命题的概念命题的四种形式及关系命题的否定和否命题的区别
四种命题四种命题的关系
四种命题-四种命题的关系四种命题四种命题摘要：四种命题的概念与表示形式，即如果原命题为：若p则q，则它的逆命题为：若q则p，即交换原命题的条件和结论即得其逆命题；否命题为：若？劭p则？劭q，同时否定原命题的条件和结论，即得其否命题；逆否命题为：若？劭q则？劭p，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定，即得其逆否题；两个互为逆否的命题同真或同假.关键词：原命题逆命题否命题逆否命题在数学中用语言、符号或式子表达时，可判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.数学中的定义、公理、定理、公式等都是真命题.逻辑联接词有“或”、“且”、“非”，不含逻辑联接词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联接词构成的命题叫复合命题，复合命题构成的形式有三种：“p 或q”、“p且q”、“p非q”.“马有四条腿”，“迭部县是甘南州的一个县”，“等边三角形的三个角相等”，这三句话是不是命题？是命题.因为这三句话是判断一件事情的语句，下面做几个变化：第一，把这三个命题的条件与结论找出来，然后将它们互换；第二，将条件与结论分别否定后写出新的句子；第三，将否定了的条件与结论互换看得到什么样的句子.1.①马有四条腿；②有四条腿的是马；③不是马的没有四条腿；④没有四条腿的不是马.2.①迭部县是甘南州的一个县；②甘南州的一个县是迭部；③不是迭部县就不是甘南州的县；④不是甘南州的县就不是迭部县.3.①等边三角形的三个角相等；②三个角相等的三角形是等边三角形；③不是等边三角形的三个角不相等；④三个角不相等的三角形不是等边三角形.你可能会想，第一组的②③与第二组的②③是错误的，它不是真命题.然而它们确实是命题，因为它们也是判断一件事情的语句，不论判断错误还是正确，都是命题.下面我们讨论它们之间的关系.由前面的变化可知，这三组命题的①与②命题中，一个命题的题设与结论分别是另一个命题的结论与题设，那么这两个命题称为互逆命题，把其中一个叫做原命题时，另一个就叫做它的逆命题.在①与③两个命题中，一个命题的题设与结论分别是另一个命题的题设与结论的否定.这样的两个命题互否命题，把其中的一个叫做原命题时，另一个叫做它的否命题.①与④两个命题中，一个命题的题设与结论分别是另一个命题的结论与题设的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中一个叫做原命题时，另一个就叫做它的逆否命题.若用A与B分别表示原命题的题设与结论，用A与B分别表示A与B的否命题，则四种命题的形式如下：原命题：若p成立，则q就成立，或“p？圯q”；逆命题：若q成立，则p就成立，或“q？圯p”；否命题：若？劭p成立，则？劭q就成立，或“？劭p？圯？劭q”；逆否命题：若？劭q成立，则？劭p就成立，或“？劭q？圯？劭p”.对照第一组的四种命题，我们观察得到：同一个命题的否命题与逆命题是互逆的；同一个命题的逆命题与逆否命题是互否的；同一个命题的逆命题与否命题是互逆的.下面我们再看看第一组的四种命题：①正确而②不正确，而第三组中①正确，②也正确，所以说，原命题正确，它的逆命题不一定正确.同样看到第二组的①正确而③不正确，第三组中的②③同时正确，由此可知：原命题正确，它的否命题不一定正确.观察第三组中的①与④，发现它们分别是同时正确，由此可见：原命题正确，那么它们的逆命题一定正确.写出一个命题的逆命题，否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件与结论，然后按定义来写.在判断原命题及其逆命题、否命题及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定.1.四种命题间的逆否关系原命题与逆命题互为逆命题，否命题与逆否命题互为逆命题；原命题与否命体互为否命题，逆命题与否命题互为否命题；原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题.上面是四中命题之间的相互关系，那么它们的真假性是否也有一定的相互关系呢？观察下面四个命题：若f是正弦函数，则f是周期函数；若f是周期函数，则f是正弦函数；若f不是正弦函数，则f不是周期函数；若f 不是周期函数，则f不是正弦函数.。
高中数学命题的基本概念
高中数学命题的基本概念一、命题的基本概念命题：可以判断真假的陈述句叫做命题。
也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件。
真命题：判断为真的语句叫做真命题。
假命题：判断为假的语句叫做假命题。
命题的否定：就是对命题的结论加以否定。
原命题逆命题否命题逆否命题若，则若，则若，则若，则另一个命题的结论和条件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题。
