命题的四种形式
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61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
《命题的四种形式》
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
谢谢！
复合命题的四种主要的形式
复合命题的四种主要的形式
说起逻辑和推理，这可真是个让人头疼的问题。
咱们得学会点技巧，才能在复杂的世界里游刃有余。
比如说，那个“如果A那么B”的复合命题，你得先搞清楚A和B是什么，还得知道它们之间是怎么联系的。
别急，让我来给你简单说说这四种常见的复合命题形式。
咱们聊聊“条件句”。
想象一下你面前有两扇门，一扇通往幸福，另一扇通往灾难。
你想进哪扇门？这就是个条件句。
条件句就是告诉你，如果你满足某个条件，结果会是怎样的。
比如“如果你努力学习，就能考上好大学”，这就是一个条件句。
接下来是“假设句”。
假设句就像是你在跟朋友聊天，说：“如果我明天去爬山，可能会遇到一只可爱的小松鼠。
”这就是一个假设句，它告诉我们，在某个条件下，可能发
生的情况。
再来说说“因果句”。
因果句就像是一条线，一端牵着原因，另一端牵着结果。
“因为昨天下雨，所以今天的衣服都湿了”就是一个典型的因果句。
咱们聊聊“选择句”。
选择句就像是一个菜单，上面有很多选项，让你选一个你喜欢的。
“我想吃中餐，但是想吃火锅，还是烧烤？”这就是一个选择句，它告诉我们，在两个或多个选项中，你希望选择哪一个。
这些复合命题的形式啊，就像是生活中的各种调料，少了哪个都不行。
学会了这些，咱们就能更好地解决问题，做出更明智的选择。
记住啦，逻辑这东西，有时候就是用来打破砂锅问到底的。
四种命题及其相互关系
四种命题及其相互关系
∙1、四种命题：
一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用或分别表示p和q的否定，四种命题的形式是：
（1）原命题：若p则q；
（2）逆命题：若q则p；
（3）否命题：若则；
（4）逆否命题：若则。
2、四种命题的真假关系：
一个命题与它的逆否命题是等价的，其逆命题与它的否命题也是等价的；
3、四种命题的相互关系：
∙注意：
1、区别“否命题”与“命题的否定”，若原命题是“若p则q”，则这个命题的否定是“若p则非q”，
而它的否命题是“若非p则非q”。
2、互为逆否命题同真假，即“等价”
真命题、假命题
∙命题的概念：
1、命题：把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题；
2、真命题、假命题：判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题。
∙注意：
1、并不是所有的语句都是命题，只有能够判断真假的语句才是命题。
2、如果一个语句是命题，则它是真命题或是假命题，二者必具其一。
02简易逻辑--命题的四种形式
(1)逆命题: 若方程 x2-2x+a=0 有实根, 则 a≤0.
假命题
否命题: 若 a>0, 则方程 x2-2x+a=0 无实根.
假命题
逆否命题: 若方程 x2-2x+a=0 无实根, 则 a>0. 真命题
(2)逆命题: 若两个整数都不是偶数, 则这两个整数的乘积为
奇数.
真命题
否命题: 若两个整数的乘积不是奇数, 则这两个整数至少
“非 p” 假 真 真 形式的复合 假 假 假
假 真 假 真时为真, 其 假 假 假 它情形为假.
命题与 p 的 真假相反;
“p 或 q”形式的复合命题当 时为假, 其它情形为真;
p
与
q
同时为假
6.注意 ①由简单命题构成复合命题时, 不一定是简单地加“或、且、 非”等逻辑联结词; 另外应注意含“或、且、非”等词汇的命 题也不一定是复合命题, 在进行命题的合成或分解时一定要检 验是否符合复合命题的“真值表”, 如果不符要作语言上的调 整②. 命题的“否定”是学习上的重点, 因为这是“反证法”证 明的第一步. 必须注意, 命题的“否定”与一个命题的“否命 题”是两个不同的概念: 对命题 p 的否定(即非 p )是否定命题 p 所作的判断; 而“否命题”是对“若 p 则 q”形式的命题而言,
(3)非 p: 四条边相等的四边形不都是正方形.
