备战2021年中考数学真题二次函数分类汇编浙江专版(7页)
备战2021年中考数学真题二次函数分类汇编浙江专版
二次函数
一．选择题（共12小题）
1．（2020•嘉兴）已知二次函数y＝x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是（）
A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值
B．当n﹣m＝1时，b﹣a有最大值
C．当b﹣a＝1时，n﹣m无最小值
D．当b﹣a＝1时，n﹣m有最大值
2．（2020•衢州）二次函数y＝x2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（）
A．向左平移2个单位，向下平移2个单位
B．向左平移1个单位，向上平移2个单位
C．向右平移1个单位，向下平移1个单位
D．向右平移2个单位，向上平移1个单位
3．（2020•宁波）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B 两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（）
A．abc＜0
B．4ac﹣b2＞0
C．c﹣a＞0
D．当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c
4．（2020•温州）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m 上的点，则（）
A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2 5．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（）
A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0
C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0 6．（2020•杭州）设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（）
A．若h＝4，则a＜0B．若h＝5，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0D．若h＝7，则a＞0
7．（2019•湖州）已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（）
A．B．
C．D．
8．（2019•杭州）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）
A．M＝N﹣1或M＝N+1B．M＝N﹣1或M＝N+2
C．M＝N或M＝N+1D．M＝N或M＝N﹣1
9．（2019•舟山）小飞研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时得到如下结论：
①这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上；
②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；
③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；
④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．
其中错误结论的序号是（）
A．①B．②C．③D．④
10．（2019•绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（）
A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位
C．向左平移8个单位D．向右平移8个单位
11．（2019•温州）已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）
A．有最大值﹣1，有最小值﹣2
B．有最大值0，有最小值﹣1
C．有最大值7，有最小值﹣1
D．有最大值7，有最小值﹣2
12．（2019•衢州）二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）
二．解答题（共6小题）
13．（2020•温州）已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．（1）求a，b的值．
（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．14．（2020•台州）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．
科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系为s2＝4h（H﹣h）．
应用思考：现用高度为20cm的圆柱体望料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距高hcm处开一个小孔．（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？
（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；
（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离．
15．（2019•宁波）如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过点P（﹣2，3）．（1）求a的值和图象的顶点坐标．
（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．
①当m＝2时，求n的值；
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．
16．（2020•萧山区一模）如图，二次函数y＝ax2﹣3ax+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C直线y＝﹣x+4经过点B、C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点A的直线交抛物线于点M，交直线BC于点N．
①点N位于x轴上方时，是否存在这样的点M，使得AM：NM＝5：3？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角∠ANB等于∠ACB的2倍时，请求出点M的横坐标．
17．（2020•温州模拟）某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为a米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：
方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长．
（1）若a＝6．
①按图甲的方案，要围成面积为25平方米的花圃，则AD的长是多少米？
②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？
（2）若0＜a＜6.5，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由．。
2021年部分省市中考数学试题分类汇编(共28专题)11.二次函数
2021年部分省市中考数学试题分类汇编（共28专题）11.二次函数（2021哈尔滨）１。
在抛物线y＝x－4上的一个点是（）．C （A）（4，4）（B）（1，一4）（C）（2，0）（D）（0，4）（2021珠海）２.如图，平面直角坐标系中有一矩形ABCD（O为原点），点A、C分别在x轴、y轴上，且C点坐标为（0,6）；将BCD沿BD折叠（D点在OC边上），使C点落在OA边的E点上，并将BAE 沿BE折叠，恰好使点A落在BD的点F上.(1)直接写出∠ABE、∠CBD的度数，并求折痕BD所在直线的函数解析式；(2)过F点作FG⊥x轴，垂足为G，FG的中点为H，若抛物线y?ax?bx?c经过B、H、D三点，求抛物线的函数解析式；(3)若点P是矩形内部的点，且点P在（2）中的抛物线上运动（不含B、D 点），过点P作PN⊥BC分别交BC和BD于点N、M，设h=PM-MN，试求出h与P点横坐标x的函数解析式，并画出该函数的简图，分别写出使PMMN成立的x的取值范围。
（2021红河自治州）22．（本小题满分11分）二次函数y?x的图像如图8所示，请将此图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位. （1）画出经过两次平移后所得到的图像，并写出函数的解析式. （2）求经过两次平移后的图像与x轴的交点坐标，指出当x满足什么条件时，函数值大于0？222（2021年镇江市）12．已知实数x,y满足x2?3x?y?3?0,则x?y的最大值为 .（2021年镇江市）23．运算求解（本小题满分6分）已知二次函数y?x?2x?m的图象C1与x轴有且只有一个公共点.（1）求C1的顶点坐标；（2）将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A（—3，0），求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标；（3）若P(n,y1),Q(2,y2)是C1上的两点,且y1?y2,求实数n的取值范围.2(2021遵义市)如图，两条抛物线y1??x2?1、y2??x2?1与分别经过点1212??2,0?,?2,0?且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为Ａ．8 Ｂ．6 Ｃ．10 Ｄ．4答案：A2(2021台州市)10．如图，点A，B的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线y?a(x?m)?n(9题图)y A(1,4)B(4,4)C的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为?3，则点D的横坐标最大值为(▲)A．－3 B．1 C．5 D．8 O （第10题） Dx (2021遵义市)（14分）如图，已知抛物线y?ax2?bx?c(a?0)的顶点坐第 1 页共 27 页页标为Q?2,?1?，且与y轴交于点C?0,3?，与x轴交于A、B两点（点A在点B 的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A运动（点P与A 不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；(3)在问题(2)的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．（27题图）BPEDQC（第24题）(2021台州市)24．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点， HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE 的面积为y．（1）求证：△DHQ∽△ABC；（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；（3）当x为何值时，△HDE 为等腰三角形？H A（玉溪市2021）15. 如图7是二次函数y?ax2?bx?c(a?0)在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断① c＞0；② a+b+c＜0；③ 2a-b＜0； b+8a＞4ac中正确的是（填写序号）②、④．2yOx图7（玉溪市2021）23．如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？3），△AOB的面积是3. y A 若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在（2）中，x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD 把△AOB分成两个三角形.使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.2B 0 x 图10（桂林2021）11．将抛物线y?2x?12x?16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ D ）．第 2 页共 27 页页A．y??2x?12x?16 B．y??2x?12x?16 C．y??2x?12x?19D．y??2x?12x?20（桂林2021）12．如图，已知正方形ABCD的边长为4 ，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF， EF交DC于F, 设BE=x，FC=y，则当点E从点B运动到点C时,y关于x的函数图象是( A )．2222ADFBECy21O24y21y2121yA． B． C． D．（桂林2021）15．函数y?（2021年兰州）5. 二次函数y??3x?6x?5的图像的顶点坐标是A．（-1，8） B．（1，8） C．（-1，2） D．（1，-4）答案 A2y?x?bx?c图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为（2021年兰州）13. 抛物线2xO24xO24xO24x1的自变量x的取值范围是．x>1 x?1y?x2?2x?3，则b、c的值为A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2 答案 B22y?ax?bx?cy??bx?4ac?b（2021年兰州）15. 抛物线图像如图所示，则一次函数与反比例函数y?a?b?cx在同一坐标系内的图像大致为x 第15题图x x x x 答案D（2021年兰州）20. 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米.第 3 页共 27 页页1答案2（2021年兰州）28.（本题满分11分）如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且2y??x?bx?c经过坐标原点O和x轴上另一点E（4,0） AD=2，AB=3；抛物线（1）当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）. ①当t?114时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；②以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N 点的坐标；若无可能，请说明理由．图1 第28题图图2（2021年无锡）24．（本题满分10分）如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4,0）和（2,0），BC=23．设直线AC与直线x=4交于点E．（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式,并说明此抛物线一定过点E；本试卷由无锡市天一实验学校金杨建录制 QQ：623300747．转载请注明！（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一动点，求△CMN面积的最大值．DyCEAOBx=4x（2021年连云港）25．（本题满分10分）我市某工艺品厂生产一款工艺品．已知这款工艺品的生产成本为每件60元．经市场调研发现：该款工艺品每天的销售量y(件)与售价x(元)之间存在着如下表所示的一次函数关系．售价x(元) 销售量y(件) ? ? 70 3000 90 1000 第 4 页共 27 页页 ? ?（利润＝(售价－成本价)3销售量）（1）求销售量y(件)与售价x(元)之间的函数关系式；（2）你认为如何定价才能使工艺品厂每天获得的利润为40 000 元？1（2021宁波市）18．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝ x2—1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P2的坐标为_________________． y 2PO x 第18题（2021宁波市）20．如图，已知二次函数y＝— 12 x2＋bx＋c的图象经过A（2，0）、B（0，—6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积．yA O C xB第20题 8. （2021年金华）已知抛物线y?ax2?bx?c的开口向下,顶点坐标为（2，－3） ,那么该抛物线有（ A. 最小值－3B. 最大值－3C. 最小值2D. 最大值215. （2021年金华）若二次函数y??x2?2x?k的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程?x2?2x?k?0的一个解x1?3，另一个解x2? ▲；y O 1 3 x (第15题图)第 5 页共 27 页页）B▲。
浙江省2023年中考数学真题(二次函数)附答案
浙江省2023年中考数学真题（二次函数）一、选择题1．已知点M(−4，a−2)，N(−2，a)，P(2，a)在同一个函数图象上则这个函数图象可能是（）A．B．C．D．2．抛物线y=ax2−a(a≠0)与直线y=kx交于A(x1，y1)B(x2，y2)两点若x1+x2<0则直线y=ax+k一定经过（）．A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限3．设二次函数y=a(x−m)(x−m−k)(a>0，m，k是实数)则（）A．当k=2时函数y的最小值为−a B．当k=2时函数y的最小值为−2aC．当k=4时函数y的最小值为−a D．当k=4时函数y的最小值为−2a4．已知二次函数y=ax2−(3a+1)x+3(a≠0)下列说法正确的是()A．点(1，2)在该函数的图象上B．当a=1且−1≤x≤3时0≤y≤8C．该函数的图象与x轴一定有交点D．当a>0时该函数图象的对称轴一定在直线x=32的左侧5．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒经过t(秒)时球距离地面的高度h(米)适用公式h=10t-5t2那么球弹起后又回到地面所花的时间t(秒)是()A．5B．10C．1D．2二、填空题6．在平面直角坐标系xOy中一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界）这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.例如：如图函数y=(x−2)2(0⩽x⩽3)的图象（抛物线中的实线部分）它的关联矩形为矩形OABC.若二次函数y=14x2+bx+c(0⩽x⩽3)图象的关联矩形恰好也是矩形OABC则b=.三、解答题7．设二次函数y=ax2+bx+1（a≠0b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：（1）若m=4求二次函数的表达式；（2）写出一个符合条件的x的取值范围使得y随x的增大而减小．（3）若在m、n、p这三个实数中只有一个是正数求a的取值范围．8．如图已知二次函数y=x2+bx+c图象经过点A(1，−2)和B(0，−5)．（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．（2）当y≤−2时请根据图象直接写出x的取值范围．9．已知二次函数y=−x2+bx+c.（1）当b=4，c=3时①求该函数图象的顶点坐标.②当−1⩽x⩽3时求y的取值范围.（2）当x⩽0时y的最大值为2；当x>0时y的最大值为3 求二次函数的表达式.10．在二次函数y=x2−2tx+3(t>0)中（1）若它的图象过点(2，1)则t的值为多少？（2）当0≤x≤3时y的最小值为−2求出t的值：（3）如果A(m−2，a)，B(4，b)，C(m，a)都在这个二次函数的图象上且a<b<3求m的取值范围。
2020-2021全国备战中考数学一元二次方程组的综合备战中考模拟和真题汇总含答案
