江苏省高一下学期数学期末考试试卷
江苏省高一下学期数学期末考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分）若直线y=kx+2的斜率为2，则k=（）
A . -2
B . 2
C . -
D .
2. （2分） (2019高一下·吉林期末) 已知如图正方体中，P为棱上异于其中点的动点，Q为棱的中点，设直线m为平面与平面的交线，以下关系中正确的是（）
A .
B .
C . 平面
D . 平面
3. （2分） (2017高一下·穆棱期末) 在空间直角坐标系中，点关于点的对称点是（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2018高二上·万州期中) 如图，在正方体中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线BN与MB1是异面直线；③直线AM与BN是平行直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为（）
A . ③④
B . ①②
C . ①③
D . ②④
5. （2分）圆x2+y2﹣2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是（）
A . 相离
B . 外切
C . 相交
D . 内切
6. （2分） (2016高二上·德州期中) 圆x2+y2+ax+2=0与直线l相切于点A（3，1），则直线l的方程为（）
A . x+y﹣4=0
B . x﹣2y﹣1=0
C . x﹣y﹣2=0
D . 2x﹣y﹣5=0
7. （2分）(2020·东莞模拟) 在棱长为1的正方体中，分别为和的中点，经过点，E，F的平面交于，则（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分） (2019高一下·海珠期末) 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为，则该球的表面积等于（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分）(2017·合肥模拟) 一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）
A .
B .
C . 28
D .
10. （2分） (2015高一上·娄底期末) 直线5x﹣12y+8=0与圆x2+y2﹣2x=0的位置关系是（）
A . 相离
B . 相交
C . 相切
D . 无法判断
11. （2分）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（）
A . 若，则．
B . 若，则．
C . 若，则．
D . 若，则．
12. （2分）已知圆O：x2+y2=4上到直线l：x+y=a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为（）
A . （﹣3， 3）
B . （﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
C . （﹣2， 2）
D . [﹣3， 3]
二、填空题 (共4题；共5分)
13. （2分） (2020高一下·金华期末) 已知直线，则当时，直线l的倾斜角为________；当m变化时，直线l过定点________.
14. （1分） (2020高三上·长沙开学考) 在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝2，二面角A－PB－C为直二面角，∠APB＝2∠BPC(∠BPC< )，M，N分别为侧棱PA，PC上的动点，设直线MN与平面PAB所成的角为α.当
的最大值为时，则三棱锥P－ABC的体积为________.
15. （1分） (2016高二上·德州期中) 已知⊙O1：x2+y2=1与⊙O2：（x﹣3）2+（y+4）2=9，则⊙O1与⊙O2的位置关系为________．
16. （1分） (2018高二上·嘉兴月考) 是两个平面, 是两条直线, 有下列四个命题:
①如果 ,那么；②如果 ,那么；③如果 ,那么
；④如果 ,那么与所成的角和与所成的角相等,其中正确的命题为________．
三、解答题 (共6题；共45分)
17. （5分） (2016高二上·德州期中) 如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把是BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°．
（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；
（Ⅱ）设BD=1，求三棱锥D﹣ABC的表面积．
18. （5分） (2020高三上·北京月考) 已知函数y=f（x），若存在x0 ，使得f（x0）=x0 ，则称x0是函数y=f（x）的一个不动点，设二次函数f（x）=ax2+（b+1）x+b-2
（Ⅰ）当a=2，b=1时，求函数f（x）的不动点；
（Ⅱ）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两个不同的不动点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数y=f（x）的图象上A，B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且直线是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围．
19. （5分）已知点A（4，0），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，且圆心C在l上．
（1）若CO=CA，O为坐标原点，求圆C的方程；
（2）若圆心C在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线方程．
20. （10分） (2019高二上·黄石月考) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，∠BCD=120°，PA⊥底面ABCD，PA=4，AB=2.
（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）过AC的平面交PD于点M，若平面AMC把四面体P﹣ACD分成体积相等的两部分，求二面角M﹣AC﹣D的余弦值.
21. （10分） (2020高二下·鹤壁月考) [选修4-4:坐标系与参数方程]
已知曲线的参数方程为 ( 为参数)，以原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为 .
（1）求曲线的直角坐标方程;
（2）设 .直线与曲线交于点 .求的值.
22. （10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ADC=90°，PD=AD=AB=1，DC=2．
（1）求证：BC⊥平面PBD；
（2）求二面角A﹣PB﹣C的大小．
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
解析：
答案：4-1、考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、
答案：8-1、考点：
解析：
答案：9-1、
答案：10-1、考点：
解析：
答案：11-1、考点：
解析：
答案：12-1、考点：
解析：
二、填空题 (共4题；共5分)答案：13-1、
考点：
解析：
答案：14-1、
考点：
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答案：15-1、考点：
解析：
答案：16-1、
考点：
解析：
三、解答题 (共6题；共45分)
答案：17-1、考点：
解析：
答案：18-1、
考点：解析：
答案：19-1、考点：
解析：
答案：20-1、答案：20-2、
考点：解析：
答案：21-1、
答案：21-2、考点：
解析：。
江苏省苏州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试 数学含答案
苏州市2023~2024学年第二学期学业质量阳光指标调研卷高一数学（答案在最后）2024.6注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第11题）､填空题（第12题~第14题）､解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名､调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，已知复数11i z =+，则||z =（）A.12B.2C.D.22.sin164sin 44cos16sin 46-= （）A.12-B.2C.12D.23.某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是（）A.极差为10B.中位数为7.5C.平均数为8.5D.4.某科研单位对ChatGPT 的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，估计这批用户问卷的得分的第75百分位数为（）A.78.5B.82.5C.85D.87.55.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若6b =，2c =，60B =︒，则A =（）A.45︒B.60︒C.75︒D.105︒6.已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//l m ，//l α，//m β，则//αβB.若l m ⊥，l α⊥，//m β，则//αβC.若//αβ，l ⊂α，m β⊂，则//l mD.若l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥7.在ABC 中，已知2cos 2cos 22cos A B C +=，则ABC 的形状一定为（）A .等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形8.长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹､爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇､《认母》篇､《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M ，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N ，则下列说法正确的是（）A.M 与N 互斥B.()()P M P MN = C.M 与N 相互独立D.()()1P M P N +<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数2()sin 2233f x x x =+-，则（）A.()f x 的最小正周期为2π B.()2f x ≥-C.()f x 的图象关于直线π6x=对称 D.()f x 在区间π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增10.已知复数1z ，2z ，3z ，则下列说法正确的有（）A.1212||||||z z z z = B.若120z z ->，则12z z >C.若120z z =，则1212||||z z z z -=+ D.若1213z z z z =且10z ≠，则23z z =11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G ，H 分别为AB ，1CC ，11A D ，1DD 的中点，则（）A.1B D ⊥平面EFGB.//AH 平面EFGC.点1B ，D 到平面EFG 的距离相等D.平面EFG 截该正方体所得截面的面积为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设向量(1,3)m = ，(4,2)n =- ，p m n λ=+，若m p ⊥ ，则实数λ的值为___________.13.在直角三角形ABC 中，已知CH 为斜边AB 上的高，AC =2BC =，现将BCH V 沿着CH 折起，使得点B 到达点B '，且平面B CH '⊥平面ACH ，则三棱锥B ACH '-的外接球的表面积为___________.14.在ABC 中，已知cos 21sin 2cos 212C C C =++，则3sin 2sin A B +的最大值为___________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E ，F ，G 分别为线段AD ，BC ，PB 的中点.（1）求证：AG ⊥平面PBC ；（2）求证：//PE 平面AFG .16.一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件A =“第一次摸到红球”，B =“第二次摸到黑球”，C =“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”.（1）用数组()12,x x 表示可能的结果，1x 是第一次摸到的球的标号，2x 是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间Ω；（2）分别求事件A ，B ，C 发生的概率；（3）求事件A ，B ，C 中至少有一个发生的概率.17.如图，在平面四边形ABCD 中，已知AC 与BD 交于点E ，且E 是线段BD 的中点，BCE 是边长为1的等边三角形.（1）若sin 14ABD ∠=，求线段AE 的长；（2）若:AB AD =AE BD <，求sin ADC ∠.18.如图，在平行四边形ABCD 中，已知3A π=，2AB =，1AD =，E 为线段AB 的中点，F 为线段BC 上的动点（不含端点）.记BF mBC =.（1）若12m =，求线段EF 的长；（2）若14m =，设AB xCE yDF =+ ，求实数x 和y 的值；（3）若CE 与DF 交于点G ，AG EF ∥，求向量GE 与GF的夹角的余弦值.19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知侧面11CDD C 为矩形，60BAD ABC ∠=∠=︒，3AB =，2AD =，1BC =，1AA =，12AE EA =uu u r uuu r ，2AF FB = .（1）求证：平面DEF 平面1A BC ；（2）求证：平面11ADD A ⊥平面ABCD ；（3）若三棱锥1E A BC -的体积为33，求平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.苏州市2023~2024学年第二学期学业质量阳光指标调研卷高一数学2024.6注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第11题）､填空题（第12题~第14题）､解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名､调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，已知复数11i z =+，则||z =（）A.12B.2C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用复数的商的运算法则求得z ，进而可求||z .【详解】11i 1i 1i 1i (1i)(21i)z --====-++-，则2||2z ==.故选：B .2.sin164sin 44cos16sin 46-= （）A.12-B. C.12D.32【解析】【分析】利用诱导公式与两角差的正弦公式化简求值.【详解】()()sin164sin 44cos16sin 46sin 18016sin 9046cos16sin 46-=---()1sin16cos 46cos16sin 46sin 1646sin 302=-=-=-=-.故选：A.3.某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是（）A.极差为10B.中位数为7.5C.平均数为8.5D.【答案】D 【解析】【分析】利用极差、中位数、平均数、标准差的定义，根据条件逐一对各个选项分析判断即可得出结果.【详解】某射击运动员射击6次，命中的环数从小到大排列如下：6，7，7，9，9，10，对A ，极差为1064-=，故A 错误；对B ，中位数为7982+=，故B 错误；对C ，平均数为677991086+++++=，故C 错误；对D ，标准差为=，故D 正确.故选：D4.某科研单位对ChatGPT 的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，估计这批用户问卷的得分的第75百分位数为（）A.78.5B.82.5C.85D.87.5【答案】B【分析】根据百分位数计算规则计算可得.【详解】因为()0.010.0250.035100.70.75++⨯=<，()0.010.0250.0350.02100.90.75+++⨯=>，所以第75百分位数位于[)80,90，设为x ，则()()0.010.0250.035100.02800.75x ++⨯+-=，解得82.5x =.故选：B5.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若b =，2c =，60B =︒，则A =（）A.45︒B.60︒C.75︒D.105︒【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理求出C ，即可求出A .【详解】由正弦定理sin sin c b C B=，则32sin 22sin 2c B C b ⨯===，又c b <，所以60C B <=︒，所以45C =︒，所以180604575A =︒-︒-︒=︒.故选：C6.已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//l m ，//l α，//m β，则//αβB.若l m ⊥，l α⊥，//m β，则//αβC.若//αβ，l ⊂α，m β⊂，则//l mD.若l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.【详解】对于A ：若//l m ，//l α，则//m α或m α⊂，又//m β，则//αβ或α与β相交，故A 错误；对于B ：若l m ⊥，l α⊥，则//m α或m α⊂，又//m β，则//αβ或α与β相交，故B 错误；对于C ：若//αβ，l ⊂α，则//l β，又m β⊂，则l 与m 平行或异面，故C 错误；对于D ：若l m ⊥，l α⊥，则//m α或m α⊂，若//m α，则在平面α内存在直线c ，使得//m c ，又m β⊥，则c β⊥，又c α⊂，所以αβ⊥；若m α⊂，又m β⊥，所以αβ⊥；综上可得，由l m ⊥，l α⊥，m β⊥，可得αβ⊥，故D 正确.故选：D7.在ABC 中，已知2cos 2cos 22cos A B C +=，则ABC 的形状一定为（）A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形【答案】C 【解析】【分析】利用二倍角公式及正弦定理将角化边，即可判断.