命题的概念及四种命题
命题类型与含义
命题类型与含义
一、命题的定义
在逻辑学和数学中，命题是一个陈述句，它具有真或假两种状态。
一个命题的真假，要么是确定的，要么是未定的。
确定的命题是真或假的，例如：“2+2=4”是一个真命题，“地球是方的”是一个假命题。
二、命题的类型
根据其构造和使用的语境，命题可以有不同的分类。
下面介绍四种常见的命题类型：
1.单称命题：表示个体性质的命题，它适用于单个的对象，如“乔治是一个
工人”。
2.全称命题：表示全体性质的命题，它适用于所有的对象，如“所有的猫都
是哺乳动物”。
3.特称命题：表示特定范围的命题，它适用于某一集合的对象，如“有些猫
喜欢吃鱼”。
4.条件命题：表示一个命题的真假依赖于另一个命题的真假，如“如果下雨，
那么地面会湿”。
三、命题的含义
命题的含义指的是一个命题所表达的思想或概念。
一个命题的含义通常由其构成部分来决定，这些部分包括主语、谓语和可能的表语。
例如，在命题“所有的人都是有死的”中，“人”是主语，“有死的”是谓语，“所有”是表语。
这个命题的含义是：不存在永远不死的人。
总的来说，理解和分析命题是逻辑推理和数学证明的重要基础。
对于不同类型的命题，我们需要了解它们的结构和含义，以便更准确地评估它们的真假值。
高中数学命题的基本概念
高中数学命题的基本概念一、命题的基本概念命题：可以判断真假的陈述句叫做命题。
也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件。
真命题：判断为真的语句叫做真命题。
假命题：判断为假的语句叫做假命题。
命题的否定：就是对命题的结论加以否定。
原命题逆命题否命题逆否命题若，则若，则若，则若，则另一个命题的结论和条件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题。
一般地，对于是互逆命题的两个命题，其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题。
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的的条件和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题。
其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题。
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。
其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题。
四种命题的相互关系图三、充分条件和必要条件的概念1、若，我们就说是的充分条件，是的必要条件。
2、一般地，如果既有，又有，就记作。
此时，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。
3、一般地，若p⇒q，但q ≠＞p，则称p是q的充分但不必要条件；若p≠＞q，但q ⇒ p，则称p是q的必要但不充分条件；若p≠＞q，且q ≠＞p，则称p是q的既不充分也不必要条件。
四、重要结论1、互为逆否命题的两个命题真值相同：原命题与它的逆否命题等价；否命题与逆命题等价。
2、对于充分条件、必要条件的判定，我们需要将命题转化为集合，充分利用集合的关系进行判定，可以更加直观形象。
3、命题的否定和否命题是两个不同的概念。
典型例题知识点一：命题的基本概念以及四种命题的相互关系例1、判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数是素数，则是奇数；（3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？（5）；（6）平面内不相交的两条直线一定平行；（7）明天下雨。
四种命题及其关系
四种命题及其关系一、四种命题的概念1. 原命题- 定义：若用p表示条件，q表示结论，则原命题为“若p，则q”，例如“若x = 1，则x^2=1”。
2. 逆命题- 定义：将原命题的条件和结论互换得到的命题，即“若q，则p”。
对于上面的例子，其逆命题为“若x^2=1，则x = 1”。
3. 否命题- 定义：将原命题的条件和结论都进行否定得到的命题，即“若¬ p，则¬q”。
对于“若x = 1，则x^2=1”，其否命题为“若x≠1，则x^2≠1”。
4. 逆否命题- 定义：将逆命题的条件和结论都进行否定得到的命题，即“若¬ q，则¬p”。
对于“若x = 1，则x^2=1”，其逆否命题为“若x^2≠1，则x≠1”。
二、四种命题之间的关系1. 原命题与逆命题- 关系：原命题的条件和结论是逆命题的结论和条件，它们之间是互逆的关系。
原命题为真时，逆命题不一定为真。
例如原命题“若a = 0，则ab=0”是真命题，其逆命题“若ab = 0，则a = 0”是假命题（因为当b = 0时，a可以不为0）。
2. 原命题与否命题- 关系：原命题与否命题是互否的关系，原命题为真时，否命题不一定为真。
例如原命题“若x>2，则x>1”是真命题，其否命题“若x≤slant2，则x≤slant1”是假命题。
3. 原命题与逆否命题- 关系：原命题与逆否命题是同真同假的关系。
例如原命题“若a = b，则a^2=b^2”是真命题，其逆否命题“若a^2≠ b^2，则a≠ b”也是真命题；原命题“若x = 1且y = 2，则x + y=3”是真命题，其逆否命题“若x + y≠3，则x≠1或y≠2”也是真命题。
4. 逆命题与否命题- 关系：逆命题与否命题是互为逆否的关系，所以它们也是同真同假的关系。
例如对于原命题“若p，则q”，其逆命题“若q，则p”和否命题“若¬ p，则¬q”，若逆命题为真，则否命题也为真；若逆命题为假，则否命题也为假。
四种命题及四种命题间的相互关系
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个互逆命题的真假性相同.( ) ) )
(2)若两个命题为互否命题,则它们的真假性肯定不相同.( (3)对于一个命题的四种命题,可以一个真命题也没有.( 【解析】(1)错误.两个互逆命题的真假性没有关系.
