高中数学第四章指数函数与对数函数4.5.3函数模型的应用教师用书新人教A版必修第一册

4．5.3 函数模型的应用考点学习目标核心素养指数、对数函数模型在实际问题中的应用会利用已知函数模型解决实际问题数学建模根据实际问题建立函数模型能根据实际问题，建立恰当的函数模型求解问题数学建模问题导学预习教材P148－P154，并思考以下问题：1．一次、二次函数的表达形式分别是什么？2．指数函数模型、对数函数模型的表达形式是什么？几类常见的函数模型名称解析式条件一次函数模型y＝kx＋b k≠0反比例函数模型y＝kx＋b k≠0二次函数模型一般式：y＝ax2＋bx＋c顶点式：y＝a⎝⎛⎭⎪⎫x＋b2a2＋4ac－b24aa≠0指数函数模型y＝b·a x＋ca>0且a≠1，b≠0对数函数模型y＝m log a x＋na>0且a≠1，m≠0幂函数模型 y ＝ax n ＋ba ≠01．某种动物繁殖数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)．若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到( )A ．300只B ．400只C ．500只D ．600只解析：选A.由题意可得a ＝100.当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300.2．某种产品今年的产量是a ，如果保持5%的年增长率，那么经过x 年(x ∈N *)，该产品的产量y 满足( )A ．y ＝a (1＋5%x )B ．y ＝a ＋5%C ．y ＝a (1＋5%)x －1D ．y ＝a (1＋5%)x解析：选D.经过1年，y ＝a (1＋5%)，经过2年，y ＝a (1＋5%)2，…，经过x 年，y ＝a (1＋5%)x.3．已知某工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y ＝a ·0.5x＋b ，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此厂3月份该产品产量为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ·0.51＋b ，1.5＝a ·0.52＋b ， 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2， 所以y ＝－2×0.5x＋2， 所以3月份产量为y ＝－2×0.53＋2＝1.75(万件)．答案：1.75万件指数型函数模型的应用一片森林原来的面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？【解】 (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110.(2)设经过m 年后森林剩余面积为原来的22，则a (1－x )m＝22a ， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212，则m 10＝12，解得m ＝5.故到今年为止，该森林已砍伐了5年．(3)设从今年开始，最多还能砍伐n 年，则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n≥24，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 10≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1232，则n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年．指数函数模型问题的求解策略(1)对于增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y ＝N (1＋p )x(其中N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂函数模型y ＝a (1＋x )n (其中a 为基础数，x 为增长率，n 为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知条件中给定的值对应求解．(2)函数y ＝c ·a kx(a ，c ，k 为常数)是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等方面都有广泛的应用，解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数．某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量p (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：小时)之间的关系为p (t )＝p 0e－kt(式中的e 为自然对数的底数，p 0为污染物的初始含量)．过滤1小时后，检测发现污染物的含量减少了15.(1)求函数关系式p (t )；(2)要使污染物的含量不超过初始值的11 000，至少还需过滤几个小时？(参考数据：lg 2≈0.3)解：(1)根据题意，得45p 0＝p 0e －k，所以e －k＝45，所以p (t )＝p 0⎝ ⎛⎭⎪⎫45t .(2)由p (t )＝p 0⎝ ⎛⎭⎪⎫45t ≤11 000p 0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫45t≤10－3，两边取对数并整理得t (1－3lg 2)≥3，所以t ≥30.因此，至少还需过滤30个小时．对数型函数模型的应用大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v ＝12log 3θ100，单位是m/s ，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s ，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍． 【解】 (1)由v ＝12log 3θ100可知，当θ＝900时，v ＝12log 3900100＝12log 39＝1(m/s)． 所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s. (2)由v 2－v 1＝1，即12log 3 θ2100－12log 3θ1100＝1， 得θ2θ1＝9. 所以耗氧量的单位数为原来的9倍．(变问法)若本例条件不变：(1)当一条鲑鱼的耗氧量是8 100 个单位时，它的游速是多少？ (2)求一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数． 解：(1)将θ＝8 100代入函数解析式，得v ＝12log 381＝12×4＝2 (m/s)，所以一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时，它的游速是2 m/s.(2)令v ＝0，得12log 3θ100＝0，即θ100＝1，则θ＝100，所以一条鲑鱼静止时的耗氧量为100个单位．对数函数应用题的基本类型和求解策略(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解；(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v (米/秒)和燃料的质量M (千克)、火箭(除燃料外)的质量m (千克)的函数关系式是v ＝2 000·ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m .当燃料质量是火箭质量的____________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．解析：当v ＝12 000米/秒时， 2 000·ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋M m＝12 000，所以ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋M m ＝6，所以M m＝e 6－1. 