【详解】因为2cos 2cos 22cos A B C +=，所以22212sin 12sin 22sin A B C -+-=-，所以222sin sin sin A B C +=，由正弦定理可得222+=a b c ，所以ABC 为直角三角形.故选：C8.长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹､爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇､《认母》篇､《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M ，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N ，则下列说法正确的是（）A.M 与N 互斥B.()()P M P MN = C.M 与N 相互独立D.()()1P M P N +<【答案】B 【解析】【分析】计算事件M 和事件N 的概率，由互斥事件的性质和相互独立事件的定义，对选项进行判断即可.【详解】三个人随机选三篇文章研究，样本空间共33327⨯⨯=种，事件M ：“三人都没选择《子归》篇”共有：2228⨯⨯=，所以()827P M =，事件N ：“至少有两人选择的篇目一样”共有27621-=种，所以()1272P N =，()()1P M P N +>，所以M 与N 不互斥，A 错误，D 错误；事件MN 共有2338++=种，所以()782P MN =，B 正确；因为()()()P MN P M P N ≠，所以C 错误.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数2()sin 2f x x x =+-，则（）A.()f x 的最小正周期为2π B.()2f x ≥-C.()f x 的图象关于直线π6x =对称 D.()f x 在区间π,04⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增【答案】BD 【解析】【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，在根据正弦函数的性质计算可得.【详解】因为2()sin 2sin 22f x x x x x=+=+132sin 2cos 222x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故A 错误；因为π1sin 213⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭x ，所以()2f x ≥-，故B 正确；因为πππ2sin 2663f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线π6x =对称，故C 错误；当π,04x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则,ππ233π6x ⎛⎫-∈ ⎝+⎪⎭，又sin y x =在ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在区间π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故D 正确.故选：BD10.已知复数1z ，2z ，3z ，则下列说法正确的有（）A .1212||||||z z z z = B.若120z z ->，则12z z >C.若120z z =，则1212||||z z z z -=+ D.若1213z z z z =且10z ≠，则23z z =【答案】ACD 【解析】【分析】A 项，表达出12||z z 和12||||z z ，即可得出相等；B 项，作出示意图即可得出结论；C 项，写出12||z z -和12||z z +的表达式，利用120z z =得出两复数的实部和虚部的关系，即可得出结论；D 项，对1213z z z z =进行化简即可得出结论.【详解】由题意，设12i,i,,,,Rz a b z c d a b c d =+=+∈A 项，()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++=12z z ==∴1212||||||z z z z =,A 正确；B 项，当120z z ->时，若两复数是虚数1z ，2z 不能比较大小，B 错误；C 项，()()1212i,i z z a c b d z z a c b d -=-+-+=+++，12z z -==12z z +==，当120z z =时，12120z z z z ==0=，∴0,0a b ==，,c d 任取，或0,0c d ==，,a b 任取，即12,z z 至少有一个为0∴1212z z z z -=+=（其中至少有两项为0），C 正确；D 项，∵1213z z z z =，∴()1230z z z -=，∵10z ≠，∴230z z -=，即23z z =，D 正确；故选：ACD.11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G ，H 分别为AB ，1CC ，11A D ，1DD 的中点，则（）A.1B D ⊥平面EFGB.//AH 平面EFGC.点1B ，D 到平面EFG 的距离相等D.平面EFG 截该正方体所得截面的面积为【答案】ACD 【解析】【分析】取BC 的中点L ，11C D 的中点K ，1AA 的中点M ，即可得到正六边形LEMGKF 为平面EFG 截该正方体所得截面，求出截面面积，即可判断D ；根据线面垂直的判定定理说明A ，证明1//AD 平面EFG ，即可说明B ，根据正方体的性质判断D.【详解】如图，取BC 的中点L ，11C D 的中点K ，1AA 的中点M ，连接GK 、KF 、FL 、LE 、EM 、MG 、11A C 、MF 、AC 、1AD ，则11//GK A C ，//EL AC ，11////A C AC MF ，所以//GK MF ，所以G 、K 、F 、M 四点共面，又//EL MF ，所以L 、E 、F 、M 四点共面，同理可证//KF ME ，所以K 、E 、F 、M 四点共面，正六边形LEMGKF 为平面EFG 截该正方体所得截面，又12EL AC ===，所以216sin 602LEMGKF S =⨯⨯⨯︒=D 正确；因为AC ⊥平面11DBB D ，1DB ⊂平面11DBB D ，所以1AC DB ⊥，则1EL DB ⊥同理可证1FL DB ⊥，又EL FL L = ，,EL FL ⊂平面LEMGKF ，所以1DB ⊥平面LEMGKF ，即1B D ⊥平面EFG ，故A 正确；因为1//GM AD ，GM ⊂平面LEMGKF ，1AD ⊄平面LEMGKF ，所以1//AD 平面LEMGKF ，即1//AD 平面EFG ，又1AH AD A = ，1,AH AD ⊂平面11AD A A ，平面EFG ⋂平面11AD A A GM =，所以AH 不平行平面EFG ，故B 错误；设O 为正方体的中心，即O 为1DB 的中点，根据正方体的性质可知1EF DB O = ，即1DB 交平面LEMGKF 于点O ，所以点1B ，D 到平面LEMGKF 的距离相等，即点1B ，D 到平面EFG 的距离相等，故D 正确.故选：ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设向量(1,3)m = ，(4,2)n =- ，p m n λ=+，若m p ⊥ ，则实数λ的值为___________.【答案】15##0.2【解析】【分析】求出p，利用m p ⊥ ，即可求出实数λ的值.【详解】由题意，(1,3)m = ，(4,2)n =- ，p m n λ=+，∴()4,32p λλ=+-∵m p ⊥ ，∴()()143320λλ⨯++-=，解得：15λ=，故答案为：15.13.在直角三角形ABC 中，已知CH 为斜边AB 上的高，AC =2BC =，现将BCH V 沿着CH 折起，使得点B 到达点B '，且平面B CH '⊥平面ACH ，则三棱锥B ACH '-的外接球的表面积为___________.【答案】13π【解析】【分析】证明,,HA HB HC '两两垂直，由,,HA HB HC '的边长，求出外接球半径，求表面积即可.【详解】直角三角形ABC 中，AC =2BC =，则斜边4AB =，30A = ，CH 为斜边AB 上的高，则CH =3AH =，1HB =，平面B CH '⊥平面ACH ，平面B CH ' 平面ACH CH =，B H CH '⊥，B H '⊂平面B CH '，则B H '⊥平面ACH ，又AH CH ⊥，所以,,HA HB HC '两两垂直，HC =3HA =，1HB '=，则三棱锥B ACH '-的外接球半径1322R ==，所以三棱锥B ACH '-的外接球表面积为24π13πS R ==.故答案为：13π.14.在ABC 中，已知cos 21sin 2cos 212C C C =++，则3sin 2sin A B +的最大值为___________.【解析】【分析】利用二倍角公式化简，即可求出C ，从而得到π3A B +=，从而将3sin 2sin A B +转化为A 的三角函数，再利用辅助角公式计算可得.【详解】因为cos 21sin 2cos 212C C C +=++，所以222cos sin 12sin cos 2cos 112C C C C C -+=+-+，即()()()cos sin cos sin 132cos cos sin 2C C C C C C C -+=+，所以cos sin 1113tan 2cos 222C C C C -=-=，所以tan C =，又()0,πC ∈，所以2π3C =，则π3A B +=，所以π3sin 2sin 3sin 2sin 3A B A A ⎛⎫+=+-⎪⎝⎭()ππ3sin 2sin cos 2cos sin 2sin33A A A A A A ϕ=+-==+，取ϕ为锐角，其中sinϕ=，cos ϕ=1sin 2ϕ=>，所以π6ϕ>，所以当π2A ϕ+=时3sin 2sin AB +.【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出C 的值，从而将3sin 2sin A B +转化为A 的三角函数，结合辅助角公式求出最大值.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E ，F ，G 分别为线段AD ，BC ，PB 的中点.（1）求证：AG ⊥平面PBC ；（2）求证：//PE 平面AFG .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先证BC ⊥平面PAB ，有BC AG ⊥，再由AG PB ⊥，可证AG ⊥平面PBC ；（2）连接BE 交AF于点H ，由AHE FHB ≅ ，得H 为BE 中点，可得//GH PE ，线面平行的判定定理得//PE 平面AFG .【小问1详解】底面ABCD 为矩形，所以BC AB ⊥，PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，则PA BC ⊥，AB PA A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，则BC ⊥平面PAB ，AG ⊂平面PAB ，所以BC AG ⊥，又PA AB =，G 为PB 中点，则AG PB ⊥，,BC PB ⊂平面PBC ，BC PB B = ，所以AG ⊥平面PBC .【小问2详解】连接BE 交AF 于点H ，连接GH ，由四边形ABCD 为矩形，,E F 分别为,AD BC 中点，所以AHE FHB ≅ ，则BH HE =，即H 为BE 中点，又因为G 为BP 中点，有//GH PE ，GH Ì平面AFG ，PE ⊄平面AFG ，所以//PE 平面AFG .16.一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件A =“第一次摸到红球”，B =“第二次摸到黑球”，C =“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”.（1）用数组()12,x x 表示可能的结果，1x 是第一次摸到的球的标号，2x 是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间Ω；（2）分别求事件A ，B ，C 发生的概率；（3）求事件A ，B ，C 中至少有一个发生的概率.【答案】（1）()()()()()()()()()()()(){}Ω1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3=（2）()12P A =，()14P B =，()13P C =（3）()34P A B C ⋃⋃=【解析】【分析】（1）根据事件的定义列出样本空间即可；（2）根据古典概型概率计算公式计算即可；（3）根据古典概型概率计算公式计算即可.【小问1详解】样本空间()()()()()()()()()()()(){}Ω1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3=，Ω共有12个基本事件；【小问2详解】事件A 的基本事件为：()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4共6个基本事件，所以()12P A =，事件B 的基本事件为：()()(){}1,3,2,3,4,3共3个基本事件，所以()14P B =，事件C 的基本事件为：()()()(){}1,42,4,4,1,4,2共4个基本事件，所以()13P C =，【小问3详解】事件A ，B ，C 中至少有一个发生的基本事件为：()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,44,1,4,2,4,3共9个基本事件，所以()34P A B C ⋃⋃=.17.如图，在平面四边形ABCD 中，已知AC 与BD 交于点E ，且E 是线段BD 的中点，BCE 是边长为1的等边三角形.（1）若sin 14ABD ∠=，求线段AE 的长；（2）若:AB AD =AE BD <，求sin ADC ∠.【答案】（1）12（2）7【解析】【分析】（1）由sin 14ABD ∠=，有cos 14ABD ∠=，又120AEB ∠= ，AEB △中，()sin sin BAE AEB ABD ∠=∠+∠，求值后由正弦定理求线段AE 的长；（2）在AED △和AEB △中，余弦定理得22222AB AD AE +=+，又:AB AD =解得13AE =，在ACD 中，由余弦定理求cos ADC ∠，再得sin ADC ∠.【小问1详解】因为BCE 为等边三角形，所以120AEB ∠= ，又sin 14ABD ∠=，所以cos 14ABD ∠=，在AEB △中，()()sin sin 180sin BAE AEB ABD AEB ABD ⎡⎤∠=-∠+∠=∠+∠⎣⎦，所以21sin sin cos cos sin 7BAE AEB ABD AEB ABD ∠=∠∠+∠∠=，由正弦定理得sin sin AE BEABD BAE =∠∠，21sin 114sin 2217BE ABD AE BAE ⋅∠===∠.【小问2详解】()cos cos 180cos AED AEB AEB ∠=-∠=-∠ ，1DE BE ==，在AED △中，由余弦定理，2222cos AD AE DE AE DE AED =+-⋅⋅∠，在AEB △中，由余弦定理，2222cos AB AE BE AE BE AEB =+-⋅⋅∠两式相加得222222222AB AD AE DE BE AE +=++=+，因为:AB AD =，所以设AB =，AD =，则AE =，在AEB △中，120AEB ∠= ，由余弦定理得，2222cos AB AE BE AE BE AEB =+-⋅⋅∠，得2211310112m m ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭，化简得23m =由0m >，解得1m =或13m =，当1m =时，3AE BD =>，不合题意，舍去；当13m =时，13AE BD =<，符合题意，所以13AE =，43AC AE EC =+=，73AD ==，在DCE △中，1CE DE ==，120DEC ︒=∠，可得CD =，在ACD中，由余弦定理，222cos 2AD CD AC ADC AD CD+-∠==⋅，所以sin 7ADC ∠=.18.如图，在平行四边形ABCD 中，已知3A π=，2AB =，1AD =，E 为线段AB 的中点，F 为线段BC 上的动点（不含端点）.记BF mBC =.（1）若12m =，求线段EF 的长；（2）若14m =，设AB xCE yDF =+ ，求实数x 和y 的值；（3）若CE 与DF 交于点G ，AG EF ∥，求向量GE 与GF的夹角的余弦值.【答案】（1）2（2）68,1111x y =-=（3）7-【解析】【分析】（1）由向量的线性运算可得1122EF AD AB =+，两边平方可求解；（2）由已知可得34DF DC CF AB AD =+=- ，12CE CB BE AD AB =+=--，可得结论；（3）利用向量的线性关系可得1255GE AB AD =-- ，933510GF AD AB =-+，计算可得结论.【小问1详解】若12m =，则1122BF BC AD == ，12BE AB =-，所以1122EF BF BE AD AB =-=+ ，两边平方可得22222211117()(2)(12122)44424EF AD AB AD AD AB AB =+=++=+⨯⨯⨯+= ，所以2EF =；【小问2详解】若14m =，则1144BF BC AD == ，所以34CF AD =-，34DF DC CF AB AD =+=- ①，12CE CB BE AD AB =+=-- ②，由①②可得681111AB CE DF =-+；【小问3详解】1122EF EB BF AB mBC AB mAD =+=+=+，1122EC EB BC AB BC AB AD =+=+=+ ，设2EG EC AB AD λλλ==+ ，又122AG AE EG AE AB AD AB AD λλλλ+=+=++=+，又AG EF ∥，所以1212m λλ=+①，由EG EC λ= ，可得GE CE λ= ，所以CE CG CE λ-=，所以(1)CG CE λ=- ，所以11(1)(1)()(1)22CG CE AB BC CB CD λλλλ-=-=---=-+ ，由BF mBC = ，可得(1)CF m CB =- ，11CB CF m=-所以11(1)12CG CE CF CD m λλλ--=-=+-，又,,D F G 三点共线，所以11112m λλ--+=-②，联立①②解11,23m λ==，所以1142EG AB AD =+ ，所以1142GE AB AD =--，111111242424CG CB CD BC DC AD AB =+=--=-- ，21111(32464GF CF CG AD AD AB AD AB =-=----=-+ ），所以2211111111····64422412168GE GF AD AB AB AD AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫=-+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111112412484=+--=-，又2222111111113()4216444444GE AB AD AB AB AD AD =--=++=++=，所以||2GE =，同理可得||6GF = ，所以1214cos ,726GE GF -==-.