2017-2021年广东中考数学真题分类汇编之二次函数
03填空题知识点分类-广东省省卷五年(2017-2021)中考数学真题分类汇编(32题)
近五年广东省卷填空题知识点分类一．平方根（共1小题）1．（2018•广东）一个正数的平方根分别是x+1和x﹣5，则x＝．二．非负数的性质：算术平方根（共2小题）2．（2020•广东）若+|b+1|＝0，则（a+b）2020＝．3．（2018•广东）已知+|b﹣1|＝0，则a+1＝．三．实数大小比较（共1小题）4．（2017•广东）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则a+b0．（填“＞”，“＜”或“＝”）四．代数式求值（共2小题）5．（2020•广东）已知x＝5﹣y，xy＝2，计算3x+3y﹣4xy的值为．6．（2017•广东）已知4a+3b＝1，则整式8a+6b﹣3的值为．五．同类项（共1小题）7．（2020•广东）如果单项式3x m y与﹣5x3y n是同类项，那么m+n＝．六．整式的混合运算—化简求值（共1小题）8．（2019•广东）已知x＝2y+3，则代数式4x﹣8y+9的值是．七．因式分解-提公因式法（共2小题）9．（2020•广东）分解因式：xy﹣x＝．10．（2020•宿迁）分解因式：a2+a＝．八．因式分解-运用公式法（共1小题）11．（2019•云南）分解因式：x2﹣2x+1＝．九．分式的化简求值（共1小题）12．（2021•广东）若x+＝且0＜x＜1，则x2﹣＝．一十．负整数指数幂（共1小题）13．（2019•广东）计算：20190+（）﹣1＝．一十一．解二元一次方程组（共1小题）14．（2021•广东）二元一次方程组的解为．一十二．一元二次方程的定义（共1小题）15．（2021•广东）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程为．一十三．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）16．（2018•广东）如图，已知等边△OA1B1，顶点A1在双曲线y＝（x＞0）上，点B1的坐标为（2，0）．过B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2，过A2作A2B2∥A1B1交x轴于点B2，得到第二个等边△B1A2B2；过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3，过A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点B6的坐标为．一十四．二次函数图象与几何变换（共1小题）17．（2021•广东）把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为．一十五．平行线的性质（共1小题）18．（2019•广东）如图，已知a∥b，∠1＝75°，则∠2＝．一十六．多边形内角与外角（共2小题）19．（2019•广东）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是．20．（2017•广东）一个n边形的内角和是720°，则n＝．一十七．平行四边形的性质（共1小题）21．（2021•广东）如图，在▱ABCD中，AD＝5，AB＝12，sin A＝．过点D作DE⊥AB，垂足为E，则sin∠BCE＝．一十八．圆周角定理（共1小题）22．（2018•广东）同圆中，已知所对的圆心角是100°，则所对的圆周角是．一十九．点与圆的位置关系（共2小题）23．（2021•广东）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3．点D为平面上一个动点，∠ADB＝45°，则线段CD长度的最小值为．24．（2020•广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为．二十．切线的性质（共1小题）25．（2018•广东）如图，矩形ABCD中，BC＝4，CD＝2，以AD为直径的半圆O与BC 相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为．（结果保留π）二十一．扇形面积的计算（共1小题）26．（2021•广东）如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4．分别以点B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为．二十二．圆锥的计算（共1小题）27．（2020•广东）如图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为m．二十三．作图—基本作图（共1小题）28．（2020•广东）如图，在菱形ABCD中，∠A＝30°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD．则∠EBD的度数为．二十四．利用轴对称设计图案（共1小题）29．（2019•广东）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是（结果用含a，b代数式表示）．二十五．翻折变换（折叠问题）（共1小题）30．（2017•广东）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（3）操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A、H两点间的距离为．二十六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）31．（2019•广东）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是米（结果保留根号）．二十七．概率公式（共1小题）32．（2017•广东）在一个不透明的盒子中，有五个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，随机摸出一个小球，摸出的小球标号为偶数的概率是．参考答案与试题解析一．平方根（共1小题）1．（2018•广东）一个正数的平方根分别是x+1和x﹣5，则x ＝ 2 ．【解析】解：根据题意知x+1+x﹣5＝0，解得：x＝2，故答案为：2．二．非负数的性质：算术平方根（共2小题）2．（2020•广东）若+|b+1|＝0，则（a+b）2020＝ 1 ．【解析】解：∵≥，|b+1|≥0，+|b+1|＝0，∴a﹣2＝0，a＝2，b+1＝0，b＝﹣1，∴（a+b）2020＝1．故答案为：1．3．（2018•广东）已知+|b﹣1|＝0，则a+1＝ 2 ．【解析】解：∵+|b﹣1|＝0，∴b﹣1＝0，a﹣b＝0，解得：b＝1，a＝1，故a+1＝2．故答案为：2．三．实数大小比较（共1小题）4．（2017•广东）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则a+b＞0．（填“＞”，“＜”或“＝”）【解析】解：∵a在原点左边，b在原点右边，∴a＜0＜b，∵a离开原点的距离比b离开原点的距离小，∴|a|＜|b|，∴a+b＞0．故答案为：＞．四．代数式求值（共2小题）5．（2020•广东）已知x＝5﹣y，xy＝2，计算3x+3y ﹣4xy的值为7 ．【解析】解：∵x＝5﹣y，∴x+y＝5，当x+y＝5，xy＝2时，原式＝3（x+y）﹣4xy＝3×5﹣4×2＝15﹣8＝7，故答案为：7．6．（2017•广东）已知4a+3b＝1，则整式8a+6b﹣3的值为﹣1 ．【解析】解：∵4a+3b＝1，∴8a+6b﹣3＝2（4a+3b）﹣3＝2×1﹣3＝﹣1；故答案为：﹣1．五．同类项（共1小题）7．（2020•广东）如果单项式3x m y与﹣5x3y n是同类项，那么m+n＝ 4 ．【解析】解：∵单项式3x m y与﹣5x3y n是同类项，∴m＝3，n＝1，∴m+n＝3+1＝4．故答案为：4．六．整式的混合运算—化简求值（共1小题）8．（2019•广东）已知x＝2y+3，则代数式4x﹣8y+9的值是21 ．【解析】解：∵x＝2y+3，∴x﹣2y＝3，则代数式4x﹣8y+9＝4（x﹣2y）+9＝4×3+9＝21．故答案为：21．七．因式分解-提公因式法（共2小题）9．（2020•广东）分解因式：xy﹣x＝x（y﹣1）．【解析】解：xy﹣x＝x（y﹣1）．故答案为：x（y﹣1）．10．（2020•宿迁）分解因式：a2+a＝a（a+1）．【解析】解：a2+a＝a（a+1）．故答案为：a（a+1）．八．因式分解-运用公式法（共1小题）11．（2019云南）分解因式：x2﹣2x+1＝（x﹣1）2．【解析】解：x2﹣2x+1＝（x﹣1）2．九．分式的化简求值（共1小题）12．（2021•广东）若x+＝且0＜x＜1，则x2﹣＝﹣．【解析】解：∵0＜x＜1，∴x＜，∴x﹣＜0，∵x+＝，∴（x+）2＝，即x2+2+＝，∴x2﹣2+＝﹣4，∴（x﹣）2＝，∴x﹣＝﹣，∴x2﹣＝（x+）（x﹣）＝×（﹣）＝﹣，故答案为：﹣．一十．负整数指数幂（共1小题）13．（2019•广东）计算：20190+（）﹣1＝ 4 ．【解析】解：原式＝1+3＝4．故答案为：4．一十一．解二元一次方程组（共1小题）14．（2021•广东）二元一次方程组的解为．【解析】解：，①×2﹣②，得：3y＝﹣6，即y＝﹣2，将y＝﹣2代入②，得：2x+（﹣2）＝2，解得：x＝2，所以方程组的解为．故答案为．一十二．一元二次方程的定义（共1小题）15．（2021•广东）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程为x2﹣2＝0（答案不唯一）．【解析】解：∵若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，∴满足条件的方程可以为：x2﹣2＝0（答案不唯一），故答案为：x2﹣2＝0（答案不唯一）．一十三．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）16．（2018•广东）如图，已知等边△OA1B1，顶点A1在双曲线y ＝（x＞0）上，点B1的坐标为（2，0）．过B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2，过A2作A2B2∥A1B1交x轴于点B2，得到第二个等边△B1A2B2；过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3，过A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点B6的坐标为（2，0）．【解析】解：如图，作A2C⊥x轴于点C，设B1C＝a ，则A2C＝a，OC＝OB1+B1C＝2+a，A2（2+a，a）．∵点A2在双曲线y＝（x＞0）上，∴（2+a）•a＝，解得a＝﹣1，或a＝﹣﹣1（舍去），∴OB2＝OB1+2B1C＝2+2﹣2＝2，∴点B2的坐标为（2，0）；作A3D⊥x轴于点D，设B2D＝b，则A3D＝b，OD＝OB2+B2D＝2+b，A3（2+b，b）．∵点A3在双曲线y＝（x＞0）上，∴（2+b）•b＝，解得b＝﹣+，或b＝﹣﹣（舍去），∴OB3＝OB2+2B2D＝2﹣2+2＝2，∴点B3的坐标为（2，0）；同理可得点B4的坐标为（2，0）即（4，0）；以此类推…，∴点B n的坐标为（2，0），∴点B6的坐标为（2，0）．故答案为（2，0）．一十四．二次函数图象与几何变换（共1小题）17．（2021•广东）把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝2x2+4x．【解析】解：把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2+1﹣3，即y＝2x2+4x 故答案为y＝2x2+4x．一十五．平行线的性质（共1小题）18．（2019•广东）如图，已知a∥b，∠1＝75°，则∠2＝105°．【解析】解：∵直线c直线a，b相交，且a∥b，∠1＝75°，∴∠3＝∠1＝75°，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣75°＝105°．故答案为：105°一十六．多边形内角与外角（共2小题）19．（2019•广东）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是8 ．【解析】解：设多边形边数有x条，由题意得：180（x﹣2）＝1080，解得：x＝8，故答案为：8．20．（2017•广东）一个n边形的内角和是720°，则n＝ 6 ．【解析】解：依题意有：（n﹣2）•180°＝720°，解得n＝6．故答案为：6．一十七．平行四边形的性质（共1小题）21．（2021•广东）如图，在▱ABCD中，AD＝5，AB＝12，sin A＝．过点D作DE⊥AB，垂足为E，则sin∠BCE＝．【解析】解：如图，过点B 作BF ⊥EC 于点F ，∵DE ⊥AB ，AD ＝5，sin A ＝＝，∴DE ＝4，∴AE ＝＝3，在▱ABCD 中，AD ＝BC ＝5，AB ＝CD ＝12， ∴BE ＝AB ﹣AE ＝12﹣3＝9， ∵CD ∥AB ，∴∠DEA ＝∠EDC ＝90°，∠CEB ＝∠DCE ， ∴tan ∠CEB ＝tan ∠DCE ， ∴＝＝＝，∴EF ＝3BF ，在Rt △BEF 中，根据勾股定理，得 EF 2+BF 2＝BE 2，∴（3BF ）2+BF 2＝92， 解得，BF ＝，∴sin ∠BCE ＝＝＝．故答案为：．一十八．圆周角定理（共1小题） 22．（2018•广东）同圆中，已知所对的圆心角是100°，则所对的圆周角是 50° ． 【解析】解：弧AB 所对的圆心角是100°，则弧AB 所对的圆周角为50°． 故答案为50°．一十九．点与圆的位置关系（共2小题） 23．（2021•广东）在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝3．点D 为平面上一个动点，∠ADB ＝45°，则线段CD 长度的最小值为 ． 【解析】解：如图所示． ∵∠ADB ＝45°，AB＝2，作△ABD 的外接圆O （因求CD 最小值，故圆心O 在AB 的右侧），连接OC ， 当O 、D 、C 三点共线时，CD 的值最小． ∵∠ADB ＝45°， ∴∠AOB ＝90°，∴△AOB 为等腰直角三角形， ∴AO ＝BO ＝sin45°×AB ＝．∵∠OBA ＝45°，∠ABC ＝90°， ∴∠OBE ＝45°，作OE ⊥BC 于点E ， ∴△OBE 为等腰直角三角形． ∴OE ＝BE ＝sin45°•OB ＝1， ∴CE ＝BC ﹣BE ＝3﹣1＝2， 在Rt △OEC 中， OC ＝＝＝． 当O 、D 、C 三点共线时， CD 最小为CD ＝OC ﹣OD ＝．故答案为：．24．（2020•广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC ＝90°，点M ，N 分别在射线BA ，BC 上，MN 长度始终保持不变，MN ＝4，E 为MN 的中点，点D 到BA ，BC 的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE 的最小值为 2﹣2 ．【解析】解：如图，连接BE ，BD ．由题意BD ＝＝2，∵∠MBN ＝90°，MN ＝4，EM ＝NE ，∴BE ＝MN ＝2，∴点E 的运动轨迹是以B 为圆心，2为半径的弧， ∴当点E 落在线段BD 上时，DE 的值最小， ∴DE 的最小值为2﹣2．（也可以用DE ≥BD ﹣BE ，即DE ≥2﹣2确定最小值）故答案为2﹣2．二十．切线的性质（共1小题） 25．（2018•广东）如图，矩形ABCD 中，BC ＝4，CD ＝2，以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点E ，连接BD ，则阴影部分的面积为 π ．（结果保留π）【解析】解：连接OE ，如图，∵以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点E ， ∴OD ＝2，OE ⊥BC ，易得四边形OECD 为正方形， ∴由弧DE 、线段EC 、CD 所围成的面积＝S 正方形OECD ﹣S 扇形EOD ＝22﹣＝4﹣π，∴阴影部分的面积＝×2×4﹣（4﹣π）＝π． 故答案为π．二十一．扇形面积的计算（共1小题） 26．（2021•广东）如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC ＝4．分别以点B 、点C 为圆心，线段BC 长的一半为半径作圆弧，交AB 、BC 、AC 于点D 、E 、F ，则图中阴影部分的面积为 4﹣π ．【解析】解：等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝4，∴∠B ＝∠C ＝45°， ∴AB ＝AC ＝BC ＝2∵BE ＝CE ＝BC ＝2， ∴阴影部分的面积S ＝S △ABC ﹣S扇形BDE﹣S扇形CEF＝2﹣×2＝4﹣π，故答案为4﹣π．二十二．圆锥的计算（共1小题）27．（2020•广东）如图，从一块半径为1m 的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC ，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为m ．【解析】解：如图，连接OA ，OB ，OC ，则OB ＝OA ＝OC ＝1m ，因此阴影扇形的半径为1m ，圆心角的度数为120°，则扇形的弧长为：m ，而扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，因此有： 2πr ＝，解得，r ＝（m ）， 故答案为：．二十三．作图—基本作图（共1小题） 28．（2020•广东）如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝30°，取大于AB 的长为半径，分别以点A ，B 为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD 边于点E （作图痕迹如图所示），连接BE ，BD ．则∠EBD 的度数为 45° ．【解析】解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ＝AB ，∴∠ABD＝∠ADB ＝（180°﹣∠A）＝75°，由作图可知，EA＝EB，∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝75°﹣30°＝45°，故答案为45°．二十四．利用轴对称设计图案（共1小题）29．（2019•广东）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是a+8b （结果用含a，b代数式表示）．【解析】解：方法1、如图，由图可得，拼出来的图形的总长度＝5a+4[a﹣2（a﹣b）]＝a+8b故答案为：a+8b．方法2、∵小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形∴口朝上的有5个，口朝下的有四个，而口朝上的有5个，长度之和是5a，口朝下的有四个，长度为4[b﹣（a﹣b）]＝8b﹣4a，即：总长度为5a+8b﹣4a＝a+8b，故答案为a+8b．二十五．翻折变换（折叠问题）（共1小题）30．（2017•广东）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（3）操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A、H两点间的距离为．【解析】解：如图3中，连接AH．由题意可知在Rt△AEH中，AE＝AD＝3，EH＝EF﹣HF＝3﹣2＝1，∴AH＝＝＝，故答案为．二十六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）31．（2019•广东）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是（15+15）米（结果保留根号）．【解析】解：过点B作BE⊥AB于点E，在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15；可得CE＝BE×tan45°＝15米．在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝15，可得AE＝BE×tan30°＝15米．故教学楼AC的高度是AC＝15米．答：教学楼AC的高度是（15）米．二十七．概率公式（共1小题）32．（2017•广东）在一个不透明的盒子中，有五个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，随机摸出一个小球，摸出的小球标号为偶数的概率是．【解析】解：∵5个小球中，标号为偶数的有2、4这2个，∴摸出的小球标号为偶数的概率是，故答案为：。
专题20：二次函数压轴题-2021年广东地区中考数学真题与模拟试题精选汇编(解析版)
专题20：二次函数压轴题-2021年广东地区中考数学真题与模拟试题精选汇编一、单选题1．（2021·广东深圳市·九年级二模）如图，抛物线()2112y x =-++与()2221y x =---相交于点B ．两抛物线分别与y 轴交于点D 、E 两点．过点B 作x 轴的平行线，交两抛物线于点A 、C ，则以下结论错误的是（ ）A ．无论x 取何值，2y 总是负数B ．抛物线2y 可由抛物线1y 向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到C ．当31x -<<时，随着x 的增大，12y y -的值先增大后减小D ．四边形AECD 为正方形【答案】C【解析】由抛物线开口向下，抛物线有最大值，()222110y x =---≤-<，可判断A ；由两个函数二次项系数相同，开口方向相同，两函数顶点横坐标之差为2-（-1）=3，纵坐标之差为-1-2=-3可判断B ；由两函数之差1266y y x -=-+，k =-6<0随着x 的增大，12y y -的值减小可判断C ；设AC 与DE 交于点F ，由两函数联立解出交点(1,2)B -，可求F （0，-2），当2y =-时，可求点(3,2)A --，点C (3，-2)，，当0x =时，D （0，1），点E （0，-5）可利用对角线互相平分，相等，互相垂直判断D ．【解答】A ．()2221y x =---∵1a =-,抛物线开口向下，函数有最大值，当x=2时，函数y 2最大=-1∴()222110y x =---≤-<，∴无论x 取何值，2y 的最大值是-1，总是负数；故选项A 正确；B ．∵两个函数的二次项系数相同，开口方向相同，∴两函数顶点横坐标之差为2-（-1）=3，∴2l 可由1l 向右平移3个单位，∵纵坐标之差为-1-2=-3；∴2l 可由1l 向下平移3个单位得到；∴2l 可由1l 向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；故选项B 正确；C ．∵()()2212122166y y x x x ⎡⎤⎣⎦-=-++----=-+， ∵k =-6<0随着x 的增大，12y y -的值减小；故选项C 错误；D ．设AC 与DE 交于点F ，∵抛物线1l ：()2112y x =-++与2l ：()2221y x =---交于点B ，∴()212x -++()221x =---解得x =1，∴当1x =时，2y =-，∴点B （1，-2）∴F （0，-2），∵当2y =-时，()2122x -++=-，解得：3x =-或1x =，∴点(3,2)A --，当2y =-时，()2212x ---=-，解得：3x =或1x =，∴点C (3，-2)，∴AC =3-(-3)=6, ∴132AF CF AC ===， 当0x =时， ()2112=121y x =-++-+=∴D （0，1）， ()22021415y =---=--=-，点E （0，-5），∴()156DE =--=，∴132DF EF DE ===， ∴AF =CF ，DF =EF ，∴四边形AECD 为平行四边形，∵=6AC DE =，∴四边形AECD 为矩形，∵点(3,2)A --，点C (3，-2)，纵坐标都是-2，-3≠3，∴AC ∥x 轴，∴AC ⊥y 轴，又∵点D ，E 在y 轴上，∵AC DE ⊥，∴四边形AECD 为正方形．故选项D 正确．故选择：C ．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，抛物线平移，平行四边形的判定，矩形判定，正方形判定，掌握以上知识、熟练应用数形结合思想是解题关键．2．（2021·广州大学附属中学九年级二模）对于题目“一段抛物线L ：()3y x x c =--+（03x ≤≤）与直线1l ：2y x =+有唯一公共点，若c 为整数，确定所有c 的值．”甲的结果是1c =．乙的结果是3c =或4，则（ ）A ．甲的结果正确B ．乙的结果正确C ．甲、乙的结果合在一起才正确D ．甲、乙结果合在一起也不正确【答案】D【解析】分两种情况进行讨论，①当抛物线与直线相切，△0=求得1c =，②当抛物线与直线不相切，但在03x ≤≤上只有一个交点时，找到两个临界值点，可得3c =，4，5，故3c =，4，5．【解答】解：抛物线:(3)(03)L y x x c x =--+与直线:2l y x =+有唯一公共点， ∴①如图1，抛物线与直线相切，联立解析式(3)2y x x c y x =--+⎧⎨=+⎩，得2220x x c -+-=，△2(2)4(2)0c =---=，解得：1c =，当1c =时，相切时只有一个交点，和题目相符 所以不用舍去；②如图2，抛物线与直线不相切，但在03x 上只有一个交点，此时两个临界值分别为(0,2)和(3,5)在抛物线上，c ∴的最小值2=，但取不到，c 的最大值5=，能取到，25c ∴<，又c 为整数，3c ∴=，4，5，综上，1c =，3，4，5，所以甲乙合在一起也不正确，故选：D ．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征和一元二次方程的根的判别式等知识点，数形结合是解此题的关键．二、解答题3．（2021·广东中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点()1,0-，且对任意实数x ，都有22412286x ax bx c x x -≤++≤-+．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x 轴的正半轴交点为A ，与y 轴交点为C ；点M 是（1）中二次函数图象上的动点．问在x 轴上是否存在点N ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =--；（2）存在，()1,0或()5,0或)2,0-或()2- 【解析】（1）令2412286x x x -=-+，解得123x x ==，可得函数2y ax bx c =++ 必过 (3,0)，再结合2y ax bx c =++ 必过 (1,0)-得出2b a =-，3c a =-，即可得到223y ax ax a =--，再根据242123x ax x a a --≤-，可看成二次函数223y ax ax a =--与一次函数412y x =-仅有一个交点，且整体位于412y x =-的上方，可得0a >，242123x ax x a a --=-有两个相等的实数根，再根据0∆=，可解得a 的值，即可求出二次函数解析式．（2）结合（1）求出点C 的坐标，设()2,23,(,0)M m m m N n --，①当AC 为对角线时，②当AM 为对角线时，③当AN 为对角线时,根据中点坐标公式分别列出方程组，解方程组即可得到答案．【解答】解：（1）令2412286x x x -=-+，解得123x x ==，当3x =时，24122860x x x -=-+=，∴2y ax bx c =++ 必过 (3,0)，又∵2y ax bx c =++ 必过 (1,0)-， ∴029303a b c b a a b c c a⎧-+==-⎧⇒⎨⎨++==-⎩⎩，∴223y ax ax a =--，即242123x ax x a a --≤-，即可看成二次函数223y ax ax a =--与一次函数412y x =-仅有一个交点，且整体位于412y x =-的上方∴0a >，∴242123x ax x a a --=-有两个相等的实数根∴0∆=∴2(24)4(123)0a a a +--=，∴2(1)0a -=，∴1a =，∴2b =-，3c =-，∴223y x x =--．（2）由（1）可知：(3,0)A ，(0,3)C -，设()2,23,(,0)M m m m N n --，①当AC 为对角线时，A C M N A Cn N x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩ ∴2300(3)230m n m m +=+⎧⎨+-=--+⎩，解得10m =（舍），22m =， ∴1n =，即1(1,0)N ．②当AM 为对角线时，A M C N AM C N x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩ ∴23002330m n m m +=+⎧⎨+--=-+⎩，解得10m =（舍）22m =， ∴5n =，即2(5,0)N ．