注: “非 p”的含义有下列三条: (1)“非 p”只否定 p 的结论; (2)“p”与“非 p”的真假必须相反; (3)“非 p”必须包含 p 的所有对立面.
二、命题的四种形式
原命题: 若 p, 则 q;
逆命题: 若 q, 则 p;
否命题: 若p, 则q; 逆否命题: 若q, 则p.
aeio逻辑学
aeio逻辑学aeio逻辑学是一门研究命题的逻辑学，它的核心是四个字母aeio。
这四个字母代表了四种命题形式，分别是全称肯定命题、全称否定命题、特称肯定命题和特称否定命题。
这些命题形式在逻辑学中有着重要的地位，它们是逻辑学的基础，也是逻辑学研究的重点。
全称肯定命题是指对于某个集合中的所有元素都成立的命题，例如“所有人都会死亡”。
全称否定命题则是指对于某个集合中的所有元素都不成立的命题，例如“没有人不会死亡”。
特称肯定命题是指对于某个集合中的某些元素成立的命题，例如“有些人是聪明的”。
特称否定命题则是指对于某个集合中的某些元素不成立的命题，例如“有些人不是聪明的”。
aeio逻辑学的研究对象是这四种命题形式的关系。
在aeio逻辑学中，有一个重要的原则，即“特称否定命题可以推出全称否定命题，特称肯定命题可以推出全称肯定命题”。
这个原则是aeio逻辑学的基础，也是aeio逻辑学的核心。
在aeio逻辑学中，有一个重要的概念，即“命题的量词和命题的谓词”。
命题的量词是指命题中的“所有”和“有些”这两个词，它们表示了命题的范围。
命题的谓词是指命题中的“是”和“不是”这两个词，它们表示了命题的内容。
在aeio逻辑学中，命题的量词和命题的谓词是密不可分的，它们共同构成了命题的形式。
aeio逻辑学的研究方法主要是通过命题的转化和推理来研究命题之间的关系。
命题的转化是指将一个命题转化成另一个命题，以便更好地研究它们之间的关系。
命题的推理是指通过已知的命题推出新的命题，以便更好地研究它们之间的关系。
在aeio逻辑学中，有一个重要的推理规则，即“对于全称肯定命题，可以推出特称肯定命题；对于全称否定命题，可以推出特称否定命题”。
这个推理规则是aeio逻辑学的核心，它可以帮助我们更好地理解命题之间的关系。
总之，aeio逻辑学是一门研究命题的逻辑学，它的核心是四个字母aeio。
在aeio逻辑学中，我们可以通过命题的转化和推理来研究命题之间的关系。
数学中的四种命题
真命题 真命题 假命题 假命题 真命题
练习
1,将命题"a>0时,函数 ,将命题" 的值随x值的增 时 函数y=ax+b的值随 值的增 的值随 加而增加"改写成" 则 的形式 的形式, 加而增加"改写成"p则q"的形式,并判断命题的 真假. 真假. 解答:a>0时,若x增加,则函数 增加, 解答 时 增加 则函数y=ax+b的值也随之 的值也随之 增加,它是真命题. 增加,它是真命题.