一般地，对于是互逆命题的两个命题，其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题。
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的的条件和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题。
其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题。
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。
其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题。
四种命题的相互关系图三、充分条件和必要条件的概念1、若，我们就说是的充分条件，是的必要条件。
2、一般地，如果既有，又有，就记作。
此时，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。
3、一般地，若p⇒q，但q ≠＞p，则称p是q的充分但不必要条件；若p≠＞q，但q ⇒ p，则称p是q的必要但不充分条件；若p≠＞q，且q ≠＞p，则称p是q的既不充分也不必要条件。
四、重要结论1、互为逆否命题的两个命题真值相同：原命题与它的逆否命题等价；否命题与逆命题等价。
2、对于充分条件、必要条件的判定，我们需要将命题转化为集合，充分利用集合的关系进行判定，可以更加直观形象。
3、命题的否定和否命题是两个不同的概念。
典型例题知识点一：命题的基本概念以及四种命题的相互关系例1、判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数是素数，则是奇数；（3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？（5）；（6）平面内不相交的两条直线一定平行；（7）明天下雨。
四种命题及其关系
四种命题及其关系一、四种命题的概念1. 原命题- 定义：若用p表示条件，q表示结论，则原命题为“若p，则q”，例如“若x = 1，则x^2=1”。
2. 逆命题- 定义：将原命题的条件和结论互换得到的命题，即“若q，则p”。
对于上面的例子，其逆命题为“若x^2=1，则x = 1”。
3. 否命题- 定义：将原命题的条件和结论都进行否定得到的命题，即“若¬ p，则¬q”。
对于“若x = 1，则x^2=1”，其否命题为“若x≠1，则x^2≠1”。
4. 逆否命题- 定义：将逆命题的条件和结论都进行否定得到的命题，即“若¬ q，则¬p”。
对于“若x = 1，则x^2=1”，其逆否命题为“若x^2≠1，则x≠1”。
二、四种命题之间的关系1. 原命题与逆命题- 关系：原命题的条件和结论是逆命题的结论和条件，它们之间是互逆的关系。
原命题为真时，逆命题不一定为真。
例如原命题“若a = 0，则ab=0”是真命题，其逆命题“若ab = 0，则a = 0”是假命题（因为当b = 0时，a可以不为0）。
2. 原命题与否命题- 关系：原命题与否命题是互否的关系，原命题为真时，否命题不一定为真。
例如原命题“若x>2，则x>1”是真命题，其否命题“若x≤slant2，则x≤slant1”是假命题。
3. 原命题与逆否命题- 关系：原命题与逆否命题是同真同假的关系。
例如原命题“若a = b，则a^2=b^2”是真命题，其逆否命题“若a^2≠ b^2，则a≠ b”也是真命题；原命题“若x = 1且y = 2，则x + y=3”是真命题，其逆否命题“若x + y≠3，则x≠1或y≠2”也是真命题。
4. 逆命题与否命题- 关系：逆命题与否命题是互为逆否的关系，所以它们也是同真同假的关系。
例如对于原命题“若p，则q”，其逆命题“若q，则p”和否命题“若¬ p，则¬q”，若逆命题为真，则否命题也为真；若逆命题为假，则否命题也为假。
四种命题
四种命题112四种命题学习目标四种命题的内在联系，能根据一个命题构造它的逆命题、否命题和逆否命题学习过程四种命题的概念（1）对两个命题，如果一个命题的条和结论分别是另一个命题的结论和条，那么我们这样的两个命题叫做,其中一个命题叫做原命题为：“若，则”，则逆命题为：“ ”(2) 一个命题的条和结论恰好是另一个命题的条的否定和结论的否定, 我们把这样的两个命题叫做,其中一个命题叫做命题,那么另一个命题叫做原命题的若原命题为：“若，则”，则否命题为：“ ”（3）一个命题的条和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条的否定, 我们把这样的两个命题叫做,其中一个命题叫做命题,那么另一个命题叫做原命题的若原命题为：“若，则”，则否命题为：“ ”练习：下列四个命题：（1）若是正弦函数，则是周期函数；（2）若是周期函数，则是正弦函数；（3）若不是正弦函数，则不是周期函数；（4）若不是周期函数，则不是正弦函数（1）（2）互为（1）（3）互为（1）（4）互为（2）（3）互为例3 