③当AN 为对角线时，A N C M A N C Mx x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩ ∴23000323n m m m +=+⎧⎨+=-+--⎩，解得1217,17m m =+=-， ∴72n =-或27n =--， ∴43(72,0),(27,0)N N ---．综上所述：N 点坐标为()1,0或()5,0或()72,0-或()27,0--． 【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及到二次函数与不等式组，考查了平行四边形的存在性问题，利用中点公式，分类讨论是解题关键．4．（2021·广东广州市·九年级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于(1,0),(3,0)A B -两点，与y 轴交于点C ．点D 在抛物线上，且在第一象限．（1）求,b c 的值；（2）如图1，过点D 作DE x ⊥轴，求OE DE +的最大值；（3）如图2，连接,AC CD ，若3DCO ACO ∠=∠，求点D 的横坐标．【答案】（1）23b c =⎧⎨=⎩；（2）214；（3）3513 【解析】（1）将(1,0),(3,0)A B -代入2y x bx c =-++即可得答案；（2）设D 坐标为()2,23m m m -++，用m 代数式表示OE DE +，配方即可得最大值；（3）在x 轴上取点(1,0)F ，连接CF ，过A 作AG CF ⊥于G ，过F 作FM CF ⊥交CD 的延长线于M ，过M 作MN x ⊥轴于N ，先求AG 和CG ，设FCO ACO θ∠=∠=，则33DCO ACO θ∠=∠=，在Rt ACG 和Rt CFM △中由tan 2θ可得FM 长度，另一方面，设MN x =，利用COF FNM ∽对应边成比例，可用x 的代数式表达FM ，从而列方程求出x 得到M 坐标和直线CM 解析式，即可求出D 的横坐标．【解答】解：（1）将(1,0),(3,0)A B -代入2y x bx c =-++得： 01093b c b c=--+⎧⎨=-++⎩， 解得23b c =⎧⎨=⎩； （2）D 在抛物线上，设坐标为()2,23,(03)m m m m -++<<，则2,23OE m DE m m ==-++，()222321233324OE DE m m m m m m ⎛⎫∴+=+-++=-++=--+ ⎪⎝⎭， 03m <<，∴当32m =时，OE DE +取最大值，为214； （3）在x 轴上取点(1,0)F ，连接CF ，过A 作AG CF ⊥于G ，过F 作FM CF ⊥交CD 的延长线于M ，过M 作MN x ⊥轴于N ，如图：3,1OC OA OF ===，222,3110AF CF AC ∴===+=，1232ACF S AG =⨯⨯=，AG ∴=，5CG ∴==， 设FCO ACO θ∠=∠=，则33DCO ACO θ∠=∠=，2ACG MCF θ∴∠=∠=，3tan 24AG CG θ∴==， 34FM CF ∴=可得FM =， FM CF ⊥，90CFO MFN ∴∠+∠=︒，而90OCF CFO ∠+∠=︒，OCF MFN ∴∠=∠，MN x ⊥轴，90COF MNF ∴∠=∠=︒，COF FNM ∴∽，13MN OF FN OC ∴==，设MN x =，则3,FN x FM ====，解得34x =， 13313,44ON OF FN x MN ∴=+=+==， 133,44M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 设直线CM 解析式为3y kx =+，将133,44M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得： 313344k =+，解得913k =-， ∴直线CM 解析式为9313y x =-+，解2931323y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩得0x =（舍去）或3513x =， D ∴的横坐标是3513． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是构造辅助线，利用∠DCO =3∠ACO 这一条件，难度较大．5．（2021·广东阳江市·九年级二模）如图，点B ，C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，OB ，OC 的长分别为28120x x -+=的两个根()OC OB >，点A 在x 轴的负半轴上，且3OA OC OB ==，连接AC ．（1）求过A ，B ，C 三点的抛物线的函数解析式； （2）点P 从点C 出发，以每秒2个单位长度的速度沿CA 运动到点A ，点Q 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC 运动到点C ，连接PQ ，当点P 到达点A 时，点Q 停止运动，求CPQ S △的最大值；（3）M 是抛物线上一点，是否存在点M ，使得15ACM ∠=︒？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）21262y x x =--+；（2）922；（3）存在，M 2316434,33⎡---⎢⎣⎦或(423,43--- 【解析】（1）解x 2-8x+12=0得：x =6或2，故点B （2，0）、点C （0，6），由图象的旋转知，点A 、D 的坐标分别为（-6，0）、（0，2）；再用待定系数法即可求解；（2）由())2112626222CPQ P S CQ x t t t t =⨯⨯=⨯-=--△，即可求解； （3）分两种情况讨论①当点M 在AC 上方时，②当点M 在AC 下方时，解答即可．【解答】解：（1）由28120x x -+=得6x =或2x =．又∵OC OB >，∴点B 的坐标为()2,0，点C 的坐标为()0,6．∵OA OC =，∴点A 的坐标为()6,0-．设抛物线的函数解析式为2y ax bx c =++，将点A ，B ，C 的坐标代入2y ax bx c =++中，得36604206a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得1226a b c ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩．∴过A ，B ，C 三点的抛物线的函数解析式为21262y x x =--+． （2）∵OA OC =，∴45ACO ∠=︒．由题意得2PC t =，6CQ t =-，∴sin 452P x PC t =⋅︒=． ∴()()2112626222CPQ P S CQ x t t t t =⨯⨯=⨯-⨯=--△． ∵202-<，∴当3t =时，CPQ S △有最大值，最大值为922． （3）①如图，当点M 在AC 上方时，过点M 作ME x ⊥轴于点E ， 作MF y ⊥轴于点F ，连接MC ．∵15ACM ∠=︒，45ACO ∠=︒，∴60OCM ∠=︒．设点M 的坐标为()21,26602m m m m ⎛⎫--+-<< ⎪⎝⎭，则MF m =-． 在Rt MCF △中，∵tan MF CF MCF=∠， ∴33CF ==．∴36OF OC CF =-=+． ∵90MEO EOF MFO ∠=∠=∠=︒，∴四边形MEOF 是矩形．∴ME OF =．即21326623m m m --+=+，解得10m =（舍去），2343m =-- ∴316436ME m -==∴点M 的坐标为2316434,33⎡⎤---⎢⎥⎣⎦． ②如图，当点M 在AC 下方时，过点M 作MH x ⊥轴于点H ，设MC 与x 轴交于点G ，连接MC ．设点M 的坐标为()21,2662n n n n ⎛⎫--+<- ⎪⎝⎭， 则OH n =-，21262MH n n =+-． ∵15ACM ∠=︒，45CAO ∠=︒，∴60CGO HGM CAG ACM ∠=∠=∠+∠=︒．在Rt CGO △中，∵6OC =，∴23tan OC OG CGO ==∠ ∴23GH OH OG n =-=--在Rt MGH △中，tan 3MH GH HGM GH =⋅∠=， ∴2126362n n n +-=--， 解得10n =（舍去），2423n =--∴234GH n =--=，343MH GH ==∴点M 的坐标为(423,43---．综上所述，存在点M ，使得15ACM ∠=︒， 且点M 的坐标为2316434⎡--⎢⎣⎦或(423,43---． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形面积的计算，三角函数等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．6．（2021·广东汕头市·九年级一模）如图①，抛物线23y ax bx a =+-与x 轴负半轴交于点()1,0A -，与x 轴的另一交点为B ，与y 轴正半轴交于点()0,3C ，抛物线的对称轴与直线BC 相交于点M ，与x 轴交于点G ．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）抛物线的对称轴上存在点P ，使得APB ABC ∠=∠，利用图①求点P 的坐标；（3）如图②，抛物线的对称轴与抛物线相交于点E ，连接EB ，在抛物线上是否存在点Q （不与点E 重合），使得QMB EMB S S =△△？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析为2y x 2x 3=-++，对称轴为1x =；（2）(122P +，）或(122P -，-）；（3）点Q 的坐标为()23，，31711722⎛-- ⎝⎭，或31711722⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，． 【解析】（1）将()1,0A -，()0,3C 代入23yax bx a =+-，利用待定系数法即可求出抛物线解析式，并求出对称轴； （2）先由抛物线解析式求得3OB OC ==，并求出45ABC ∠=︒，再根据二次函数的对称性质及等腰三角形的性质推出MPB MBP ∠=∠，则由等腰三角形判定得MP MB =，最后由勾股定理及线段的和差关系可求出点P 的坐标；（3）先由三角形面积公式确定12EMB EM BG S =⋅△，求出相应的点坐标及直线的表达式，利用平面直角坐标系内点的坐标特点，则可分别从当EQ ∥BC 和GQ ∥BC 时求出点Q 的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线23y ax bx a =+-与x 轴交于点()1,0A -，与y 轴交于点()0,3C ，∴将()1,0A -，()0,3C 代入23yax bx a =+-得： 3033a b a a --=⎧⎨-=⎩， 解得12a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++；∴对称轴为12b x a=-=． （2）令0y =，得2230x x -++=，解得11x =-，23x =，∴3OB OC ==．∴45ABC ∠=︒．如图，当点P 在x 轴上方时，∵点P 在抛物线的对称轴上，∴PA PB =．∵45APB ABC ∠=∠=︒，∴()11804567.52PBA ∠=⨯︒-︒=︒． ∵PG AB ⊥， ∴122.52MPB APB ∠=∠=︒． ∴67.54522.5MBP ∠=︒-︒=︒．∴MPB MBP ∠=∠．∴MP MB =．在Rt BMG △中，45ABC ∠=︒，∴2BG MG ==，∴MB ==∴=MP∴2PG MG MP =+=+∴(12P +，．当点P 在x 轴下方时，由对称性可得P 点的坐标为(12P -，-．综上，符合条件的点P 的坐标为(12P +，或(12P -，-． （3）存在；∵()222314y x x x =-++=--+，E 为抛物线的顶点，∴E （1，4）． ∵12EMB EM BG S =⋅△． 由（2）得，M （1，2），∴422EM =-=，2BG =．设直线BC 的表达式为y kx b =+，将B （3，0），C （0，3）代入得，303k b b +=⎧⎨=⎩， 解得13k b =-⎧⎨=⎩．∴直线BC 的表达式为3y x =-+．设过点E 与BC 平行的直线与抛物线的交点为Q ，如图，当EQ ∥BC 时，QMB EMB S S =△△，则设直线EQ 的表达式为y x b =-+，将E （1，4）代入得，41b =-+解得5b =，∴直线EQ 的表达式为5y x =-+．∵直线5y x =-+与抛物线2y x 2x 3=-++交于点Q ，则2523y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩， 解得1114x y =⎧⎨=⎩，2223x y =⎧⎨=⎩．∴点Q 的坐标为（2，3）．∵4EG =，2EM =，∴2GM EM ==．设过点G 与BC 平行的直线与抛物线的交点为Q ，如图，当GQ ∥BC 时，QMB EMB S S =△△，则设直线GQ 的表达式为y x b =-+，将G （1，0）代入得，01b =-+，解得1b =，∴直线EQ 的表达式为1y x =-+．∵直线1y x =-+与抛物线2y x 2x 3=-++交于点Q ，则2123y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩， 解得11317117x y ⎧+=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩22317117x y ⎧-=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩．∴点Q 的坐标为31711722⎛-- ⎝⎭，或31711722⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，． 综上所述，当QMB EMB S S =△△时，点Q 的坐标为()23，，31711722⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，或31711722⎛-+ ⎝⎭，．【点评】本题属于二次函数综合问题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的对称性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．7．（2021·广东广州市第二中学九年级二模）已知关于x 的二次函数()()22110y kx k x k k =--++≠．（1）不论k 为何值，抛物线都会经过一个定点，求这个定点的坐标；（2）若抛物线上始终存在两个不重合的点关于原点对称，求k 的取值范围；（3）若抛物线经过()11,P y -，()25,Q y 两点，记抛物线在PQ 之间（含点P 、点Q ）的这部分图象为G ．若点P 既不是图象G 的最低点，也不是图象G 的最高点，求21y y 的取值范围． 【答案】（1）（1，2）；（2）−1＜k ＜0；（3）1＜21y y ＜10，且21y y ≠4． 【解析】（1）把原解析式转化为k （x 2−2x ＋1）＝y −x −1，根据不论k 为何值，抛物线都会经过一个定点，可得221010x x y x ⎧-+=⎨--=⎩，即可求出定点坐标；（2）把两个关于原点对称的点的坐标分别代入抛物线里，两式相加，再根据2010k x k +≥＝-，，求出k 的取值范围；（3）先把P ，Q 坐标代入抛物线，求出y 1，y 2，再根据点P 既不是图象G 的最低点，也不是图象G 的最高点，可得−1＜112k-＜2，求出k 的范围，进而即可求解． 【解答】解：（1）原解析式可化为： k （x 2−2x ＋1）＝y −x −1，∵不论k 为何值，抛物线都会经过一个定点，∴221010x x y x ⎧-+=⎨--=⎩，解得：12x y =⎧⎨=⎩， ∴恒过定点（1，2）；（2）由题意可知，若（x 0，y 0）在抛物线上，则关于原点对称的点（-x 0，-y 0）也在抛物线上，∴()()20002000211211y kx k x k y kx k x k ⎧=--++⎪⎨-=+-++⎪⎩， 两式相加得：()202210kxk ++=， ∵k ≠0， ∴2010k x k+≥＝-， ∴−1≤k ＜0，当k ＝−1时，x 0＝0，y 0＝0（舍去），∴−1＜k ＜0；（3）∵抛物线经过P （−1，y 1），Q （5，y 2）两点，∴y 1＝4k ，y 2＝16k ＋6，∵点P 既不是图象G 的最低点，也不是图象G 的最高点， 抛物线的对称轴：直线211122k x k k --==， 且对称轴靠近P 点，即靠近x =−1，∴−1＜112k -＜2， ∴−2＜1k＜4，且k ≠0 ∵211663442y k y k k+=＝+， ∴−3＜32k＜6，且k ≠0， ∴1＜21y y ＜10，且21y y ≠4， 综上，21y y 取值范围：1＜21y y ＜10，且21y y ≠4． 【点评】本题是一道二次函数的综合题，考查了含有参数的抛物线恒过定点，关于原点对称的点的坐标之间的关系，掌握抛物线的对称性是解题的关键．8．（2021·广东广州市·九年级一模）已知，抛物线y ＝mx 2＋94x ﹣4m 与x 轴交于点A （﹣4，0）和点B ，与y 轴交于点C ．点D （n ，0）为x 轴上一动点，且有﹣4＜n ＜0，过点D 作直线1⊥x 轴，且与直线AC 交于点M ，与抛物线交于点N ，过点N 作NP ⊥AC 于点P ．点E 在第三象限内，且有OE ＝OD ．（1）求m 的值和直线AC 的解析式．（2）若点D 在运动过程中，12AD ＋CD 取得最小值时，求此时n 的值． （3）若点△ADM 的周长与△MNP 的周长的比为5∶6时，求AE ＋23CE 的最小值．【答案】（1）34m =；334y x =--；（2）n =（3【解析】（1）利用待定系数法将A （﹣4，0）代入y ＝mx 2＋94x ﹣4m ，求出m 的值，即可求得抛物线解析式，令0x =，求出点C 的坐标，设直线AC 的解析式为y kx b =+，将A 、C 的坐标代入即可求出答案； （2）在x 轴上方作射线AM ，使30MAO ∠=︒，过点D 作DK AM ⊥于K ，当C 、D 、K 在同一条直线上时，CD DK +最小，即12AD CD +取得最小值时，60CDO ADK ∠=∠=︒，应用三角函数定义即可求出答案； （3）根据ADM 的周长与MNP △的周长的比为5∶6，可得出3DN DM =，建立方程求出n 的值，再y 轴上取一点R ，使得43OR =，连接AR ，再AR 上取一点E 使得OE=OD ，构造相似三角形，可以证明AR 就是23AE CE +的最小值． 【解答】解：（1）∵抛物线y ＝mx 2＋94x ﹣4m 与x 轴交于点A （﹣4，0）， ∴29(4)(4)404m m -+⨯--=， 解得：34m =， ∴抛物线解析式为239344y x x =+-， 令0x =，得3y =-，设直线AC 的解析式为y kx b =+，∵(4,0),(0,3)A C --，∴403k b b -+=⎧⎨=-⎩， 解得：343k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC 的解析式为334y x =--． （2）∵A （﹣4，0），(0)D n ，为x 轴上一动点，且40n -<<， ∴(4)4AD n n =--=+，在x 轴上方作射线AM ，使30MAO ∠=︒，过点D 作DK AM ⊥于K ，如图1，∴90AKD ∠=︒， ∴1,602DK AD ADK =∠=︒， 当C 、D 、K 在通一条直线上时，AD +DK 最小， 即12AD CD +取得最小值时，60CDO ADK ∠=∠=︒， ∵90OD n COD =-∠=︒，， ∴tan tan 60OC CDO OD =∠=︒，即33n =- ∴3n =（3）∵DM x ⊥轴，NP AC ⊥，∴90ADM NPM ∠=∠=︒，∵AMD NMP ∠=∠，∴AMD NMP ∽， ∵ADM 的周长与MNP △的周长的比为5∶6， ∴56AM MN =， ∵3sin 5DM OC DAM AM AC =∠==， ∴12DM MN =， ∴3DN DM =， ∵2339+33444DM n DN n n ==--+，， ∴23933=3(3)444n n n --++， 解得：1224n n =-=-，(舍去)，∴(2,0)D -，∴2OD =，如图2中，在y 轴上取一点R ，使得43OR =，连接AR ， 在AR 上取一点E 使得2OE OD ==，∵42343OE OR OC ==⨯=，， ∴2OE OR OC =， ∴OE OC OR OE =， ∵COE ROE ∠=∠，∴ROE EOC ∽，∴23RE OE CE OC ==， ∴23RE CE =， ∴当A R E 、、共线时，23AE CE AE ER AR +=+=， 此时23AE CE +最小， ∴23AE CE +的最小值22=AR OA OR =+22444()1033=+= 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、一次函数图像和性质、二次函数图像与性质，最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AR就是23AE CE的最小值；题目综合性很强，难度大，对学生数学能力考查较全面，属于中考压轴题．9．（2021·广东华侨中学九年级二模）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣12x＋2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣12x2＋bx＋c的对称轴是直线x＝32与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为抛物线对称轴上一动点，当|BM﹣CM|的值最小时，求出点M的坐标；（3）抛物线上是否存在点N，过点N作NH⊥x轴于点H，使得以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣12x2+32x+2；（2）M（32，0）；（3）存在，点N的坐标为（﹣5，﹣18）或（﹣2，﹣3）或（0，2）或（3，2）【解析】（1）利用待定系数法直接得出结论；（2）先判断出|BM﹣CM|最小时，BM＝CM，建立方程求解即可得出结论；（3）先判断出∠ACB＝∠BHN＝90°，分两种情况，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解即可得出结论．【解答】解：（1）针对于y＝﹣12x+2，令x＝0，则y＝2，∴C（0，2），令y＝0，则0＝﹣12x+2，∴x＝4，∴B（4，0），∵点C在抛物线y＝﹣12x2+bx+c上，∴c＝2，∴抛物线的解析式为y＝﹣12x2+bx+2，∵点B（4，0）在抛物线上，∴﹣8+4b+2＝0，∴b＝32，∴抛物线的解析式为y＝﹣12x2+32x+2；（2）∵|BM﹣CM|最小，∴|BM﹣CM|＝0，∴BM＝CM，∴BM2＝CM2，设M（32，m），∵B（4，0），C（0，2），∴BM2＝（4﹣32）2+m2，CM2＝（32）2+（m﹣2）2，∴（4﹣32）2+m2＝（32）2+（m﹣2）2，∴m＝0，∴M（32，0）；（3）存在，理由：由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣12x2+32x+2，令y＝0，则0＝﹣12x2+32x+2，∴x＝4或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∵B（4，0），C（0，2），∴BC2＝20，AC2＝5，AB2＝25，∴CB2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∵NH⊥x轴，∴∠BHN＝90°＝∠ACB，设N（n，﹣12n2+32n+2），∴HN＝|﹣12n2+32n+2|，BH＝|n﹣4|，∵以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似，∴①△BHN∽△ACB，∴BH HN AC BC，∴|4|5n -＝213|2|2225n n -++， ∴n ＝﹣5或n ＝3或n ＝4（舍），∴N （﹣5，﹣18）或（3，2），②△BHN ∽△BCA ，∴BH HN BC AC=， ∴|4|25n -＝213|2|225n n -++， ∴n ＝0或n ＝4（舍）或n ＝﹣2，∴N （0，2）或（﹣2，﹣3），即满足条件的点N 的坐标为（﹣5，﹣18）或（﹣2，﹣3）或（0，2）或（3，2）．【点评】本题主要考查了一次函数与二次函数的性质、相似三角形的性质，运用数形结合与分类讨论的方法是解题的关键．10．（2021·广东汕头市·九年级一模）如图，在平面直角坐标系中，215324y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．连接BC ，点D (t ，0)为线段OB 上一动点（不与O 、B 重合），DF ⊥x 轴交抛物线于点F ，交线段BC 于点E ．连接AE 、CF ．（1）求点A 、点B 和点C 的坐标；（2）设ADE 的面积为S ，求S 的最大值；（3）若CEF 为等腰三角形，请直接写出t 的值．【答案】（1）A (32-，0)，B (4，0)，C (0，-3)；（2）363128；（3）t 的值为1，32或2312【解析】（1）分别把y =0和x =0代入函数解析式，即可求出点A 、点B 和点C 的坐标； （2）先求出BC 解析式为334y x =-，根据点D 坐标为（t ，0），则E （t ，334t -），根据三角形面积公式即可得到S 关于t 的函数关系式，根据二次函数性质即可求解；（3）分别用含t 的式子表示出EF 2，2CE ，2CF 分CE =EF 、CF =CE 、CF =EF 三种情况分类讨论求解，舍去不合题意的解，问题得解．【解答】解：（1）当y =0时，2153024x x --=， 解得：132x =-，24x =， ∴A （32-，0），B （4，0）， 当x =0时，y =-3，∴C （0，-3）；（2）∵B （4，0），C （0，-3），∴BC 解析式为334y x =-. ∵DF ⊥x 轴，交线段BC 于点E ，∵点D 坐标为（t ，0），∴E （t ，334t -）， ∴DE =334t -+，AD =32t +， ∴S =1133(3)()2242DE AD t t ⋅=-++ 231598164t t =-++ 23536384128t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， ∴S 的最大值为363128； （3）∵点D 坐标为（t ，0）， ∴点F 坐标为215,324t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴EF 2=222215313322442t t t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫----=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 作CG ⊥EF 于G ，则22222516CE CG EG t =+=， 2222222221515332424CF CG FG t t t t t t ⎛⎫⎛⎫=+=+--+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ①当CE =EF 时，222251=2162t t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得1231330,,22t t t ===， ∵04t ＜＜，∴32t =； ②当CF =CE 时，222225151624t t t t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ，解得1230,1,4t t t ===， ∵04t ＜＜∴1t =；③当CF =EF 时，222221152224t t t t t ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得12230,12t t ==， ∵04t ＜＜，∴2312t =； t 的值为1，32或2312．【点评】本题为二次函数综合题，考查了二次函数、勾股定理、等腰三角形分类讨论等知识，理解二次函数图象与性质，根据勾股定理表示出线段长，理解等腰三角形分类讨论思想是解题关键．11．（2021·东莞外国语学校九年级一模）如图，直线333y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线23y x bx c =++经过A 、B ，且与x 轴交于点C ，连接BC ．（1）求b、c的值；（2）点P为线段AC上一动点（不与A、C重合），过点P作直线PD∥AB，交BC于点D，连接PB，设PC＝n，△PBD的面积为S，求S关于n的函数关系式，并写出自变量n的取值范围；（3）在（2）的条件下，当S最大时，点M在抛物线上，在直线PD上，是否存在点Q，使以M、Q、P、B为顶点为四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）b 3c3（2）S＝﹣310n2+32n（0＜n＜5）；（3）存在，点Q的坐标为（52，3或（﹣723．