四种命题

§1.7四种命题
一、四种命题：
交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题。

同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题。

交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题。

把下列命题改写成“若a则b”的形式，并写出它的逆命题，否命题，逆否命题：
①负数的平方是正数；
原命题：若一个数是负数，则它的平方是正数。

真命题
逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数。

假命题
否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数。

假命题
逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数。

真命题
②在实数范围内，如果a b ＞，那么ac bc 22＞。

原 命 题：若a b ＞，则ac bc 22＞。

假命题
逆 命 题：若ac bc 22＞，则a b ＞。

真命题
否 命 题：若a b ≤，则ac bc 22≤。

真命题
逆否命题：若ac bc 22≤，则a b ≤。

假命题
规律：原命题与逆否命题的真值相同．．．．．．．．．．．．．；逆命题与否命题．．．．．．．的真值相同
．．．．．。

二、四种命题间的关系：
1、命题“若a b ＞，则a c b c ++＞”的逆否命题是
（A ）若a b ＜，则a c b c ++＜
（B ）若a b ≤，则a c b c ++≤
（C ）若a c b c ++＜，则a b ＜
（D ）若a c b c ++≤，则a b ≤
2、给出下列四个命题：①若x y + 6，则x ¹2或y ¹4；②“若xy =1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；③“四边相等的四边形是正方形”的否命题；④“梯形不是平行四边形”的逆否命题．其中的真命题是_____________（填写所有符合要求的序号）．
3、若p的逆命题是r，r的否命题是s，则s是p的否命题的_____________________．
注意：①互为逆否关系的两个命题真假性相同，即原命
．．．
题与逆否命题同真假
．．．．．．．．．．，所以，这四．．．．．．．．．；否命题与逆命题同真假
种命题中真命题的个数只可能是0或2或4．
②对于否定形式的命题不方便判定其真假性，可以利用其逆否命题代替．
路边苦李
王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子，小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动，有人问王戎为什么？
王戎回答说：“树在道边而多子,此必苦李。

”
小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李。

王戎是怎样知
道李子是苦的呢？他运用了怎样的推理方法？
王戎的推理方法是：假设李子不苦，则因树在“道”边，李子早就被别人采摘，这与“多子”产生矛盾，所以假设不成立，李为苦李。

在证明一个命题时，可以先假设结论不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、公理、定理等矛盾，从而得出其假设是错误的，即所求证的结论是正确的。

这种证明方法叫做反证法。

三、反证法：
1、基本思路：
①反设：假设结论不成立，即结论的反面成立；
②归谬：将结论的反面作为已知条件，再利用一部分（或全部）已知条件，通过正确的推理得出矛盾（与题设矛盾、与定理或公理矛盾、与常识矛盾、与前后结论矛盾）；
③结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
2、适用题型：
①“多结论并存”的命题；
②结论本身以否定形式
．．．．出现的命题；
③命题简单明了，但没有更多的公理、定理等依据帮助论证的命题；
④结论中含有“至多……”、“至少……”形式的命题；
⑤关于唯一性、存在性、有界性的一类命题；
⑥结论的反面比正面更具体、更容易研究、更容易理解的命题．
1、已知x 、y 、z 均为实数，且A x y p =-+222，B y z p =-+223，C z x p =-+226
，求证：A 、B 、C 三量中至少有一个大于零．
2、用反证法证明：
3、求证：ABC D 内不存在．．．
这样的点P ，使得经过点P 的任意一条直线把ABC D 的面积分成相等的两部分．
4、已知()f x x px q =++2，求证：()||f 1、()||f 2、()||f 3中至少有一个不小于12
．
5、求证：形如()n n N + 43的整数不能．．化为两整数的平方和．
6、设a 、b 、
(),c Î01，求证：()a b -1、()b c -1、()c a -1三量不可能同时大于14。

7、已知x 、y R +
Î，且x y +2＞，求证：y x +1和x y +1中至少有一个小于2。