原结论 是 都是 大于 小于 反设词 不是 不都是 原结论 至少有一个 反设词 一个也没有
至少有两个 至多有一个 至少有n个 至多有(n-1)个 至少有n 至多有( 不大于 个 大于或等于 至多有n个 至少有(n+1)个 至多有n 至少有( 个 存在某x, 存在某 , 成立
对Байду номын сангаас有x, 存在某x, 对任何x 对所有x, 存在某 , 对任何x, 不成立 成立 不成立
"若p则q"形式的命题 若 则 形式的命题
命题"若整数 是质数 是质数, 是奇数. 命题"若整数a是质数,则a是奇数."具 是奇数 q 的形式. 有"若p则q"的形式. p 则 的形式
通常,我们把这种形式的命题中的 叫做 通常 我们把这种形式的命题中的p叫做 我们把这种形式的命题中的 命题的条件 叫做命题的结论 条件,q叫做命题的结论. 命题的条件 叫做命题的结论. "若p则q"形式的命题是命题的一种形 则 形式的命题是命题的一种形 式而不是唯一的形式,也可写成 如果p, 也可写成" 式而不是唯一的形式 也可写成"如果 那么q" 只要 就有q"等形式 只要p,就有 等形式. 那么 "只要 就有 等形式. 其中p和 可以是命题也可以不是命题 可以是命题也可以不是命题. 其中 和q可以是命题也可以不是命题
作文常见命题形式主要有以下四种
作文常见命题形式主要有以下四种：（一）全命题作文：当你在做命题作文时，不要看到题目就忙于动笔，要养成动笔之前想周全的习惯。
可按以下几个步骤进行。
(1)认真审题，明确题意：仔细地弄清题目的要求、重点和范围，这是做好命题作文最关键的第一步。
(2)确定中心，选好材料：在弄清题目的要求、重点和范围以后，就要认真回忆与这个题目有关的材料，哪些事儿是自己最熟悉的，最有新意的，准备表达一个什么思想，这就是回忆材料，确定中心。
中心明确了，就要环绕中心，选择最能表达中心的材料。
这就是环绕中心，选择材料。
(3)列好提纲，确定详略：确定中心，选好材料以后，就得列个写作计划，先写什么，再写什么最后写什么，得有个次序。
哪些内容与中心关系密切，要详写，哪些内容与中心关系不大，可以略写，得分个主次，这步要求列好提纲，确定详略。
提纲好比建造楼房的图纸。
有了好的图纸，造出的楼房才能坚固美观。
练习：（1）请以“其实我可以做得更好”为题，写一篇文章（2）请以“幸福像花儿一样”为题写一篇文章。
（3）有人说，等待是一种信念，是一种态度，是一种追求，是一种选择。
是呀，大自然的冬去春来、花开花谢、潮涨潮落，我们需要等待；人生的成长，机会的把握，形势的好转……我们都需要等待。
请以“我的心在等待”为题，写一篇文章。
（二）半命题作文所补词语宜“小”不宜“大”，力求“小”中见大，“小”中见深。
例如写“窗外的__________”，补“风景”就不如补“那只蝴蝶”容易展开和挖掘；写“__________之乐”，补“游山”就不如补“雨中游普陀”更能集中地抒写游兴和乐趣。
练习：在你成长的道路上，你可能曾经做过傻事，或遇到失败，或有过后悔，或流下过伤心的泪水……但正是这些经历，使你逐步增长了知识，感受了人生，获得了启迪，体验了纯真……请将题目“告诉我（过错、挫折、失败、懊悔、眼泪……）”补充完整，写一篇不少于500字的文章。
文中不能出现考生姓名和所在学校名称。
四种命题的形式
四种命题的形式四种命题的形式1、命题什么叫命题？能够明确判断真假的陈述性语句，叫做命题。
其中，判断为真的语句，叫真命题，判断为假的语句，叫假命题。
命题的结构？（条件+结论）如果…，那么…。
问题1：我是你的数学老师。
真X＞15 不是命题全等三角形的面积相等。
真3是10的约数吗？不是命题两直线平行，同位角相等。
真上课请不要讲话不是命题注：（1）疑问句，祈使句，感叹句不是命题。
（2）要判断一个语句是不是命题，关键是能不能判断真假。
（3）判断命题真假的方法有：逻辑推理法、要证明命题是假命题，只需要举出满足条件，不满足结论的例子即可；要证明命题为真，就需要证明满足命题的条件，就一定能推出命题的结论。
2、推出关系如果α成立可以推出β成立，那么就说由α可以推出β，记作：α＝＞β，换言之，α＝＞β表示以α为条件、β为结论的命题是真命题。
如果α成立不能推出β成立，记作：α≠＞β，换言之，α≠＞β表示以α为条件、β为结论的命题是假命题。
3、四种命题形式问题2:判断下列命题的真假，你能发现各命题之间有什么关系？①如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；（如果α，那么β）②如果两个三角形的面积相等，那么它们全等；（如果β，那么α）③如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等；（如果，那么）④如果两个三角形的面积不相等，那么它们不全等；（如果，那么）注：两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系两个命题为互为逆否命题,它们的真假性相同例1.写出命题“若a=0,则ab=0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断各命题的真假。
例2．写出命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断各命题的真假。
4、否命题及命题的否定否命题是既否都条件，也否定结论，而命题的否定只否定结论。
（1）常见词语的否定形式“至少”比“至多”多一个：比如，“至多3个”的否定是“至少4个”；“至多”比“至少”少一个：比如，“至少3个”的否定是“至多2个”。
教学设计2：1.3.2 命题的四种形式
