命题的定义及四种命题

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四种命题

逆否命题： x UA∪ UB ，xA∪B 。
假
练一练
1.判断下列说法是否正确。
2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。 3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。 4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。 2.四种命题真假的个数可能为（）个。答：0个、2个、4个。如：原命题：若A∪B=A, 则A∩B=φ。逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A。否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ。逆否命题：若A∩B≠φ，则A∪B≠A。
四种命题的真假,有且只有下面四种情况:
原命题
真真假假
逆命题
真假真假
否命题
真假真假
逆否命题
真真假假
课堂小结
原命题若p则q 互否命题真假无关否命题若﹁ p则﹁ q 逆命题若q则p 互否命题真假无关逆否命题若﹁ q则﹁p
总结
在直接证明某一个命题为真命题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接证明原命题为真命题.
例证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
分析:直接证不好下手.
将“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”看成原命题。由于原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，要证原命题为真命题，可以证明它的逆否命题为真命题。
2 2 即证明为真命题 “若p q 2, 则p q 2.”
例证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
若a2能被2整除，a是整数，求证：a也能被2整除.
证：假设a不能被2整除，则a必为奇数，故可令a=2m+1(m为整数), 由此得 a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明a2是奇数，这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾, ∴a能被2整除.

命题类型与含义

命题类型与含义
一、命题的定义
在逻辑学和数学中，命题是一个陈述句，它具有真或假两种状态。

一个命题的真假，要么是确定的，要么是未定的。

确定的命题是真或假的，例如：“2+2=4”是一个真命题，“地球是方的”是一个假命题。

二、命题的类型
根据其构造和使用的语境，命题可以有不同的分类。

下面介绍四种常见的命题类型：
1.单称命题：表示个体性质的命题，它适用于单个的对象，如“乔治是一个
工人”。

2.全称命题：表示全体性质的命题，它适用于所有的对象，如“所有的猫都
是哺乳动物”。

3.特称命题：表示特定范围的命题，它适用于某一集合的对象，如“有些猫
喜欢吃鱼”。

4.条件命题：表示一个命题的真假依赖于另一个命题的真假，如“如果下雨，
那么地面会湿”。

三、命题的含义
命题的含义指的是一个命题所表达的思想或概念。

一个命题的含义通常由其构成部分来决定，这些部分包括主语、谓语和可能的表语。

例如，在命题“所有的人都是有死的”中，“人”是主语，“有死的”是谓语，“所有”是表语。

这个命题的含义是：不存在永远不死的人。

总的来说，理解和分析命题是逻辑推理和数学证明的重要基础。

对于不同类型的命题，我们需要了解它们的结构和含义，以便更准确地评估它们的真假值。

什么是命题-命题的分类与条件

什么是命题_命题的分类与条件当相异判断(陈述)具有相同语义的时候，他们表达相同的命题。

那么你对命题了解多少呢?以下是由店铺整理关于什么是命题的内容，希望大家喜欢!什么是命题在现代哲学、数学、逻辑学、语言学中，命题是指一个判断(陈述)的语义(实际表达的概念)，这个概念是可以被定义并观察的现象。

命题不是指判断(陈述)本身，而是指所表达的语义。

当相异判断(陈述)具有相同语义的时候，他们表达相同的命题。

在数学中，一般把判断某一件事情的陈述句叫做命题。

(1) [proposition]∶逻辑学指表达判断的语言形式,由系词把主词和宾词联系而成(2) [problem;issue]∶数学或物理中要进行某种说明的问题命题的分类亚里士多德在《工具论》，特别是其中的《范畴篇》中，研究了命题的不同形式及其相互关系，根据形式的不同对命题的不同类型进行了分类。

亚里士多德把命题首先分为简单的和复合的两类，但他对复合命题并没有深入探讨。

他进而把简单命题按质分为肯定的和否定的，按量分为全称、特称和不定的命题，例如，"愉快不是善"。

他还提到个体命题，这相当于后来所谓的以专名为主项、以普遍概念为谓项的单称命题。

亚里士多德着重讨论了后人以A、E、I、O为代表的4种命题。

他所举出的例子是："每个人是白的";"没有人是白的";"有人是白的";"并非每个人是白的"。

关于模态命题，他讨论了必然、不可能、可能和偶然这4个模态词。

亚里士多德所说的模态，是指事件发生的必然性、可能性等。

亚里士多德以后的逻辑学家，如泰奥弗拉斯多、麦加拉学派和斯多阿学派的逻辑学家，以及中世纪的逻辑学家等，又对包含有命题联结词"或者"、"并且"、"如果，则"等的复合命题进行了不断的探讨，从而丰富了逻辑学关于命题的学说。