命题：“已知、、、是实数，若子，则”写出逆命题、否命题、逆否命题变式：设原命题为“已知、是实数，若是无理数，则、都是无理数”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题动手试试写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题并判断它们的真假：（1）若一个整数的末位数是0，则这个整数能被整除；（2）若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；（3）奇函数的图像关于原点对称小结这节你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？后作业1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假（1）若都是偶数，则是偶数；（2）若，则方程有实数根2把下列命题改写成“若，则”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：（1）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；（2）矩形的对角线相等6命题“如果，那么”的逆否命题是（）A如果，那么B如果，那么如果，那么D如果，那么7若ab=0则a=0或b=0写出它们的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：8若则a=0且b=0写出它们的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：四种命题二时学习目标1四种命题关系图；2四种命题真假关系3，命题的否定与原命题真假关系，否命题及命题的否定形式区别。
(完整)四种命题、四种命题间的相互关系
四种命题四种命题间的相互关系1、四种命题的概念,写出某个命题的逆命题、否命题和逆否命题.2、四种命题之间的关系以及真假性之间的联系。
3、会用命题的等价性解决问题.【核心扫描】：1、结合命题真假的判定,考查四种命题的结构。
(重点）2、掌握四种命题之间的相互关系.（重点）3、等价命题的应用。
(难点）1、四种命题的概念（1）互逆命题：对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题。
其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题。
若原命题为“若p，则q”，则逆命题为“若q，则P”。
(2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。
也就是说，若原命题为“若p,则q”则否命题为“若非p，则非q".(3）互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．也就是说，若原命题为“若p,则q"，则逆否命题为若非q，则非p.任何一个命题的结构都包含条件和结论，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题,因而任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题。
2、四种命题的相互关系3、四种命题的真假性(1）四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：(2）四种命题的真假性之间的关系:①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况?因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题,它们同真同假,所以真命题的个数可能为0，2，4.一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p与q的否定，则四种命题的形式可表示为：原命题：若P,则q；逆命题:若q，则p；否命题:若非P，则非q；逆否命题：若非q，则非 p.（1)关于四种命题也可叙述为：①交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的逆命题;②同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的否命题;③交换命题的条件和结论,并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题．（2)已知原命题，写出它的其他三种命题：首先，将原命题写成“若p，则q”的形式，然后找出条件和结论，再根据定义写出其他命题.然后，对于含有大前提的命题，在改写时大前提不动。
四种命题、四种命题间的相互关系
四种命题四种命题间的互相关系1、四种命题的概念，写出某个命题的逆命题、否命题和逆否命题。
2、四种命题之间的关系以及真假性之间的联络。
3、会用命题的等价性解决问题。
