 组合可得什么等式？
对数的性质：
(1)真数N必须大于0,即负数与零没有对数 . （∵在指数式中 N > 0 ） (2) (3)
loga 1 0,
loga a 1
对数恒等式
a
log a N
N
(a 0且a 1, N 0)
3.对数恒等式：
x＝logaN
数学理论
1.对数的概念
一般地，如果 a(a 0, a 1) 的b次幂等于N, 即: a N
b
那么就称b是以a为底N的对数,记作
loga N b
其中,a叫做对数的底数,N叫做对数的真数.
18 1.01 思考5:前面问题中， 13
x
1.08 , 2
x
中的x的值可分别怎样表示？
思考4:将log232－log24=log28推广 到一般情形有什么结论？怎样证明？
思考5:若a＞0，且a≠1，M1， M2，„， Mn均大于0，则loga(M1M2M3„Mn）＝？
思考1:log23与log281有什么关系？
思考2:将log281=4log23推广到一般情形 有什么结论？
思考3:如果a>0，且a≠1，M>0，你有什 么方法证明等式logaMn＝nlogaM成立．