2020-2021全国备战中考数学一元二次方程组的综合备战中考模拟和真题汇总含答案一、一元二次方程1．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）【答案】详见解析【解析】试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；（2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．试题解析：（1）设年平均增长率为x，根据题意得：10（1+x）2=14.4，解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2，答：年平均增长率为20%；（2）设每年新增汽车数量最多不超过y万辆，根据题意得：2009年底汽车数量为14.4×90%+y，2010年底汽车数量为（14.4×90%+y）×90%+y，∴（14.4×90%+y）×90%+y≤15.464，∴y≤2．答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．考点：一元二次方程—增长率的问题2．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 21，2）；②P （﹣32，154） 【解析】试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可． 试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0{312a b c c b a++==-=-，解得：1{23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得21（舍去）或x=21-，∴点P （21-，2）；②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形 =12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P（32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．3．解方程： 2212x x 6x 9-=-+（）【答案】124x x 23==-， 【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.试题解析：因式分解，得2212x x 3-=-（）（）开平方，得12x x 3-=-，或12x x 3-=--（）解得124x x 23==-，4．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC 和△DEF ，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF的斜边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上(移动开始时点D 与点A 重合)． （1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；（2）如图2，李晨同学连接FC ，编制了如下问题，请你回答： ①∠FCD 的最大度数为 ； ②当FC ∥AB 时，AD= ；③当以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC 为斜边时，AD= ; ④△FCD 的面积s 的取值范围是 .【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.∵CD=10，∴AD=2.（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.∵AC=12，∴AD=.③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，由②知DH=3，FH=，则HC=.在Rt△CFH中，根据勾股定理，得.∵以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边，∴，即，解得.④设AD=x ，易知，即. 而，当时，；当时，.∴△FCD 的面积s 的取值范围是.考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.5．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根. (1)求k 的取值范围；(2)若方程的两实数根分别为1x ，2x ，且221212615x x x x +=-，求k 的值. 【答案】（1）32k ≥ （2）4 【解析】 试题分析：根据方程的系数结合根的判别式即可得出230k ∆=-≥ ，解之即可得出结论. 根据韦达定理可得：212121114x x k x x k ，+=+⋅=+ ，结合221212615x x x x +=- 即可得出关于k 的一元二次方程，解之即可得出k 值，再由⑴的结论即可确定k 值. 试题解析：因为方程有两个实数根，所以()22114112304k k k ⎛⎫⎡⎤∆=-+-⨯⨯+=-≥ ⎪⎣⎦⎝⎭， 解得32k ≥. 根据韦达定理，()221212111141 1.114k k x x k x x k +-++=-=+⋅==+，因为221212615x x x x +=-，所以()212128150x x x x +-+=，将上式代入可得()2211811504k k ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭，整理得2280k k --= ，解得 1242k k ，==- ，又因为32k ≥，所以4k =.6．解下列方程： (1)2x 2－4x －1＝0(配方法)； (2)(x ＋1)2＝6x ＋6.【答案】(1)x 1＝1x 2＝11＝－1，x 2＝5. 【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可. 试题解析：(1)由题可得，x 2－2x ＝12，∴x 2－2x ＋1＝32.∴(x －1)2＝32.∴x －1＝∴x 1＝1x 2＝1 (2)由题可得，(x ＋1)2－6(x ＋1)＝0，∴(x ＋1)(x ＋1－6)＝0. ∴x ＋1＝0或x ＋1－6＝0. ∴x 1＝－1，x 2＝5.7．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m+3）x+m 2=0有两根α，β． （1）求m 的取值范围； （2）若111αβ+=-，则m 的值为多少？【答案】（1）14m ≥；（2）m 的值为3． 【解析】 【分析】（1）根据△≥0即可求解, （2）化简11αβ+,利用韦达定理求出α+β，αβ,代入解方程即可.【详解】解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m 2≥0， 解得：m≥-34； （2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m 2， ∵111αβ+=-，即αβαβ+=-1, ∴2m 3m2+﹣（）=-1,整理得m 2﹣2m ﹣3=0解得：m 1=﹣1，m 1=3， 由（1）知m≥-34， ∴m 1=﹣1应舍去， ∴m 的值为3． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.8．已知两条线段长分别是一元二次方程28120x x -+=的两根， （1）解方程求两条线段的长。
2021年浙江省杭州市中考二轮复习专题复习2------二次函数(解析版)
2021年浙江省杭州市中考二轮复习专题复习2------二次函数一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分）1．(本题3分)（2020·杭州市公益中学九年级月考）已知点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都在抛物线y＝x2+bx上，x1、x2、x3为△ABC的三边，且x1＜x2＜x3，若对所有的正整数x1、x2、x3都满足y1＜y2＜y3，则b的取值范围是（）A．b＞﹣2B．b＞﹣3C．b＞﹣4D．b＞﹣5【答案】D【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，结合已知条件，可知x1、x2、x3的最小一组值是2、3、4；根据抛物线，知它与x轴的交点是（0，0）和（﹣b，0），对称轴是．要满足已知条件，则其对称轴应小于2.5．【详解】解：∵、，为∵ABC的三边，且，且都是正整数，∵、，的最小一组值是2、3、4．∵抛物线与x轴的交点是（0，0）和（﹣b，0），对称轴是，∵若对所有的正整数、，都满足，则解得．故选：D．【点睛】本题主要综合考查了三角形的三边关系和二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键在于我们熟练掌握二次函数的图像上点的坐标特征．2．(本题3分)（2020·浙江杭州市·九年级期中）关于x的二次函数221=++-，下列说法正确的是（）y x kx kA ．对任意实数k ，函数图象与x 轴都没有交点B ．对任意实数k ，函数图象没有唯一的定点C ．对任意实数k ，函数图象顶点的纵坐标都小于等于D ．对任意实数k ，当时，函数y 的值都随x 的增大而增大【答案】C【分析】利用一元二次方程根的判别式即可判断A 选项；将原二次函数解析式改写为2(21)1k x y x +=+-，令210x +=，则即可判断B 选项；将该二次函数一般式改写为顶点式为，故其顶点纵坐标为，求其最值即可判断C 选项．根据其对称轴为可判断D 选项．【详解】A 、2244(1)(21)30k k k ∆=--=-+>，抛物线与x 轴有两个交点，故该选项不符合题意；B 、2(21)1k x y x +=+-，则，定点为，故该选项不符合题意；C 、将二次函数一般式改写为顶点式为，所以其顶点纵坐标为，221331=()244k k k -+----≤-，所以其顶点纵坐标都小于等于，故该选项符合题意；D 、对称轴为直线，则时，函数y 的值都随x 的增大而增大，而，则不一定y 的值都随x 的增大而增大，故该选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的性质与其图象的性质，掌握将二次函数一般式改为顶点式与判断二次函数的增减性是解答本题的关键．3．(本题3分)（2021·山东省济南泉城中学九年级一模）在同一直角坐标系中，函数=+和的图象可能是（）y mx mA．B．C．D．【答案】D【分析】根据的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一判断即可．【详解】=+的图像可知，即函数开口应向上，与图像不符，故A错误；A：由函数y mx m=+的图像可知，函数的对称轴，则对称轴应在轴的左侧与图像不B、由函数y mx m符，故B错误；=+的图像可知，即函数开口应向下，与图像不符，故C错误；C：由函数y mx m=+的图像可知，即函数开口向上，函数的对称轴，则对称轴应在D：由函数y mx m轴的左侧与图像相符，故D正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数图象，关键是熟练掌握一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．4．(本题3分)（2021·浙江杭州市·九年级期末）已知二次函数与x轴只有一个交点，且图象经过两点A（1，n），B（m+2，n），则m、n满足的关系为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】设解析式为()()12y x x m n =---+，得对称轴为，由抛物线与x 轴只有一个交点得顶点为，代入()()12y x x m n =---+整理后即可得出结论．【详解】解：设解析式为()()12y x x m n =---+∵A ，B 两点关于对称轴对称∵对称轴为直线∵二次函数与x 轴只有一个交点∵顶点为把代入()()12y x x m n =---+∵∵∵故选：C【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点问题，根据题意得出抛物线的对称轴方程是解答此题的关键．5．(本题3分)（2020·浙江杭州市·九年级期末）抛物线与x 轴交于A 、B 两点，A 点在B 点左侧，与y 轴交于点C ．若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上，且以A 、C 、E 、P 为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点E 有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】根据平行四边形的定义，画出图象即可解决问题．解：由图象可知，满足条件的A、C、E、P为顶点的四边形是平行四边形有四个，故选：D．【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．6．(本题3分)（2020·浙江杭州市·九年级期中）设函数，若当时，随着的增大而增大，则的值可以是（）A．1B．0C．D．【答案】D【分析】当k＜0时，抛物线对称轴为直线，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，根据题意，得m≤-，而当k＜0时，-=-2-＞-2，可确定m的范围，【详解】对称轴：直线，，，时，随的增大而增大，，，∵的值可以是-2，故选D．本题考查了二次函数的性质，根据题意得出二次函数图象的对称轴是解题的关键． 7．(本题3分)（2019·浙江杭州市·九年级期中）已知是抛物线图像上的任意三点，在以下哪个取值范围中，分别以、、为长的三条线段不一定能围成一个三角形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先将二次函数解析式化为顶点式，分别根据自变量x 的取值范围确定y 的范围，再根据任意两边之和是否大于第三边即可判断．【详解】解：=，抛物线的对称轴为直线且抛物线开口向下，A 选项，当时，，当取3，取9时，，两边之和小于第三边，不能构成三角形，故符合题意；B 选项，当时，，，所以以、、为长的三条线段能围成一个三角形，故不符合题意；C 选项，当时，，同理三条线段能围成一个三角形，故不符合题意；D 选项，当时，，同理三条线段能围成一个三角形，故不符合题意．故选：A ．【点睛】本题主要考查二次函数的取值范围问题，涉及三角形成立的条件，解题的关键是确定y 的取值范围，再根据任意两边之和是否大于第三边判断．8．(本题3分)（2020·浙江杭州市·九年级期末）已知二次函数（a ，b 是常数，）的图象经过，，()4,1C -三个点中的其中两个点．平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的（ ）A ．最大值为B ．最小值为C ．最大值为D ．最小值为【答案】C【分析】分二次函数的图象经过点A ，B 或点A ，点C 两种情况讨论求解即可．【详解】解：由题意得，二次函数的图象经过点A ，B 或点A ，点C ，∵若经过点A 和点B把A （2，1），B （4，3）代入得解得0,1a b ==∵∵二次函数的图象不能经过点A ，B ；∵若经过点A 、点C ，则有解得，∵当时，则点A （2，1）是的顶点此时二次函数的顶点在上，且与y 轴交点，纵坐标为-1，故D 不符合题意；经过平移，顶点始终在直线上，故平移后函数表达式为21(2)12y x c c =---++，其中c 为沿x 轴正方向平移的单位，c 取实数，当x=0时，当时，y 有最大值，为：故选：C【点睛】 此题主要考查了二次函数的图象与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．9．(本题3分)（2020·浙江杭州市·杭州外国语学校九年级月考）已知直线x ＝1是二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是实数，且a≠0）的图象的对称轴，点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2）为其图象上的两点，且y 1<y 2，（ ）A ．若x 1<x 2，则x 1+x 2﹣2＜0B ．若x 1<x 2，则x 1+x 2﹣2>0C ．若x 1＞x 2，则a （x 1+x 2-2）＞0D ．若x 1＞x 2，则a （x 1+x 2-2）<0【答案】D【分析】根据二次函数的性质和题目中的条件，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是实数，且a≠0）的图象的对称轴，点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2）为其图象上的两点，且y 1<y 2，∵若, ,则可能出现，故选项A 错误；若，，则x 1+x 2﹣2＜0，故选项B 错误；若，，则x 1+x 2﹣2＜0，则a （x 1+x 2-2）＜0，故选项C 错误；若，x 1＞x 2，则x 1+x 2﹣2＜0，则 a （x 1+x 2-2）<0；若，x 1＞x 2，则x 1+x 2﹣2＞0，则 a （x 1+x 2-2）<0；故选项D 正确；故选：D.【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10．(本题3分)（2020·浙江杭州市·九年级期末）已知二次函数过点（,1）和（2,2），且()22144x ax bx c x +++对一切实数均成立，则当时，的值为（ ） A ．B ．C ．D ．5 【答案】C【分析】由二次函数图象上的点的坐标，可得，把不等式恒成立问题化为二次函数的图象与x 轴的交点问题，从而得到判别式的正负性，求出a 的值，进而可得二次函数解析式，即可得到答案．【详解】∵二次函数的图象过点（,1）和（2,2），∵，解得：，∵，∵()22144x ax bx c x +++对一切实数均成立， ∵对一切实数均成立，∵2334042ax x a +-≥-对一切实数均成立， 令，则该二次函数图象开口向上，且与x 轴至多有一个交点，∵a ＞0且∆=233()4(4)042a a ---≤， ∵a ＞0且，解得：a=，把a=，代入()22144ax bx c x +++，得，对一切实数均成立. ∵a=，，，∵二次函数，∵当时，．故选C ．【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，理解二次函数与不等式的联系，熟练掌握二次函数图象与x 轴的交点问题与判别式的关系，是解题的关键．二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11．(本题3分)（2021·浙江杭州市·九年级专题练习）在△ABC 中，△A ，△B 所对的边分别为a ，b ，△C ＝50°．若二次函数y ＝(a +b )x 2+(a +b )x ﹣(a ﹣b )的最小值为，则△A ＝__度．【答案】65【分析】将二次函数配方成顶点式可得最值为ab ，根据题意可得ab 即a ＝b ，在顶角∵C ＝50°的等腰三角形中可求得∵A 度数．【详解】解：∵2()()()y a b x a b x a b =+++--有最小值，∵当()12()2a b x a b +=-=-+时，取得最小值，， ∵该二次函数的最小值为，∵，整理，得：a ＝b ，∵在∵ABC 中，∵C ＝50°，∵当a ＝b 时，∵A ＝∵B 65°，故答案为65．【点睛】本题考查了二次函数的最小值，等腰三角形的判定和性质，灵活利用二次函数的最小值构造等式是解题的关键.12．(本题3分)（2020·浙江杭州市·九年级期末）设()()y x a x b =++的图象与轴有个交点，函数的图象与轴有个交点，则所有可能的数对是【答案】（1，1），（1，0），（2，1），（2，2）【分析】分别对a 、b 的值分类讨论，根据直线和二次函数的交点式：y ＝a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）（a ，b ，c 是常数，a≠0），得出抛物线与x 轴的交点坐标情况，即可求解．【详解】因为()()y x a x b =++ 是二次函数，令()()y x a x b =++=0，有或，解得：或； 对m 来说，∵当时，图像与轴有一个交点，即；∵ 当时，图像与轴有两个交点，即；函数：令，有10ax +=或10bx +=，对n 来说，∵当时，关于x 的方程有一个解，图象与x 轴有1个交点，即；∵当时，关于x 的方程无解，图像与x 轴没有交点，即；∵当且时，关于x 的方程有一个解，图象与x 轴有1个交点，即；∵ 当且时，关于x 的方程有两个不相等的解，图像与x 轴有两个交点，即；综上所述，当时，或；当时，或．∵所有可能的数对是（1，1），（1，0），（2，1），（2，2）故答案为：（1，0）或（2，1）或（1，1）或（2，2）．【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，解决本题的关键是正确理解二次函数的交点式．13．(本题3分)（2021·浙江杭州市·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点，若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为____________．【答案】【分析】求出A点坐标和对称轴，根据对称性求出M点坐标，利用中点，求出B点坐标，进而求出P点坐标，代入求 a即可．【详解】解：由题意得：对称轴为直线，P点横坐标为1，当x=0时，y=3,∵A点坐标为：，根据对称性可知，M点坐标为，∵M为AB中点，∵B点坐标为：设OB解析式为y=kx，把B代入得，3=4k解得，k=，∵直线OB 解析式为，把代入得，，∵P 点坐标为，代入抛物线得：，解得，，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的综合，解题关键是根据二次函数的性质求出B 点坐标，求出一次函数解析式．14．(本题3分)（2019·杭州市公益中学）已知自变量为的二次函数4()()y ax b x b =++经过两点，若方程4()()0ax b x b++=的一个根为，则其另一个根为__________．【答案】x=﹣1或﹣5【分析】根据题意该函数一定过点（0，4），可得两点的坐标，进而求得对称轴，根据解析式与方程的关系即可求得方程另一个根．【详解】解：∵当x=0时，4()()y ax b x b =++=4，∵m=0或m=﹣2，∵二次函数4()()y ax b x b =++经过或，∵对称轴为直线x=1或x=﹣1，∵方程4()()0ax b x b++=的一个根为，∵方程的另一个根为x=﹣1或﹣5，故答案为：x=﹣1或﹣5．【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质，根据二次函数的对称性求解是解答的关键．15．(本题3分)（2020·浙江杭州市·九年级月考）已知二次函数的图象经过原点及点（﹣3，﹣2），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为___．【答案】y＝x2x或y＝x2+x．【分析】根据函数图像过原点、（﹣3，﹣2），（﹣1，0），代入求解即可；【详解】∵二次函数图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，∵这个点的坐标为（﹣1，0）或（1，0），设该二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，当该函数过原点、（﹣3，﹣2），（﹣1，0）时，，解得，，即该二次函数的解析式为y＝x2 x；当该函数过原点、（﹣3，﹣2），（1，0）时，，解得，，即该二次函数的解析式为y＝x2+x；由上可得，该二次函数的解析式为y＝x2 x或y＝x2+x；故答案为：y＝x2 x或y＝x2+x．【点睛】本题主要考查了二次函数解析式求解，准确分析计算是解题的关键．16．