抽屉原理

数学广角——抽屉原理

教学目标：

1、初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决实际问题。

2、通过猜测、验证、观察、分析等数学活动，建立数学模型，发现规律。渗透“建模”思想。

3、经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。

4、通过“抽屉原理”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。

教学重点：抽屉原理的理解和应用。

教学难点：判断谁是被分的物体，谁是抽屉。

教学过程：

一、引入

1、故事引入：

2、师：老师任意点13位同学，就可以肯定，至少有2个同学的生日是在同一个月，你们

信吗？

生：（学生可能回答不一。）

3、验证：学生报——出生月份。

4、师：想知道这是为什么吗？通过今天的学习，你就能解释这个现象了。下面我们就来研

究这类问题，我们先从简单的情况入手研究。

（设计意图：紧密联系学生的生活实际，从学生的出生月份谈起，产生认知冲突。使学生积极投入到对问题的研究中。同时，渗透研究问题的方法、建模的数学思想）

二、新课

（一）抽屉原理（一）

1、课件出示：把4枝铅笔，放进3个文具盒里。

师：同学们看到这个信息会想到什么呢？

生：把4枝铅笔，放进3个文具盒里。可以怎么放？有几种方法？

师：你的想法不错，请同学们四人一小组实际放放看。（巡视，了解情况，个别辅导）（1）学生独立证明、说理

（2）组内交流看法

（3）小组学生汇报

生1：方法1）摆或画（4、0、0）（3、1、0）（2、2、0）（2、1、1）

（指一个小组的同学上台来边摆边说）

在那个盒子里，一定会出现“总有一个盒子里至少有2枝”。生2：这样分，只分一次就能确定总有一个盒子至少有几枝笔了。师：同意吗？

众生：同意

5、师：那么，如果增加铅笔和铅笔盒的数量，又会怎样呢？

出示：5枝铅笔4个铅笔盒？5÷4=1……1 1＋1=2 6枝铅笔5个铅笔盒？6÷5=1……1 1＋1=2

7枝铅笔6个铅笔盒？7÷6=1……1 1＋1=2

100枝铅笔99个铅笔盒？100÷99=1……1 1＋1=2

师：问：发现了什么规律？

生：只要铅笔数比盒子数量多1，总有2枝铅笔放进了同一个铅笔盒。

生：也就是说用商＋余数就可以知道盒子里有几枝铅笔了。

师：问：难道这个规律只有在这种情况下才存在吗？你们想一想，在实际情况中余数还会出现什么情况？（问题意识培养）

生：如果余数不是余1呢，余数是2、3、4……那怎么办？这个规律还存在吗？

师：是啊，如果余数不是1呢？请看下面这个例子。

出示P70页做一做：7只鸽子飞回5个鸽舍，至少有几只鸽子要飞进同一个鸽舍？为什么？

师：同学们猜猜？

生1：“总有一个鸽舍里至少要飞进3只鸽子”只要用5÷3=1……2，用“商+ 2”就可以了。师：有不同意见吗？

生1：有。

师：那么到底是“商+1”还是“商+余数”呢？谁的结论对呢？

在小组里进行研究、讨论。交流、说理活动：

师：谁来说说。

生1：我们组通过讨论并且实际分了，结论是总有一个鸽舍里至少有2只鸽子，不是3只鸽子。

生2：剩下的2只鸽子可以飞进其中的一个鸽舍或分别飞进两个鸽舍。要保证“至少”就继续从“最不利的情况”考虑，余下的两只分别飞进两个鸽舍。达到“至少”有2只鸽子在同一个鸽舍里。

师：现在大家都明白了吧？那么怎样才能够确定总有一个盒子里至少有几个物体呢？

生：用分的物体的个数除以盒子数，再用所得的商加1，就会发现“总有一个盒子里至少有（商＋1）个物体”了。

师：回答的非常清楚。（出示课件）

师：如果把鸽子数和鸽舍的数量进一步增加呢？

8只鸽子飞回5个鸽舍，至少有？只鸽子要飞回同一个鸽舍？

13只鸽子飞回9个鸽舍，至少有？只鸽子要飞回同一个鸽舍？

100只鸽子飞回95个鸽舍，至少有？只鸽子要飞回同一个鸽舍？

（指名学生回答）

生：——只要鸽子数量是鸽舍数量的1倍多，总有一个鸽舍里至少飞进2只或2只以上的鸽子。——鸽子数÷鸽舍数 = 商……余数商+1

师总结：看来呀，余1时，是这个规律；那么，余2、余3时这个规律也同样存在。

8、师：问：为什么不用分解数、画图的方法一一列举，而用假设的方法来证明呢？——对比三种方法的适用性。

师：这三种方法有什么异同点？

生1：用枚举的方法很难解释，而用假设的方法就容易多了。

生2：因为用数的分解或者画图的方法来一一列举比较麻烦。

生3：用假设的方法来证明，也就是用最不利的方法来考虑，这样只分一次就能确定总有一个鸽舍里至少有几只鸽子了。

师：你回答得非常好，你真是一个爱动脑筋的孩子。

（设计意图：渗透在研究问题、探索规律时，先从简单的情况开始研究的探究方法。证明过程中，展示了不同学生的证明方法，展示了不同学生的思维水平，使学生既互相学习、触类旁通，又建立“建模”思想，突出了学习方法。同时让学生理解“最不利”是什么意思，这一层，让学生从不同的角度去正确认识抽屉原理一：把多于n个的物体放到n 个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。）

（二）数学小知识：抽屉原理的由来。

师叙述：最先发现这些规律的人是谁呢？他就是德国数学家“狄里克雷”，后人们为了纪念他从这么平凡的事情中发现的规律，就把这个规律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”，又把它叫做“鸽巢原理”，还把它叫做“抽屉原理”。

（设计意图：介绍鸽巢原理、抽屉原理的由来，以增加数学文化的气息。同时教育学生学习数学家的观察生活的态度，研究问题的方法。）

（三）练习

（四）抽屉原理（二）

1、师：“狄里克雷”发现这个规律后，并没有停止对现象的研究，又发现了问题。现在你也想一想，还有没有值得我们继续研究的问题呢？（问题意识培养）

——如果鸽子数量或者盒子的数量更多一些呢？

2、出示P71页做一做：

8只鸽子飞回3个鸽舍，至少有3只鸽子要飞进同一个鸽舍里。为什么？

3、组内同学交流看法，之后汇报。

生1：8÷3=2……2 2＋1=3

生2：答：如果每个鸽舍飞进2只鸽子，最多飞进6只鸽子，还剩下2只，分别放进2个鸽舍里，所以至少有3只鸽子要飞进同一个鸽舍里。

4、师：同学们学得非常好，那么如果

把5本书放进2个抽屉里，每个抽屉里有（）本书？5÷2= 2……1， 2＋1=3（本）