高中数学命题的基本概念

高中数学命题的基本概念一、命题的基本概念命题：可以判断真假的陈述句叫做命题。

也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件。

真命题：判断为真的语句叫做真命题。

假命题：判断为假的语句叫做假命题。

命题的否定：就是对命题的结论加以否定。

原命题逆命题否命题逆否命题若，则若，则若，则若，则另一个命题的结论和条件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题。

一般地，对于是互逆命题的两个命题，其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题。

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的的条件和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题。

其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题。

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。

其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题。

四种命题的相互关系图三、充分条件和必要条件的概念1、若，我们就说是的充分条件，是的必要条件。

2、一般地，如果既有，又有，就记作。

此时，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。

3、一般地，若p⇒q，但q ≠＞p，则称p是q的充分但不必要条件；若p≠＞q，但q ⇒ p，则称p是q的必要但不充分条件；若p≠＞q，且q ≠＞p，则称p是q的既不充分也不必要条件。

四、重要结论1、互为逆否命题的两个命题真值相同：原命题与它的逆否命题等价；否命题与逆命题等价。

2、对于充分条件、必要条件的判定，我们需要将命题转化为集合，充分利用集合的关系进行判定，可以更加直观形象。

3、命题的否定和否命题是两个不同的概念。

典型例题知识点一：命题的基本概念以及四种命题的相互关系例1、判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数是素数，则是奇数；（3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？（5）；（6）平面内不相交的两条直线一定平行；（7）明天下雨。

四种命题及其关系

四种命题及其关系一、四种命题的概念1. 原命题- 定义：若用p表示条件，q表示结论，则原命题为“若p，则q”，例如“若x = 1，则x^2=1”。

2. 逆命题- 定义：将原命题的条件和结论互换得到的命题，即“若q，则p”。

对于上面的例子，其逆命题为“若x^2=1，则x = 1”。

3. 否命题- 定义：将原命题的条件和结论都进行否定得到的命题，即“若¬ p，则¬q”。

对于“若x = 1，则x^2=1”，其否命题为“若x≠1，则x^2≠1”。

4. 逆否命题- 定义：将逆命题的条件和结论都进行否定得到的命题，即“若¬ q，则¬p”。

对于“若x = 1，则x^2=1”，其逆否命题为“若x^2≠1，则x≠1”。

二、四种命题之间的关系1. 原命题与逆命题- 关系：原命题的条件和结论是逆命题的结论和条件，它们之间是互逆的关系。

原命题为真时，逆命题不一定为真。

例如原命题“若a = 0，则ab=0”是真命题，其逆命题“若ab = 0，则a = 0”是假命题（因为当b = 0时，a可以不为0）。

2. 原命题与否命题- 关系：原命题与否命题是互否的关系，原命题为真时，否命题不一定为真。

例如原命题“若x>2，则x>1”是真命题，其否命题“若x≤slant2，则x≤slant1”是假命题。

3. 原命题与逆否命题- 关系：原命题与逆否命题是同真同假的关系。

例如原命题“若a = b，则a^2=b^2”是真命题，其逆否命题“若a^2≠ b^2，则a≠ b”也是真命题；原命题“若x = 1且y = 2，则x + y=3”是真命题，其逆否命题“若x + y≠3，则x≠1或y≠2”也是真命题。

4. 逆命题与否命题- 关系：逆命题与否命题是互为逆否的关系，所以它们也是同真同假的关系。

例如对于原命题“若p，则q”，其逆命题“若q，则p”和否命题“若¬ p，则¬q”，若逆命题为真，则否命题也为真；若逆命题为假，则否命题也为假。

四种命题及四种命题间的相互关系

互逆命题或_________, 互否命题其真假性没有关系. ②两个命题为_________
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个互逆命题的真假性相同.( ) ) )
(2)若两个命题为互否命题,则它们的真假性肯定不相同.( (3)对于一个命题的四种命题,可以一个真命题也没有.( 【解析】(1)错误.两个互逆命题的真假性没有关系.
原命题：若a>b，则a+c>b+c真逆命题：若a+c>b+c，则a>b真
题的真假没有关系。
原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。真逆命题：若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形。假原命题：若a>b，则ac2>bc2 假逆命题：若ac2>bc2，则a>b 真
假原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形。逆命题：若四边形是平行四边形，则四边形对角线相等。假
一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论
和条件，这两个命题就叫做互逆命题。其中一个叫做
原命题，则另一个叫做原命题的逆命题。
原命题：若p，则q
它的逆命题：若q，则p.
例如：原命题：若a>b，则a+c>b+c . 它的逆命题：若a+c>b+c，则a>b.
什么叫互否命题？
一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的条件
“正难则反”的处理原则：在证明某一个命题的真假性有困难时,可以证明它的逆否命题为真(假)命题,来间接地证明原命题为真(假)命题.
【变式训练】证明:已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,若 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0. 【解题指南】由于原命题不易证明,可转化为证明其逆否命题为真命题 . 【证明】原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,若a+b<0, 则f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)”.