(本题3分)（2020·浙江杭州市·九年级期中）当﹣1≤a≤时，则抛物线y＝﹣x2+2ax+2﹣a的顶点到x轴距离的最小值_____．【答案】【分析】得出抛物线y＝﹣x2+2ax+2﹣a顶点的纵坐标表达式，把a的取值代入即可．【详解】解：∵抛物线y＝﹣x2+2ax+2﹣a的顶点纵坐标＝＝2﹣a+a2，当a＝﹣1时，2﹣a+a2＝2+1+1＝4；当a＝时，2﹣+＝，∵4＞，∵顶点到x轴距离的最小值是．故答案为：．【点睛】此题主要考查根据二次函数的一般式列出抛物线的顶点坐标，正确理解二次函数的图像与性质是解题关键．17．(本题3分)（2020·浙江杭州市·九年级其他模拟）对于实数a、b，定义运算“△”:22()()a ab a ba bb ab a b⎧-≤=⎨->⎩★，关于x的方程(21)(1)x x t+-=★恰好有三个不相等的实数根，则t的取值范围是_________．【答案】【分析】根据题目的定义运算，写出分段函数的解析式，然后根据解析式画出函数图象，方程(21)(1)x x t +-=★恰好有三个不相等的实数根，说明函数图象与直线有三个交点，由图象求出结果．【详解】解：()()222522(21)(1)22x x x x x x x x ⎧++≤-⎪+-=⎨--+>-⎪⎩★， 画出图象：2219224y x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭， 从图象来看，函数图象与直线有三个交点时，t 的取值范围是：．故答案是：．【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是利用数形结合的思想求解问题．三、解答题（本大题共6小题，共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．(本题7分)（2021·浙江杭州市·九年级期末）商店销售某商品，销售中发现，该商品每天的销售量y (个)与销售单价x (元/个)之间存在如图所示的关系，其中成本为20元/个．（1）求y 与x 之间的函数关系式．（2）为了保证每天利润不低于1300元，单价不高于30元/个，那么商品的销售单价应该定在什么范围?【答案】（1）1003400y x =-+；（2）每个不低于21元且不高于30元【分析】（1）观察图形，找出点的坐标，再利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；（2）设每天的销售利润为w元，根据利润=每个的利润×销售数量，即可得出w关于x 的函数关系式，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出当w=1300时x的值，再利用二次函数的性质即可解决问题．【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，将（25，900），（28，600）代入y=kx+b，得，解得，∵y与x的函数关系式为y=-100x+3400；（2）设该商品每天的销售利润为w元，由题意得w=(x-20)•y=(x-20)(-100x+3400)=-100x2+5400x-68000当w=1300时，即-100x2+3600x-68000=1300，解得：，，画出每天利润w关于销售单价x的函数关系图象如解图，又∵单价不高于30元/个，∵当该商品的销售单价每个不低于21元，且不高于30元时，可保证每天利润不低于1300元．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出y 与x 之间的函数关系式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y =1300时x 的值．19．(本题7分)（2020·浙江杭州市·）如图，已知的面积为5，点在边上移动（点与点不重合），//,MN BC MN 交边于点，连结．设．（1）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）点分别是边的中点，设MBN △与EBF △的公共部分的面积为，试用含的代数式表示；（3）当第（2）间中的时，请直接写出的值．【答案】（1）；（2）当时，；当时，25(1)S x =-；（3）或【分析】（1）由//BC MN 可知AMN ABC ∽，得到2:()AMN ABC AM S S AB ∆∆=，即，利用相似的面积比等于相似比的平方可求得255MBN S x x ∆=-+，即；（2）根据////FE BC MN 可知，∵当时，MBN ∆与的公共部分的三角形与MBN ∆相似，利用相似的面积比等于相似比的平方可求得；∵当时，MBN ∆与的公共部分的三角形与相似，利用相似的面积比等于相似比的平方可求得25(1)S x =-；（3）当时，分和时分别解方程和可得x 值．【详解】解：（1）//MN BC ，AMN ABC ∴∆∆∽2:AMN ABC AM S S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 即，1:MBN AMN x S S x∆∆-=， 255MBN S x x ∆∴=-+，255(01)y x x x ∴=-+<<；（2）、分别是边，的中点，////FE BC MN ∴，∵当时，MBN ∆与的公共部分的三角形与MBN ∆相似，2:4(1)y S x ∴=-，，∵当时，MBN ∆与的公共部分的三角形与相似，2:4(1)BEF S S x ∆∴=-，，25(1)S x ∴=-；（3）当时，若，令，解得：，若，令，解得：（舍）或，综上：x 的值为或．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和根据实际问题列二次函数关系式，其中涉及到直接开平方法解一元二次方程的方法；要会根据几何图形之间的关系列一元二次方程，利用相似三角形的相似比是解题的关键．20．(本题8分)（2020·浙江杭州市·）已知二次函数与一次函数．（1）当1,2a b ==-时，求这两个函数图象的交点坐标；（2）若二次函数的图象的顶点恰在一次函数的图象上，求应满足的条件； （3）若这两个函数的图象经过的象限完全相同，请直接写出应满足的条件．【答案】（1）（1，-1）或（2,0）；（2）或；（3）0,0a b >>或0,0a b <<【分析】（1）将1,2a b ==-代入两个函数解析式中并联立，求出方程组的解，即可求出结论；（2）先求出二次函数的图象的顶点坐标，然后代入一次函数解析式中，即可求出结论；（3）由解析式可得二次函数的图象必过（0，0），然后根据a 、b 的取值范围分类讨论，分别画出对应的图形，即可得出结论．【详解】解：（1）当1,2a b ==-时，联立解得：或∵这两个函数图象的交点坐标为（1，-1）或（2,0）；（2）二次函数的图象的顶点坐标为（，）将（，）代入中，得整理，得220b ab +=()20b b a +=∵解得或∵若二次函数的图象的顶点恰在一次函数的图象上，应满足的条件为：或； （3）二次函数的图象必过（0，0），当0,0a b >>时，一次函数过第一、二、三象限，二次函数过第一、二、三象限，如下图所示，此时符合题意；当0,0a b >=时，一次函数过第一、三象限，二次函数过第一、二象限，如下图所示，此时不符合题意；当0,0a b ><时，一次函数过第一、三、四象限，二次函数过第一、二、四象限，如下图所示，此时不符合题意；当0,0a b <>时，一次函数过第一、二、四象限，二次函数过第一、三、四象限，如下图所示，此时不符合题意；当0,0a b <=时，一次函数过第二、四象限，二次函数过第三、四象限，如下图所示，此时不符合题意；当0,0a b <<时，一次函数过第二、三、四象限，二次函数过第二、三、四象限，如下图所示，此时符合题意；综上：若这两个函数的图象经过的象限完全相同，0,0a b >>或0,0a b <<．【点睛】此题考查的是二次函数与一次函数的综合大题，掌握联立方程求交点坐标、二次函数的图象及性质和一次函数的图象及性质是解题关键．21．(本题8分)（2021·杭州育才中学九年级二模）已知二次函数y＝ax2+bx﹣2（a≠0）的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．（1）若点A的坐标为（4，0）、点B的坐标为（﹣1，0），求a+b的值；（2）若图像经过P（1，y1），Q（m，n），M（3，y2），N（3﹣m，n），试比较y1、y2的大小关系；（3）若y＝ax2+bx﹣2的图像的顶点在第四象限，且点B的坐标为（﹣1，0），当a+b为整数时，求a的值．【答案】（1）-1；（2）若a＞0，则y1＜y2；若a＜0，则y1＞y2；（3）【分析】（1）把A（4，0），B（-1，0）代入二次函数关系式求出a，b的值即可得到结果；（2）由点Q，点N的纵坐标相同，根据抛物线的对称性可得抛物线的对称轴，确定点P距对称轴更近，分a＞0和a＜0两种情况讨论即可；（3）分别求出a+b=1，a-b-2=0，联立方程组求解即可．【详解】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣2（a≠0）的图像过A（4，0），B（-1，0）∵解得，∵（2）∵Q（m，n），N（3﹣m，n），∵二次函数图象的对称轴为∵P（1，y1），M（3，y2），∵点P距离对称轴更近若a＞0，则y1＜y2；若a＜0，则y1＞y2；（3）由题意知，∵图像的顶点在第四象限，∵对称轴＞0∵B（﹣1，0），∵A点横坐标大于1当x=1时，y=a+b-2＜0∵0＜a+b＜2∵a+b为整数∵a+b=1又∵B（﹣1，0），∵a-b-2=0联立解得，【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，以及二次函数的性质．22．(本题9分)（2021·浙江杭州市·九年级期末）已知二次函数(a为常数)（1）若二次函数的图象经过点(2，3)，求函数y的表达式．（2）若a0，当时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围．（3）若二次函数在时有最大值3，求a的值．【答案】（1）；（2）；（3）或【分析】（1）把(2，3)代入，解方程即可；（2）根据抛物线的增减性，列出关于m 的不等式求解即可；（3）根据开口方向分类讨论，利用最大值列方程求解即可．【详解】（1）把(2，3)代入得，3483a a a =++解得：二次函数解析式为：；（2） ∵抛物线的对称轴为直线，，∵抛物线开口向上，当时，二次函数y 随x 的增大而减小∵时，此二次函数y 随x 的增大而减小∵，解得：；（3）将二次函数化为顶点式得：()22y a x a =+-∵二次函数在时有最大值3∵当时，开口向上，∵当时，y 有最大值，最大值为8a ，∵，∵，∵当时，开口向下∵当时，y 有最大值，最大值为，∵，∵，综上，或．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数增减性、二次函数最值等问题，解题关键是综合熟练的运用二次函数知识，结合分类讨论思想和数形结合思想准确进行解答．23．(本题10分)（2020·浙江杭州市·九年级期末）如图1，是边长为2的等边三角形，以为一边向下作矩形BDEC ，其中．M 为线段上的动点（且不与重合），过M 作矩形MNPQ ，使边在线段上．（1）当为时，请直接写出矩形MNPQ 的面积；（2）设MN x =，矩形MNPQ 的面积为y ，△试求出y 关于x 的函数表达式；△矩形MNPQ 的面积y 是否有最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．（3）如图2，过点N 作的平行线，交线段于点F ，连结，若MNF 为直角三角形，请直接写出线段的长度．【答案】（1）矩形MNPQ 的面积为；（2）∵2y x =⎝⎭；∵当时，矩形MNPQ 的面积y 有最大值；（3）满足条件的长度为或．【分析】（1）延长AB AC 、与所在直线分别交于点，先利用等边三角形的性质结合60°的正弦值解得、的长，继而由的长，结合60°的正切值解得的长，即可得到的长，最后根据矩形的面积公式解题即可；（2）∵解法同（1），结合60°的正切值解得的长，再由线段的和差解得的长，最后由长方形面积公式解题；∵将二次函数化为顶点式，即可解得最值；（3）根据等边三角形的判断方法可证FNH △也为等边三角形，结合的正切值解得、的长，再由正切值及直角三角形两直角边的关系解得的长即可．【详解】（1）延长AB AC 、与所在直线分别交于点依题意，AMQ AGH 、均为等边三角形，,Rt GMN Rt QPH Rt BDG 、均为特殊直角三角形，6sin 6033BD BG AG GH ︒∴====3tan 606MN GN PH ︒∴=== 则，矩形MNPQ 的面积为；（2）∵同（1）可得，tan 60MN GN PH x ︒===， ，∵故，当时，矩形MNPQ 的面积y 有最大值（3）//NF AB,6060G FNH A NFH ︒∴∠=∠=∠=∠=︒60H ∠=︒FNH △也为等边三角形,tan 60MN GN x NF NH ︒====MNF 为直角三角形∵若90MFN ︒∠=，则，即解得；∵若90NMF ︒∠=，则，即解得综上述，满足条件的长度为或．【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．。
押浙江卷第23题(二次函数的应用与综合)(解析版)-备战2024年中考数学临考题号押题
押浙江卷第23题（二次函数的应用与综合）押题方向：二次函数应用及综合问题2023年浙江真题考点命题趋势2023年湖州卷第21题二次函数的应用从近几年浙江各地中考来看，解答题中二次函数考查内容主要是二次函数的实际应用、二次函数综合，其中二次函数的综合题经常以压轴题出现，试题的整体难度比较高，预计2024年浙江卷还将重视二次函数综合问题的考查。
2023年湖州卷、衢州卷、绍兴卷、舟山、嘉兴卷、丽水卷第23题、杭州卷第22题、金华卷第24题二次函数综合1．（2023•杭州）设二次函数y ＝ax 2+bx +1（a ≠0，b 是实数）．已知函数值y 和自变量x 的部分对应取值如下表所示：x …﹣10123…y…m1n1p…（1）若m ＝4，①求二次函数的表达式；②写出一个符合条件的x 的取值范围，使得y 随x 的增大而减小．（2）若在m ，n ，p 这三个实数中，只有一个是正数，求a 的取值范围．【思路点拨】（1）①利用待定系数法即可求得；②利用二次函数的性质得出结论；（2）根据题意m ≤0，由﹣＝1，得出b ＝﹣2a ，则二次函数为y ＝ax 2﹣2ax +1，得出m ＝a +2a +1≤0，解得a ≤﹣．【解析】解：（1）①由题意得，∴二次函数的表达式是y＝x2﹣2x+1；②∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小；（2）∵x＝0和x＝2时的函数值都是1，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴（1，n）是顶点，（﹣1，m）和（3，p）关于对称轴对称，若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且m≤0，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴二次函数为y＝ax2﹣2ax+1，∴m＝a+2a+1≤0，∴a≤﹣．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，能够明确题意得出m＝a+2a+1＜0是解题的关键．2．（2023•丽水）已知点（﹣m，0）和（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象上．（1）当m＝﹣1时，求a和b的值；（2）若二次函数的图象经过点A（n，3）且点A不在坐标轴上，当﹣2＜m＜﹣1时，求n的取值范围；【思路点拨】（1）当m＝﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+3图象过点（1，0）和（﹣3，0），用待定系数法可得a的值是﹣1，b的值是﹣2；（2）y＝ax2+bx+3图象过点（﹣m，0）和（3m，0），可知抛物线的对称轴为直线x＝m，而y＝ax2+bx+3的图象过点A（n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，可得m＝，根据﹣2＜m＜﹣1，即得﹣4＜n＜﹣2；（3）由抛物线过（﹣m，0），（3m，0），可得﹣＝m，b＝﹣2am，把（﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3变形可得am2+1＝0，故b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．【解析】（1）解：当m＝﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+3图象过点（1，0）和（﹣3，0），∴，∴a的值是﹣1，b的值是﹣2；（2）解：∵y＝ax2+bx+3图象过点（﹣m，0）和（3m，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝m，∵y＝ax2+bx+3的图象过点A（n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，∴由图象的对称性得n＝2m，∴m＝，∵﹣2＜m＜﹣1，∴﹣2＜＜﹣1，∴﹣4＜n＜﹣2；（3）证明：∵抛物线过（﹣m，0），（3m，0），∴抛物线对称轴为直线x＝＝m，∴﹣＝m，∴b＝﹣2am，把（﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3得：，①×3+②得：12am2+12＝0，∴am2+1＝0，∴b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．【点睛】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，涉及待定系数法，不等式，方程组等知识，解题的关键是整体思想的应用．3．（2023•宁波）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．（2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围．【思路点拨】（1）用待定系数法求出函数表达式，配成顶点式即可得顶点坐标；（2）求出A关于对称轴的对称点坐标，由图象直接可得答案．【解析】解：（1）把A（1，﹣2）和B（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣5，∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，∴顶点坐标为（﹣1，﹣6）；（2）如图：∵点A（1，﹣2）关于对称轴直线x＝﹣1的对称点C（﹣3，﹣2），∴当y≤﹣2时，x的范围是﹣3≤x≤1．【点睛】本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是掌握待定系数法，求出函数表达式．4．（2023•绍兴）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．（1）当b＝4，c＝3时，①求该函数图象的顶点坐标；②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围；（2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．【思路点拨】（1）先把解析式进行配方，再求顶点；（2）根据函数的增减性求解；（3）根据函数的图象和系数的关系，结合图象求解．【解析】解：（1）①∵b＝4，c＝3时，∴y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，∴顶点坐标为（2，7）．②∵﹣1≤x≤3中含有顶点（2，7），∴当x＝2时，y有最大值7，∵2﹣（﹣1）＞3﹣2，∴当x＝﹣1时，y有最小值为：﹣2，∴当﹣1≤x≤3时，﹣2≤y≤7．（2）∵x≤0时，y的最大值为2；x＞0时，y的最大值为3，∴抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，∵抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2，∴c＝2，又∵，∴b＝±2，∵b＞0，∴b＝2．∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握数形结合思想是解题的关键．5．（2023•湖州）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）（30≤x＜60）存在一次函数关系，部分数据如表所示：销售价格x（元/千克）5040日销售量y（千克）100200（1）试求出y关于x的函数表达式．（2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？【思路点拨】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由表中数据即可得出结论；（2）根据每日总利润＝每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．【解析】解：（1）设y关于x的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）．将x＝50，y＝100和x＝40，y＝200分别代入，得：，解得：，∴y关于x的函数表达式是：y＝﹣10x+600．（2）W＝（x﹣30）（﹣10x+600）＝﹣10x2+900x﹣18000．当x＝﹣＝45时，在30≤x＜60的范围内，W取到最大值，最大值是2250．答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元．【点睛】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式．6．（2023•温州）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？【思路点拨】（1）求出抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线为y＝a（x﹣2）2+3，用待定系数法可得y＝﹣（x﹣2）2+3；当x＝0时，y＝﹣×4+3＝＞2.44，知球不能射进球门．