1.3.2命题的四种形式（一）教学目标知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假．过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．（二）教学重点与难点重点：（1）会写四种命题并会判断命题的真假；（2）四种命题之间的相互关系．难点：（1）命题的否定与否命题的区别；（2）写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；（3）分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．教具准备：与教材内容相关的资料.教学设想：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．（三）教学过程学生探究过程：1．复习引入初中已学过命题与逆命题的知识，请同学回顾：什么叫做命题的逆命题？2．抽象概括定义1：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．让学生举一些互逆命题的例子.定义2：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．让学生举一些互否命题的例子.定义3：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．让学生举一些互为逆否命题的例子.小结：(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题：(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题．强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的.3．四种命题的形式让学生结合所举例子，思考：若原命题为“若p，则q”的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式？学生通过思考、分析、比较，总结如下：原命题：若p，则q．则：逆命题：若q，则p．否命题：若￢p，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p的否定；即不是p；非p）逆否命题：若￢q，则￢p．4．例题解析例1.试写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断各命题的真假.（1）∀x，y∈R，如果xy=0，则x=0;（2）设a，b为向量，如果a⊥b，则a·b=0解：（1）原命题“∀x，y∈R，如果xy=0，则x=0”;（假）逆命题为“∀x，y∈R，如果x=0 ，则xy=0”;（真）否命题为“∀x，y∈R，如果xy≠0 ，则x≠0”;（真）逆否命题为“∀x，y∈R，如果x≠0 ，则xy≠0”;（假）（2）原命题为“如果a⊥b，则a·b=0”；（真）逆命题为“如果a·b=0 ，则a⊥b”;（真）否命题为“如果a不垂直于b，则a·b≠0”;（真）逆否命题为“如果a·b≠0 ，则a不垂直于b”;（真）5．思考、分析结合以上练习思考：原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？通过此问，学生将发现：①原命题为真，它的逆命题不一定为真.②原命题为真，它的否命题不一定为真.③原命题为真，它的逆否命题一定为真.原命题为假时类似.结合以上练习完成下列表格：【答案】由表格学生可以发现：原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．由此会引起我们的思考：一个命题的逆命题、否命题与逆否命题之间是否还存在着一定的关系呢？让学生结合所做练习分析原命题与它的逆命题、否命题与逆否命题四种命题间的关系．学生通过分析，将发现四种命题间的关系如下图所示：6．总结归纳由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下： （1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题． 7．拓展训练证明：若p 2 ＋ q 2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2．【解析】如果直接证明这个命题比较困难，可考虑转化为对它的逆否命题的证明.将“若p 2 ＋ q 2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2”视为原命题，要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否命题“若p + q ＞2，则p 2 + q 2 ≠2”为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目的．证明：若p ＋ q ＞2，则 p 2 ＋ q 2＝21［（p －q ）2＋（p ＋q ）2］≥21（p ＋q ）2＞21×２２＝２ 所以p 2 ＋ q 2≠2．这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题. 练习巩固：证明：若a 2－b 2＋２a －４b －３≠０，则a －b ≠１． 8.教学反思（1）逆命题、否命题与逆否命题的概念；（2）两个命题互为逆否命题，他们有相同的真假性；（3）两个命题为互逆命题或互否命题，他们的真假性没有关系；（4）原命题与它的逆否命题等价；否命题与逆命题等价．。
21-22版：1.3.2 命题的四种形式（步步高）
1．3.2命题的四种形式学习目标 1.了解四种命题的概念，能写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.理解并掌握四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.3.能够利用命题的等价性解决问题．知识点一四种命题的概念四种命题的定义命题“如果p，则(那么)q”是由条件p和结论q组成的，对p，q进行“换位”或“换质”后，一共可以构成四种不同形式的命题．(1)原命题：如果p，则q；(2)条件和结论“换位”：如果q，则p，这称为原命题的逆命题；(3)条件和结论“换质”(分别否定)：如果綈p，则綈q，这称为原命题的否命题．(4)条件和结论“换位”又“换质”：如果綈q，则綈p，这称为原命题的逆否命题．知识点二四种命题间的相互关系(1)四种命题间的关系(2)四种命题间的真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性，即两命题等价；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系，即两个命题不等价．