答案：e 6－1以图表信息为背景的函数应用题某医院研究开发了一种新药，据检测，如果成人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y (单位：μg)与服药后的时间t (单位：h)之间近似满足图中的曲线，其中OA 是线段，曲线ABC 是函数y ＝ka t(t ≥1，a >0，且k 与a 是常数)的图象．(1)写出服药后y 关于t 的函数关系式；(2)据测定，每毫升血液中含药量不少于2 μg 时治疗疾病有效，假如某病人第一次服药为早上6：00，为了保持疗效，第二次服药最迟应在当天几时？【解】 (1)当0≤t <1时，y ＝8t ；当t ≥1时，将A (1，8)，B (2，42)代入y ＝ka t， 得a ＝22，k ＝8 2.所以y ＝⎩⎨⎧8t ，0≤t <1，82×⎝ ⎛⎭⎪⎫22t ，t ≥1.(2)设第一次服药后最迟经过t h 第二次服药， 依题意有t ≥1.所以82×⎝ ⎛⎭⎪⎫22t＝2，解得t ＝5.因此第二次服药最迟应在第一次服药后5 h ，即当天上午11：00服药．解决这类问题的一般步骤：(1)观察图表，捕捉有效信息．(2)对已获信息进行加工，选择适当的函数模型．(3)求函数解析式．(4)进行检验，去伪存真，答案要符合实际情形．某药材种植基地准备种植某种药材，从历年市场行情可知，从2月1日起的300天内，该药材的市场售价P (元/千克)与上市时间t (天)的关系可以用如图①所示的一条折线表示，该药材的种植成本Q (元/千克)与上市时间t (天)的关系可以用如图②所示的抛物线表示．(1)写出图①中表示的市场售价与上市时间的函数关系式P ＝f (t )，写出图②中表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q ＝g (t )；(2)若市场售价减去种植成本为纯收益，则何时上市该药材的纯收益最大？解：(1)由题图①可得市场售价与上市时间的函数关系式为P ＝f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－t ，0≤t ≤200，2t －300，200<t ≤300. 由题图②可得种植成本与上市时间的函数关系式为Q ＝g (t )＝1200(t －150)2＋100，0≤t ≤300.(2)设从2月1日起的第t 天的纯收益为h (t )(元/千克)，则由题意，得h (t )＝f (t )－g (t )， 即h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1200t 2＋12t ＋1752，0≤t ≤200，－1200t 2＋72t －1 0252，200<t ≤300.当0≤t ≤200时，h (t )＝－1200(t －50)2＋100， 所以当t ＝50时，h (t )在区间[0，200]上取得最大值100. 当200<t ≤300时，h (t )＝－1200(t －350)2＋100， 所以当t ＝300时，h (t )在区间(200，300]上取得最大值87.5.综上可知，当t ＝50时，h (t )取得最大值，最大值为100，即从2月1日开始的第50天上市，该药材的纯收益最大，最大纯收益为100元/千克．1．某市的房价(均价)经过6年时间从1 200元/m 2增加到了4 800元/m 2，则这6年间平均每年的增长率是( )A ．600元B ．50% C.32－1D.32＋1解析：选C.设6年间平均年增长率为x ，则有1 200(1＋x )6＝4 800，解得x ＝32－1. 2．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I 与电线半径r 的三次方成正比，若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为( )A ．60安B ．240安C ．75安D ．135安解析：选D.由已知，设比例常数为k ，则I ＝k ·r 3.由题意，当r ＝4时，I ＝320，故有320＝k ×43，解得k ＝32064＝5，所以I ＝5r 3.故当r ＝3时，I ＝5×33＝135(安)．故选D.3．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超过A 万元，则超过部分按log 5(2A ＋1)进行奖励．记奖金为y (单位：万元)，销售利润为x (单位：万元)．(1)写出奖金y 关于销售利润x 的关系式；(2)如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ 解：(1)由题意知，当0≤x ≤8时，y ＝0.15x ； 当x >8时，y ＝8×0.15＋log 5(2x －15)＝1.2＋log 5(2x －15)，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.15x ，0≤x ≤8，1.2＋log 5（2x －15），x >8. (2)由题意知1.2＋log 5(2x －15)＝3.2，解得x ＝20.所以，小江的销售利润是20万元．[A 基础达标]1．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )A ．310元B ．300元C ．290元D ．280元解析：选B.设函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， 函数图象过点(1，800)，(2，1 300)，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝800，2k ＋b ＝1 300， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝500，b ＝300，所以y ＝500x ＋300， 当x ＝0时，y ＝300.所以营销人员没有销售量时的收入是300元．2．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h 随时间t 变化的函数h ＝f (t )的大致图象如图所示，则杯子的形状可能是( )解析：选 A.从题图看出，在时间段[0，t 1]，[t 1，t 2]内水面高度是匀速上升的，因此几何体应为两柱体组合，在[0，t 1]时间段内上升慢，在[t 1，t 2]时间段内上升快，于是下面大，上面小，故选A.3．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A ．略有亏损B ．略有盈利C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况解析：选A.由题意可得(1＋10%)3(1－10%)3＝0.970 299≈0.97<1.因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损．4．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是T 1(℃)，空气的温度是T 0(℃)，经过t 分钟后物体的温度T (℃)可由公式T ＝T 0＋(T 1－T 0)e －0.25t 求得．把温度是90 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t 分钟后，物体的温度是50 ℃，那么t 的值约等于(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)( )A ．1.78B ．2.77C ．2.89D ．4.40 解析：选B.由题意可知50＝10＋(90－10)·e－0.25t，整理得e－0.25t＝12，即－0.25t ＝ln 12＝－ln 2＝－0.693，解得t ≈2.77.5．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用．当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x ，y 分别为________．解析：由三角形相似， 得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54×(24－y )， 所以S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，故当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15. 答案：15，126．