同济大学高等数学第七版1_1映射与函数
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同济大学高等数学第七版1_1映射与函数
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幂函数的图形和性质
yx
(是常数)
y x2
y
1
yx
(1,1)
y x
图像特点及性质：
o
1、图形都通过点（1，1）。
2、 0 时，图形过原点， 且在 (0,) 内单调增加。
1 y x
1
x
3、
0 时，图形在 (0,)
内单调减少。
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M *表示 M 中排除 0 的集 ;
2. 集合之间的关系及运算 定义2 . 设有集合 A , B , 若 x A 必有 x B , 则称 A 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B .
若 例如 , 且 , 则称 A 与 B 相等, 记作 A B . ,
元素 a 属于集合 M , 记作 a M .
元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) .
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表示法： (1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 A a1 , a2 , , an
自然数集 N 0 , 1 , 2 , , n , 注 : M 为数集 (2) 描述法： M x x所具有的特征 . M 表示 M 中排除 0 与负数的集 例: 整数集合 Z x x N 或 x N p p 与 q 互质 p Z, q N , 有理数集 Q q 实数集合 R x x 为有理数或无理数
同一个函数在不同的实数集是否有界的结论可能不一样。
高等数学同济第七版第一章ppt课件
3. 闭区间上连续函数的性质
有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 .
a (1cos x2
x)
,
例2. 设函数 f (x)
1,
x0 x0
ln(b x2) , x 0
在 x = 0 连续 , 则 a = 2 , b = e .
提示:
f (0 ) lim a (1 cos x) a
函数与极限
一、 函数 二、 连续与间断 三、 极限
第一章
一、 函数
1. 概念
定义: 设 D R , 函数为特殊的映射:
f :D
定义域
f (D) R
值域
其中 f (D) y y f (x), x D
图形:
y
C (x , y) y f (x), x D
( 一般为曲线 )
y f (x)
x 13 x 1
(4)
f
(x)
1 1
x3 x3
, ,
x 0 1 x0
x6 ,
xR
以上各函数都是初等函数 .
(x 1)2 x 1 x 1
y1 ⑷
Ox
4. 设 f (x) ex2 , f [(x)] 1 x , 且(x) 0, 求 (x)
及其定义域 .
5.
已知
f
(x)
x f
3, [ f (x
5)],
x8 x8
, 求 f (5) .
6. 设 f (sin x 1 ) csc2 x cos2 x , 求 f (x). sin x
4.
解:
f
(
x
)
e
x
2
,
f [ (x)] e 2(x)
高等数学 同济大学第七版第1章第1节课件C1S1
那么称函数f (x)在X上有上界
y
K1 称为函数f (x)在X上的一个上界
类似可以定义函数f (x)在X上有下界
o
x
函数的几种特性
1．函数的有界性
设函数f (x) 的定义域为D，数集 X D
如果存在数 K1, 使得 f ( x) K1 对任一 x X 都成立
那么称函数f (x)在X上有上界
o
x
注 函数f (x)在X上有界
函数f (x)在X上既有上界，又有下界
例：f ( x) sin x 在(, )内有界，f ( x) 1 在(0, 1)内无界 x
函数的几种特性
2．函数的单调性
设函数f (x) 的定义域为D，区间 I D
y
如果对于区间I上的任意两点x1及x2，
积 f g ( f g)( x) f ( x) g( x), x D
商 f g
f ( x) f ( x) , x D \ x | g( x) 0
g g(x)
概念
概念
集映 合射
逆映射
区邻 间域
构造 复合映射
初等函数 函
反函数
数
复合函数 构造
四则运算
第一讲 映射与函数
映
特例
函
射
数
概念
映
函
射
数
映射的概念
定义 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得 对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素 y与之对应，那么称f为从X到Y的映射，记作：y=f (x)
f Xx
原像
像
定义域
Y y
值域
注