1．有的命题没有逆命题．(×)2．两个互逆命题的真假性相同．( × )3．对于一个命题的四种命题，可以一个真命题也没有．( √ ) 4．一个命题的四种命题中，真命题的个数一定为偶数．( √ )一、四种命题的概念例1 把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题． (1)相似三角形对应的角相等； (2)当x >3时，x 2－4x ＋3>0； (3)正方形的对角线互相平分．解 (1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角不对应相等；逆否命题：若两个三角形的三个角不对应相等，则这两个三角形不相似．(2)原命题：若x >3，则x 2－4x ＋3>0；逆命题：若x 2－4x ＋3>0，则x >3；否命题：若x ≤3，则x 2－4x ＋3≤0；逆否命题：若x 2－4x ＋3≤0，则x ≤3.(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形． 反思感悟 四种命题的写法(1)由原命题写出其它三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件和结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时进行否定即得逆否命题． (2)如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．跟踪训练1 写出下列各个命题的逆命题、否命题和逆否命题． (1)若sin α＝12，则tan α＝3；(2)若a ＋b 是偶数，则a ，b 都是偶数； (3)等底等高的两个三角形是全等三角形； (4)当1<x <2时，x 2－3x ＋2<0； (5)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0.解 (1)逆命题：若tan α＝3，则sin α＝12.否命题：若sin α≠12，则tan α≠ 3.逆否命题：若tan α≠3，则sin α≠12.(2)逆命题：若a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数． 否命题：若a ＋b 不是偶数，则a ，b 不都是偶数． 逆否命题：若a ，b 不都是偶数，则a ＋b 不是偶数． (3)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高． 否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等． 逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高． (4)逆命题：若x 2－3x ＋2<0，则1<x <2. 否命题：若x ≤1或x ≥2，则x 2－3x ＋2≥0. 逆否命题：若x 2－3x ＋2≥0，则x ≤1或x ≥2. (5)逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0. 否命题：若ab ≠0，则a ≠0，且b ≠0. 逆否命题：若a ≠0，且b ≠0，则ab ≠0. 二、四种命题的真假判断 例2 下列命题：①“四条边相等的四边形是正方形”的否命题； ②“梯形不是平行四边形”的逆否命题； ③“若ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题． 其中是真命题的是________．(填序号) 考点 四种命题的真假判断 题点 利用四种命题的关系判断真假 答案 ①②解析 ①“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；②“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；③“若ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题是“若a >b ，则ac 2>bc 2”，是假命题．故填①②. 反思感悟 要判断四种命题的真假：首先，要熟练掌握四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握． 跟踪训练2 按要求写出下列命题并判断真假． (1)“正三角形都相似”的逆命题；(2)“若m >0，则x 2＋2x －m ＝0有实根”的逆否命题； (3)“若x －2是有理数，则x 是无理数”的逆否命题． 考点 四种命题的真假判断 题点 利用四种命题的关系判断真假解 (1)原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形都是正三角形”，故为假命题．(2)原命题的逆否命题为“若x 2＋2x －m ＝0无实根，则m ≤0”．∵方程无实根，∴判别式Δ＝4＋4m <0，∴m <－1，即m ≤0成立，故为真命题．(3)原命题的逆否命题为“若x 不是无理数，则x －2不是有理数”．∵x 不是无理数，∴x 是有理数．又2是无理数，∴x －2是无理数，不是有理数，故为真命题． 三、等价命题的应用例3 判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，则a ≥1”的逆否命题的真假．解 方法一 原命题的逆否命题：已知a ，x 为实数，若a <1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为∅，判断如下： 二次函数y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2的开口向上， 令x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2＝0， 则Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7. 