【解析】（1）先求直线333y x=+与两轴交于A、B两点坐标，点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（0，3，利用待定系数法求抛物线解析式；（2）由抛物线解析式求与x轴的另一交点C（2，0），可证△ABC∽△PBC，解得y D 3n，用面积差求S＝S△PCB﹣S△PCD＝﹣310n2+32n（0＜n＜5）；（3）先配方由S＝235531028n⎛⎫--+⎪⎝⎭，当n＝52时，S最大，求出点P的坐标为（﹣12，0），利用待定系数法求直线PD的表达式为y 3x+36，设点M坐标为（m，n），则n＝﹣36m2﹣36m3设点Q的坐标为（x 3+36），分类讨论，①当PB是边时，当PQ∥BM，且PQ=BM，此时点M（-3，0）利用平移可求Q1（﹣723；当BQ∥PM，且BQ=PM，此时BM中点在直线PD上，进而可求Q2（532，②当PB是对角线时，同理可求点Q的坐标为（523．【解答】解：（1）∵直线33y x=+与两轴交于A、B两点，令y=0,3x ，解得x ＝﹣3， 令x ＝0，则y故点A 、B 的坐标分别为（﹣3，0）、（0，∵抛物线26y x bx c =++经过A 、B ， ∴将点A 、B的坐标代入抛物线表达式得2(3)306b c c ⎧---+=⎪⎨⎪=⎩，解得b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即b＝﹣6，c； （2）由（1）知，抛物线的表达式为y＝﹣6x 2﹣6x当y =0x 2， 解得x =-3，x =2，∵A （-3，0），∴C （2，0），AC ＝2-（-3）=2+3=5，∵PD ∥AB ，∴∠BAC =∠DPC ，∠ABC =∠PDC ，△ABC ∽△PDC ， ∴D OB AC y PC =，即5D y n=， 解得y D＝5， 则S ＝S △PCB ﹣S △PCD ＝12×PC ×（y B ﹣y D ）＝12××nn 2（0＜n ＜5）；（3）由S 323)223355352n n n ⎫-=-⎪⎝⎭ 知，当n ＝52时，S 最大， ∴PC =52，OP =PC -OC =52-2=12 点P 在x 轴负半轴上 ∴点P 的坐标为（﹣12，0）， 设PD 解析式为11y k x b =+∵PD ∥AB ， ∴13k ， ∴11102k b -+=，1133=236b =⨯ 直线PD 的表达式为y 3+36， 设点M 坐标为（m ，n ），则n 3233 设点Q 的坐标为（x 33）， ①当PB 是边时， 当PQ ∥BM ，且PQ=BM ，此时点M （-3，0）则点B 向左平移33M ，同样点P 向左平移33到点Q ，故Q 1（﹣72，﹣3）； 当BQ ∥PM ，且BQ =PM ， 此时BM 中点在直线PD 上， BM 中点坐标，x =2m ，y =32n +， 23+3326633366n m n m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩， 解得20m n =⎧⎨=⎩， 点P 向右平移2,5个单位得到M ，点B 向右平移2,5个点位得到Q ， 则Q 2（532，），②当PB 是对角线时，由中点坐标公式得：12（0﹣12）＝12（x +m ）且12（3）＝12（n 33， 整理得62363n m -=∴23336363n n m ⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩解得30m n =-⎧⎨=⎩或03m n =⎧⎪⎨=⎪⎩故点Q 的坐标为（52，3）． 综上，点Q 的坐标为（52，3）或（﹣72，﹣3）． 【点评】本题考查待定系数法求抛物线解析式与直线解析式，相似三角形判定与性质，三角形面积配方变为顶点式，利用平行四边形性质构造平行四边形，分类考虑PB 为边和对角线，利用平移，及中点坐标公式，解方程组与二元二次方程组，试题难度较大，综合性较强，熟练掌握相关知识，应用灵活是解题关键．12．（2021·广东江门市·九年级一模）如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴相交于(1,0)A -，(,0)B m 两点，与y 轴相交于点(0,3)C -，抛物线的顶点为D ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E 在x 轴上，且ECB CBD ∠=∠，求点E 的坐标；（3）若P 是直线BC 下方抛物线上任意一点，过点P 作PH x ⊥轴于点H ，与BC 交于点M ．当线段PM 取到最大值时，若F 为y 轴上一动点，求22PH HF ++的最小值． 【答案】（1）223y x x =--；（2）点E 的坐标是3,02⎛⎫⎪⎝⎭或()6,0；（3）2154 【解析】（1）利用待定系数法求解； （2）先求出顶点(1,4)D -，B （3,0），连接BD ，求出直线BD 的解析式为26y x =-，利用ECB CBD∠=∠得到CE ∥BD ，由此求出直线CE 的解析式为23y x =-得到点E 的坐标；同理求出点E 在点B 的右侧时点E 的坐标；（3）求得直线BC 的解析式为3y x =-．设()2,23P x x x --，则(,3)M x x ，得到PM 23924x ⎛⎫--+ ⎪⎭=⎝，利用函数性质得到当32x =时，PM 有最大值为94，此时315,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．在x 轴的负半轴上取一点K ，过点F 作FN CK ⊥于点N ，由此得到当N ，F ，H 三点共线时，PH +HN 最小，即PH +HF +22CF 的值最小，求出NH ，即可得到答案．【解答】解：（1）把点(1,0)A -，(0,3)C -代入抛物线2y x bx c =++， 得103b c c -+=⎧⎨=-⎩，解得23b c =-⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为223y x x =--．（2）()222314y x x x =--=--， ∴顶点(1,4)D -．当0y =时，2230x x --=，解得3x =或-1．(3,0)∴B ．如图，连接BD ．设直线BD 的解析式为()3y k x =-．将点D 坐标代入，得24k -=-，解得2k =．∴直线BD 的解析式为26y x =-．ECB CBD ，//CE BD ∴．设直线CE 的解析式为2y x t =+．将点C 坐标代入，得3t =-．∴直线CE 的解析式为23y x =-．当0y =时，32x =． ∴此时点E 的坐标为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭． 同理，当点E 在点B 的右侧时，点E 的坐标是()6,0．综上所述，点E 的坐标是3,02⎛⎫⎪⎝⎭或()6,0． （3）如图．∵点(3,0)B ，(0,3)C -，设直线BC 的解析式为：y kx b =+则303k b b +=⎧⎨=-⎩解得：13k b =⎧⎨=-⎩∴直线BC 的解析式为3y x =-．设()2,23P x x x --，则(,3)M x x ． ()()22239323324PM x x x x x x ⎛⎫∴=----=-+=--+ ⎪⎝⎭． ∴当32x =时，PM 有最大值为94，此时315,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 在x 轴的负半轴上取一点K ，使45OCK ∠=︒，过点F 作FN CK ⊥于点N ．22FN CF ∴=． 当N ，F ，H 三点共线时，PH +HN 最小，即PH +HF 2的值最小， 在Rt OCK △中，45OCK ∠=︒，3OC =，3OK． 32OH ， 39322KH ． 在Rt KNH 中，45NKH ∠=︒，29224NH KH ∴==． 22PH HFCF 的最小值是92154PH NH ++=． 【点评】此题考查的是抛物线的综合知识，利用待定系数法求抛物线的解析式，平行线的性质的运用，二次函数的最值问题，利用锐角三角函数求线段长度，综合掌握各知识点是解题的关键．13．（2021·广东深圳市·九年级一模）如图，抛物线29(0)4=++≠y ax x c a 与x 轴相交于点(1,0)A -和点B ，与y 轴相交于点(0,3)C ，作直线BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC 上方的抛物线上存在点D ，使2∠=∠DCB ABC ，求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，点F 的坐标为70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，点M 在抛物线上，点N 在直线BC 上，当以,,,D F M N 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N 的坐标．【答案】（1）239344y x x =-++；（2）点D 坐标为92,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）126666,3434N N ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，344,4N N ⎛⎛+ ⎝⎭⎝⎭【解析】（1）将A 、C 点坐标分别代入抛物线中，联立即可求得a 和c 的值，从而求出抛物线解析式； （2）过点C 作//CE x 轴交抛物线于点E ，则ECB ABC =∠∠，过点C 作DCE ABC ∠=∠交抛物线于点D ，设239,344D t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，借助DCH CBO ∽，即可求得t 的值，从而求得D 点坐标； （3）先求出直线BC 的解析式，设3(,3)4N n n ，分DF 为边和DF 为对角线两种情况讨论，表示出M 点坐标，代入抛物线中求得n 的值，即可得出N 点坐标．【解答】解：（1）：抛物线294y ax x c =++经过点(1,0),(0,3)A B - 9043a c c ⎧-+=⎪∴⎨⎪=⎩，解得343a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为239344y x x =-++ （2）过点C 作//CE x 轴交抛物线于点E ，则ECB ABC =∠∠过点C 作DCE ABC ∠=∠交抛物线于点D过点D 作DH CE ⊥于点H ，则90DHC ∠=︒2DCB DCE ECB ABC ∴∠=∠+∠=∠90,DHC COB DCH ABC ∠=∠=︒∠=∠DCH CBO ∴∽DH CH CO BO ∴= 设点D 的横坐标为t ，则239,344D t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ (0,3)C23944DH t t ∴=-+ ∵点B 是239344y x x =-++与x 轴的交点 2393044x x ∴-++=， 解得124,1x x ==-B ∴的坐标为(4,0)4OB ∴=，2394434t t t -+∴= 解得10t =（舍去），22t =∴点D 的纵坐标为：23993442t t -++= 则点D 坐标为92,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）设直线BC 的解析式为：y kx b =+，将C （0,3），B （4，0）分别代入得，304b k b =⎧⎨=+⎩，解得334b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴直线BC 的解析式为：334y x =-+， 设3(,3)4N n n ，①当FD 为平行四边形的边时，如图，当N 点在M 点左侧时，则M N D F M N D F x x x x y y y y -=-⎧⎨-=-⎩即23(3)14M M x n y n -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩整理得2344M M x n y n =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，即3(2,4)4M n n , 故239()()34422443n n n -+++=-++， 解得：63n ， 此时126666,3,,33434N N ⎛⎛--+ ⎝⎭⎝⎭；同理当N 点在M 点右侧时可得3(2,2)4M n n ， 故23222439()()344n n n =-+-+-+-， 解得6643n ， 此时34666666664,43434N N ⎛⎛+-- ⎝⎭⎝⎭； ①当FD 为平行四边形的对角线时，则M N D F M N D F x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩,即0229733(3)52244M M x n n y n n =+-=-⎧⎪⎨=+--+=+⎪⎩故239()()34352244n n n +---=++，整理得2320n ，该方程无解． 综上所述：126666,3434N N ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，34666666664,,43434N N ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点评】本题考查二次函数综合，分别考查了求二次函数解析式，相似三角形的性质，和二次函数与平行四边形问题．（1）中直接代入点的坐标即可，难度不大；（2）中能正确作辅助线，构造相似三角形是解题关键；（3）中能分类讨论是解题关键，需注意平行四边形对边平行且相等，可借助这一点结合图象表示M 点坐标．14．（2021·广州市第十六中学九年级二模）在平面直角坐标系xOy 中，1C ：二次函数(233y mx m x =+（0m >）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）且4AB =，与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的表达式；（2）将抛物线1C 向上平移n 个单位，得到抛物线2C ，当302x ≤≤时，抛物线2C 与x 轴只有一个公共点，结合函数图象，求出n 的取值范围；（3）将ACB △绕AB 的中点Q 旋转180︒，得到BDA ，若点M 是线段AD 上一动点，MB NB ⊥交直线AC 于点N ，点P 为线段MN 的中点，当点M 从点D 向点A 运动时．①求tan NMB ∠的值如何变化？请说明理由；②求点到达点A 时，直接写出点P 经过的路线长．【答案】（1）2323333y x x =--（2）5334n <433n =（3）①不变，理由见解析；②3【解析】（1）将二次函数解析式变为交点式，可求点A 的坐标，根据4AB =，可得抛物线对称轴为：1x =，根据对称轴公式可求m ．即可得到二次函数1C 的表达式；（2）设抛物线2C 的表达式为223y x x n =--+，当抛物线2C 经过点3(2，0)时，代入可求n 的值，计算此时在302x ≤≤时与x 轴的两个交点，当抛物线2C 经过点(0,0)时，代入可求n 的值，再计算抛物线2C 与x 轴只有一个公共点时n 的值，从而求解；（3）①先求得四边形ACBD 是矩形，证明BDM BCN ∆∆∽，列比例式并结合三角函数定义可得结论； ②首先证明点P 经过的路径是线段PQ 的长，如图2，根据三角形中位线定理即可求得．【解答】解：（1）2(3)3(3)(1)y mx m x mx x =++，当1x =-时，0y =，(1,0)A ∴-，4AB =，(1,0)A -，∴抛物线对称轴为：1x =，312m m -∴-=， 33m ∴=， ∴抛物线1C 的表达式为2323333y x x =--； （2）设抛物线2C 的表达式为2323333y x x n =--+， 当抛物线2C 经过点3(2，0)时，得534n =，此时抛物线2C ：在302x ≤≤时与x 轴有两个交点， 当抛物线2C 经过点(0,0)时，得3n =，若2233()4(3)033n --⨯⨯-+=， 解得：433n =， 当433n =时，当抛物线2C 与x 轴只有一个公共点，此公共点为(1,0)， 综上所述，n 的取值范围是5334n ≤<或433n =； （3）①tan NMB ∠的值为定值，不发生变化； 如图1中，Rt AOC ∆中，1OA =，3OC = 30ACO ∴∠=︒，60OAC ∠=︒，Rt BCO ∆中，3OB =，BC ∴==30OBC ∴∠=︒，60BCO ∠=︒，90ACB ∴∠=︒，由旋转得：90D ACB ∠=∠=︒，60ABD OAC ∠=∠=︒，D ，90CBD ∴∠=︒，∴四边形ADBC 是矩形，(3,0)B ，D ，2BD ∴=，90MBN DBC ∠=∠=︒，DBM CBN ∴∠=∠，90MAN MBN ∠=∠=︒，M ∴，A ，N ，B 四点共圆，DMB BNC ∴∠=∠，BDM BCN ∴∆∆∽，∴BM BD BN BC ===，tan BN NMB BM ∠==， tan NMB ∴∠的值为定值，不发生变化；②如图2，当M 在点D 时，P 与Q 重合，当M 与A 重合时，P 在直线AC 上，∴点P 经过的路线长是线段PQ 的长，Rt MBN ∆中，4AB =，30BNM ∠=︒，8MN ∴=，43BN = Q 是AB 的中点，P 是MN 的中点，PQ ∴是ABN ∆的中位线，1232PQ BN ∴== 即点M 到达点A 时，点P 经过的路线长是23【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角函数，含30度角的直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，利用相似三角形解决问题，属于中考压轴题．15．（2021·广东佛山市·九年级二模）已知抛物线223y x x =--交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C ，顶点为D ，对称轴与x 轴相交于点E ．。
05解答题(提升题)-广东省省卷五年(2017-2021)中考数学真题分类汇编(含答案,13题)
05解答题（提升题）知识点分类一．反比例函数综合题（共1小题）1．（2020•广东）如图，点B是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG．（1）填空：k＝ ；（2）求△BDF的面积；（3）求证：四边形BDFG为平行四边形．二．抛物线与x轴的交点（共1小题）2．（2017•广东）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B （3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．（1）求抛物线y＝﹣x2+ax+b的解析式；（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．三．二次函数综合题（共4小题）3．（2020•广东）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC＝CD．（1）求b，c的值；（2）求直线BD的函数解析式；（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．4．（2019•广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x﹣与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x 轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE．（1）求点A、B、D的坐标；（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；（3）如图2，过顶点D作DD1⊥x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x 轴，点M为垂足，使得△PAM与△DD1A相似（不含全等）．①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；②直接回答这样的点P共有几个？5．（2018•广东）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y＝ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B 两点，直线y＝x+m过顶点C和点B．（1）求m的值；（2）求函数y＝ax2+b（a≠0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2021•广东）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0），且对任意实数x，都有4x ﹣12≤ax2+bx+c≤2x2﹣8x+6．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．四．菱形的性质（共1小题）7．（2017•广东）如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD＝∠FAD，∠BAD为锐角．（1）求证：AD⊥BF；（2）若BF＝BC，求∠ADC的度数．五．圆的综合题（共2小题）8．（2018•广东）如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E．（1）证明：OD∥BC；（2）若tan∠ABC＝2，证明：DA与⊙O相切；（3）在（2）条件下，连接BD交⊙O于点F，连接EF，若BC＝1，求EF的长．9．（2019•广东）如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．（1）求证：ED＝EC；（2）求证：AF是⊙O的切线；（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝25，求BG的长．六．几何变换综合题（共1小题）10．（2018•广东）已知Rt△OAB，∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，斜边OB＝4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如图1，连接BC．（1）填空：∠OBC＝ °；（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N 沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y 取得最大值？最大值为多少？七．相似三角形的判定与性质（共1小题）11．（2017•广东）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：CB是∠ECP的平分线；（2）求证：CF＝CE；（3）当＝时，求劣弧的长度（结果保留π）八．相似形综合题（共1小题）12．（2017•广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连接BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为 ；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证：＝；②设AD＝x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．九．扇形统计图（共1小题）13．（2017•广东）某校为了解九年级学生的体重情况，随机抽取了九年级部分学生进行调查，将抽取学生的体重情况绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，请根据图表信息回答下列问题：体重频数分布表组边体重（千克）人数A45≤x＜5012B50≤x＜55mC55≤x＜6080D60≤x＜6540E65≤x＜7016（1）填空：①m＝ （直接写出结果）；②在扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数等于 度；（2）如果该校九年级有1000名学生，请估算九年级体重低于60千克的学生大约有多少人？参考答案与试题解析一．反比例函数综合题（共1小题）1．（2020•广东）如图，点B是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG．（1）填空：k＝ 2 ；（2）求△BDF的面积；（3）求证：四边形BDFG为平行四边形．【解析】解：（1）设点B（s，t），st＝8，则点M（s，t），则k＝s•t＝st＝2，故答案为2；（2）连接OD，则△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA﹣S△OAD＝×8﹣×2＝3；（3）设点D（m，），则点B（4m，），∵点G与点O关于点C对称，故点G（8m，0），则点E（4m，），设直线DE的表达式为：y＝px+n，将点D、E的坐标代入上式得并解得，直线DE的表达式为：y＝﹣，令y＝0，则x＝5m，故点F（5m，0），故FG＝8m﹣5m＝3m，而BD＝4m﹣m＝3m＝FG，又∵FG∥BD，故四边形BDFG为平行四边形．二．抛物线与x轴的交点（共1小题）2．（2017•广东）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B （3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．（1）求抛物线y＝﹣x2+ax+b的解析式；（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．【解析】解：（1）将点A、B代入抛物线y＝﹣x2+ax+b可得，，解得，a＝4，b＝﹣3，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3；（2）∵点C在y轴上，所以C点横坐标x＝0，∵点P是线段BC的中点，∴点P横坐标x P＝＝，∵点P在抛物线y＝﹣x2+4x﹣3上，∴y P＝﹣3＝，∴点P的坐标为（，）；（3）∵点P的坐标为（，），点P是线段BC的中点，∴点C的纵坐标为2×﹣0＝，∴点C的坐标为（0，），∴BC＝＝，∴sin∠OCB＝＝＝．三．二次函数综合题（共4小题）3．（2020•广东）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC＝CD．（1）求b，c的值；（2）求直线BD的函数解析式；（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．【解析】解：（1）∵BO＝3AO＝3，∴点B（3，0），点A（﹣1，0），∴抛物线解析式为：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣x﹣，∴b＝﹣，c＝﹣；（2）如图1，过点D作DE⊥AB于E，∴CO∥DE，∴，∵BC＝CD，BO＝3，∴＝，∴OE＝，∴点D横坐标为﹣，∴点D坐标为（﹣，+1），设直线BD的函数解析式为：y＝kx+m，由题意可得：，解得：，∴直线BD的函数解析式为y＝﹣x+；（3）∵点B（3，0），点A（﹣1，0），点D（﹣，+1），∴AB＝4，AD＝2，BD＝2+2，对称轴为直线x＝1，∵直线BD：y＝﹣x+与y轴交于点C，∴点C（0，），∴OC＝，∵tan∠CBO＝＝，∴∠CBO＝30°，如图2，过点A作AK⊥BD于K，∴AK＝AB＝2，∴DK＝＝＝2，∴DK＝AK，∴∠ADB＝45°，如图，设对称轴与x轴的交点为N，即点N（1，0），若∠CBO＝∠PBO＝30°，∴BN＝PN＝2，BP＝2PN，∴PN＝，BP＝，当△BAD∽△BPQ，∴，∴BQ＝＝2+，∴点Q（1﹣，0）；当△BAD∽△BQP，∴，∴BQ＝＝4﹣，∴点Q（﹣1+，0）；若∠PBO＝∠ADB＝45°，∴BN＝PN＝2，BP＝BN＝2，当△DAB∽△BPQ，∴，∴，∴BQ＝2+2∴点Q（1﹣2，0）；当△BAD∽△PQB，∴，∴BQ＝＝2﹣2，∴点Q（5﹣2，0）；综上所述：满足条件的点Q的坐标为（1﹣，0）或（﹣1+，0）或（1﹣2，0）或（5﹣2，0）．4．（2019•广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x﹣与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x 轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE．（1）求点A、B、D的坐标；（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；（3）如图2，过顶点D作DD1⊥x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x 轴，点M为垂足，使得△PAM与△DD1A相似（不含全等）．①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；②直接回答这样的点P共有几个？【解析】解：（1）令x2+x﹣＝0，解得x1＝1，x2＝﹣7．