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是用基底表示向量后，求向量模或者夹角就可以利用公式直接计算.19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知侧面11CDD C 为矩形，60BAD ABC ∠=∠=︒，3AB =，2AD =，1BC =，1AA =，12AE EA =uu u r uuu r ，2AF FB =.（1）求证：平面DEF 平面1A BC ；（2）求证：平面11ADD A ⊥平面ABCD ；（3）若三棱锥1E A BC -的体积为3，求平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）19或7.【解析】【分析】（1）由已知可得//EF 平面1A BC ，//DF 平面1A BC ，从而可证结论；（2）由余弦定理可得23DC =，从而可证AD CD ⊥，进而结合已知可证CD ⊥平面11ADD A ，可证结论；（3）延长,AD BC 交于N ，过1A 作1A M AD ⊥于M ，过M 作MH BN ⊥于H ，连接1A H ，可得1A HM ∠为平面1A BC 与平面ABCD 所成二面角的平面角，求解即可.【小问1详解】因为12AE EA =uu u r uuu r ，2AF FB = ，所以1EF A B ∥，又1A B ⊂平面1A BC ，EF ⊄平面1A BC ，所以//EF 平面1A BC ，2AF FB = ，3AB =，可得2AF =，又2AD =，60BAD ∠=︒，所以ADF △是等边三角形，所以2DF =，60AFD ∠=︒，又60ABC ∠=︒，所以DF BC ∥，又BC ⊂平面1A BC ，DF ⊄平面1A BC ，//DF 平面1A BC ，又DF EF F = ，又,DF EF ⊂平面DEF ，所以平面DEF 平面1A BC ；【小问2详解】由侧面11CDD C 为矩形，可得1CD DD ⊥，连接CF ，可得BCF △是等边三角形，所以60BFC ∠=︒，所以60DFC ∠=︒，又2DF =，1CF =，由余弦定理可得22211221232DC =+-⨯⨯⨯=，所以222DC CF DF +=，所以90FCD ∠=︒，所以30FDC ∠=︒，所以90ADC ∠=︒，所以AD CD ⊥，又1AD DD D = ，1,AD DD ⊂平面11ADD A ，所以CD ⊥平面11ADD A ，又CD ⊂平面ABCD ，所以平面11ADD A ⊥平面ABCD ；【小问3详解】延长,AD BC 交于N ，可得ABN 是等边三角形，过1A 作1A M AD ⊥于M ，由（1）可知//EF 平面1A BC ，所以三棱锥1E A BC -的体积即为三棱锥1F A BC -的体积，又三棱锥1F A BC -的体积等于三棱锥1A BCF -的体积，由（2）可知平面11ADD A ⊥平面ABCD ，且两平面的交线为AD ，所以AM ⊥平面ABCD ，所以111111331133223B F BCF A C V S A M A M -==⨯⨯⨯⨯= ，解得14A M =，过M 作MH BN ⊥于H ，连接1A H ，AM ⊥平面ABCD ，BN ⊂平面ABCD ，所以AM BN ⊥，又1HM A M M ⋂=，1,HM A M ⊂平面1A MH ，所以BN ⊥平面1A MH ，又1A H ⊂平面1A MH ，1BN A H ⊥，所以1A HM ∠为平面1A BC 与平面ABCD 所成二面角的平面角，若12A AD π∠<，则点M 在线段AD 上，且为AD 中点，又117AA =，由勾股定理可得1AM =，所以2MN =，所以3MH =131619A H =+=，所以1357cos 1919A HM ∠==，所以平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值为5719；若12A AD π∠>，则点M 在线段DA 延长线上，此时13,7MH A H ==，11321cos 727MH A HM A H ∠===.。
江苏省高一下学期期末考试(数学)
高一下学期期末考试（数学）一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.已知集合{}{}=⋂==B A B A ,4,3,2,5,3,1 2.在等比数列{}n a 中，若===642,1,4a a a 则 3.函数164-=x y 的定义域为4.计算=+85lg4lg 2 5.在ABC ∆中，设角B A ,所对边分别为b a ,，若bBa A cos sin =，则角=B 】6.一个容量为20的数据样本分组后，分组与频数为：(](](](](](]个。
个；个；个；个；个2,70,604,60,505,50,404,40,303,30,20;2,20.10则样本数据在(]5010，上的频率为7.已知α为第二象限角，且=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4cos ,54sin παα则 8.已知向量()()2,1,1,3==b a ，则向量b a 与的夹角=θ9.投掷一颗质地均匀的骰子两次，观察出现的点数，记下第一次的点数为m ，第二次的点数为n ，设向量()()n b m a ,3,2,==，则“向量b a 与共线”的概率为 10.计算=-40sin 160cos 140cos 200sin 11.已知正数y x ,满足,12=+y x 则yx 11+的最小值 12.一个伪代码如右图所示，输出的结果是SPrint ForEnd I ×3 +S S 10 to 1 From I For 1S ←← ：13.若对任意的实数n m ,，都有()()()()21005,=+=+f n m f n f m f 且，则()()()()=++++2009531f f f f14.已知()为常数a a 100≤≤，在区间[]100，上任取两个实数y x ,，设“a y x ≤+2”的概率为p ，“a y x ≥-2”的概率为q ，若有q p ≤，则实数a 的取值范围 二．解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2022-2023学年江苏省徐州市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省徐州市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 满足z （1+i ）＝5+i ，则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，则两次掷出的点数之和为6的概率为（ ） A ．19B ．536C ．16D ．7363．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ⊂α B ．若m ，n 与α所成的角相等，则m ∥n C ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ∥n ，n ⊥β，m ⊂α，则α⊥β4．有一组样本数据，x 1，x 2，…，x n ，其平均数为a ，中位数为b ，方差为c ，极差为d ．由这组数据得到新样本数据，y 1，y 2，…，y n ，其中y i ＝2x i +8（i ＝1，2，…，n ），则新样本数据的（ ） A ．样本平均数为2a B ．样本中位数为2b C ．样本方差为4cD ．样本极差为2d +85．已知向量a →，b →的夹角为π3，若(a →−b →)⊥a →，则向量a →在向量b →上的投影向量为（ ） A ．14b →B ．12b →C ．√32b →D ．b →6．已知sin(α+π3)+sinα=√33，则sin(2α−π6)的值是（ ）A ．79B ．−79C ．29D ．−297．如图，一种工业部件是由一个圆台挖去一个圆锥所制成的．已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且圆台的母线与底面所成的角为π3，圆锥的底面是圆台的上底面，顶点在圆台的下底面上，则该工业部件的体积为（ ）A ．2√3πB ．16√3πC ．7√3π3D ．56√33π8．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a cos B ﹣b cos A ＝b ，则b a+c的取值范围是（ ）A ．(√33，√22)B ．(2−√3，1)C ．(2−√3，√2−1)D ．(√2+1，√3+2)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
最新版江苏省高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案
高一数学一、填空题 1.函数x y 2sin 21=图象的振幅为 . 2.已知角α的终边经过点)5,12(P ，则αtan 的值为 .3.已知51cos sin =+αα，则=α2sin . 4.直线l 经过两点)3,2(A ，)1,4(B ，则直线l 的斜率为 .5.直线0232=-+y x 与直线01)12(=+-+y m mx 垂直，则实数m 的值为 .6.已知直线l 经过直线02=+-y x 和012=++y x 的交点，且直线l 与直线023=+-y x 平行，则直线l 的方程为 .7.函数)2|)(|3sin 2πϕϕ<+=x y （图象的一条对称轴为直线12π=x ，则=ϕ .8.与点)3,4(A ，)2,5(B ，)0,1(C 距离都相等的点的坐标为 .9.已知直线l 过点)2,2(P ，且直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l 的方程为 .10.在三角形ABC 中，45=A ，2=b ，三角形ABC 的面积为213+，则Ccsin 的值为 .11.已知M 为三角形ABC 的边BC 的中点，过线段AM 的中点G 的直线分别交线段AB ，AC 于点P ，Q .若x =，y =，则y x +的值是 .12.若33)6cos =-θπ（，则=--+)23cos 3)65cosθπθπ（（ .13.圆0222=-+ax y x 上有且仅有一点满足:到定点)0,0(O 与)0,3(A 的距离之比为2，则实数a 的取值范围为 .14.在平面直角坐标系xOy 中，直线2+=kx y 与圆O :122=+y x 交于B A ,两点，若圆O 上存在点C 满足⋅+⋅=ααsin cos ，其中α为锐角，则k 的值为 . 二、解答题15. 已知向量)sin ,1(x =，)21,(cos x =，其中]2,2[ππ-∈x . （1）若//，求实数x 的值；（2）若⊥，求向量的模||.16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知)0,3(A ，)4,0(B ，),6(t C .（1）若点C B A ,,在同一条直线上，求实数t 的值；（2）若ABC ∆是以BC 为底边的等腰三角形，求ABC ∆的面积.17.已知βα，均为锐角，且2626sin =α，32tan =β. （1）求βα+的值；（2）求)2cos(βα+的值.18. 如图所示，某公园内从点A 处出发有两条道路AC AB ,连接到南北方向的道路BC .从点A 处观察点B 和点C 的方位角分别是PAB ∠和PAC ∠，且257cos =∠PAB ，53C cos =∠PA ， 2.5km =AB . （1）求AC 和BC ；（2）现有甲乙二人同时从点A 处出发，甲以5h km /的速度沿道路AC 步行，乙以6h km /的速度沿C B A --路线步行，问半小时后两人的距离是多少？19.已知圆O :422=+y x 交x 轴于B A ,两点，点P 是直线4=x 上一点，直线PB PA ,分别交圆O 于点M N ,.（1）若点)2,0(N ，求点M 的坐标；（2）探究直线MN 是否过定点，若过定点，求出该定点；若不存在，请说明理由.20.已知直线01=++y x 与圆C :0222=+-++a ay x y x 交于B A ,两点. （1）若3=a ，求AB 的长；（2）是否存在实数a 使得以AB 为直径的圆过原点，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由；（3）若对于任意的实数21≠a ，圆C 与直线l 始终相切，求出直线l 的方程.2015~2016学年度第二学期期末学情调研高一数学参考答案一、填空题：1．21； 2．125； 3．2524-； 4．1-； 5．83； 6．043=+-y x ； 7．4π； 8．)1,3(；9．04=-+y x 或0=-y x ； 10．22； 11．4； 12．0； 13．{1,3}； 14．7±三、解答题：本大题共6个题，共70分． 15．解：（1）因为//，所以21cos sin =x x ， 所以12sin =x ，因为]2,2[ππ-∈x ，所以4π=x . （2）因为⊥，所以0cos sin 21=+x x ，所以2tan -=x ， 所以55314411tan tan 1cos sin sin 1sin 1||222222=++=++=++=+=x x x x x x . 16．解：（1）由题意知)4,3(-=，),3(t =.因为点C B A ,,在同一条直线上，所以AC AB //，所以0123=--t ，所以4-=t .（2）因为ABC ∆是以BC 为底边的等腰三角形，所以BC AC =.因为54322=+=AB ，29t AC +=，所以ABC ∆的面积为1255242121=⨯⨯=⨯⨯=AB d S . 17．（1）因为α为锐角，且2626sin =α，所以26265cos =α，51tan =α， 因为1325113251tan tan 1tan tan )tan(=⨯-+=-+=+βαβαβα，又因为),0(πβα∈+，所以4πβα=+. （2）因为β为锐角，且32tan =β，所以13132sin =β，13133cos =β，所以2626221313222131334sinsin 4coscos )4cos()2cos(=⨯-⨯=-=+=+πβπβπββα.18．（1）因为257cos =∠PAB ，53C cos =∠PA ， 2.5km =AB ，所以在ABC ∆中，257cos -=B ，53C cos =，所以2524sin =B ，54C sin =，12544sin cos cos sin )sin(sin =+=+=C B C B C B A ， 在ABC ∆中，由正弦定理B AC A BC C AB sin sin sin ==得：)(1.1s i n s i n km CAAB BC ==，)(3sin sin km CBAB AC ==（2）半小时后，假设甲位于点D ，则km AB 5.2=，假设乙位于点E ，因为乙的路程为km 3，大于km 5.2，故点应位于道路BC 上，且km CE 6.0=，在CDE ∆中，由余弦定理得：2222225.06.06.05.026.05.0cos 2=⨯⨯⨯-+=⋅-+=C CE DC CE DC DE ，所以km DE 5.0=.19.解：（1）因为点)2,0(N ，)0,2(-A ，所以直线AN 的方程为2+=x y ，令4=x ，则)6,4(P ，又因为)0,2(B ，所以直线BP 的方程为)2(3-=x y ，由)2(3-=x y 及422=+y x ，得)56,58(-M 。
江苏连云港市高级中学2024年高一下学期期末数学试题(解析版)
连云港高级中学高一年级第二学期期末冲刺试卷数学试题注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知i 为虚数单位，若i 1i z =−，则z z ⋅=（ ） A. 1 B. 2C.12D. 3【答案】B 【解析】【分析】利用复数的除法运算求得1i z =−−，进而计算可求得z z ⋅. 【详解】由i 1i z =−，得1i (1i)i1i i i iz −−===−−×， 则(1i)(1i)112z z ⋅=−−−+=+=. 故选：B.2. 总体编号为01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（ ）7816 1572 0802 6315 0216 4319 9714 0198 3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181 A. 02 B. 14C. 15D. 16【答案】B 【解析】【分析】结合随机数表法确定正确答案.【详解】选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字， 则选出来的个体的编号为16，15，72（舍去），08，02，63（舍去），15（舍去），02（舍去），16（舍去），43（舍去），19，97（舍去），14. 故选出的第6个个体编号为14. 故选：B.3. 若向量()1,2a =− ，()2,3b = ，则a 在b上的投影向量为（ ）A. ()8,12B. 812,1313−C. 812,1313D.【答案】C 【解析】【分析】首先求出a b ⋅ 、b，再根据投影向量的定义计算可得.【详解】因为()1,2a =−，()2,3b = ，所以12234a b ×⋅=−+×=，b =所以a 在b上的投影向量为812,1313a b b b b ×= =⋅ . 故选：C4. 魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正4576边形，求出圆周率π约为355113，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才给打破.若已知π的近似值还可以表示成4cos38°，则） A. 18− B.8−C. 8D.18【答案】C 【解析】【分析】将π的近似值代入，利用倍角公式和诱导公式进行化简即可. 【详解】π的近似值还可以表示成4cos38°，16cos38sin 388sin 768cos14cos14°°°===°°， 故选：C.5. 设l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法中错误的是（ ） A. 若l⊥平面α，//αβ，m β⊂，则l m ⊥ B. 若l α⊥，m β⊂，//l m ，则αβ⊥C. 若l α⊥，m α⊥，则//l mD. 若//l α，l //β，则//αβ【答案】D 【解析】【分析】由面面垂直的判定定理可判断A 、B ；线面垂直的性质定理可判断C ；由面面平行的判定定理可判断D .【详解】对于A ，因l⊥平面α，//αβ，所以l ⊥平面β，又因为m β⊂，所以l m ⊥，故A 正确；对于B ，若l α⊥，//l m ，则m β⊥，又因为m β⊂，所以αβ⊥，故B 正确； 对于C ，若l α⊥，m α⊥，则//l m ，故C 正确； 对于D ，若//l α，l //β，则可能α与β相交，故D 错误. 故选：D .6. 已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S，a =，12b =，cos S B =，则A =（ ） A. 30°或150° B. 30°C. 45°D. 150°【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由三角形的面积公式即可得到角B ，再由正弦定理即可得到结果.【详解】因为1cos sin 2Sac B ac Bsin B B =，即tan B =， 且()0,πB ∈，所以π3B =，又a =，12b =，由正弦定理sin sin a b A B=可得，sin 1sin 2a B Ab ⋅==， 因为a b <，A 为锐角，所以π6A =. 故选：B7. 在长方体1111ABCD A B C D −中，已知2AB BC ==，13AA =，E 为11B C 的中点，则直线CE 与平面11BB D D 所成角的余弦值为（ ）为A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】利用线面垂直以及线线平行可得1MB N ∠为直线CE 与平面11BB D D 所成角的线面角，又三角形边角关系即可求解，或者建立空间直角坐标系，利用线面角公式即可求解．