因为a <1，所以4a －7<0，即关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为∅.故此命题为真命题． 方法二 利用原命题的真假去判断逆否命题的真假． 因为关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空， 所以(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0， 即4a －7≥0，解得a ≥74＞1，所以原命题为真，故其逆否命题为真． 延伸探究判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2>0的解集为R ，则a <74”的逆否命题的真假．解 先判断原命题的真假如下：因为a ，x 为实数，关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2>0的解集为R ，且二次函数y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2的开口向上，所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7<0， 所以a <74.所以原命题是真命题．因为互为逆否命题的两个命题同真同假， 所以原命题的逆否命题为真命题．反思感悟由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的两个命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题．跟踪训练3证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.证明“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a ＋1＝0”．∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0，∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确．1．命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是()A．若a∉A，则b∉B B．若a∈A，则b∉BC．若b∈B，则a∉A D．若b∉B，则a∉A答案 B解析命题“若p，则q”的否命题是“若非p，则非q”，“∈”与“∉”互为否定形式．2．命题“若a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b”的逆否命题是()A．若a，b，c成等差数列，则a＋c≠2bB．若a，b，c不成等差数列，则a＋c≠2bC．若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列D．若a＋c≠2b，则a，b，c不成等差数列考点四种命题的相互关系题点四种命题相互关系的应用答案 D解析命题“若a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b”的逆否命题是“若a＋c≠2b，则a，b，c不成等差数列”．3．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“正三角形的三个内角均为60°”的否命题；③“若k<0，则方程x2＋(2k＋1)x＋k＝0必有两相异实数根”的逆否命题．其中真命题的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 ①的逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题； ②的否命题“不是正三角形的三个内角不全为60°”为真命题；③当k <0时，Δ＝(2k ＋1)2－4k ＝4k 2＋1>0，方程有两相异实根，原命题与其逆否命题均为真命题．4．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形； ②若一个四边形对角互补，则它内接于圆； ③正方形的四条边相等； ④圆内接四边形对角互补； ⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________． 考点 四种命题的相互关系 题点 四种命题相互关系的应用 答案 ②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤解析 命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断．5．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________． 答案 [1,2]解析 命题：“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为“若1<x <2，则m －1<x <m ＋1”． ∵该逆命题为真命题，∴由⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，得1≤m ≤2.1．写四种命题时，可以按下列步骤进行： (1)找出命题的条件p 和结论q ；(2)写出条件p 的否定綈p 和结论q 的否定綈q ； (3)按照四种命题的结构写出所有命题．2．一个命题都有条件和结论，要分清条件和结论．3．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．。
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1.3.2 命题的四种形式
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(2)如果x、y都是奇数，则x＋y是偶数. 解 原命题是真命题. 逆命题：如果x＋y是偶数，则x、y都是奇数，是假命题. 否命题：如果x、y不都是奇数，则x＋y不是偶数，是假命题. 逆否命题：如果x＋y不是偶数，则x、y不都是奇数，是真命 题.