∴A（1，0），B（﹣7，0）．由y＝x2+x﹣＝（x+3）2﹣2得，D（﹣3，﹣2）；（2）证明：∵DD1⊥x轴于点D1，∴∠COF＝∠DD1F＝90°，∵∠D1FD＝∠CFO，∴△DD1F∽△COF，∴＝，∵D（﹣3，﹣2），∴D1D＝2，OD1＝3，∵AC＝CF，CO⊥AF∴OF＝OA＝1∴D1F＝D1O﹣OF＝3﹣1＝2，∴＝，∴OC＝，∴CA＝CF＝FA＝2，∴△ACF是等边三角形，∴∠AFC＝∠ACF，∵△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，∴∠ECF＝∠AFC＝60°，∴EC∥BF，∵EC＝DC＝＝6，∵BF＝6，∴EC＝BF，∴四边形BFCE是平行四边形；（3）∵点P是抛物线上一动点，∴设P点（x，x2+x﹣），①当点P在B点的左侧时，∵△PAM与△DD1A相似，∴或＝，∴＝或＝，解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣11或x1＝1（不合题意舍去）x2＝﹣；当点P在A点的右侧时，∵△PAM与△DD1A相似，∴＝或＝，∴＝或＝，解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣3（不合题意舍去）或x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣（不合题意舍去）；当点P在AB之间时，∵△PAM与△DD1A相似，∴＝或＝，∴＝或＝，解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣3（不合题意舍去）或x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣；综上所述，点P的横坐标为﹣11或﹣或﹣；②由①得，这样的点P共有3个．5．（2018•广东）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y＝ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B 两点，直线y＝x+m过顶点C和点B．（1）求m的值；（2）求函数y＝ax2+b（a≠0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）将（0，﹣3）代入y＝x+m，可得：m＝﹣3；（2）将y＝0代入y＝x﹣3得：x＝3，所以点B的坐标为（3，0），将（0，﹣3）、（3，0）代入y＝ax2+b中，可得：，解得：，所以二次函数的解析式为：y＝x2﹣3；（3）存在，分以下两种情况：①若M在B上方，设MC交x轴于点D，则∠ODC＝45°+15°＝60°，∴OD＝OC•tan30°＝，设DC为y＝kx﹣3，代入（，0），可得：k＝，联立两个方程可得：，解得：，所以M1（3，6）；②若M在B下方，设MC交x轴于点E，则∠OEC＝45°﹣15°＝30°，∴∠OCE＝60°，∴OE＝OC•tan60°＝3，设EC为y＝kx﹣3，代入（3，0）可得：k＝，联立两个方程可得：，解得：，所以M2（，﹣2），综上所述M的坐标为（3，6）或（，﹣2）．6．（2021•广东）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0），且对任意实数x，都有4x ﹣12≤ax2+bx+c≤2x2﹣8x+6．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）不妨令4x﹣12＝2x2﹣8x+6，解得：x1＝x2＝3，当x＝3时，4x﹣12＝2x2﹣8x+6＝0．∴y＝ax2+bx+c必过（3，0），又∵y＝ax2+bx+c过（﹣1，0），∴，解得：，∴y＝ax2﹣2ax﹣3a，又∵ax2﹣2ax﹣3a≥4x﹣12，∴ax2﹣2ax﹣3a﹣4x+12≥0，整理得：ax2﹣2ax﹣4x+12﹣3a≥0，∴a＞0且△≤0，∴（2a+4）2﹣4a（12﹣3a）≤0，∴（a﹣1）2≤0，∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3．∴该二次函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）存在，理由如下：令y＝x2﹣2x﹣3中y＝0，得x＝3，则A点坐标为（3，0）；令x＝0，得y＝﹣3，则点C坐标为（0，﹣3）．设点M坐标为（m，m2﹣2m﹣3），N（n，0），根据平行四边形对角线性质以及中点坐标公式可得：①当AC为对角线时，，即，解得：m1＝0（舍去），m2＝2，∴n＝1，即N1（1，0）．②当AM为对角线时，，即，解得：m1＝0（舍去），m2＝2，∴n＝5，即N2（5，0）．③当AN为对角线时，，即，解得：m1＝1+，m2＝1﹣，∴n＝或﹣2﹣，∴N3（，0），N4（﹣2﹣，0）．综上所述，N点坐标为（1，0）或（5，0）或（，0）或（﹣2﹣，0）．四．菱形的性质（共1小题）7．（2017•广东）如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD＝∠FAD，∠BAD为锐角．（1）求证：AD⊥BF；（2）若BF＝BC，求∠ADC的度数．【解析】（1）证明：如图，连接DB、DF．∵四边形ABCD，ADEF都是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AD＝DE＝EF＝FA．在△BAD与△FAD中，，∴△BAD≌△FAD，∴DB＝DF，∴D在线段BF的垂直平分线上，∵AB＝AF，∴A在线段BF的垂直平分线上，∴AD是线段BF的垂直平分线，∴AD⊥BF；解法二：∵四边形ABCD，ADEF都是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AD＝DE＝EF＝FA．∴AB＝AF，∵∠BAD＝∠FAD，∴AD⊥BF（等腰三角形三线合一）；（2）方法1：如图，设AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，则四边形BGDH是矩形，∴DG＝BH＝BF．∵BF＝BC，BC＝CD，∴DG＝CD．在直角△CDG中，∵∠CGD＝90°，DG＝CD，∴∠C＝30°，∵BC∥AD，∴∠ADC＝180°﹣∠C＝150°．方法2：∵BF＝BC，BC＝AB＝AD＝AF，∴BF＝AB＝AF，即△ABF是等边三角形．∵AD⊥BF，∴∠BAD＝30°，∴∠ADC＝180°﹣∠BAD＝150°．五．圆的综合题（共2小题）8．（2018•广东）如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E．（1）证明：OD∥BC；（2）若tan∠ABC＝2，证明：DA与⊙O相切；（3）在（2）条件下，连接BD交⊙O于点F，连接EF，若BC＝1，求EF的长．【解析】解：（1）连接OC，在△OAD和△OCD中，∵，∴△OAD≌△OCD（SSS），∴∠ADO＝∠CDO，又AD＝CD，∴DE⊥AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，∴OD∥BC；（2）∵tan∠ABC＝＝2，∴设BC＝a、则AC＝2a，∴AD＝AB＝＝，∵OE∥BC，且AO＝BO，∴OE＝BC＝a，AE＝CE＝AC＝a，在△AED中，DE＝＝2a，在△AOD中，AO2+AD2＝（）2+（a）2＝a2，OD2＝（OE+DE）2＝（a+2a）2＝a2，∴AO2+AD2＝OD2，∴∠OAD＝90°，则DA与⊙O相切；（3）连接AF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFD＝∠BAD＝90°，∵∠ADF＝∠BDA，∴△AFD∽△BAD，∴＝，即DF•BD＝AD2①，又∵∠AED＝∠OAD＝90°，∠ADE＝∠ODA，∴△AED∽△OAD，∴＝，即OD•DE＝AD2②，由①②可得DF•BD＝OD•DE，即＝，又∵∠EDF＝∠BDO，∴△EDF∽△BDO，∵BC＝1，∴AB＝AD＝、OD＝、ED＝2、BD＝、OB＝，∴＝，即＝，解得：EF＝．方法二：连接CF、AF，由（2）得AE＝CE＝AC，∵BC＝AC，∴AE＝BC，∵＝，∴∠CBF＝∠EAF，∵AD为⊙O的切线，∴BA⊥AD，又∵AB＝AD，∴△ABD为等腰直角三角形，∵∠AFB＝90°，∴AF⊥BD，∴F为BD的中点，∴AF＝BF，在△CBF和△EAF中，∵，∴△CBF≌△EAF（SAS），∴EF＝CF，∠EFA＝∠CFB，∵∠EFA+∠EFB＝90°，∴∠CFB+∠EFB＝90°，∴△CFE为等腰直角三角形，∵AE＝CE＝BC＝1，∴EF＝CF＝．9．（2019•广东）如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．（1）求证：ED＝EC；（2）求证：AF是⊙O的切线；（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝25，求BG的长．【解析】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，∴∠BCD＝∠ADC，∴ED＝EC；（2）如图1，连接OA，∵AB＝AC，∴＝，∴OA⊥BC，∵CA＝CF，∴∠CAF＝∠CFA，∴∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，∵∠ACB＝∠BCD，∴∠ACD＝2∠ACB，∴∠CAF＝∠ACB，∴AF∥BC，∴OA⊥AF，∴AF为⊙O的切线；（3）∵∠ABE＝∠CBA，∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，∴△ABE∽△CBA，∴＝，∴AB2＝BC•BE，∵BC•BE＝25，∴AB＝5，如图2，连接AG，如图2，连接AG，∴∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，∵点G为内心，∴∠DAG＝∠GAC，又∵∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，∴∠BAD+∠DAG＝∠ACB+∠GAC，即∠BAG＝∠BGA，∴BG＝AB＝5．六．几何变换综合题（共1小题）10．（2018•广东）已知Rt△OAB，∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，斜边OB＝4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如图1，连接BC．（1）填空：∠OBC＝ 60 °；（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N 沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y 取得最大值？最大值为多少？【解析】解：（1）由旋转性质可知：OB＝OC，∠BOC＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBC＝60°．故答案为：60．（2）如图1中，∵OB＝4，∠ABO＝30°，∴OA＝OB＝2，AB＝OA＝2，∴S△AOC＝•OA•AB＝×2×2＝2，∵△BOC是等边三角形，∴∠OBC＝60°，∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝90°，∴AC＝＝2，∴OP＝＝＝．（3）①当0＜x≤时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC 于点E．则NE＝ON•sin60°＝x，∴S△OMN＝•OM•NE＝×1.5x×x，∴y＝x2．∴x＝时，y有最大值，最大值＝．②当＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．作MH⊥OB于H．则BM＝8﹣1.5x，MH＝BM•sin60°＝（8﹣1.5x），∴y＝×ON×MH＝﹣x2+2x．当x＝时，y取最大值，y＝，③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G．MN＝12﹣2.5x，OG＝AB＝2，∴y＝•MN•OG＝12﹣x，当x＝4时，y有最大值，∵x＞4，∴y最大值＜2，综上所述，y有最大值，最大值为．七．相似三角形的判定与性质（共1小题）11．（2017•广东）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：CB是∠ECP的平分线；（2）求证：CF＝CE；（3）当＝时，求劣弧的长度（结果保留π）【解析】（1）证明：∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP＝∠CEB＝90°，∴∠PCB+∠OCB＝90°，∠BCE+∠OBC＝90°，∴∠BCE＝∠BCP，∴BC平分∠PCE．（2）证明：连接AC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCP+∠ACF＝90°，∠ACE+∠BCE＝90°，∵∠BCP＝∠BCE，∴∠ACF＝∠ACE，∵∠F＝∠AEC＝90°，AC＝AC，∴△ACF≌△ACE，∴CF＝CE．解法二：证明：连接AC．∵OA＝OC∴∠BAC＝∠ACO，∵CD平行AF，∴∠FAC＝∠ACD，∴∠FAC＝∠CAO，∵CF⊥AF，CE⊥AB，∴CF＝CE．（3）解：作BM⊥PF于M．则CE＝CM＝CF，设CE＝CM＝CF＝3a，PC＝4a，PM＝a，∵∠MCB+∠P＝90°，∠P+∠PBM＝90°，∴∠MCB＝∠PBM，∵CD是直径，BM⊥PC，∴∠CMB＝∠BMP＝90°，∴△BMC∽△PMB，∴＝，∴BM2＝CM•PM＝3a2，∴BM＝a，∴tan∠BCM＝＝，∴∠OCB＝∠OBC＝∠BOC＝60°，∴的长＝＝π．八．相似形综合题（共1小题）12．（2017•广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连接BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为 （2，2） ；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证：＝；②设AD＝x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．【解析】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC＝OA＝2，OC＝AB＝2，∠BCO＝∠BAO＝90°，∴B（2，2）．故答案为（2，2）．（2）存在．理由如下：∵OA＝2，OC＝2，∵tan∠ACO＝＝，∴∠ACO＝30°，∠ACB＝60°①如图1中，当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED＝EC，∴∠DCE＝∠EDC＝30°，∴∠BDC＝∠BCD＝60°，∴△DBC是等边三角形，在Rt△AOC中，∵∠ACO＝30°，OA＝2，∴AC＝2AO＝4，∴AD＝AC﹣CD＝4﹣2＝2．∴当AD＝2时，△DEC是等腰三角形．②如图2中，当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，只有CD＝CE，∠DBC＝∠DEC ＝∠CDE＝15°，∴∠ABD＝∠ADB＝75°，∴AB＝AD＝2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2．（3）①如图1，过点D作MN⊥AB交AB于M，交OC于N，∵A（0，2）和C（2，0），∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2，设D（a，﹣a+2），∴DN＝﹣a+2，BM＝2﹣a∵∠BDE＝90°，∴∠BDM+∠NDE＝90°，∠BDM+∠DBM＝90°，∴∠DBM＝∠EDN，∵∠BMD＝∠DNE＝90°，∴△BMD∽△DNE，∴＝＝．②如图2中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，∵AD＝x，∠DAH＝∠ACO＝30°，∴DH＝AD＝x，AH＝＝x，∴BH＝2﹣x，在Rt△BDH中，BD＝＝，∴DE＝BD＝•，∴矩形BDEF的面积为y＝[]2＝（x2﹣6x+12），即y＝x2﹣2x+4，∴y＝（x﹣3）2+，∵＞0，∴x＝3时，y有最小值．九．扇形统计图（共1小题）13．（2017•广东）某校为了解九年级学生的体重情况，随机抽取了九年级部分学生进行调查，将抽取学生的体重情况绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，请根据图表信息回答下列问题：体重频数分布表组边体重（千克）人数A45≤x＜5012B50≤x＜55mC55≤x＜6080D60≤x＜6540E65≤x＜7016（1）填空：①m＝ 52 （直接写出结果）；②在扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数等于 144 度；（2）如果该校九年级有1000名学生，请估算九年级体重低于60千克的学生大约有多少人？【解析】解：（1）①调查的人数为：40÷20%＝200（人），∴m＝200﹣12﹣80﹣40﹣16＝52；②C组所在扇形的圆心角的度数为×360°＝144°；故答案为：52，144；（2）九年级体重低于60千克的学生大约有×1000＝720（人）．。
2021年全国中考数学真题分类汇编--函数：二次函数(答案版)
2021全国中考真题分类汇编（函数）----二次函数一、选择题1. （2021•岳阳市）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（ ）A. 4，-1B.-1 C. 4，0 D.，-1 【答案】D2. （2021•株洲市）二次函数的图像如图所示，点在轴的正半轴上，且，设，则的取值范围为（ ）A. B. C. D.【答案】D3.（2021•山东省泰安市）将抛物线y ＝﹣x 2﹣2x +3的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ） A ．（﹣2，2）B ．（﹣1，1）C ．（0，6）D ．（1，﹣3）OABC ()0,2A ()2,0C ()2y x m m =--OABC m ()20y ax bx c a =++≠P x 1OP =()M ac a b c =++M 1M <-10M -<<0M <0M >【分析】直接将原函数写成顶点式，再利用二次函数平移规律：左加右减，上加下减，进而得出平移后解析式，再把各选项的点代入判断即可． 【解答】解：y ＝﹣x 2﹣2x +3 ＝﹣（x 2+2x ）+3 ＝﹣[（x +1）2﹣1]+3 ＝﹣（x +1）2+4，∵将抛物线y ＝﹣x 2﹣2x +3的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位， ∴得到的抛物线解析式为：y ＝﹣x 2+2，当x ＝﹣2时，y ＝﹣（﹣2）2+2＝﹣4+2＝﹣2，故（﹣2，2）不在此抛物线上，故A 选项不合题意；当x ＝﹣1时，y ＝﹣（﹣1）2+2＝﹣1+2＝1，故（﹣1，1）在此抛物线上，故B 选项符合题意；当x ＝0时，y ＝﹣02+2＝0+2＝2，故（0，6）不在此抛物线上，故A 选项不合题意； 当x ＝1时，y ＝﹣12+2＝﹣1+2＝1，故（1，﹣3）不在此抛物线上，故A 选项不合题意； 故选：B ．4. （2021•宿迁市）已知二次函数的图像如图所示，有下列结论：①；②＞0；③；④不等式＜0的解集为1≤＜3，正确的结论个数是（ ）A 1B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】【分析】根据抛物线的开口方向、于x 轴的交点情况、对称轴的知识可判①②③的正误，再2y ax bx c =++0a ＞24b ac -40a b +=21ax b x c +-+（）x .根据函数图象的特征确定出函数的解析式，进而确定不等式，最后求解不等式即可判定④． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴a ＞0，故①正确； ∵抛物线与x 轴没有交点 ∴＜0，故②错误 ∵抛物线的对称轴为x =1 ∴ ，即b =-2a ∴4a +b =2a ≠0，故③错误；由抛物线可知顶点坐标为（1,1），且过点（3,3）则 ，解得∴＜0可化为＜0，解得：1＜x ＜3 故④错误．故选A．5.（2021•江苏省苏州市）已知抛物线y ＝x 2+kx ﹣k 2的对称轴在y 轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后经过原点，则k 的值是（ ） A ．﹣5或2B ．﹣5C ．2D ．﹣2【分析】根据抛物线平移规律写出新抛物线解析式，然后将（0，0）代入，求得k 的值．【解答】解：∵抛物线y ＝x 2+kx ﹣k 2的对称轴在y 轴右侧， ∴x ＝﹣＞0， ∴k ＜0．∵抛物线y ＝x 4+kx ﹣k 2＝（x +）²﹣．∴将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后﹣7）²﹣，∴将（0，0）代入﹣3）²﹣，24b ac -12ba-=21933b a a b c a b c =-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩12132a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎩()21ax b x c +-+213222x x -+解得k 1＝3（舍去），k 2＝﹣5． 故选：B ．6. （2021•陕西省）下表中列出的是一个二次函数的自变量x 与函数y 的几组对应值：x … ﹣2 0 1 3 … y…6﹣4﹣6﹣4…下列各选项中，正确的是（ ） A ．这个函数的图象开口向下B ．这个函数的图象与x 轴无交点C ．这个函数的最小值小于﹣6D ．当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而增大【分析】设出二次函数的解析式，根据表中数据求出函数解析式即可判断． 【解答】解：设二次函数的解析式为y ＝ax 2+bx +c ，由题知，解得，∴二次函数的解析式为y ＝x 2﹣8x ﹣4＝（x ﹣4）（x +2）＝（x ﹣）4﹣，∴（1）函数图象开口向上，（2）与x 轴的交点为（4，4）和（﹣1， （3）当x＝时，函数有最小值为﹣，（4）函数对称轴为直线x ＝，根据图象可知当当x ＞时， 故选：C ．7. （2021•上海市）将抛物线向下平移两个单位，以下说法错误的是（ ） A. 开口方向不变 B. 对称轴不变C. y 随x 的变化情况不变D. 与y 轴的交点不变2(0)y ax bx c a =++≠【答案】D 【解析】【分析】根据二次函数的平移特点即可求解．【详解】将抛物线向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、故y 随x 的变化情况不变；与y 轴的交点改变 故选D ．8. （2021•湖北省随州市）如图，已知抛物线的对称轴在轴右侧，抛物线与轴交于点和点，与轴的负半轴交于点，且，则下列结论：①；②；③；④当时，在轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点，（点在点左边），使得．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B 【分析】依据抛物线的图像和性质，根据题意结合二次函数图象与系数的关系，逐条分析结论进行判断即可 【详解】①从图像观察，开口朝上，所以， 对称轴在轴右侧，所以， 图像与轴交点在x 轴下方，所以，所以①不正确； 2(0)y ax bx c a =++≠2y ax bx c =++y x ()2,0A -B y C 2OB OC =0a b c ->241b ac -=14a =10b -<<x M N M N AN BM ⊥0a >y 0b <y 0c <0,0a ba b c--><∴②点和点，与轴的负半轴交于点，且 设代入,得：，所以②正确；③，设抛物线解析式为：过，所以③正确； ④如图：设交点为P ，对称轴与x 轴交点为Q ，顶点为D ，根据抛物线的对称性，是等腰直角三角形，，， 又对称轴由顶点坐标公式可知()2,0A -B y (0,)C c 2OB OC =(2,0)B c -2y ax bx c =++2420ac bc c -+=0c ≠ ∴241b ac -= ()2,0A -(2,0)B c -(2)(2)y a x x c =++(0,)C c 4c ac ∴=14a ∴=,ANBM APB △()2,0A - (2,0)B c -22AB c ∴=-112PQ AB c ==-2(2)12c x c -+-==+(1,1)P c c ∴+-24(1,4ac b D c a-+14a =2(1,)D c c b ∴+-由题意，解得或者 由①知，所以④不正确． 综上所述：②③正确共2个 故选B ．9. （2021•广东省）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值为（ ） A B ．C ．D ．【答案】C【解析】把，代入可得，所以，而，所以，∴，把代入得时，S 最大，最大值，考查秦九韶公式的变形处理技巧以及二次函数的配方10.（2021•广东省）设为坐标原点，点A 、B 为抛物线上的两个动点，且．连接点A 、B ，过作于点，则点到轴距离的最大值（）A ．B C D ．【答案】A【解析】如图，设直线解析式为 联立：，化简得不妨设, 则，作轴，轴，易得21c b c -<-1b >1b <-0b <∴1b <-a b c 2a b cp ++=S =-5p =4c=455p =4c =S =S =2a b cp ++=210a b c p ++==4c =6a b +=6b a =-6b a =-S =S ===3a ==O 2y x =OA OB ⊥O OC AB ⊥C C y 211AB y kx b =+2y x y kx b⎧=⎨=+⎩20x kx b --=()11A x y ，()22B x y ，12x x k +=12x x b ⋅=-AE x ⊥BF x ⊥OAE BOF △∽△则即（），化简可得而 所以有，因此（需要舍去）即直线AB 过定点，因此AB ： 易得直线OC 的解析式为：，联立，解得 即点C 到y 轴距离，则，化简可得，由于关于k 的一元二次方程有实数根，因此满足，即，因此，因此本题考查二次函数与一定函数结合时过定点背景下的最值求法，涉及相似三角形、一元二次方程等多个考点11.（2021•四川省达州市）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）经过点（2，0），且对称轴为直线x ＝；②a +b ＞0；③4a +2b +3c ＜0，b ，c 取何值，抛物线一定经过（，0）2+4bm ﹣b ≥0．其中正确结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】由题意得到抛物线的开口向上，对称轴﹣＝，判断a ，b 与0的关系，根据抛物线与y 轴交点的位置确定c 与0的关系，从而得到abc ＞0，即可判断①； 根据抛物线对称轴方程可得a +b ＝0，即可判断②；根据抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点（﹣2，0）以及c ＜0，得到4a +2b +3c ＜0，即可判断③； 先根据a +b ＝0和4a +2b +c ＝0得c ＝﹣2a ，再根据对称性可知：抛物线过（﹣1，0），即AE OFOE BF=1212y x x y =-12120x x y y +=()()()22222212121212y y kx b kx b k x x kb x x b bk k b b b =++=+++=-++=20b b -=1b =0b =()01，1y kx =+1y x k =-11y x k y kx ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩22111k x k y k ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩22111k C k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，21k d CH k ==+()21d k k +=20dk k d -+=Δ0≥2140d -≥214d ≤102d ≤≤根据b＝﹣a，把b换成﹣a，提公因式，分解因式，根据平方的非负性即可判断⑤．【解答】解：①∵抛物线的对称轴为直线x＝，即对称轴在y轴的右侧，∴ab＜3，∵抛物线与y轴交在负半轴上，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵抛物线的对称轴为直线x＝，∴﹣＝，∴﹣2b＝7a，∴a+b＝0，故②不正确；③∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，8），∴4a+2b+c＝8，∵c＜0，∴4a+2b+3c＜0，故③正确；④由对称得：抛物线与x轴另一交点为（﹣6，0），∵，∴c＝﹣2a，∴＝﹣1，∴当a≠7，无论b，抛物线一定经过（，故④不正确；⑤∵b＝﹣a，∴4am8+4bm﹣b＝4am4﹣4am+a＝a（4m8﹣4m+1）＝a（2m﹣1）2，∵a＞5，∴a（2m﹣1）2≥0，即4am7+4bm﹣b≥0，本题正确的有：①③④⑤，共4个． 