2019年广东省广州市天河区高考数学一模试卷(文科)
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A．【考点】LM：异面直线及其所成的角． 菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G：空间角． 【分析】取 BD 中点 O，连结 EO、FO，则 OF∥CD，OE∥AB，且 OF＝OE＝ ，从而
③某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做牙齿健康 检查， 则样本间隔为 800÷50＝16， 已知从 497﹣﹣512 这 16 个数中取得的学生编号是 503， 则设在初始在第 1 小组 00l～016 中随机抽到的学生编号是 x． 则 503＝16×31+x，得 x＝7， ∴在第 1 小组 1～l6 中随机抽到的学生编号是 007 号，故③正确， 故正确的是①③， 故选：C． 【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大． 6．（5 分）正四面体 ABCD 中，E，F 分别为棱 AD，BC 的中点，则异面直线 EF 与 CD 所 成的角为（ ）
A．1
B．
C．
D．
8．（5 分）已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 •（ + ）
的最小值是（ ）
A．﹣2
B．﹣
C．﹣
D．﹣1
9．（5 分）设函数 f（x）＝xcosx﹣sinx 的图象上的点（x0，y0）处的切线的斜率为 k，若 k ＝g（x0），则函数 g（x）的大致图象为（ ）
是 BC，CC1 的中点．
（1）证明：平面 ADB1⊥平面 ADE；
（2）求三棱锥 D﹣AB1E 的高．
19．（12 分）某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有 这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下 表．
百分制 85 分及以上 70 分到 84 分 60 分到 69 分 60 分以下
思想，是中档题．
5．（5 分）下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度； ②某校高三一级部和二级部的人数分别是 m，n，本次期末考试两级部数学平均分分别是
a，b，则这两个级部的数学平均分为
；③某中学采用系统抽样方法，从该校高
一年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做牙齿健康检查，现将 800 名学生从 001 到 800 进
＝﹣
＝﹣ ，
则 sin（π﹣2α）＝sin2α＝2sinαcosα＝﹣ ，
故选：D． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角公式的应用，属于 基础题． 4．（5 分）已知抛物线 C：y2＝8x 的焦点为 F，直线 y＝ （x﹣2）与 C 交于 A，B（A 在 x
轴上方）两点，若 ＝m ，则实数 m 的值为（ ）
1．（5 分）已知集合 M＝{x||x|＜3}，N＝{x|1og3x＜1}，则 M∩N 等于（ ）
A．∅
B．{x|0＜x＜3}
C．{x|x＜3}
D．{x|﹣3＜x＜3}
【考点】1E：交集及其运算． 菁优网版权所有
【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．
【分析】化简集合 M、N，根据交集的定义写出 M∩N．
D．{x|﹣3＜x＜3}
2．（5 分）已知 i 为虚部单位，若（1+i）z＝1﹣i，则 ＝（ ）
A．i
B．﹣i
C．1+i
D．1﹣i
3．（5 分）若 cos（ +α）＝﹣ ，且 α∈（ ，π），则 sin（π﹣2α）＝（ ）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
4．（5 分）已知抛物线 C：y2＝8x 的焦点为 F，直线 y＝ （x﹣2）与 C 交于 A，B（A 在 x
一年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做牙齿健康检查，现将 800 名学生从 001 到 800 进
行编号，已知从 497﹣512 这 16 个数中取得的学生编号是 503，则初始在第 1 小组 001﹣
016 中随机抽到的学生编号是 007．其中命题正确的个数是（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
，即
可求解．
【解答】解：设 A、B 在 l 上的射影分别是 A1、B1， 过 B 作 BM⊥AA1 于 M．由抛物线的定义可得出 Rt△ABM 中，得∠BAM＝60°，
cos60°＝
，解得 m＝3．
故选：B． 【点评】本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查了学生的转化
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轴上方）两点，若 ＝m ，则实数 m 的值为（ ）
A．
B．3
C．2
D．
5．（5 分）下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度； ②某校高三一级部和二级部的人数分别是 m，n，本次期末考试两级部数学平均分分别是
a，b，则这两个级部的数学平均分为
；③某中学采用系统抽样方法，从该校高
+……+
＝（ ）
A．
B．2
C．
D．
12．（5 分）设 f（x）是定义在 R 上的函数，其导函数为 f'（x），若 f（x）+f'（x）＞1，f（0）
＝2018，则不等式 exf（x）＞ex+2017（其中 e 为自然对数的底数）的解集为（ ）
A．（﹣∞，0）∪（0，+∞）
B．（﹣∞，0）∪（2017，+∞）
22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
（t 为参数）．在极
坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极 轴）中，圆 C 的方程为 ρ＝2 sinθ． （1）求圆 C 的直角坐标方程； （2）设圆 C 与直线 l 交于点 A、B，若点 P 的坐标为（1， ），求|PA|+|PB|的值． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知函数 f（x）＝|x﹣1|+|x+1|+2． （1）求不等式 f（x）≥6 的解集；
17．（12 分）已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2+2n，等比数列{bn}满足 b2＝a1，b3＝a4．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）求数列{anbn}的前 n 项和 Tn．
18．（12 分）如图，直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AB＝AC＝AA1＝2，
，D，E 分别
2019 年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的
1．（5 分）已知集合 M＝{x||x|＜3}，N＝{x|1og3x＜1}，则 M∩N 等于（ ）
A．∅
B．{x|0＜x＜3}
C．{x|x＜3}
行编号，已知从 497﹣512 这 16 个数中取得的学生编号是 503，则初始在第 1 小组 001﹣
016 中随机抽到的学生编号是 007．其中命题正确的个数是（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【考点】2K：命题的真假判断与应用． 菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．
等级
A
B
C
D
规定：A，B，C 三级为合格等级，D 为不合格等级为了解该校高三年级学生身体素质情 况，从中抽取了 n 名学生的原始成绩作为样本进行统计． 按照[50，60）[60，70），[70，80），[80，90）[90，00]的分组作出频率分布直方图如图 1 所示，样本中分数在 80 分及以上的所有数据的茎叶图如图 2 所示 （1）求 n 和频率分布直方图中的 x，y 的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级 的概率； （2）根据频率分布直方图，求成绩的中位数（精确到 0.1）；
A．
B．3
C．2
D．
【考点】K8：抛物线的性质． 菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】作出抛物线的准线，设 A、B 在 l 上的射影分别是 A1、B1，过 B 作 BM⊥AA1 于
M．由抛物线的定义结合题中的数据，可算出 Rt△ABM 中，得 cos∠BAE＝
D．1﹣i
【考点】A5：复数的运算． 菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4R：转化法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】求出 z，从而求出其共轭复数即可．
【解答】解：若（1+i）z＝1﹣i，
则 z＝
＝﹣i，
则 ＝i， 故选：A． 【点评】本题考查了复数的运算，考查共轭复数，是一道常规题． 3．（5 分）若 cos（ +α）＝﹣ ，且 α∈（ ，π），则 sin（π﹣2α）＝（ ）
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（3）在选取的样本中，从 A，D 两个等级的学生中随机抽取 2 名学生进行调研，求至少 有一名学生是 A 等级的概率．
20．（12 分）已知椭圆 C：
的离心率为 ，右焦点 F2 到直线 l1：3x+4y
＝0 的距离为 ．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）过椭圆右焦点 F2 斜率为 k（k≠0）的直线 l 与椭圆 C 相交于 E、F 两点，A 为椭圆 的右顶点，直线 AE，AF 分别交直线 x＝3 于点 M，N，线段 MN 的中点为 P，记直线 PF2 的斜率为 k′，求证：k•k′为定值． 21．（12 分）设函数 f（x）＝ ﹣alnx．a∈R． （1）求函数 y＝f（x）的单调区间和极值． （2）若函数 f（x）在区间（1，e2]内恰有两个零点，求 a 的取值范围． [选修 4-4：坐标系与参数方程]
A．
B．
C．﹣
【考点】GO：运用诱导公式化简求值． 菁优网版权所有
2019年广州市一模试题及答案(文科数学)
文科数学试题 第1页（共19页）2019年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合{}11A x x =-≤≤，{}220B x x x =-≤，则A B =I（A ）{}12x x -≤≤ （B ）{}10x x -≤≤ （C ）{}12x x ≤≤ （D ）{}01x x ≤≤ （2）已知复数3i1iz +=+，其中i 为虚数单位，则复数z 所对应的点在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（3）已知函数()2,1,1,1,1x x x f x x x⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩则()()2f f -的值为（A ）12（B ）15 （C ）15- （D ）12-（4）设P 是△ABC 所在平面内的一点，且2CP PA =u u u r u u u r，则△PAB 与△PBC 的面积之比是（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（5）如果函数()cos 4f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为6π，则ω的值为 （A ）3 （B ）6 （C ）12 （D ）24（6）执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12（7）在平面区域(){},0112x y x y ≤≤≤≤，内随机投入一点P ，则点P 的坐标(),x y 满足2y x ≤的文科数学试题 第2页（共19页）概率为 （A ）14 （B ）12 （C ）23 （D ）34（8）已知()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，若3sin 5α=2πα⎛⎫<<π ⎪⎝⎭，则12f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（A ）210-（B ）210- （C ）210（D ）210 （9）如果1P ，2P ，…，n P 是抛物线C ：24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，n x ，F 是抛物线C 的焦点，若1210n x x x +++=L ，则12n PF P F P F +++=L （A ）10n + （B ）20n + （C ）210n +（D ）220n +（10）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（A ）20π （B ）2053π （C ）5π （D ）556π（11）已知下列四个命题：1p ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥； 2p ：若()22x x f x -=-，则x ∀∈R ，()()f x f x -=-；3p ：若()11f x x x =++，则()00,x ∃∈+∞，()01f x =； 4p ：在△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >．其中真命题的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （12）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（A ）88246+ （B ）88226+（C ）2226+ （D ）126224++第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～文科数学试题第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分． （13）函数()33f x x x =-的极小值为 ．（14）设实数x ，y 满足约束条件230,230,3x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩， 则23z x y =-+的取值范围是 ．（15）已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点为A ，右焦点为F ，点()0,B b ，且0BA BF =u u u r u u u r g ，则双曲线C 的离心率为 ．（16）在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，AC =，5CD =,2BD AD =，则AD 的长为 ．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .（18）（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1． （Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[)45,75取一个容量为6个总体，从中任意抽取2件产品，求这件产品都在区间[)45,65内的概率．（19）（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面文科数学试题 第4页（共19页）21==AA AB ．（Ⅰ）证明：BD ⊥平面1A CO ；（Ⅱ）若60BAD ∠=o，求点C 到平面1OBB 的距离．（20）（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()120F -，，点(B 在椭圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在x 轴上是否存在点P ，使得无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（21）（本小题满分12分）已知函数()e ln 1x f x m x =--.（Ⅰ）当1m =时，求曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程； （Ⅱ）当1m ≥时，证明：()1f x >.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲文科数学试题 第5页（共19页）如图所示，△ABC 内接于⊙O ，直线AD 与⊙O 相切于点A ，交BC 的延长线于点D ，过点D 作DE CA P 交BA 的延长线于点E ．（Ⅰ）求证：2DE AE BE =g ；（Ⅱ）若直线EF 与⊙O 相切于点F ，且4EF =，2EA =，求线段AC 的长．（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρsin 2=，[)0,2θ∈π. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上求一点D ，使它到直线l：32x y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ）的距离最短，并求出点D 的直角坐标.（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数()f x x x =+-． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()12f x ≥的解集； （Ⅱ）若对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，求实数b 的取值范围．文科数学试题 第6页（共19页）2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一．选择题（1）D （2）D （3）C （4）B （5）B （6）C （7）A （8）B（9）A（10）D（11）B（12）A二．填空题（13）2-（14）[]6,15- （15（16）5三．解答题（17）解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，因为24a =，所以34a q =，244a q =．…………………………………………1分因为32a +是2a 和4a 的等差中项，所以()32422a a a +=+．……………………2分即()224244q q +=+，化简得220q q -=．因为公比0q ≠，所以2q =．………………………………………………………4分所以222422n n n n a a q --==⨯=（*n ∈N ）．…………………………………………5分（Ⅱ）因为2n na =，所以22log 121n nb a n =-=-．所以()212nn n a b n =-．……………………………………………………………7分 则()()231123252232212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-， ①()()23412123252232212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-. ②………………9分文科数学试题 第7页（共19页）①－②得，()2312222222212n n n T n +-=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--……………………………………10分()()()11142221262321212n n n n n ++-=+⨯--=-----，所以()16232n n T n +=+-．……………………………………………………………12分（18）解：（Ⅰ）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ．…………………………1分 依题意得()0.0040.0120.0190.03010421x x x +++⨯+++=，……………3分 解得0.05x =．所以区间[]75,85内的频率为0.05．………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，区间[)45,55，[)55,65，[)65,75内的频率依次为0.3，0.2，0.1．用分层抽样的方法在区间[)45,75内抽取一个容量为6的样本，则在区间[)45,55内应抽取0.3630.30.20.1⨯=++件，记为1A ，2A ，3A ．在区间[)55,65内应抽取0.2620.30.20.1⨯=++件，记为1B ，2B ．在区间[)65,75内应抽取0.1610.30.20.1⨯=++件，记为C ．…………………6分设“从样本中任意抽取2件产品，这2件产品都在区间[)45,65内”为事件M ， 则所有的基本事件有：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}1,A C ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}2,A C ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}3,A C ，{}12,B B ，{}1,B C ，{}2,B C ，共15种．…………………………………………………………………8分事件M 包含的基本事件有：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B ，共10种．…………10分所以这2件产品都在区间[)45,65内的概率为102153=．………………………12分 （19）（Ⅰ）证明：因为1A O ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，文科数学试题 第8页（共19页）所以1A O ⊥BD ．……………………………………………………………………1分因为ABCD 是菱形，所以CO ⊥BD ．……………………………………………2分因为1AO CO O =I ，1A O ，CO ⊂平面1A CO ， 所以BD ⊥平面1A CO ．……………………………………………………………3分 （Ⅱ）解法一：因为底面ABCD 是菱形，AC BD O =I ，21==AA AB ，60BAD ∠=o，所以1OB OD ==，OA OC ==4分所以OBC ∆的面积为112212OBC S OB OC ∆==⨯=⨯⨯．…………………5分 因为1A O ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，所以1A O AO ⊥，11AO ==．………………………………………6分因为11A B P 平面ABCD ，所以点1B 到平面ABCD 的距离等于点1A 到平面ABCD 的距离1A O ．…………7分 由（Ⅰ）得，BD ⊥平面1A AC ．因为1A A ⊂平面1A AC ，所以BD ⊥1A A ．因为11A A B B P ，所以BD ⊥1B B ．………………………………………………8分 所以△1OBB 的面积为111121212OBB S OB BB ∆=⨯⨯==⨯⨯．……………………9分 设点C 到平面1OBB 的距离为d ， 因为11C OBB B OBC V V --=，所以111133OBB OBC S d S A O D D =g g ．………………………………………………10分所以111212OBC OBBS AO d S ∆∆⨯⋅===．所以点C 到平面1OBB的距离为2．……………………………………………12分文科数学试题 第9页（共19页）解法二：由（Ⅰ）知BD因为BD ⊂平面11BB D D 所以平面1A CO ⊥平面连接11A C 与11B D 交于点连接1CO ，1OO ，因为11AA CC =，11//AA CC ，所以11CAAC 为平行四边形． 又O ，1O 分别是AC ，11A C 的中点，所以11OA O C 为平行四边形．所以111O C OA ==．…………………………………………………………………6分 因为平面11OA O C 与平面11BB D D 交线为1OO ，过点C 作1CH OO ⊥于H ，则CH ⊥平面11BB D D ．………………………………8分 因为11O C A O P ，1A O ⊥平面ABCD ，所以·1O C ⊥平面ABCD ．因为OC ⊂平面ABCD ，所以·1O C ⊥OC ，即△1OCO 为直角三角形．………10分 所以1122O C OC CH OO ⋅===．所以点C 到平面1OBB 2．……………………………………………12分（20）（Ⅰ）解法一：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=．……………………………1分 设椭圆的右焦点为()220F ，，已知点(2B 在椭圆C 上， 由椭圆的定义知122BF BF a +=，所以2a ==．………………………………………………………2分 所以a =2b =．………………………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22184x y +=．………………………………………………4分文科数学试题 第10页（共19页）解法二：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=． ①…………………1分因为点(2B 在椭圆C 上，所以22421a b+=． ②…………………2分由①②解得，a =2b =．…………………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22184x y +=．………………………………………………4分 （Ⅱ）解法一：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．…………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --．联立方程组22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22812x k =+．所以0x =，0y =．