1.3.2 命题的四种形式
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探究三 等价命题的应用
例3 判断命题“已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋
(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题
的真假. 解 方法一 原命题的逆否命题：
已知a，x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x
＋a2＋2≤0的解集为空集.真假判断如下：
∵抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，
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规律方法 (1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条 件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再 根据四种命题的结构写出所求命题. (2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当的添加一些 词语，但不能改变条件和结论.
1.3.2 命题的四种形式
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变式训练1 写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题. (1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条 直线垂直于这个平面； 解 逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂 直于平面内的两条相交直线. 否命题：如果一条直线不垂直于平面内的两条相交直线， 那么这条直线不垂直于平面.
3
(3)条件和结论“ 换质 ”(分别否定)：如果非p，则非q，这 称为原命题的 否命题 ； (4)条件和结论“ 换位 ”又“换质 ”：如果非q，则非p，这 称为原命题的 . 逆否命题
1.3.2 命题的四种形式
4
2.四种命题的相互关系
如果q,则p
如果非p，则非q
1.3.2 命题的四种形式
如果非q，则非p
1.3.2 命题的四种形式
7
探究一 四种命题的概念 例1 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并 判断它们的真假： (1)实数的平方是非负数；
1.3.2 命题的四种形式
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解 原命题是真命题. 逆命题：如果一个数的平方是非负数，则这个数是实数.真 命题. 否命题：如果一个数不是实数，则它的平方不是非负数.真 命题. 逆否命题：如果一个数的平方不是非负数，则这个数不是 实数.真命题.
1.3.2 命题的四种形式
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逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不 垂直于平面内的两条相交直线.
1.3.2 命题的四种形式
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(2)如果x>10，那么x>0； 解 逆命题：如果x>0，那么x>10. 否命题：如果x≤10，那么x≤0. 逆否命题：如果x≤0，那么x≤10.
1.3.2 命题的四种形式
1.3.2 命题的四种形式
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判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7， 若a<1，则4a－7<0. 即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点. 所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集. 故原命题的逆否命题为真.
1.3.2 命题的四种形式
[学习目标] 1.了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和 逆否命题. 2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系. 3.会利用命题的等价性解决问题.
1.3.2 命题的四种形式
1
[知识链接] 下列四个命题： (1)如果f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； (2)如果f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； (3)如果f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数； (4)如果f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数. 观察命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？
1.3.2 命题的四种形式
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[预习导引]
1.四种命题的定义
命题“如果p，则(那么)q”是由条件p和结论q组成的，对p，
q进行“换位”Leabharlann “换质”，一共可以构成四种不同形式的
命题.
(1)原命题：如果p，则q；
(2)条件和结论“ 换位 ”：如果q，则p，这称为原命题的
逆命题 ；
1.3.2 命题的四种形式
y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；
②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等
的四边形不是正方形”，是真命题；
③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也
是真命题；
④“如果ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“如果a>b，则ac2>bc2”，
是假命题.所以真命题是①②③.
答案 ①②③
5
3.四种命题的真假性 (1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况.
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
1.3.2 命题的四种形式
6
(2)四种命题的真假性之间的关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有 相同的真假性. ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有 关系 .
1.3.2 命题的四种形式
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解析 ①否命题是“如果x＋y≠0，则x，y不是相反数”， 是真命题. ②否命题是“如果x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－ x－6≤0可得－2≤x≤3，而x＝4>－3不是不等式的解，故 是假命题. ③逆命题是“相等的角是同位角”，是假命题. 答案 1
1.3.2 命题的四种形式
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探究二 四种命题间的关系 例2 下列命题： ①“如果xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题； ②“四边相等的四边形是正方形”的否命题； ③“梯形不是平行四边形”的逆否命题； ④“如果ac2>bc2，则a>b”的逆命题. 其中真命题是________.
1.3.2 命题的四种形式
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解析 ①“如果xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“如果x，
1.3.2 命题的四种形式
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规律方法 要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命 题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他 知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握.
1.3.2 命题的四种形式
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变式训练2 有下列四个命题： ①“如果x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题； ②“如果x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题； ③“同位角相等”的逆命题. 其中真命题的个数是________.