四种命题的概念

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四种命题的概念
4、写出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假：
（1）若 x2 1，则x 1 （2）对顶角相等；（3）等腰三角形的两腰相等；（4）x2 2x 8 0 的解集为空集。
解：（1）逆命题是：若 x 1，则x2 1
原命题是假命题，逆命题是真命题（2）逆命题是：如果两个角相等，则这两个角是对顶角
解：逆命题：当 c>0时，若ac>bc，则a>b 否命题：当 c>0时，若a≤b，则ac≤bc 逆否命题：当 c>0时，若ac≤bc，则a≤b
注意：本题中的“当c>0时”是大前提，不论在写逆命题、否命题或逆否命题时都应该把它写在最前面；而本题原命题的条件p时：若a>b，结论是：ac>bc.
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四种命题的概念
例2、写出命题“若xy=0，则x=0或y=0的逆命题、否命题、逆否命题解：逆命题：若x=0或y=0，则xy=0
否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0 逆否命题：若x≠0或y ≠0，则xy≠0 注意：（1）┓(p或q)=(┓p)且(┓q)
┓(p且q)=(┓p)或(┓q) （2）要写出原命题的逆命题，否命题，逆否命题关键是要找出原命
原命题是真命题，逆命题是假命题（3）逆命题是：如果一个三角形有两边相等，那么这个三角形
是等腰三角形原命题是真命题，逆命题是真命题
（4）逆命题是：空集是 x2 2x 8 0 的解集
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四种命题的概念
课后小结： 1、四种命题的概念； 2、四种命题的表示方法； 3、能根据原命题写出原命题的逆命题、否命题及逆否命题。
观察下列两个命题，说出他们的不同之处（1）同位角相等，两直线平行。（2）两直线不平行，同位角不相等。

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而不是唯一的形式,也可写成“如果p,那么q” “只要p,就有q”等形式。
“若p则q”形式的命题的书写