（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3，把点（0，2.25）代入得m＝﹣5（舍去）或m＝1，即知当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．【解析】解：（1）∵8﹣6＝2，∴抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线为y＝a（x﹣2）2+3，把点A（8，0）代入得：36a+3＝0，解得a＝﹣，∴抛物线的函数表达式为y＝﹣（x﹣2）2+3；当x＝0时，y＝﹣×4+3＝＞2.44，∴球不能射进球门．（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3，把点（0，2.25）代入得：2.25＝﹣（0﹣2﹣m）2+3，解得m＝﹣5（舍去）或m＝1，∴当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决．7．（2023•湖州）如图1，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣4x+c的图象与y轴的交点坐标为（0，5），图象的顶点为M．矩形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为（1，5）．（1）求c的值及顶点M的坐标．（2）如图2，将矩形ABCD沿x轴正方向平移t个单位（0＜t＜3）得到对应的矩形A′B′C′D′．已知边C′D′，A′B′分别与函数y＝x2﹣4x+c的图象交于点P，Q，连接PQ，过点P作PG⊥A′B′于点G．①当t＝2时，求QG的长；②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得△PGQ的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）运用待定系数法将（0，5）代入y＝x2﹣4x+c，即可求得c的值，再利用配方法将抛物线的解析式化为顶点式或运用顶点公式即可求得答案；（2）①当t＝2时，D′，A′的坐标分别是（2，0），（3，0）．进而可求得点P、Q的纵坐标，利用QG ＝y Q﹣y G，即可求得答案；②根据题意，得：P（t，t2﹣4t+5），Q（t+1，t2﹣2t+2），G（t+1，t2﹣4t+5），分两种情况：当点G在点Q的上方时，当点G在点Q的下方时，分别求得t的值即可．【解析】解（1）∵二次函数y＝x2﹣4x+c的图象与y轴的交点坐标为（0，5），∴c＝5，∴y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，∴顶点M的坐标是（2，1）．（2）①如图1，∵A在x轴上，B的坐标为（1，5），∴点A的坐标是（1，0）．当t＝2时，D′，A′的坐标分别是（2，0），（3，0）．当x＝3时，y＝32﹣4×3+5＝2，即点Q的纵坐标是2．当x＝2时，y＝1，即点P的纵坐标是1．∵PG⊥A′B′，∴点G的纵坐标是1，∴QG＝2﹣1＝1．②存在．理由如下：∵△PGQ的面积为1，PG＝1，∴QG＝2．根据题意，得：P（t，t2﹣4t+5），Q（t+1，t2﹣2t+2），∴G（t+1，t2﹣4t+5），如图2，当点G在点Q的上方时，QG＝t2﹣4t+5﹣（t2﹣2t+2）＝3﹣2t＝2，此时（在0＜t＜3的范围内）．如图3，当点G在点Q的下方时，QG＝t2﹣2t+2﹣（t2﹣4t+5）＝2t﹣3＝2，此时（在0＜t＜3的范围内）．综上所述，存在t，使得△PGQ的面积为1，此时t的值为或．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，抛物线的顶点，平移变换的性质，三角形面积等，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．8．（2023•金华）如图，直线y＝与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线的顶点P在直线AB上，与x轴的交点为C，D，其中点C的坐标为（2，0），直线BC与直线PD相交于点E．（1）如图2，若抛物线经过原点O．①求该抛物线的函数表达式；②求的值．（2）连结PC，∠CPE与∠BAO能否相等？若能，求符合条件的点P的横坐标；若不能，试说明理由．【思路点拨】（1）①由抛物线经过原点O（0，0）、C（2，0），可得抛物线的顶点P（1，），利用待定系数法可得抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+3x；②先求出A（﹣2，0），B（0，），运用待定系数法可得直线OP的解析式为y＝x，过点B作BF∥x轴交OP于点F，F（，），可得BF＝，再由BF∥OC，得出△BEF∽△CEO，进而可得＝＝＝；（2）分四种情形，分别作出图形求解即可．【解析】解：（1）①∵抛物线经过原点O （0，0）、C （2，0），∴对称轴为直线x ＝1，当x ＝1时，y ＝×1+＝，∴抛物线的顶点P （1，），设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2+，把C （2，0）代入，得a +＝0，解得：a ＝﹣，∴y ＝﹣（x ﹣1）2+＝﹣x 2+3x ，∴该抛物线的函数表达式为y ＝﹣x 2+3x ；②∵直线y ＝与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，∴A （﹣2，0），B （0，），设直线OP 的解析式为y ＝kx ，把P （1，）代入，得：k ＝，∴直线OP 的解析式为y ＝x ，如图，过点B 作BF ∥x 轴交OP 于点F ，则点F 的纵坐标与点B 的纵坐标相同，∴＝x ，解得：x ＝，∴F （，），∴BF＝，∵BF∥OC，∴△BEF∽△CEO，∴＝＝＝，∴的值为．（2）设点P的横坐标为t，①如图2﹣1，当t＞2，存在∠CPE＝∠BAO，设∠CPE＝∠BAO＝α，∠APC＝β，则∠APD＝α+β，∵∠PCD＝∠PAO+∠APC＝α+β，∵PC＝PD，∴∠PDC＝∠PCD＝∠APD，∴AP＝AD＝2t，过点P作PF⊥x轴于点F，则AF＝t+2，在Rt△APF中，cos∠BAO＝＝，∴＝，∴t＝6．②如图2﹣2中，当0＜t≤2时，存在∠CPE＝∠BAO．过点P作PF⊥x轴于点F，同法cos∠BAO＝＝，∴＝，∴t＝．③如图2﹣3中，当﹣2＜t≤0时，存在∠CPE＝∠BAO＝α，∵PC＝PD，∴∠CPE＝α，∴∠BAO﹣∠PDC＝α，∴∠APD＝∠PDA，∴AD＝AP＝﹣2t，同法cos∠BAO＝＝，∴＝，∴t＝﹣．④当t≤﹣2时，同法cos∠BAO＝＝，＝，∴t＝﹣【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与二次函数综合运用，勾股定理，等腰三角形性质，相似三角形的判定和性质等，添加辅助线构造相似三角形是解题关键．9．（2023•浙江）在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？（2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出t的值；（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的取值范围．（2）抛物线y＝x2﹣2tx+3对称轴为x＝t．若0＜t≤3，有t2﹣2t2+3＝﹣2，若t＞3，有9﹣6t+3＝﹣2，解方程并检验可得t的值为；（3）根据A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，可得二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴直线x＝t即为直线x＝＝m﹣1，由t＞0，得m＞1，因m﹣2＜m，知A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3），其关于对称轴直线x＝m﹣1的对称点为（2m﹣2，3），由b＜3，知4＜2m﹣2，m＞3；①当A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时，y随x的增大而减小，有4＜m﹣2，可得m满足的条件为m＞6；②当A（m﹣2，a）在对称轴左侧，B（4，b）在对称轴右侧时，B（4，b）到对称轴直线x＝m﹣1距离大于A（m﹣2，a）到对称轴直线x＝m﹣1的距离，故4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），得：m＜4，m满足的条件是3＜m＜4．【解析】解：（1）将（2，1）代入y＝x2﹣2tx+3得：1＝4﹣4t+3，（2）抛物线y＝x2﹣2tx+3对称轴为x＝t．若0＜t≤3，当x＝t时函数取最小值，∴t2﹣2t2+3＝﹣2，解得t＝；若t＞3，当x＝3时函数取最小值，∴9﹣6t+3＝﹣2，解得（不符合题意，舍去）；综上所述，t的值为；（3）∵A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，∴二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴直线x＝t即为直线x＝＝m﹣1，∴t＝m﹣1，∵t＞0，∴m﹣1＞0，解得m＞1，∵m﹣2＜m，∴A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，在y＝x2﹣2tx+3中，令x＝0得y＝3，∴抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3），∴（0，3）关于对称轴直线x＝m﹣1的对称点为（2m﹣2，3），∵b＜3，∴4＜2m﹣2，解得m＞3；①当A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时，∵y随x的增大而减小，且a＜b，∴4＜m﹣2，解得m＞6，此时m满足的条件为m＞6；②当A（m﹣2，a）在对称轴左侧，B（4，b）在对称轴右侧时，∵a＜b，∴B（4，b）到对称轴直线x＝m﹣1距离大于A（m﹣2，a）到对称轴直线x＝m﹣1的距离，∴4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），解得：m＜4，此时m满足的条件是3＜m＜4，综上所述，3＜m＜4或m＞6．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及函数图象上点坐标的特征，解题的关键是分类讨论思想的应用．10．（2023•衢州）某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程s（m）与时间t（s）的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为s＝kt2（k≠0）；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程s（m）与时间t（s）的函数表达式为s＝k（t﹣70）2+h（k≠0）．（1）求出启航阶段s（m）关于t（s）的函数表达式（写出自变量的取值范围）．（2）已知途中阶段龙舟速度为5m/s．①当t＝90s时，求出此时龙舟划行的总路程．②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，t≤85.20s视为达标．请说明该龙舟队能否达标．（3）冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点．求该龙舟队完成训练所需时间（精确到0.01s）．【思路点拨】（1）把A（20，50）代入s＝kt2得出k的值，则可得出答案；（2）①设s＝5t+b，把（20，50）代入，得出50＝5×20+b，求得b＝﹣50，当t＝90时，求出s＝400，则可得出答案；②把s＝375代入s＝5t﹣50，求得t＝85，则可得出答案；（3）由（1）可知k＝，把（90，400）代入s＝，求得h＝350．求出s＝405.125，则可得出答案．【解析】解：（1）把A（20，50）代入s＝kt2得50＝400k，解得，∴启航阶段总路程s关于时间t的函数表达式为s＝（0＜t≤20）；（2）①设s＝5t+b，把（20，50）代入，得50＝5×20+b，解得b＝﹣50，∴s＝5t﹣50．当t＝90时，s＝450﹣50＝400．∴当t＝90s时，龙舟划行的总路程为400m．②500﹣125＝375，把s＝375代入s＝5t﹣50，得t＝85．∵85＜85.20，∴该龙舟队能达标．（3）加速期：由（1）可知k＝，把（90，400）代入s＝，得h＝350．∴函数表达式为s＝，把t＝91代入s＝，解得s＝405.125．∴（500﹣405.125）÷5.25≈18.07（s），∴90+1+18.07＝109.07（s）．答：该龙舟队完成训练所需时间为109，07s．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的应用，一次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法，根据条件准确得到表达式是解题关键．11．（2024•嘉善县一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），且a＞b＞c，a+b+c＝0．（1）当b＝0时，求方程ax2+bx+c＝0的根；（2）已知该二次函数的对称轴为x＝m，求证：；（3）已知该二次函数的图象与x轴，y轴分别交于A（x1，0），B（x2，0），C（0，c）三点（A在B的左侧），且x1+4x2＝0，若△ABC为直角三角形，求该二次函数表达式．【思路点拨】（1）当b＝0时，方程为：ax2+c＝0，即可求解；（2）证明a＞0且c＜0，即可求解；（3）若△ABC为直角三角形，则只存在∠ACB为直角，即可求解．【解析】（1）解：∵a＞b＞c，a+b+c＝0，则a＞0且c＜0，当b＝0时，方程为：ax2+c＝0，解得：x＝±；（2）证明：由（1）知，a＞0且c＜0，则a+b＝﹣c＞0，即a+b＞0，则﹣＜1，即﹣＜，∴；（3）解：∵a＞0且c＜0，且x1+4x2＝0，解：由（1）知，抛物线的表达式为：y＝ax2+bx+（﹣a﹣b），则x1+x2＝﹣且x1x2＝﹣，将x1+4x2＝0代入上式两式得：4x2＝＝1+＝1+3x2，解得：x2＝1，则x1＝﹣4，即点A、B的坐标分别为：（﹣4，0）、（1，0），则可大致画出函数的图象如下：若△ABC为直角三角形，则只存在∠ACB为直角，则∵∠ACO+∠OCB＝90°，∠OCB+∠OBC＝90°，∴∠ACO＝∠OBC，∴tan∠ACO＝tan∠OBC，则OC2＝OA×OB，即CO2＝1×4＝4，解得：CO＝2，则点C（0，﹣2），由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），则﹣4a＝﹣2，解得：a＝，则抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、直角三角形的性质等熟悉二次函数的图象和性质是解题的关键．1．二次函数的应用：应用待定系数法，根据条件准确得到表达式是解题关键.2．二次函数的综合问题：熟练掌握待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，函数图象上点的特征是解题的关键．3．要重视数形结合在解决二次函数综合问题中的作用.1．在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx﹣4a（a，b是常数，a≠0）．（1）判断该函数图象与x轴的交点个数，并说明理由；（2）若该函数图象的对称轴为直线x＝2，A（x1，m），B（x2，m）为该函数图象上的任意两点，其中x1＜x2，求当x1，x2为何值时，m＝8a；（3）若该函数图象的顶点在第二象限，且过点（1，2），当a＜b时求3a+b的取值范围．【思路点拨】（1）依据题意，求出Δ＝b2﹣4a（﹣4a）＝b2+16a2，进而结合a≠0可以判断Δ＞0，即可求解；（2）依据题意，也有对称轴为直线x＝2，可得b＝﹣4a，从而y＝ax2+bx﹣4a＝ax2﹣4ax﹣4a，当y1＝y2＝8a时，即y＝ax2﹣4ax﹣4a＝8a，然后计算即可求解；（3）依据题意，由（1）知，函数图象与x轴的交点个数为2且图象的顶点在第二象限，则抛物线开口向下，即a＜0，进而求解．【解析】解：（1）由题意得，Δ＝b2﹣4a（﹣4a）＝b2+16a2，又a≠0，∴a2＞0．∴16a2＞0．又对于任意的b都有b2≥0，∴Δ＝b2+16a2＞0．∴函数图象与x轴的交点个数为2．（2）∵x＝2＝﹣，∴b＝﹣4a．∴抛物线表达式为y＝ax2+bx﹣4a＝ax2﹣4ax﹣4a，当y1＝y2＝8a时，即y＝ax2﹣4ax﹣4a＝8a，解得x＝6或﹣2，则x1＝﹣2，x2＝6．（3）将（1，2）代入抛物线表达式得：2＝a+b﹣4a，则b＝3a+2，∵a＜b，故a＜3a+2，∴解得a＞﹣1．∴抛物线的表达式为y＝ax2+（3a+2）x﹣4a，由（1）知，函数图象与x轴的交点个数为2且图象的顶点在第二象限，∴抛物线开口向下，即a＜0．∴函数的对称轴x＝﹣＝﹣﹣＜0，解得a＜﹣，∴﹣1＜a＜﹣．∴﹣3＜3a＜﹣2．故﹣1＜3a+2＜0，即﹣1＜b＜0．∴﹣4＜3a+b＜﹣2．∴3a+b的取值范围：﹣4＜3a+b＜﹣2．【点睛】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点、函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．2．在二次函数y＝﹣x2+ax+1中（a≠0）．（1）当a＝2时，①求该二次函数图象的顶点坐标；②当0≤x≤3时，求y的取值范围；（2）若A（a﹣2，b），B（a，c）两点都在这个二次函数的图象上，且b＜c，求a的取值范围．【思路点拨】（1）①把解析式化成顶点式即可求得；②根据二次函数的性质，可以得到当0＜x＜3时，y的取值范围；（2）根据抛物线的对称性及增减性即可解决问题．【解析】解：（1）①把a＝2代入得y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，∴抛物线的顶点坐标为（1，2）；②∵y＝﹣x2+2x+1的开口向下，对称轴为直线x＝1，∴当0≤x≤1时，y随x的增大而增大，当1≤x≤3时，y随x的增大而减小，∴当x＝1时，y有最大值2．∵当x＝0时，y＝1；当x＝3时，y＝﹣2∴当0≤x≤3时，﹣2≤y≤2；（2）抛物线的对称轴为直线，①当，即0≤a≤4时，点B到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离，∴，解得a＜2，∴0≤a＜2②当，即a＜0时，点B到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离，∴成立，∴a＜0③对称轴在点A左侧不合题意，舍去，综上所述，a＜2．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用分类讨论的数学思想是解题的关键．3．已知二次函数y＝x2﹣2kx+k﹣2的图象过点（5，5）．（1）求二次函数的表达式．（2）若A（x1，y1）和B（x2，y2）都是二次函数图象上的点，且x1+2x2＝2，求y1+y2的最小值．（3）若点P（a，n）和Q（b，n+2）都在二次函数的图象上，且a＜b．对于某一个实数n，若b﹣a的最小值为1，则b﹣a的最大值为多少？【思路点拨】（1）利用待定系数法即可求解；（2）根据图象上点的坐标特征得出y1+y2＝﹣4x1+﹣4x2，由x1+2x2＝2可知x1＝2﹣2x2，即可求得y1+y2＝﹣4x1+﹣4x2＝5（x2﹣）2﹣，利用二次函数的性质即可求得最小值；（3）由题意可知当点P（a，n）和Q（b，n+2）在对称轴的同侧时b﹣a的值最小，当点P（a，n）和Q （b，n+2）在异侧是b﹣a的值最大，据此求解即可．【解析】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣2kx+k﹣2的图象过点（5，5），∴5＝25﹣10k+k﹣2，∴k＝2，∴二次函数的表达式为y＝x2﹣4x；（2）∵A（x1，y1）和B（x2，y2）都是二次函数图象上的点，∴y1＝﹣4x1，y2＝﹣4x2，∴y1+y2＝﹣4x1+﹣4x2，∵x1+2x2＝2，∴x1＝2﹣2x2，∴y1+y2＝﹣4x1+﹣4x2＝（2﹣2x2）2﹣4（2﹣2x2）+﹣4x2＝5﹣4x2﹣4＝5（x2﹣）2﹣，∵5＞0，∴y1+y2的最小值是﹣；（3）∵抛物线y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴t图象开口向上，对称轴为直线x＝2，∵点P（a，n）和Q（b，n+2）都在二次函数的图象上，且a＜b．对于某一个实数n，若b﹣a的最小值为1，∴点P（a，n）和Q（b，n+2）在对称轴的右侧，此时b﹣a＝1，则b＝a+1，∴a2﹣4a＝n①，（a+1）2﹣4（a+1）＝n+2②，②﹣①得a＝，∴b＝a+1＝，∴此时点P（，n）和Q（，n+2），当点P是点（，n）的对称点时，则b﹣a的值最大，∵对称轴为直线x＝2，∴点（，n）的对称点为（，n），∴此时a＝，∴b﹣a的最大值为：﹣＝2．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．4．定义：对于y关于x的函数，函数在x1≤x≤x2（x1＜x2）范围内的最大值，记作M[x1，x2]．如函数y＝2x，在﹣1≤x≤3范围内，该函数的最大值是6，即M[﹣1，3]＝6．请根据以上信息，完成以下问题：已知函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+a2﹣1（a为常数）．（1）若a＝2．①直接写出该函数的表达式，并求M[1，4]的值；②已知，求p的值．（2）若该函数的图象经过点（0，0），且M[﹣3，k]＝k，求k的值．【思路点拨】（1）①将a值代入运算即可，利用新定义的规定计算即可；②令y＝3，求得x值，再利用新定义的规定解答即可；（2）利用待定系数法求得a值，再利用分类讨论的方法，依据新定义的规定列出关于k的方程解答即可．【解析】解：（1）①∵a＝2，∴y＝x2﹣4x+3．∵[1，4]，∴1≤x≤4．