（1） 映射的三要素：定义域、值域的范围、对应法则； （2） 映射的像唯一，但原像不一定唯一； （3） 映射又称为算子，在不同数学分支中有不同的名称
同济大学数学系《高等数学》第7版笔记和课后习题含考研真题详解(1-2章)【圣才出品】
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注：这里三个 lim 都表示在同一自变量变化过程中的极限。
4．有关 sinx，x，tanx 的不等式 sinx＜x＜tanx，∀x∈（－π/2，0）或（0，π/2）
七、无穷小的比较 1．相关无穷小的定义（见表 1-2）
lim
x
f
x
kx
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特别地，当 k＝0 时，曲线有水平渐近线 y＝b。
②垂直渐近线
若
lim
x x0
f
x
（或者左、右极限趋于无穷），则垂直渐近线为 x＝x0。
3．无穷大与无穷小之间的关系 在自变量的同一变化过程中，如果 f（x）为无穷大，则 1/f（x）为无穷小；反之，如 果 f（x）为无穷小，且 f（x）≠0，则 1/f（x）为无穷大。
（1）唯一性
如果
lim
x x0
f
x 存在，则这极限唯一。
（2）局部有界性
如果
lim
x x0
f
x
A ，则存在常数 M＞0 和δ＞0，使得当 0＜|x－x0|＜δ时，有|f（x）|
≤M。
（3）局部保号性
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表 1-2 相关无穷小的定义
2．定理
～
～
～～
～～
设α～α，β～β且 lim（β/α）存在，则 lim（β/α）＝lim（β/α）。
3．常用的等价无穷小 sinx～x，tanx～x，arcsinx～x，1－cosx～x2/2（x→0），ln（1＋x）～x（x→0），ex －1～x（x→0），（1＋x）α－1～αx（x→0）
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)教材包含 笔记 课后习题 考研真题 函数与极限(圣才出品
（2）有界性
如果数列{xn}收敛，则数列{xn}一定有界。
①有界数列：存在正数 M，使得对于一切 xn 都满足不等式|xn|≤M。
②无界数列：不存在正数 M，使得对于一切 xn 都满足不等式|xn|≤M。
（3）保号性
如果
lim
n
xn
a
，且
a＞0（或
a＜0），则存在正整数
N＞0，当
n＞N
时，都有
xn＞0
（4）初等函数
5 类基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
二、数列的极限
1．数列极限的定义
数列{xn}收敛于
a⇔
lim
n
xn
a
⇔∀ε＞0，∃正整数
N，当
n＞N
时，有|xn－a|＜ε。
数列{xn}是发散⇔
lim
n
xn
不存在。
2．收敛数列的性质
（1）唯一性
如果数列{xn}收敛，则它的极限唯一。
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第 1 章 函数与极限
1.1 复习笔记
一、映射与函数 1．函数 （1）函数的性质（见表 1-1）
表 1-1 函数的性质
（2）反函数与复合函数 ①反函数的特点 a．函数 f 和反函数 f－1 的单调性一致。 b．f 的图像和 f－1 的图像关于直线 y＝x 对称。 ②复合函数 g 与 f 能构成复合函数 f°g 的条件是：f 的定义域与 g 的值域的交集不能为空集。 （3）函数的运算 设函数 f（x），g（x）的定义域为 Df，Dg，且定义域有交集为 D，则可定义这两个函
②如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，则数列{xn}是发散的。
高等数学同济第七版第一章PPT优秀课件
2x 1 x
)
~
2x 1 x
e
lim (
x0
cos sin
x x
2x 1 x
)
e2
复习: 若 lim u(x) 0, lim v(x) , 则有
x x0
x x0
lim v(x)u(x)
lim 1 u(x) v(x) exx0
x x0
lim v(x) ln1 u(x)
exx0
例8. 确定常数 a , b , 使 lim (3 1 x3 a x b) 0
求
lim
(1
2x
3x
)
1 x
.
解:
x
令 f (x)
(1
2x
3x
1
)x
3
(13) x
(32) x
1
1 x
则
1
3 f (x) 33x
利用夹逼准则可知 lim f (x) 3 .
x
作业
P75 4 (1) , (4) ; 5 ; 8 ; 9 (2) , (3) , (6) ; 10; 11 ; 12 ; 13
x0
x2
2
f (0 ) lim ln (b x2) ln b
x0
a 1 ln b 2
1 cos x ~ 1 x2 2
例3. 设函数
f (x) ex b (x a)(x 1)
有无穷间断点
x0
及可去间断点 x 1,试确定常数 a 及 b .