【核心扫描】：1、结合命题真假的断定，考察四种命题的构造。
(重点)2、掌握四种命题之间的互相关系。
(重点)3、等价命题的应用。
(难点)1、四种命题的概念(1)互逆命题：对于两个命题，假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题。
其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题。
假设原命题为“假设p，那么q〞，那么逆命题为“假设q，那么P〞。
(2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否认和结论的否认，这样的两个命题叫做互否命题。
假如把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。
也就是说，假设原命题为“假设p，那么q〞那么否命题为“假设非p，那么非q〞。
(3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否认和条件的否认，这样的两个命题叫做互为逆否命题。
假如把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．也就是说，假设原命题为“假设p，那么q〞，那么逆否命题为假设非q，那么非p。
任何一个命题的构造都包含条件和结论，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题，因此任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题。
2、四种命题的互相关系(2)四种命题的真假性之间的关系：①两个命题互为逆否命题，它们有一样的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0，2，4.一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p与q的否认，那么四种命题的形式可表示为：原命题：假设P，那么q；逆命题：假设q，那么p；否命题：假设非P，那么非q；逆否命题：假设非q，那么非p.(1)关于四种命题也可表达为：①交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的逆命题；②同时否认命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的否命题；③交换命题的条件和结论，并且同时否认，所得的新命题就是原命题的逆否命题．(2)原命题，写出它的其他三种命题：首先，将原命题写成“假设p，那么q〞的形式，然后找出条件和结论，再根据定义写出其他命题。
高考数学复习点拨：命题的否定与否命题辨析 (1)
命题的否定与否命题辨析在学习“简易逻辑”时，有些同学对命题的否定不知如何把握且容易与一个命题的否命题混淆，本文想就此作一辩析．一、辨析1、定义区别定义原命题：若p，则q 命题的否定指对结论的否定若p，则非q 否命题指对命题的条件与结论同时否定若非p，则非q2、真假关系表命题的否定形式、否命题与原命题的真假关系表：原命题否定形式否命题真假与原命题的真假无关假真3、常用关键词的否定把握好命题的否定和正确地写出命题的否命题，必须掌握一些关键词语的否定，见下表：正面词语大(小)于是或有全都任何所有的否定词语不大(小)于不是且无不都某些有几个不全正面词语至少有一个任意两个至多有n个任意的都是否定词语一个都没有某两个至少有n+1个某个不都是二、例题讲解[例1]写出命题“相似三角形是全等三角形”的否定形式及否命题，并判断它们的真假．解：原命题：相似三角形是全等三角形(假)．原命题的否定形式：相似三角形不是全等三角形(真)．原命题的否命题：不相似的三角形不是全等三角形(真)．注：原命题与原命题的否定形式的真假相反．[例2]写出下列命题的否命题：⑴若m＞0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根；⑵若x，y都是奇数，则x＋y是奇数；⑶若abc＝0，则a，b，c中至少有一个为0；⑷当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc．解：原命题的否命题分别是：⑴若m≤0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实数根；⑵若x，y不都是奇数，则x＋y不是奇数；⑶若abc≠0，则a，b，c全不为0；⑷当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc．评注：将以上命题的条件与结论中关键词加以否定即可，⑴“＞”、“有”；⑵“都是”、“是”；⑶“＝”、“至少有一个”，⑷“＜”，要注意“c＞0”是大前提，不要对其进行否定．[例3]写出命题“若△ABC是等腰三角形，则它有两个内角相等”的否命题和逆否命题，并判断其真假．