故选：D ．12. （2021•四川省广元市）将二次函数的图象在x 轴上方的部分沿x 轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b 的值为（ ）A. 或B.或 C.或 D.或 【答案】A 【解析】【分析】由二次函数解析式，可求与x 轴的两个交点A 、B ，直线表示的图像可看做是直线的图像平移b 个单位长度得到，再结合所给函数图像可知，当平移直线经过B 点时，恰与所给图像有三个交点，故将B 点坐标代入即可求解；当平移直线经过C 点时，恰与所给图像有三个交点，即直线与函数关于x 轴对称的函数图像只有一个交点，即联立解析式得到的方程的判别式等于0，即可求解．【详解】解：由知，当时，即2y x 2x 3=-++y x b =+214-3-134-3-2143-1343-2y x 2x 3=-++y x b =+y x =y x =y x =y x b =+2y x 2x 3=-++223y x x =--2y x 2x 3=-++0y =2230x x -++=解得：作函数的图像并平移至过点B 时，恰与所给图像有三个交点，此时有：平移图像至过点C 时，恰与所给图像有三个交点，即当时，只有一个交点 当的函数图像由的图像关于x 轴对称得到当时对应的解析式为即，整理得：综上所述或 故答案是：A．13. （2021•泸州市）直线l 过点(0，4)且与y 轴垂直，若二次函数（其中x 是自变量）的图像与直线l 有两个不同的交点，且其对称轴在y 轴右侧，则a 的取值范围是（ ）A. a ＞4B. a ＞0C. 0＜a ≤4D. 0＜a ＜4【答案】D 121,3x x =-=()()1,0,3,0A B ∴-y x =03b =+3b ∴=-13x -≤≤13x -≤≤2y x 2x 3=-++∴13x -≤≤223y x x =--{223y x by x x =+=--2330x x b ---=()()234132140b b ∴∆=--⨯⨯--=+=214b ∴=-3b =-214-2222()(2)(3)2y x a x a x a a a =-+-+--+【解析】【分析】由直线l ：y =4，化简抛物线，令，利用判别式，解出，由对称轴在y 轴右侧可求即可．【详解】解：∵直线l 过点(0，4)且与y 轴垂直，直线l ：y =4，，∴，∵二次函数（其中x 是自变量）的图像与直线l 有两个不同的交点，∴， ，∴，又∵对称轴在y 轴右侧，， ∴，∴0＜a ＜4．故选择D ．14. （2021•天津市）已知抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于x 的方程有两个不等的实数根；③．其中，正确结论的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】D【解析】【分析】根据函数与点的关系,一元二次方程根的判别式,不等式的性质，逐一计算判断即可 2231212y x ax a a =-++22312124x ax a a -++=∆12480a =-+>4a <0a >222222()(2)(3)231212y x a x a x a a a x ax a a =-+-+--+=-++22312124x ax a a -++=2222()(2)(3)2y x a x a x a a a =-+-+--+()()221243124a a a ∆=--⨯⨯+-12480a =-+>4a <1212=20236a a x a --=-=->⨯0a >2y ax bx c =++,,abc 0a ≠(1,1),(0,1)--2x =-1y >0abc >230ax bx c ++-=7a b c ++>【详解】∵抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值．∴c =1＞0，a -b +c = -1,4a -2b +c ＞1，∴a -b = -2,2a -b ＞0，∴2a -a -2＞0，∴a ＞2＞0，∴b =a +2＞0，∴abc ＞0，∵,∴△==＞0,∴有两个不等的实数根；∵b =a +2，a ＞2，c =1，∴a +b +c =a +a +2+1=2a +3，∵a ＞2，∴2a ＞4，∴2a +3＞4+3＞7，故选D ．15. 2021•浙江省杭州）在“探索函数y ＝ax 2+bx +c 的系数a ，b ，c 与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A （0，2），B （1，0），C （3，1），D （2，3），发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a 的值最大为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向，开口向下，则a ＜0，只需把开口向上的二次函数解析式求出即可．【解答】解：由图象知，A 、B 、D 组成的点开口向上；A 、B 、C 组成的二次函数开口向上；2y ax bx c =++,,a b c 0a ≠(1,1),(0,1)--2x =-1y >230ax bx c ++-=24(3)b a c --28b a +230ax bx c ++-=B、C、D三点组成的二次函数开口向下；A、D、C三点组成的二次函数开口向下；即只需比较A、B、D组成的二次函数和A、B．设A、B、C组成的二次函数为y1＝a1x7+b1x+c1，把A（4，2），0），5）代入上式得，，解得a1＝；设A、B、D组成的二次函数为y＝ax2+bx+c，把A（0，4），0），3）代入上式得，，解得a＝，即a最大的值为，故选：A．16.（2021•浙江省绍兴市）关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）A．有最大值4B．有最小值4C．有最大值6D．有最小值6【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数有最小值，最小值为6，然后即可判断哪个选项是正确的．【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣4）2+6，a＝2＞2，∴该函数图象开口向上，有最小值，故选：D．17.（2021•湖北省荆门市）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）开口向下且过点A（1，0），B（m，0）（﹣2＜m＜﹣1），下列结论：①2b+c＞0；②2a+c＜0；③a（m+1）﹣b+c＞0；④若方程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有两个不相等的实数根，则4ac﹣b2＜4a．其中正确结论的个数是（ ）A．4B．3C．2D．1【分析】根据题意得出x ＝﹣2时函数值的符号和x ＝1时函数的值，以及顶点的坐标公即可得出答案．【解答】解：根据题意得a +b +c ＝0，∴b ＝﹣a ﹣c ，当x ＝﹣2时，有4a ﹣2b +c ＜0，∴4a ﹣2（﹣a ﹣c ）+c ＜0，∴2a +c ＜0，∴②正确，由2a +c ＜0，得﹣2a ﹣c ＞0，∴2（﹣a ﹣c ）+c ＞0，∴2b +c ＞0，∴①正确，由a （m +1）﹣b +c ＞0得a ﹣b +c ＞﹣am ，当x ＝﹣1时，a ﹣b +c ＞0，而a ＜0，m ＜0，∴﹣am ＜0＜a ﹣b +c ，∴③正确，若方程a （x ﹣m ）（x ﹣1）﹣1＝0有两个不相等的实数根，即a （x ﹣m ）（x ﹣1）＝1有两个不相等的实数根，∴顶点的纵坐标，∴4ac ﹣b 2＜4a ，∴④正确，故选：A ．18. （2021•福建省）二次函数y ＝ax 2﹣2ax +c （a ＞0）的图象过A （﹣3，y 1），B （﹣1，y 2），C （2，y 3），D （4，y 4）四个点，下列说法一定正确的是（ ）A ．若y 1y 2＞0，则y 3y 4＞0B ．若y 1y 4＞0，则y 2y 3＞0C ．若y 2y 4＜0，则y 1y 3＜0D ．若y 3y 4＜0，则y 1y 2＜0 19. （2021•湖北省江汉油田）若抛物线与x 轴两个交点间的距离为4．对称轴为，P 为这条抛物线的顶点，则点P 关于x 轴的对称点的坐标是（ ）2y x bx c =++2x =A.B. C. D.【答案】A【解析】 【分析】设抛物线与轴的两个交点坐标分别为，且，根据“两个交点间的距离为4，对称轴为”建立方程可求出的值，再利用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得顶点的坐标，然后根据关于轴的对称点的坐标变换规律即可得．【详解】解：设抛物线与轴的两个交点坐标分别为，且，由题意得：，解得， 则抛物线与轴的两个交点坐标分别为，将点代入得：，解得， 则抛物线的解析式为，顶点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标是，故选：A ．20. （2021•江苏省无锡市）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点C 为y 轴正半轴上的一个动点，过点C 的直线与二次函数y ＝x 2的图象交于A 、B 两点，且CB ＝3AC ，P 为CB 的中点，设点P 的坐标为P （x ，y ）（x ＞0），写出y 关于x 的函数表达式为： y ＝x 2 ．()2,4()2,4-()2,4--()2,4-x 12(,0),(,0)x x 21x x >2x =12,x x P x x 12(,0),(,0)x x 21x x >2112422x x x x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩1204x x =⎧⎨=⎩x (0,0),(4,0)(0,0),(4,0)2y x bx c =++01640c b c =⎧⎨++=⎩40b c =-⎧⎨=⎩224(2)4y x x x =-=--P (2,4)-P x (2,4)【分析】过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，又CB＝3AC，得CE＝3CD，BE ＝3AD，设AD＝m，则BE＝3m，A（﹣m，m2），B（3m，9m2），可得C（0，3m2），而P为CB的中点，故P（m，6m2），即可得y＝x2．【解答】解：过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，如图：∵AD⊥y轴，BE⊥y轴，∴AD∥BE，∴＝＝，∵CB＝3AC，∴CE＝3CD，BE＝3AD，设AD＝m，则BE＝3m，∵A、B两点在二次函数y＝x2的图象上，∴A（﹣m，m2），B（3m，9m2），∴OD＝m2，OE＝9m2，∴ED＝8m2，而CE＝3CD，∴CD＝2m2，OC＝3m2，∴C（0，3m2），∵P 为CB 的中点，∴P （m ，6m 2），又已知P （x ，y ），∴，∴y ＝x 2；故答案为：y ＝x 2．二．填空题1. (2021·安徽省)设抛物线，其中a 为实数．（1）若抛物线经过点，则______；（2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是______．【答案】(1). 0 (2). 2【解析】【分析】（1）直接将点代入计算即可（2）先根据平移得出新抛物线的解析式，再根据抛物线顶点坐标得出顶点坐标的纵坐标，再通过配方得出最值【详解】解：（1）将代入得：故答案为：0（2）根据题意可得新的函数解析式为：由抛物线顶点坐标 得新抛物线顶点的纵坐标为：2(1)y x a x a =+++(1,)m -m =2(1)y x a x a =+++(1,)m -的(1,)m -2(1)y x a x a =+++110m a a =--+=2(1)+2y x a x a =+++24-,24b ac b a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭24(2)(1)4a a +-+∵∴当a =1时，有最大值为8， ∴所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是故答案为：2 2.（2021•湖北省武汉市）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数），a +b +c ＝0．下列四个结论：①若抛物线经过点（﹣3，0），则b ＝2a ；②若b ＝c ，则方程cx 2+bx +a ＝0一定有根x ＝﹣2；③抛物线与x 轴一定有两个不同的公共点；④点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在抛物线上，若0＜a ＜c ，则当x 1＜x 2＜1时，y 1＞y 2． 其中正确的是 ①②④ （填写序号）．【分析】①由题意可得，抛物线的对称轴为直线x ＝＝＝﹣1，即b ＝2a ，即①正确；②若b ＝c ，则二次函数y ＝cx 2+bx +a 的对称轴为直线：x ＝﹣＝﹣，则＝﹣，解得m ＝﹣2，即方程cx 2+bx +a ＝0一定有根x ＝﹣2；故②正确；③△＝b 2﹣4ac ＝（a +c ）2﹣4ac ＝（a ﹣c ）2≥0，则当a ≠c 时，抛物线与x 轴一定有两个不同的公共点．故③不正确；④由题意可知，抛物线开口向上，且＞1，则当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，则当x 1＜x 2＜1时，y 1＞y 2．故④正确．【解答】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数），2274a a -++=2(21)84a a --++=2(1)84a --+=2(1)0a -≥()218a --+8=24∴（1，3）是抛物线与x轴的一个交点．①∵抛物线经过点（﹣3，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣8，∴﹣＝﹣1，即①正确；②若b＝c，则二次函数y＝cx7+bx+a的对称轴为直线：x＝﹣＝﹣，且二次函数y＝cx2+bx+a过点（1，2），∴＝﹣，∴y＝cx2+bx+a与x轴的另一个交点为（﹣6，0）2+bx+a＝2一定有根x＝﹣2；故②正确；③△＝b2﹣6ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，∴抛物线与x轴一定有两个公共点，且当a≠c时，抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；④由题意可知，抛物线开口向上，且，∴（1，7）在对称轴的左侧，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，∴当x1＜x4＜1时，y1＞y8．故④正确．故答案为：①②④．3.（2021•山东省泰安市）如图是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象，图象过点（3，0），对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＝0；③y的最大值为3；④方程ax2+bx+c+1＝0有实数根．其中正确的为 ②④ （将所有正确结论的序号都填入）．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c；然后由图象确定当y＝﹣1时，x的值有2个．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；∵抛物线与x轴的交点（3，0），对称轴为直线x＝1，∴抛物线x轴的另一个交点在（﹣1，0），∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，即②正确；由图象无法判断y的最大值，故③错误；方程ax2+bx+c+1＝0，可看作二次函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的交点个数，由图象可知，必然有2个交点，即方程ax2+bx+c+1＝0有2个不想等的实数根．故④正确．故答案为：②④．4.（2021•山东省菏泽市）定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，1﹣m，2﹣m]的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m＝2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值；④如果m＜0，当x＞时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是 ①②③ ．【分析】根据特征数的定义，写出二次函数的表达式为y＝mx2+（1﹣m）x+2﹣m．①写出对称轴方程后把m＝1代入即可判断；②把m＝2代入即可判断；③根据开口方向即可判断；④根据对称轴，开口方向，增减性即可判断．【解答】解：由特征数的定义可得：特征数为[m，1﹣m，2﹣m]的二次函数的表达式为y ＝mx2+（1﹣m）x+2﹣m．∵此抛物线的的对称轴为直线x ＝＝＝，∴当m ＝1时，对称轴为直线x ＝0，即y 轴．故①正确；∵当m ＝2时，此二次函数表达式为y ＝2x 2﹣x ，令x ＝0，则y ＝0，∴函数图象过原点，故②正确；∵当m ＞0时，二次函数图象开口向上，函数有最小值，故③正确；∵m ＜0，∴对称轴x ＝＝，抛物线开口向下，∴在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小．即x ＞时，y 随x 的增大而减小．故④错误．故答案为：①②③．5. （2021•四川省成都市）在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y ＝x 2+2x +k 与x 轴只有一个交点，则k ＝ 1 ．【分析】由题意得：△＝b 2﹣4ac ＝4﹣4k ＝0，即可求解．【解答】解：由题意得：△＝b 2﹣4ac ＝4﹣4k ＝0，解得k ＝1，故答案为1．6. （2021•广东省）把抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为_________．【答案】【解析】考查二次函数的图象变换，根据“上加下减，左加右减”可得平移后的解析式为，化简即得 7．（2021•四川省南充市）关于抛物线y ＝ax 2﹣2x +1（a ≠0），给出下列结论：①当a ＜0时，抛物线与直线y ＝2x +2没有交点；②若抛物线与x 轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间； ③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），则a ≥1．其中正确结论的序号是 ②③ ．【分析】①构建方程组，转化为一元二次方程，利用判别式的值判断即可．221y x =+13224y x x =+()2212y x =+-224y x x =+②首先证明a ＞1,再证明x ＝1时，y ＜0,可得结论．③首先证明a ＞0,再根据顶点在x 轴上或x 轴的上方，在点（0,1）的下方，可得不等式组1＞≥0,由此可得结论．【解答】解：由,消去y 得到，ax 2﹣4x ﹣1＝0,∵△＝16+4a ,a ＜0,∴△的值可能大于0， ∴抛物线与直线y ＝2x +2可能有交点，故①错误．∵抛物线与x 轴有两个交点,∴△＝4﹣4a ＞0,∴a ＜1,∵抛物线经过(0,1),且x ＝1时，y ＝a ﹣1＜0,∴抛物线与x 轴的交点一定在（0,0）与（1,0）之间．故②正确，∵抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界）， ∴﹣＞0,∴a ＞0,∴1＞≥0, 解得，a ≥1,故③正确，故答案为：②③．8. （2021•浙江省湖州市）．已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(3，4)，M 是抛物线(a ≠0)对称轴上的一个动点，小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM 为直角三角形的点M 的个数也随之确定．若抛物线(a ≠0)的对称轴上存在3个不同的点M ，使△AOM 为直角三角形，则的值是 ． 【答案】2或﹣8 【解析】由题意知，以OA 的直径的圆与直线相切，则，解得＝2或﹣8．9. （2021•浙江省台州）以初速度v （单位：m /s ）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是h ＝22y ax bx =++b a22y ax bx =++b a2b x a =-35222b a --=b avt 4.9t 2，现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v 1，经过时间t 1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h 1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v 2，经过时间t 2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h 2（如图2）．若h 1＝2h 2，则t 1：t 2＝_____．【解析】【分析】根据函数图像分别求出两个函数解析式，表示出，，，，结合h 1＝2h 2，即可求解． 【详解】解：由题意得，图1中的函数图像解析式为：h ＝v 1t 4.9t 2，令h =0，或（舍去），， 图2中的函数解析式为：h ＝v 2t 4.9t 2， 或（舍去），， ∵h 1＝2h 2， ∴=2，即：或（舍去）， ∴t 1：t 2=：，．10. （2021•吉林省长春市）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，-11 4.9v t =21119.6v h =22 4.9v t =22219.6v h =-11 4.9v t =10t =()221114 4.919.6v v h -==⨯--22 4.9v t =20t =()222224 4.919.6v v h -==⨯-2119.6v 2219.6v 1v 2v 1v 2v 14.9v 24.9v (2,4)A 2y ax =过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x 轴的垂线交抛物线于E、F两点.当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为.【分析】通过待定系数法求出函数解析式，然后设点C横坐标为m，则CD＝CE＝2m，从而得出点E坐标为（m，4﹣2m），将点坐标代入解析式求解．【解答】解：把A（2，4）代入y＝ax2中得4＝4a，解得a＝1，∴y＝x2，设点C横坐标为m，则CD＝CE＝2m，∴点E坐标为（m，4﹣2m），∴m2＝4﹣2m，解得m＝﹣1﹣（舍）或m＝﹣1+．∴CD＝2m＝﹣2+2．故答案为：﹣2+2．11.（2021•山东省济宁市）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的正半轴交于点A，对称轴为直线x＝1．下面结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根大于﹣1且小于0．其中正确的是 ①②④ ．（只填序号）【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．【解答】解：由图象可得，a ＜0，b ＞0，c ＞0，则abc ＜0，故①正确；∵﹣＝1，∴b ＝﹣2a ，∴2a +b ＝0，故②正确；∵函数图象与x 轴的正半轴交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x ＝1， ∴函数图象与x 轴的另一个交点在点（0，0）和点（﹣1，0）之间，故④正确； ∴当x ﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＜0，∴y ＝a +2a +c ＜0，∴3a +c ＜0，故③错误；故答案为：①②④．12. （2021•贵州省贵阳市）二次函数y ＝x 2的图象开口方向是 向上 （填“向上”或“向下”）．【分析】由二次函数图象开口方向和系数a 之间的关系得出结论．【解答】解：由y ＝x 2得：a ＞0，∴二次函数图象开口向上．故答案为：向上．三、解答题1.(2021·安徽省) 已知抛物线的对称轴为直线． （1）求a 的值；（2）若点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）都在此抛物线上，且，．比较y 1与y 2的大小，并说明理由；（3）设直线与抛物线交于点A 、B ，与抛物线交于点C ，D ，求线段AB 与线段CD 的长度之比．【答案】（1）；（2），见解析；（3【解析】 221(0)y ax x a =-+≠1x =110x -<<212x <<(0)y m m =>221y ax x =-+23(1)y x =-1a =12y y >【分析】（1）根据对称轴，代值计算即可 （2）根据二次函数的增减性分析即可得出结果（3）先根据求根公式计算出，=【详解】解：（1）由题意得：（2）抛物线对称轴为直线，且当时，y 随x 的增大而减小，当时，y 随x 的增大而增大．当时，y 1随x 1的增大而减小，时，，时，同理：时，y 2随x 2的增大而增大时，．时，2b x a=-1x =1(1)|AB=+-+12CD x x =-=212x a-=-=1a \= 1x =10a =>∴1x <1x >∴111x -<< 1x =-4y =0x =1y =114y ∴<<212x <<1x = 0y =2x =1y =201y ∴<<12y y ∴>（3）令令AB 与CD2. （2021•甘肃省定西市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2+bx +c 与坐标轴交于A （0，﹣2），B （4，0）两点，直线BC ：y ＝﹣2x +8交y 轴于点C ．点D 为直线AB 下方抛物线上一动点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为G ，DG 分别交直线BC ，AB 于点E ，F ．（1）求抛物线y ＝x 2+bx +c 的表达式；（2）当GF ＝时，连接BD ，求△BDF 的面积；221x x m -+=22(1)0x x m -+-=2(2)41(1)m ∆=--⋅⋅-4m =1x ∴==±11x ∴=+21x =+|1(1)|AB ∴=+-+=23(1)x m -=2(1)3m x ∴-=11x ∴=+21x =12CD x x ∴=-=AB CD ∴==∴（3）①H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标；②在①的条件下，第一象限有一动点P，满足PH＝PC+2，求△PHB周长的最小值．【分析】（1）利用待定系数法求解即可．（2）求出点D的坐标，可得结论．（3）①过点H作HM⊥EF于M,证明△EMH≌△FGB(AAS),推出MH＝GB,EM＝FG,由HM＝OG,可得OG＝GB＝OB＝2,由题意直线AB的解析式为y＝x﹣2,设E(a,﹣2a+8),F(a,a﹣2),根据MH＝BG,构建方程求解，可得结论．②因为△PHB的周长＝PH+PB+HB＝PC+2+PB+5＝PC+PB+7,所以要使得△PHB的周长最小，只要PC+PB的值最小，因为PC+PB≥BC,所以当点P在BC上时，PC+PB＝BC 的值最小．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过A（0，﹣2），B（4，0）两点，∴,解得,∴y＝x2﹣x﹣2．（2）∵B(4,0),A(0,﹣2),∴OB＝4,OA＝2,∵GF⊥x轴，OA⊥x轴，在Rt△BOA和Rt△BGF中，tan∠ABO＝＝,即＝,∴GB＝1,∴OG＝OB﹣GB＝4﹣1＝3,当x＝3时，y D＝×9﹣×3﹣2＝﹣2,∴D(3,﹣2),即GD＝2,∴FD＝GD﹣GF＝2﹣＝,∴S△BDF＝•DF•BG＝××1＝．(3)①如图1中，过点H作HM⊥EF于M,∵四边形BEHF是矩形，∴EH∥BF,EH＝BF,∴∠HEF＝∠BFE,∵∠EMH＝∠FGB＝90°,∴△EMH≌△FGB(AAS),∴MH＝GB,EM＝FG,∵HM＝OG,∴OG＝GB＝OB＝2,∵A(0,﹣2),B(4,0),∴直线AB的解析式为y＝x﹣2,设E(a,﹣2a+8),F(a,a﹣2),由MH＝BG得到，a﹣0＝4﹣a,∴a＝2,∴E(2,4),F(2,﹣1),∴FG＝1,∵EM＝FG,∴4﹣y H＝1,∴y H＝1,∴H(0,3)．②如图2中，BH＝＝＝5,∵PH＝PC+2,∴△PHB的周长＝PH+PB+HB＝PC+2+PB+5＝PC+PB+7,要使得△PHB的周长最小，只要PC+PB的值最小，∵PC+PB≥BC,∴当点P在BC上时，PC+PB＝BC的值最小，∵BC＝＝＝4,∴△PHB的周长的最小值为4+7．3.