对于一些条件与结论不明显的命题,一般采取先添补一些命题中省略的词句, 确定条件与结论。如命题:“垂直于同一条直线的两个平面平行”。写成“若p则q”的形式为：若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行。
例3 把下列命题改写成“若p则q”的形式,并判定真假。
（1）垂直于同一条直线的两个平面平行；
若两个平面垂直于同一直线，则这两个平面平行。真
（2）两个全等三角形的面积相等；
真若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等。
（3） 3能被2整除若一个数是3，则这个数能被2整除。假（4）负数的立方是负数若一个数是负数，则这个数的立方是负数。真
x R ，则 x 2 4 x 7 0.
（7）x+3>0. (1)(3)(7)不是命题，(2)(4)(5)(6)是命题。
“若p则q”形式的命题
命题“若整数a是素数，则a是奇数。”具 q 有“若p则q”的形式。 p
通常,我们把这种形式的命题中的p叫做命
题的条件,q叫做命题的结论。
“若p则q”形式的命题是命题的一种形式
观察命题(1)与命题(2)的条件和结论之间分别有什么关系？
1. 2.
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； p q 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； q p
互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。原命题：其中一个命题叫做原命题。逆命题：另一个命题叫做原命题的逆命题。
课堂小结
定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．
解:a>0时，若x增加，则函数y=ax+b的值也随之增加，它是真命题．
在本题中，a>0是大前提，应单独给出，不能把大前提也放在命题的条件部分内．
2、把下列命题改写成“若p,则q”的形式，并判断它们的真假.
（1）等腰三角形两腰的中线相等；
（2）偶函数的图象关于y轴对称；（3）垂直于同一个平面的两个平面平行。 (1)若三角形是等腰三角形，则三角形两边上的中线相等。这是真命题。 (2)若函数是偶函数，则函数的图象关于y轴对称，这是真命题。
1.
互为逆否命题
原命题: 若p, 则q
逆否命题: 若┐q, 则┐p
例如，原命题：同位角相等，两直线平行。逆否命题：两直线不平行，同位角不相等。
原命题,逆命题,否命题,逆否命题
四种命题形式: 原命题: 若 p, 则 q 逆命题: 若 q, 则 p 否命题: 若┐p, 则┐q 逆否命题: 若┐q, 则┐p
否命题：若一个数的末位数字不是0 , 则这个整数不能被5整除. 假命题逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个数的末位数字不是0. 真命题
(2) 原命题：若一个三角形有两条边相等，
则这个三角形有两个角相等；真命题逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等. 真命题
否命题：若一个三角形没有两条边相等，则这个三角形没有两个角相等. 真命题逆否命题：若一个三角形没有两个角相等，则一个三角形没有两条边相等. 真命题
命题及其关系
1.1.2 四种命题
下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4) 的条件和结论之间分别有什么关系？
1. 2. 3. 4.
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；若f(x)不是周于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．
课堂小结
定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．
命题及其关系
1.1.1 命题
思考
下列语句的表述形式有什么特点?你能判断它们的真假吗? （1） 12>5; （2） 3是12的约数; 语句都是陈述句，（3） 0.5是整数; （4）对顶角相等; 并且可以判断真假。（5）3 能被2整除; （6）若x2=1,则x=1.
命题的概念
（5）对顶角相等
若两个角是对顶角，则这两个角相等。真（6）能被2整除的整数是偶数若一个整数能被2整除，则这个整数是偶数。真
（7）菱形的对角线互相垂直且平分
若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分。真
练习
1、将命题“a>0时，函数y=ax+b的值随x值的增加而增加”改写成“p则q”的形式，并判断命题的真假。
为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分别记作 “┐p” “┐q”。互否命题
原命题:若p,则q
否命题:若┐p,则┐q
例如，原命题：同位角相等，两直线平行。否命题：同位角不相等，两直线不平行。
观察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间分别有什么关系？
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； q p 4. 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数. ┐q ┐p
看看下列语句是不是命题？
1) 今天天气如何？不是（疑问句）
2) 你是不是作业没交？不是（疑问句） 3) 这里景色多美啊！ 4) -2不是整数。 5) 4>3。 6) x>4。不是（感叹句）是是不是（开语句）
例1 判断下面的语句是否为命题?若是命题，指出它的真假。 (1) 空集是任何集合的子集. （是，真） (2)若整数a是素数,则a是奇数（是，假） . (3)指数函数是增函数吗?（不是命题）
巩固练习
写出下列命题的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假
(1)若一个整数的末位数字是0，则这个整
数能被5整除； (2)若一个三角形的两条边相等，则这个三角形有两个角相等； (3)奇函数的图像关于原点对称.
(1)
原命题：若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除；真命题逆命题：若一个整数能被5整除，则这个数的末位数字是0. 假命题
(4)若平面上两条直线不相交,则这两条直线平行.
（是，真）
2 ( 2) 2 (5)
（是，假）
(6)x>15. （不是命题）
练习
（2） x
2
判断下列语句是否是命题 .
2 x 1 0.
（1）求证 3 是无理数。
（3）你是高二学生吗？（4）并非所有的人都喜欢苹果。（5）一个正整数不是质数就是合数。（6）若
即原命题:若p,则q 逆命题:若q,则p 例如，原命题：同位角相等，两直线平行。逆命题：两直线平行，同位角相等。
观察命题(1)与命题(3)的条件和结论之间分别有什么关系？
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； q p 3. 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数. ┐p ┐q
1.
一般地,在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题
判断为真的语句叫真命题。判断为假的语句叫假命题。
如何判断一个语句是不是命题？
1)
2) 3) 4)
7是23的约数吗? X>5. -2<a<3. 画线段AB=CD.
疑问句
开语句祈使句
判断一个语句是不是命题，关键看这语句是否符合 “是陈述句”和“可以判断真假” 这两个条件。有些语句中含有变量，在不给定变量的值之前，我们无法确定这语句的真假，这样的语句叫开语句。
例设原命题是“当c >0 时，若a >b ，则ac >bc ”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假：
解：逆命题：当c >0 时，若ac >bc ，则a >b．逆命题为真．否命题：当c >0 时，若a ≤b ，则ac ≤ bc ．否命题为真．逆否命题：当c >0 时，若ac ≤ bc ，则a ≤b ．逆否命题为真．
例2 指出下列命题中的条件p和结论q：
1) 2)
若整数a能被2整除，则a是偶数；菱形的对角线互相垂直且平分。
解：1) 条件p：整数a能被2整除，结论q：整数a 是偶数。 2) 写成若p，则q 的形式：若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分。条件p：四边形是菱形，结论q：四边形的对角线互相垂直且平分。
(3)若两个平面垂直于同一平面，则这两个平面互相平行。这是假命题。
3. 把下列命题改写成“若p则q”的形式,并判定真假。
(1) 负数的平方是正数. (2) 偶函数的图像关于y轴对称.
(3)垂直于同一条直线的两条直线平行
(4) 面积相等的两个三角形全等. (5) 对顶角相等.
真命题真命题假命题假命题真命题
(3)
原命题：奇函数的图像关于原点对称. 原命题：若一个函数是奇函数，则这个真命题函数的图象关于原点对称. 逆命题：若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数. 真命题否命题：若一个函数不是奇函数，则这个函数的图象不关于原点对称. 真命题
逆否命题：若一个函数的图象不关于原点对称，则这个函数不是奇函数. 真命题