解: x 0 为无穷间断点, 所以
lim ex b x0 (x a)(x 1)
f
(11t )
f
(t)
2 1t
,
即
高等数学(同济大学第七版)第一章函数与极限课后答案
高等数学(同济大学第七版)第一章函数与极限课后答案高等数学（同济大学第七版）第一章函数与极限课后答案1. 函数的概念1.1 什么是函数在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数可以用各种形式表示，例如数学公式、图表或者一种操作规则。
1.2 函数的分类根据函数的性质和表达方式，函数可以分为代数函数、三角函数、指数函数、对数函数等等。
每种类型的函数都有其独特的性质和特点。
2. 极限的概念与性质2.1 极限的定义在数学中，当自变量趋近于某个特定值时，函数的值可能会趋近于一个常数或无限大。
这种趋近的过程被称为极限。
极限可以用数学符号进行表示。
2.2 极限的性质极限具有一些重要的性质，例如唯一性、局部性以及四则运算法则。
这些性质对于研究函数的性质和行为至关重要。
3. 函数的连续性与间断点3.1 函数的连续性连续性是函数的重要性质之一，它表示函数在某个区间内没有突变或间断。
一个函数可以是连续的，也可以是不连续的。
3.2 间断点的分类根据函数在某个点处的性质，间断点可以分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
每种类型的间断点都有其特定的定义和判断条件。
4. 导数与微分4.1 导数的定义在数学中，导数表示函数在某一点处的变化率或斜率。
导数可以通过极限的概念来定义，并且具有一些重要的性质。
4.2 微分的概念与计算微分是导数的一个重要应用，它可以用于计算函数在某一点处的近似值。
微分也可以用于解决最优化问题和求解方程的近似解。
5. 函数的凸性与极值5.1 函数的凸性凸性是函数曲线的重要性质之一，它表示函数曲线在某个区间内的凸凹形态。
凸性可以通过函数的二阶导数来判断。
5.2 极值的概念与求解极值是函数在某个区间内取得的最大值或最小值。
求解极值可以通过函数的导数和二阶导数来进行，常用的方法包括 Fermat 定理和 Euler 判别法。
6. 函数的图形与曲线的绘制6.1 函数的图形与性质函数的图形是函数曲线在平面直角坐标系上的表示。
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（4）
，故其定义域为（－2，2）．
（5）x≥0，故其定义域为[0，＋∞）．
（6）
，故其定义域为{x|x∈R 且
，k∈Z}．
（7）
，故其定义域为[2，4]．
（8）3－x≥0 且 x≠0，故其定义域为（－∞，0）∪（0，3]．
（9）
，故其定义域为（－1，＋∞）．
（10）x≠0，故其定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）．
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第一章 函数与极限
习题 1-1 映射与函数 1．求下列函数的自然定义域：
解：（1）
，故其定义域为
．
（2）
，故其定义域为（－∞，－1）∪（－1，1）∪（1，＋∞）．
（3）x≠0 且
且|x|≤1，故其定义域为[－1，0）∪（0，1]．
故 G（x）为偶函数． 设 f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，则 f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x）．令 ，于是
故 H（x）为奇函数．
7．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？
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令 F（x）＝f1（x）＋f2（x），于是 F（－x）＝f1（－x）＋f2（－x）＝f1（x）＋f2（x）＝F（x）
故 F（x）为偶函数． 设 g1（x），g2（x）均为奇函数，则 g1（－x）＝－g1（x），g2（－x）＝－g2（x）．令 ，于是 G（－x）＝g1（－x）＋g2（－x）＝－g1（x）－g2（x）＝－G（x）
故 G（x）为奇函数． （2）设 f1（x）,f2（x）均为偶函数，则 f1（－x）＝f1（x），f2（－x）＝f2（x）．令 ，于是 F（－x）＝f1（－x）·f2（－x）＝f1（x）f2（x）＝F（x）
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复合映射 , 记作
注意: 构成复合映射的条件
机动
不可少.
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三、函数
1. 函数的概念
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2. 反函数
（教材14页）
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In Excel: abs(x)
证明 对于任意的
是偶函数，
是奇函数。
补充：两个奇（偶）函数之和仍是奇（偶）函数；
之积是偶函数;
一个奇函数与一个偶函数之积是奇函数。
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(4) 周期性
且 则称 若
为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
周期为
周期为
注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常量函数
第一章 函数与极限
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
第一章
第一节 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
四、 初等函数
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一、 集合
1. 定义及表示法
定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.
组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 .