【详解】方法一：连接,AC BD 相交于O ，取OB 中点M ，BC 中点为N ,连接1,MN B M ， 则//MN AC ,1//EC B N ,由于1BB ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1BB AC ⊥,又AC BD ⊥,11,,BB BD B BB BD ∩=⊂平面11BB D D ，所以AC ⊥平面11BB D D ， 所以MN ⊥平面11BB D D ,因此1MB N ∠为直线CE 与平面11BB D D 所成角，12MNOC ==,1B N =,所以1B M则111cos B MMB N B N ∠=,方法二：建立如图空间直角坐标系，则(0C ,2,0),(1E ,2,3),(2A ,0,0)，(2AC − ,2,0)，(1CE =,0,3)，由于1,,AC BD AC BB ⊥⊥所以平面11BB D D 的法向量为(2AC − ,2,0)，设直线CE 与平面11BB D D 所成角为θ，则||sin ||||AC CE AC CE θ⋅== ， 则直线CE 与平面11BB D D故选：B ．8. 已知点A ，B ，C 均位于单位圆（圆心为O ，半径为1）上，且AB AB AC =⋅的最大值为（ ）A.B.C.1+D.1【答案】C 【解析】【分析】设O为圆心，由||AB =，可得0OB OA =，利用()AB ACAB OC OB OA OA =−− ，计算可求最大值.【详解】设O 为圆心，则||||||1OA OB OC ===，因为||AB =所以2222()22AB OB OA OB OB OA OA =−=−+= ，所以0OB OA = ，所以()()AB AC AB OC OA AB OC AB OA AB OC OB OA OA =−=−=−−2···cos ,1,1AB OC OB OA OA AB OC AB OC AB OC −+=+=+，因为cos ,[1,1]AB OC ∈−，所以max ()1AB AC = 故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 关于复数的命题正确的有（ ） A. 若复数12z z >，则12,z z ∈RB. 若复数()211i z m m =−++为纯虚数，则1m =±C. 若i 2z −=，则z 的最小值为1D. 若12=z z ，则2212z z =【答案】AC 【解析】【分析】根据复数的分类即可判断AB,根据复数模长的计算，结合三角函数的性质即可判断C ，根据模长公式即可判断D.【详解】由复数定义可知，若复数12z z >，则1z ，2R z ∈，A 正确；若复数21(1)i z m m =−++为纯虚数，则21010m m −= +≠，则1m =，B 错误；设i(,R)z x y x y =+∈，|i |2z −=的几何意义是z 的轨迹是以(0,1)为圆心，以2为半径的圆， 令2cos x α=，12sin y α=+，则1z =≥，即||z 的最小值为1，C 正确；若12||||z z =，但2212z z =不一定成立，比如121i,z z =−，则12||||z z ==，22122i,2z z =−=−，D 错误． 故选：AC ．10. 下列关于平面向量的说法中，正确的是（ ）A. 对于任意向量a 、b，有a b a b −≥− 恒成立B. 若平面向量a ，b满足22b a == ，则2a b − 的最大值是5 C. 若向量a ，b 为单位向量，2a b −=，则向量a 与向量b的夹角为60° D. 若非零向量a ，b 满足()0,xa ybx y +=∈R ，且a ，b不共线，则0x y == 【答案】ABD 【解析】【分析】由平面向量的线性运算的几何性质可判断A ，根据模长的计算公式即可判断B ，数由夹角公式即可利用模长求解C ，根据共线的性质即可判断D.【详解】对于A ，由向量减法的三角形法则及三角形两边之差小于第三边知a b a b −≥−恒成立，故A 正确；对于B ， ||2||2b a ==，∴25a b −=≤，故B 正确；对于C ， 向量a ，b为单位向量，|2|a b − ，∴2(2)7a b −= ，∴22447a b a b +−⋅= ，∴12a b ⋅=− ， 对于D ，a ，b 不共线，当0x ≠时，由()0,xa yb x y +=∈R ，则y a b x=− ，此时与a ，b 不共线矛盾，若0y ≠时，此x b a y=− ，也与a ，b 不共线矛盾，故0xy ==，故D 正确． 故选：ABD ．11. 某市商品房调查机构随机抽取n 名市民，针对其居住的户型结构和满意度进行了调查，如图1调查的所有市民中四居室共300户，所占比例为13，二居室住户占16．如图2是用分层抽样的方法从所有调查的市民的满意度问卷中，抽取10%的调查结果绘制成的统计图，则下列说法错误的是（ ）A. 样本容量为90B. 样本中三居室住户共抽取了35户C. 据样本可估计对四居室满意的住户有110户D. 样本中对二居室满意的有3户【答案】BC 【解析】【分析】推导出二居室有150户，三居室有450户，由此利用图1和图2能求出结果． 【详解】解：如图1调查的所有市民中四居室共300户，所占比例为13，二居室住户占16， ∴30090013=，二居室有19001506×=户，三居室有450户， 由图1和图2得：在A 中，样本容量为：90010%90n =×=，故A 正确；在B 中，样本中三居室住户共抽取了45010%45×=户，故B 错误； 在C 中，根据样本可估计对四居室满意的住户有30040%120×=户，故C 错误；在D 中，样本中对二居室满意的有15010%20%3××=户，故D 正确． 故选：BC ．12. 如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E ，O 分别为线段11A D ，AC 的中点，F 在棱BC 上.则下列命题正确的是（ ）A. 直线1B O ⊥直线1D CB. 直线1DB ⊥平面1AD CC. 直线1//B O 平面11A DCD. 设直线AB 与直线EF 所成的角为θ，则sin θ∈ 【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意作出辅助线结合线面垂直及平行的判定定理证明A 、B 、C ，取11B C 的中点G ，连接EG 、EF 、FG ，则FEG ∠即为直线AB 与直线EF 所成的角，再由锐角三角函数计算即可判断D.【详解】对于A ：连接1AD 交1A D 于点M ，连接1D C 、OM ，根据正方体的性质可得M 为1AD 的中点，又为AC 的中点，所以1//OM D C ， 设正方体的棱长为2，所以1OB OM 1B M ，所以11MB OB =，显然190MOB ∠≠°，故直线1B O 与直线1D C 不垂直，故A 错误；对于B ：由正方体的性质可得AC BD ⊥，1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1BB AC ⊥，1BB BD B ∩=，1,BB BD ⊂平面11BB D D ，所以AC ⊥平面11BB D D ，1B D ⊂平面11BB D D ，所以1B D AC ，同理可证11B D AD ⊥，1AD AC A = ，1,AD AC ⊂平面1AD C ，所以直线1DB ⊥平面1AD C ，故B 正确；对于C ：连接11A C ，11B D 交于点H ，连接DH ，由正方体性质1//OD HB 且1OD HB =， 所以四边形1ODHB 为平行四边形，所以1//DH OB ，1B O ⊄平面11A DC ，DH ⊂平面11A DC ，所以1//B O 平面11A DC ，故C 正确；对于D ：取11B C 的中点G ，连接EG 、EF 、FG ，因为11//EG A B ，11//AB A B ，所以//EG AB ， 则FEG ∠即为直线AB 与直线EF 所成的角，即FEG θ∠=， 设正方体的棱长为2，GF x =，则2x ≤≤，则2EG =，EF ，的所以sin GFEFθ==因为2x ≤≤245x ≤≤，211154x ≤≤， 即24415x ≤≤，294125x ≤+≤≤≤≤≤即sin θ∈，故D 正确.故选：BCD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13. ()()1tan 221tan 23+°+°的值为__________． 【答案】2 【解析】【分析】利用正切的和角公式进行化简求值.【详解】已知()tan 22tan 23tan 222311tan 22tan 23°+°°+°==−°⋅°， 故tan 22tan 23tan 22tan 231°+°+°⋅°=，所以()()1tan 221tan 231tan 22tan 23tan 22tan 232+°+°=+°+°+°⋅°= 故答案为：214. 中国古典神话故事《白蛇传》中“水漫金山寺”中的金山寺位于镇江金山公园内，唐宋时期，寺里有南北相向的两座宝塔，一名荐慈塔，一名荐寿塔，后双塔毁于火，明代重建该塔，当年值逢慈禧60大寿，地方官员以此塔作为贺礼进贡，故取名慈寿塔.某校高一研究性学习小组为了实地测量该塔的高度，选取与塔底中心O 在同一个水平面内的两个测量基点A 与B ，在A 点测得：塔顶P 的仰角为45°，O 在A 的北偏东60°处，B 在A 的正东方向41米处，且在B 点测得O 与A 的张角为45°，则慈寿塔的高度约为__________米（四舍五入，保留整数）.【答案】30 【解析】【分析】在ABO 中利用正弦定理求出AO ，依题意APO △为等腰直角三角形，即可得到PO . 【详解】由题意可得在AOB 中，30OAB ∠=°，45ABO ∠=°，41AB =米， 所以105AOB ∠=°， 在ABO 中利用正弦定理可得sin sin AB AOAOB ABO=∠∠，所有sin 41sin 45sin sin105AB ABO AOAOB ⋅∠×°==∠°1)30≈， 因为45PAO ∠=°，所以APO △为等腰直角三角形，所以30POAO =≈米． 故答案为：30．15. 一个直角梯形上底、下底分别为3cm 和4cm ，将此直角梯形以垂宜于底的腰为轴旋转周形成一个圆台，此圆台外接球的半径为5cm ，则这个圆台的高为_________. 【答案】1或7 【解析】【分析】分别求出球心到两底面的距离，分类讨论可求出圆台的高.【详解】圆台的外接球的半径为5，则圆台外接球的球心到上底面的距离为14d ==,则圆台外接球的球心到下底面的距离为13d ,若球心在上下两底面之间，则圆台的高为347h =+=, 若上下两底面在球心的同一侧，则圆台的高为431h =−=, 综上所述：这个圆台的高为1或7. 故答案为：1或7.16. 在边长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E ，F ，G 是1111,,AB A D C D 的中点，那么过点E ，F ，G 的截面图形为__________（在“三角形、四边形、五边形、六边形”中选择一个）；截面图形的面积为__________．【答案】 ①. 六边形 ②. 【解析】【分析】根据面面平行的性质定理可推断正方体截面图形的形状为正六边形，再根据截面图的边长与正方体棱长关系以及正六边形结构特征即可求解面积.【详解】如图，分别取BC 、1AA 、1CC 的中点为H 、I 、J ， 连接,,,,FI IE EH HJ JG ，则由正方体的结构特征可知：FI IE EH HJ JG FG =====，且//,//,//FI HJ IE JG FG EH ，又由面面平行的性质定理可知过点E ，F ，G 的截面与正方体上下面的两条交线平行， 与左右两个面的两条交线平行，与前后两个面的交线也平行， 故六边形FGJHEI E ，F ，G 的截面, 所以过点E ，F ，G 的截面图形为六边形.因为FG ，所以六边形FGJHEI 的正六边形，如图，根据正六边形结构特征可以将其分割成6，故由正三角形面积公式得截面图形的面积为6×故答案为：六边形；四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在ABC 中，AD 是BAC 的角平分线，AE 是边BC 上的中线，点D 、E 在边BC 上． （1）用正弦定理证明AB BDAC CD=；（2）若4360AB AC BAC ==∠=°，，，求DE 长． 【答案】（1）证明见解析 （2）DE =【解析】【分析】（1）由正弦定理知，sin sin AB BDADB BAD =∠∠，sin sin AC BD ADC DAC=∠∠，结合条件可得结论；（2）由余弦定理可求得BC =，进而利用（1）的结论可求DE . 【小问1详解】由正弦定理知，在ABD △中，sin sin AB BDADB BAD=∠∠，在ADC △中，sin sin AC BDADC DAC=∠∠， 由πADB ADC ∠+∠=，BAD DAC ∠=∠，所以sin sin ,sin sin ADB ADC BAD DAC ∠=∠∠=∠， 所以AB BDAC DC=； 【小问2详解】在ABC 中，由余弦定理可得2222cos 169243cos 6013BC AB AC AB AC BAC =+−=+−×××°= ，所以BC =，由（1）可得43BDAB DCAC ==，所以47BD BC ==， 因为AE 是BC边上的中线，所以12BEBC ==，所以DE BD BE =−=18. 已知12sin 13α=，()3tan 4αβ−=，其中α，β均为锐角.（1）求tan 2α的值； （2）求cos β的值. 【答案】（1）120119− （2）5665的【解析】分析】（1）首先求出cos α，即可求出tan α，再由二倍角正切公式计算可得；（2）根据同角三角函数的基本关系求出()sin αβ−，()cos αβ−，再根据()cos cos βααβ=−− 利用两角差的余弦公式计算可得. 【小问1详解】因为12sin 13α=且α为锐角，所以cos 135α=，所以sin 12tan cos 5ααα==， 所以221222tan 12051tan 119tan 21215ααα×===−−−. 【小问2详解】 因为α、β均为锐角， 所以ππ22αβ−<−<，又()3tan 4αβ−=，所以π02αβ<−<，又()()()sin 3tan cos 4αβαβαβ−−==−且()()22sin cos 1αβαβ−+−=， 解得()3sin 5αβ−=，()4cos 5αβ−=（负值舍去），所以()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ=−−=−+−541235613513565=×+×=. 19. 如图，三棱柱111ABC A B C 中，E 为1BC 中点，F 为1AA 中点．（1）求证：//EF 平面ABC ；（2）若1EF BB ⊥，平面11BB C C ⊥平面ABC ，ACBC ⊥，求证：1BB ⊥平面ABC ．【【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）取BC 的中点M ，连接,ME MA ，由已知易证四边形MEFA 是平行四边形，进而可得//EF AM ，可证结论；（2）由面面垂直的性质可得AC ⊥平面11BB C C ，进而可得1AC BB ⊥，结合（1）与已知可得1AM BB ⊥，进而由线面垂直的判定定理可证结论. 【小问1详解】取BC 的中点M ，连接,ME MA ，因为E 为1BC 中点，所以1//ME CC 且1ME CC =， 又F 为1AA 中点，11//AA CC ，11AA CC =，所以//ME AF 且ME AF =，所以四边形MEFA 是平行四边形， 所以//EF AM ，又因为EF ⊄平面ABC ，AM ⊂平面ABC ， 所以//EF 平面ABC ； 【小问2详解】因为1EF BB ⊥，由（1）可知//EF AM ，所以1AM BB ⊥， 又ACBC ⊥，平面11BB C C ⊥平面ABC ，平面11BB C C 平面ABC BC =，AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥平面11BB C C ，1BB ⊂平面11BB C C ，所以1AC BB ⊥，又AC AM A ∩=，,AM AC ⊂平面ABC ， 所以1BB ⊥平面ABC ．20. 为了调查疫情期间数学网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了数学测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6组，其频率分布直方图如图所示．（1）求图中a 的值；为了更全面地了解疫情对网课的影响，求该样本的60百分位数； （2）试估计本次数学测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）该校准备对本次数学测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前13%的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？【答案】（1）0.025a =；60百分位数为74； （2）71 （3）88 【解析】【分析】（1）由直方图区间频率和为1求参数a ；设该样本的60百分位数为x 分，由题意可得0.5(70)0.0250.6x +−×=，求解即可；（2）根据直方图求物理测试成绩的平均分即可；（3）根据直方图求出成绩从高到低排列且频率0.13为对应分数即可. 【小问1详解】由(0.0050.010.01520.030)101a ++×++×=，解得0.025a =； 设该样本的60百分位数为x 分，因为[40,50),[50,60)[60,70),[70,80)，对应的频率分别为0.05，0.15，0.3，0.25， 所以60百分位数在[70,80)内，由题意可得0.5(70)0.0250.6x +−×=，解得74x =， 所以60百分位数为74； 【小问2详解】450.05550.15650.3750.25850.15950.171×+×+×+×+×+×=，故本次防疫知识测试成绩的平均分为71； 【小问3详解】设受嘉奖的学生分数不低于x 分，因为[80,90),[90,100]对应的频率分别为0.15，0.1， 所以(90)0.0150.10.13x −×+=，解得88x =， 故受嘉奖的学生分数不低于分88．21.条件①cos sin b C C a c =+；②()cos 2cos b C a c B =−；③()sin cos cos cos R B B a C c A =+（其中R 为ABC 的外接圆半径）.在这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足__________. （1）求角B 的大小；（2）若4b =，求ABC 面积S 最大值.（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个计分） 【答案】（1）π3（2）【解析】【分析】（1）若选①，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得π1sin()62B −=，可求ππ5π,666B−∈−，进而可得B 的值；若选②，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得1cos 2B =，结合(0,π)B ∈，可求B 的值；若选③，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得1cos 2B =，结合(0,π)B ∈，可求B 的值．