∴当x＝4时，y＝x2﹣4x+3＝3，取得最大值，∴M[1，4]＝3；②∵，∴当p≤x≤时，函数y取得最大值3，令y＝3，则x2﹣4x+3＝3，∴x＝0或x＝4．∴p＝0．（2）∵该函数的图象经过点（0，0），∴a2﹣1＝0，∴a＝±1．当a＝1时，y＝﹣4x，∵M[﹣3，k]＝k，∴k＝﹣4×（﹣3）＝12，∴k＝12．当a＝﹣1时，y＝﹣2x2﹣4x．∵y＝﹣2（x+1）2+2，∴当x＝﹣1时，y取得最大值为2，∵M[﹣3，k]＝k，∴﹣2k2﹣4k＝k，∴k＝0（不合题意，舍去）或k＝﹣．∵当a＝﹣1时，y＝﹣2x2﹣4x．∵y＝﹣2（x+1）2+2，∴当x＝﹣1时，y取得最大值为2，∴k＝2．当﹣3≤x≤2时，函数的最大值为2，∴k＝2．综上，k的值为12或k＝﹣或k＝2．【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式，一次函数的性质，待定系数法，二次函数图象的性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．5．设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：x…﹣10123…y…m1n1p…（1）若m＝0时，求二次函数的表达式；（2）当﹣1≤x≤3时，y有最小值为，求a的值；（3）若a＜﹣3，求证：n﹣m﹣p＞20．【思路点拨】（1）利用待定系数法解答即可；（2）利用抛物线的对称性得出抛物线的对称轴为直线x＝1，利用二次函数的性质得到当x＝1时，函数y取得最小值，再利用待定系数法解答即可；（3）利用抛物线的对称轴为直线x＝1，得到b＝﹣2a，则y＝ax2﹣2ax+1，利用表格求得m，np的值，并计算出n﹣m﹣p＝﹣7a﹣1，再利用不等式的性质解答即可得出结论．【解析】（1）解：当m＝0时，抛物线y＝ax2+bx+1经过（﹣1，0），（0，1），（2，1）三点，∴，∴，∴二次函数的表达式为y＝﹣x+1；（2）解：∵抛物线y＝ax2+bx+1经过（0，1），（2，1）两点，∴当x＝0或x＝2时，y＝1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴y＝ax2﹣2ax+1，∵当﹣1≤x≤3时，y有最小值为，∴如果a＞0，当x＝1时，函数y取得最小值，∴，∴．∴a的值为；如果a＜0，则x＝﹣1或x＝3时，函数y取得最小值，∴a×（﹣1）2﹣2a×（﹣1）+1＝，∴a＝﹣．综上，a的值为或﹣．（3）证明：由（2）知：抛物线的对称轴为直线x＝1，∴＝1，∴b＝﹣2a．∴y＝ax2﹣2ax+1，∴m＝a×（﹣1）2﹣2a×（﹣1）+1＝3a+1，n＝a﹣2a+1＝﹣a+1，p＝m＝3a+1，∴n﹣m﹣p＝﹣a+1﹣（3a+1）﹣（3a+1）＝﹣7a﹣1．∵a＜﹣3，∴﹣7a＞21，∴﹣7a﹣1＞20．即：n﹣m﹣p＞20．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，二次函数的极值，熟练掌握二次函数的性质和待定系数法是解题的关键．6．（2024•浙江模拟）已知点A（m，p），B（3，q），C（m+2，p）都在二次函数y＝2x2+bx+4的图象上．（1）若m＝1，求该二次函数的表达式；（2）求p+q的最大值；（3）若p＜q＜4，求m的取值范围．【思路点拨】（1）当m＝1时，根据二次函数的对称轴为直线x＝﹣＝＝m+1求出b即可；（2）根据﹣＝m+1得出b＝﹣4（m+1），然后求出p+q关于m的二次函数解析式，根据函数的性质求最值；（3）根据p＜q＜4以及二次函数的性质求出m的取值范围．【解析】解：（1）根据题意得，二次函数的对称轴为直线x＝﹣＝＝m+1，当m＝1时，﹣＝2，∴b＝﹣8，∴二次函数的表达式为y＝2x2﹣8x+4；（2）∵﹣＝m+1，∴b＝﹣4（m+1），把A，B坐标分别代入y＝2x2+bx+4得，p＝2m2﹣4（m+1）m+4＝﹣2m2﹣4m+4，q＝18﹣4（m+1）×3+4＝﹣12m+10，∴p+q＝﹣2m2﹣4m+4﹣12m+10＝﹣2m2﹣16m+14＝﹣2（m﹣4）2+46，∵﹣2＜0，∴m＝4时，p+q最大值为46；（3）∵p＜q，∴m＞3或m+2＜3，∵q＜4，∴﹣12m+10＜4，解得m＞，∴m的取值范围为＜m＜1或m＞3．【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的最值以及二次函数的性质，关键是利用二次函数的性质解答．7．已知二次函数y1＝ax（x+b）（a≠0）和一次函数y2＝ax+m．（1）若二次函数y1的图象过点（1，0）和（2，2），求二次函数的表达式．（2）若一次函数y2与二次函数y1的图象交于x轴上同一点A，且A不是原点．①求证：m＝ab；②若二次函数y1与一次函数y2的另一个交点B为y1的顶点，求b的值．【思路点拨】（1）利用待定系数法解答即可；（2）①令y＝0，分别求得两个函数的图象与x轴的交点，依据已知条件列出关于a，b，m的等式，整理即可得出结论；②利用配方法求得抛物线的顶点坐标，将坐标代入一次函数的解析式，再利用①的结论得到关于b的方程，解方程即可得出结论．【解析】（1）解：∵二次函数y1的图象过（1，0），（2，2）点，∴，解得：，∴二次函数的表达式为y＝x2﹣x；（2）①证明：令y1＝0，则ax（x+b）＝0，解得：x＝0或x＝﹣b．∴抛物线y1＝ax（x+b）与x轴交于（0，0）（﹣b，0）．令y2＝0，则ax+m＝0，∴x＝﹣．∴直线y2＝ax+m与x轴交于（﹣，0），∵若一次函数y2与二次函数y1的图象交于x轴上同一点，且这个点不是原点，∴﹣＝﹣b，∴m＝ab；②解：∵y1＝ax（x+b）＝ax2+abx＝a（x+）2﹣，∴二次函数的顶点为（﹣，﹣）．∵两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，∴a•（﹣）+m＝﹣．由①知：m＝ab，∴﹣+ab＝﹣，解得：b＝0（不合题意，舍去）或b＝﹣2．∴若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，b的值为﹣2．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，函数图象的交点，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．8．（2024•宁波模拟）设一次函数y1＝a（x+m）的图象与x轴交于点A，二次函数的图象与x轴交于A，B两个不同的点，设函数y＝y1+y2．（1）设点Q（0，q）在函数y的图象上，若q＞c，求证：am＞0．（2）若函数y2，y的图象在x轴上截得的线段长分别为d1，d2，求d1，d2的数量关系式．（3）若函数y1的图象分别与函数y2的图象、函数y的图象交于点E（x1，e），F（x2，f），且点E，F不同于点A，求x1﹣x2的值．【思路点拨】（1）把y1与y2相加得y＝ax2+（a+b）x+am+c，把点Q代入y，再计算即可．（2）设A（t，0），代入y1得y1＝a（x﹣t）．设B（k，0），又A（t，0）得y2＝ax2﹣（at+ak）x+atk，故y＝ax2+（a﹣at﹣ak）x+atk﹣at，设y2＝ax2﹣（at+ak）x+atk两根为p、q，再计算即可．（3）由（2）知y1＝a（x﹣t），y2＝a（x﹣t）（x﹣k），得a（x﹣t）＝a（x﹣t）（x﹣k），计算得x1＝k+1．由y1＝a（x﹣t），y＝a（x﹣t）+ax2﹣（at+ak）x+atk，得a（x﹣t）＝a（x﹣t）+ax2﹣（at+ak）x+atk，计算得x2＝k．故x1﹣x2＝k+1﹣k＝1．【解析】解：（1）∵y1＝a（x+m），，∴y＝y1+y2＝a（x+m）+ax2+bx+c＝ax2+（a+b）x+am+c，∵点Q（0，q）在函数y的图象上，∴q＝am+c，即q﹣c＝am，∵q＞c，∴am＞0．（2）设A（t，0），代入y1＝a（x+m）得：0＝a（t+m），∵a≠0，∴t+m＝0，∴m＝﹣t，y1＝a（x﹣t）．设B（k，0），又A（t，0），∴y2＝a（x﹣t）（x﹣k）＝ax2﹣（at+ak）x+atk，∴y＝a（x﹣t）+ax2﹣（at+ak）x+atk＝ax2+（a﹣at﹣ak）x+atk﹣at，设y2＝ax2﹣（at+ak）x+atk两根为p、q，∴p+q＝＝t+k，pq＝＝tk，∴＝（p﹣q）2＝（p+q）2﹣4pq＝（t+k）2﹣4tk＝t2+k2﹣2tk，即＝t2+k2﹣2tk＝（t﹣k）2，∴d1＝，设y＝ax2+（a﹣at﹣ak）x+atk﹣at两根为r、s，∴r+s＝＝k+t﹣1，rs＝＝kt﹣t，∴＝（r﹣s）2＝（r+s）2﹣4rs＝（k+t﹣1）2﹣4（kt﹣t）＝k2+t2﹣2tk﹣2k+2t+1，∴﹣＝|（t2+k2﹣2tk）﹣（k2+t2﹣2tk﹣2k+2t+1）|＝|2（k﹣t）﹣1|＝±2d1﹣1，答：d1，d2的数量关系式是：﹣＝±2d1﹣1．（3）由（2）知y1＝a（x﹣t），y2＝a（x﹣t）（x﹣k），得a（x﹣t）＝a（x﹣t）（x﹣k），∴a（x﹣t）（x﹣k）﹣a（x﹣t）＝0，∴a（x﹣t）（x﹣k﹣1）＝0，∴x＝t，x＝k+1，即A（t，0），x1＝k+1．由y1＝a（x﹣t），y＝a（x﹣t）+ax2﹣（at+ak）x+atk，得a（x﹣t）＝a（x﹣t）+ax2﹣（at+ak）x+atk，∴ax2﹣（at+ak）x+atk＝0，∴x2﹣（t+k）x+tk＝0，∴（x﹣t）（x﹣k）＝0，∴x＝t，x＝k，即A（t，0），x2＝k．∴x1﹣x2＝k+1﹣k＝1．【点睛】本题考查了抛物线的知识，掌握抛物线的性质是解题关键．9．如图，小车从点A出发，沿与水平面成30°角光滑斜坡AB下滑，在下滑过程中小车速度逐渐增加，设小车出发点A离水平地面BE的高度为h，小车从点A滑行到最低点B所用的时间为t（秒），小车滑行到点B时的速度为v（厘米/秒）．速度v与时间t满足关系：v＝10t，高度h与时间t满足关系：（g≠0，g是常数），当小车出发点小车出发点A离水平地面BE的高度为20（厘米）时，小车从点A滑到最低点B需要2秒．（1）当小车出发点A离水平地面BE的高度为45（厘米）时，小车滑到最低点B需要几秒钟？此时小车到达B点时的速度是多少？（2）小车继续在粗糙的水平地面BE上滑行，设滑行的距离为s（厘米），小车从斜坡滑行到点B时速度为v（厘米/秒），小车在水平地面BE上滑行的时间为T（秒），若s与v，T之间满足以下关系：+vT （a≠0，a是常数），当v＝20（厘米/秒）时，s＝50（厘米），T＝5（秒）．如果把小车出发点A离水平地面BE的距离h提高到125厘米，那么当滑行到时间T＝4秒时，小车在水平地面BE上滑行的距离为多少？【思路点拨】（1）先根据已知条件求出g的值，求出高度h与时间t的函数解析式，再把h＝45代入解析式求出t，再把t的值代入y＝10t求出速度v；（2）先把v＝20，s＝50，T＝5代入+vT求出a的值，再根据h＝125求出t，再求出v，然后求出s即可．【解析】解：（1）当t＝2，h＝20时，20＝g×22，解得g＝10，∴h＝×10t2＝5t2；∴当h＝45时，5t2＝45，解得t＝3或t＝﹣3（舍去），此时v＝10×3＝30（cm/s），答：当小车出发点A离水平地面BE的高度为45（厘米）时，小车滑到最低点B需要3秒钟，此时小车到达B点时的速度是30厘米/秒；（2）把v＝20，s＝50，T＝5代入+vT，则50＝﹣a×52+20×5，解得a＝4，∴s＝﹣2T2+vT，当h＝125时，5t2＝125，。
2021年数学二次函数中考真题(附解析)
2021年数学二次函数中考真题(附解析)一、选择题（共5小题；共25分）1. 抛物线的顶点坐标是A. B.2. 下列函数中，属于二次函数的是A. B.C. D.3. 将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位后，所得抛物线顶点坐标是A. C. D.4. 二次函数的图象如图所示，那么点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 下列对二次函数的图象的描述中，不正确的是A. 抛物线开口向下B. 抛物线的对称轴是直线C. 抛物线与轴的交点坐标是D. 抛物线的顶点坐标是二、填空题（共15小题；共75分）6. 如果抛物线开口向下，那么的取值范围是．7. 已知点，为函数的图象上的两点，若，则（填“”、“”或“”）．8. 如果抛物线过点，且与轴的交点是，那么抛物线的对称轴是直线．9. 已知二次函数的图象经过原点，则的值是．10. 如果抛物线的对称轴是轴，那么顶点坐标为．11. 已知一条抛物线经过点，且在对称轴右侧的部分是下降的，该抛物战的表达式可以是（写出一个即可）．12. 如果抛物线的顶点在轴上，那么常数的值是．13. 如果某抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，那么该抛物线有最点（填“高”或“低”）14. 如图，已知点是抛物线图象上一点，将点向下平移个单位到点，再把绕点顺时针旋转得到点，如果点也在该抛物线上，那么点的坐标是．15. 如果点，在二次函数图象上，那么（填，，）．16. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得抛物线的表达式是．17. 已知二次函数（为常数），若该函数图象与轴只有一个公共点，则．18. 抛物线的对称轴是直线．19. 若抛物线的顶点为，抛物线的顶点为，且满足顶点在抛物线上，顶点在抛物线上，则称抛物线与抛物线互为“关联抛物线”，已知顶点为的抛物线与顶点为的抛物线互为“关联抛物线”，直线与轴正半轴交于点，如果，那么顶点为的抛物线的表达式为．20. 定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段长就是抛物线关于直线的“割距”．已知直线与轴交于点，与轴交于点，点恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线的割距是．三、解答题（共10小题；共130分）21. 我们将平面直角坐标系中的图形和点给出如下定义：如果将图形绕点顺时针旋转得到图形，那么图形称为图形关于点的“垂直图形”．已知点的坐标为，点的坐标为，关于原点的“垂直图形”记为，点，的对应点分别为点，．（1）请写出：点的坐标为；点的坐标为；（2）请求出经过点，，的二次函数解析式；（3）请直接写出经过点，，的抛物线的表达式为．22. 已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：（1）求该抛物线的表达式；（2）将抛物线沿轴向右平移个单位，使得新抛物线经过原点，求的值以及新抛物线的表达式．23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于和点（点在点的左侧），与轴交于点，且．（1）求这个函数的解析式，并直接写出顶点的坐标；（2）点是二次函数图象上一个动点，作直线轴交抛物线于点（点在点的左侧），点关于直线的对称点为，如果四边形是正方形，求点的坐标；（3）若射线与射线相交于点，求的大小．24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，顶点为点．（1）求直线的表达式；（2）求的值；（3）设线段与轴交于点，如果点在轴上，且与相似，求点的坐标．25. 如图，抛物线与轴相交于点，与轴交于点，为线段上的一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，交该抛物线于点．（1）求直线的表达式，直接写出顶点的坐标；（2）当以，，为顶点的三角形与相似时，求点的坐标；（3）当时，求与的面积之比．26. 二次函数的自变量的取值与函数的值列表如下：（1）根据表中的信息求二次函数的解析式，并用配方法求出顶点的坐标；（2）请你写出两种平移的方法，使平移后二次函数图象的顶点落在直线上，并写出平移后二次函数的解析式．27. 已知，二次函数的图象与轴交于点，点，与轴交点．（1）求二次函数解析式；（2）设点为轴上一点，且，求的值；（3）若点是直线上方抛物线上一动点，连接，过点作，交于点，求线段的最大值及此时点的坐标．28. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在轴的正半轴上），与轴交于点，已知．（1）求顶点和点的坐标；（2）将抛物线向右平移个单位，得到的新抛物线与轴交于点，求点的坐标和的面积；（3）如果点在原抛物线的对称轴上，当与相似时，求点的坐标．29. 已知开口向上的抛物线与轴的交点为，顶点为，点与点关于对称轴对称，直线与交于点．（1）求点的坐标，并用含的代数式表示点的坐标；（2）当时，求抛物线的表达式；（3）当时，求的长．30. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点与轴交于点，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与交于点，与轴交于点．（1）求抛物线的对称轴及点的坐标；（2）如果，求抛物线的表达式；（3）在（）的条件下，已知点是该抛物线对称轴上一点，且在线段的下方，，求点的坐标．答案第一部分1. A【解析】由，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为．2. C【解析】A、是二次根式的的形式，不是二次函数，故本选项不符合题意；B、，不是二次函数，故本选项不符合题意；C、是二次函数，故本选项符合题意；D、，不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：C．3. D【解析】抛物线化成顶点式为，顶点坐标为，将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位后，所得抛物线的顶点坐标是．4. C【解析】由函数图象可得：抛物线开口向上，，又对称轴在轴右侧，，，又图象与轴交于负半轴，，，在第三象限．故选：C．5. C【解析】，抛物线的开口向下，故选项A正确，不符合题意；对称轴为直线，故选项B正确，不符合题意；当时，，即抛物线与轴的交点坐标是，故选项C错误，符合题意；顶点坐标为，故选项D正确，不符合题意．第二部分6.【解析】抛物线开口向下，，即．7.【解析】根据题意得：抛物线的对称轴为直线，且开口向下，在对称轴的左侧随的增大而增大，，．8.【解析】当和时，的值都是，该抛物线的对称轴是直线．【解析】二次函数的图象经过原点，．．10.【解析】中，，故，解得，故抛物线为，将代入有，故顶点坐标为．故答案为：．11.【解析】在对称轴右侧部分是下降，设抛物线的解析式可以为，经过点，解析式可以是．12.【解析】，二次函数顶点坐标为，顶点在轴上，，13. 低【解析】抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，抛物线中，开口方向向上，该抛物线有最低点．【解析】点是抛物线图象上一点，故设，将点向下平移个单位到点，故把绕点顺时针旋转得到点，如图，过点作于，过点作于，，，，故，，故，把代入，，解得，．15.【解析】二次函数的图象的对称轴是直线，且，在对称轴的右边随的增大而增大，点，是二次函数的图象上两点，，16.【解析】抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得抛物线的表达式是：，即，故答案为：．17.【解析】二次函数图象与轴有且只有一个公共点，，解得：．18.【解析】抛物线的对称轴方程，抛物线的对称轴是．即对称轴是．19.【解析】设顶点为的抛物线顶点坐标为，已知抛物线的顶点坐标为，，，即，解得，直线与轴正半轴交于点，点坐标为，则直线解析式为，点在直线上，点也在抛物线，故有化简得联立得，化简得，解得或（舍），将代入有，解得故点坐标为，则顶点为的抛物线的表达式为，将代入有，化简得，解得，故顶点为的抛物线的表达式为．20.【解析】直线与轴的交点，点坐标为，是抛物线的顶点，抛物线解析式为，解得或直线与抛物线的两个交点坐标为，，抛物线关于直线的割距是．第三部分21. （1）；【解析】根据题意作下图：根据旋转的性质得：，，，．（2）设过点，，的二次函数解析式为：，将点，，分别代入中得：解得：，，，．（3）【解析】设过点，的二次函数解析式为：，将点，，分别代入中得：解得：，，，．22. （1），；，，抛物线的对称轴为直线，则抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，把代入得，解得，抛物线解析式为．（2）将抛物线沿轴向右平移个单位，得到，经过原点，，解得，（舍去），，新抛物线的表达式为．23. （1）因为抛物线为的对称轴为直线，，所以，，把代入得，所以，所以抛物线的解析式为，；【解析】因为，所以；（2）因为四边形是正方形，所以是等腰直角三角形，连接交于点，所以，设，，则，即，，解得（舍），，所以；（3）因为，，，，所以直线：，直线：，所以点，，所以，作，所以，，所以，所以是等腰直角三角形，所以．24. （1）抛物线经过点，，解得：，抛物线解析式为，当时，，点的坐标为，设直线的解析式为，把，，代入得：解得：直线的解析式为；（2）如图，连接，，，点的坐标为，，，，，，，为直角三角形，；（3）设直线的解析式为，把点，代入得：解得：直线的解析式为，当时，，点的坐标为，当时，，如图，过点作轴于点，则，，，，由（）知，，，，，点的坐标为；当时，，此时点与点重合，点的坐标为，综上所述，点的坐标为．25. （1）令，则，或，，令，则，，设直线的解析式为；；【解析】，．（2），，是直角三角形，设，①如图，当时，，，，（舍）或，；②如图，当时，过点作交于点，，，，，，即，，，，（舍）或，；综上所述：点的坐标为或．（3）如图，作的垂直平分线交轴于点，连接，过点作于点，，，，，在中，，，，，，，设，则，，，，，，，，，，，．26. （1）因为二次函数过，，设，把代入抛物线的解析式可得：，解得：，所以抛物线为：．而，所以顶点坐标为：．（2）因为平移后二次函数图象的顶点落在直线上，所以顶点的横坐标与纵坐标相等，而顶点坐标为：，当顶点坐标变为：时，把抛物线向下平移个单位长度即可；此时抛物线为：，当顶点坐标变为：时，把抛物线向右平移个单位长度即可．此时抛物线为：．27. （1）把，代入中，得解得：，，．（2）在二次函数解析式为，令，则，则点坐标，而，，，，，，．（3）设直线为：，把和代入得：解得：，，，过点作轴，交于点，，，是等腰直角三角形，，设点，则，，当且仅当时，的最大值是，当点时，的最大值是．28. （1），．（2），．（3）．29. （1）令，可得，点的坐标为，抛物线的对称轴为：，点的坐标为，令，可得，顶点的坐标为．（2）如图：当时，即是直角三角形，，，解得，抛物线的表达式为：或．（3）如图：在抛物线的对称轴上，，，，，点，点，直线的解析式为，点坐标为，，或，解得或，点的坐标为或，设直线的解析式为，则或解得：或直线的解析式为或．或解得：或点的坐标为或，，的长为或．30. （1）二次函数，对称轴是，，，，．（2）二次函数，在轴上，的横坐标是，纵坐标是，轴平行于对称轴，，，，，的纵坐标是的横坐标是对称轴，，，解这个方程组得：，．（3）假设点在如图所示的位置上，连接，，，与相交于点，由（）可知：，，，，，，，，，，，，，，设，，，，，解这个方程组得：，，点在线段的下方，（舍去），．。