………………………………………………6分所以直线AE的方程为y x =+．……………………………7分因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得y =，即点M ⎛ ⎝．……………………8分同理可得点N ⎛⎫ ⎝．…………………………………………………9分 假设在x 轴上存在点(,0)P t ，使得MPN ∠为直角，则0MP NP ⋅=u u u r u u u r．………10分即20t =，即240t -=．………………………11分解得2t =或2t =-．故存在点()2,0P 或()2,0P -，无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角．文科数学试题 第11页（共19页）………………………………12分 解法二： 因为椭圆C 的左端点为A ，则点A的坐标为()-．……………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点00(,)E x y ，则点00(,)F x y --．所以直线AE的方程为y x =+．………………………………6分因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得y =M ⎛⎫⎝．……………………………7分同理可得点N ⎛⎫⎝．……………………………………………………8分 假设在x 轴上存在点(),0P t ，使得MPN ∠为直角，则0MP NP ⋅=u u u r u u u r．即20t =，即2220808y t x +=-． （※）…………9分因为点00(,)E x y 在椭圆C 上，所以2200184x y +=，即220082x y -=．……………………………………………10分 将220082x y -=代入（※）得240t -=．………………………………………11分解得2t =或2t =-．故存在点()2,0P 或()2,0P -，无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角． ………………………………12分 解法三：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．……………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ，设点(),2sin E θθ（0θ<<π），则点(),2sin F θθ--．……6分 所以直线AE的方程为y x =+．………………………7分因为直线AE 与y 轴交于点M ，文科数学试题 第12页（共19页）令0x =得2sin cos 1y θθ=+，即点2sin 0,cos 1M θθ⎛⎫⎪+⎝⎭．………………………………8分同理可得点2sin 0,cos 1N θθ⎛⎫⎪-⎝⎭．………………………………………………………9分假设在x 轴上存在点(,0)P t ，使得MPN ∠为直角，则0MP NP ⋅=u u u r u u u r．………10分即22sin 2sin 0cos 1cos 1t θθθθ--+⨯=+-，即240t -=．…………………………………11分解得2t =或2t =-．故存在点()2,0P 或()2,0P -，无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角． ………………………………12分（21）（Ⅰ）解：当1m =时，()e ln 1xf x x =--，所以1()e x f x x'=-．………………………………………………………………1分 所以(1)e 1f =-，(1)e 1f '=-. …………………………………………………2分 所以曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程为(e 1)(e 1)(1)y x --=--． 即()e 1y x =-.………………………………………………………………………3分 （Ⅱ）证法一：当1m ≥时，()e ln 1e ln 1xxf x m x x =--≥--.要证明()1f x >，只需证明e ln 20xx -->.……………………………………4分 以下给出三种思路证明e ln 20xx -->. 思路1：设()e ln 2xg x x =--，则1()e x g x x'=-. 设1()e x h x x =-，则21()e 0x h x x'=+>， 所以函数()h x =1()e x g x x '=-在0+∞（，）上单调递增．…………………………6分 因为121e 202g ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，(1)e 10g '=->，所以函数1()e x g x x '=-在0+∞（，）上有唯一零点0x ，且01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.…………8分文科数学试题 第13页（共19页）因为0()0g x '=时，所以01ex x =，即00ln x x =-.………………………………9分 当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>.所以当0x x =时，()g x 取得最小值()0g x ．……………………………………10分 故()000001()=e ln 220xg x g x x x x ≥--=+->． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >.………………………………………………12分 思路2：先证明e 1xx ≥+()x ∈R ．………………………………………………5分 设()e 1xh x x =--，则()e 1xh x '=-．因为当0x <时，()0h x '<，当0x >时，()0h x '>，所以当0x <时，函数()h x 单调递减，当0x >时，函数()h x 单调递增． 所以()()00h x h ≥=．所以e 1xx ≥+（当且仅当0x =时取等号）．………………………………………7分 所以要证明e ln 20xx -->，只需证明()1ln 20x x +-->．……………………………………………………8分 下面证明ln 10x x --≥． 设()ln 1p x x x =--，则()111x p x x x-'=-=． 当01x <<时，()0p x '<，当1x >时，()0p x '>，所以当01x <<时，函数()p x 单调递减，当1x >时，函数()p x 单调递增． 所以()()10p x p ≥=．所以ln 10x x --≥（当且仅当1x =时取等号）．………………………………10分由于取等号的条件不同， 所以e ln 20xx -->．综上可知，当1m ≥时，()1f x >.………………………………………………12分文科数学试题 第14页（共19页）（若考生先放缩ln x ，或e x、ln x 同时放缩，请参考此思路给分！） 思路3：先证明e ln 2x x ->.因为曲线e xy =与曲线ln y x =的图像关于直线y x =对称，设直线x t =()0t >与曲线e xy =，ln y x =分别交于点A ，B ，点A ，B 到直线y x = 的距离分别为1d ，2d ， 则)122AB d d +． 其中12t d =22d ()0t >．①设()e t h t t =-()0t >，则()e 1t h t '=-． 因为0t >，所以()e 10t h t '=->．所以()h t 在()0,+∞上单调递增，则()()01h t h >=． 所以122t d =>． ②设()ln g t t t =-()0t >，则()111t g t t t -'=-=．因为当01t <<时，()0g t '<；当1t >时，()0g t '>，所以当01t <<时，()ln g t t t =-单调递减；当1t >时，()ln g t t t =-单调递增． 所以()()11g t g ≥=． 所以222d =≥ 所以)1222222AB d d =+>+=⎭． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >.………………………………………………12分证法二：因为()e ln 1xf x m x =--，要证明()1f x >，只需证明e ln 20xm x -->.…………………………………4分以下给出两种思路证明e ln 20xm x -->.文科数学试题 第15页（共19页）思路1：设()e ln 2xg x m x =--，则1()e x g x m x'=-. 设1()e x h x m x =-，则21()e 0x h x m x'=+>． 所以函数()h x =()1e x g x m x'=-在()0+∞，上单调递增．……………………6分因为11221e 2e 202mm g m m m m ⎛⎫⎛⎫'=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1e 10g m '=->， 所以函数1()e x g x m x '=-在()0+∞，上有唯一零点0x ，且01,12x m ⎛⎫∈⎪⎝⎭.……8分 因为()00g x '=，所以01ex m x =，即00ln ln x x m =--．……………………9分 当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>.所以当0x x =时，()g x 取得最小值()0g x ．……………………………………10分 故()()000001e ln 2ln 20xg x g x m x x m x ≥=--=++->． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >．………………………………………………12分 思路2：先证明e 1()xx x ≥+∈R ，且ln 1(0)x x x ≤+>．……………………5分设()e 1xF x x =--，则()e 1xF x '=-．因为当0x <时，()0F x '<；当0x >时，()0F x '>， 所以()F x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增． 所以当0x =时，()F x 取得最小值(0)0F =．所以()(0)0F x F ≥=，即e 1xx ≥+（当且仅当0x =时取等号）．……………7分由e 1()xx x ≥+∈R ，得1e x x -≥（当且仅当1x =时取等号）．………………8分所以ln 1(0)x x x ≤->（当且仅当1x =时取等号）．……………………………9分 再证明e ln 20xm x -->．因为0x >，1m ≥，且e 1xx ≥+与ln 1x x ≤-不同时取等号，文科数学试题 第16页（共19页）所以()()e ln 2112x m x m x x -->+---()()11m x =-+0≥．综上可知，当1m ≥时，()1f x >．………………………………………………12分（22）（Ⅰ）证明：因为AD 是⊙O 的切线，所以DAC B ∠=∠（弦切角定理）． (1)因为DE CA P ，所以DAC EDA ∠=∠．……………………………2所以EDA B ∠=∠．因为AED DEB ∠=∠（公共角），所以△AED ∽△DEB ．……………………………………………………………3分 所以DE AE BEDE=．即2DE AE BE =g ．…………………………………………………………………4分 （Ⅱ）解：因为EF 是⊙O 的切线，EAB 是⊙O 的割线，所以2EF EA EB =g （切割线定理）．……………………………………………5分 因为4EF =，2EA =，所以8EB =，6AB EB EA =-=．…………………7分 由（Ⅰ）知2DE AE BE =g ，所以4DE =．………………………………………8分 因为DE CA P ，所以△BAC ∽△BED ． ………………………………………9分 所以BA ACBEED=．所以6438BA ED AC BE⋅⨯===． …………………………………………………10分（23）（Ⅰ）解：由θρsin 2=，[)0,2θ∈π，可得22sin ρρθ=．…………………………………………………………………1分 因为222x y ρ=+，sin y ρθ=，…………………………………………………2分文科数学试题 第17页（共19页）所以曲线C 的普通方程为2220x y y +-=（或()2211x y +-=）． …………4分（Ⅱ）解法一：因为直线的参数方程为32x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l的普通方程为5y =+． ……………………………………5分因为曲线C ：()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，设点()00,D x y ，且点D 到直线l：5y =+的距离最短， 所以曲线C 在点D 处的切线与直线l：5y =+平行． 即直线GD 与l 的斜率的乘积等于1-，即(0011y x -⨯=-．………………7分 因为()220011x y +-=，解得02x =-或02x =． 所以点D的坐标为12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………………9分 由于点D到直线5y =+的距离最短，所以点D 的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………………………………10分 解法二：因为直线l的参数方程为32x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l50y +-=．……………………………………5分因为曲线C ()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，因为点D 在曲线C 上，所以可设点D ()cos ,1sin ϕϕ+[)()0,2ϕ∈π．………7分所以点D 到直线l的距离为d =2sin 3ϕπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭．………………………………8分文科数学试题 第18页（共19页）因为[)0,2ϕ∈π，所以当6ϕπ=时，min 1d =．…………………………………9分 此时D 32⎫⎪⎪⎝⎭，，所以点D 的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………10分（24）（Ⅰ）解：当1a =时，()12f x ≥等价于112x x +-≥．……………………1分 ①当1x ≤-时，不等式化为112x x --+≥，无解；②当10x -<<时，不等式化为112x x ++≥，解得104x -≤<；③当0x ≥时，不等式化为112x x +-≥，解得0x ≥．…………………………3分综上所述，不等式()1≥x f 的解集为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．………………………………4分 （Ⅱ）因为不等式()f x b ≥的解集为空集，所以()max b f x >⎡⎤⎣⎦．…………………5分以下给出两种思路求()f x 的最大值.思路1：因为()f x x x =+-- ()01a ≤≤，当x ≤()f x x x =-=0<．当x <<时，()f x x x =2x =+≤=当x ≥()f x x x ==所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=7分思路2：因为 ()f x x x =x x ≤=文科数学试题 第19页（共19页）=当且仅当x ≥ 所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=7分因为对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，所以max b >．………………………………………………………8分以下给出三种思路求()g a 的最大值. 思路1：令()g a = 所以()21ga =+2212≤++=．=12a =时等号成立． 所以()maxg a =⎡⎤⎣⎦．所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分思路2：令()g a =因为01a ≤≤，所以可设2cosa θ= 02θπ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，则()g a=cos sin 4θθθπ⎛⎫=+=+≤ ⎪⎝⎭当且仅当4θπ=时等号成立． 所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分 思路3：令()g a =因为01a ≤≤，设x y ìï=ïíï=ïî则221x y +=()01,01x y＃＃．问题转化为在221x y +=()01,01xy ＃＃的条件下，求z x y =+的最大值．利用数形结合的方法容易求得z ，此时2x y ==．所以b 的取值范围为)∞．…………………………………………………10分。
2019年广东省高考模拟试题(一)(文科)
③m 1与n 1相交=m 与n 相交或重合；其中不正确的命题个数是（）A.1B.2C.33、 双曲线4--匕=1的焦点到渐近线的距离为4 12A.2.,3B.2C.4、 函数f （x ）=（x-3）e x 的单调递增区间是2019年广东省高考模拟试题（一）数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.『一 (5i)1、 已知复数z 的实部为-1,虚部为2,则一=（）zA . 2—iB . 2+iC. —2 —i D . —2+i2、 平面c （外有两条直线 m 和n ,如果m 和n 在平面ot 内的射影分别是 m 〔和n 〔，给出下列 四个命题：① m）1 ± n 〔nm 上 n ；② m 上 nnm^④m 1与n 1平行= m 与n 平行或重合;D.4（）,3D.1（）（2,二）2019. 125、一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）.6、(2019全国卷□理)设a =log3兀，b = log2 J3,c = log3 J2 ,贝UA. a b cB. a c bC. b a cD. b c a7、点P (4, — 2)与圆x2+ y2= 4上任一点连续的中点轨迹方程是(). _ 2 2 _ 2 2A.(x -2) (y 1) =1B. (x -2) (y 1) =42 2 2 2C. (x 4) (y -2) =4D. (x 2) (y -1) =12 2x y ................8、右双曲线F=1(a》o )的离心率为2,贝U a等于()a 3A. 2B. .3C. -D. 129、计算机是将信息转换成二进制进行处理的.二进制即“逢二进一”，如(1101)2表示二进制数，将它转换成十进制形式是 1 X23 +1 X22 +0X21 +1 乂2° = 13 ,那么将二进制数(111竺少2转换成十进制形式是( ).16个1A. 217—2 B . 216—2 C . 216—1 D .泸一110、已知o, N, P在AABC所在平面内，且OA = OB = OC ,NA+NB+NC =。
2019年广东省广州市天河区高2019届高2016级文科数学一模试卷
2019年广东省广州市天河区高2016级数学一模试卷文科数学试题及详细解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.(5分)已知集合{|||3}M x x =<,3{|11}N x og x =<,则M N 等于( )A.∅B.{|03}x x <<C.{|3}x x <D.{|33}x x -<<2.(5分)已知i 为虚部单位,若(1)1i z i +=-,则(z = ) A.iB.i -C.1i +D.1i -3.(5分)若4cos()25πα+=-,且(2πα∈,)π,则sin(2)(πα-= )A.2425B.1225C.1225-D.2425-4.(5分)已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ,直线2)y x -与C 交于A ,(B A 在x 轴上方)两点,若AF mFB =,则实数m 的值为( )B.3C.2D.325.(5分)下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；②某校高三一级部和二级部的人数分别是m ,n ,本次期末考试两级部数学平均分分别是a ,b ,则这两个级部的数学平均分为na mbm n+；③某中学采用系统抽样方法,从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查,现将800名学生从001到800进行编号,已知从497512-这16个数中取得的学生编号是503,则初始在第1小组001016-中随机抽到的学生编号是007.其中命题正确的个数是( ) A.0个B.1个C.2个D.3个6.(5分)正四面体ABCD 中,E ,F 分别为棱AD ,BC 的中点,则异面直线EF 与CD 所成的角为( )A.6πB.4π C.3π D.2π 7.(5分)函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示,若12,(,)63x x ππ∈-,且1212()()()f x f x x x =≠,则12()(f x x += )A.1B.128.(5分)已知ABC ∆是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则()PA PB PC +的最小值是( ) A.2-B.32-C.43-D.1-9.(5分)设函数()cos sin f x x x x =-的图象上的点0(x ,0)y 处的切线的斜率为k ,若0()k g x =,则函数()g x 的大致图象为( )A.B.C.D.10.(5分)已知1F 、2F 分别是双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点,若2F 关于渐近线的对称点恰落在以1F 为圆心,1||OF 为半径的圆上,则双曲线C 的离心率为( ) A.2C.311.(5分)数列{}n a 满足11a =,对任意*n N ∈的都有11n n a a n +=++,则1299111(a a a ++⋯⋯+= )A.9998B.2C.9950D.9910012.(5分)设()f x 是定义在R 上的函数,其导函数为()f x ',若()()1f x f x '+>,(0)2018f =,则不等式()2017x x e f x e >+(其中e 为自然对数的底数)的解集为( ) A.(-∞,0)(0⋃,)+∞ B.(-∞,0)(2017⋃,)+∞ C.(2017,)+∞D.(0,)+∞二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,满分20分.13.(5分)已知函数22(1)()69(1)x x f x x x x ⎧>=⎨-+⎩…,则不等式(f f (1))= .14.(5分)已知实数x ,y 满足2041x y x y y -⎧⎪+⎨⎪>⎩……,则2y x +的取值范围为 .15.(5分)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,俯视图是一个等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为 .16.(5分)在ABC ∆中,已知2c =,若222sin sin sin sin sin A B A B C +-=,则a b +的取值范围 .三、解答题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题～21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答17.(12分)已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+,等比数列{}n b 满足21b a =,34b a =. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n n a b 的前n 项和n T .18.(12分)如图,直三棱柱111ABC A B C -中,12AB AC AA ===,BC =D ,E 分别是BC ,1CC 的中点.(1)证明：平面1ADB ⊥平面ADE ； (2)求三棱锥1D AB E -的高.19.(12分)某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制,已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50,100]内,发布成绩使用等级制,各等级划分标准见下表.规定：A ,B ,C 三级为合格等级,D 为不合格等级为了解该校高三年级学生身体素质情况,从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计.按照[50,60)[60,70),[70,80),[80,90)[90,00]的分组作出频率分布直方图如图1所示,样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示(1)求n 和频率分布直方图中的x ,y 的值,并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率； (2)根据频率分布直方图,求成绩的中位数(精确到0.1)；(3)在选取的样本中,从A ,D 两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研,求至少有一名学生是A 等级的概率.20.(12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12,右焦点2F 到直线1:340l x y +=的距离为35.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过椭圆右焦点2F 斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 相交于E 、F 两点,A 为椭圆的右顶点,直线AE ,AF 分别交直线3x =于点M ,N ,线段MN 的中点为P ,记直线2PF 的斜率为k ',求证：k k '为定值.21.(12分)设函数2()2x f x alnx =-.a R ∈.(1)求函数()y f x =的单调区间和极值.