解：否命题：若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等(真)；逆否命题：若△ABC的任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形(真)．评注：逆否命题(若┐q则┐p)是否命题(若┐p和┐q)的逆命题．[例4]写出下列命题的“非p形式”的复合命题．⑴p：对顶角相等；⑵p：平行四边形一定是菱形；⑶p：2123x x+-≥0．分析：⑴p：对顶角相等(真)，┐p：对顶角不相等(假)；⑵p：平行四边形一定是菱形(假)，这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”呢?若为“平行四边形一定不是菱形”，仍为假命题，与真值表相违，故原命题的┐p：平行四边形不一定是菱形(真)．⑶若认为┐p：2123x x +-＜0，那就错了．┐p是对p的否定，包括2123x x+-＜0或2123x x+-＝0．或∵p：x＞1或x＜－3，∴┐p：－3≤x≤1．评注：写出命题p的“非p”形式，要注意对命题p进行整体考虑或考虑“p”与“┐p”的真假，不能与真值表相悖．[例5]写出下列命题的“非p”形式的复合命题：⑴x＝0或y＝0；⑵△ABC是等腰直角三角形．分析：命题“p或q”与“p且q”的“非p”形式如下命题p或q p且q非p形式(┐p)且(┐q) (┐p)或(┐q)⑵┐p：△ABC不是等腰三角形或不是直角三角形．[例6]用反证法证明：△ABC中，若∠C是直角，则∠B一定是锐角．分析：“∠B一定是锐角”的否定是“∠B一定不是锐角”(注意：不能否定为“∠B不一定是锐角”)，即∠B≥90°，则∠C＋∠B≥180°，矛盾．(证明略)评注：反证法与命题的否定形式关系密切，它是从假设“命题结论的否定成立”出发，经过推理得出矛盾从而肯定命题结论正确的一种证明方法．。
(完整版)“命题的否定”与“否命题”
“命题的否定”与“否命题”“命题的否定（非p 或p ⌝）”与“否命题”是高中数学的难点，准确无误地理解和写出一个命题的否定形式和否命题是解决许多问题的关键.一、 命题“若A ，则B ”的否命题与命题的否定形式设命题 “若A ，则B ”为原命题，那么，“若非A ，则非B ”就叫做原命题的否命题，否命题只是“若……则……”命题的四种形式中的一种，如果一个命题不能化为“若……则……”形式，那么该命题就没有讨论否命题的可能；对于命题p ，非p 叫做命题p 的否定（记作p ⌝），任何一个命题都有否定形式，命题“若A ，则B ”的否定形式为“若A ，则非B ”.显然，“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定，“命题的否定”只是否定命题的结论，即“命题的否定”与原命题的条件相同，结论相反.例1.命题“若122->>b a b a ，则”的否命题为 .分析：本题考查的是由原命题写出其否命题，既要否定命题的条件又要否定其结论. 解：由题意原命题的否命题为“若122-≤≤b a b a ，则”.评注：该命题的否定形式为“若122-≤>ba b a ，则”，只是否定原命题的结论. 例2.写出下列命题的否定形式及其否命题:(1)若3=x 且2=y ，则5=+y x ； (2)若0||||=+y x ，则x ，y 全为0. 解：(1) 命题的否定为：若3=x 且2=y ，则5≠+y x ；否命题为：若3≠x 或2≠y ，则5≠+y x ；(2) 命题的否定为：若0||||=+y x ，则x ，y 不全为0；否命题为：若0||||≠+y x ，则x ，y 不全为0.如果一个命题不是“若……则……”的形式，可以将其改写成“若……则……”形式的命题，使原命题的条件和结论更加明确，便于写出命题的否定形式及其否命题.这种“改写”的形式有时不是惟一的，因此，同一命题的否定形式也可能不一样.例3.将下列命题改写成“若A ，则B ”的形式，并写出它们的否命题与否定形式:(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；(2)0>a 时，函数b ax y +=的值随x 值的增加而增加.解：(1)原命题可改写为：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则它是菱形，否命题为：若一个四边形的两条对角线不互相垂直，则它不是菱形；否定形式（p ⌝）为：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则它不是菱形；(2)原命题可改写为：0>a 时，若x 增加，则函数b ax y +=的值也随着增加，否命题为：0>a 时，若x 不增加，则函数b ax y +=的值也不增加；否定形式（p ⌝）为：0>a 时，若x 增加，则函数b ax y +=的值不增加；原命题也可改写为：当x 增加时，若0>a ，则函数b ax y +=的值也增加，否命题为：当x 增加时，若0≤a ，则函数b ax y +=的值不增加.否定形式（p ⌝）为：当x 增加时，若0>a ，则函数b ax y +=的值不增加.