【2021浙江中考数学】 二次函数的图象与性质含答案
二次函数的图象与性质考点一二次函数1．形如________________的函数叫做二次函数，其中二次项系数为________，一次项系数为________，常数项为________．考点二二次函数的顶点式2．抛物线y＝a(x－m)2＋k(a≠0)可以由y＝ax2(a≠0)的图象先向右(当m________)或向左(当m________)平移________个单位，再向上(当k________)或向下(当k________)平移________个单位．(俗称________________________)3．抛物线y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的顶点是________，对称轴是直线________．考点三二次函数的一般式4．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线________，顶点坐标是________．当a ＞0时，抛物线的开口________，函数有最________值；当a＜0时，抛物线的开口______，函数有最________值．5．若b2－4ac＞0，图象与x轴有________个交点；若b2－4ac＝0，图象与x轴有________个交点；若b2－4ac＜0，图象与x轴有________个交点．6．若a＞0，当x______时，y随x的增大而______；当x________时，y随x的增大而________．当x＝________时，y达到最________值________．7．若a＜0，当x______时，y随x的增大而______；当x________时，y随x的增大而________．当x＝________时，y达到最________值________．考点四二次函数的交点式8．抛物线y＝a(x－m)(x－n)(a≠0)与x轴的交点坐标是________和________，对称轴是直线________．考点五二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a，b，c的关系9．a＞0，开口________；a＜0，开口________．10．b＝0，对称轴为________；ab＞0，对称轴在________；ab＜0，对称轴在________．(俗称________)11．c＝0，经过________；c＞0，与y轴交点在________；c＜0，与y轴交点在________．考点六二次函数表达式的求法12．已知图象上三点或三对x，y值，通常选择一般式________________．13．已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式________________．14．已知图象与x轴的交点坐标，通常选择交点式________________．1．二次函数y＝－(x＋2)2＋3的最大值是__3__．2．将抛物线y＝x2先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得到的抛物线为(D)A．y＝(x－2)2－3 B．y＝(x－2)2＋3C．y＝(x＋2)2－3 D．y＝(x＋2)2＋33．在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝(x－1)2＋2，下列说法中错误的是(B) A．顶点坐标为(1，2)B．对称轴为直线x＝1，最大值为2C．x≤1时，y随x的增大而减小D．其图象可由函数y＝x2的图象向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到4．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋c与一次函数y＝ax－c的图象可能是(B)A. B.C. D.5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图14－1所示，下列结论中正确的是(B)(图14－1)A．b2＜4ac B．abc＞0C ．2a －b ＜0D ．4a ＋2b ＋c ＞0◆达标一 抛物线的平移例1 (2019哈尔滨)将抛物线y ＝2x 2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线的函数表达式为( B ) A ．y ＝2(x ＋2)2＋3 B ．y ＝2(x －2)2＋3 C ．y ＝2(x －2)2－3D ．y ＝2(x ＋2)2－3变式1 (2019济宁)将抛物线y ＝x 2－6x ＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的函数表达式是( D ) A ．y ＝(x －4)2－6 B ．y ＝(x －1)2－3 C ．y ＝(x －2)2－2D ．y ＝(x －4)2－2◆达标二 求抛物线的顶点坐标例2 (2019衢州)二次函数y ＝(x －1)2＋3的图象的顶点坐标是( A ) A ．(1，3) B ．(1，－3) C ．(－1，3)D ．(－1，－3)变式2 抛物线y ＝2x 2＋2x ＋3的顶点坐标是( D ) A ．(－1，2) B ．(1，2) C.⎝⎛⎭⎫12，52D.⎝⎛⎭⎫－12，52◆达标三 抛物线的对称性及增减性例3 (2019南充)已知点A (1，y 1)，B (2，y 2)在抛物线y ＝－(x ＋1)2＋2上，则下列结论正确的是( A ) A ．2＞y 1＞y 2 B ．2＞y 2＞y 1 C ．y 1＞y 2＞2D ．y 2＞y 1＞2变式3 已知点A (－3，y 1)，B (0，y 2)，C (3，y 3)在抛物线y ＝(x ＋1)2＋m 上，则下列结论正确的是( C ) A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 3＜y 2＜y 1 C ．y 2＜y 1＜y 3D ．y 2＜y 3＜y 1◆达标四 二次函数的表达式求法例4 (2019宁波)如图14－2，已知二次函数y ＝x 2＋ax ＋3的图象经过点P (－2，3)．(图14－2)(1)求a 的值和图象的顶点坐标； (2)点Q (m ，n )在该二次函数图象上： ①当m ＝2时，求n 的值；②若点Q 到y 轴的距离小于2，请根据图象直接写出n 的取值范围． 解：(1)将(－2，3)代入二次函数解析式，得a ＝2， ∴二次函数的解析式为y ＝x 2＋2x ＋3， ∴顶点坐标为(－1，2)； (2)①当m ＝2时，n ＝11；②由图象可知－2＜m ＜2时，所对应的n 的取值范围为2≤n ＜11.变式4 (2018云南)已知二次函数y ＝－316x 2＋bx ＋c 的图象经过A (0，3)，B ⎝⎛⎭⎫－4，－92两点．(1)求b ，c 的值；(2)二次函数y ＝－316x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴是否存在公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明理由．解：(1)将(0，3)，⎝⎛⎭⎫－4，－92代入二次函数解析式，得b ＝98，c ＝3；(2)二次函数解析式为y ＝－316x 2＋98x ＋3，当y ＝0时，解得x 1＝－2，x 2＝8，∴其图象与x 轴的交点坐标为(－2，0)，(8，0)． ◆达标五 二次函数图象的特征与a ，b ，c 的关系例5 (2020宁波)如图14－3，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴正半轴交于点C ，它的对称轴为直线x ＝－1，则下列选项中正确的是( D )(图14－3)A．abc＜0B．4ac－b2＞0C．c－a＞0D．当x＝－n2－2(n为实数)时，y≥c变式5(2019甘肃)如图14－4是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，对于下列说法：①ac ＞0；②2a＋b＞0；③4ac＜b2；④a＋b＋c＜0；⑤当x＞0时，y随x的增大而减小．其中正确的是( C )(图14－4)A．①②③B．①②④C．②③④D．③④⑤1．(2019雅安)在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝(x－2)2＋1，下列说法中错误的是(C)A．y的最小值为1B．图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x＝2C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到2．如图14－5，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)．下列结论：①2a－b＝0；②(a＋c)2＜b2；③当－1＜x＜3时，y<0；④当a＝1时，将抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到抛物线y＝(x－2)2－2.其中正确的是( D )(图14－5)A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④3．若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上的P (4，0)，Q 两点关于它的对称轴x ＝1对称，则点Q 的坐标为__(－2，0)__．4．(2019武威)将二次函数y ＝x 2－4x ＋5化成y ＝a (x －m )2＋k 的形式为__y ＝(x －2)2＋1__．5．(2019荆州)二次函数y ＝－2x 2－4x ＋5的最大值是__7__．6．(2019徐州)已知二次函数的图象经过点P (2，2)，顶点为O (0，0)，将该图象向右平移，当它再次经过点P 时，所得抛物线的函数表达式为__y ＝12(x －4)2__．7．已知函数y ＝－x 2＋(m －1)x ＋m (m 为常数)，则： (1)该函数的图象与x 轴公共点的个数是( D ) A ．0B ．1C ．2D ．1或2 (2)求证：不论m 为何值，该函数的图象的顶点都在函数y ＝(x ＋1)2的图象上；(3)当－2≤m ≤3时，求该函数图象的顶点纵坐标的取值范围． 解：(2)配方得该函数的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m －12，m 2＋2m ＋14， 将m －12代入y ＝(x ＋1)2得y ＝m 2＋2m ＋14，∴不论m 为何值，该函数的图象的顶点都在函数y ＝(x ＋1)2的图象上； (3)记顶点的纵坐标为z ＝m 2＋2m ＋14， ∴当－2≤m ≤3时，0≤z ≤4.8．(2020宁波)如图14－6，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋4x －3图象的顶点是点A ，与x 轴交于B ，C 两点，与y 轴交于点D ，点B 的坐标是(1，0)．(图14－6)(1)求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围；(2)平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．解：(1)将点B(1，0)代入y＝ax2＋4x－3，得a＋4－3＝0，解得a＝－1.∵y＝－x2＋4x－3，令y＞0，则－x2＋4x－3＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴点C(3，0)．y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，∴A(2，1)．当y＞0时，x的取值范围是1＜x＜3；(2)令x＝0，则y＝－3.故D(0，－3)．∴由点D到点A，应先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，故平移后图象所对应的二次函数解析式为y＝－(x－4)2＋5.1．抛物线y＝(x－2)2＋3的对称轴是(B)A．直线x＝－2 B．直线x＝2C．直线x＝－3 D．直线x＝32．把抛物线y＝x2向右平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为(D)A. y＝x2＋1B. y＝(x＋1)2C. y＝x2－1D. y＝(x－1)23．把抛物线y＝2x2先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为(A)A. y＝2(x＋1)2＋2B. y＝2(x＋1)2－2C. y＝2(x－1)2＋2D. y＝2(x－1)2－24．将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为(D)A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x－1)2＋4C．y＝(x＋1)2＋2 D．y＝(x－1)2＋25．关于函数y＝2x2－4x，下列叙述中错误的是(D)A．图象经过原点B．图象的最低点是(1，－2)C．图象与x轴的交点为(0，0)，(2，0)D．当x＞0时，y随x的增大而增大6．某同学在用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象时，列出下面的表格：x …－5－4－3－2－1…y …－7.5－2.50.5 1.50.5…A．该抛物线的对称轴是直线x＝－3B．该抛物线与y轴的交点坐标为(0，－2.5)C．b2－4ac＝0D．若点A(0.5，y1)是该抛物线上一点，则－2.5＜y1＜0.57．函数y＝(x－1)2＋3的最__小__值为__3__．8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(－1，2)，(3，2)两点，那么抛物线的对称轴为直线__x＝1__．9．已知二次函数的图象如图Z14－1，则这个二次函数的表达式为__y＝x2－2x－3__．(图Z14－1)10. 二次函数y＝ax2＋bx的顶点坐标为(1，－1)．(1)求这个二次函数的解析式；(2)当自变量－1≤x≤4时，求函数值y的取值范围；(3)当函数值y＞0时，直接写出自变量x的取值范围．解：(1)解法1：解－b2a＝1，0－b24a＝－1得a＝1，b＝－2，∴二次函数的解析式为y＝x2－2x.解法2：设其解析式为y＝a(x－1)2－1＝ax2－2ax＋a－1，∴a－1＝0，解得a＝1，∴二次函数的解析式为y＝x2－2x；(2)该函数图象的对称轴为x＝1，且a＞0，∴－1≤x ≤4时，－1≤y ≤8； (3)x ＜0或x ＞2.11．已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴只有一个公共点，且图象过A (x 1，m )，B (x 1＋n ，m )两点，则m ，n 的数量关系为__m ＝14n 2__． 【解析】 ∵－b 2＝2x 1＋n 2，∴x 1＋b 2＝－n2. 由题意，函数表达式可转化为y ＝⎝⎛⎭⎫x ＋b22，将(x 1，m )代入，得m ＝(x 1＋b2)2， 即m ＝14n 2.12．如图Z14－2，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝－12x 2＋2x ＋6的图象交x 轴于点A ，B (点A 在点B 的左侧)．(图Z14－2)(1)求点A ，B 的坐标，并根据该函数图象写出y ≥0时x 的取值范围；(2)把点B 向上平移m 个单位得点B 1.若点B 1向左平移n 个单位，将与该二次函数图象上的点B 2重合；若点B 1向左平移(n ＋6)个单位，将与该二次函数图象上的点B 3重合．已知m ＞0，n ＞0，求m ，n 的值．解：(1)当y ＝0时，解得x 1＝－2，x 2＝6， ∴A (－2，0)，B (6，0)， ∴y ≥0时，－2≤x ≤6；(2)平移后B 2坐标为(6－n ，m )，B 3坐标为(－n ，m )， 它们在二次函数y ＝－12x 2＋2x ＋6的图象上， ∴B 2，B 3关于对称轴x ＝2对称，即6－n －n2＝2， 解得n ＝1，代入得m ＝72.13．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx －1a 与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上． (1)求点B 的坐标(用含a 的式子表示)； (2)求抛物线的对称轴；(3)已知点P ⎝⎛⎭⎫12，－1a ，Q (2，2)．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围． 解：(1)A ⎝⎛⎭⎫0，－1a ，∴将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ⎝⎛⎭⎫2，－1a ；(2)∵A 与B 关于对称轴x ＝1对称， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝1； (3)∵对称轴为直线x ＝1， ∴b ＝－2a ，∴y ＝ax 2－2ax －1a . ①a ＞0时，当x ＝2时，y ＝－1a ＜2， 当y ＝－1a时，x ＝0或x ＝2，由图ZD14－1－1，抛物线与线段PQ 无交点；(图ZD14－1－1)②a ＜0时，由图ZD14－1－2，只需考虑x ＝2时，y ≤2，11(图ZD14－1－2)即4a －4a －1a ≤2，解得a ≤－12，∴当a ≤－12时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点．14．设二次函数y ＝(x －x 1)(x －x 2)(x 1，x 2是实数)．(1)甲求得当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0；乙求得当x ＝12时，y ＝－12.若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．(2)写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值(用含x 1，x 2的代数式表示)．(3)已知二次函数的图象经过(0，m )和(1，n )两点(m ，n 是实数)，当0＜x 1＜x 2＜1时，求证：0＜mn ＜116. 解：(1)由题知，y ＝x (x －1)＝x 2－x ，当x ＝12时，y ＝－14，∴乙求得的结果不正确；(2)对称轴为x ＝x 1＋x 22，∴函数的最小值为y ＝－()x 1＋x 224；(3)二次函数的图象经过(0，m )和(1，n )两点，∴m ＝x 1x 2，n ＝(1－x 1)(1－x 2)， ∴mn ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝⎛⎭⎫x 1－122＋14⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝⎛⎭⎫x 2－122＋14. ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴0≤－⎝⎛⎭⎫x 1－122＋14≤14， 0≤－⎝⎛⎭⎫x 2－122＋14≤14，∴0＜mn ＜116.。
2021年全国中考1数学真题分类汇编-----二次函数
2021年全国中考数学真题分类汇编-----二次函数 一、选择题1.(2021.广东省）设O 为坐标原点，点A 、B 为抛物线2yx 上的两个动点，且OA ⊥OB ，连接点A 、B ，过O 作OC ⊥AB 于点C ，则点C 到y 轴距离的最大值（A ） A.12B. 22C. 32D. 12.（2021.湖北省荆门市）抛物线2(a,b,c )yax bx c 为常数开口向下且过点A （1，0），B （m,0）(-2<m<-1),下列结论：①2b+c>0；②2a+c<0；③a(m+1)-b+c>0；④若方程a(x-m)(x-1)-1=0有两个不相等的实数根，则4ac-2b <4a.其中正确结论的个数是（A ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3.（2021.浙江省绍兴市）关于二次函数22(x 4)6y的最大值或最小值，下列说法正确的是（D ）A. 有最大值4B.有最小值4C.有最大值6D. 有最小值6 4. （2021.辽宁省沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数2(x h)(a0)y a 的图象可能是（D ）5.（2021.杭州）在“探索函数2yax bx c 的系数a,b,c 与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A （0,2）,B （1,0）,C （3,1）,D （2,3）.同学们探索了经过这个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a 的值最大为（A ） A.52 B.32 C.56 D.126.（2021.杭州）已知线段AB ，按如下步骤作图：①作射线AC ，使AC ⊥AB;②作∠BAC 的平分线AD ；③以点A 为圆心，AB 长为半径作弧，交AD 于点E ；④过点E 作EP ⊥AB 于点P ，则AP:AB=（D ）A. 15：B. 12：C. 13：D. 12：7.（2021.浙江省杭州市）已知y 1和y 2均是以x 为自变量的函数，当x=m 时，函数值分别为M 1和M 2，若存在实数m ，使得M 1+M 2=0，则称函数y 1和y 2具有性质P 。
2021年浙江省中考数学真题分类汇编：函数(附答案解析)