原命题：若a>b，则a+c>b+c真 逆命题：若a+c>b+c，则a>b真
题的真假没有关系。
原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。 真 逆命题：若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形。假 原命题：若a>b，则ac2>bc2 假 逆命题：若ac2>bc2，则a>b 真
假 原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形。 逆命题：若四边形是平行四边形，则四边形对角线相等。 假
一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论
和条件，这两个命题就叫做互逆命题。其中一个叫做
原命题，则另一个叫做原命题的逆命题。
原命题：若p，则q
它的逆命题：若q，则p.
例如： 原命题： 若a>b，则a+c>b+c . 它的逆命题：若a+c>b+c，则a>b.
什么叫互否命题？
一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的条件
“正难则反”的处理原则：在证明某一个命题的真假性有 困难时,可以证明它的逆否命题为真(假)命题,来间接地证 明原命题为真(假)命题.
【变式训练】证明:已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,若 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0. 【解题指南】由于原命题不易证明,可转化为证明其逆否命题为真命题 . 【证明】原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函 数,a,b∈R,若a+b<0, 则f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)”.
命题的定义及四种命题
q
┐p
原命题:若p,则q
┐q
为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分别记作 “┐p” “┐q”。 互否命题
否命题:若┐p,则┐q
例如，原命题：同位角相等，两直线平行。 否命题：同位角不相等，两直线不平行。
观察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间分别有什么关系？
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四种命题、四种命题间的相互关系
四种命题四种命题间的互相关系1、四种命题的概念，写出某个命题的逆命题、否命题和逆否命题。
2、四种命题之间的关系以及真假性之间的联络。
3、会用命题的等价性解决问题。
【核心扫描】：1、结合命题真假的断定，考察四种命题的构造。
(重点)2、掌握四种命题之间的互相关系。
(重点)3、等价命题的应用。
(难点)1、四种命题的概念(1)互逆命题：对于两个命题，假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题。
其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题。
假设原命题为“假设p，那么q〞，那么逆命题为“假设q，那么P〞。
(2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否认和结论的否认，这样的两个命题叫做互否命题。
假如把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。
也就是说，假设原命题为“假设p，那么q〞那么否命题为“假设非p，那么非q〞。
(3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否认和条件的否认，这样的两个命题叫做互为逆否命题。
假如把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．也就是说，假设原命题为“假设p，那么q〞，那么逆否命题为假设非q，那么非p。
任何一个命题的构造都包含条件和结论，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题，因此任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题。
2、四种命题的互相关系(2)四种命题的真假性之间的关系：①两个命题互为逆否命题，它们有一样的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0，2，4.一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p与q的否认，那么四种命题的形式可表示为：原命题：假设P，那么q；逆命题：假设q，那么p；否命题：假设非P，那么非q；逆否命题：假设非q，那么非p.(1)关于四种命题也可表达为：①交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的逆命题；②同时否认命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的否命题；③交换命题的条件和结论，并且同时否认，所得的新命题就是原命题的逆否命题．(2)原命题，写出它的其他三种命题：首先，将原命题写成“假设p，那么q〞的形式，然后找出条件和结论，再根据定义写出其他命题。