使得对任意的
函数
总有
则称
在D上有上(或下）界。 函数在某个区间D上有
界时函数既有上界、也有下界， 反之也成立。 但当函数 在D上只有上界（或有下界）时， 函数在D上无界。
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例1 设
当
则称 当 则称 当 当
时，
时为有界函数。 使
时， 不存在正数
时，为无界函数。
说明：一个函数是否有界与所给的实数集密切相关。
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称为半开区间, 称为半开区间, 以上是有限区间
无限区间
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邻域:
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绝对值
设 a 是一个实数，数轴上 a 所对应的点到原点的距离 称为 a 的绝对值，记为： 一般：
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数轴上点 x 到点 a 的距离为
运算性质:
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特别：自然对数函数
y e 的反函数记为 y ln x
y f (u ), u D1
且 ( D ) D1
则
① ②
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 ( D) D1 不可少.
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两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y
u , u0
u ln v
v 1
用描点法在同一坐标系中
三个函数的图形分别为:
0,1
0
x
指数函数 y a
1 x y( ) a
x
(a 0, a 1) x (, )
ya
x
y
a 1
性质： （1）图形在 x 轴的上方
1 0 1 a
y 0 x , .
(0,1)
（2）图形均过点 0,1 （3） (a 1) x 曲线从左到右逐渐上升。
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对应规则： f 定义域 ：Df = X 值域 ： Rf =
注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
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几种映射的类型
满映射（满射） 单映射（单射） 一一映射（双射）
同一个函数在不同的实数集是否有界的结论可能不一样。
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(2) 单调性
定义：设函数 且
则称 f ( x ) 在 则称 在
上是单调增加的 ; 上是单调减少的.
单增和单减函数统称为单调函数。
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例1：证明 证明函数 且 或当 （或 （或 看 时，判别 。 的单调性，关键是看 的符号。
其图形对称于原点。
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(3) 奇偶性
说明: 若 必有 在 x = 0 有定义 , 则当为奇函数时,
偶倍奇零
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例 1： 是偶函数
是奇函数
例2 判断函数 的奇偶性。
解
则此函数在为偶函数。
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例3 设
是定义在
上的任意函数，证明 是偶函数， 是奇函数。
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逻辑量词
全称量词
There Exist
E
存在量词
For All
存在 There Exist
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A
任意
For All
解释以下命题
对任意实数x，都存在比x 更大的实数y。
任意两个实数之间，都存在着一个实数。
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二、 映射
1. 映射的概念 引例 某校学生的集合 学号的集合 按一定规则查号
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求周期函数的周期的方法：
由此等式中解出 l . 例：求函数 解：
的周期 l .
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4、复合函数 定义：设 y f u u x x 的值全部落在 f u 的定义域内， 则称 y f [ x ]为x 的复合函数。 即： 设有函数链
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例2
这说明：有时一个函数在整个区间D不是单调的，
而将D分成几个小区间， 却在每个小区间上是单调的，
这需要分别讨论。
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(3) 奇偶性
定义： 设函数 且满足 若 则称 f (x) 为偶函数; 在对称区间 上有定义。
其图形对称于 y 轴。 若 则称 f (x) 为奇函数.
2、图形在 y 轴的右方
(1,0)
x 0 不与 y 轴相交。
3、
ห้องสมุดไป่ตู้
a 1
0 y ,
y log a x 0 a 1 曲线从左到右逐渐上升。
0 x 1
y 0
x 1
0 a 1
(4)
曲线从左到右逐渐下降。
a
y log a x 与 y log 1 x 的图形对称于 x轴.
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M *表示 M 中排除 0 的集 ;
2. 集合之间的关系及运算 定义2 . 设有集合 A , B , 若 x A 必有 x B , 则称 A 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B .
若 例如 , 且 , 则称 A 与 B 相等, 记作 A B . ,
某班学生的集合 按一定规则入座
某教室座位 的集合
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定义4. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规 则 f , 使得 有唯一确定的 与之对应 , 则
称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
X
f
Y
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y f ( x). 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 .
可表为 y
x , 故为初等函数.
2
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1、幂函数
y x
(是常数)
反比例函数：
定义域为：
x ,0 0,
x [0,) x (0,)
1 yk x
k 0
y y
无论
1 x2 , 1 x 2,
幂函数在 x (0,) 内总是有定义。 为何值，
显然有下列关系 :
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定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
并集
交集 差集 余集
或
且
且
A
A
直积
特例:
记
为平面上的全体点集
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3.区间与领域 区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
称为开区间,
称为闭区间,
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