(2)若函数()f x 在区间(1,2]e 内恰有两个零点,求a 的取值范围. [选修4-4：坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为1(x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,圆C 的方程为ρθ=. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A 、B ,若点P的坐标为,求||||PA PB +的值. [选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()|1||1|2f x x x =-+++. (1)求不等式()6f x …的解集；(2)若关于x的不等式2…在R上恒成立,求实数a的取值范围.--f x a a()22019年广东省广州市天河区高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的【解答】解：集合{|||3}{|33}M x x x x =<=-<<, 3{|11}{|03}N x og x x x =<=<<,则{|03}M N x x =<<.故选：B .【解答】解：若(1)1i z i +=-, 则(1)(1)(1)(1)i i z i i i --==-+-,则z i =, 故选：A .【解答】解：4c o s ()s i n 25παα+=-=-,且(2πα∈,)π,即4sin 5α=,3cos 5α∴==-,则24sin(2)sin 22sin cos 25παααα-===-, 故选：D .【解答】解：设A 、B 在l 上的射影分别是1A 、1B ,过B 作1BM AA ⊥于M .由抛物线的定义可得出Rt ABM ∆中,得60BAE ∠=︒, 11cos6012AM AF BF m AB AF BF m --︒====++,解得3m =.故选：B .【解答】解：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；正确②某校高三一级部和二级部的人数分别是m 、n ,本次期末考试两级部数学平均分分别是a 、b ,则这两个级部的数学平均分为ma nbm n++；故②错误 ③某中学采用系统抽样方法,从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查, 则样本间隔为8005016÷=,已知从497512--这16个数中取得的学生编号是503, 则设在初始在第1小组00~016l 中随机抽到的学生编号是x . 则5031631x =⨯+,得7x =,∴在第1小组1~6l 中随机抽到的学生编号是007号,故③正确,故正确的是①③, 故选：C .【解答】解：取BD 中点O ,连结EO 、FO , 设正四面体的棱长为a ,则//OF CD ,//OE AB ,且2a OF OE ==, EFO ∴∠是异面直线EF 与CD 所成的角,取CD 中点G ,连结BG 、AG , 则AG CD ⊥,BG CD ⊥,BG A G G =,CD ∴⊥平面ABG ,AB ⊂平面ABG ,CD AB ∴⊥,OF OE ∴⊥,4EFO π∴∠=.∴异面直线EF 与CD 所成的角为4π. 故选：B .【解答】解：由图象可得1A =,2()236πππω=--,解得2ω=, ()sin(2)f x x ϕ∴=+,代入点(3π,0)可得2sin()03πϕ+=∴23k πϕπ+=,23k πϕπ∴=-,k Z ∈ 又||2πϕ<,3πϕ∴=,()sin(2)3f x x π∴=+,sin(2)1123ππ∴⨯+=,即图中点的坐标为(12π,1), 又12,(,)63x x ππ∈-,且1212()()()f x f x x x =≠,122126x x ππ∴+=⨯=,12()sin(2)63f x x ππ∴+=⨯+=, 故选：D .【解答】解：建立如图所示的坐标系,以BC 中点为坐标原点,则A ,(1,0)B -,(1,0)C ,设(,)P x y ,则()PA x y =-,(1,)PB x y =---,(1,)PC x y =--,则22223()222[(]4PA PB PC x y x y +=-+=+--∴当0x =,y =时,取得最小值332()42⨯-=-, 故选：B .【解答】解：函数cos sin y x x x =-,可得sin y x x '=-,在点0(x ,0)y 处的切线的斜率为k ,若000()sin k g x x x ==-,函数k 是偶函数,排除A ,D ,当06x π=时,012k π=-<,显然C 不正确,B 正确；故选：B .【解答】解：由题意,1(,0)F c -,2(,0)F c ,一条渐近线方程为by x a=,则2F到渐近线的距离为b =.设2F 关于渐近线的对称点为M ,2F M 与渐近线交于A ,2||2MF b ∴=,A 为2F M 的中点 又0是12F F 的中点,1//OA F M ∴,12F MF ∴∠为直角, ∴△12MF F 为直角三角形,∴由勾股定理得22244c c b =+22234()c c a ∴=-,224c a ∴=, 2c a ∴=,2e ∴=.故选：A .【解答】解：根据题意,数列{}n a 满足对任意*n N ∈的都有11n n a a n +=++,则11n n a a n +-=+, 则112211(1)()()()(1)12n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+=-+-+⋯⋯+-+=+-+⋯⋯+=, 则1222(1)1n a n n n n ==-++； 则129911*********2[(1)()()]2(1)2239910010050a a a ++⋯⋯+=-+-+⋯⋯+-=-=； 故选：C .【解答】解：令()()x x g x e f x e =-,则()()()(()()1)x x x x g x e f x e f x e e f x f x '=+'-=+'-, ()()1f x f x +'>,()()10f x f x ∴+'->, ()0g x ∴'>,()g x 在R 上为单调递增函数,(0)(0)1201812017g f =-=-= ∴原不等式可化为()(0)g x g >,根据()g x 的单调性得0x > 故选：D .二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,满分20分. 【解答】解：根据题意,函数22(1)()69(1)x x f x x x x ⎧>=⎨-+⎩…,则f (1)1694=-+=, 则(f f (1)4)216==； 故(f f (1))16=； 故答案为：16.【解答】解：实数x ,y 满足2041x y x y y -⎧⎪+⎨⎪>⎩……,表示一个三角形区域(包含边界),三角形的三个顶点的坐标分别为1(2A ,1),(3,1)B ,4(3C ,8)3,2yx +的几何意义是点(,)x y 与(2,0)P -连线的斜率, 由于PC 的斜率为80434523-=+,PB 的斜率为：101235-=+.所以 则2y x +的取值范围为：1(5,4]5. 故答案为：1(5,4]5.【解答】解：由三视图知：几何体是三棱锥,且几何体的后侧面SAC 与底面垂直,高SO如图：其中1OA OB OC===,SO⊥平面ABC,其外接球的球心在SO上,设球心为M,OM x=,x x⇒=,∴外接球的半径R=,∴几何体的外接球的表面积416433Sππ=⨯=.故答案为：163π【解答】解：222sin sin sin sin sinA B A B C+-=,由余弦定理可得：222a b ab c+-=,可得2221cos22a b cCab+-==,(0,)Cπ∈,3Cπ∴=.由正弦定理可得：2sin sin sin3a bA C==,a A∴=,b B=,23B Aπ=-.则2sin()3a b A B A Aπ+==-4sin()6Aπ=+,2(0,)3Aπ∈,∴5()(,)666Aπππ+∈,1sin()(,1]62Aπ∴+∈,(2a b∴+∈,4].故答案为：(2,4].三、解答题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题～21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答【解答】解：(1)22nS n n=+,可得113a S==；2n…时,2212(1)2(1)21n n na S S n n n n n-=-=+----=+；上式对1n=也成立,可得21n a n =+,*n N ∈,等比数列{}n b 的公比设为q ,213b a ==,349b a ==, 可得323b q b ==,则13n n b -=； (2)1(21)3n n n a b n -=+,可得前n 项和0113353(21)3n n T n -=++⋯++, 233353(21)3n n T n =++⋯++,两式相减可得121232(333)(21)3n n n T n --=+++⋯+-+13(13)32(21)313n n n --=+-+-,化简可得3n n T n =.【解答】解：(1)由已知得：1BB BDDC CE=所以Rt △1Rt DCE B BD ∆∽所以1BB D CDE ∠=∠,所以1B D DE ⊥又因为AB AC =,D 是BC 的中点,所以AD BC ⊥ 所以AD ⊥平面11BCC B ,所以1AD B D ⊥ 而ADDE D =,所以1B D ⊥平面ADE又1B D ⊂平面1ADB ,所以平面1ADB ⊥平面ADE ；(2)设三棱锥1D AB E -的高为h ,因为11122ADE S AD DE B D ∆==⨯= 所以11113B ADE ADE V S B D -∆==,由13AB AE B E ==,得：1cos B AE ∠==所以1sin B AE ∠==,所以1132AB ES=⨯=, 由11D AB E B ADE V V --=,得：1113AB ESh =,所以1h =.【解答】解：(1)由题意知,样本容量6500.01210n ==⨯,20.0045010x ==⨯,10.040.10.120.560.01810y ----==；因为成绩是合格等级人数为：(10.1)5045-⨯=人, 抽取的50人中成绩是合格等级的概率为910P =, 即估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率为910； (2)根据频率分布直方图,计算成绩的中位数为0.22701073.90.56+⨯=； (3)由茎叶图知,A 等级的学生有3人,D 等级的学生有0.1505⨯=人, 记A 等级的学生为A 、B 、C ,D 等级的学生为d 、e 、f 、g 、h , 从这8人中随机抽取2人,基本事件是：AB 、AC 、Ad 、Ae 、Af 、Ag 、Ah 、BC 、Bd 、Be 、Bf 、Bg 、Bh 、Cd 、Ce 、Cf 、Cg 、Ch 、de 、df 、dg 、dh 、ef 、eg 、eh 、fg 、fh 、gh 共28个；至少有一名是A 等级的基本事件是：概率.AB 、AC 、Ad 、Ae 、Af 、Ag 、Ah 、BC 、Bd 、Be 、Bf 、Bg 、Bh 、Cd 、Ce 、Cf 、Cg 、Ch 共18个；故所求的概率为1892814P ==. 【解答】(Ⅰ)解：由题意得12c e a ==3355c ==, 1c ∴=,2a =,∴所求椭圆方程为22143x y +=； (Ⅱ)设过点2(1,0)F 的直线l 方程为：(1)y k x =-, 再设点1(E x ,1)y ,点2(F x ,2)y ,将直线l 方程(1)y k x =-代入椭圆22:143x y C +=,整理得：2222(43)84120k x k x k +-+-=. 点P 在椭圆内,∴直线l 和椭圆都相交,△0>恒成立,且2212122284124343k k x x x x k k -+==++, 直线AE 的方程为：11(2)2y y x x =--,直线AF 的方程为：22(2)2y y x x =--.令3x =,得点11(3,)2y M x -,22(3,)2yN x -, ∴点P 的坐标12121(3,())222yy x x +--, 直线2PF 的斜率为121212121()02221()31422y y x x yy k x x +---'==+---2121121212121212122()23()41142()442()4y x x y y y kx x k x x k x x x x x x x x +-+-++==-++-++,将221212228412,4343k k x x x x k k -+==++代入上式,得：2222224128234134343412844244343k k k k k k k k k k k k k --+++'==---+++ k k '∴为定值34-. 【解答】解：(1)由2()2x f x alnx =-,得2()(0)a x af x x x x x-'=-=>,①当0a …时,()0f x '>,函数()f x 在(0,)+∞上单调递增,函数无极大值,也无极小值； ②当0a >时,由()0f x '=,得x =x =舍去). 于是,当x 变化时,()f x '与()f x 的变化情况如下表：所以函数()f x 的单调递减区间是,单调递增区间是)+∞. 函数()f x 在x =(1)2a lna f -=,无极大值. 综上可知,当0a …时,函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞,函数既无极大值也无极小值； 当0a >时,函数()f x 的单调递减区间是,单调递增区间为)+∞, 函数()f x 有极小值(1)2a lna -,无极大值. (2)当0a …时,由(1)知函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增, 故函数()f x 在区间(1,2]e 上至多有一个零点,不合题意. 当0a >时,由(1)知,当x ∈时,函数()f x 单调递减；当x ∈)+∞时,函数()f x 单调递增, 所以函数()f x 在(0,)+∞上的最小值为(1)2a lna f -=. 若函数()f x 在区间(1,2]e 内恰有两个零点,则需满足2210(1)0()0e f f f e ⎧<⎪⎪<⎨>⎪⎪⎩…,即441(1)02102202a e a lna e a ⎧<<⎪-⎪<⎪⎪⎨>⎪⎪⎪-⎪⎩…整理得4414a e a e e a ⎧⎪<<⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩…,所以44e e a <….故所求a 的取值范围为(e ,4]4e .[选修4-4：坐标系与参数方程]【解答】解：(1)圆C的方程为ρθ=,即2sin ρθ=,∴圆C的直角坐标方程为22x y +=,即22(5x y +=.(2)将直线l的参数方程为1(x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)代入22(5x y +=,得：22(1))5++=,即240t -=, △2160=+>,∴设1t ,2t 是上述方程的根,则12t t +=124t t =-,点P的坐标为,12||||||PA PB t t ∴+=-==[选修4-5：不等式选讲]【解答】解：(1)函数22,1()|1||1|24,1122,1x x f x x x x x x -+-⎧⎪=-+++=-<<⎨⎪+⎩……,∴不等式()6f x …可化为：1226x x -⎧⎨-+⎩……或1146x -<<⎧⎨⎩…或1226x x ⎧⎨+⎩……, 解得2x -…或2x …, ∴不等式()6f x …的解集为{|2x x -…或2}x …； (2)()|1||1|2|(1)(1)|24f x x x x x =-+++--++=…, 若关于x 的不等式2()2f x a a --…在R 上恒成立, 则224a a --…, 即260a a --…, 解得23a -剟, ∴实数a 的取值范围是23a -剟.。
2019-2020学年广东省广州市高考数学一模考试(文科)试题Word版含解析
2019-2020学年广东省广州市高考一模考试数学（文科）试题一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数的虚部是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．22．已知集合{x|x2+ax=0}={0，1}，则实数a的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．已知tanθ=2，且θ∈，则cos2θ=（）A．B．C． D．4．阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知函数f（x）=，则f（f（3））=（）A．B．C． D．﹣36．已知双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y=0，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|=2，则|PF2|等于（）A．4 B．6 C．8 D．107．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）A．B．C．D．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．9．设函数f（x）=x3+ax2，若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x））处的切线方程为x+y=0，则点P的坐标为（）A．（0，0）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）或（﹣1，1）10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．8π B．12πC．20πD．24π11．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函数，直线y=与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）在上单调递减C．f（x）在上单调递增D．f（x）在上单调递增12．已知函数f（x）=+cos（x﹣），则的值为（）A．2016 B．1008 C．504 D．0二、填空题：本小题共4题，每小题5分．13．已知向量=（1，2），=（x，﹣1），若∥（﹣），则•= ．14．若一个圆的圆心是抛物线x2=4y的焦点，且该圆与直线y=x+3相切，则该圆的标准方程是．15．满足不等式组的点（x，y）组成的图形的面积是5，则实数a的值为．16．在△ABC中，∠ACB=60°，BC＞1，AC=AB+，当△ABC的周长最短时，BC的长是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{an }的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{Sn }的前n项和Tn．18．某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在根据图1，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？（Ⅲ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计附：（其中n=a+b+c+d为样本容量）P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；（Ⅱ）若AD=1，AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为，求点B到平面ADE的距离．20．已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．21．已知函数f（x）=lnx+．（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥时，f（x）＞e﹣x．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2cos（θ﹣）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（Ⅰ）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．2019-2020学年广东省广州市高考一模考试数学（文科）试题参考答案一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数的虚部是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==1﹣i的虚部是﹣1．故选：B．2．已知集合{x|x2+ax=0}={0，1}，则实数a的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】集合的表示法．【分析】集合{x|x2+ax=0}={0，1}，则x2+ax=0的解为0，1，利用韦达定理，求出a的值．【解答】解：由题意，0+1=﹣a，∴a=﹣1，故选A．3．已知tanθ=2，且θ∈，则cos2θ=（）A．B．C． D．【考点】二倍角的余弦．【分析】由已知利用同角三角函数关系式可求cosθ，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算求值得解．【解答】解：∵tanθ=2，且θ∈，∴cosθ===，∴cos2θ=2cos2θ﹣1=2×（）2﹣1=﹣．故选：C．4．阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】循环结构．【分析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果；直到满足判断框中的条件，执行输出．【解答】解：经过第一次循环得到的结果为k=0，n=16，经过第二次循环得到的结果为k=1，n=49，经过第三次循环得到的结果为k=2，n=148，经过第四次循环得到的结果为k=3，n=445，满足判断框中的条件，执行“是”输出的k为3故选B5．已知函数f（x）=，则f（f（3））=（）A．B．C． D．﹣3【考点】函数的值．【分析】由解析式先求出f（3），由指数的运算法则求出（f（3））的值．【解答】解：由题意知，f（x）=，则f（3）=1﹣，所以f（f（3））==4•=，故选A．6．已知双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y=0，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|=2，则|PF2|等于（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的方程、渐近线的方程求出a，由双曲线的定义求出|PF2|．【解答】解：由双曲线的方程、渐近线的方程可得=，∴a=3．由双曲线的定义可得|PF2|﹣2=6，∴|PF2|=8，故选C．7．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】列举出所有情况，求出满足条件的概率即可．【解答】解：由题意得：正面不能相邻，即正反正反，反正反正，3反一正，全反，其中3反一正中有反反反正，反反正反，反正反反，正反反反，故共7中情况，故P==，故选：B．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，作出图形，可得结论．【解答】解：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，如图所示，该几何体的俯视图为C．故选：C．9．设函数f（x）=x3+ax2，若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x））处的切线方程为x+y=0，则点P的坐标为（）A．（0，0）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）或（﹣1，1）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由曲线y=f（x）在点P（x0，f（x））处的切线方程为x+y=0，导函数等于﹣1求得点（x0，f（x））的横坐标，进一步求得f（x）的值，可得结论．【解答】解：∵f（x）=x3+ax2，∴f′（x）=3x2+2ax，∵函数在点（x0，f（x））处的切线方程为x+y=0，∴3x02+2ax=﹣1，∵x0+x3+ax2=0，解得x=±1．当x0=1时，f（x）=﹣1，当x0=﹣1时，f（x）=1．故选：D．10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．8π B．12πC．20πD．24π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意，PC为球O的直径，求出PC，可得球O的半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：由题意，PC为球O的直径，PC==2，∴球O的半径为，∴球O的表面积为4π•5=20π，故选C．11．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函数，直线y=与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）在上单调递减C．f（x）在上单调递增D．f（x）在上单调递增【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】根据两角和的正弦函数化简解析式，由条件和诱导公式求出φ的值，由条件和周期共识求出ω的值，根据正弦函数的单调性和选项判断即可．【解答】解：由题意得，f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）= [sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）]=，∵函数f（x）（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函数，∴，则，又0＜φ＜π，∴φ=，∴f（x）==，∵y=与f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，∴T=，则ω=4，即f（x）=，由得4x∈（0，π），则f（x）在上不是单调函数，排除A、C；由得4x∈，则f（x）在上是增函数，排除B，故选：D．12．已知函数f（x）=+cos（x﹣），则的值为（）A．2016 B．1008 C．504 D．0【考点】数列的求和．【分析】函数f（x）=+cos（x﹣），可得f（x）+f（1﹣x）=0，即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=+cos（x﹣），∴f（x）+f（1﹣x）=+cos（x﹣）++=1+0=1，则=2016=1008．