（2）由题意利用余弦定理以及基本不等式可求ac 的最大值，进而利用三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】若选①，因为cos sin b C C a c +=+，由正弦定理可得sin cos sin sin sin B C B C A C +=+，因为sin sin()sin cos cos sin AB C B C B C =+=+，可得sin cos sin sin cos cos sin sin B C B C B C B C C =++，sin cos sin sin B C B C C =+， 又C 为三角形内角，sin 0C ≠，的cos 1B B =+， 可得π1sin()62B −=， 因为(0,π)B ∈， 可得ππ5π,666B −∈−， 所以ππ66B −=， 可得π3B =； 若选②，因为cos (2)cos b C a c B =−， 由正弦定理可得sin cos (2sin sin )cos BC A C B =−， 可得sin cos sin cos sin()sin 2sin cos B C C BB C A A B +=+==， 又A 为三角形内角，sin 0A ≠， 可得1cos 2B =， 因为(0,π)B ∈， 所以π3B =； 若选③，因为sin cos (cos cos )R B B a C c A =+（其中R 为ABC 的外接圆半径）， 又由正弦定理可得2sin sin sin ab cR A B C===， 所以cos (cos cos )2bB aC c A =+， 可得1sin cos (sin cos sin cos )cos sin()cos sin 2B B AC C A B A C B B =+=+=， 又B 为三角形内角，sin 0B ≠， 所以1cos 2B =， 因为(0,π)B ∈， 所以π3B =． 【小问2详解】 因为π3B =，4b =， 所以余弦定理可得22162a c ac ac ac ac =+−≥−=，可得16ac ≤，当且仅当4a c ==时取等号，所以ABC 的面积1sin 2Sac B ac =≤，当且仅当4b c ==时，等号成立，所以ABC 面积S 的最大值为22. 如图，在正方形123SG G G 中，E ，F 分别是12G G ，23G G 的中点，D 为EF 的中点，若沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使1G ，2G ，3G 三点重合，重合后的点记为G .（1）在四面体S EFG −中，请写出不少于3对两两垂直的平面，并证明其中的一对； （2）若正方形的边长为4，求点G 到平面SEF 的距离. 【答案】（1）答案见解析 （2）43【解析】【分析】（1）依题意可得SG GE ⊥，SG GF ⊥，GE GF ⊥，根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）根据S EGF G SEF V V −−=，利用等体积法计算可得. 【小问1详解】依题意可得平面SGE ⊥平面GEF ，平面SGF ⊥平面GEF ，平面SGE ⊥平面SGF ． 证明如下：在折前正方形123SG G G 中，11SG G E ⊥，33SG G F ⊥，∴折成四面体S EFG −后，SG GE ⊥，SG GF ⊥，又GE GF G ∩= ，,GE GF ⊂平面GEF ，SG ∴⊥平面GEF ．SG ⊥ 平面GEF ，SG ⊂平面SGE ，∴平面SGE ⊥平面GEF ；因为SG ⊂平面SGF ，∴平面SGF ⊥平面GEF ；又令正方体的边长为2，则1GF GE ==，EF ，所以222EF GE GF =+，所以GE GF ⊥，SG GF G = ，,SG GF ⊂平面SGF ，所以GE ⊥SGF ，因为GE 平面SGE ，所以平面SGE ⊥平面SGF .【小问2详解】若正方形的边长为4，则2GE GF ==，SE SF ===EF所以12222GEF S =××= ，162SEF S =×=由（1）可知SG ⊥平面GEF ，所以11842333S EGF GEF V SG S −⋅=××== ，设点G 到平面SEF 的距离为h ，又S EGF G SEF V V −−=，所以8133SEF S h =×× ，即38163h =××，解得43h =．。
2022-2023学年江苏省苏州高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省苏州高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．cos105°cos45°+sin105°sin45°＝（ ） A ．12B ．−12C ．√32D ．−√322．已知复数z 是一元二次方程x 2+2x +2＝0的一个根，则|z |＝（ ） A ．0B ．1C ．√2D ．23．抛掷三枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，“既有正面向上，也有反面向上”的概率为（ ） A ．14B ．38C ．12D ．344．已知A （2，3），B （4，﹣3），点P 在线段AB 的延长线上，且|AP →|=2|PB →|，则点P 的坐标为（ ） A ．（0，9） B ．（6，﹣9） C ．(103，−1) D ．（6，﹣9）或(103，−1) 5．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”的“祖暅原理”，其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．如图，已知正六棱台的上、下底面边长分别为1和2，高为2√3，一个不规则的几何体与此棱台满足“幂势既同”，则该几何体的体积为（ ）A ．72√33B ．16√3C ．18√3D ．216．已知平面向量a →，b →满足|b →|=1，a →⋅b →=−2，则3a →−b →在b →上的投影向量为（ ） A ．7b →B ．−7b →C ．5b →D ．−5b →7．已知a =45，b =sin 23，c =cos 13，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a8．用长度分别为2，3，4，5，6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（ ） A ．8√5cm 2B ．6√10cm 2C ．15√2cm 2D ．3√55cm 2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知一组数据4，2，a ，10，7的平均数为5，则此组数据的（ ） A ．众数为2B ．中位数为4C ．极差为3D ．方差为48510．下列条件中能推导出△ABC 一定是锐角三角形的有（ ） A ．AB →⋅AC →＞0B ．sin A ：sin B ：sinC ＝4：5：6C ．cos A cos B cos C ＞0D ．tan A •tan B ＝211．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图1），打开后形成以O 为圆心的两个扇形（如图2），若∠AOB ＝150°，OA ＝2OC ＝2，点F 在AB ̂上，∠BOF ＝120°，点E 在CD ̂上，OE →=xOC →+yOD →（x ，y ∈R ），则（ ）A ．OE →⋅EF →的取值范围为[﹣2，1] B ．OE →⋅EF →的取值范围为[﹣3，1] C ．当OE →⊥EF →时，x +y =1+√3D ．当OE →⊥EF →时，x +y =2+√312．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在线段AC 上运动，则下列说法正确的有（ ） A ．B 1P ⊥BD 1B ．三棱锥C 1﹣A 1DP 的体积为定值C ．若Q 为棱BC 上一动点，则△B 1PQ 的周长的最小值为√3+1D ．过P 作平面α，使得A 1C ⊥α，则α截正方体所得的截面可以是四边形 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知事件A 与B 相互独立，P （A ）＝0.6，P （AB ）＝0.42，则P （A +B ）＝ ．14．已知三条不同的直线a ，b ，c 和两个不同的平面α，β满足以下条件：①a ⊥α，b ⊥β；②α∩β＝m ；③c ⊥a ，c ⊥b ，c ⊄α，c ⊄β，则c 与m 的位置关系是 ．（填“相交”，“平行”或“异面”） 15．已知棱长为4的正四面体A ﹣BCD 的四个顶点都在同一球面上，过棱AB 的中点M 的一个平面截此球所得截面面积为k π（k ∈N *），请写出一个符合条件的k 的值： ． 16．已知α，β为一个斜三角形的两个内角，若cosα−sinαcosα+sinα=cos2β，则tan α+tan β的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知i 为虚数单位，复数z 0＝3+4i ． （1）若复数z 1满足z 1z 0＝3z 1+z 0，求z 1的虚部；（2）设复数z ＝（x 2﹣4x ）+（x +2）i （x ∈R ），若复平面内表示复数z +z 0的点位于第二象限，求x 的取值范围．18．（12分）数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性．苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标．现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中a 的值和第25百分位数；（2）在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年䯍在[25，35）和[45，55）内抽取6位市民做问卷调查，并从中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在[25，35）内的概率．19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 是菱形，平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，AB ⊥BC ，M 和N 分别是AB 和B 1C 1的中点． （1）求证：MN ∥平面AA 1C 1C ； （2）求证：B 1C ⊥AC 1．20．（12分）已知向量a →=(sinx ，cosx)，b →=(cosx ，√3cosx)，函数f(x)=a →⋅b →−√32．（1）若f(x 02)=−13，且x 0∈(−π2，π2)，求sin x 0的值；（2）已知A （﹣3，2），B （3，10），将f （x ）的图象向左平移π12个单位长度得到函数g （x ）的图象．在g（x）的图象上是否存在一点P，使得AP⊥BP？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著，该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点，第一次实现了几何学的系绕化、条理化，成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范．书中第Ⅰ卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯（勾股定理），证明过程中以直角三角形ABC中的各边为边分别向外作了正方形（如图1）．某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究，提出了如下问题，请帮忙解答．问题：如图2，已知△ABC满足AC=2√2，AB＝2，设∠BAC＝θ（0＜θ＜π），四边形ABGF、四边形ACED、四边形BCQP都是正方形．（1）当θ=π2时，求EQ的长度；（2）求AQ长度的最大值．22．（12分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，DE＝3，AE＝2，BC＝CD＝1，∠BCD=∠CDE=2π3，∠AEB=π2．（1）当AB⊥BC时，求直线AB与平面BCDE所成角的大小；（2）当二面角A﹣BE﹣C为π3时，求平面ABC与平面ADE所成二面角的正弦值．2022-2023学年江苏省苏州高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．cos105°cos45°+sin105°sin45°＝（ ） A ．12B ．−12C ．√32D ．−√32解：cos105°cos45°+sin105°sin45°=cos(105°−45°)=cos60°=12． 故选：A ．2．已知复数z 是一元二次方程x 2+2x +2＝0的一个根，则|z |＝（ ） A ．0B ．1C ．√2D ．2解：设z ＝a +bi ，a ，b ∈R ，（a +bi ）2+2（a +bi ）+2＝0，即a 2﹣b 2+2a +2+（2ab +2b ）i ＝0，故{a 2−b 2+2a +2=02ab +2b =0，解得{a =−1b =1或{a =−1b =−1，故z ＝﹣1±i ，所以|z|=√1+1=√2． 故选：C ．3．抛掷三枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，“既有正面向上，也有反面向上”的概率为（ ） A ．14B ．38C ．12D ．34解：抛掷三枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况： （正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）， （反，反，正），（反，正，反），（正，反，反），（反，反，反）， 共有8种不同的结果，既有正面向上，也有反面向上情况：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）， （反，反，正），（反，正，反），（正，反，反）， 有6种不同的结果，所以，既有正面向上，也有反面向上的概率为68=34．故选：D ．4．已知A （2，3），B （4，﹣3），点P 在线段AB 的延长线上，且|AP →|=2|PB →|，则点P 的坐标为（ ）A ．（0，9）B ．（6，﹣9）C ．(103，−1) D ．（6，﹣9）或(103，−1) 解：由题意得，点B 为AP 中点，设点P （x ，y ），则{x+22=4y+32=−3，解得{x =6y =−9，所以点P 的坐标为（6，﹣9）． 故选：B ．5．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”的“祖暅原理”，其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．如图，已知正六棱台的上、下底面边长分别为1和2，高为2√3，一个不规则的几何体与此棱台满足“幂势既同”，则该几何体的体积为（ ）A ．72√33B ．16√3C ．18√3D ．21解：因为正六棱台的上下底面为正六边形， 所以S 上=6×√34×12=3√32，S 下=6×√34×22=6√3， 所以V 六棱台=13(3√32+6√3+√3√32×6√3)×2√3=21， 由祖暅原理知该几何体的体积也为21． 故选：D ．6．已知平面向量a →，b →满足|b →|=1，a →⋅b →=−2，则3a →−b →在b →上的投影向量为（ ） A ．7b →B ．−7b →C ．5b →D ．−5b →解：由题意，3a →−b →在b →上的投影向量为(3a →−b →)⋅b→|b →|•b →=3a →⋅b →−b→2|b →|•b →=3×(−2)−11•b →=−7b →． 故选：B ．7．已知a =45，b =sin 23，c =cos 13，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a解：因为sin 23＜sin π4=√22＜45＜sin π3=√32，c =cos 13＞cosπ6=√32＞45=a ， 所以c ＞a ，所以b ＜a ＜c ． 故选：C ．8．用长度分别为2，3，4，5，6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（ ） A ．8√5cm 2B ．6√10cm 2C ．15√2cm 2D ．3√55cm 2解：方法一：因为三角形的周长为20，所以三角形越接近等边三角形，面积越大，所以三边长为6，7，7时面积最大，此时边长为6的边上的高为√72−32=2√10，面积为S =12×6×2√10=6√10， 方法二：设三角形的三边分别为a ，b ，c ， 令p =a+b+c2，则p ＝10．由海伦公式S =√p(p −a)(p −b)(p −c)， 知S =√10(10−a)(10−b)(10−c)≤√10[(10−a)+(10−b)+(10−c)3]3=100√39＜20＜3√55， 由于等号成立的条件为10﹣a ＝10﹣b ＝10﹣c ，故“＝”不成立， ∴S ＜20＜3√55．排除CD ；由以上不等式推测，当三边长相等时面积最大，故考虑当a ，b ，c 三边长最接近时面积最大， 此时三边长为7，7，6，用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为6组成三角形，此三角形面积最大，解法同一可知面积为6√10cm 2， 故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知一组数据4，2，a ，10，7的平均数为5，则此组数据的（ ） A ．众数为2 B ．中位数为4C ．极差为3D ．方差为485解：由题意可得4+2+a+10+75=5⇒a =2，所以A 正确：2，2，4，7，10的中位数为4，故B 正确； 极差为10﹣2＝8，故C 错误；对于D ：S 2=(4−5)2+(2−5)2+(2−5)2+(10−5)2+(7−5)25=485，D 正确．10．下列条件中能推导出△ABC 一定是锐角三角形的有（ ） A ．AB →⋅AC →＞0B ．sin A ：sin B ：sinC ＝4：5：6C ．cos A cos B cos C ＞0D ．tan A •tan B ＝2解：对于A ，因为AB →⋅AC →=|AB →||AC →|cos〈AB →⋅AC →〉＞0，即cos〈AB →⋅AC →〉＞0， 又0＜〈AB →⋅AC →〉＜π，故角A 为锐角，但无法确定另两个角的范围，故△ABC 不一定是锐角三角形，故A 错误； 对于B ：因为sin A ：sin B ：sin C ＝4：5：6，由正弦定理得a ：b ：c ＝4：5：6， 令a ＝4k ，则b ＝5k ，c ＝6k ，显然最大角为C ，且cosC =a 2+b 2−c 22ab =(4k)2+(5k)2−(6k)22×4k×5k＞0， 所以最大角C 为锐角，所以△ABC 一定是锐角三角形，故B 正确； 对于C ，因为cos A cos B cos C ＞0，若cos A ＜0，则cos B ＜0，cos C ＞0或cos B ＞0，cos C ＜0，又0＜A ，B ，C ＜π，则除了角A 为钝角外，还有一角为钝角，矛盾； 同理cos B ＜0，cos C ＜0都不可能，故cos A ＞0，cos B ＞0，cos C ＞0，即三个角均为锐角，故C 正确；对于D ，因为tan A •tan B ＝2＞0，易知tan A ＞0，tan B ＞0，则A ，B 均为锐角， 又tanC =−tan(A +B)=−tanA+tanB1−tanA⋅tanB=tanA +tanB ＞0，则C 也为锐角，所以△ABC 一定为锐角三角形，故D 正确． 故选：BCD ．11．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图1），打开后形成以O 为圆心的两个扇形（如图2），若∠AOB ＝150°，OA ＝2OC ＝2，点F 在AB ̂上，∠BOF ＝120°，点E 在CD ̂上，OE →=xOC →+yOD →（x ，y ∈R ），则（ ）A ．