(完整版)命题的概念及四种命题
3．在两个命题中，如果第一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结
论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，如果把其中
一个叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否否命题。
问题6：如果我用p和q分别表示原名题的条件和结论，用┐p和┐q分
别表示p和q的否定，那么四种命题的形式该如何表示？
答案：
命题
条件：（若）
结论：（则）
1
同位角相等
两直线平行
2
两直线平行
同位角相等
3
同位角不相等
两直线不平行
4
两直线不平行
同位角不相等
讨论：请同学们讨论这四个命题之间的关系。
(如果学生没有线索，讨论混乱，则教师提示先讨论命题（1）和（2），（1）和（3），（1）和（4）之间的关系)
答案：
A：命题（2）是把命题（1）的条件和结论调换了，换句话说，命题（2）的条件是命题（1）的结论，命题（2）的结论是命题（1）的条件。
答：(2)和(5)错误，(4)和(9)正确。
2．命题的分类——真假命题。
(1)真命题：判断为真的命题；(2)假命题：判断为假的命题。
例1：下列语句中哪些是命题，那些不是命题？是真命题还是假命题，并说明理由。
1．3>2；
2．5是15的约数；
3．这是一棵大树；
4．π是无限不循环小数；
5．x+5=8；
6．x2+3x-2>0；
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引例1：请将下列语句分类。
(1)矩形难道不是平行四边形么？
(2)垂直于同一条直线的两条直线平行。
02简易逻辑--命题的四种形式
例1 写出由下述各命题构成的“p 或 q”形式的复合命题: (2) p: 方程 x2-1=0 的解是 x=1, q: 方程 x2-1=0 的解是 x=-1; (3) p: 实数的平方是正数, q: 实数的平方是 0. (2)方程 x2-1=0 的解都是 x=1, 或方程 x2-1=0 的解都是 x=-1; (3)实数的平方都是正数或实数的平方都是 0. 注: 由简单命题构成复合命题, 一定要检验是否 符合“真值 表”, 如果不符要作语言上的调整. 例2 写出由下述各命题构成的“p 且 q”形式的复合命题: (1) p: 四条边相等的四边形是正方形, q: 四个角相等的四边形是正方形; (2) p: 菱形的对角线互相平分, q: 菱形的对角线互相垂直; (3) p: 实数的平方是正数, q: 实数的平方是 0. (1)四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是 正方形; (2)菱形的对角线互相垂直平分; (3)实数的平方都是正数且实数的平方都是 0.
例3 写出由下述各命题构成的“非 p” 形式的复合命题: (1) p: 有些质数是奇数; (2) p: 方程 x2-5x+6=0 有两个相等的实 根; (3) p: 四条边相等的四边形是正方形. (1)非 p: 所有的质数都是奇数或都不是奇数; ( p 即: 质数中既有奇数又有不是奇数的数)
(2)非 p: 方程 x2-5x+6=0 没有两个相等的实根;
非p 真 假 假 真
p
p
q p或q 真 真 假 真 真 真 假 假
p
q p且q 真 真 假 假 真 假 假 假
“p 且 q”形 式的复合命题 当p 与q同时为 真时为真, 其 它情形为假.
6.注意 ①由简单命题构成复合命题时, 不一定是简单地加“或、且、 非”等逻辑联结词; 另外应注意含“或、且、非”等词汇的命 题也不一定是复合命题, 在进行命题的合成或分解时一定要检 验是否符合复合命题的“真值表”, 如果不符要作语言上的调 整②命题的“否定”是学习上的重点 . , 因为这是“反证法”证 明的第一步. 必须注意, 命题的“否定”与一个命题的“否命 题”是两个不同的概念: 对命题 p 的否定(即非 p )是否定命题 p 所作的判断; 而“否命题”是对“若 p 则 q”形式的命题而言, 要同时否定它的条件与结论.
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3．判断命题的条件：陈述句和可判断。
问题4：判断一个命题真假的关键是什么？
答：扎实的数学知识和严格的逻辑推理能力。
讲授：观察例1中的命题8：“若x=4，则2x>0”，它具有“若┄，则┄”的格式。在本章中，我们只研究具有这种格式的命题。其中x=2是命题的条件我们用小写英文字母p表示，其中2x>0是命题的结论我们用小写英文字母q表示。
(9)已知x,y为实数，当y=x+1时，x=2,y=3；
(10)正方形既是矩形又是菱形；
(11)一元二次方程有两个实数根。
解：
(1)若两个平面垂直于同一条直线，则这两平面平行。真命题。
(2)若一个数是负数，则这个数的立方也是负数。真命题。
(3)若两个角是对顶角，则这两个角相等。 真命题。
(4)若三角形是等边三角形，则这个三角形各边的中线相等。真命题。