2021年浙江省中考数学真题分类汇编：函数一．选择题（共10小题）1．（2021•衢州）已知A，B两地相距60km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑自行车匀速行驶3h到达，乙骑摩托车，比甲迟1h出发，行至30km处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶．他们离开A地的路程y与甲行驶时间x的函数图象如图所示．当乙再次追上甲时距离B地（）A．15km B．16km C．44km D．45km 2．（2021•杭州）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2具有性质P的是（）A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1B．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1D．y1＝﹣和y2＝﹣x+13．（2021•绍兴）关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（）A．有最大值4B．有最小值4C．有最大值6D．有最小值6 4．（2021•宁波）如图，正比例函数y1＝k1x（k1＜0）的图象与反比例函数y2＝（k2＜0）的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣2或x＞2B．﹣2＜x＜0或x＞2C．x＜﹣2或0＜x＜2D．﹣2＜x＜0或0＜x＜25．（2021•杭州）在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（）A．B．C．D．6．（2021•温州）如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，连结AE．若OE＝1，OC＝OD，AC＝AE，则k的值为（）A．2B．C．D．2 7．（2021•金华）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上．若x1＜0＜x2，则（）A．y1＜0＜y2B．y2＜0＜y1C．y1＜y2＜0D．y2＜y1＜0 8．（2021•嘉兴）已知三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函数y＝的图象上，其中x1＜x2＜0＜x3，下列结论中正确的是（）A．y2＜y1＜0＜y3B．y1＜y2＜0＜y3C．y3＜0＜y2＜y1D．y3＜0＜y1＜y2 9．（2021•嘉兴）已知点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，且2a﹣5b≤0，则下列不等式一定成立的是（）A．≤B．≥C．≥D．≤10．（2021•丽水）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力F甲、F、F丙、F丁，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若F乙＜F丙＜F甲＜F丁，则这四位同乙学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（）A．甲同学B．乙同学C．丙同学D．丁同学二．填空题（共6小题）11．（2021•杭州）如图，在直角坐标系中，以点A（3，1）为端点的四条射线AB，AC，AD，AE分别过点B（1，1），点C（1，3），点D（4，4），点E（5，2），则∠BAC∠DAE （填“＞”、“＝”、“＜”中的一个）．12．（2021•宁波）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点A（x，y），我们把点B（，）称为点A的“倒数点”．如图，矩形OCDE的顶点C为（3，0），顶点E 在y轴上，函数y＝（x＞0）的图象与DE交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，则△OBC的面积为．13．（2021•衢州）将一副三角板如图放置在平面直角坐标系中，顶点A与原点O重合，AB 在x轴正半轴上，且AB＝4，点E在AD上，DE＝AD，将这副三角板整体向右平移个单位，C，E两点同时落在反比例函数y＝的图象上．14．（2021•绍兴）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，顶点B，C在第一象限，顶点D的坐标（，2）．反比例函数y＝（常数k＞0，x＞0）的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点，则k的值是．15．（2021•台州）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt ﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝．16．（2021•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），M是抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定，若抛物线y＝ax2+bx+2（a ≠0）的对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则的值是．三．解答题（共14小题）17．（2021•嘉兴）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米~80米为“中途期”，80米~100米为“冲刺期”．市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度y（m/s）与路程x（m）之间的观测数据，绘制成曲线如图所示．（1）y是关于x的函数吗？为什么？（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议．18．（2021•金华）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．（1）求雕塑高OA．（2）求落水点C，D之间的距离．（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．19．（2021•嘉兴）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．（1）求二次函数图象的顶点坐标；（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值．20．（2021•丽水）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车离目的地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计）．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为0.1升/千米，请根据图象解答下列问题：（1）直接写出工厂离目的地的路程；（2）求s关于t的函数表达式；（3）当货车显示加油提醒后，问行驶时间t在怎样的范围内货车应进站加油？21．（2021•衢州）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱顶部O离水面的距离．（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．22．（2021•台州）电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1，R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km+b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0，该读数可以换算为人的质量m，温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压（1）求k，b的值；（2）求R1关于U0的函数解析式；（3）用含U0的代数式表示m；（4）若电压表量程为0～6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．23．（2021•宁波）某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表：A方案B方案C方案每月基本费用（元）2056266每月免费使用流量（兆）1024m无限超出后每兆收费（元）n nA，B，C三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系如图所示．（1）请直接写出m，n的值．（2）在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式．（3）在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？24．（2021•温州）某公司生产的一种营养品信息如表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．营养品信息表营养成分每千克含铁42毫克配料表原料每千克含铁甲食材50毫克乙食材10毫克规格每包食材含量每包单价A包装1千克45元B包装0.25千克12元（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？25．（2021•绍兴）Ⅰ号无人机从海拔10m处出发，以10m/min的速度匀速上升，Ⅱ号无人机从海拔30m处同时出发，以a（m/min）的速度匀速上升，经过5min两架无人机位于同一海拔高度b（m）．无人机海拔高度y（m）与时间x（min）的关系如图．两架无人机都上升了15min．（1）求b的值及Ⅱ号无人机海拔高度y（m）与时间x（min）的关系式；（2）问无人机上升了多少时间，Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高28米．26．（2021•绍兴）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径AB ＝4，且点A，B关于y轴对称，杯脚高CO＝4，杯高DO＝8，杯底MN在x轴上．（1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）；（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体A′CB′所在抛物线形状不变，杯口直径A′B′∥AB，杯脚高CO不变，杯深CD′与杯高OD′之比为0.6，求A′B′的长．27．（2021•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，连结AO，AO的延长线交反比例函数y＝（k＞0，x＜0）的图象于点B，过点A作AE⊥y轴于点E．（1）如图1，过点B作BF⊥x轴，于点F，连接EF．①若k＝1，求证：四边形AEFO是平行四边形；②连结BE，若k＝4，求△BOE的面积．（2）如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数y＝（k＞0，x＜0）的图象于点P，连结OP．试探究：对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由．28．（2021•丽水）如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣5），B（5，0）．（1）求b，c的值；（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．①求点M的坐标；②将抛物线L向左平移m（m＞0）个单位得到抛物线L1．过点M作MN∥y轴，交抛物线L1于点N．P是抛物线L1上一点，横坐标为﹣1，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若PE+MN＝10，求m的值．29．（2021•金华）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线l：y＝x 上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．①若BA＝BO，求证：CD＝CO．②若∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积．（2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB 的长；若不存在，请说明理由．30．（2021•金华）背景：点A在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC ⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形．如图1，点A在第一象限内，当AC＝4时，小李测得CD＝3．探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．（1）求k的值．（2）设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了x＞0时“Z函数”的图象．①求这个“Z函数”的表达式．②补画x＜0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．③过点（3，2）作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．2021年浙江省中考数学真题分类汇编：函数参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2021•衢州）已知A，B两地相距60km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑自行车匀速行驶3h到达，乙骑摩托车，比甲迟1h出发，行至30km处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶．他们离开A地的路程y与甲行驶时间x的函数图象如图所示．当乙再次追上甲时距离B地（）A．15km B．16km C．44km D．45km【考点】一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；应用意识．【分析】根据图象信息先求出甲、乙速度，然后根据第二次乙追上甲时所走路程相同求出甲所用时间，再求距离B地的距离即可．【解答】解：由图象可知：甲的速度为：60÷3＝20（km/h），乙追上甲时，甲走了30km，此时甲所用时间为：30÷20＝1.5（h），乙所用时间为：1.5﹣1＝0.5（h），∴乙的速度为：30÷0.5＝60（km/h），设乙休息半小时再次追上甲时，甲所用时间为t，则：20t＝60（t﹣1﹣0.5），解得：t＝2.25，此时甲距离B地为：（3﹣2.25）×20＝0.75×20＝15（km），故选：A．【点评】本题考查了一次函数和一元一次方程的应用，关键是读取图象中信息求出甲、乙的速度．2．（2021•杭州）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2具有性质P的是（）A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1B．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1D．y1＝﹣和y2＝﹣x+1【考点】一次函数的性质；反比例函数的性质；二次函数的性质．【专题】新定义；函数的综合应用；运算能力．【分析】根据题干信息可知，直接令y1+y2＝0，若方程有解，则具有性质P，若无解，则不具有性质P．【解答】解：A．令y1+y2＝0，则x2+2x﹣x﹣1＝0，解得x＝或x＝，即函数y1和y2具有性质P，符合题意；B．令y1+y2＝0，则x2+2x﹣x+1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，不符合题意；C．令y1+y2＝0，则﹣﹣x﹣1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，不符合题意；D．令y1+y2＝0，则﹣﹣x+1＝0，整理得，x2﹣x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，不符合题意；故选：A．【点评】本题属于新定义类问题，根据给出定义构造方程，利用方程思想解决问题是常见思路，本题也可利用函数图象快速解答．3．（2021•绍兴）关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（）A．有最大值4B．有最小值4C．有最大值6D．有最小值6【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数有最小值，最小值为6，然后即可判断哪个选项是正确的．【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣4）2+6，a＝2＞0，∴该函数图象开口向上，有最小值，当x＝4取得最小值6，故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，会求函数的最值．4．（2021•宁波）如图，正比例函数y1＝k1x（k1＜0）的图象与反比例函数y2＝（k2＜0）的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣2或x＞2B．﹣2＜x＜0或x＞2C．x＜﹣2或0＜x＜2D．﹣2＜x＜0或0＜x＜2【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】反比例函数及其应用；应用意识．【分析】先根据点A与B关于原点对称，得出A横坐标，再找出正比例函数落在反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围即可．【解答】解：由反比例函数与正比例函数相交于点A、B，可得点A坐标与点B坐标关于原点对称．故点A的横坐标为﹣2．当y1＞y2时，即正比例函数图象在反比例图象上方，观察图象可得，当x＜﹣2或0＜x＜2时满足题意．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，找出A点横坐标是解题关键．属于基础题型．5．（2021•杭州）在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（）A．B．C．D．【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】函数思想；应用意识．【分析】比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向，开口向下，则a＜0，只需把开口向上的二次函数解析式求出即可．【解答】解：由图象知，A、B、D组成的点开口向上，a＞0；A、B、C组成的二次函数开口向上，a＞0；B、C、D三点组成的二次函数开口向下，a＜0；A、D、C三点组成的二次函数开口向下，a＜0；即只需比较A、B、D组成的二次函数和A、B、C组成的二次函数即可．设A、B、C组成的二次函数为y1＝a1x2+b1x+c1，把A（0，2），B（1，0），C（3，1）代入上式得，，解得a1＝；设A、B、D组成的二次函数为y＝ax2+bx+c，把A（0，2），B（1，0），D（2，3）代入上式得，，解得a＝，即a最大的值为，故选：A．【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质和待定系数法求函数的解析式．6．（2021•温州）如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，连结AE．若OE＝1，OC＝OD，AC＝AE，则k的值为（）A．2B．C．D．2【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】反比例函数及其应用；运算能力．【分析】根据题意求得B（k，1），进而求得A（k，），然后根据勾股定理得到∴（）2＝（k）2+（）2，解方程即可求得k的值．【解答】解：∵BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，∴四边形BDOE是矩形，∴BD＝OE＝1，把y＝1代入y＝，求得x＝k，∴B（k，1），∴OD＝k，∵OC＝OD，∴OC＝k，∵AC⊥x轴于点C，把x＝k代入y＝得，y＝，∴AE＝AC＝，∵OC＝EF＝k，AF＝﹣1＝，在Rt△AEF中，AE2＝EF2+AF2，∴（）2＝（k）2+（）2，解得k＝±，∵在第一象限，∴k＝，故选：B．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的判定和性质，勾股定理的应用等，表示出线段的长度是解题的关键．7．（2021•金华）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上．若x1＜0＜x2，则（）A．y1＜0＜y2B．y2＜0＜y1C．y1＜y2＜0D．y2＜y1＜0【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】反比例函数及其应用；推理能力．【分析】由k＜0，双曲线在第二，四象限，根据x1＜0＜x2即可判断点A在第二象限，点B在第四象限，从而判定y2＜0＜y1．【解答】解：∵k＝﹣12＜0，∴双曲线在第二，四象限，∵x1＜0＜x2，∴点A在第二象限，点B在第四象限，∴y2＜0＜y1；故选：B．【点评】本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数y＝图象和性质是解题的关键，即当k＞0时，图象在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时，图象在第二、四象限内，且在每个象限内y随x的增大而增大．8．（2021•嘉兴）已知三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函数y＝的图象上，其中x1＜x2＜0＜x3，下列结论中正确的是（）A．