OE →⋅EF →的取值范围为[﹣2，1]B ．OE →⋅EF →的取值范围为[﹣3，1]C ．当OE →⊥EF →时，x +y =1+√3D ．当OE →⊥EF →时，x +y =2+√3解：对于A ，OE →⋅EF →=OE →⋅(OF →−OE →)=OE →⋅OF →−OE →2=OE →⋅OF →−1=2cos∠EOF −1， 因为∠EOF ∈[0，2π3]．所以cos ∠EOF ∈[−12，1]，所以2cos ∠EOF ﹣1∈[﹣2，1]， 即OE →⋅EF →∈[−2，1]，A 正确；B 错误；对于C ，如图，当OE →⊥EF →时，可判断E 为BF 中点，OF ＝2OE ＝2，则∠OFE ＝∠AOF ＝30°，OA ∥BF ，作EM ∥OB ，则四边形OBEM 为平行四边形， 则OE →=OM →+OB →，OM =BE =EF =√3，所以OM →=√3OC →，OB →=2OD →， 所以OE →=OM →+OB →=√3OC →+2OD →．所以x +y =2+√3，C 错误，D 正确． 故选：AD ．12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在线段AC 上运动，则下列说法正确的有（ ） A ．B 1P ⊥BD 1B ．三棱锥C 1﹣A 1DP 的体积为定值C ．若Q 为棱BC 上一动点，则△B 1PQ 的周长的最小值为√3+1D ．过P 作平面α，使得A 1C ⊥α，则α截正方体所得的截面可以是四边形 解：对于A ，在正方体中，DD 1⊥平面ABCD ，所以DD 1⊥AC ， 又因为BD ⊥AC ，BD ∩DD 1＝D 且BD ⊂平面BDD 1，DD 1⊂平面 BDD 1， 所以AC ⊥平面BDD 1，所以AC ⊥BD 1，同理可证AB 1⊥BD 1， 又因为AC ∩AB 1＝A ，AC ⊂平面AB 1C ，AB 1⊂平面AB 1C ，所以BD 1⊥平面AB 1C ，因为B 1P ⊂平面AB 1C ，所以B 1P ⊥B 1D ，故A 正确； 因为在正方体中，AA 1∥CC 1，且AA 1＝CC 1，所以ACC 1A 1是平行四边形， 所以AC ∥A 1C 1，又A 1C 1⊂平面A 1DC 1，AC ⊄平面A 1DC 1，所以AC ∥平面A 1DC 1，又P ∈AC ，所以点P 到平面A 1DC 1的距离为定值，而△A 1DC 面积为定值， 所以三棱锥C 1﹣A 1DF 的体积为定值，故B 正确；对C，如图，将△AB1C绕AC旋转，△BB1C绕BC旋转，使得△AB1C与和△BB1C与△ABC共面，如图点P在AC上，点Q在BC上，若△B1PQ周长最小，即B1P+PQ+QB1最小，当B1，P，Q，B1四点共线时，B1P+PQ+QB1最小，在△CB1B1中，由余弦定理得B1B12=（√2）2+（√2）2﹣2×√2×√2×cos150°＝4+2√3，所以B1B1=√3+1，故C正确；对于D，如图，在正方体中，与正方体体对角线垂直的截面只有两种图形，三角形与六边形，所以D错误．故选：ABC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知事件A与B相互独立，P（A）＝0.6，P（AB）＝0.42，则P（A+B）＝0.88．解：因为事件A与B相互独立，所以P（AB）＝P（A）×P（B）＝0.6×P（B）＝0.42⇒P（B）＝0.7，所以P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.6+0.7﹣0.42＝0.88．故答案为：0.88．14．已知三条不同的直线a，b，c和两个不同的平面α，β满足以下条件：①a⊥α，b⊥β；②α∩β＝m；③c⊥a，c⊥b，c⊄α，c⊄β，则c与m的位置关系是平行．（填“相交”，“平行”或“异面”）解：由题意可知，直线a与直线b不平行，过a上一点A作与直线b′∥b，如图所示，则a 与b ′确定一个平面γ， 由a ⊥α，a ⊂γ，则γ⊥α，由b ⊥β，b ′∥b ，则b ′⊥β，又b ′⊂γ，则γ⊥β， 由α∩β＝m ，得m ⊥γ，由c ⊥b ，得c ⊥b ′，又c ⊥a ，a ∩b ′＝A ，a ，b ′⊂γ，所以c ⊥γ， c ⊄a ，c ⊄β，所以c ∥m ． 故答案为：平行．15．已知棱长为4的正四面体A ﹣BCD 的四个顶点都在同一球面上，过棱AB 的中点M 的一个平面截此球所得截面面积为k π（k ∈N *），请写出一个符合条件的k 的值： 4或5或6 ． 解：如图，棱长为4的正四面体ABCD ，置入到正方体中，此正方体棱长为2√2，四面体外接球即为此正方体外接球，球心即为正方体中心O ， 半径R =12×√(2√2)2+(2√2)2+(2√2)2=√6． 则过点M 的最大截面圆即为过球心时，此时截面圆半径即为球半径√6，截面面积为π×(√6)2=6π， 当点M 为截面圆圆心时，此时截面圆面积最小，其中OM =√2， 最小截面圆半径为r =√R 2−OM 2=√6−2=2，截面圆面积为π×22＝4π，所以过点M 的截面圆面积取值范围为[4π，6π]， 所以k ∈{4，5，6}． 故答案为：4或5或6．16．已知α，β为一个斜三角形的两个内角，若cosα−sinαcosα+sinα=cos2β，则tan α+tan β的最小值为 −14 ．解：cosα−sinαcosα+sinα=cos2β，等号左边弦化切，右边用二倍角公式可得，1−tanα1+tanα=cos 2β−sin 2βcos 2β+sin 2β，1−tanα1+tanα=1−tan 2β1+tan 2β，tan α＝tan ²β，∴tan α+tan β＝tan ²β+tan β＝（tan β+12）²−14≥−14，取等号条件：tan β=−12时， 此时tan α=14，tan （α+β）=−29＜0，0＜α＜π2，π2＜β＜π，π2＜(α+β)＜π，0＜π−(α+β)＜π2，∴满足α、β、π﹣（α+β）为一斜三角形内角．所以tan α+tan β最小值为−14． 故答案为：−14．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知i 为虚数单位，复数z 0＝3+4i ． （1）若复数z 1满足z 1z 0＝3z 1+z 0，求z 1的虚部；（2）设复数z ＝（x 2﹣4x ）+（x +2）i （x ∈R ），若复平面内表示复数z +z 0的点位于第二象限，求x 的取值范围．解：（1）设z 1＝a +bi （a ，b ∈R ），则由z 1z 0＝3z 1+z 0可得（a +bi ）（3+4i ）＝3（a +bi ）+3+4i ，整理得﹣4b ﹣3+（4a ﹣4）i ＝0，所以{4a −4=0−4b −3=0，解得a ＝1，b =−34，所以z 1的虚部为−34；（2）z +z 0=(x 2−4x)+(x +2)i +3−4i =(x 2−4x +3)+(x −2)i ， 因为复平面内表示复数z +z 0的点位于第二象限， 所以{x 2−4x +3＜0x −2＞0⇒⇒{1＜x ＜3x ＞2⇒⇒2＜x ＜3，即x 的取值范围为（2，3）．18．（12分）数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性．苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标．现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中a 的值和第25百分位数；（2）在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年䯍在[25，35）和[45，55）内抽取6位市民做问卷调查，并从中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在[25，35）内的概率．解：（1）（a +0.03+0.015+0.01×2）×10＝1⇒a ＝0.035， 因为第一组的频率为0.01×10＝0.1，0.1＜0.25， 第二组的频率为0.03×10＝0.3，0.1+0.3＞0.25，所以第25百分位数在第二组，设为x ，则0.1+x−2510×0.3=0.25⇒x =30， 所以第25百分位数为30．（2）年龄在[25，35）的市民人数为200×0.3＝60，年龄在[45，55）的市民人数为200×0.15＝30， 用分层随机抽样的方法抽取年龄在[25，35）的人数为6×6060+30=4人，年龄在[45，55）的人数为6×3060+30=2人，设年龄在[25，35）的4人为A ，B ，C ，D ，年龄在[45，55）的2人为E ，F ，从这6为市民中抽取两名的样本事件为{（AB ），（AC ），（AD ），（AE ），（AF ），（BC ），（BD ），（BE ），（BF ），（CD ），（CE ），（CF ），（DE ），（DF ），（EF ）}，共15种，其中2名年龄都在[25，35）内的样本事件有{（AB ），（AC ），（AD ），（BC ），（BD ），（CD ）}6种， 所以两名幸运市民年龄都在[25，35）内的概率为615=25．19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 是菱形，平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，AB ⊥BC ，M 和N 分别是AB 和B 1C 1的中点． （1）求证：MN ∥平面AA 1C 1C ； （2）求证：B 1C ⊥AC 1．证明：（1）取AC 中点为Q ，连接MQ ，C 1Q ，∵M ，Q 分别为AB ，AC 中点，∴MQ ∥BC ，MQ =12BC ，∵BC ∥B 1C 1，BC ＝B 1C 1，又N 为B 1C 1中点， ∴NC 1∥BC ，NC 1=12BC ， ∴MQ ∥NC 1，MQ ＝NC 1， ∴四边形MQC 1N 为平行四边形， ∴MN ∥C 1Q ，∵C 1Q ⊂平面AA 1C 1C ，MN ⊄平面AA 1C 1C ， ∴MN ∥平面AA 1C 1C ． （2）连接B 1C ，∵四边形BB 1C 1C 是菱形， ∴B 1C ⊥BC 1，∵平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，平面ABC ∩平面BB 1C 1C ＝BC ，AB ⊂平面ABC ，AB ⊥BC ， ∴AB ⊥平面BB 1C 1C ， 又B 1C ⊂平面BB 1C 1C ， ∴AB ⊥B 1C ，∵AB ∩BC 1＝B ，AB ，BC 1⊂平面ABC 1， ∴B 1C ⊥平面ABC 1， ∵AC 1⊂平面ABC 1， ∴B 1C ⊥AC 1．20．（12分）已知向量a →=(sinx ，cosx)，b →=(cosx ，√3cosx)，函数f(x)=a →⋅b →−√32．（1）若f(x02)=−13，且x 0∈(−π2，π2)，求sin x 0的值； （2）已知A （﹣3，2），B （3，10），将f （x ）的图象向左平移π12个单位长度得到函数g （x ）的图象．在g （x ）的图象上是否存在一点P ，使得AP ⊥BP ？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）f(x)=a →⋅b →−√32=sinxcosx +√3cos 2x −√32=12sin2x +√32(1+cos2x)−√32=sin(2x +π3)，f(x 02)=sin(x 0+π3)=−13，因为x 0∈(−π2，π2)，所以x 0+π3∈(−π6，5π6)，而sin(x 0+π3)=−13＜0，所以x 0+π3∈(−π6，0)， 所以cos(x 0+π3)=√1−sin 2(x 0+π3)=2√23， 所以sinx 0=sin[(x 0+π3)−π3]=12sin(x 0+π3)−√32cos(x 0+π3)=−1+2√66； （2）由题意得g(x)=sin(2(x +π12)+π3)=cos2x ， 假设g （x ）的图象上存在点P （x 1，cos2x 1）使得AP ⊥BP ， 因为AP →=(x 1+3，cos2x 1−2)，BP →=(x 1−3，cos2x 1−10)， 因为AP ⊥BP ，所以AP →⋅BP →=(x 1+3)(x 1−3)+(cos2x 1−2)(cos2x 1−10)=x 12+cos 22x 1−12cos2x 1+11=0， 令ℎ(x 1)=x 12+cos 22x 1−12cos2x 1+11=x 12+(cos2x 1−6)2−25，因为cos2x 1∈[﹣1，1]，所以ℎ(x 1)=x 12+(cos2x 1−6)2−25≥x 12+(1−6)2−25=x 12≥0，当且仅当{x 1=0cos2x 1=1时取等，所以h （x 1）＝0存唯一解x 1＝0，此时cos2x 1＝1，点P （0，1）， 综上，符合条件的点P 坐标为（0，1）．21．（12分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著，该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点，第一次实现了几何学的系绕化、条理化，成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范．书中第Ⅰ卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯（勾股定理），证明过程中以直角三角形ABC 中的各边为边分别向外作了正方形（如图1）．某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究，提出了如下问题，请帮忙解答．问题：如图2，已知△ABC 满足AC =2√2，AB ＝2，设∠BAC ＝θ（0＜θ＜π），四边形ABGF 、四边形ACED 、四边形BCQP 都是正方形．（1）当θ=π2时，求EQ的长度；（2）求AQ长度的最大值．解：（1）在△ABC中，AC=2√2，AB＝2，∠BAC=π2，则BC=2√3，cos∠ACB=23，因为∠ACB+∠ECQ＝π，所以cos∠ECQ=cos(π−∠ACB)=−cos∠ACB=√2 3，在△ECQ中，CE=AC=2√2，CQ=BC=2√3，由余弦定理EQ2=CE2+CQ2−2CE×CQ×cos∠ACB=8+12−2×2√2×2√3×√2√3)=36⇒EQ=6，所以EQ的长度为6．（2）在△ABC中，BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cosθ，所以BC2=12−8√2cosθ，设∠ACB＝α，在△ACQ中，AQ2=AC2+CQ2−2AC⋅CQ⋅cos(α+π2 )，所以AQ2=8+12−8√2cosθ+4√2⋅CQ⋅sinα①，在△ABC中，由正弦定理得ABsinα=BCsinθ，所以CQ•sinα＝BC•sinα＝AB•sinθ＝2sinθ，代入①可得AQ2=20−8√2cosθ+8√2sinθ=20+16sin(θ−π4 )，因为0＜θ＜π，所以−π4＜θ−π4＜3π4，当θ−π4=π2即θ=3π4时，AQ2的最大值为20+16＝36，所以AQ长度的最大值为6．22．（12分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，DE＝3，AE＝2，BC＝CD＝1，∠BCD=∠CDE=2π3，∠AEB=π2．（1）当AB⊥BC时，求直线AB与平面BCDE所成角的大小；（2）当二面角A﹣BE﹣C为π3时，求平面ABC与平面ADE所成二面角的正弦值．解：（1）如图，延长BC ，ED 交于点F ，连接AF ．∵∠BCD =∠CDE =2π3，∴∠FCD =∠FDC =π3，故△CDF 为等边三角形， ∴CF ＝DF ＝1，∠F =π3．∵DE ＝3，BC ＝1，∴BF ＝2，EF ＝DF +DE ＝4，在△BEF 中，由余弦定理得BE 2＝BF 2+EF 2﹣2BF •EF cos ∠BFE ＝12， ∴BE =2√3，∴BF 2+BE 2＝EF 2，∴BC ⊥BE ．∵AB ⊥BC ，AB ∩BE ＝B ，∴BC ⊥平面ABE ． ∵AE ⊂平面ABE ，∴BC ⊥AE ． ∵AE ⊥BE ，BE ∩BC ＝B ， ∴AE ⊥平面BCDE ，∴∠ABE 即为直线AB 与平面BCDE 的所成角， 在Rt △AEB 中，tan ∠ABE =AEBE =√33， 故直线AB 与平面BCDE 所成角的大小为π6．（2）过E ，F 分别作BC ，BE 的平行线交于点G ，连接AG ，取EG 的中点H ，连接AH ．则四边形BFGE 为平行四边形， 由（1）知，BF ＝2，故EG ＝2，∵BC ⊥BE ，EG ∥BC ，∴EG ⊥BE ．又∵AE ⊥BE ，∴∠AEG 为二面角A ﹣BE ﹣C 的平面角，即∠AEG =π3． 在△AEG 中，∵AE ＝EG ＝2，∠AEG =π3，∴△AEG 为等边三角形， ∴AH ⊥EG ，且AH =√3，AG ＝2． 由（1）知BC ⊥BE ，∴EG ⊥BE ，∵AE ⊥BE ，AE ∩EG ＝E ，∴BE ⊥平面AEG ． ∵AH ⊂平面AEG ，∴BE ⊥AH ． ∵EG ∩BE ＝E ，∴AH ⊥平面BFGE ， ∵FG ∥BE ，∴FG ⊥平面AEG ， ∵AG ⊂平面AEG ，∴FG ⊥AG ，在△AFG 中，AG ＝2，FG =2√3，∠AGF =π2，∴AF ＝4． 在△AEF 中，AE ＝2，EF ＝AF ＝4，∴cos ∠EAF =AE 2+AF 2−EF 22AE⋅AF=4+16−162×2×4=14， 故sin ∠EAF =√1−cos 2∠EAF =√154，∴S △AEF =12AE ⋅AFsin∠EAF =√15． 易求得S △BEF =2√3．设点B 到平面AEF 和边AF 的距离分别为d 1，d 2， ∵V A ﹣BEF ＝V B ﹣AEF ，∴13S △BEF ⋅AH =13S △AEF ⋅d 1，即2√3×√3=√15×d 1，∴d 1=6√15． 在△ABF 中，AB ＝AF ＝4，BF ＝2，故△ABF ≌△FEA ， 故S △ABF ＝S △AEF ，∴12×4×d 2=√15，∴d 2=√152．设平面ABC 与平面ADE 所成二面角的大小为θ，则sinθ=d1d 2=6√152√15=45．。
2024届江苏省南京市、盐城市高一数学第二学期期末综合测试试题含解析
2024届江苏省南京市、盐城市高一数学第二学期期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于（ ）A ．56B ．153C ．52D ．1562． “结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量.如图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数.在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一.根据图示可知，农民采摘的果实的个数是（ ）A ．493B ．383C ．183D ．1233．若tan 0α>，则（ ） A ．sin 0α> B ．cos 0α>C ．sin 20α>D ．cos20α>4．已知ππ042βα<<<<，且π10sin 410α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π4sin 45β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()sin αβ+=( )A ．1010B ．1010-C ．31010D ．31010-5．设集合{1,2,3,4,5},{1,2,5}U A ==，则U C A =（ ） A ．{1,5}B ．{3,4}C ．{3,5}D ．{1,2,3,4,5}6．给出下列命题：（1）存在实数α使5sin cos 3αα+= . （2）直线20192x π=是函数cos y x =图象的一条对称轴. （3）()()cos sin y x x R =∈的值域是[]cos1,1.（4）若,αβ都是第一象限角，且sin sin αβ>，则tan tan αβ>. 其中正确命题的题号为（ ） A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（1）（4）7．汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于58，如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为（ ）A ．32B ．40C ．32103D ．1038．某单位职工老年人有30人，中年人有50人，青年人有20人，为了了解职工的建康状况，用分层抽样的方法从中抽取10人进行体检，则应抽查的老年人的人数为（ ） A ．3B ．5C ．2D ．19．直线310x y -+=的倾斜角为 A ．23π B ．56π C ．3π D ．6π 10．正四棱柱的高为3cm ,17,则正四棱柱的侧面积为( ) A ．10B ．24C ．36D ．40二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