评注：(1)有些命题由三部分组成：大前提、条件和结论，正确地分析命题的结构是解决此类问题的关键；（2）准确把握和正确写出一个命题的否定形式与否命题的关键是能否将命题中的关键词语写成它的否定词语.二、不能转化成“若，则”形式的命题的否定形式除了可以转化为“若A ，则B ”形式的命题外，其它不能转化成“若A ，则B ”形式的命题都有其相应的否定形式，根据命题本身形式的不同，可以分为以下几类：1.简单命题的否定不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题称为简单命题，它应被看作是一个不可再分割的整体，其最简单的命题形式是p ：“A 是B ”，它的否定形式是“A 不是B ”或“并非A 是B ”，其中A 是一个特定对象.例4.写出下列命题的否定(即非p )：(1)2是方程042=-x 的根； (2) 四条边都相等的四边形不是正方形；(3)正数的绝对值是它本身； (4)方程0232=+-x x 有两个相等的实根；(5)a ，b 都是1.解:(1) 命题的否定形式为：2不是方程042=-x 的根；(2) 命题的否定形式为：四条边都相等的四边形不都是正方形；(3) 命题的否定形式为：正数的绝对值不是它本身；(4) 命题的否定形式为：方程0232=+-x x 没有两个相等的实根(5)命题的否定形式为：“a ，b 不都是1”或者“1≠a 或1≠b ”.评注：“是”的否定有时为“不是”，有时为“不都是”，要视“是”的含义而定．2.复合命题的否定由简单命题与逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题．“p 或q ”、 “p 且q ”、“非p ”形式的命题中，p ，q 都是命题，命题“p 或q ”的否定为“p ⌝且q ⌝”；命题“p 且q ”的否定为“p ⌝或q ⌝”；命题“非p ”的否定为“)(p ⌝⌝”就是命题p ，所以，命题“非p ”与命题“p ”互为否定形式.例5.写出下列命题的否定：(1)58≥； (2)5>a 且1>b ；(3)2是6的约数且是8的约数； (4)3是偶数或奇数.解：（1）命题的否定形式为：8不大于5且8不等于5即58<.(原命题属于“p 或q ”型)（2）命题的否定形式为：5≤a 且1≤b .（原命题属于“p 且q ”型）（3）命题的否定形式为：2不是6的约数或2不是8的约数. （原命题属于“p 且q ”型）（4）命题的否定形式为：3不是偶数且3不是奇数. (原命题属于“p 或q ”型)评注：(1)需要说明的是，常用的“或”有两种意义：可兼的和不可兼的。
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一、命题的概念
1、命题：把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题；
2、真命题、假命题：判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题。
注意：
1、并不是所有的语句都是命题，只有能够判断真假的语句才是命题。
2、如果一个语句是命题，则它是真命题或是假命题，二者必具其一。
二、命题的否定与否命题有什么区别
1.命题的否定只否定该命题的结论，而否命题则否定原命题的条件和结论。
比如:“若a>0.则a+b>0”这个命题的否定是“存在a>0,使得a+b<=0”,否命题是“存在a<=0,使得a+b<=0”；在大学阶段，“只否定命题结论”的说法不一定正确，根据真值表，在A为假命题的情况下，非(A=>B)与A=>非B并不是逻辑相等的。
参考：滑铁卢大学数学教材对于“若A则B”式命题的否定为“A且非B”。
2.一个命题与它的否定形式是完全对立的。
两者之间有且只有一个成立。
数学中常用到反证法，要证明一个命题，只需要证明它的否定形式不成立就可以了。
而对于否命题，它是否成立和原命题是否成立没有直接关系。
三、举例命题的否定与否命题的易错题
1、写出“若a，b都是正数，则a+b大于等于2√ab.”的否命题。
解答：若a，b不都是正数，则a+b大于等于2√ab.。
评注：“都是正数”的否定是“不都是正数”而不是“都不是正数”．如果把“a，b都是正数”理解成“a是正数且b是正数”，则其否定也可写成“a不是正数或b不是正数”。
2、写出“两个奇数的和是偶数”的否命题与命题的否定。
解答：否命题：若两个数不全是奇数，则它们的和不是偶数。
命题的否定：两个奇数的和不是偶数。
评注：(1)“两个奇数的和是偶数”意思是“有两个数全是奇数，则它们的和是偶数”。
(2)“是偶数”的否定是“不是偶数”，而不是“是奇数”。
3、写出下列命题的否定：
(1)有些常数数列不是等比数列。
(2)平行四边形是菱形。
解答：(1)任意一个常数数列都是等比数列。
(2)平行四边形不都是菱形。
评注：一般地说，存在性命题的否定可以是全称命题，全称命题的否定可以是存在性命题．所以(1)题的否定是一个全称命题．“平行四边形是菱形”根据意思其实也是一个全称命题，故也可以用“有些平行四边形不是菱形”作为答案，而解答中仅是对结论作否定的，比较简洁，当然也行的。