y2＜y1＜0＜y3B．y1＜y2＜0＜y3C．y3＜0＜y2＜y1D．y3＜0＜y1＜y2【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】反比例函数及其应用；推理能力．【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0＜x3即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＝2＞0，∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．∵x1＜x2＜0＜x3，∴点（x1，y1），（x2，y2）两点在第三象限，点（x3，y3）在第一象限，∴y2＜y1＜0＜y3．故选：A．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．9．（2021•嘉兴）已知点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，且2a﹣5b≤0，则下列不等式一定成立的是（）A．≤B．≥C．≥D．≤【考点】不等式的性质；一次函数图象上点的坐标特征．【专题】一元一次不等式(组)及应用；运算能力．【分析】结合选项可知，只需要判断出a和b的正负即可，点P（a，b）在直线y＝﹣3x ﹣4上，代入可得关于a和b的等式，再代入不等式2a﹣5b≤0中，可判断出a与b正负，即可得出结论．【解答】解：∵点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，∴﹣3a﹣4＝b，又2a﹣5b≤0，∴2a﹣5（﹣3a﹣4）≤0，解得a≤﹣＜0，当a＝﹣时，得b＝﹣，∴b≥﹣，∵2a﹣5b≤0，∴2a≤5b，∴≤．故选：D．【点评】本题主要考查一次函数上点的坐标特征，不等式的基本性质等，判断出a与b 的正负是解题关键．10．（2021•丽水）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力F甲、F、F丙、F丁，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若F乙＜F丙＜F甲＜F丁，则这四位同乙学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（）A．甲同学B．乙同学C．丙同学D．丁同学【考点】反比例函数的应用．【专题】反比例函数及其应用；应用意识．【分析】根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，以及水桶的拉力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长乘积是定值即可判断．【解答】解：根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂可得，∵阻力×阻力臂是个定值，即水桶的重力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变，∴动力越小，动力臂越大，即拉力越小，压力的作用点到支点的距离最远，∵F乙最小，∴乙同学到支点的距离最远．故选：B．【点评】本题考查反比例函数的应用，确定水桶的拉力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长乘积是定值是本题关键．二．填空题（共6小题）11．（2021•杭州）如图，在直角坐标系中，以点A（3，1）为端点的四条射线AB，AC，AD，AE分别过点B（1，1），点C（1，3），点D（4，4），点E（5，2），则∠BAC═∠DAE（填“＞”、“＝”、“＜”中的一个）．【考点】坐标与图形性质；直角三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理．【专题】几何直观．【分析】在直角坐标系中构造直角三角形，根据三角形边之间的关系推出角之间的关系．【解答】解：连接DE，由上图可知AB═2，BC═2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC═45°，又∵AE═══，同理可得DE══，AD══，则在△ADE中，有AE2+DE2═AD2，∴△ADE是等腰直角三角形，∴∠DAE═45°，∴∠BAC═∠DAE，故答案为：═．【点评】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理及其逆定理，对于直角三角形的判定可以根据各个点的坐标，求出各线段的长度来实现，然后再根据边来判断角的大小．其解题关键在于构造相关的直角三角形．12．（2021•宁波）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点A（x，y），我们把点B（，）称为点A的“倒数点”．如图，矩形OCDE的顶点C为（3，0），顶点E 在y轴上，函数y＝（x＞0）的图象与DE交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，则△OBC的面积为或．【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．【专题】反比例函数及其应用；数据分析观念．【分析】设点A的坐标为（m，），由“倒数点”的定义，得点B坐标为（，），分析出点B在某个反比例函数上，分两种情况：①点B在ED上，由ED∥x轴，得＝，解出m＝±2，（﹣2舍去），得点B纵坐标为1，此时，S△OBC＝×3×1＝；②点B在DC上，得点B横坐标为3，即＝3，求出点B纵坐标为：＝，此时，S△OBC＝×3×＝．【解答】解：设点A的坐标为（m，），∵点B是点A的“倒数点”，∴点B坐标为（，），∵点B的横纵坐标满足＝，∴点B在某个反比例函数上，∴点B不可能在OE，OC上，分两种情况：①点B在ED上，由ED∥x轴，∴点B、点A的纵坐标相等，即＝，∴m＝±2，（﹣2舍去），∴点B纵坐标为1，此时，S△OBC＝×3×1＝；②点B在DC上，∴点B横坐标为3，即＝3，∴点B纵坐标为：＝，此时，S△OBC＝×3×＝；故答案为：或．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，新定义的阅读理解能力，三角形面积的求法．解题关键是理解“倒数点”的定义．13．（2021•衢州）将一副三角板如图放置在平面直角坐标系中，顶点A与原点O重合，AB 在x轴正半轴上，且AB＝4，点E在AD上，DE＝AD，将这副三角板整体向右平移12﹣个单位，C，E两点同时落在反比例函数y＝的图象上．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣平移．【专题】平面直角坐标系；反比例函数及其应用；运算能力．【分析】求得C、E的坐标，然后表示出平移后的坐标，根据k＝xy得到关于t的方程，解方程即可求得．【解答】解：∵AB＝4，∴BD＝AB＝12，∴C（4+6，6），∵DE＝AD，∴E的坐标为（3，9），设平移t个单位后，则平移后C点的坐标为（4+6+t，6），平移后E点的坐标为（3+t，9），∵平移后C，E两点同时落在反比例函数y＝的图象上，∴（4+6+t）×6＝（3+t）×9，解得t＝12﹣，故答案为12﹣．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征坐标与图形变化﹣平移，表示出C、E的坐标，进而得到平移后的坐标是解题的关键．14．（2021•绍兴）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，顶点B，C在第一象限，顶点D的坐标（，2）．反比例函数y＝（常数k＞0，x＞0）的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点，则k的值是5或22.5．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．【专题】反比例函数及其应用；矩形菱形正方形；运算能力；推理能力．【分析】作DM⊥x轴于M，BN⊥轴于N，过C点作x轴的平行线，交DM于E，交BN 于F，通过证得三角形全等表示出B、C的坐标，然后根据反比例函数系数k＝xy即可求得结果．【解答】解：作DM⊥x轴于M，BN⊥轴于N，过C点作x轴的平行线，交DM于E，交BN于F，正方形ABCD中，∠BAD＝90°，∴∠DAM+∠BAN＝90°，∵∠ADM+∠DAM＝90°，∴∠ADM＝∠BAN，在△ADM和△BAN中，，∴△ADM≌△BAN（AAS），∴AM＝BN，DM＝AN，∵顶点D的坐标（，2）．∴OM＝，DM＝2，同理：△ADM≌△DCE，∴AM＝DE，CE＝DM，∴AM＝BN＝DE，DM＝AN＝CE＝2，设AM＝BN＝DE＝m，∴ON＝+m+2＝4.5+m，∴B（4.5+m，m），C（4.5，2+m），当反比例函数y＝（常数k＞0，x＞0）的图象经过点B、D时，则k＝×2＝5；当反比例函数y＝（常数k＞0，x＞0）的图象经过点B、C时，则k＝（4.5+m）•m＝4.5•（2+m），解得m＝3（负数舍去），∴k＝4.5×（2+3）＝22.5，故答案为5或22.5．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，表示出点的坐标是解题的关键．15．（2021•台州）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt ﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝：1．【考点】二次函数的应用；解直角三角形．【专题】二次函数的应用；推理能力．【分析】利用h＝vt﹣4.9t2，求出t1，t2，再根据h1＝2h2，求出v1＝v2，可得结论．【解答】解：由题意，t1＝，t2＝，h1＝＝，h2＝＝，∵h1＝2h2，∴v1＝v2，∴t1：t2＝v1：v2＝：1，故答案为：：1．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是求出t1，t2，证明v1＝v2即可．16．（2021•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），M是抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定，若抛物线y＝ax2+bx+2（a ≠0）的对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则的值是2或﹣8．【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；勾股定理的逆定理．【专题】二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】由题意△AOM是直角三角形，当对称轴x≠0或x≠3时,可知一定存在两个以A，O为直角顶点的直角三角形，当对称轴x＝0或x＝3时，不存在满足条件的点M,当以OA 为直径的圆与抛物线的对称轴x＝﹣相切时，对称轴上存在1个以点M为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，利用图象法求解即可．【解答】解：∵△AOM是直角三角形，∴当对称轴x≠0或x≠3时，一定存在两个以A，O为直角顶点的直角三角形，且点M 在对称轴上的直角三角形，当对称轴x＝0或x＝3时，不存在满足条件的点M,∴当以OA为直径的圆与抛物线的对称轴x＝﹣相切时，对称轴上存在1个以M为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形（如。
备战2021年中考数学真题一次函数分类汇编浙江专版(10页)
备战2021年中考数学真题一次函数分类汇编浙江专版一次函数一．选择题（共3小题）1．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P （1，2），则该函数的图象可能是（）A．B．C．D．x+2 2．（2020•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y=23分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（）x+2 A．y＝x+2B．y=√2x+2C．y＝4x+2D．y=2√33 3．（2020•嘉兴）一次函数y＝2x﹣1的图象大致是（）A．B．C．D．二．填空题（共2小题）4．（2019•杭州）某函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1，写出一个满足条件的函数表达式．5．（2019•金华）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路程s关于行走时间t的函数图象，则两图象交点P的坐标是．三．解答题（共12小题）6．（2020•衢州）2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通．一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km/h，游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离杭州的路程s（km）关于t （h）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．（1）写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长．（2）若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问：①货轮出发后几小时追上游轮？②游轮与货轮何时相距12km？7．（2020•绍兴）我国传统的计重工具﹣﹣秤的应用，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．x（厘米）12471112y（斤）0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50（1）在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？（2）根据（1）的发现，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少？8．（2020•衢州）如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，C分別是直线y=−8x+4与坐标轴的交点，点B的坐标为（﹣2，0），点D是边AC上的一3点，DE⊥BC于点E，点F在边AB上，且D，F两点关于y轴上的某点成中心对称，连结DF，EF．设点D的横坐标为m，EF2为l，请探究：①线段EF长度是否有最小值．②△BEF能否成为直角三角形．小明尝试用“观察﹣猜想﹣验证﹣应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题．（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l随m变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2）．请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l与m可能满足的函数类别．（2）小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出l关于m的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF长度的最小值．（3）小明通过观察，推理，发现△BEF能成为直角三角形，请你求出当△BEF 为直角三角形时m的值．9．（2020•金华）某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃，气温T（℃）和高度h（百米）的函数关系如图所示．请根据图象解决下列问题：（1）求高度为5百米时的气温；（2）求T关于h的函数表达式；（3）测得山顶的气温为6℃，求该山峰的高度．10．（2019•绍兴）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y （千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象．（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程．当0≤x≤150时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程．（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．11．（2019•温州）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−1x+4分别交x轴、y2轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连结OE．动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某一点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点．（1）求点B的坐标和OE的长．（2）设点Q2为（m，n），当nm =17tan∠EOF时，求点Q2的坐标．（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合．①延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q＝s，AP＝t，求s关于t的函数表达式．②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长．12．（2019•台州）如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h（单位：m）与下行时间x（单位：s）之间具有函数关系h=−310x+6，乙离一楼地面的高度y（单位：m）与下行时间x（单位：s）的函数关系如图2所示．（1）求y关于x的函数解析式；（2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面．13．（2019•宁波）某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）．第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车．小聪周末到该风景区游玩，上午7：40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林．离入口处的路程y（米）与时间x （分）的函数关系如图2所示．（1）求第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达式．（2）求第一班车从入口处到达塔林所需的时间．（3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）14．（2019•湖州）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米．甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校又骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校．已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米．设甲步行的时间为x（分），图1中线段OA和折线B﹣C﹣D分别表示甲、乙离开小区的路程y（米）与甲步行时间x （分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离s（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图象（不完整）．根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：（1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；（3）在图2中，画出当25≤x≤30时s关于x的函数的大致图象．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）15．（2019•衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x=a+c3，y=b+d3那么称点T是点A，B的融合点．例如：A（﹣1，8），B（4，﹣2），当点T（x，y）满足x=−1+43=1，y=8+(−2)3=2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点．（1）已知点A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点．①试确定y与x的关系式．②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．16．（2020•温州）某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进一批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．（1）4月份进了这批T恤衫多少件？（2）4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出a件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．①用含a的代数式表示b．②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值．17．（2020•宁波）A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？。