江苏省13市2024届高一数学第二学期期末学业水平测试试题含解析
江苏省13市2024届高一数学第二学期期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下图是实现秦九韶算法的一个程序框图，若输入的5x =，2n =，依次输入的a 为2,2,5，则输出的s =（ ）A ．10B ．12C ．60D ．652．若实数满足，则的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．3．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于5km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东020，灯塔B 在观察站C 的南偏东040，则灯塔A 与灯塔B 的距离为（ ） A ．52kmB ．3kmC ．5kmD ．10km4．已知向量m ，n ，若1m =，22m n -=，则m n n -+的最大值为( ) A ．5B 10C ．4D ．55．已知向量(2,tan ),(1,1)a b θ==-，且//a b ，则tan()4πθ-=（ ）A ．2B ．3-C ．1-D ．13-6．已知函数()sin cos 6f x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭在区间03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上()f x a ≤恒成立，则实数a 的最小值是（ ） A ．32-B ．12-C ．12D ．327．如图，正四面体A BCD -，P 是棱CD 上的动点，设CP tCD =（()01t ∈，），分别记AP 与BC ，BD 所成角为α，β，则（ ）A ．αβ≥B ．αβ≤C ．当102t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，αβ≥D ．当102t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，αβ≤ 8．函数2sin cos y x x =+，当x ϕ=时函数取得最大值，则cos ϕ=（ ）A ．55B ．255C ．223D ．139．七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（ ）A ．116B ．18 C ．38D ．31610．已知数列{}n a 的前n 项和1nn S a =-（0a ≠），那么{}n a （ ）A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列，或者是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2022-2023学年江苏省常州市高一下学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省常州市高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知复数z 满足2i 1iz =+-，则z =（）A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】D【分析】直接根据复数的除法运算以及复数模的定义即可得到答案.【详解】()()()21i 2i i 1i i 12i 1i 1i 1i z +=+=+=++=+--+，所以22125z =+=．故选：D ．2．已知ABC 中，5AB =，7BC =，9CA =，则CAB ∠∈（）A ．ππ,65⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ππ,54⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．ππ,43⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据题意，由余弦定理即可得到cos CAB ∠，从而得到其范围.【详解】由题意，在三角形ABC 中，由余弦定理可得，22225814957cos 225990AB AC BC CAB AB AC +-+-∠===⋅⋅⨯⨯，且257cos 4290π=>，157cos 3290π=<，所以4ππ,3CAB ⎛⎫ ⎪⎝∈⎭∠.故选:C3．已知直线1:20l x ay ++=，2:2430l x y ++=相互平行，则1l 、2l 之间的距离为（）A ．510B ．55C ．255D ．52【答案】A【分析】根据两直线平行得到关于a 的方程，求出a 的值，再由两平行线之间的距离公式计算即可.【详解】因为直线1:20l x ay ++=，2:2430l x y ++=相互平行，所以240a -=，解得2a =，所以1:220l x y ++=，即2440x y ++=，所以1l 、2l 之间的距离224351024d -==+.故选：A.4．一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为2，以该圆台的上底面为底面，挖去一个半球，则剩余部分几何体的体积为（）A ．11π3B ．10π3C ．4πD ．3π【答案】C【分析】由题意得到圆台和半球的体积，即可求解．【详解】()2222114π2π1π1π2π233V 圆台=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=，314π2π1233V 半球=⨯⨯=，∴剩余部分几何体的体积为4πV V 圆台半球-=．故选:C5．若直线20x ay a +--=与圆()22:24C x y -+=交于A ，B 两点，当AB 最小时，劣弧 AB 的长为（）A ．π2B ．4π3C ．2π3D ．π【答案】B【分析】化简直线方程化为(2)(1)0x a y -+-=，得到直线恒过定点()2,1M ，结合圆的性质和圆的弦长公式，即可求解.【详解】由题意，直线20x ay a +--=可化为(2)(1)0x a y -+-=，当20x -=且10y -=，即2x =且1y =时，等式恒成立，所以直线恒过定点()2,1M ，由圆的方程知，圆心为()2,0C ，半径2r =，当MC ⊥直线AB 时，AB 取得最小值，且最小值为222||24123r MC -=-=，如图，此时弦长AB 对的圆心角一半的正切值为3，故圆心角为2π3，所以劣弧长为2π4π233⨯=.故选：B.6．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，且6,8PA AB ==，则四棱锥P ABCD -的外接球与内切球的表面积之比为（）A ．412B ．414C ．3D ．112【答案】B【分析】根据几何体内切圆半径公式3Vr S=（V 为几何体的体积，S 为几何体的表面积），由,,PA AB AD 两两垂直，四棱锥可补形为长方体，可得外接圆的半径公式，可得答案.【详解】设四棱锥P ABCD -的外接球与内切球的半径分别为,R r .因为21861283P ABCD V -=⨯⨯=四棱锥，四棱锥P ABCD -的表面积2118682*********S =+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，所以-32P ABCD Vr S==四棱锥，因为,,PA AB AD 两两垂直，四棱锥可补形为长方体，所以2221886412R =++=，所以四棱锥P ABCD -的外接球与内切球的表面积之比为2244144R r ππ=.故选：B.7．在如图所示的长方体1111ABCD A B C D -中12,3,4AB AD AA ===，点M 为棱1AA 的中点，若N 为底面1111D C B A 内一点，满足//MN 面1BDC ，设直线MN 与直线1CC 所成角为α，则tan α的取值范围是（）A ．33,13413⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．33,13413⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3313,264⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3113,262⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】先根据面面平行找出与平面1BDC 平行的平面MEF ，确定底面1111D C B A 内一点N 所在线段EF 上，然后将直线MN 与直线1CC 所成角转化为直线MN 与直线1AA 所成角1A MN ∠，再在直角三角形1A MN 中，通过线段1A N 的最值即可得到1tan A MN ∠的最值，从而得到tan α的取值范围.【详解】取11A D 中点E ，取11A B 中点F ，连接ME ，MF ，EF ，1AD ，1AB ，11B D .在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB C D =，11//AB C D ，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11//AD BC ，又因为M ，E 分别为1AA ，11A D 的中点，所以1//ME AD ，所以1//ME BC ，又因为ME ⊄平面1BDC ，1BC ⊂平面1BDC ，所以//ME 平面1BDC .因为11AD B C =，11//AD B C ，所以四边形11ADC B 为平行四边形，所以11//AB DC ，又因为M ，F 分别为1AA ，11A B 的中点，所以1//MF AB ，所以1//MF C D ，又因为MF ⊄平面1BDC ，1C D ⊂平面1BDC ，所以//MF 平面1BDC .因为ME MF M = ，ME ⊂平面MEF ，MF ⊂平面MEF ，所以平面//MEF 平面1BDC .所以底面1111D C B A 内满足满足//MN 面1BDC 的点N 在线段EF 上，又因为11//AA CC ，所以直线MN 与直线1CC 所成角即为直线MN 与直线1AA 所成角1A MN ∠.在线段EF 上任取一点N ，连接1A N ，MN ，因为1AA ⊥底面1111D C B A ，1A N ⊂底面1111D C B A ，所以11AA A N ⊥，所以1A MN ∆为直角三角形，1111tan tan 2A N A NA MN AA α=∠==，在1A MN ∆中，11A F =，132A E =，2211132EF A F A E =+=，因为点N 在线段EF 上，所以当1A N EF ⊥时，1A N 的长度最小，此时可利用等面积法11111122A EF S A N EF A F A E ∆=⋅=⋅，解得131313AN =，所以tan α的最小值为31331313226=，当点N 和点E 重合时1A N 的长度最长为32，所以tan α的最大值为33224=，所以tan α的取值范围是3313,264⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：C.8．如图，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 的直线与双曲线的两条渐近线相交于M ，N 两点．若3,30MF FN OM OP OP PF ==⋅=,，则双曲线的离心率为（）A ．62B ．2C ．2D ．3【答案】A【分析】先利用向量的坐标表示求得22,bc M c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再利用双曲线焦点到渐近线的距离为b 求得OP ，进而求得OM ，从而利用两点距离公式得到关于,,a b c 的齐次方程，从而得解.【详解】依题意，双曲线22221x y a b -=的渐近线为b y x a =±，不妨设1122,,,b b M x x N x x a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为(),0F c ，所以1122,,,b b MF c x x FN x c x a a ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，又3MF FN = ，所以1212333c x x cb b x x aa -=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩，则1222,3c x c x ==，则22,bc M c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为(),0F c 到by x a=±，即0bx ay ±=的距离为22bc bcPF b ca b ===+，又OF c =，0OP PF ⋅=，即OP PF ⊥，所以22OP c b a =-=，又3OM OP =，所以3OM a =，所以22222449b c c a a+=，则()222449a b c a +=，即4449c a =，则62e =.故选：A.【点睛】关键点睛：本题的关键点有两个，一个是利用平面向量的坐标表示求得点M 的坐标，另一个利用点线距离公式求得双曲线焦点到渐近线的距离，从而求得OM ，由此得解.二、多选题9．在复平面内，O 为坐标原点，A 为1i z =+对应的点，则（）A ．z 的虚部为iB ．1i z =-C ．613i 14z -=D ．22OA z = 【答案】BC【分析】根据复数的虚部概念判断A ；根据共轭复数的概念判断B ；根据复数模的计算判断C ；根据复数的乘方以及复数的几何意义可判断D.【详解】由题意1i z =+，z 的虚部为1，选项A 错误．1i z =-，选项B 正确．()3623(2i)8i z z ===-，则6|||8i|=8z =-，故6613i |13i |1482||z z --+===，选项C 正确．由题意知(1,1)A ，故(1,1)OA = ，则22OA = ，而22i z =-，22OA z ≠ ，选项D 错误，故选：BC10．已知抛物线2:4C y x =，O 为坐标原点，点P 为直线2x =-上一点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则（）A ．抛物线的准线方程为=1x -B ．直线AB 一定过抛物线的焦点C ．线段AB 长的最小值为42D ．OP AB⊥【答案】ACD【分析】根据抛物线的焦点坐标和准线方程，结合一元二次方程根的判别式进行判断A 、B 、D ；联立直线与抛物线方程，根据韦达定理,结合弦长公式即可判断C.【详解】由抛物线2:4C y x =可知，焦点坐标为(1,0)F ，准线方程为=1x -，故选项A 正确；设(2,)P m -，显然直线PA 存在斜率且不为零，设为1k ，方程为1(2)y m k x -=+，与抛物线方程联立214(2)y x y m k x ⎧=⎨-=+⎩，得2114840k y y k m -++=，因为PA 是该抛物线的切线，所以()211Δ44(84)0k k m =--+=，即211210k k m +-=，且A 的纵坐标为：11422k k --=，代入抛物线方程中可得A 的横坐标为：211k ，设直线PA 存在斜率且不为零，设为2k ，同理可得：222210k k m +-=，且B 的纵坐标为：22422k k --=，横坐标为221k ，显然1k 、2k 是方程2210k km +-=的两个不等实根，所以12121,22m k k k k +=-=-，因为21121222112212221112222AB OPk k k k m m m k k m k k k k --⨯⋅=⋅=⋅=⋅=--+----，所以OP AB ⊥，因此选项D 正确；由上可知：AB 的斜率为2m ，直线AB 的方程为：211221()y x k m k -=-，即22111222mk y mk k x -=-，又211210k k m +-=，所以21112k m k =-，所以()3221111(2)21222k k y k k x ---=-，即211(12)2(2)k y k x -=-，所以直线AB 一定过(2,0)，显然该点不是抛物线的焦点，因此选项B 不正确，由题意知，直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为2x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由224x my y x=+⎧⎨=⎩得2480y my --=，所以124y y m +=，128y y =-，所以()()()()222212121411632AB m y y y y m m ⎡⎤=++-=++⎣⎦24223143244224m m m ⎛⎫=++=+-≥ ⎪⎝⎭，当且仅当0m =时等号成立，故选项C 正确；故选：ACD11．在△ABC 中，已知a ＝2b ，且111tan tan sin A B C+=，则（）A ．a ，c ，b 成等比数列B ．sin :sin :sin 2:1:2A BC =C ．若a ＝4，则7ABC S =△D ．A ，B ，C 成等差数列【答案】ABC【分析】首先根据三角恒等变换，将已知条件化简得2c ab =，再结合条件2a b =，再依次判断选项即可得到答案.【详解】因为111tan tan sin A B C+=，所以()sin cos cos sin cos cos sin sin 1sin sin sin sin sin sin sin sin sin A B A B B A B A C A B A B A B A B C+++====，即2sin sin sin C A B =，即2c ab =.对选项A ，因为2c ab =，所以a 、c 、b 成等比数列，故A 正确；对选项B ，因为2a b =，222c ab b ==，即2c b =，所以::2:1:2a b c =，即sin :sin :sin 2:1:2A B C =，故B 正确；对选项C ，若4a =，则2b =，22c =，则()222422252cos 82224B +-==⨯⨯，因为0πB <<，所以14sin 8B =.故114224728ABC S =⨯⨯⨯=△，故C 正确.对选项D ，若A 、B 、C 成等差数列，则2B A C =+.又因为πA B C ++=，则π3B =.因为::2:1:2a b c =，设2a k =，b k =，2c k =，0k >，则()()22222521cos 82222k kk B k k+-==≠⨯⨯，故D 错误.