（2021•湖北省黄冈市）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（n，0）是x轴上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若n＜3，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，当n为何值时，△PDG≌△BNG；（3）如图2，将直线BC绕点B顺时针旋转，它恰好经过线段OC的中点个单位长度，得到直线OB1．①tan∠BOB1＝ ；②当点N关于直线OB1的对称点N1落在抛物线上时，求点N的坐标．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由△PDG≌△BNG，得到PG＝BG＝（3﹣n），求出P的坐标为（n，﹣（3﹣n）（1+），即可求解；（3）①由函数的平移得到函数的表达式为y＝x，即可求解；②求出直线NN1的表达式为y＝﹣2（x﹣n），得到点H的坐标为（，），由点H 是NN1的中点，求出点N1的坐标为（，），即可求解．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），则y＝a（x﹣6）（x+1）＝ax2﹣5ax﹣3a，故﹣3a＝﹣8，解得a＝1，故抛物线的表达式为y＝x2﹣4x﹣3①；（2）由抛物线的表达式知，点C（0，故OB＝OC＝6，则∠OBC＝∠OCB＝45°,则NB＝3﹣n＝GG，则BG＝，∵△PDG≌△BNG，故PG＝BG＝（3﹣n），则PN＝3﹣n+（3﹣n）＝（3﹣n）（5+），故点P的坐标为（n，﹣（3﹣n）（6+），将点P的坐标代入抛物线表达式得：（n﹣3）（+1）＝n2﹣6n﹣3，解得n＝3（舍去）或，故n＝；（3）①设OC的中点为R（0，﹣），由B、R的坐标得x﹣，则将它向上平移个单位长度1，此时函数的表达式为y＝x，故tan∠BOB1＝，故答案为；②设线段NN1交AB1于点H，则AB4是NN1的中垂线，∵tan∠BOB1＝，则tan∠N1NB＝6，∵直线NN1的过点N（n，0），故直线NN3的表达式为y＝﹣2（x﹣n）②，联立①②并解得，故点H的坐标为（，），∵点H是NN1的中点，由中点坐标公式得：点N 1的坐标为（，）， 将点N 1的坐标代入抛物线表达式得：＝（）8﹣2×﹣3，解得n ＝，故点N 的坐标为（,0）或（）．4. （2021•湖南省常德市）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边与y 轴交于E 点，F 是的中点，B 、C 、D 的坐标分别为．（1）求过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式； （2）试判断抛物线的顶点是否在直线上；（3）设过F 与平行的直线交y 轴于Q ，M 是线段之间的动点，射线与抛物线交于另一点P ，当的面积最大时，求P 的坐标． 【答案】（1）；（2）顶点是在直线上，理由见解析；（3）P 点坐标为（9，）． 【解析】【分析】（1）先求出A 点坐标，再求出直线AB 的解析式，进而求得E 的坐标，然后用待定系数法解答即可；（2）先求出点F 的坐标，再求出直线EF 的解析式，然后根据抛物线的解析式确定顶点坐标，然后进行判定即可； （3）设P 点坐标为（p ，），求出直线BP 的解析式，进而求得M 的坐标；xOy ABCD AB AD ()()()2,0,8,0,13,10-EF AB EQ BM PBQ △213442y x x =-++EF 114-()()1-p+284p -再求FQ 的解析式，确定Q 的坐标，可得|MQ |=+6，最后根据S △PBQ = S △MBQ + S △PMQ 列出关于p 的二次函数并根据二次函数的性质求最值即可．【详解】解：（1）∵平行四边形，B 、C 、D 的坐标分别为 ∴A （3，10）设直线AB 的解析式为y =kx +b 则 ，解得∴直线AB 的解析式为y =2x +4当x =0时，y =4，则E 的坐标为（0,4） 设抛物线的解析式为：y =ax 2+bx +c，解得 ∴过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式为； （2）顶点是在直线上，理由如下： ∵F 是的中点 ∴F （8,10）设直线AB 的解析式为y =mx +n则，解得∴直线EF 的解析式为y =x +4 ∵ ∴抛物线的顶点坐标为（3，） ()182p -ABCD ()()()2,0,8,0,13,10-10302k b k b =+⎧⎨=-+⎩24k b =⎧⎨=⎩()()220220884a b c a b cc ⎧=-+-+⎪=⋅++⎨⎪=⎩14324a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩213442y x x =-++EF AD 4108n m n =⎧⎨=+⎩344m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩34213442y x x =-++254∵=×3+4 ∴抛物线的顶点是否在直线上； （3）∵，则设P 点坐标为（p ，），直线BP 解析式为y =dx +e则 ，解得∴直线EF 的解析式为y =x + 当x =0时，y =，则M 点坐标为（0，） ∵AB //FQ∴设FQ 的解析式为y =2x +f ，则10=2×8+f ，解得f =-6 ∴FQ 的解析式为y =2x -6, ∴Q 的坐标为（0，-6） ∴|MQ |=+6 ∴S △PBQ = S △MBQ + S △PMQ ==== ∴当p =9时，的面积最大时25434EF ()()21314=-x+28424y x x x =-++-()()1-p+284p -的()()021-p+284d e p pd e =-+⎧⎪⎨-=+⎪⎩()()184182d p e p ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩()184p --()182p -()182p -()182p -,()182p -1122QM OB QM PN +g g ()12QM OB PN +()()1186222p p ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦219842p p -++PBQ △∴P 点坐标为（9，）．5. （2021•江苏省南京市）已知二次函数的图像经过两点． （1）求b 的值．（2）当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．（3）设是该函数的图像与x 轴的一个公共点，当时，结合函数的图像，直接写出a 的取值范围．【答案】（1）；（2）1；（3）或． 【解析】【分析】（1）将点代入求解即可得；（2）先求出二次函数的顶点的纵坐标，再利用完全平方公式、不等式的性质求解即可得； （3）分和两种情况，再画出函数图象，结合图象建立不等式组，解不等式组即可得．【详解】解：（1）将点代入得：，两式相减得：， 解得；（2）由题意得：，由（1）得：， 则此函数的顶点的纵坐标为， 114-2y ax bx c =++()()2,1,2,3--1c >-()0m ,13m -<<1b =-0a <45a >()()2,1,2,3--0a <0a >()()2,1,2,3--2y ax bx c =++421423a b c a b c -+=⎧⎨++=-⎩44b -=1b =-0a ≠2211(24y ax x c a x c a a=-+=-+-14c a-。
2021年广东省汕头市中考数学总复习：二次函数(附答案解析)
11．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的顶点为P，且抛物线经过点A（﹣1，0），B（m，0），C（﹣2，n）（1＜m＜3，n＜0），下列结论：①abc＞0，②3a+c＜0，③a（m﹣1）+2b＞0，④a＝﹣1时，存在点P使△PAB为直角三角形．其中正确有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），抛物线与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①a+b+c＞0；②对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；③关于x的方程ax2+bx+c＝n有两个相等的实数根；④﹣1≤a ，其中结论正确个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②若m为任意实数，则a+b≥am2+bm；③a﹣b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
A．y＝（x+1）2﹣13B．y＝（x﹣5）2﹣5
C．y＝（x﹣5）2﹣13D．y＝（x+1）2﹣5
16．用一段20米长的铁丝在平地上围成一个长方形，求长方形的面积y（平方米）和长方形的一边的长x（米）的关系式为（ ）
A．y＝﹣x2+20xB．y＝x2﹣20xC．y＝﹣x2+10xD．y＝x2﹣10x
B．先往左下方移动，再往左平移
2021年广东省中山市中考数学总复习：二次函数(附答案解析)
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一．选择题（共50小题）
1．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分图象如图所示，下列关于此函数图象的描述中，正确
的个数是（ ）
①对称轴是直线x ＝1；②当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而增大；③方程ax 2+bx +c ＝0的解为x 1＝﹣1，x 2＝3；④当x ＜﹣1或x ＞3时，ax 2+bx +c ＜0．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．如图，抛物线y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点坐标A （﹣1，3），与x 轴的一个交点B （﹣
4，0），直线y 2＝mx +n （m ≠0）与抛物线交于A 、B 两点，下列结论：①2a ﹣b ＝0；②抛物线与x 轴的另一个交点坐标是（2，0）；③7a +c ＞0；④方程ax 2+bx +c ﹣2＝0有两个不相等的实数根；⑤当﹣4＜x ＜﹣1时，则y 2＜y 1．其中正确结论的个数为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3．若抛物线y ＝﹣x 2+2x +m +1（m 为常数）交y 轴于点A ，与x 轴的一个交点在2和3之间，
顶点为B ．
①抛物线y ＝﹣x 2+2x +m +1与直线y ＝m +2有且只有一个交点；
②若点M （﹣2，y 1）、点N （12，y 2）、点P （2，y 3）在该函数图象上，则y 1＜y 2＜y 3； ③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为y ＝﹣（x +1）2+m ；
④点A 关于直线x ＝1的对称点为C ，点D 、E 分别在x 轴和y 轴上，当m ＝1
时，四边。
2021年全国中考1数学真题分类汇编-----二次函数
2021年全国中考数学真题分类汇编-----二次函数 一、选择题1.(2021.广东省）设O 为坐标原点，点A 、B 为抛物线2yx 上的两个动点，且OA ⊥OB ，连接点A 、B ，过O 作OC ⊥AB 于点C ，则点C 到y 轴距离的最大值（A ） A.12B. 22C. 32D. 12.（2021.湖北省荆门市）抛物线2(a,b,c )yax bx c 为常数开口向下且过点A （1，0），B （m,0）(-2<m<-1),下列结论：①2b+c>0；②2a+c<0；③a(m+1)-b+c>0；④若方程a(x-m)(x-1)-1=0有两个不相等的实数根，则4ac-2b <4a.其中正确结论的个数是（A ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3.（2021.浙江省绍兴市）关于二次函数22(x 4)6y的最大值或最小值，下列说法正确的是（D ）A. 有最大值4B.有最小值4C.有最大值6D. 有最小值6 4. （2021.辽宁省沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数2(x h)(a0)y a 的图象可能是（D ）5.（2021.杭州）在“探索函数2yax bx c 的系数a,b,c 与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A （0,2）,B （1,0）,C （3,1）,D （2,3）.同学们探索了经过这个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a 的值最大为（A ） A.52 B.32 C.56 D.126.（2021.杭州）已知线段AB ，按如下步骤作图：①作射线AC ，使AC ⊥AB;②作∠BAC 的平分线AD ；③以点A 为圆心，AB 长为半径作弧，交AD 于点E ；④过点E 作EP ⊥AB 于点P ，则AP:AB=（D ）A. 15：B. 12：C. 13：D. 12：7.（2021.浙江省杭州市）已知y 1和y 2均是以x 为自变量的函数，当x=m 时，函数值分别为M 1和M 2，若存在实数m ，使得M 1+M 2=0，则称函数y 1和y 2具有性质P 。
68-2017-2021年广东中考数学真题分类汇编之函数
2017-2021年广东中考数学真题分类汇编之函数一、选择题（共10小题）1．（2021•深圳）二次函数21y ax bx =++的图象与一次函数2y ax b =+在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．2．（2021•广州）在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的点A 在函数1(0)y x x =>的图象上，点C 在函数4(0)y x x =-<的图象上，若点B 的横坐标为72-，则点A 的坐标为( )A ．1(2，2)B ．2(2) C ．1(2,)2D ．(22 3．（2021•广州）抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)-、(3,0)，且与y 轴交于点(0,5)-，则当2x =时，y 的值为( ) A ．5-B ．3-C ．1-D ．54．（2020•广州）一次函数31y x =-+的图象过点1(x ，1)y ，1(1x +，2)y ，1(2x +，3)y ，则( ) A ．123y y y <<B ．321y y y <<C ．213y y y <<D ．312y y y <<5．（2018•深圳）如图，A 、B 是函数12y x=上两点，P 为一动点，作//PB y 轴，//PA x 轴，下列说法正确的是( )①AOP BOP ∆≅∆；②AOP BOP S S ∆∆=；③若OA OB =，则OP 平分AOB ∠；④若4BOP S ∆=，则16ABP S ∆=A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④6．（2018•深圳）把函数y x =向上平移3个单位，下列在该平移后的直线上的点是( ) A ．(2,2)B ．(2,3)C ．(2,4)D ．(2,5)7．（2018•广州）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O 出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m ．其行走路线如图所示，第1次移动到1A ，第2次移动到2A ，⋯，第n 次移动到n A ．则△22018OA A 的面积是( )A ．2504mB ．210092m C ．210112m D ．21009m8．（2018•广东）如图，点P 是菱形ABCD 边上的一动点，它从点A 出发沿在A B C D →→→路径匀速运动到点D ，设PAD ∆的面积为y ，P 点的运动时间为x ，则y 关于x 的函数图象大致为( )A ．B ．C ．D ．9．（2017•广州）0a ≠，函数ay x=与2y ax a =-+在同一直角坐标系中的大致图象可能是( )A ．B ．C ．D ．10．（2017•广东）如图，在同一平面直角坐标系中，直线11(0)y k x k =≠与双曲线22(0)k y k x=≠相交于A ，B 两点，已知点A 的坐标为(1,2)，则点B 的坐标为( )A ．(1,2)--B ．(2,1)--C ．(1,1)--D ．(2,2)--二、填空题（共9小题）11．（2021•深圳）如图，已知反比例函数过A ，B 两点，A 点坐标(2,3)，直线AB 经过原点，将线段AB 绕点B 顺时针旋转90︒得到线段BC ，则C 点坐标为 ．12．（2021•广州）一元二次方程240x x m -+=有两个相等的实数根，点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 是反比例函数my x=上的两个点，若120x x <<，则1y 2y （填“<”或“>”或“=” )．13．（2021•广东）把抛物线221y x =+向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．14．（2020•深圳）如图，在平面直角坐标系中，(0,0)O ，(3,1)A ，(1,2)B ．反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过OABC 的顶点C ，则k = ．15．（2020•广州）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：)9.9mm ，10.1，10.0，若用a 作为这条线段长度的近似值，当a =mm 时，222(9.9)(10.1)(10.0)a a a -+-+-最小．对另一条线段的长度进行了n 次测量，得到n 个结果（单位：1)mm x ，2x ，⋯，n x ，若用x 作为这条线段长度的近似值，当x = mm 时，22212()()()n x x x x x x -+-+⋯+-最小．16．（2019•深圳）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，(0,3)C -，3CD AD =，点A 在反比例函数ky x=图象上，且y 轴平分ACB ∠，求k = ．17．（2018•广州）已知二次函数2y x =，当0x >时，y 随x 的增大而 （填“增大”或“减小” )．18．（2018•广东）如图，已知等边△11OA B ，顶点1A 在双曲线3(0)y x x=>上，点1B 的坐标为(2,0)．过1B 作121//B A OA 交双曲线于点2A ，过2A 作2211//A B A B 交x 轴于点2B ，得到第二个等边△122B A B ；过2B 作2312//B A B A 交双曲线于点3A ，过3A 作3322//A B A B 交x 轴于点3B ，得到第三个等边△233B A B ；以此类推，⋯，则点6B 的坐标为 ．19．（2017•广州）当x = 时，二次函数226y x x =-+有最小值 ． 三、解答题（共10小题）20．（2021•深圳）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x （万元）与销售量y （件)的关系如表所示：x （万元）10 12 14 16 y （件)40302010（1）求y 与x 的函数关系式；（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？21．（2020•深圳）端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元．（1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？（2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？22．（2020•广州）已知反比例函数ky x=的图象分别位于第二、第四象限，化简：2216(1)444k k k k k -++--- 23．（2020•广东）如图，点B 是反比例函数8(0)y x x=>图象上一点，过点B 分别向坐标轴作垂线，垂足为A ，C ．反比例函数(0)ky x x=>的图象经过OB 的中点M ，与AB ，BC 分别相交于点D ，E ．连接DE 并延长交x 轴于点F ，点G 与点O 关于点C 对称，连接BF ，BG ．（1）填空：k = ； （2）求BDF ∆的面积；（3）求证：四边形BDFG 为平行四边形．24．（2019•广州）已知抛物线2:23G y mx mx =--有最低点． （1）求二次函数223y mx mx =--的最小值（用含m 的式子表示）；（2）将抛物线G 向右平移m 个单位得到抛物线1G ．经过探究发现，随着m 的变化，抛物线1G 顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H ，抛物线G 与函数H 的图象交于点P ，结合图象，求点P 的纵坐标的取值范围． 25．（2019•广州）已知2221()a P a b a b a b=-≠±-+（1）化简P ；（2）若点(,)a b 在一次函数2y x =P 的值． 26．（2019•广东）如图，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为(1,4)-，点B 的坐标为(4,)n ．（1）根据图象，直接写出满足21k k x b x+>的x 的取值范围； （2）求这两个函数的表达式；（3）点P 在线段AB 上，且:1:2AOP BOP S S ∆∆=，求点P 的坐标．27．（2018•广州）设(,0)P x 是x 轴上的一个动点，它与原点的距离为1y ． （1）求1y 关于x 的函数解析式，并画出这个函数的图象； （2）若反比例函数2ky x=的图象与函数1y 的图象相交于点A ，且点A 的纵坐标为2． ①求k 的值；②结合图象，当12y y >时，写出x 的取值范围．28．（2017•广州）已知抛物线21y x mx n =-++，直线2y kx b =+，1y 的对称轴与2y 交于点(1,5)A -，点A 与1y 的顶点B 的距离是4．（1）求1y 的解析式；（2）若2y 随着x 的增大而增大，且1y 与2y 都经过x 轴上的同一点，求2y 的解析式． 29．（2017•广东）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x ax b =-++交x 轴于(1,0)A ，(3,0)B 两点，点P 是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP 与y 轴相交于点C ． （1）求抛物线2y x ax b =-++的解析式； （2）当点P 是线段BC 的中点时，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，求sin OCB ∠的值．2017-2021年广东中考数学真题分类汇编之函数参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）1．（2021•深圳）二次函数21y ax bx =++的图象与一次函数2y ax b =+在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【考点】一次函数的图象；二次函数的图象 【专题】几何直观；二次函数图象及其性质【分析】由二次函数2y ax bx c =++的图象得到字母系数的正负以及对称轴，与一次函数2y ax b =+的图象得到的字母系数的正负以及与x 轴的交点相比较看是否一致．【解答】解：A 、由抛物线可知，0a >，0b <，1c =，对称轴为直线2bx a=-，由直线可知，0a >，0b <，直线经过点(2ba-，0)，故本选项符合题意； B 、由抛物线可知，对称轴为直线2bx a=-，直线经过点(2b a -，0)，故本选项不符合题意；C 、由抛物线可知，对称轴为直线2bx a=-，直线经过点(2b a -，0)，故本选项不符合题意；D 、由抛物线可知，对称轴为直线2bx a=-，直线经过点(2b a -，0)，故本选项不符合题意；故选：A ．【点评】本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．2．（2021•广州）在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的点A 在函数1(0)y x x =>的图象上，点C 在函数4(0)y x x =-<的图象上，若点B 的横坐标为72-，则点A 的坐标为( )A ．1(2，2)B．C ．1(2,)2D．【答案】A【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质 【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；运算能力【分析】如图，作AD x ⊥轴于D ，CE x ⊥轴于E ，通过证得COE OAD ∆∆∽得到21OE CE OC AD OD OA ===，则2OE AD =，2CE OD =，设(A m ，1)(0)m m >，则2(C m -，2)m ，由220()OE m m=--=得到72()2m m --=，解分式方程即可求得A 的坐标．【解答】解：如图，作AD x ⊥轴于D ，CE x ⊥轴于E ， 四边形OABC 是矩形，90AOC ∴∠=︒， 90AOD COE ∴∠+∠=︒， 90AOD OAD ∠+∠=︒， COE OAD ∴∠=∠， CEO ODA ∠=∠， COE OAD ∴∆∆∽，∴2()COE AOD S OC S OA ∆∆=，OE CE OCAD OD OA==， 1|4|22COE S ∆=⨯-=，11122AOD S ∆=⨯=，∴21OE CE OC AD OD OA ===， 2OE AD ∴=，2CE OD =，设(A m ，1)(0)m m>， 2(C m∴-，2)m ， 220()OE m m ∴=--=，点B 的横坐标为72-，72()2m m∴--=，整理得22740m m +-=， 112m ∴=，24m =-（舍去）， 经检验，12m =是方程的解， 1(2A ∴，2)，故选：A ．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，矩形的性质，反比例函数系数k 的几何意义，表示出点的坐标是解题的关键．3．（2021•广州）抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)-、(3,0)，且与y 轴交于点(0,5)-，则当2x =时，y 的值为( ) A ．5- B ．3-C ．1-D ．5【答案】A【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征 【专题】二次函数图象及其性质；几何直观【分析】根据抛物线与x 轴两交点，及与y 轴交点可画出大致图象，根据抛物线的对称性可求5y =-． 【解答】解：如图抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)-、(3,0)，且与y 轴交于点(0,5)-， ∴可画出上图，抛物线对称轴1312x -+==， ∴点(0,5)-的对称点是(2,5)-， ∴当2x =时，y 的值为5-．故选：A ．【点评】本题考查了抛物线的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识，画出图象利用对称性是解题的关键．4．（2020•广州）一次函数31y x =-+的图象过点1(x ，1)y ，1(1x +，2)y ，1(2x +，3)y ，则( ) A ．123y y y << B ．321y y y << C ．213y y y << D ．312y y y <<【答案】B【考点】一次函数图象上点的坐标特征 【专题】一次函数及其应用；推理能力【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据11112x x x <+<+即可得出结论．【解答】解：一次函数31y x =-+中，30k =-<，y ∴随着x 的增大而减小．一次函数31y x =-+的图象过点1(x ，1)y ，1(1x +，2)y ，1(2x +，3)y ，且11112x x x <+<+， 321y y y ∴<<，故选：B ．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 5．