故选：B．二、填空题：本小题共4题，每小题5分．13．已知向量=（1，2），=（x，﹣1），若∥（﹣），则•= ．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解： =（1﹣x，3），∵∥（﹣），∴2（1﹣x）﹣3=0，解得x=﹣．则•=﹣﹣2=﹣．故答案为：﹣．14．若一个圆的圆心是抛物线x2=4y的焦点，且该圆与直线y=x+3相切，则该圆的标准方程是x2+（y﹣1）2=2 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点即圆心坐标，利用切线的性质计算点C到切线的距离即为半径，从而得出圆的方程．【解答】解：抛物线的标准方程为：x2=4y，∴抛物线的焦点为F（0，1）．即圆C的圆心为C（0，1）．∵圆C与直线y=x+3相切，∴圆C的半径为点C到直线y=x+3的距离d==．∴圆C的方程为x2+（y﹣1）2=2．故答案为：x2+（y﹣1）2=2．15．满足不等式组的点（x，y）组成的图形的面积是5，则实数a的值为 3 ．【考点】简单线性规划；二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】根据题意，将不等式组表示的平面区域表示出来，分析可得必有a＞1，此时阴影部分的面积S=×2×1+×（a﹣1）×[a+1﹣（3﹣a）]=5，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，不等式组⇔或；其表示的平面区域如图阴影部分所示：当a≤1时，其阴影部分面积S＜S=×2×1=1，不合题意，△AOB必有a＞1，当a＞1时，阴影部分面积S=×2×1+×（a﹣1）×[a+1﹣（3﹣a）]=5，解可得a=3或﹣1（舍）；故答案为：3．16．在△ABC中，∠ACB=60°，BC＞1，AC=AB+，当△ABC的周长最短时，BC的长是+1 ．【考点】三角形中的几何计算．【分析】设A，B，C所对的边a，b，c，则根据余弦定理可得a2+b2+c2=2abcosC，以及b=c+可得c的长，再利用均值不等式即可求出答案．【解答】解：设A，B，C所对的边a，b，c，则根据余弦定理可得a2+b2+c2=2abcosC，将b=c+代入上式，可得a2+c+=ac+，化简可得c=，所以△ABC的周长l=a+b+c=++a，化简可得l=3（a﹣1）++，因为a＞1，所以由均值不等式可得3（a﹣1）=时，即6（a﹣1）2=3，解得a=+1时，△ABC的周长最短，故答案为： +1．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{an }的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{Sn }的前n项和Tn．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）Sn =2an﹣2（n∈N*），可得n=1时，a1=2a1﹣2，解得a1．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，再利用等比数列的通项公式即可得出．（II）利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）∵Sn =2an﹣2（n∈N*），∴n=1时，a1=2a1﹣2，解得a1=2．n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2﹣（2an﹣1﹣2），化为：an=2an﹣1，∴数列{an}是等比数列，公比为2．∴an=2n．（II）Sn==2n+1﹣2．∴数列{Sn }的前n项和Tn=﹣2n=2n+2﹣4﹣2n．18．某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在根据图1，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？（Ⅲ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计附：（其中n=a+b+c+d为样本容量）P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）利用（0.012+0.032+0.052）×5+0.076×（x﹣205）=0.5，即可估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（Ⅱ）求出甲，乙两条流水线生产的不合格的概率，即可得出结论；（Ⅲ）计算可得K2的近似值，结合参考数值可得结论．【解答】解：（Ⅰ）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x，因为0.48=（0.012+0.032+0.052）×5＜0.5＜（0.012+0.032+0.052+0.076）×5=0.86，…则（0.012+0.032+0.052）×5+0.076×（x﹣205）=0.5，…解得．…（Ⅱ）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为，…乙流水线生产的产品为不合格品的概率为，…于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线生产的不合格品件数分别为：．…（Ⅲ）2×2列联表：甲生产线乙生产线合计合格品354075不合格品151025合计5050100…则，…因为1.3＜2.072，所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”．…19．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；（Ⅱ）若AD=1，AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为，求点B到平面ADE的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由题意结合面面垂直的性质可得BD⊥DC，有DC⊥平面ABD，进一步得到DC⊥AB，再由线面垂直的判定可得AB⊥平面ADC；（Ⅱ）由（Ⅰ）知DC⊥平面ABD，可得AC在平面ABD内的正投影为AD，求解直角三角形得到AB的值，然后利用等积法求得点B到平面ADE的距离．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，又BD⊥DC，∴DC⊥平面ABD，∵AB⊂平面ABD，∴DC⊥AB，又∵折叠前后均有AD⊥AB，DC∩AD=D，∴AB⊥平面ADC．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DC⊥平面ABD，所以AC在平面ABD内的正投影为AD，即∠CAD为AC与其在平面ABD内的正投影所成角．依题意，AD=1，∴．设AB=x（x＞0），则，∵△ABD～△BDC，∴，即，解得，故．由于AB⊥平面ADC，AB⊥AC，E为BC的中点，由平面几何知识得AE=，同理DE=，∴．∵DC⊥平面ABD，∴．设点B到平面ADE的距离为d，则，∴，即点B到平面ADE的距离为．20．已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由椭圆C的离心率为，且过点A（2，1），列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）法一：由∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，知PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．设直线PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），直线AQ的方程为y﹣1=﹣k（x﹣2）．由，得（1+4k2）x2﹣（16k2﹣8k）x+16k2﹣16k﹣4=0．由点A（2，1）在椭圆C上，求出．同理，由此能求出直线PQ的斜率为定值．法二：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线PA的斜率，直线QA的斜率．由∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，知，再由点P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，能求出直线PQ的斜率为定值．法三：设直线PQ的方程为y=kx+b，点P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1=kx1+b，y2=kx2+b，直线PA的斜率，直线QA的斜率．由∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，知=，由，得（4k2+1）x2+8kbx+4b2﹣8=0，由此利用韦达定理能求出直线PQ的斜率为定值．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C的离心率为，且过点A（2，1），所以，．…因为a2=b2+c2，解得a2=8，b2=2，…所以椭圆C的方程为．…（Ⅱ）解法一：因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．设直线PA的斜率为k，则直线AQ的斜率为﹣k．…所以直线PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），直线AQ的方程为y﹣1=﹣k（x﹣2）．设点P（xP ，yP），Q（xQ，yQ），由，消去y，得（1+4k2）x2﹣（16k2﹣8k）x+16k2﹣16k﹣4=0．①因为点A（2，1）在椭圆C上，所以x=2是方程①的一个根，则，…所以．…同理．…所以．…又．…所以直线PQ的斜率为．…所以直线PQ的斜率为定值，该值为．…解法二：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线PA的斜率，直线QA的斜率．因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．所以kPA =﹣kQA，即，①…因为点P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，所以，②．③由②得，得，④…同理由③得，⑤…由①④⑤得，化简得x 1y 2+x 2y 1+（x 1+x 2）+2（y 1+y 2）+4=0，⑥… 由①得x 1y 2+x 2y 1﹣（x 1+x 2）﹣2（y 1+y 2）+4=0，⑦… ⑥﹣⑦得x 1+x 2=﹣2（y 1+y 2）．… ②﹣③得，得．…所以直线PQ 的斜率为为定值．…解法三：设直线PQ 的方程为y=kx+b ，点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 则y 1=kx 1+b ，y 2=kx 2+b ， 直线PA 的斜率，直线QA 的斜率．…因为∠PAQ 的角平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在直线关于直线x=2对称． 所以k PA =﹣k QA ，即=，…化简得x 1y 2+x 2y 1﹣（x 1+x 2）﹣2（y 1+y 2）+4=0．把y 1=kx 1+b ，y 2=kx 2+b 代入上式，并化简得2kx 1x 2+（b ﹣1﹣2k ）（x 1+x 2）﹣4b+4=0．（*） …由，消去y 得（4k 2+1）x 2+8kbx+4b 2﹣8=0，（**）则，…代入（*）得，…整理得（2k ﹣1）（b+2k ﹣1）=0， 所以或b=1﹣2k ．…若b=1﹣2k ，可得方程（**）的一个根为2，不合题意．… 若时，合题意．所以直线PQ的斜率为定值，该值为．…21．已知函数f（x）=lnx+．（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥时，f（x）＞e﹣x．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）法一：求出函数f（x）的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；法二：求出a=﹣xlnx，令g（x）=﹣xlnx，根据函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）问题转化为xlnx+a＞xe﹣x，令h（x）=xlnx+a，令φ（x）=xe﹣x，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）法1：函数的定义域为（0，+∞）．由，得．…因为a＞0，则x∈（0，a）时，f'（x）＜0；x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0．所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．…当x=a时，[f（x）]=lna+1．…min当lna+1≤0，即0＜a≤时，又f（1）=ln1+a=a＞0，则函数f（x）有零点．…所以实数a的取值范围为．…法2：函数的定义域为（0，+∞）．由，得a=﹣xlnx．…令g（x）=﹣xlnx，则g'（x）=﹣（lnx+1）．当时，g'（x）＞0；当时，g'（x）＜0．所以函数g（x）在上单调递增，在上单调递减．…故时，函数g（x）取得最大值．…因而函数有零点，则．…所以实数a的取值范围为．…（Ⅱ）要证明当时，f（x）＞e﹣x，即证明当x＞0，时，，即xlnx+a＞xe﹣x．…令h（x）=xlnx+a，则h'（x）=lnx+1．当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0．所以函数h（x）在上单调递减，在上单调递增．当时，．…于是，当时，．①…令φ（x）=xe﹣x，则φ'（x）=e﹣x﹣xe﹣x=e﹣x（1﹣x）．当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．所以函数φ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．当x=1时，．…于是，当x＞0时，．②…显然，不等式①、②中的等号不能同时成立．…故当时，f（x）＞e﹣x．…选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2cos（θ﹣）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）将直线l的参数方程消去t参数，可得直线l的普通方程，将ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，带入ρ=2cos（θ﹣）可得曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）法一：设曲线C上的点为，点到直线的距离公式建立关系，利用三角函数的有界限可得最大值．法二：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0，当直线l'与圆C相切时，得，点到直线的距离公式可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）由直线l的参数方程消去t参数，得x+y﹣4=0，∴直线l的普通方程为x+y﹣4=0．由=．得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入上式，得：曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（Ⅱ）法1：设曲线C上的点为，则点P到直线l的距离为==当时，∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为；法2：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0．当直线l'与圆C相切时，得，解得b=0或b=﹣4（舍去）．∴直线l'的方程为x+y=0．那么：直线l与直线l'的距离为故得曲线C上的点到直线l的距离的最大值为．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（Ⅰ）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）通过讨论a的范围得到关于a的不等式，解出取并集即可；（Ⅱ）基本基本不等式的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f（1）＜3，所以|a|+|1﹣2a|＜3．①当a≤0时，得﹣a+（1﹣2a）＜3，解得，所以；②当时，得a+（1﹣2a）＜3，解得a＞﹣2，所以；③当时，得a﹣（1﹣2a）＜3，解得，所以；综上所述，实数a的取值范围是．（Ⅱ）因为a≥1，x∈R，所以f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|≥|（x+a﹣1）﹣（x﹣2a）|=|3a﹣1|=3a﹣1≥2．。
广东省2019届广州市天河区高三毕业班综合测试(一)文科数学试题(解析版)
与 C 交于 A， 在 x 轴上方 两点，若
，则实
A.
B. 3 C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
作出抛物线的准线，设 A、B 在 l 上的射影分别是 、 ，过 B 作
于 由抛物线的定义结合题中
的数据，可算出
中，得
【详解】设 A、B 在 l 上的射影分别是 、 ，
，即可求解．
过B作
于 由抛物线的定义可得出
； 某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做牙齿健康检查，
现将 800 名学生从 001 到 800 进行编号，已知从
这 16 个数中取得的学生编号是 503，则初始在第
1 小组
中随机抽到的学生编号是 其中命题正确的个数是
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
8.
是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则
的最小值是（ )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
分析：根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可.
详解：建立如图所示的坐标系，以 BC 中点为坐标原点，
则
，
设 ，则
，
则
，
当
时，取得最小值
.
故选：B.
点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．
则
，且
，
是异面直线 与 所成的角，
取 中点 ，连结
则
，
平面 ,
平面 ,
，
，
，
异面直线 与 所成的角为 ,故选 B . 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理 以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理 求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.
2019-2020学年广东省广州市高考数学一模试卷(文科)(有答案)
广东省广州市高考数学一模试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A={x|﹣1≤x ≤1}，B={x|x 2﹣2x ≤0}，则A∩B=（ ） A ．{x|﹣1≤x ≤2} B ．{x|﹣1≤x ≤0}C ．{x|1≤x ≤2}D ．{x|0≤x ≤1}2．已知复数z 满足z=（i 为虚数单位），则复数z 所对应的点所在象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知函数则f （f （﹣2））的值为（ ）A ．B ．C ．D ．4．设P 是△ABC 所在平面内的一点，且=2，则△PAB 与△PBC 的面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如果函数（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为（ ）A ．3B ．6C ．12D ．246．执行如图所示的程序框图，如果输入x=3，则输出k 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．127．在平面区域{（x ，y ）|0≤x ≤1，1≤y ≤2}内随机投入一点P ，则点P 的坐标（x ，y ）满足y ≤2x 的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．8．已知f （x ）=sin （x+），若sinα=（＜α＜π），则f （α+）=（ ）A ．B ．﹣C ．D ．9．如果P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2=4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1+x 2+…+x n =10，则|P 1F|+|P 2F|+…+|P n F|=（ ） A ．n+10 B ．n+20 C ．2n+10D ．2n+2010．一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A ．20π B ．C ．5πD ．11．已知下列四个命题：p 1：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α； p 2：若f （x ）=2x ﹣2﹣x ，则∀x ∈R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； p 3：若，则∃x 0∈（0，+∞），f （x 0）=1；p 4：在△ABC 中，若A ＞B ，则sinA ＞sinB ． 其中真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（ ）A ．8+8+4B ．8+8+2C ．2+2+D ． ++二．填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．函数f （x ）=x 3﹣3x 的极小值为 ．14．设实数x ，y 满足约束条件，则z=﹣2x+3y 的取值范围是 ．15．已知双曲线C ：（a ＞0，b ＞0）的左顶点为A ，右焦点为F ，点B （0，b ），且，则双曲线C 的离心率为 ． 16．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，，CD=5，BD=2AD ，则AD 的长为 ．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知数列{a n }是等比数列，a 2=4，a 3+2是a 2和a 4的等差中项． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =2log 2a n ﹣1，求数列{a n b n }的前n 项和T n ．18．从某企业生产的某中产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值．由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1． （Ⅰ）求这些产品质量指标落在区间[75，85]内的概率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[45，65）内的概率．19．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A1O⊥底面ABCD，AB=AA1=2．（Ⅰ）证明：BD⊥平面A1CO；（Ⅱ）若∠BAD=60°，求点C到平面OBB1的距离．20．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=me x﹣lnx﹣1．（Ⅰ）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当m≥1时，证明：f（x）＞1．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，△ABC内接于⊙O，直线AD与⊙O相切于点A，交BC的延长线于点D，过点D作DE∥CA交BA的延长线于点E．（I）求证：DE2=AE•BE；（Ⅱ）若直线EF与⊙O相切于点F，且EF=4，EA=2，求线段AC的长．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）在曲线C上求一点D，使它到直线l：，（t为参数，t∈R）的距离最短，并求出点D的直角坐标．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|．（I）当a=1时，求不等式f（x）≥的解集；（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，求实数b的取值范围．广东省广州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤2} B．{x|﹣1≤x≤0} C．{x|1≤x≤2} D．{x|0≤x≤1}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：B={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，则A∩B={x|0≤x≤1}，故选：D2．已知复数z满足z=（i为虚数单位），则复数z所对应的点所在象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数的几何意义，即可得到结论．【解答】解：z===，对应的坐标为（2，﹣1），位于第四象限，故选：D．3．已知函数则f（f（﹣2））的值为（）A．B．C．D．【考点】函数的值．【分析】利用分段函数的性质求解．【解答】解：∵函数，∴f（﹣2）=（﹣2）2﹣（﹣2）=6，f（f（﹣2））=f（6）==﹣．故选：C．4．设P是△ABC所在平面内的一点，且=2，则△PAB与△PBC的面积之比是（）A．B．C．D．【考点】向量数乘的运算及其几何意义．【分析】由=2可知P为AC上靠近A点的三等分点．【解答】解：∵=2，∴P为边AC靠近A点的三等分点，∴△PAB与△PBC的面积比为1：2．故选：B．5．