（4）是命题，能判断真假，并且都是真命题。
（5）（6）（7）不是命题，因为语句中含有未知数x，在没给变量赋值前，我们无法判断语句的真假。
（8）是命题，真命题。
（9）不是命题。
（10）是命题，是假命题。
（11）（12）不是命题，因为没有做出判断。
（13）是命题，通过反问的语气对“对顶角相等”做出判断，是真命题。（14）是命题，真命题。虽然没有给x赋值，但是对任意的x都成立。
二．四种命题的概念。
(一)四种命题的定义：
1．在两个命题中，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题。
命题
条件：（若）
结论：（则）
1
同位角相等
两直线平行
2
两直线平行
同位角相等
3
同位角不相等
两直线不平行
4
两直线不平行
同位角不相等
讨论：请同学们讨论这四个命题之间的关系。
(如果学生没有线索，讨论混乱，则教师提示先讨论命题（1）和（2），（1）和（3），（1）和（4）之间的关系)
答案：
A：命题（2）是把命题（1）的条件和结论调换了，换句话说，命题（2）的条件是命题（1）的结论，命题（2）的结论是命题（1）的条件。
(说明：因为语句中含有未知数x和y，在没给变量赋值前，我们无法判断语句的对错。)
问题2：我们把像(2)、(4)、(5)、(9)这样的语句称作命题，那么命题该怎么定义？
一．命题的定义及其分类。
1．定义：我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
问题3：如果将(2)、(4)、(5)、(9)这四个命题分类，该如何分类？
B：命题（3）是把命题（1）的条件和结论全部否定了，换句话说，命题（3）的条件是命题（1）条件的否定，命题（3）的结论是命题（1）结论的否定。
C：命题（4）是把命题（1）的条件和结论调换后并加以否定了，换句话说，命题（4）的条件是命题（1）结论的否定，命题（4）的结论是命题（1）条件的否定。
问题5：如果我们把命题（1）叫做原命题；（2）叫做逆命题；（3）叫做否命题；（4）叫做逆否命题，那么它们该如何进行严格的定义？
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引例1：请将下列语句分类。来自(1)矩形难道不是平行四边形么？
(2)垂直于同一条直线的两条直线平行。
(3)一个数不是合数就是质数么？
(4)大角所对的边大于小角所对的边。
(5)x+y是无理数，则x,y也都是有理数。
(6)求证x∈R，则x2+x+1=0无实根。
(7)y=2x+1。
(10)若一个四边形是正方形，则这个四边形既是矩形又是菱形。 真命题。
(11)若一个方程是一元二次方程，则这个方程有两个实数根。假命题。
引例2：写出下列命题的条件和结论：
(1)同位角相等，两直线平行；
(2)两直线平行，同位角相等；
(3)同位角不相等，两直线不平行；
(4)两直线不平行，同位角不相等。
答案：
任课教师
白杰
授课班级
高二(9)、(10)班
授课日期
10.8
教学课题：命题的概念及四种命题
教学目标：
1，正确理解命题的概念，并能判断命题的真假；
2，正确理解四种命题及其关系；
3，正确理解命题的基本结构。
教学方法：讲授法、讲练结合、探究法、自学法
教学重点：能判断命题的真假
教学难点：以命题为工具，处理简单问题
(5)若一个数是偶数，则这个数能被2整除。 真命题。
(6)若一个函数是奇函数，则这个函数的图像必过原点。 假命题。
(说明：这个函数要在原点有定义才可以。)
(7)若两个角为同弧所对的圆周角，则这两个角不相等。 假命题。
(8)若abc=0，则a=0且b=0且c=0。假命题。
(9)已知x,y为实数，若y=x+1，则x=2,y=3。 假命题。
4．命题的一种结构：若p，则q。
例2：请将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假。
(1)垂直于同一条直线的两平面平行；
(2)负数的立方是负数；
(3)对顶角相等；
(4)等边三角形的各边的中线相等；
(5)偶数能被2整除；
(6)奇函数的图像必过原点；
(7)同弧所对的圆周角不相等；
(8)当abc=0时，a=0且b=0且c=0；
答：(2)和(5)错误，(4)和(9)正确。
2．命题的分类——真假命题。
(1)真命题：判断为真的命题；(2)假命题：判断为假的命题。
例1：下列语句中哪些是命题，那些不是命题？是真命题还是假命题，并说明理由。
1．3>2；
2．5是15的约数；
3．这是一棵大树；
4．π是无限不循环小数；
5．x+5=8；
6．x2+3x-2>0；
(8)x>0。
(9)x≥0，则|x|=x。
答：(1)和(3)是疑问句，(6)是祈使句，(2)、(4)、(5)、(7)、(8)、(9)均是陈述句。
问题1：如果将(2)、(4)、(5)、(7)、(8)、(9)五个语句再继续分类，该如何分类？
答：(2)、(4)、(5)、(9)能判断对错，(7)、(8)不能够判断对错。
7．x<a；
8．若x=4，则2x>0；
9．把门关上；
10．平行于同一直线的两条平面一定平行。
11．证明方程：x2+3x-4=0无实数根；
12．向抗击非典的英雄致敬！
13．难道对顶角不相等吗?
14．-1≤sinx≤1。
答案：
（1）（2）是命题，能判断真假，并且都是真命题。
（3）不是命题。因为大树的概念没有界定，也不能判断其是否正确