（2018•深圳）如图，A 、B 是函数12y x=上两点，P 为一动点，作//PB y 轴，//PA x 轴，下列说法正确的是( )①AOP BOP ∆≅∆；②AOP BOP S S ∆∆=；③若OA OB =，则OP 平分AOB ∠；④若4BOP S ∆=，则16ABP S ∆=A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④【考点】GB ：反比例函数综合题 【专题】15：综合题【分析】由点P 是动点，进而判断出①错误，设出点P 的坐标，进而得出AP ，BP ，利用三角形面积公式计算即可判断出②正确，利用角平分线定理的逆定理判断出③正确，先求出矩形4OMPN =，进而得出4mn =，最后用三角形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：点P 是动点，BP ∴与AP 不一定相等，BOP ∴∆与AOP ∆不一定全等，故①不正确；设(,)P m n ， //BP y ∴轴，12(,)B m m ∴， 12||BP n m∴=-， 1121|||12|22BOP S n m mn m ∆∴=-⨯=- //PA x 轴，12(A n ∴，)n ，12||AP m n∴=-， 1121|||12|22AOP S m n mn n ∆∴=-⨯=-， AOP BOP S S ∆∆∴=，故②正确；如图，过点P 作PF OA ⊥于F ，PE OB ⊥于E ， 12AOP S OA PF ∆∴=⨯，12BOP S OB PE ∆=⨯，AOP BOP S S ∆∆=，OB PE OA PF ∴⨯=⨯， OA OB =，PE PF ∴=，PE OB ⊥，PF OA ⊥，OP ∴是AOB ∠的平分线，故③正确；如图1，延长BP 交x 轴于N ，延长AP 交y 轴于M ， AM y ∴⊥轴，BN x ⊥轴，∴四边形OMPN 是矩形，点A ，B 在双曲线12y x=上， 6AMO BNO S S ∆∆∴==， 4BOP S ∆=， 2PMO PNO S S ∆∆∴==，4OMPN S ∴=矩形，4mn ∴=，4m n∴=， 12|||3|2||BP n n n n m∴=-=-=，128||||AP m n n =-=， 1182||822||APB S AP BP n n ∆∴=⨯=⨯⨯=，故④错误；∴正确的有②③，故选：B ．【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质，三角形面积公式，角平分线定理逆定理，矩形的判定和性质，正确作出辅助线是解本题的关键．6．（2018•深圳）把函数y x =向上平移3个单位，下列在该平移后的直线上的点是( ) A ．(2,2)B ．(2,3)C ．(2,4)D ．(2,5)【考点】8F ：一次函数图象上点的坐标特征；9F ：一次函数图象与几何变换 【专题】53：函数及其图象【分析】根据平移的性质得出解析式，进而解答即可． 【解答】解：该直线向上平移3的单位， ∴平移后所得直线的解析式为：3y x =+；把2x =代入解析式35y x =+=， 故选：D ．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知一次函数图象平移的法则是解答此题的关键．7．（2018•广州）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O 出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m ．其行走路线如图所示，第1次移动到1A ，第2次移动到2A ，⋯，第n 次移动到n A ．则△22018OA A 的面积是( )A ．2504mB ．210092m C ．210112m D ．21009m【答案】A【考点】规律型：点的坐标 【专题】规律型；平面直角坐标系 【分析】由42n OA n =知20172016110092OA =+=，据此得出22018100911008A A =-=，据此利用三角形的面积公式计算可得． 【解答】解：由题意知42n OA n =，201845042÷=⋯，20172016110092OA ∴=+=， 22018100911008A A ∴=-=，则△22018OA A 的面积是21110085042m ⨯⨯=，故选：A ．【点评】本题主要考查点的坐标的变化规律，解题的关键是根据图形得出下标为4的倍数时对应长度即为下标的一半，据此可得．8．（2018•广东）如图，点P 是菱形ABCD 边上的一动点，它从点A 出发沿在A B C D →→→路径匀速运动到点D ，设PAD ∆的面积为y ，P 点的运动时间为x ，则y 关于x 的函数图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【考点】7E ：动点问题的函数图象 【专题】31：数形结合【分析】设菱形的高为h ，即是一个定值，再分点P 在AB 上，在BC 上和在CD 上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可． 【解答】解：分三种情况： ①当P 在AB 边上时，如图1， 设菱形的高为h ， 12y AP h =， AP 随x 的增大而增大，h 不变，y ∴随x 的增大而增大，故选项C 和D 不正确； ②当P 在边BC 上时，如图2， 12y AD h =， AD 和h 都不变，∴在这个过程中，y 不变，故选项A 不正确；③当P 在边CD 上时，如图3， 12y PD h =， PD 随x 的增大而减小，h 不变，y ∴随x 的增大而减小，P 点从点A 出发沿在A B C D →→→路径匀速运动到点D ， P ∴在三条线段上运动的时间相同，故选项B 正确； 故选：B ．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点P的位置的不同，分三段求出PAD∆的面积的表达式是解题的关键．9．（2017•广州）0a≠，函数ayx=与2y ax a=-+在同一直角坐标系中的大致图象可能是()A．B．C．D．【答案】D【考点】反比例函数的图象；二次函数的图象【分析】分0a>和0a<两种情况分类讨论即可确定正确的选项．【解答】解：当0a>时，函数ayx=的图象位于一、三象限，2y ax a=-+的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项，当0a<时，函数ayx=的图象位于二、四象限，2y ax a=-+的开口向上，交y轴的负半轴，D 选项符合；故选：D ．【点评】本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据比例系数的符号确定其图象的位置，难度不大．10．（2017•广东）如图，在同一平面直角坐标系中，直线11(0)y k x k =≠与双曲线22(0)k y k x=≠相交于A ，B 两点，已知点A 的坐标为(1,2)，则点B 的坐标为( )A ．(1,2)--B ．(2,1)--C ．(1,1)--D ．(2,2)--【答案】A【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【解答】解：点A 与B 关于原点对称，B ∴点的坐标为(1,2)--．故选：A ．【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握． 二、填空题（共9小题）11．（2021•深圳）如图，已知反比例函数过A ，B 两点，A 点坐标(2,3)，直线AB 经过原点，将线段AB 绕点B 顺时针旋转90︒得到线段BC ，则C 点坐标为 (4,7)- ．【答案】(4,7)-．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质；一次函数图象与几何变换 【专题】反比例函数及其应用；一次函数及其应用；运算能力；推理能力【分析】根据反比例函数的对称性求得B 的坐标，过点B 作y 轴的平行线l 过点A ，点C 作l 的垂线，分别交于D ，E 两点，则(2,3)D -，利用“一线三垂直”易证得ABD BEC ∆≅∆，即可求得6BE AD ==，4CE BD ==，从而求得C 的坐标为(4,7)-． 【解答】解：A 点坐标(2,3)，直线AB 经过原点，(2,3)B ∴--过点B 作y 轴的平行线l 过点A ，点C 作l 的垂线，分别交于D ，E 两点，则(2,3)D -，90ABD CBE ∠+∠=︒，90ABD BAD ∠+∠=︒， CBE BAD ∴∠=∠，在ABD ∆与BEC ∆ 中， 90CBE BAD BEC ADB BC BA ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ()ABD BEC AAS ∴∆≅∆，6BE AD ∴==，4CE BD ==，(4,7)C ∴-，故答案为(4,7)-．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，求得点的坐标是解题的关键．12．（2021•广州）一元二次方程240x x m -+=有两个相等的实数根，点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 是反比例函数my x=上的两个点，若120x x <<，则1y > 2y （填“<”或“>”或“=” )． 【答案】>．【考点】根的判别式；反比例函数图象上点的坐标特征 【专题】一元二次方程及应用；反比例函数及其应用；运算能力 【分析】由一元二次方程根的情况，求得m 的值，确定反比例函数my x=图象经过的象限，然后根据反比例函数的性质即可求得结论．【解答】解：一元二次方程240x x m -+=有两个相等的实数根， ∴△1640m =-=，解得4m =，0m >，∴反比例函数my x=图象在一三象限，在每个象限y 随x 的增大而减少， 120x x <<， 12y y ∴>，故答案为>．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．13．（2021•广东）把抛物线221y x =+向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 224y x x =+ ． 【答案】224y x x =+．【考点】二次函数图象与几何变换 【专题】二次函数图象及其性质；应用意识【分析】可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．【解答】解：把抛物线221y x =+向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：22(1)13y x =++-，即224y x x =+ 故答案为224y x x =+．【点评】本题考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．14．（2020•深圳）如图，在平面直角坐标系中，(0,0)O ，(3,1)A ，(1,2)B ．反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过OABC 的顶点C ，则k = 2- ．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质 【专题】反比例函数及其应用；运算能力【分析】连接OB ，AC ，根据O ，B 的坐标易求P 的坐标，再根据平行四边形的性质：对角线互相平分即可求出则C 点坐标，根据待定系数法即可求得k 的值． 【解答】解：连接OB ，AC ，交点为P ， 四边形OABC 是平行四边形，AP CP ∴=，OP BP =，(0,0)O ，(1,2)B ，P ∴的坐标1(2，1)，(3,1)A ，C ∴的坐标为(2,1)-，反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点C ，212k ∴=-⨯=-，方法二：四边形OABC 是平行四边形，//OA BC ∴，//OC AB ，(0,0)O ，(3,1)A ．A ∴向下平移1个单位，再向左平移3个单位与O 重合，B ∴向下平移1个单位，再向左平移3个单位与C 重合，(1,2)B ， (2,1)C ∴-，反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点C ，212k ∴=-⨯=-，故答案为：2-．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，平行四边形的性质，求得C 点的坐标是解答此题的关键．15．（2020•广州）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：)9.9mm ，10.1，10.0，若用a 作为这条线段长度的近似值，当a = 10.0mm 时，222(9.9)(10.1)(10.0)a a a -+-+-最小．对另一条线段的长度进行了n 次测量，得到n 个结果（单位：1)mm x ，2x ，⋯，n x ，若用x 作为这条线段长度的近似值，当x = mm 时，22212()()()n x x x x x x -+-+⋯+-最小．【答案】10.0，12nx x x n++⋯+．【考点】二次函数的应用【专题】二次函数图象及其性质；应用意识【分析】构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：设2222(9.9)(10.1)(10.0)360.0300.02y a a a a a =-+-+-=-+，30a =>，∴当60.010.06x -=-=时，y 有最小值， 设2222222121212()()()2()()n n n w x x x x x x nx x x x x x x x =-+-+⋯+-=-++⋯++++⋯+， 0n >，∴当12122()2n nx x x x x x x n n-++⋯+++⋯+=-=时，w 有最小值． 故答案为10.0，12nx x x n++⋯+．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题． 16．（2019•深圳）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，(0,3)C -，3CD AD =，点A 在反比例函数ky x=图象上，且y 轴平分ACB ∠，求k = 477 ．【考点】6G ：反比例函数图象上点的坐标特征【专题】34：方程思想；534：反比例函数及其应用；55D ：图形的相似；35：转化思想 【分析】要求k 的值，通常可求A 的坐标，可作x 轴的垂线，构造相似三角形，利用3CD AD =和(0,3)C -可以求出A 的纵坐标，再利用三角形相似，设未知数，由相似三角形对应边成比例，列出方程，求出待定未知数，从而确定点A 的坐标，进而确定k 的值．【解答】解：过A 作AE x ⊥轴，垂足为E ，(0,3)C -，3OC ∴=，90AED COD ∠=∠=︒，ADE CDO ∠=∠ ADE CDO ∴∆∆∽，∴13AE DE AD CO OD CD ===， 1AE ∴=；又y 轴平分ACB ∠，CO BD ⊥，BO OD ∴=， 90ABC ∠=︒，OCD DAE ABE ∴∠=∠=∠， ~ABE DCO ∴∆∆，∴AE BEOD OC=设DE n =，则3BO OD n ==，7BE n =， ∴1733nn =， 77n ∴=4747OE n ∴== 47(7A ∴，1) 4747177k ∴=⨯=． 故答案为：477．【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，综合利用相似三角形的性质，全等三角形的性质求A 的坐标，依据A 在反比例函数的图象上的点，根据坐标求出k 的值．综合性较强，注意转化思想方法的应用．17．（2018•广州）已知二次函数2y x =，当0x >时，y 随x 的增大而 增大 （填“增大”或“减小” )． 【考点】二次函数的性质 【专题】常规题型【分析】根据二次函数的二次项系数a 以及对称轴即可判断出函数的增减性． 【解答】解：二次函数2y x =，开口向上，对称轴为y 轴， ∴当0x >时，y 随x 的增大而增大．故答案为：增大．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是求出二次函数的对称轴为y 轴，开口向上，此题难度不大．18．（2018•广东）如图，已知等边△11OA B ，顶点1A 在双曲线3(0)y x x=>上，点1B 的坐标为(2,0)．过1B 作121//B A OA 交双曲线于点2A ，过2A 作2211//A B A B 交x 轴于点2B ，得到第二个等边△122B A B ；过2B 作2312//B A B A 交双曲线于点3A ，过3A 作3322//A B A B 交x 轴于点3B ，得到第三个等边△233B A B ；以此类推，⋯，则点6B 的坐标为 (26，0) ．【考点】6G ：反比例函数图象上点的坐标特征；KK ：等边三角形的性质 【专题】1：常规题型【分析】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出2B 、3B 、4B 的坐标，得出规律，进而求出点6B 的坐标．【解答】解：如图，作2A C x ⊥轴于点C ，设1B C a =，则23A C a ， 112OC OB B C a =+=+，2(23)A a a +．点2A 在双曲线3(0)y x x=>上， (2)33a a ∴+=，解得21a =-，或21a =--（舍去），2112222222OB OB B C ∴=+=+-=， ∴点2B 的坐标为(22，0)；作3A D x ⊥轴于点D ，设2B D b =，则33A D b =，2222OD OB B D b =+=+，3(22A b +，3)b ． 点3A 在双曲线3(0)y x x=>上， (22)33b b ∴+=，解得23b =-+，或23b =--（舍去），322222222323OB OB B D ∴=+=-+=， ∴点3B 的坐标为(23，0)；同理可得点4B 的坐标为(24，0)即(4,0)； 以此类推⋯，∴点n B 的坐标为(2n ，0)， ∴点6B 的坐标为(26，0)．故答案为(26，0)．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出2B 、3B 、4B 的坐标进而得出点n B 的规律是解题的关键．19．（2017•广州）当x = 1 时，二次函数226y x x =-+有最小值 ． 【考点】二次函数的最值 【专题】推理填空题【分析】把226x x -+化成2(1)5x -+，即可求出二次函数226y x x =-+的最小值是多少． 【解答】解：2226(1)5y x x x =-+=-+，∴当1x =时，二次函数226y x x =-+有最小值5．故答案为：1、5．【点评】此题主要考查了二次函数的最值，要熟练掌握，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 三、解答题（共10小题）20．（2021•深圳）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x （万元）与销售量y （件)的关系如表所示：（1）求y 与x 的函数关系式；（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？【答案】（1）y 与x 的函数关系式590y x =-+；（2）当销售单价为13万元时，有最大利润，最大利润为125万元． 【考点】二次函数的应用【专题】应用意识；二次函数的应用【分析】（1）通过表格数据可以判断y 与x 之间的函数关系式为一次函数关系，设出函数解析式用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据销售利润等于单件的利润与销售件数的乘积列出函数关系式，根据二次函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）由表格中数据可知，y 与x 之间的函数关系式为一次函数关系， 设(0)y kx b k =+≠，则10401230k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：590k b =-⎧⎨=⎩，y ∴与x 的函数关系式590y x =-+；（2）设该产品的销售利润为w ，由题意得：22(8)(590)(8)51307205(13)125w y x x x x x x =-=-+-=-+-=--+，50-<，∴当13x =时，w 最大，最大值为125（万元）， 答：当销售单价为13万元时，有最大利润，最大利润为125万元．【点评】本题考查一次函数的性质及待定系数法求函数解析式，关键是根据销售利润等于单件的利润与销售件数的乘积，列出函数关系式．21．（2020•深圳）端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元．（1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？（2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？【考点】9C ：一元一次不等式的应用；FH ：一次函数的应用；8A ：一元一次方程的应用 【专题】533：一次函数及其应用；69：应用意识【分析】（1）设蜜枣粽的进货单价是x 元，则肉粽的进货单价是(6)x +元，根据用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，可得出方程，解出即可；（2）设第二批购进肉粽y 个，则蜜枣粽购进(300)y -个，获得利润为w 元，根据w =蜜枣粽的利润+肉粽的利润，得一次函数，根据一次函数的增减性，可解答． 【解答】解：（1）设蜜枣粽的进货单价是x 元，则肉粽的进货单价是(6)x +元， 由题意得：50(6)30620x x ++=， 解得：4x =，6410∴+=，答：蜜枣粽的进货单价是4元，则肉粽的进货单价是10元；（2）设第二批购进肉粽y 个，则蜜枣粽购进(300)y -个，获得利润为w 元， 由题意得：(1410)(64)(300)2600w y y y =-+--=+，20>，w ∴随y 的增大而增大，2(300)y y -， 0200y ∴<，∴当200y =时，w 有最大值，4006001000w =+=最大值，答：第二批购进肉粽200个时，总利润最大，最大利润是1000元．【点评】本题考查了一次函数，一元一次方程及一元一次不等式的知识，解答本题的关键是仔细审题，找到不等关系及等量关系，难度一般． 22．（2020•广州）已知反比例函数ky x=的图象分别位于第二、第四象限，化简：21644k k k -+-- 【考点】4G ：反比例函数的性质；2G ：反比例函数的图象 【专题】66：运算能力；513：分式；534：反比例函数及其应用【分析】由反比例函数图象的性质可得0k <，化简分式和二次根式，可求解． 【解答】解：反比例函数ky x=的图象分别位于第二、第四象限， 0k ∴<， 10k ∴-<，∴216(4)(4)44|1|415444k k k k k k k k k k k -+-+++-=+-+=---．【点评】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象的性质，平方差公式，分式和二次根式的化简等知识，确定k 的取值范围是本题的关键．23．（2020•广东）如图，点B 是反比例函数8(0)y x x =>图象上一点，过点B 分别向坐标轴作垂线，垂足为A ，C ．反比例函数(0)ky x x=>的图象经过OB 的中点M ，与AB ，BC 分别相交于点D ，E ．连接DE 并延长交x 轴于点F ，点G 与点O 关于点C 对称，连接BF ，BG ．（1）填空：k = 2 ； （2）求BDF ∆的面积；（3）求证：四边形BDFG 为平行四边形．【考点】反比例函数综合题 【专题】数形结合；数据分析观念【分析】（1）设点(,)B s t ，8st =，则点1(2M s ，1)2t ，则1112224k s t st =⋅==；（2）BDF ∆的面积OBD =∆的面积BOA OAD S S ∆∆=-，即可求解； （3）确定直线DE 的表达式为：21522y x m m=-+，令0y =，则5x m =，故点(5,0)F m ，即可求解．【解答】解：（1）设点(,)B s t ，8st =，则点1(2M s ，1)2t ，则1112224k s t st =⋅==，故答案为2；（2）连接OD ，则BDF ∆的面积OBD =∆的面积1182322BOA OAD S S ∆∆=-=⨯-⨯=；（3）设点2(,)D m m ，则点2(4,)B m m，。
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2017-2021年广东中考数学真题分类汇编之二次函数一．选择题（共8小题）1．（2018•深圳）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．abc＞0B．2a+b＜0C．3a+c＜0D．ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根2．（2021•深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．3．（2020•广东）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．（2020•深圳）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（）A．abc＞0B．4ac﹣b2＜0C．3a+c＞0D．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1无实数根5．（2020•广东）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2+3 6．（2021•广州）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2时，y的值为（）A．﹣5B．﹣3C．﹣1D．5 7．（2021•广东）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p ＝，则其面积S＝．这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，则此三角形面积的最大值为（）A．B．4C．2D．5 8．（2021•广东）设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（）A．B．C．D．1二．填空题（共4小题）9．（2018•广州）已知二次函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．10．（2017•广州）当x＝时，二次函数y＝x2﹣2x+6有最小值．11．（2021•广东）把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为．12．（2020•广州）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：mm）9.9，10.1，10.0，若用a作为这条线段长度的近似值，当a＝mm时，（a﹣9.9）2+（a﹣10.1）2+（a﹣10.0）2最小．对另一条线段的长度进行了n次测量，得到n个结果（单位：mm）x1，x2，…，x n，若用x作为这条线段长度的近似值，当x＝mm时，（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣x n）2最小．三．解答题（共8小题）13．（2021•深圳）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）的关系如表所示：x（万元）10121416y（件）40302010（1）求y与x的函数关系式；（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？14．（2021•广东）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；（2）设猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65），y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．15．（2018•广东）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y＝ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x+m过顶点C和点B．（1）求m的值；（2）求函数y＝ax2+b（a≠0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2017•广州）已知抛物线y1＝﹣x2+mx+n，直线y2＝kx+b，y1的对称轴与y2交于点A （﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．（1）求y1的解析式；（2）若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式．17．（2017•深圳）如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC＝S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．18．（2021•广州）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．19．（2020•广东）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC＝CD．