如果函数（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为（）A．3 B．6 C．12 D．24【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】根据余弦函数的相邻两个零点之间的距离恰好等于半个周期，即可求得ω的值．【解答】解：函数（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，∴T=2×=，又=，解得ω=6．故选：B．6．执行如图所示的程序框图，如果输入x=3，则输出k的值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件x＞100，跳出循环体，确定输出k的值．【解答】解：模拟执行程序，可得x=3，k=0x=9，k=2不满足条件x＞100，x=21，k=4不满足条件x＞100，x=45，k=6不满足条件x＞100，x=93，k=8不满足条件x＞100，x=189，k=10满足条件x＞100，退出循环，输出k的值为10．故选：C．7．在平面区域{（x，y）|0≤x≤1，1≤y≤2}内随机投入一点P，则点P的坐标（x，y）满足y≤2x的概率为（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划；几何概型．【分析】作出不等式组对应的区域，利用几何概型的概率公式，即可得到结论．【解答】解：不等式组表示的平面区域为D的面积为1，不等式y≤2x对应的区域为三角形ABC，则三角形ABC的面积S==，则在区域D内任取一点P（x，y），则点P满足y≤2x的概率为，故选：A．8．已知f（x）=sin（x+），若sinα=（＜α＜π），则f（α+）=（）A．B．﹣C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据同角的三角函数的关系，以及两角和的正弦公式，即可求出．【解答】解：∵＜α＜π，sinα=，∴cosα=﹣∵f（x）=sin（x+），∴f （α+）=sin （α++）=sin （α+）=sinαcos +cos αsin =﹣（﹣）=，故选：C ．9．如果P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2=4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1+x 2+…+x n =10，则|P 1F|+|P 2F|+…+|P n F|=（ ） A ．n+10 B ．n+20 C ．2n+10 D ．2n+20【考点】抛物线的简单性质． 【分析】由抛物线性质得|P n F|==x n +1，由此能求出结果． 【解答】解：∵P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2=4x 上的点， 它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点， x 1+x 2+…+x n =10， ∴|P 1F|+|P 2F|+…+|P n F| =（x 1+1）+（x 2+1）+…+（x n +1） =x 1+x 2+…+x n +n =n+10． 故选：A ．10．一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A ．20π B ．C ．5πD ．【考点】球的体积和表面积．【分析】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，设正六棱柱的上下底面中心分别为O 1，O 2，球心为O ，一个顶点为A ，如右图．可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA ，再用球的体积公式即可得到外接球的体积．【解答】解：作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，如右图，则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边，设球心为O ，正六棱柱的上下底面中心分别为O 1，O 2，则球心O 是O 1，O 2的中点． ∵正六棱柱底面边长为1，侧棱长为1， ∴Rt △AO 1O 中，AO 1=1，O 1O=，可得AO==，因此，该球的体积为V=π•（）3=．故选：D ．11．已知下列四个命题：p1：若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；p2：若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）；p 3：若，则∃x∈（0，+∞），f（x）=1；p4：在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】p1：根据线面垂直的判断定理判定即可；p2：根据奇函数的定义判定即可；p3：对表达式变形可得=x+1+﹣1，利用均值定理判定即可；p4：根据三角形角边关系和正弦定理判定结论成立．【解答】解：p1：根据判断定理可知，若直线l和平面α内两条相交的直线垂直，则l⊥α，若没有相交，无数的平行直线也不能判断垂直，故错误；p2：根据奇函数的定义可知，f（﹣x）=2﹣x﹣2x=﹣f（x），故∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），故正确；p 3：若=x+1+﹣1≥1，且当x=0时，等号成立，故不存在x∈（0，+∞），f（x）=1，故错误；p4：在△ABC中，根据大边对大角可知，若A＞B，则a＞b，由正弦定理可知，sinA＞sinB，故正确．故选：B．12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A．8+8+4B．8+8+2C．2+2+D． ++【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥．作出直观图，计算各棱长求面积．【解答】解：由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥A﹣BCD．作出直观图如图所示：其中A，C，D为正方体的顶点，B为正方体棱的中点．∴S△ABC ==4，S△BCD==4．∵AC=4，AC⊥CD，∴S△ACD==8，由勾股定理得AB=BD==2，AD=4．∴cos∠ABD==﹣，∴sin∠ABD=．∴S△ABD==4．∴几何体的表面积为8+8+4．故选A．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．函数f（x）=x3﹣3x的极小值为﹣2 ．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】首先求导可得f′（x）=3x2﹣3，解3x2﹣3=0可得其根，再判断导函数的符号分析函数的单调性，即可得到极小值．【解答】解析：令f′（x）=3x2﹣3=0，得x=±1，可求得f（x）的极小值为f（1）=﹣2．故答案：﹣2．14．设实数x，y满足约束条件，则z=﹣2x+3y的取值范围是[﹣6，15] ．【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，化简z=﹣2x+3y为y=x+，从而结合图象求解．【解答】解：由题意作平面区域如下，化简z=﹣2x+3y为y=x+，故结合图象可知，在点B（3，0）处有最小值，在点C（﹣3，3）处有最大值，故﹣2×3+3×0≤z≤﹣2×（﹣3）+3×3，即z∈[﹣6，15]，故答案为：[﹣6，15]．15．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，点B（0，b），且，则双曲线C的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出A ，F 的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，结合a ，bc 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得A （﹣a ，0），F （c ，0），B （0，b ）， 可得=（﹣a ，﹣b ），=（c ，﹣b ），由，可得﹣ac+b 2=0，即有b 2=c 2﹣a 2=ac ， 由e=，可得e 2﹣e ﹣1=0， 解得e=（负的舍去）．故答案为：．16．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，，CD=5，BD=2AD ，则AD 的长为 5 ．【考点】三角形中的几何计算．【分析】根据题意画出图象，延长BC 、过A 做AE ⊥BC 、垂足为E ，根据平行线的性质和勾股定理依次求出AE 、CE 、BC 、BD ，由条件求出AD 的长．【解答】解：如图所示：延长BC ，过A 做AE ⊥BC ，垂足为E ， ∵CD ⊥BC ，∴CD ∥AE ， ∵CD=5，BD=2AD ，∴，解得AE=，在RT △ACE ，CE===，由得BC=2CE=5，在RT △BCD 中，BD===10，则AD=5， 故答案为：5．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知数列{a n }是等比数列，a 2=4，a 3+2是a 2和a 4的等差中项． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =2log 2a n ﹣1，求数列{a n b n }的前n 项和T n ． 【考点】数列递推式；等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）等比数列{a n }中，a 2=4，a 3+2是a 2和a 4的等差中项，有等比数列的首项和公比分别表示出已知条件，解方程组即可求得首项和公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果； （Ⅱ）把（1）中求得的结果代入b n =2log 2a n ﹣1，求出b n ，利用错位相减法求出T n ． 【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ， 因为a 2=4，所以a 3=4q ，．）因为a 3+2是a 2和a 4的等差中项，所以2（a 3+2）=a 2+a 4． 即2（4q+2）=4+4q 2，化简得q 2﹣2q=0． 因为公比q ≠0，所以q=2． 所以（n ∈N *）．（Ⅱ）因为，所以b n =2log 2a n ﹣1=2n ﹣1．所以．则，①， ，②，①﹣②得，．=，所以．18．从某企业生产的某中产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值．由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1． （Ⅰ）求这些产品质量指标落在区间[75，85]内的概率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[45，65）内的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（I）由题意，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之和，利用之比为4：2：1，即可求出这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；（2）由频率分布直方图得从[45，65）的产品数中抽取5件，记为A，B，C，D，E，从[65，75）的产品数中抽取1件，记为a，由此利用列举法求出概率．【解答】解：（I）由题意，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之和为1﹣0.04﹣0.12﹣0.19﹣0.3=0.35，∵质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1，∴这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为0.35×=0.05，（Ⅱ）由频率分布直方图得：这些产品质量指标值落在区间[55，65）内的频率为0.35×=0.2，这些产品质量指标值落在区间[65，75）内的频率为0.35×=0.1，这些产品质量指标值落在区间[45，55）内的频率为0.03×10=0.30，所以这些产品质量指标值落在区间[45，65）内的频率为0.3+0.2=0.5，∵=∴从[45，65）的产品数中抽取6×=5件，记为A，B，C，D，E，从[65，75）的产品数中抽取6×=1件，记为a，从中任取两件，所有可能的取法有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，a），（B，C），（B，D），（B，E），（B，a），（C，D），（D（C，E），（C，a），（D，E），（D，a），（E，a），共15种，这2件产品都在区间[45，65）内的取法有10种，∴从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[45，65）内的概率=．19．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A1O⊥底面ABCD，AB=AA1=2．（Ⅰ）证明：BD⊥平面A1CO；（Ⅱ）若∠BAD=60°，求点C到平面OBB1的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）证明A 1O ⊥BD ．CO ⊥BD ．即可证明BD ⊥平面A 1CO ．（Ⅱ）解法一：说明点B 1到平面ABCD 的距离等于点A 1到平面ABCD 的距离A 1O ．设点C 到平面OBB 1的距离为d ， 通过，求解点C 到平面OBB 1的距离．解法二：连接A 1C 1与B 1D 1交于点O 1，连接CO 1，OO 1，推出OA 1O 1C 为平行四边形．证明CH ⊥平面BB 1D 1D ，然后求解点C 到平面OBB 1的距离．【解答】（Ⅰ）证明：因为A 1O ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以A 1O ⊥BD ．…因为ABCD 是菱形，所以CO ⊥BD ．… 因为A 1O∩CO=O，A 1O ，CO ⊂平面A 1CO ， 所以BD ⊥平面A 1CO ．…（Ⅱ）解法一：因为底面ABCD 是菱形，AC∩BD=O，AB=AA 1=2，∠BAD=60°， 所以OB=OD=1，．…所以△OBC 的面积为．…因为A 1O ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ， 所以A 1O ⊥AO ，．…因为A 1B 1∥平面ABCD ，所以点B 1到平面ABCD 的距离等于点A 1到平面ABCD 的距离A 1O ．… 由（Ⅰ）得，BD ⊥平面A 1AC ． 因为A 1A ⊂平面A 1AC ，所以BD ⊥A 1A ． 因为A 1A ∥B 1B ，所以BD ⊥B 1B ．… 所以△OBB 1的面积为．…设点C 到平面OBB 1的距离为d ， 因为，所以．…所以．所以点C 到平面OBB 1的距离为．…解法二：由（Ⅰ）知BD ⊥平面A 1CO ， 因为BD ⊂平面BB 1D 1D ， 所以平面A 1CO ⊥平面BB 1D 1D ．… 连接A 1C 1与B 1D 1交于点O 1， 连接CO 1，OO 1，因为AA 1=CC 1，AA 1∥CC 1，所以CAA 1C 1为平行四边形． 又O ，O 1分别是AC ，A 1C 1的中点，所以OA 1O 1C 为平行四边形． 所以O 1C=OA 1=1．…因为平面OA 1O 1C 与平面BB 1D 1D 交线为OO 1， 过点C 作CH ⊥OO 1于H ，则CH ⊥平面BB 1D 1D ．… 因为O 1C ∥A 1O ，A 1O ⊥平面ABCD ，所以O 1C ⊥平面ABCD ．因为OC ⊂平面ABCD ，所以O •1C ⊥OC ，即△OCO 1为直角三角形．… 所以．所以点C 到平面OBB 1的距离为．…20．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为F 1（﹣2，0），点B （2，）在椭圆C 上，直线y=kx （k ≠0）与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在x 轴上是否存在点P ，使得无论非零实数k 怎样变化，总有∠MPN 为直角？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可设椭圆标准方程为+=1（a ＞b ＞0），结合已知及隐含条件列关于a ，b ，c 的方程组，求解方程组得到a 2，b 2的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设F（x0，y），E（﹣x，﹣y），写出AE、AF所在直线方程，求出M、N的坐标，得到以MN为直径的圆的方程，由圆的方程可知以MN为直径的圆经过定点（±2，0），即可判断存在点P．【解答】解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），则c=2，a2﹣b2=c2， +=1，解得：a2=8，b2=4．可得椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）如图，设F（x0，y），E（﹣x，﹣y），则+=1，A（﹣2，0），AF所在直线方程y=（x+2），取x=0，得y=，∴N（0，），AE所在直线方程为y=（x+2），取x=0，得y=．则以MN为直径的圆的圆心坐标为（0，），半径r=，圆的方程为x2+（y﹣）2==，即x2+（y+）2=．取y=0，得x=±2．可得以MN为直径的圆经过定点（±2，0）．可得在x轴上存在点P（±2，0），使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角．21．已知函数f（x）=me x﹣lnx﹣1．（Ⅰ）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当m≥1时，证明：f（x）＞1．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求得m=1时，f（x）的导数，可得切点坐标和切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线的方程；（Ⅱ）证法一：运用分析法证明，当m≥1时，f（x）=me x﹣lnx﹣1≥e x﹣lnx﹣1．要证明f（x）＞1，只需证明e x﹣lnx﹣2＞0，思路1：设g（x）=e x﹣lnx﹣2，求得导数，求得单调区间，可得最小值，证明大于0即可；思路2：先证明e x≥x+1（x∈R），设h（x）=e x﹣x﹣1，求得导数和单调区间，可得最小值大于0；证明x ﹣lnx﹣1≥0．设p（x）=x﹣lnx﹣1，求得导数和单调区间，可得最小值大于0，即可得证；思路3：先证明e x﹣lnx＞2．：因为曲线y=e x与曲线y=lnx的图象关于直线y=x对称，结合点到直线的距离公式，求得两曲线上的点的距离AB＞2，即可得证；证法二：因为f（x）=me x﹣lnx﹣1，要证明f（x）＞1，只需证明me x﹣lnx﹣2＞0．思路1：设g（x）=me x﹣lnx﹣2，求得导数和单调区间，求得最小值，证明大于0，即可得证；思路2：先证明e x≥x+1（x∈R），且lnx≤x+1（x＞0）．设F（x）=e x﹣x﹣1，求得导数和单调区间，可得最小值大于0，再证明me x﹣lnx﹣2＞0，运用不等式的性质，即可得证．【解答】（Ⅰ）解：当m=1时，f（x）=e x﹣lnx﹣1，所以．…所以f（1）=e﹣1，f'（1）=e﹣1．…所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（e﹣1）=（e﹣1）（x﹣1）．即y=（e﹣1）x．…（Ⅱ）证法一：当m≥1时，f（x）=me x﹣lnx﹣1≥e x﹣lnx﹣1．要证明f（x）＞1，只需证明e x﹣lnx﹣2＞0．…以下给出三种思路证明e x﹣lnx﹣2＞0．思路1：设g（x）=e x﹣lnx﹣2，则．设，则，所以函数h （x ）=在（0，+∞）上单调递增．…因为，g'（1）=e ﹣1＞0，所以函数在（0，+∞）上有唯一零点x 0，且．…因为g'（x 0）=0时，所以，即lnx 0=﹣x 0．…当x ∈（0，x 0）时，g'（x ）＜0；当x ∈（x 0，+∞）时，g'（x ）＞0． 所以当x=x 0时，g （x ）取得最小值g （x 0）．… 故．综上可知，当m ≥1时，f （x ）＞1．… 思路2：先证明e x ≥x+1（x ∈R ）．… 设h （x ）=e x ﹣x ﹣1，则h'（x ）=e x ﹣1．因为当x ＜0时，h'（x ）＜0，当x ＞0时，h'（x ）＞0，所以当x ＜0时，函数h （x ）单调递减，当x ＞0时，函数h （x ）单调递增． 所以h （x ）≥h （0）=0．所以e x ≥x+1（当且仅当x=0时取等号）．… 所以要证明e x ﹣lnx ﹣2＞0， 只需证明（x+1）﹣lnx ﹣2＞0．… 下面证明x ﹣lnx ﹣1≥0． 设p （x ）=x ﹣lnx ﹣1，则．当0＜x ＜1时，p'（x ）＜0，当x ＞1时，p'（x ）＞0，所以当0＜x ＜1时，函数p （x ）单调递减，当x ＞1时，函数p （x ）单调递增． 所以p （x ）≥p （1）=0．所以x ﹣lnx ﹣1≥0（当且仅当x=1时取等号）．… 由于取等号的条件不同， 所以e x ﹣lnx ﹣2＞0．综上可知，当m ≥1时，f （x ）＞1．…（若考生先放缩lnx ，或e x 、lnx 同时放缩，请参考此思路给分！） 思路3：先证明e x ﹣lnx ＞2．因为曲线y=e x 与曲线y=lnx 的图象关于直线y=x 对称，设直线x=t （t ＞0）与曲线y=e x ，y=lnx 分别交于点A ，B ， 点A ，B 到直线y=x 的距离分别为d 1，d 2， 则．其中，（t ＞0）．①设h （t ）=e t ﹣t （t ＞0），则h'（t ）=e t ﹣1． 因为t ＞0，所以h'（t ）=e t ﹣1＞0．所以h （t ）在（0，+∞）上单调递增，则h （t ）＞h （0）=1． 所以．②设g （t ）=t ﹣lnt （t ＞0），则．因为当0＜t ＜1时，g'（t ）＜0；当t ＞1时，g'（t ）＞0，所以当0＜t ＜1时，g （t ）=t ﹣lnt 单调递减；当t ＞1时，g （t ）=t ﹣lnt 单调递增． 所以g （t ）≥g （1）=1． 所以．所以．综上可知，当m ≥1时，f （x ）＞1．… 证法二：因为f （x ）=me x ﹣lnx ﹣1，要证明f （x ）＞1，只需证明me x ﹣lnx ﹣2＞0．… 以下给出两种思路证明me x ﹣lnx ﹣2＞0． 思路1：设g （x ）=me x ﹣lnx ﹣2，则．设，则．所以函数h （x ）=在（0，+∞）上单调递增．…因为，g'（1）=me ﹣1＞0，所以函数在（0，+∞）上有唯一零点x 0，且．…因为g'（x 0）=0，所以，即lnx 0=﹣x 0﹣lnm ．…当x ∈（0，x 0）时，g'（x ）＜0；当x ∈（x 0，+∞）时，g'（x ）＞0． 所以当x=x 0时，g （x ）取得最小值g （x 0）．…故．综上可知，当m≥1时，f（x）＞1．…思路2：先证明e x≥x+1（x∈R），且lnx≤x+1（x＞0）．…设F（x）=e x﹣x﹣1，则F'（x）=e x﹣1．因为当x＜0时，F'（x）＜0；当x＞0时，F'（x）＞0，所以F（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．所以当x=0时，F（x）取得最小值F（0）=0．所以F（x）≥F（0）=0，即e x≥x+1（当且仅当x=0时取等号）．…由e x≥x+1（x∈R），得e x﹣1≥x（当且仅当x=1时取等号）．…所以lnx≤x﹣1（x＞0）（当且仅当x=1时取等号）．…再证明me x﹣lnx﹣2＞0．因为x＞0，m≥1，且e x≥x+1与lnx≤x﹣1不同时取等号，所以me x﹣lnx﹣2＞m（x+1）﹣（x﹣1）﹣2=（m﹣1）（x+1）≥0．综上可知，当m≥1时，f（x）＞1．…请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，△ABC内接于⊙O，直线AD与⊙O相切于点A，交BC的延长线于点D，过点D作DE∥CA交BA的延长线于点E．（I）求证：DE2=AE•BE；（Ⅱ）若直线EF与⊙O相切于点F，且EF=4，EA=2，求线段AC的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）推导出△AED∽△DEB，由此能证明DE2=AE•BE．（Ⅱ）由切割线定理得EF2=EA•EB，由DE∥CA，得△BAC∽△BED，由此能求出AC．【解答】证明：（Ⅰ）∵AD是⊙O的切线，∴∠DAC=∠B，∵DE∥CA，∴∠DAC=∠EDA，∴∠EDA=∠B，∵∠AED=∠DEB，∴△AED∽△DEB，∴，∴DE2=AE•BE．解：（Ⅱ）∵EF是⊙O的切线，EAB是⊙O割线，∴EF2=EA•EB，∵EF=4，EA=2，∴EB=8，AB=EB﹣EA=6，由（Ⅰ）知DE2=AE•BE，∴DE=4，∵DE∥CA，∴△BAC∽△BED，∴，∴AC==．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）在曲线C上求一点D，使它到直线l：，（t为参数，t∈R）的距离最短，并求出点D的直角坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）利用可把圆C的极坐标方程化为普通方程．（II）消去参数把直线l的参数方程化为普通方程，求出圆心C到直线l的距离d，得出直线与圆的位置关系即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π），即ρ2=2ρsinθ，化为x2+y2﹣2y=0，配方为x2+（y﹣1）2=1．（2）曲线C的圆心C（0，1），半径r=1．直线l：，（t为参数，t∈R）化为普通方程：﹣y﹣1=0，可得圆心C到直线l的距离d==1=0，∴直线l与圆C相切，其切点即为所求．联立，解得D．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|．（I）当a=1时，求不等式f（x）≥的解集；（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，求实数b的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（I）当a=1时，利用绝对值的意义求得不等式的解集．（Ⅱ）由题意可得b大于f（x）的最大值．再根据绝对值的意义可得f（x）的最大值为1，可得实数b的范围．【解答】解：（I）当a=1时，不等式f（x）≥，即|x+1|﹣|x|≥，即数轴上的x对应点到﹣1对应点的距离减去它到原点的距离大于，而﹣0.25对应点到﹣1对应点的距离减去它到原点的距离正好等于，故|x+1|﹣|x|≥的解集为{x|x≥﹣0.25}．（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，则b大于f（x）的最大值．而由绝对值的意义可得f（x）的最大值为1，故实数b＞1．。