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为T 12.现测得某种放射性元素的剩余质量A 随时间t 变化的6次数据如下：t (单位时间)0 2 4 6 8 10 A (t )3202261601158057变公式为A (t )＝________．解析：从题表中数据易知半衰期为4个单位时间，由初始质量为A 0＝320，则经过时间t 的剩余质量为A (t )＝A 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t T 12＝320·2－t4 (t ≥0)．答案：4 320·2－t4(t ≥0)7．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y ＝e kt，其中k 为常数，t 表示时间(单位：小时)，y 表示繁殖后细菌总个数，则k ＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．解析：由题意知，当t ＝12时，y ＝2，即2＝e 12k ，所以k ＝2ln 2，所以y ＝e 2t ln 2.当t ＝5时，y ＝e2×5×ln 2＝210＝1 024.即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024. 答案：2ln 2 1 0248．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度v (单位：m/s)可以表示为v ＝5log 2Q10，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解：(1)当燕子静止时，它的速度v ＝0 m/s ，代入题中给出的函数关系式，可得0＝5log 2Q10，解得Q ＝10，即燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)将Q ＝80代入题中给出的函数关系式，得v ＝5log 28010＝5log 28＝15，即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.9．某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y 与这种新材料的含量x (单位：克)的关系为：当0≤x <6时，y 是x 的二次函数；当x ≥6时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －t.测得数据如表(部分)(2)求函数f (x )的最大值． 解：(1)当0≤x <6时，由题意， 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由表格数据可得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝c ＝0，f （1）＝a ＋b ＋c ＝74，f （2）＝4a ＋2b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－14，b ＝2，c ＝0，所以，当0≤x <6时，f (x )＝－14x 2＋2x ，当x ≥6时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －t.由表格数据可得f (9)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫139－t ＝19， 解得t ＝7.所以当x ≥6时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －7， 综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－14x 2＋2x ，0≤x <6，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －7，x ≥6. (2)当0≤x <6时，f (x )＝－14x 2＋2x ＝－14(x －4)2＋4，所以当x ＝4时，函数f (x )的最大值为4； 当x ≥6时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －7单调递减，所以f (x )的最大值为f (6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫136－7＝3. 因为4>3，所以函数f (x )的最大值为4.[B 能力提升]10．衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸的体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为V ＝a ·e －kt .已知新丸经过50天后，体积变为49a .若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为( ) A ．125B ．100C ．75D ．50 解析：选C.由已知得49a ＝a ·e －50k ， 即e －50k ＝49＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232. 所以827a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233·a ＝(e －50k )32·a ＝e －75k ·a ， 所以t ＝75.11．某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x (万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额x (万元)，x ∈[8，64]时，奖金为y 万元，且y ＝log a x ，y ∈[3，6]，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额x (万元)超过64万元，按年销售额的10%发奖金．(1)求奖金y 关于x 的函数解析式；(2)某营销人员争取年奖金y ∈[4，10](万元)，求年销售额x 在什么范围内．解：(1)依题意知y ＝log a x 在x ∈[8，64]上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧log a 8＝3，log a 64＝6， 所以a ＝2，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤x ＜8，log 2x ，8≤x ≤64，110x ，x ＞64. (2)易知x ≥8.当8≤x ≤64时，要使y ∈[4，10]，则4≤log 2x ≤10，所以16≤x ≤1 024，所以16≤x ≤64.当x ＞64时，要使y ∈[4，10]，则110x ∈[4，10]，即40≤x ≤100， 所以64＜x ≤100.综上，当年销售额x 在[16，100](万元)内时，年奖金y ∈[4，10](万元)．[C 拓展探究]12．近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响，经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P (单位：mg/L)与过滤时间t (单位：h)间的关系为P (t )＝P 0e －kt (P 0，k 均为非零常数，e 为自然对数的底数)，其中P 0为t ＝0时的污染物数量．若经过5 h 过滤后还剩余90%的污染物．(1)求常数k 的值；(2)试计算污染物减少到40%至少需要多长时间．(精确到1 h ，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11)解：(1)由已知得，当t ＝0时，P ＝P 0；当t ＝5时，P ＝90%P 0.于是有90%P 0＝P 0e －5k ，解得k ＝－15ln 0.9(或k ≈0.022)． (2)由(1)，知P ＝P 0e ⎝ ⎛⎭⎪⎫15ln 0.9t ， 当P ＝40%P 0时，有0.4P 0＝P 0e ⎝ ⎛⎭⎪⎫15ln 0.9t ，解得t＝ln 0.41 5ln 0.9≈－0.9215×（－0.11）＝4.600.11≈42.故污染物减少到40%至少需要42小时．。