（1）求b，c的值；（2）求直线BD的函数解析式；（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ 相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．20．（2018•广州）已知抛物线y＝x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上．①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；②若点C关于直线x＝﹣的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P的半径记为r，求的值．2017-2021年广东中考数学真题分类汇编之二次函数参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2018•深圳）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．abc＞0B．2a+b＜0C．3a+c＜0D．ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．【专题】函数及其图象．【分析】根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x＝﹣，得到b＞0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，进而解答即可．【解答】解：∵抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x＝﹣，得到b＞0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，A、abc＜0，错误；B、2a+b＝0，不是2a+b＜0，错误；C、当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴3a+c＝a﹣b+c＜0，所以C正确；D、由图可知，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝3有一个交点，可得：ax2+bx+c﹣3＝0，此方程有一个实数根，错误；故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．2．（2021•深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【专题】二次函数图象及其性质；几何直观．【分析】由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负以及对称轴，与一次函数y ＝2ax+b的图象得到的字母系数的正负以及与x轴的交点相比较看是否一致．【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＝1，对称轴为直线x＝﹣，由直线可知，a＞0，b＜0，直线经过点（﹣，0），故本选项符合题意；B、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；C、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；D、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．3．（2020•广东）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．【解答】解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b＞0，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，∴abc＜0，故①错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；∵直线x＝1是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以﹣＝1，可得b＝﹣2a，由图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，∴4a﹣2×（﹣2a）+c＜0，即8a+c＜0，故③正确；由图象可知，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，两式相加得，5a+b+2c＞0，故④正确；∴结论正确的是②③④3个，故选：B．【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．4．（2020•深圳）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（）A．abc＞0B．4ac﹣b2＜0C．3a+c＞0D．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1无实数根【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点；根的判别式．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对B进行判断；x＝1时，y＜0，可对C进行判断；根据抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n+1无交点，可对D进行判断．【解答】解：A．∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故A正确；B．∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，故B正确；C．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，∴x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，∵b＝2a，∴3a+c＜0，故C错误；D．∵抛物线开口向下，顶点为（﹣1，n），∴函数有最大值n，∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n+1无交点，∴一元二次方程ax2+bx+c＝n+1无实数根，故D正确．故选：C．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．5．（2020•广东）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【分析】先求出y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2），∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），∴所得的图象解析式为y＝（x﹣2）2+2．故选：C．【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，求出平移后的函数图象的顶点坐标直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．6．（2021•广州）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2时，y的值为（）A．﹣5B．﹣3C．﹣1D．5【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；几何直观．【分析】根据抛物线与x轴两交点，及与y轴交点可画出大致图象，根据抛物线的对称性可求y＝﹣5．【解答】解：如图∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），∴可画出上图，∵抛物线对称轴x＝＝1，∴点（0，﹣5）的对称点是（2，﹣5），∴当x＝2时，y的值为﹣5．故选：A．【点评】本题考查了抛物线的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识，画出图象利用对称性是解题的关键．7．（2021•广东）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p ＝，则其面积S＝．这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，则此三角形面积的最大值为（）A．B．4C．2D．5【考点】二次函数的最值；代数式求值．【专题】二次根式；运算能力．【分析】根据公式算出a+b的值，代入公式即可求出解．【解答】解：∵p＝，p＝5，c＝4，∴5＝，∴a+b＝6，∴a＝6﹣b，∴S＝＝＝＝＝＝＝，当b＝3时，S有最大值为＝2．故选：C．【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形的面积．8．（2021•广东）设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（）A．B．C．D．1【考点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；圆的有关概念及性质；图形的相似；推理能力；应用意识．【分析】分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式可得AE＝a2，BF＝b2，作AH⊥BH于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，设点D（0，m），易证△ADG∽△ABH，所以，即．可得m＝ab．再证明△AEO∽△OFB，所以，即，可得ab＝1．即得点D为定点，坐标为（0，1），得DO＝1．进而可推出点C是在以DO为直径的圆上运动，则当点C到y轴距离为此圆的直径的一半，即时最大．【解答】解：如图，分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式为y＝x2，则AE＝a2，BF＝b2，作AH⊥BF于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，设点D（0，m），∵DG∥BH，∴△ADG∽△ABH，∴，即．化简得：m＝ab．∵∠AOB＝90°，∴∠AOE+∠BOF＝90°，又∠AOE+∠EAO＝90°，∴∠BOF＝∠EAO，又∠AEO＝∠BFO＝90°，∴△AEO∽△OFB．∴，即，化简得ab＝1．则m＝ab＝1，说明直线AB过定点D，D点坐标为（0，1）．∵∠DCO＝90°，DO＝1，∴点C是在以DO为直径的圆上运动，∴当点C到y轴距离为＝时，点C到y轴的距离最大．故选：A．【点评】本题考查了二次函数结合动点问题背景下的最值求法，涉及相似三角形，圆周角定理，此题难度较大，关键是要找出点D为定点，确定出点C的轨迹为一段优弧，再求最值．二．填空题（共4小题）9．（2018•广州）已知二次函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而增大（填“增大”或“减小”）．【考点】二次函数的性质．【专题】常规题型．【分析】根据二次函数的二次项系数a以及对称轴即可判断出函数的增减性．【解答】解：∵二次函数y＝x2，开口向上，对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而增大．故答案为：增大．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是求出二次函数的对称轴为y 轴，开口向上，此题难度不大．10．（2017•广州）当x＝1时，二次函数y＝x2﹣2x+6有最小值5．【考点】二次函数的最值．【专题】推理填空题．【分析】把x2﹣2x+6化成（x﹣1）2+5，即可求出二次函数y＝x2﹣2x+6的最小值是多少．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+6＝（x﹣1）2+5，∴当x＝1时，二次函数y＝x2﹣2x+6有最小值5．故答案为：1、5．【点评】此题主要考查了二次函数的最值，要熟练掌握，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．11．（2021•广东）把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝2x2+4x．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【分析】可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．【解答】解：把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2+1﹣3，即y＝2x2+4x故答案为y＝2x2+4x．【点评】本题考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．12．（2020•广州）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：mm）9.9，10.1，10.0，若用a作为这条线段长度的近似值，当a＝10.0mm时，（a﹣9.9）2+（a﹣10.1）2+（a﹣10.0）2最小．对另一条线段的长度进行了n次测量，得到n个结果（单位：mm）x1，x2，…，x n，若用x作为这条线段长度的近似值，当x＝mm时，（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣x n）2最小．【考点】二次函数的应用．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【分析】构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：设y＝（a﹣9.9）2+（a﹣10.1）2+（a﹣10.0）2＝3a2﹣60.0a+300.02，∵a＝3＞0，∴当x＝﹣＝10.0时，y有最小值，设w＝（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣x n）2＝nx2﹣2（x1+x2+…+x n）x+（x12+x22+…+x n2），∵n＞0，∴当x＝﹣＝时，w有最小值．故答案为10.0，．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题．三．解答题（共8小题）13．（2021•深圳）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）的关系如表所示：x（万元）10121416y（件）40302010（1）求y与x的函数关系式；（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？【考点】二次函数的应用．【专题】二次函数的应用；应用意识．【分析】（1）通过表格数据可以判断y与x之间的函数关系式为一次函数关系，设出函数解析式用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据销售利润等于单件的利润与销售件数的乘积列出函数关系式，根据二次函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）由表格中数据可知，y与x之间的函数关系式为一次函数关系，设y＝kx+b（k≠0），则，解得：，∴y与x的函数关系式y＝﹣5x+90；（2）设该产品的销售利润为w，由题意得：w＝y（x﹣8）＝（﹣5x+90）（x﹣8）＝﹣5x2+130x﹣720＝﹣5（x﹣13）2+125，∵﹣5＜0，∴当x＝13时，w最大，最大值为125（万元），答：当销售单价为13万元时，有最大利润，最大利润为125万元．【点评】本题考查一次函数的性质及待定系数法求函数解析式，关键是根据销售利润等于单件的利润与销售件数的乘积，列出函数关系式．14．（2021•广东）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；（2）设猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65），y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．【考点】二次函数的应用；分式方程的应用．【专题】二次函数的应用；应用意识．【分析】（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a﹣10）元，根据商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可；（2）由题意得，当x＝50时，每天可售出100盒，当猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65）时，每天可售[100﹣2（x﹣50）]盒，列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x 元的函数关系式，根据二次函数的性质及x的取值范围求利润的最大值．【解答】解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a﹣10）元，则，解得：a＝40，经检验a＝40是方程的解，∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元，（2）由题意得，当x＝50时，每天可售出100盒，当猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65）时，每天可售[100﹣2（x﹣50）]盒，∴y＝x[100﹣2（x﹣50）]﹣40×[100﹣2（x﹣50）]＝﹣2x2+280x﹣8000，配方，得：y＝﹣2（x﹣70）2+1800，∵x＜70时，y随x的增大而增大，∴当x＝65时，y取最大值，最大值为：﹣2×（65﹣70）2+1800＝1750（元）．答：y关于x的函数解析式为y＝﹣2x2+280x﹣8000（50≤x≤65），且最大利润为1750元．【点评】本题考查了二次函数的应用以及分式方程的解法，关键是根据题意列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式．15．（2018•广东）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y＝ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x+m过顶点C和点B．（1）求m的值；（2）求函数y＝ax2+b（a≠0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】函数及其图象．【分析】（1）把C（0，﹣3）代入直线y＝x+m中解答即可；（2）把y＝0代入直线解析式得出点B的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可；（3）分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可．【解答】解：（1）将（0，﹣3）代入y＝x+m，可得：m＝﹣3；（2）将y＝0代入y＝x﹣3得：x＝3，所以点B的坐标为（3，0），将（0，﹣3）、（3，0）代入y＝ax2+b中，可得：，解得：，所以二次函数的解析式为：y＝x2﹣3；（3）存在，分以下两种情况：①若M在B上方，设MC交x轴于点D，则∠ODC＝45°+15°＝60°，∴OD＝OC•tan30°＝，设DC为y＝kx﹣3，代入（，0），可得：k＝，联立两个方程可得：，解得：，所以M1（3，6）；②若M在B下方，设MC交x轴于点E，则∠OEC＝45°﹣15°＝30°，∴∠OCE＝60°，∴OE＝OC•tan60°＝3，设EC为y＝kx﹣3，代入（3，0）可得：k＝，联立两个方程可得：，解得：，所以M2（，﹣2），综上所述M的坐标为（3，6）或（，﹣2）．【点评】此题主要考查了二次函数的综合题，需要掌握待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式等知识是解题关键．16．（2017•广州）已知抛物线y1＝﹣x2+mx+n，直线y2＝kx+b，y1的对称轴与y2交于点A （﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．（1）求y1的解析式；（2）若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的性质．【分析】（1）根据题意求得顶点B的坐标，然后根据顶点公式即可求得m、n，从而求得y1的解析式；（2）分两种情况讨论：当y1的解析式为y1＝﹣x2﹣2x时，抛物线与x轴的交点（0，0）或（﹣2，0），y2经过（﹣2，0）和A，符合题意；当y1＝﹣x2﹣2x+8时，解﹣x2﹣2x+8＝0求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据A的坐标和y2随着x的增大而增大，求得y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣4，0），然后根据待定系数法求得即可．【解答】解：（1）∵抛物线y1＝﹣x2+mx+n，直线y2＝kx+b，y1的对称轴与y2交于点A （﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．∴B（﹣1，1）或（﹣1，9），∴﹣＝﹣1，＝1或9，解得m＝﹣2，n＝0或8，∴y1的解析式为y1＝﹣x2﹣2x或y1＝﹣x2﹣2x+8；（2）①当y1的解析式为y1＝﹣x2﹣2x时，抛物线与x轴交点是（0，0）和（﹣2，0），∵y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），∴y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣2，0），把（﹣1，5），（﹣2，0）代入得，解得，∴y2＝5x+10．②当y1＝﹣x2﹣2x+8时，解﹣x2﹣2x+8＝0得x＝﹣4或2，∵y2随着x的增大而增大，且过点A（﹣1，5），∴y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣4，0），把（﹣1，5），（﹣4，0）代入得，解得；∴y2＝x+．【点评】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，根据题意求得顶点坐标是解题的关键．17．（2017•深圳）如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC＝S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由条件可求得点D到x轴的距离，即可求得D点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D点坐标；（3）由条件可证得BC⊥AC，设直线AC和BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，则可得BF＝BC，利用平行线分线段成比例可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE解析式，联立直线BE和抛物线解析式可求得E点坐标，则可求得BE的长．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）由题意可知C（0，2），A（﹣1，0），B（4，0），∴AB＝5，OC＝2，∴S△ABC＝AB•OC＝×5×2＝5，∵S△ABC＝S△ABD，∴S△ABD＝×5＝，设D（x，y），∴AB•|y|＝×5|y|＝，解得|y|＝3，当y＝3时，由﹣x2+x+2＝3，解得x＝1或x＝2，此时D点坐标为（1，3）或（2，3）；当y＝﹣3时，由﹣x2+x+2＝﹣3，解得x＝﹣2（舍去）或x＝5，此时D点坐标为（5，﹣3）；综上可知存在满足条件的点D，其坐标为（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）；（3）∵AO＝1，OC＝2，OB＝4，AB＝5，∴AC＝＝，BC＝＝2，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC，如图，设直线AC与直线BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，由题意可知∠FBC＝45°，∴∠CFB＝45°，∴CF＝BC＝2，∴＝，即＝，解得OM＝2，＝，即＝，解得FM＝6，∴F（2，6），且B（4，0），设直线BE解析式为y＝kx+m，则可得，解得，∴直线BE解析式为y＝﹣3x+12，联立直线BE和抛物线解析式可得，解得或，∴E（5，﹣3），∴BE＝＝．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得D点的纵坐标是解题的关键，在（3）中由条件求得直线BE的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，有一定的难度．18．（2021•广州）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题；函数思想；待定系数法；函数的综合应用；运算能力；应用意识．【分析】（1）当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣x+3，将x＝2代入得y＝5，故点（2，4）不在抛物线上；（2）抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的顶点为（，），而＝﹣（m﹣3）2+5，即得m＝3时，纵坐标最大，此时顶点移动到了最高处，顶点坐标为：（2，5）；（3）求出直线EF的解析式为y＝2x+1，由得直线y＝2x+1与抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），因（2，5）在线段EF上，由已知可得（m+1，2m+3）不在线段EF上，即是m+1＜﹣1或m+1＞3，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合，可得抛物线顶点横坐标x顶点＝＜﹣或x顶点＝＞或x顶点＝1．【解答】解：（1）当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣x+3，将x＝2代入得y＝4﹣2+3＝5，∴点（2，4）不在抛物线上；（2）抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的顶点为（，），化简得（，），顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大，而＝﹣（m﹣3）2+5，∴m＝3时，纵坐标最大，即是顶点移动到了最高处，此时顶点坐标为：（2，5）；（3）设直线EF解析式为y＝kx+b，将E（﹣1，﹣1）、F（3，7）代入得：，解得，∴直线EF的解析式为y＝2x+1，由得：或，∴直线y＝2x+1与抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），而（2，5）在线段EF上，∴若该抛物线与线段EF只有一个交点，则（m+1，2m+3）不在线段EF上，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合，∴m+1＜﹣1或m+1＞3或m+1＝2（此时2m+3＝5），∴此时抛物线顶点横坐标x顶点＝＜﹣或x顶点＝＞或x顶点＝＝＝1．【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及图象上点坐标特征，顶点坐标，抛物线与线段交点等知识，解题的关键是用m的代数式表示抛物线与直线交点的坐标．19．（2020•广东）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC＝CD．（1）求b，c的值；（2）求直线BD的函数解析式；（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ 相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力；应用意识．【分析】（1）先求出点A，点B坐标，代入交点式，可求抛物线解析式，即可求解；（2）过点D作DE⊥AB于E，由平行线分线段成比例可求OE＝，可求点D坐标，利用待定系数法可求解析式；（3）利用两点距离公式可求AD，AB，BD的长，利用锐角三角函数和直角三角形的性质可求∠ABD＝30°，∠ADB＝45°，分∠ABP＝30°或∠ABP＝45°两种情况讨论，利用相似三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵BO＝3AO＝3，∴点B（3，0），点A（﹣1，0），∴抛物线解析式为：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣x﹣，∴b＝﹣，c＝﹣；（2）如图1，过点D作DE⊥AB于E，。