2019年广东省高考数学一模试卷(文科)(解析版)
2019年广东省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣1＜2}，B＝{x|1＜2x＜16}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，8）B．（﹣∞，3）C．（0，8）D．（0，3）2．（5分）复数z＝（i为虚数单位）的虚部为（）A．B．C．D．3．（5分）双曲线9x2﹣16y2＝1的焦点坐标为（）A．（±，0）B．（0，）C．（±5，0）D．（0，±5）4．（5分）若sin（）＝，则cos2α＝（）A．B．C．D．5．（5分）已知函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，且当x∈[﹣2，1]时，f（x）＝x2﹣2x﹣4，则关于x的不等式f（x）＜﹣1的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，+∞）6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3πB．4πC．6πD．8π7．（5分）执行如图的程序框图，依次输入x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23，则输出的S值及其统计意义分别是（）A．S＝4，即5个数据的方差为4B．S＝4，即5个数据的标准差为4C．S＝20，即5个数据的方差为20D．S＝20，即5个数据的标准差为208．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知cos C+cos A＝1，则cos B 的取值范围为（）A．（）B．[）C．（，1）D．[，1）9．（5分）已知A，B，C三点不共线，且点O满足16﹣12﹣3＝，则（）A．＝12+3B．＝12﹣3C．＝﹣12+3D．＝﹣12﹣310．（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足＝＝≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为（）A．B．﹣2C．D．11．（5分）已知F为抛物线C：x2＝4y的焦点，直线y＝x+1与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，则S△OAB＝（）A．B．C．D．212．（5分）函数f（x）＝（kx﹣2）lnx，g（x）＝2lnx﹣x，若f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则k的取值范围为（）A．[1﹣，﹣）B．（1﹣，﹣]C．[﹣，2﹣）D．（﹣，2﹣]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（2））＝．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为．15．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，AP，AB，AC两两垂直，且AP＝AB＝AC＝，则三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为．16．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0），点P，Q，R是直线y＝m（m＞0）与函数f（x）的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ|＝|QR|＝，则ω+m＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，S n＝1﹣a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a n，求数列{}的前n项和T n．18．（12分）在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4，AC ＝2，∠EAD＝30°．（1）证明：AB⊥平面ADE；（2）求该五面体的体积．19．（12分）某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x 与乘客等候人数y 之间的关系，经过调查得到如下数据：调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数y 的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”． （1）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率； （2）若选取的是后面4组数据，求y 关于x 的线性回归方程＝x +，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟．附：对于一组数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），……，（x n ，y n ），其回归直线＝x +的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝＝，＝．20．（12分）已知点（1，），（）都在椭圆C ：＝1（a ＞b ＞0）上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M （0，1）的直线l 与椭圆C 交于不同两点P ，Q （异于顶点），记椭圆与y 轴的两个交点分别为A 1，A 2，若直线A 1P 与A 2Q 交于点S ，证明：点S 恒在直线y ＝4上． 21．（12分）已知函数f （x ）＝e x﹣2ax （a ∈R ）（1）若曲线y＝f（x）在x＝0处的切线与直线x+2y﹣2＝0垂直，求该切线方程；（2）当a＞0时，证明f（x）≥﹣4a2+4a(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（θ为参数）已知点Q（4，0），点P是曲线∁l上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹C2的极坐标方程；（2）已知直线l：y＝kx与曲线C2交于A，B两点，若＝3，求k的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+2|x﹣1|（a＞0）．（1）求f（x）的最小值；（2）若不等式f（x）﹣5＜0的解集为（m，n），且n﹣m＝，求a的值．2019年广东省高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵集合A＝{x|x﹣1＜2}＝（﹣∞，3），B＝{x|1＜2x＜16}＝（0，4）∴A∩B＝（0，3）．故选：D．2．【解答】解：∵z＝＝，∴z＝的虚部为．故选：B．3．【解答】解：双曲线9x2﹣16y2＝1的标准方程为：，可得a＝，b＝，c＝＝，所以双曲线的焦点坐标为（0，±）．故选：B．4．【解答】解：sin（）＝﹣cosα＝，则cos2α＝2cos2α﹣1＝﹣，故选：B．5．【解答】解：∵x∈[﹣2，1]时，f（x）＝x2﹣2x﹣4；∴f（﹣1）＝﹣1；∵f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；∴由f（x）＜﹣1得，f（x）＜f（﹣1）；∴x＞﹣1；∴不等式f（x）＜﹣1的解集为（﹣1，+∞）．故选：D．6．【解答】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，∴组合体的体积是：＝3π，故选：A．7．【解答】解：根据程序框图，输出的S是x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23这5个数据的方差，∵＝（17+19+20+21+23）＝20，∴由方差的公式S＝[（17﹣20）2+（19﹣20）2+（20﹣20）2+（21﹣20）2+（23﹣20）2]＝4．故选：A．8．【解答】解：∵cos C+cos A＝1，∴由余弦定理可得：•+•＝1，化简可得：b2＝ac，由余弦定理可得；cos B＝＝≥＝，∴≤cos B＜1，即：cos B∈[，1）．故选：D．9．【解答】解：由题意，可知：对于A：＝＝，整理上式，可得：16﹣12﹣3＝，这与题干中条件相符合，故选：A．10．【解答】解：设BC＝a，由点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，所以BQ＝，CP＝，所以PQ＝BQ+CP﹣BC＝（）a，S△APQ：S△ABC＝PQ：BC＝（﹣2）a：a＝﹣2，由几何概型中的面积型可得：在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为＝，故选：B．11．【解答】解：抛物线C：x2＝4y的焦点（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由，整理得：x2﹣2x﹣4＝0，由韦达定理可知：x1+x2＝2，y1+y2＝3由抛物线的性质可知：|AB|＝p+y1+y2＝2+3＝5，点O到直线y＝x+1的距离d，d＝．∴则△OAB的面积S，S＝•|AB|•d＝．故选：C．12．【解答】解：当x＞1时，lnx＞0，由f（x）＜g（x）得（kx﹣2）lnx＜2lnx﹣x，即kx﹣2＜2﹣，即kx＜4﹣，设h（x）＝4﹣，则h′（x）＝﹣＝﹣，由h′（x）＞0得﹣（lnx﹣1）＞0得lnx＜1，得1＜x＜e，此时h（x）为增函数，由h′（x）＜0得﹣（lnx﹣1）＜0得lnx＞1，得x＞e，此时h（x）为减函数，即当x＝e时，h（x）取得极大值h（e）＝4﹣＝4﹣e，作出函数h（x）的图象，如图，当x→1时，h（x）→﹣∞，h（3）＝4﹣，h（4）＝4﹣＝4﹣，即A（3，4﹣），B（4，4﹣），当直线y＝kx过A，B点时对应的斜率k A＝＝﹣，k B＝＝1﹣，要使f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则对应的整数为x＝2，和x＝3，即直线y＝kx的斜率k满足k B＜k≤k B，即1﹣＜k≤﹣，即实数k的取值范围是（1﹣，﹣]，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．【解答】解：f（2）＝ln2，∴f（f（2））＝f（ln2）＝e ln2＝2．故答案为：2．14．【解答】解：画出x，y满足约束条件表示的平面区域，如图所示，由，解得点A（3，1），结合图形知，直线2x+y﹣z＝0过点A时，z＝2x+y取得最大值为2×3+1＝7．故答案为：7．15．【解答】解：如图，由AP，AB，AC两两垂直，且AP＝AB＝AC＝，得，∴，设三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为r，利用等体积可得：，解得r＝．∴三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为S＝．故答案为：．16．【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0），由2|PQ|＝|QR|＝，解得|PQ|＝，∴T＝|PQ|+|QR|＝π，∴ω＝＝2，设P（x0，m），则Q（﹣x0，m），R（T+x0，m），∴|PQ|＝﹣2x0，|QR|＝+2x0，∴2（﹣2x0）＝+2x0，解得x0＝＝，∴m＝sin（2×）+＝+＝1，∴ω+m＝2+1＝3．故答案为：3．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，S n＝1﹣a n（n∈N*）①．当n＝1时，解得：，当n≥2时，S n﹣1＝1﹣a n﹣1．②①﹣②得：2a n＝a n﹣1，所以：（常数），故：数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列．则：（首项符合通项），所以：．（2）由于：，则：b n＝log2a n＝﹣n．所以：b n+1＝﹣（n+1），则：，故：＝．18．【解答】解：（1）证明：因为AD＝2，DC＝4，AC＝2，所以AD2+DC2＝AC2，所以AD⊥CD，又四边形CDEF为矩形，所以CD⊥DE，所以CD⊥面ADE，所以EF⊥面ADE，由线面平行的性质定理得：AB∥EF，所以AB⊥面ADE（2）几何体补形为三棱柱，DE＝2，AD＝2，AB＝2，∠EAD＝30°．可得E到底面ABCD 的距离为：2sin60°＝，该五面体的体积为棱柱的体积减去三棱锥F﹣BCH的体积，可得＝4＝．19．【解答】解：（1）设“从这6组数据中随机选取4组数据后，剩下的2组数据不相邻”为事件A，记这六组数据分别为1，2，3，4，5，6，剩下的两组数据的基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，其中相邻的有12，23，34，45，56，共5种，所以．（2）后面4组数据是：因为，，所以，，所以．当x＝10时，，当x＝11时，，所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”．（3）由1.4x+9.6≤35，得，故间隔时间最多可设置为18分钟．20．【解答】解：（1）由题意可得，解得a2＝4，b2＝2，故椭圆C的方程为+＝1．证明：（2）易知直线l的斜率存在且不为0，设过点M（0，1）的直线l方程为y＝kx+1，（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消y可得（k2+2）x2+2kx﹣3＝0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，∵A1（0，2），A2（0，﹣2），∴直线A1P的方程为y＝x+2＝•x+2＝（k﹣）x+2，则直线A2Q的方程为y＝x﹣2＝（k+）﹣2，由，消x可得＝，整理可得y＝＝＝+4＝+4＝4，直线A1P与A2Q交于点S，则点S恒在直线y＝4上21．【解答】（1）解：f′（x）＝e x﹣2a，f′（0）＝1﹣2a＝2，解得：a＝﹣，∴f（x）＝e x+x，则f（0）＝1．∴切线方程为y＝2x+1；（2）证明：f′（x）＝e x﹣2a，由f′（x）＝e x﹣2a＝0，解得x＝ln2a．∴当x∈（﹣∞，ln2a）时，f′（x）＜0，当x∈（ln2a，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（﹣∞，ln2a）上单调递减，在（ln2a，+∞）上单调递增．∴f（x）min＝f（ln2a）＝e ln2a﹣2aln2a＝2a﹣2aln2a．令g（a）＝2a﹣2aln2a+4a2﹣4a＝2a2﹣2a﹣2aln2a（a＞0）．要证g（a）≥0，即证a﹣1﹣ln2a≥0，令h（a）＝a﹣1﹣ln2a，则h′（a）＝1﹣＝，当a∈（0，1）时，h′（a）＜0，当a∈（1，+∞）时，h′（a）＞0，∴h（a）≥h（1）＝0，即a﹣1﹣ln2a≥0．∴f（x）≥﹣4a2+4a．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22．【解答】解：（1）消去θ得曲线C1的普通方程为：x2+y2＝4，设M（x，y）则P（2x﹣4，2y）在曲线C1上，所以（2x﹣4）2+（2y）2＝4，即（x﹣2）2+y2＝1，即x2+y2﹣4x+3＝0，C2轨迹的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．（2）如图：取AB的中点M，连CM，CA，在直角三角形CMA中，CM2＝CA2﹣（AB）2＝1﹣AB2，①在直角三角形CMO中，CM2＝OC2﹣OM2＝4﹣（AB）2＝4﹣AB2，②由①②得AB＝，∴OM＝，CM＝，k＝＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）f（x）＝，∴x＝1时，f（x）的最小值为a+1．（2）如图所示：当a+1＜5＜2a+2即＜a＜4时，f（x）﹣5＜0的解集为（a﹣3，﹣），∴﹣﹣a+3＝﹣＝，∴a＝3符合，当2a+2≤5即0＜a≤时，f（x）的解集为（﹣﹣1，﹣），∴﹣++1＝≠．综上可得a＝3．。
2019年广东省广州市天河区高考数学一模试卷(文科)含答案
2019年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合M＝{x||x|＜3}，N＝{x|1og3x＜1}，则M∩N等于（）A．?B．{x|0＜x＜3}C．{x|x＜3}D．{x|﹣3＜x＜3} 2．（5分）已知i为虚部单位，若（1+i）z＝1﹣i，则（）A．i B．﹣i C．1+i D．1﹣i3．（5分）若cos（α），且α∈（，π），则sin（π﹣2α）＝（）A．B．C．D．4．（5分）已知抛物线C：y 2＝8x的焦点为F，直线y（x﹣2）与C交于A，B（A在x轴上方）两点，若m，则实数m的值为（）A．B．3C．2D．5．（5分）下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；②某校高三一级部和二级部的人数分别是m，n，本次期末考试两级部数学平均分分别是a，b，则这两个级部的数学平均分为；③某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查，现将800名学生从001到800进行编号，已知从497﹣512这16个数中取得的学生编号是503，则初始在第1小组001﹣016中随机抽到的学生编号是007．其中命题正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．（5分）正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与CD所成的角为（）A．B．C．D．7．（5分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）＞，＞，＜的部分图象如图所示，若，∈，，且f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）＝（）8．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则?（）的最小值是（）A．﹣2B．C．D．﹣19．（5分）设函数f（x）＝xcosx﹣sinx的图象上的点（x0，y0）处的切线的斜率为k，若k＝g（x0），则函数g（x）的大致图象为（）A．B．C．D．10．（5分）已知F1、F2分别是双曲线C：1的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．3D．11．（5分）数列{a n}满足a1＝1，对任意n∈N*的都有a n+1＝1+a n+n，则（）12．（5分）设f （x ）是定义在R 上的函数，其导函数为f'（x ），若f （x ）+f'（x ）＞1，f （0）＝2018，则不等式e xf （x ）＞e x+2017（其中e 为自然对数的底数）的解集为（）A ．（﹣∞，0）∪（0，+∞）B ．（﹣∞，0）∪（2017，+∞）C ．（2017，+∞）D ．（0，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．（5分）已知函数f （x ）＞，则不等式f （f （1））＝．14．（5分）已知实数x ，y 满足＞，则的取值范围为．15．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为．16．（5分）在△ABC 中，已知c ＝2，若sin 2A+sin 2B ﹣sin Asin B ＝sin 2C ，则a+b 的取值范围．三、解答题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2+2n ，等比数列{b n }满足b 2＝a 1，b 3＝a 4．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）求数列{a n b n }的前n 项和T n ．18．（12分）如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，，D ，E 分别是BC ，CC 1的中点．（1）证明：平面ADB 1⊥平面ADE ；（2）求三棱锥D ﹣AB 1E 的高．19．（12分）某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表．百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级A B C D规定：A，B，C三级为合格等级，D为不合格等级为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60）[60，70），[70，80），[80，90）[90，00]的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示（1）求n和频率分布直方图中的x，y的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；（2）根据频率分布直方图，求成绩的中位数（精确到0.1）；（3）在选取的样本中，从A，D两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是A等级的概率．20．（12分）已知椭圆C：＞＞的离心率为，右焦点F2到直线l1：3x+4y＝0的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点F2斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于E、F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′，求证：k?k′为定值．21．（12分）设函数f（x）alnx．a∈R．（1）求函数y＝f（x）的单调区间和极值．（2）若函数f（x）在区间（1，e2]内恰有两个零点，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ＝2sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（1，），求|P A|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+1|+2．（1）求不等式f（x）≥6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，求实数a的取值范围．2019年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合M＝{x||x|＜3}，N＝{x|1og3x＜1}，则M∩N等于（）A．?B．{x|0＜x＜3}C．{x|x＜3}D．{x|﹣3＜x＜3}【解答】解：集合M＝{x||x|＜3}＝{x|﹣3＜x＜3}，N＝{x|1og3x＜1}＝{x|0＜x＜3}，则M∩N＝{x|0＜x＜3}．故选：B．2．（5分）已知i为虚部单位，若（1+i）z＝1﹣i，则（）A．i B．﹣i C．1+i D．1﹣i【解答】解：若（1+i）z＝1﹣i，则z i，则i，故选：A．3．（5分）若cos（α），且α∈（，π），则sin（π﹣2α）＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵cos（α）＝﹣sinα ，且α∈（，π），即sinα ，∴cosα ，则sin（π﹣2α）＝sin2α＝2sinαcosα ，故选：D．4．（5分）已知抛物线C：y 2＝8x的焦点为F，直线y（x﹣2）与C交于A，B（A在x轴上方）两点，若m，则实数m的值为（）A．B．3C．2D．【解答】解：设A、B在l上的射影分别是A1、B1，过B作BM⊥AA1于M．由抛物线的定义可得出Rt△ABM中，得∠BAM＝60°，cos60°，解得m＝3．故选：B．5．（5分）下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；②某校高三一级部和二级部的人数分别是m，n，本次期末考试两级部数学平均分分别是a，b，则这两个级部的数学平均分为；③某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查，现将800名学生从001到800进行编号，已知从497﹣512这16个数中取得的学生编号是503，则初始在第1小组001﹣016中随机抽到的学生编号是007．其中命题正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；正确②某校高三一级部和二级部的人数分别是m、n，本次期末考试两级部数学平均分分别是a、b，则这两个级部的数学平均分为；故②错误③某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查，则样本间隔为800÷50＝16，已知从497﹣﹣512这16个数中取得的学生编号是503，则设在初始在第1小组00l～016中随机抽到的学生编号是x．则503＝16×31+x，得x＝7，∴在第1小组1～l6中随机抽到的学生编号是007号，故③正确，故正确的是①③，故选：C．6．（5分）正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与CD所成的角为（）A．B．C．D．【解答】解：取BD中点O，连结EO、FO，设正四面体的棱长为a，则OF∥CD，OE∥AB，且OF＝OE，∴∠EFO是异面直线EF与CD所成的角，取CD中点G，连结BG、AG，则AG⊥CD，BG⊥CD，∵BG∩AG＝G，∴CD⊥平面ABG，∵AB?平面ABG，∴CD⊥AB，∴OF⊥OE，∴∠EFO．∴异面直线EF与CD所成的角为．故选：B．7．（5分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）＞，＞，＜的部分图象如图所示，若，∈，，且f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）＝（）A．1B．C．D．【解答】解：由图象可得A＝1，，解得ω＝2，∴f（x）＝sin（2x+φ），代入点（，0）可得sin（φ）＝0∴φ＝kπ，∴φ＝kπ ，k∈Z又|φ|＜，∴φ ，∴f（x）＝sin（2x），∴sin（2）＝1，即图中点的坐标为（，1），又，∈，，且f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），∴x1+x22，∴f（x1+x2）＝sin（2），故选：D．8．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则?（）的最小值是（）A．﹣2B．C．D．﹣1【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则（﹣x，y），（﹣1﹣x，﹣y），（1﹣x，﹣y），则?（）＝2x2﹣2y+2y2＝2[x2+（y）2]∴当x＝0，y时，取得最小值2×（），故选：B．9．（5分）设函数f（x）＝xcosx﹣sinx的图象上的点（x0，y0）处的切线的斜率为k，若k＝g（x0），则函数g（x）的大致图象为（）A．B．C．D．【解答】解：函数y＝xcosx﹣sinx，可得y′＝﹣xsinx，在点（x0，y0）处的切线的斜率为k，若k＝g（x0）＝﹣x0sinx0，函数k是偶函数，排除A，D，当x0时，k＜0，显然C不正确，B正确；故选：B．10．（5分）已知F1、F2分别是双曲线C：1的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．3D．【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），一条渐近线方程为，则F2到渐近线的距离为b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|＝2b，A为F2M的中点又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2＝c2+4b2∴3c2＝4（c2﹣a2），∴c2＝4a2，∴c＝2a，∴e＝2．故选：A．11．（5分）数列{a n}满足a1＝1，对任意n∈N*的都有a n+1＝1+a n+n，则（）A．B．2C．D．【解答】解：根据题意，数列{a n}满足对任意n∈N*的都有a n+1＝1+a n+n，则a n+1﹣a n＝n+1，则a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+......+（a2﹣a1）+a1＝n+（n﹣1）+ (1)则；则2[（1）+（）+……+（）]＝2（1）；故选：C．12．（5分）设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f'（x），若f（x）+f'（x）＞1，f（0）＝2018，则不等式e x f（x）＞e x+2017（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（﹣∞，0）∪（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2017，+∞）C．（2017，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：令g（x）＝e x f（x）﹣e x，则g′（x）＝e x f（x）+e x f′（x）﹣e x＝e x（f（x）+f′（x）﹣1），∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，g（x）在R上为单调递增函数，∵g（0）＝f（0）﹣1＝2018﹣1＝2017∴原不等式可化为g（x）＞g（0），根据g（x）的单调性得x＞0故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．（5分）已知函数f（x）＞，则不等式f（f（1））＝16．【解答】解：根据题意，函数f（x）＞，则f（1）＝1﹣6+9＝4，则f（f（1））＝24＝16；故f（f（1））＝16；故答案为：16．14．（5分）已知实数x，y满足＞，则的取值范围为（，]．【解答】解：实数x，y满足＞，表示一个三角形区域（包含边界），三角形的三个顶点的坐标分别为A（，1），B（3，1），C（，），的几何意义是点（x，y）与P（﹣2，0）连线的斜率，由于PC的斜率为，PB的斜率为：．所以则的取值范围为：（，]．故答案为：（，]．15．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱锥，且几何体的后侧面SAC与底面垂直，高SO为，如图：其中OA＝OB＝OC＝1，SO⊥平面ABC，其外接球的球心在SO上，设球心为M，OM＝x，则x?x，∴外接球的半径R，∴几何体的外接球的表面积S＝4π ．故答案为：16．（5分）在△ABC中，已知c＝2，若sin 2A+sin2B﹣sinAsinB＝sin2C，则a+b的取值范围（2，4]．【解答】解：∵sin2A+sin2B﹣sinAsinB＝sin2C，由余弦定理可得：a2+b2﹣ab＝c2，可得cosC，C∈（0，π），∴C．由正弦定理可得：，∴a sinA，b sinB，B A．则a+b sinA sinB sin A sin（A）＝4sin，A∈，，∴∈ ，，∴sin∈ ，，∴a+b∈（2，4]．故答案为：（2，4]．三、解答题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝n 2+2n，等比数列{b n}满足b2＝a1，b3＝a4．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）S n＝n2+2n，可得a1＝S1＝3；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+2n﹣（n﹣1）2﹣2（n﹣1）＝2n+1；上式对n＝1也成立，可得a n＝2n+1，n∈N*，等比数列{b n}的公比设为q，b2＝a1＝3，b3＝a4＝9，可得q3，则b n＝3n﹣1；（2）a n b n＝（2n+1）?3n﹣1，可得前n项和T n＝3?30+5?31+…+（2n+1）?3n﹣1，3T n＝3?3+5?32+…+（2n+1）?3n，两式相减可得﹣2T n＝3+2（31+32+…+3n﹣1）﹣（2n+1）?3n＝3+2?（2n+1）?3n，化简可得T n＝n?3n．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，，D，E分别是BC，CC1的中点．（1）证明：平面ADB1⊥平面ADE；（2）求三棱锥D﹣AB1E的高．【解答】解：（1）由已知得：所以Rt△B1BD∽Rt△DCE所以∠BB1D＝∠CDE，所以B1D⊥DE又因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC所以AD⊥平面BCC1B1，所以AD⊥B1D而AD∩DE＝D，所以B1D⊥平面ADE又B1D?平面ADB1，所以平面ADB1⊥平面ADE；（2）设三棱锥D﹣AB1E的高为h，因为，，所以，由，，，得：∠，所以∠，所以，由，得：，所以h＝1．19．（12分）某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表．百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级A B C D规定：A，B，C三级为合格等级，D为不合格等级为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60）[60，70），[70，80），[80，90）[90，00]的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示（1）求n和频率分布直方图中的x，y的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；（2）根据频率分布直方图，求成绩的中位数（精确到0.1）；（3）在选取的样本中，从A，D两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是A等级的概率．【解答】解：（1）由题意知，样本容量n50，x0.004，y0.018；因为成绩是合格等级人数为：（1﹣0.1）×50＝45人，抽取的50人中成绩是合格等级的概率为P，即估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率为；（2）根据频率分布直方图，计算成绩的中位数为7010＝73.9；（3）由茎叶图知，A等级的学生有3人，D等级的学生有0.1×50＝5人，记A等级的学生为A、B、C，D等级的学生为d、e、f、g、h，从这8人中随机抽取2人，基本事件是：AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、Cd、Ce、Cf、Cg、Ch、de、df、dg、dh、ef、eg、eh、fg、fh、gh共28个；至少有一名是A等级的基本事件是：概率．AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、Cd、Ce、Cf、Cg、Ch共18个；故所求的概率为P．20．（12分）已知椭圆C：＞＞的离心率为，右焦点F2到直线l1：3x+4y＝0的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点F2斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于E、F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′，求证：k?k′为定值．【解答】（Ⅰ）解：由题意得，，∴c＝1，a＝2，∴所求椭圆方程为；（Ⅱ）设过点F2（1，0）的直线l方程为：y＝k（x﹣1），再设点E（x1，y1），点F（x2，y2），将直线l方程y＝k（x﹣1）代入椭圆：，整理得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．∵点P在椭圆内，∴直线l和椭圆都相交，△＞0恒成立，且，直线AE的方程为：，直线AF的方程为：．令x＝3，得点，，，，∴点P的坐标，，直线PF2的斜率为′，将，代入上式，得：′∴k?k'为定值．21．（12分）设函数f（x）alnx．a∈R．（1）求函数y＝f（x）的单调区间和极值．（2）若函数f（x）在区间（1，e2]内恰有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）alnx，得f′（x）＝x（x＞0），①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，函数无极大值，也无极小值；②当a＞0时，由f′（x）＝0，得x或x（舍去）．于是，当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：x（0，）（，+∞）f′（x）﹣0+f（x）递减递增所以函数f（x）的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，+∞）．函数f（x）在x处取得极小值f（），无极大值．综上可知，当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），函数既无极大值也无极小值；当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间是（0，），单调递增区间为（，+∞），函数f（x）有极小值，无极大值．（2）当a≤0时，由（1）知函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，故函数f（x）在区间（1，e2]上至多有一个零点，不合题意．当a＞0时，由（1）知，当x∈（0，）时，函数f（x）单调递减；当x∈（，+∞）时，函数f（x）单调递增，所以函数f（x）在（0，+∞）上的最小值为f（）．若函数f（x）在区间（1，e2]内恰有两个零点，则需满足＜＜＜＞，即＜＜＜＞整理得＜＜＞，所以e＜a．故所求a的取值范围为（e，]．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ＝2sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（1，），求|P A|+|PB|的值．【解答】解：（1）∵圆C的方程为ρ＝2sinθ，即，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2＝2y，即x2+（y）2＝5．（2）将直线l的参数方程为（t为参数）代入5，得：（1t）2+（t）2＝5，即，∵△＝2+16＞0，∴设t1，t2是上述方程的根，则t1+t2，t1t2＝﹣4，∵点P的坐标为（1，），∴|PA|+|PB|＝|t1﹣t2|3．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+1|+2．（1）求不等式f（x）≥6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝|x﹣1|+|x+1|+2，，＜＜，，∴不等式f（x）≥6可化为：或＜＜或，解得x≤﹣2或x≥2，∴不等式f（x）≥6的解集为{x|x≤﹣2或x≥2}；（2）f（x）＝|x﹣1|+|x+1|+2≥|（x﹣1）﹣（x+1）|+2＝4，若关于x的不等式f（x）≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，则a2﹣a﹣2≤4，即a2﹣a﹣6≤0，解得﹣2≤a≤3，∴实数a的取值范围是﹣2≤a≤3．。
2019年广州一模文科答案
2019 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2 ．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3 ．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 D D A C B C A D B C 二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题 5 分，满分20 分．其中14~15 题是选做题，考生只能选做一题．11．1,2 12 ．12. 38 13 ．8 ， 2 2n n 14 ．111, 15 ．4 6说明：①第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分．②第14题的正确答案可以是：111,2k ( k Z).6三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：∵ f (x) 的最大值为2，且 A 0 ，∴A 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∵f ( x) 的最小正周期为8，∴ 2T 8 ，得 4 . ⋯⋯⋯⋯⋯3 分∴( ) 2sin( )f x x . ⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分4 4（2）解法1：∵ f (2) 2sin 2cos 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分2 4 4f (4) 2sin 2sin 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分4 4∴P(2, 2), Q(4, 2) . ⋯⋯⋯⋯⋯7 分∴OP 6, PQ 2 3, OQ 3 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯10 分∴cos POQ2 2 22 2 2 63 2 2 3 3OP OQ PQ2 OP OQ 2 63 2 3.⋯⋯12分解法2：∵(2)2sin 2 c o s 2f ，⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分2 4 4f (4) 2sin 2sin 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分4 4∴P(2, 2), Q(4, 2) . ⋯⋯⋯⋯⋯8 分∴OP (2, 2), OQ (4, 2). ⋯⋯⋯⋯⋯10 分∴cos POQ cos OP ,OQOP OQOP OQ6 336 3 2. ⋯⋯⋯⋯⋯12 分解法3: ∵(2) 2sin 2cos 2f ，⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分2 4 4yPf (4) 2sin 2sin 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分4 4∴P(2, 2), Q(4, 2) . ⋯⋯⋯⋯⋯7 分O P1Q1x作PP x轴,QQ x轴,垂足分别为P,Q ,1 1 1 1Q ∴O P 6, OP 2, PP 2, OQ 3 2, OQ1 4, QQ1 2 . ⋯⋯⋯8 分1 1设POP , QOQ ,1 13 6 1 2 2则s in ,cos ,sin ,cos . ⋯⋯⋯⋯⋯10 分3 3 3 3∴cos POQ cos 3cos cos sin sin . ⋯⋯⋯12 分317．（本小题满分12分）（本小题主要考查频率分布直方图、概率等知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）（1）解: 样本中产量在区间45, 50 上的果树有 a 5 20 100a （株），⋯⋯⋯⋯ 1 分样本中产量在区间50, 60 上的果树有 b 0. 02 5 20 100 b 0. 02（株），⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分依题意，有4100a 100 b 0. 02 ，即34a b 0. 02 . ①⋯⋯⋯⋯3 分3根据频率分布直方图可知0. 02 b 0. 06 a 5 1，②⋯⋯⋯⋯ 4 分解①②得: a 0. 08, b 0. 04 . ⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（2）解：样本中产量在区间50, 55 上的果树有0. 04 5 20 4 株，分别记为A, A , A , 1 2 3 A ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分4产量在区间55, 60 上的果树有0. 02 5 20 2 株，分别记为B , B . ⋯8 分1 2从这6株果树中随机抽取两株共有15 种情况：A1, A2 , A1, A3 ，A1, A4A ,B , A , B , A , A , A , A , A , B , A , B ,1 1 12 23 24 2 1 2 2 A , A ,3 4A ,B ,3 1A ,B ，3 2 A , B , A , B ,4 1 4 2B , B . ⋯⋯⋯⋯⋯10 分1 2其中产量在55, 60 上的果树至少有一株共有9 种情况：A , B , A , B ,1 1 1 2A ,B , A , B , A , B , A , B ,2 1 2 23 1 3 2 A , B , A , B ，4 1 4 2B , B . ⋯⋯⋯111 2分记“从样本中产量在区间50, 60 上的果树随机抽取两株，产量在区间55, 60 上的9 3果树至少有一株被抽中”为事件M，则P M . ⋯⋯⋯⋯⋯12 分15 518．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、点到平面的距离等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）(1) 证明:连接A C ，AC 与BD 相交于点O , 连接M O ，∵ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点. ⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∵M 为PC 的中点，∴MO // AP . ⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∵PA 平面BMD , MO 平面BMD ,∴PA // 平面BMD . ⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分(2) 证明:∵PD 平面ABCD ，AD 平面ABCD ，∴PD AD . ⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分∵BAD BCD 60 ，AB 2AD ，P∴ 2 2 2 2 60BD AB AD AB AD cos M2 2 2 2 ABAD AD2 2AB AD . ⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分D N C∴ 2 2 AB AD2BD . AOB∴AD BD . ⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分∵PD BD D ，PD 平面PBD ，BD 平面PBD ，∴AD 平面PBD . ⋯⋯⋯⋯⋯7 分∵PB 平面PBD ，∴AD PB . ⋯⋯⋯⋯⋯8 分（3）解：取CD 的中点N ，连接M N ，则M N // PD 且 1MN PD .2∵PD 平面ABCD ，PD 2 ，∴MN 平面ABCD ，MN 1. ⋯⋯⋯⋯⋯9 分1 12 2在Rt△PCD 中，CD AB PD 2 ，DM PC PD CD 2 ，2 2∵BC // AD , AD PB ,∴BC PB .在Rt△PBC 中，1BM PC 2 .2在△BMD 中，BM DM ，O为B D 的中点,∴MO BD .在Rt△ABD 中，60 2 3 3BD AB sin .2在Rt△MOB 中，MO BM 2 OB25 2.∴1 3S AD BD ，ΔABD2 21 15S BD MO . ⋯⋯⋯⋯11 分ΔMBD2 4设点A到平面BMD 的距离为h，∵V V ，M ABD A MBD∴13 MN1S hΔABD3S . ⋯⋯⋯⋯⋯12 分ΔMBD即13 13213h154，解得2 5h . ⋯⋯⋯⋯⋯13 分52 5 ∴点 A 到平面 BMD 的距离为5. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯14 分19．（本小题满分 14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等知识，考查分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：∵当n 2 时，S S S ，1 4 1 5n n n∴S 1 S 4 S S 1 . ⋯⋯⋯⋯⋯1 分n n n n∴a a . ⋯⋯⋯⋯⋯2 分1 4n n∵a，1 2 a2 8 ，∴a2 4a1 . ⋯⋯⋯⋯⋯3 分∴数列a是以na1 2为首项，公比为 4 的等比数列.∴n 1 2n 1a 2 4 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯4 分n（2）解：由（1）得：2n 1log log ，⋯⋯⋯⋯⋯5 分2 a 2 2 2n 1n∴T log a log a log an 2 1 2 2 2 n1 3 2n 1 ⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分n 1 2n 12 ⋯⋯⋯⋯⋯7 分2n . ⋯⋯⋯⋯⋯8 分（3）解：1 1 11 1 1T T T2 3 n1 1 11 1 12 2 22 3 n⋯⋯⋯⋯⋯9 分2 2 2 22 13 14 1 n 12 2 2 22 3 4 n1 32 43 5 n 1 n 12 2 2 22 3 4 n⋯⋯⋯⋯⋯10分n 1. ⋯⋯⋯⋯⋯11 分2n令n 12n10102013，解得：4n 287 . ⋯⋯⋯⋯⋯13 分7故满足条件的最大正整数n的值为287 . ⋯⋯⋯⋯⋯14 分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解法1：设椭圆 C 的方程为12 2x y2 2 1a b 0 ,a b2 22 32 2a b2 2a b 1,4.解得:2a2b16,12.依题意: ⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∴椭圆 C 的方程为12 2x y16 121. ⋯⋯⋯⋯⋯3 分解法2：设椭圆2 2x yC 的方程为2 2 11a ba b 0 ，根据椭圆的定义得2a AF AF 8，即a 4，⋯⋯⋯⋯⋯1 分1 2∵c 2 ，∴b2 a2 c2 12 . ⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∴椭圆2 2x yC 的方程为116 121 . ⋯⋯⋯⋯⋯3 分1 1 12 2 2 2(2) 解法1：设点)B( x1, x , C(x2 , x ) ，则BC (x2 x , ( x x )) ，1 2 1 2 14 4 412BA (2 x1,3 x ) ，14 ∵A, B, C 三点共线,∴BC // BA. ⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分∴1 12 2 2x x 3 x x x 2 x , 2 1 1 2 1 14 4化简得：2(x x ) x x 12. ①⋯⋯⋯⋯⋯ 51 2 1 2分由 2 4x y , 即12y x , y412x . ⋯⋯⋯⋯⋯ 6分1 x2 1∴抛物线C在点B 处的切线x1 x xl 的方程为y( ) ，1 2 14 2即x 11 2y x x . ②⋯⋯⋯⋯⋯712 4分同理，抛物线C在点C 处的切线l 的方程为2 2x 12 2y x x . ③⋯⋯⋯⋯⋯822 4分设点P(x, y) ，由②③得：x 1 x 1 2 1 2 2x x x x，1 22 4 2 4而1x1 x ，则x ( ) . ⋯⋯⋯⋯⋯9 分x1 x2 22代入②得1y x x ，⋯⋯⋯⋯⋯10 分1 24则2x x x ，4y x1x2 代入①得4x 4y12 ，即点P 的轨迹方程为1 2y x 3. ⋯⋯⋯⋯⋯11 分若P F PF AF AF ，则点P 在椭圆C1 上，而点P 又在直线y x 3上，1 2 1 2⋯⋯⋯⋯⋯12 分∵直线y x 3经过椭圆 C 内一点(3,0) ,1∴直线y x 3与椭圆 C 交于两点. ⋯⋯⋯⋯⋯13 分1∴满足条件P F PF AF AF 的点P 有两个. ⋯⋯⋯⋯⋯14 分1 2 1 2````````````````````解法2：设点B(x1 , y1 ) , C( x2 , y2 ) ，P(x0 , y0 ) ，由 2 4x y , 即12y x , 得y412x . ⋯⋯⋯⋯⋯ 4分∴抛物线 C 在点B 处的切线2x1l 的方程为y1 (x x )y ，1 12即x 11 2y x y x . ⋯⋯⋯⋯⋯5 分1 12 2∵1 x2 11xy x ，∴y x y1 .1 412∵点P( x , ) 在切线0 yx1l 上, ∴y x0 y1 . ①⋯⋯⋯⋯⋯612分同理，x2y x y . ②⋯⋯⋯⋯⋯70 20 2分x 综合①、②得，点B( x1, y ), C(x , y ) 的坐标都满足方程x yy0 01 2 22 ∵经过B( x1 ,y ),C(x , y )两点的直线是唯一的，1 2 2 .⋯⋯8 分x ∴直线L 的方程为x yy0 02 ，⋯⋯⋯⋯⋯9 分∵点A( 2,3) 在直线L 上，∴y0 x0 3 . ⋯⋯⋯⋯⋯10 分∴点P 的轨迹方程为y x 3. ⋯⋯⋯⋯⋯11分若P F PF AF AF ，则点P 在椭圆C 上，又在直线y x 3上，⋯12 分1 2 1 2 1∵直线y x 3经过椭圆C 内一点(3,0) ,1∴直线y x 3与椭圆C交于两点. ⋯⋯⋯⋯⋯13 分1∴满足条件PF PF AF AF 的点P 有两个. ⋯⋯⋯⋯⋯141 2 1 2````````````````````解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为y k x 2 3，由y k x2,x 4y,2 3 消去y ，得 2 4 8 120x k x k . ⋯⋯⋯⋯⋯4分设B x , y , C x , y , 则1 12 2 x1 x2 4k, x1x2 8k 12. ⋯⋯⋯⋯⋯ 5分由 2 4x y , 即12y x , 得y412x . ⋯⋯⋯⋯⋯ 6分∴抛物线 C 在点B 处的切线2x1l 的方程为y y1 (x x ) ，1 12即x11 2y x y x . ⋯⋯⋯⋯⋯71 12 2````````````````````∵12y x ，∴1 41x 121y x x .12 4x 12 2同理, 得抛物线C在点C 处的切线l2 的方程为y x x . ⋯⋯⋯⋯⋯82 22 4 分由x 11 2y x x ,12 4解得x x1 2 ,x 2k2x 12 ,2y x x22 4x xy 2k 3.1 24∴P 2k, 2k 3 . ⋯⋯⋯⋯⋯10 分∵P F PF AF AF ,1 2 1 22 2x y∴点P 在椭圆C1 : 1上. ⋯⋯⋯⋯⋯11 分16 12∴2 22k 2k 316 121.化简得 27k 12k 3 0.(*) ⋯⋯⋯⋯⋯12 分由 2Δ12 4 7 3 228 0 , ⋯⋯⋯⋯⋯13 分可得方程(*) 有两个不等的实数根.∴满足条件的点P 有两个. ⋯⋯⋯⋯⋯14 分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查三次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数的零点、数列求和等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）（1）解：∵2 3x xy f2(x) kx 1 x kx, ⋯⋯⋯⋯⋯1 分2 3∴ 2 2y 1 x x k ( x x k 1). ⋯⋯⋯⋯⋯2 分方程 2 1 0x x k 的判别式2Δ 1 4 k 1 3 4k .当3k 时，Δ0 ，42y (x x k 1) 0，故函数y f2(x) kx 在R上单调递减；⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分````````````````````当3k 时，方程41 3 4k2 1 0x x k 的两个实根为x ，121 3 4kx . ⋯⋯⋯⋯⋯ 422 分则x, x 时，y 0 ；x x1, x2 时，y 0；x x2 , 时，y 0 ；1故函数y f2(x) kx 的单调递减区间为, x1 和x2, ，单调递增区间为x , x . ⋯⋯⋯⋯⋯5 分1 2*（2）解：存在t 1，对于任意n N ，关于x的方程f n (x) 0在区间t, t 1 上有唯````````````````````一实数解，理由如下：当n 1时，f x x，令1( ) 1 f1(x) 1 x 0，解得x 1，∴关于x的方程f1( x) 0有唯一实数解x 1. ⋯⋯⋯⋯⋯6 分当n 2时，由f (x) 1 xn2 3 2n 1x x x，2 3 2n 1得 2 2n 3 2n 2f (x) 1 x x x x . ⋯⋯⋯⋯⋯7 分n若x 1，则f(x) f ( 1) (2n 1) 0 ，n n若x 0 ，则f(x) 1 0 , ⋯⋯⋯⋯⋯8 分n若x 1且x 0 时，则f(x)n2n 1 1xx 1, ⋯⋯⋯⋯⋯9 分当x 1时，2n 1x 1 0, x 1 0, f (x) 0 ,n当x 1时，2n 1x 1 0,x 1 0, f (x) 0 ,n∴f n (x) 0，故f ( x)在( , ) 上单调递减.⋯⋯⋯⋯⋯10 分n∵ fn1 1 1 1 1 1(1) (1 1) ( ) ( ) ( )2 3 4 5 2n 2 2n 10 ，⋯⋯⋯11分f n2 3 4 5 2n 2 2n 12 2 2 2 2 2(2) (1 2) ( ) ( ) ( )2 3 4 5 2n 2 2n 11 2 1 2 1 21 ( )2 ( )2 ( )22 3 4 5 2n 2 2n 12 4 2n 21 3 2n 32 4 2n 21 2 2 22 3 4 5 (2n 2)(2 n 1)0 . ⋯⋯⋯⋯12 分∴方程f n (x) 0在1,2 上有唯一实数解. ⋯⋯⋯⋯⋯13 分当x , 1 时，f x f 1 0；当x 2, 时，f x f 2 0 .n n n n综上所述，对于任意n N f x 在区间1, 2 上有唯一实数解.* ，关于x的方程( ) 0n∴t 1. ⋯⋯⋯⋯⋯14 分````````````````````。
2019年广东省高考数学一模试卷(文科)-含详细解析
2019年广东省高考数学一模试卷（文科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x-1＜2}，B={x|1＜2x＜16}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.复数z=（i为虚数单位）的虚部为（）A. B. C. D.3.双曲线9x2-16y2=1的焦点坐标为（）A. B. C. D.4.若sin（）=，则cos2α=（）A. B. C. D.5.已知函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，且当x∈[-2，1]时，f（x）=x2-2x-4，则关于x的不等式f（x）＜-1的解集为（）A. B. C. D.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.7.执行如图的程序框图，依次输入x1=17，x2=19，x3=20，x4=21，x5=23，则输出的S值及其统计意义分别是（）A. ，即5个数据的方差为4B. ，即5个数据的标准差为4C. ，即5个数据的方差为20D. ，即5个数据的标准差为208.△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知cos C+cos A=1，则cos B的取值范围为（）A. B. C. D.9.已知A，B，C三点不共线，且点O满足16-12-3=，则（）A. B.C. D.10.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足==≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为（）A. B. C. D.11.已知F为抛物线C：x2=4y的焦点，直线y=x+1与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，则S△OAB=（）A. B. C. D.12.函数f（x）=（kx-2）ln x，g（x）=2ln x-x，若f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则k的取值范围为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f（x）=，则f（f（2））=______．14.设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为______．15.在三棱锥P-ABC中，AP，AB，AC两两垂直，且AP=AB=AC=，则三棱锥P-ABC的内切球的表面积为______．16.已知函数f（x）=sin（ωx+）+（ω＞0），点P，Q，R是直线y=m（m＞0）与函数f（x）的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ|=|QR|=，则ω+m=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设数列{a n}的前n项和为S n，S n=1-a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，求数列{}的前n项和T n．18.在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，CD=2DE=2AD=2AB=4，AC=2，∠EAD=30°．（1）证明：AB⊥平面ADE；（2）求该五面体的体积．19.某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，调查小组先从这组数据中选取组数据求线性回归方程，再用剩下的组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数y的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．（1）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率；（2）若选取的是后面4组数据，求y关于x的线性回归方程=x+，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），……，（x n，y n），其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：==，=．20.已知点（1，），（，）都在椭圆C：=1（a＞b＞0）上．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（0，1）的直线l与椭圆C交于不同两点P，Q（异于顶点），记椭圆与y轴的两个交点分别为A1，A2，若直线A1P与A2Q交于点S，证明：点S恒在直线y=4上．21.已知函数f（x）=e x-2ax（a∈R）（1）若曲线y=f（x）在x=0处的切线与直线x+2y-2=0垂直，求该切线方程；（2）当a＞0时，证明f（x）≥-4a2+4a22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（θ为参数）已知点Q（4，0），点P是曲线C l上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹C2的极坐标方程；（2）已知直线l：y=kx与曲线C2交于A，B两点，若=3，求k的值．23.已知函数f（x）=|x+a|+2|x-1|（a＞0）．（1）求f（x）的最小值；（2）若不等式f（x）-5＜0的解集为（m，n），且n-m=，求a的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={x|x-1＜2}=（-∞，3），B={x|1＜2x＜16}=（0，4）∴A∩B=（0，3）．故选：D．由A与B，求出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.【答案】B【解析】解：∵z==，∴z=的虚部为．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：双曲线9x2-16y2=1的标准方程为：，可得a=，b=，c==，所以双曲线的焦点坐标为（0，±）．故选：B．直接利用双曲线的方程求解a，b，c得到焦点坐标即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4.【答案】B【解析】解：sin（）=-cosα=，则cos2α=2cos2α-1=-，故选：B．利用诱导公式求得cosα的值，再利用二倍角公式求得cos2α的值．本题主要考查利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵x∈[-2，1]时，f（x）=x2-2x-4；∴f（-1）=-1；∵f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；∴由f（x）＜-1得，f（x）＜f（-1）；∴x＞-1；∴不等式f（x）＜-1的解集为（-1，+∞）．故选：D．根据条件可得出f（-1）=-1，根据f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，即可由f（x）＜-1得出f（x）＜f（-1），从而得到x＞-1，即得出原不等式的解集．考查减函数的定义，已知函数求值的方法，根据函数单调性解不等式的方法．6.【答案】A【解析】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，∴组合体的体积是：=3π，故选：A．几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，根据体积公式得到结果．本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，本题是一个基础题，题目的运算量比较小，若出现是一个送分题目．7.【答案】A【解析】解：根据程序框图，输出的S是x1=17，x2=19，x3=20，x4=21，x5=23这5个数据的方差，∵=（17+19+20+21+23）=20，∴由方差的公式S=[（17-20）2+（19-20）2+（20-20）2+（21-20）2+（23-20）2]=4．故选：A．根据程序框图，输出的S是x1=17，x2=19，x3=20，x4=21，x5=23这5个数据的方差，先求这5个数的均值，然后代入方差公式计算即可．本题通过程序框图考查了均值和方差，解决问题的关键是通过程序框图能得出这是一个求数据方差的问题，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：∵cosC+cosA=1，∴由余弦定理可得：•+•=1，化简可得：b2=ac，由余弦定理可得；cosB==≥=，∴≤cosB＜1，即：cosB∈[，1）．故选：D．由余弦定理化简已知等式可得b2=ac，由余弦定理，基本不等式可求cosB≥，结合余弦函数的性质即可得解．本题考查了余弦定理、基本不等式以及余弦函数的性质的综合应用，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：由题意，可知：对于A：==，整理上式，可得：16-12-3=，这与题干中条件相符合，故选：A．本题可将四个选项中的式子进行转化成与题干中式子相近，再比较，相同的那项即为答案．本题主要考查向量加减、数乘的运算，属基础题．10.【答案】B【解析】解：设BC=a，由点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，所以BQ=，CP=，所以PQ=BQ+CP-BC=（）a，S△APQ：S△ABC=PQ：BC=（-2）a：a=-2，由几何概型中的面积型可得：在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为=，故选：B．先阅读题意，理解“黄金分割”，再结合几何概型中的面积型可得：BQ=，CP=，所以PQ=BQ+CP-BC=（）a，S△APQ：S△ABC=PQ：BC=（-2）a：a=-2，则在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为=，得解．本题考查了阅读能力及几何概型中的面积型，属中档题．11.【答案】C【解析】解：抛物线C：x2=4y的焦点（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由，整理得：x2-2x-4=0，由韦达定理可知：x1+x2=2，y1+y2=3由抛物线的性质可知：|AB|=p+y1+y2=2+3=5，点O到直线y=x+1的距离d，d=．∴则△OAB的面积S，S=•|AB|•d=．故选：C．根据抛物线的方程求得焦点坐标，根据直线的倾斜角求得直线方程，代入抛物线方程，利用韦达定理求得x1+x2，由抛物线的性质可知|AB|=p+y1+y2，利用点到直线的距离公式求得O到直线y=x+1的距离d，根据三角形的面积公式S=•|AB|•d，即可求得则△OAB的面积．本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式及三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：当x＞1时，lnx＞0，由f（x）＜g（x）得（kx-2）lnx＜2lnx-x，即kx-2＜2-，即kx＜4-，设h（x）=4-，则h′（x）=-=-，由h′（x）＞0得-（lnx-1）＞0得lnx＜1，得1＜x＜e，此时h（x）为增函数，由h′（x）＜0得-（lnx-1）＜0得lnx＞1，得x＞e，此时h（x）为减函数，即当x=e时，h（x）取得极大值h（e）=4-=4-e，作出函数h（x）的图象，如图，当x→1时，h（x）→-∞，h（3）=4-，h（4）=4-=4-，即A（3，4-），B（4，4-），当直线y=kx过A，B点时对应的斜率k A==-，k B==1-，要使f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则对应的整数为x=2，和x=3，即直线y=kx的斜率k满足k B＜k≤k B，即1-＜k≤-，即实数k的取值范围是（1-，-]，故选：B．将不等式f（x）＜g（x）转化为kx＜4-，设h（x）=4-，求函数的导数，研究函数的极值和图象，利用数形结合确定使f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数为2，3，然后求出对应点的坐标和对应直线y=kx的斜率，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用转化法转化为两个函数图象交点问题，可以数形结合求出对应两点的坐标和斜率是解决本题的关键．13.【答案】2【解析】解：f（2）=ln2，∴f（f（2））=f（ln2）=e ln2=2．故答案为：2．利用分段函数的定义、对数的恒等式即可得出．本题考查了分段函数的定义、对数的恒等式，属于基础题．14.【答案】7【解析】解：画出x，y满足约束条件表示的平面区域，如图所示，由，解得点A（3，1），结合图形知，直线2x+y-z=0过点A时，z=2x+y取得最大值为2×3+1=7．故答案为：7．画出约束条件表示的平面区域，结合图形找出最优解，求出z的最大值．本题考查了线性规划的简单应用问题，是基础题．15.【答案】【解析】解：如图，由AP，AB，AC两两垂直，且AP=AB=AC=，得，∴，设三棱锥P-ABC的内切球的半径为r，利用等体积可得：，解得r=．∴三棱锥P-ABC的内切球的表面积为S=．故答案为：．由题意画出图形，利用等体积法求出多面体内切球的半径，则球的表面积可求．本题考查多面体内切球表面积的求法，训练了利用等积法求多面体内切球的半径，是中档题．16.【答案】3【解析】解：函数f（x）=sin（ωx+）+（ω＞0），由2|PQ|=|QR|=，解得|PQ|=，∴T=|PQ|+|QR|=π，∴ω==2，设P（x0，m），则Q（-x0，m），R（T+x0，m），∴|PQ|=-2x0，|QR|=+2x0，∴2（-2x0）=+2x0，解得x0==，∴m=sin（2×）+=+=1，∴ω+m=2+1=3．故答案为：3．根据题意求出函数f（x）的最小正周期T，得出ω的值，再求出m的值，即可求出ω+m的值．本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是中档题．17.【答案】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，S n=1-a n（n∈N*）①．当n=1时，解得：，当n≥2时，S n-1=1-a n-1．②①-②得：2a n=a n-1，所以：（常数），故：数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列．则：（首项符合通项），所以：．（2）由于：，则：b n=log2a n=-n．所以：b n+1=-（n+1），则：，故：=．【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用．主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：（1）证明：因为AD=2，DC=4，AC=2，所以AD2+DC2=AC2，所以AD⊥CD，又四边形CDEF为矩形，所以CD⊥DE，所以CD⊥面ADE，所以EF⊥面ADE，由线面平行的性质定理得：AB∥EF，所以AB⊥面ADE（2）几何体补形为三棱柱，DE=2，AD=2，AB=2，∠EAD=30°．可得E到底面ABCD 的距离为：2sin60°=，该五面体的体积为棱柱的体积减去三棱锥F-BCH的体积，可得=4=．【解析】（1）证明AD⊥CD，CD⊥DE，推出CD⊥面ADE，然后证明AB⊥平面ADE；（2）转化几何体的体积为棱柱的体积，减去三棱锥的体积，即可求该五面体的体积．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力．19.【答案】解：（1）设“从这6组数据中随机选取4组数据后，剩下的2组数据不相邻”为事件A，记这六组数据分别为1，2，3，4，5，6，剩下的两组数据的基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，其中相邻的有12，23，34，45，56，共5种，所以．（2）后面4组数据是：因为，，，，所以，，所以．当x=10时，，当x=11时，，所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”．（3）由1.4x+9.6≤35，得，故间隔时间最多可设置为18分钟．【解析】（1）由题意结合古典概型计算公式确定概率值即可；（2）首先求得回归方程，然后确定其是否为“恰当回归方程”即可；（3）结合（2）中求得的结论得到不等式，求解不等式即可确定间隔时间．本题主要考查古典概型计算公式，线性回归方程及其应用等知识，属于中等题．20.【答案】解：（1）由题意可得，解得a2=4，b2=2，故椭圆C的方程为+=1．证明：（2）易知直线l的斜率存在且不为0，设过点M（0，1）的直线l方程为y=kx+1，（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消y可得（k2+2）x2+2kx-3=0，∴x1+x2=-，x1x2=-，∵A1（0，2），A2（0，-2），∴直线A1P的方程为y=x+2=•x+2=（k-）x+2，则直线A2Q的方程为y=x-2=（k+）-2，由，消x可得=，整理可得y===+4=+4=4，直线A1P与A2Q交于点S，则点S恒在直线y=4上【解析】（1）由题意可得，解得a2=4，b2=2得椭圆方程，（2）先设出直线l的方程，再分别求出直线A1P的方程，直线A2Q的方程，联立，消x整理可得y=，根据韦达定理化简整理可得直线y=4 本题考查了椭圆方程的求法，直线和椭圆的位置关系，直线方程的求法，考查了运算求解能力，属于中档题21.【答案】（1）解：f′（x）=e x-2a，f′（0）=1-2a=2，解得：a=-，∴f（x）=e x+x，则f（0）=1．∴切线方程为y=2x+1；（2）证明：f′（x）=e x-2a，由f′（x）=e x-2a=0，解得x=ln2a．∴当x∈（-∞，ln2a）时，f′（x）＜0，当x∈（ln2a，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（-∞，ln2a）上单调递减，在（ln2a，+∞）上单调递增．∴f（x）min=f（ln2a）=e ln2a-2a ln2a=2a-2a ln2a．令g（a）=2a-2a ln2a+4a2-4a=2a2-2a-2a ln2a（a＞0）．要证g（a）≥0，即证a-1-ln2a≥0，令h（a）=a-1-ln2a，则h′（a）=1-=，当a∈（0，1）时，h′（a）＜0，当a∈（1，+∞）时，h′（a）＞0，∴h（a）≥h（1）=0，即a-1-ln2a≥0．∴f（x）≥-4a2+4a．【解析】（1）求出函数的导数，计算f′（0），得到关于a的方程，求得a，得到函数解析式，求得f（0），再由直线方程点斜式得答案；（2）把证明f（x）≥-4a2+4a转化为证f（x）的最小值大于等于-4a2+4a，即证a-1-ln2a≥0，令h（a）=a-1-ln2a，求其最小值大于等于0即可．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，是中档题．22.【答案】解：（1）消去θ得曲线C1的普通方程为：x2+y2=4，设M （x ，y ）则P （2x -4，2y ）在曲线C 1上，所以（2x -4）2+（2y ）2=4，即（x -2）2+y 2=1，即x 2+y 2-4x +3=0，C 2轨迹的极坐标方程为：ρ2-4ρcosθ+3=0． （2）如图：取AB 的中点M ，连CM ，CA ，在直角三角形CMA 中，CM 2=CA 2-（ AB ）2=1-AB 2，① 在直角三角形CMO 中，CM 2=OC 2-OM 2=4-（ AB ）2=4-AB 2，②由①②得AB = ，∴OM =，CM =，k ===．【解析】（1）消去θ得曲线C 1的普通方程为：x 2+y 2=4；设出M 的坐标后利用中点公式得到P 的坐标后代入C 1德轨迹C 2的直角坐标方程，再化成极坐标方程； （2）如图：取AB 的中点M ，连CM ，CA ，在两个直角三角形中，根据勾股定理解得CM ，OM 后可得斜率．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．23.【答案】解：（1）f （x ）= ， ， ＜ ＜ ，，∴x =1时，f （x ）的最小值为a +1．（2）如图所示：当a +1＜5＜2a +2即＜a ＜4时，f （x ）-5＜0的解集为（a -3，1-），∴1--a +3=4- =，∴a =2符合，当2a +2≤5即0＜a ≤时，f （x ）的解集为（ --1，1-），∴1- ++1=2≠． 综上可得a =2． 【解析】（1）去绝对值变成分段函数可求得最小；（2）结合分段函数的图象，按照两种情况讨论可得． 本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。