故选：ABC12．如图，在四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，122BC CD AD ===，E 为边AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90︒，90ADC PAB ∠=∠=︒，二面角P CD A --的大小为45︒，则（）A ．四边形ABCD 为直角梯形B ．在平面PAB 内，使得直线CM 平面PBE 的点M 有无数个C ．2PA =D ．直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为13【答案】ABD【分析】确定四边形ABCD 为直角梯形，A 正确，M 的轨迹为两平面的交线，B 正确，计算4PA =，C 错误，确定APH ∠为直线PA 与平面PCE 所成角，计算得到D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：AD BC ∥，12BC AD =，且90ADC ∠=︒，故四边形ABCD 为直角梯形，正确；对选项B ：CM 与平面PBE 平行，M 的集合为平面，设为α，则M α∈且M ∈平面PAB ，故M 的轨迹为两平面的交线，正确；对选项C ：PA CD ⊥，CD AD ⊥，PA AD A ⋂=，,PA AD ⊂平面PAD ，故CD ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，故CD PD ⊥，又AD CD ⊥，平面PCD 平面ABCD CD =，且AD ⊂平面ABCD ，PD ⊂平面PCD ，故PDA ∠为二面角P CD A --的平面角，45PDA ∠=︒，4PA AD ==，错误；对选项D ：如图所示，过A 作AG 垂直于CE 的延长线于G ，连接PG ，作AH PG ⊥于H ，PA AB ⊥，PA CD ⊥，AB 与CD 相交，,AB CD ⊂平面ABCD ，故PA ⊥平面ABCD ，CG ⊂平面ABCD ，故PA CG ⊥，AG CG ⊥，AG CG G = ，,AG CG ⊂平面PAG ，故CG ⊥平面PAG ，AH ⊂平面PAG ，故AH CG ⊥，又AH PG ⊥，PG CG G = ，,PG CG ⊂平面PCG ，故AH ⊥平面PCG ，故APH ∠为直线PA 与平面PCE 所成角，AGE 为等腰直角三角形，故222AG AE ==，2232PG PA AG =+=，1sin 3AG APH PG ∠==，正确；故选：ABD.三、填空题13．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，若3sin cos sin C A B =，221a c -=，则b =．【答案】3【分析】运用正弦定理和余弦定理，将角化成边.【详解】因为3sin cos sin C A B =，由正弦定理和余弦定理有22232b c a c b bc +⋅=－，整理得()222=3b a c －又221a c -=，所以2=3b ，则=3b .故答案为：314．已知直线:240l kx y k --+=与曲线24y x =-有两个交点，则k 的取值范围为．【答案】3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】直线240kx y k --+=过定点()2,4，曲线24y x =-表示以O 为圆心，2为半径的上半圆，数形结合可求实数k 的取值范围.【详解】直线:240l kx y k --+=，得()240k x y --+=，可知直线l 过定点()2,4P ，如图，曲线24y x =-表示以O 为圆心，2为半径的上半圆．当直线l 与半圆相切时，22421k k -+=+，解得34k =．曲线24y x =-与x 轴负半轴交于点()2,0,1PA A k -=．因为直线l 与曲线24y x =-有两个交点，所以3k 14<≤．故答案为：3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦.15．已知长方形纸片ABCD 中，10AB =，点E ，F 分别是边AB ，CD 上的动点，且EF AB ⊥，将长方形纸片ABCD 沿EF 进行翻折，使得90AEB '∠=︒，连接AB '，'DC ，得到一个三棱柱AEB DFC ''-，如图．已知三棱柱AEB DFC ''-的体积是10，当三棱柱AEB DFC ''-的外接球的表面积取得最小值时，AB E ' 的面积是．【答案】252【分析】分别取,AB DC ''的中点,H I ，连接HI ，取HI 的中点G ，由直三棱柱和直角三角形的性质可得点G 为三棱柱AEB DFC ''-的外接球球心，设AE a =，B E b '=，AD c =，由已知可得外接球半径2140010022()R ab ab =-+，再利用均值定理和函数单调性即可求解.【详解】由题可知三棱柱AEB DFC ''-是直三棱柱，分别取,AB DC ''的中点,H I ，连接HI ，取HI 的中点G ，由EF AB ⊥可得FC DF '⊥，EB AE '⊥，则点G 到三棱柱AEB DFC ''-的六个顶点的距离都是相等，因此点G 是三棱柱AEB DFC ''-的外接球的球心，设AE a =，B E b '=，AD c =，则101102a b abc +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得20c ab =，又因为222()21002a b a b ab ab +=+-=-，所以三棱柱AEB DFC ''-的外接球的半径22222222140010022222()c a b a b c R ab ab ⎛⎫+++⎛⎫=+==-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若三棱柱AEB DFC ''-的外接球的表面积取到最小值，只需外接球的半径取到最小值，即2140010022()R ab ab =-+取最小值，因为10a b +=，所以2()0254a b ab +<≤=，当且仅当5a b ==时等号成立，又因为函数2400y x=和2100y x =-+在(]0,25上单调递减，所以24002100y x x =-+在(]0,25上单调递减，从而当25ab =时，2140010022()R ab ab =-+取到最小值，即三棱柱AEB DFC ''-的外接球的表面积取到最小值，此时AB E ' 的面积为12522ab =.故答案为：25216．已知1F 、2F 分别为椭圆22142x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，点2F 关于直线1PF 的对称点为M ，点1F 关于直线2PF 的对称点为N ，则当MN 最大时，12PF F △的面积为.【答案】233/233【分析】将对称性和椭圆的定义结合起来，得到PM ，PN 的和为定值2a ，从而知当M 、N 、P 三点共线时，MN 的值最大，然后通过几何关系求出1260F PF ∠=︒，结合余弦定理即可求出三角形的面积.【详解】根据椭圆的方程可知，()()122,0,2,0F F -，连接PM ，PN ，则12||||||||24PM PN PF PF a +=+==，所以当M 、N 、P 三点共线时，|MN|的值最大此时112212,.MPF F PF NPF F PF ∠=∠∠=∠又因1122180MPF F PF F PN ∠+∠+∠=︒，可得1260F PF ∠=︒在12F PF △中，由余弦定理可得，()222122||||c PF PF =+，即()212121283163PF PF PF PF PF PF =+-⋅=-⋅，解得1283PF PF ⋅=，121212118323sin .22323PF F S PF PF F PF =⋅∠=⨯⨯=V 故答案为：233.【点睛】方法点睛：焦点三角形的作用在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．四、解答题17．已知方程222440x y x y m +-++=.(1)若此方程表示圆，求实数m 的取值范围；(2)若m 的值为（1）中能取到的最大整数，则得到的圆设为圆E ，若圆E 与圆F 关于y 轴对称，设(),P x y 为圆F 上任意一点，求(),P x y 到直线10x y +-=的距离的最大值和最小值.【答案】(1)5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭(2)最大值为221+，最小值221-【分析】（1）根据表示圆的限制条件可得实数m 的取值范围；（2）先确定圆E 的方程，再利用对称性得到圆F 的方程，根据圆心到直线的距离可得答案.【详解】（1）若此方程表示圆，则22(2)4440m -+-⨯>，解得54m <，即实数m 的取值范围是5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）由（1）可知1m =，此时圆E ：222440x y x y +-++=，圆心坐标为()1,2E -，半径为1，因为圆F 和圆E 关于y 轴对称，所以圆F 圆心坐标是()1,2--，半径是1，故圆F 方程为22(1)(2)1x y +++=，则圆心()1,2--到直线10x y +-=的距离121222d ---==，故(),P x y 到直线10x y +-=的距离的最大值为221+，最小值221-.18．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，分别以,,a b c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12353,sin 5S S S C +-==.(1)求ABC 的面积；(2)若5sin sin 3A B =，求c .【答案】(1)12(2)155【分析】（1）根据面积公式及余弦定理得到cos 2ab C =，再求出cos C ，即可求出ab ，最后由面积公式计算可得；（2）由正弦定理求出sin c C，即可得解.【详解】（1）由题意得221133224S a a =⋅⋅=，2234S b =，2334S c =，则2221233333444S S S a b c +-=+-=，即2224a c b -+=，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-=，整理得cos 2ab C =，则cos 0C >，又5sin 5C =，则2525cos 155C ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以25cos ab C ==，则11sin 22ABC S ab C == ；（2）由正弦定理得sin sin sin b a c B A C==，所以2253sin sin sin sin sin 53c a b ab C A B A B =⋅===，则3sin c C =或3sin c C =（舍去），所以153sin 5c C ==.19．如图，已知在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，点E 是边BC 的中点，DE 与AC 相交于点H ，现将ACD 沿AC 折起，点D 的位置记为D ¢，此时153ED '=，M 是AD '的中点.(1)求证：//BM 平面D HE '；(2)求证：CH ⊥面D HE '；(3)求二面角H ED C -'-的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)147【分析】（1）取线段AH 的中点N ，连接MN 、BN ，证明出平面//BMN 平面D HE '，利用面面平行的性质可证得结论成立；（2）翻折前，利用勾股定理证明出AC DE ⊥，翻折后则有CH EH ⊥，CH D H '⊥，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（3）过点C 在平面CD E '内作CF D E '⊥，垂足为点F ，连接FH ，分析可知二面角H ED C -'-的平面角为CFH ∠，证明出CH FH ⊥，计算出CF 的长，即可求得CFH ∠的余弦值，即为所求.【详解】（1）证明：取线段AH 的中点N ，连接MN 、BN ，翻折前，在矩形ABCD 中，E 为BC 的中点，//BC AD ，则12CH CE AH AD ==，所以，2AH CH =，翻折后，在三棱锥D ABC '-中，M 、N 分别为AD '、AH 的中点，则//MN D H '，MN ⊄平面D HE '，D H '⊂平面DH E '，//MN ∴平面D HE '，N Q 为AH 的中点，且2AH CH =，则AN NH CH ==，所以，H 为CN 的中点，又因为E 为BC 的中点，所以，//EH BN ，EH ⊂ 平面D HE '，BN ⊄平面D HE '，所以，//BN 平面D HE '，BN MN N = ，所以，平面//BMN 平面D HE '，因为BM ⊂平面BMN ，//BM ∴平面D HE '.（2）证明：在矩形ABCD 中，2CD AB ==，112CE BC ==，226AC AD CD =+=，223DE CD CE =+=，因为12CH AH =，则1633CH AC ==，因为//BC AD ，E 为BC 的中点，所以，12EH CE DH AD ==，则12EH DH =，所以，1333EH DE ==，所以，222EH DH CE +=，则AC DE ⊥，在三棱锥D ABC '-中，则有CH EH ⊥，CH D H '⊥，因为D H EH H '= ，所以，CH ⊥面D HE '.（3）解：在三棱锥D ABC '-中，233D H '=，33EH =，153ED '=，所以，222D H EH D E ''+=，D H EH '∴⊥，过点C 在平面CD E '内作CF D E '⊥，垂足为点F ，连接FH ，CH ⊥ 平面D EH '，D E '⊂平面D EH '，CH D E '∴⊥，因为D E CF '⊥，CF CH C = ，D E '∴⊥平面CFH ，FH ⊂ 平面CFH ，D E FH '∴⊥，所以，二面角H ED C -'-的平面角为CFH ∠，在CD E ' 中，2CD '=，1CE =，153ED '=，由余弦定理可得222230cos 215CD ED CE CD E CD ED ''+-'∠==''⋅，所以，2105sin 1cos 15CD E CD E ''∠=-∠=，所以，210sin 15CF CD CD E ''=∠=，因为CH ⊥平面D EH '，FH ⊂平面D EH '，CH FH ∴⊥，所以，2221515FH CF CH =-=，故14cos 7FH CFH CF ∠==，因此，二面角H ED C -'-的余弦值为147.20．已知离心率为22的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的下顶点为()0,2A -，过点B （0，3）作斜率存在的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，连AP ，AQ 分别与x 轴交于点M ，N ，记点M ，N 的横坐标分别为xM ，xN .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)试判断xM xN 是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.【答案】(1)22184x y +=(2)是，定值为85.【分析】（1）根据条件，列出关于,,a b c 的方程组，即可求椭圆方程；（2）首先设直线PQ 方程，与椭圆方程联立，并求得根与系数的关系，分别利用点,P Q 的坐标表示直线,AP AQ 的方程，并利用韦达定理表示M N x x ⋅.【详解】（1）由条件可知222222c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得222a b c ⎧=⎪⎨==⎪⎩，所以椭圆C 的标准方程为22184x y +=；（2）由条件设直线PQ 的方程为()()11223,,,,y kx P x y Q x y =+，联立223184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222112100k x kx +++=，则()222(12)4102164400k k k ∆=-⨯⨯+=->，解得258k >.根据韦达定理得1212221210,2121k x x x x k k +=-=++根据题意，直线112:2y AP y x x +=-，令y =0，得1122M x x y =+，同理2222N x x y =+.，于是()()()()12121212442255M N x x x x x x y y kx kx ⋅==++++()2122212122210444082110125252555252121x x k k k x x k x x k k k k ⨯+====+++⎛⎫⨯+-+ ⎪++⎝⎭所以M N x x ⋅是定值，该定值为85.21．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 3cos 23A a C b c =-+，点D 是边BC 上的一点，且sin sin 32BAD CAD b c a ∠∠+=．(1)求证：3a AD =；(2)若2CD BD =，求cos ADC ∠．【答案】(1)详见解析；(2)1314【分析】（1）先利用余弦定理由cos 3cos 23A a C b c =-+得到5π6A =，再利用正弦定理由sin sin 32BAD CAD b c a ∠∠+=即可求得3a AD =；（2）先利用余弦定理求得37cb a b⎧=⎪⎨=⎪⎩，进而利用余弦定理求得13cos 14ADC ∠=【详解】（1）在ABC 中，cos 3cos 23A a C b c=-+，则22222223223b c a ab a bc a b c b c+-⨯=-+-+整理得2223b c a bc -=-+，则2223cos 22b c a A bc +-==-又0πA <<，则5π6A =在ACD 中，由正弦定理得sin sin CAD C CD AD ∠=，则sin sin CD C CAD AD ⋅∠=在BAD 中，由正弦定理得sin sin BAD B BD AD ∠=，则sin sin BD B BAD AD ⋅∠=则sin sin sin sin BAD CAD BD B CD C b c AD b AD c∠∠⋅⋅+=+=⋅⋅()11sin sin 132222BD CD a BD A CD A AD a AD a AD a AD a AD a+⨯⨯⋅⋅=+====⋅⋅⋅⋅则3aAD =（2）由2CD BD =，可得21,33CD a BD a ==，又3a AD =则22222221113333cos ,cos 1211223333a ab a ac ADC ADB a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∠=∠=⨯⨯⨯⨯由cos cos 0ADC ADB ∠+∠=可得2222222111333301211223333a a ba a c a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=⨯⨯⨯⨯，解之得2222abc -=又5π6A =，则2223a b c bc =++，由22222223a b c a b c bc ⎧-=⎪⎨=++⎪⎩，可得37c b a b⎧=⎪⎨=⎪⎩则222222215713339cos 1241427339a a b b b ADC a a b ⎛⎫⎛⎫+-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠===⨯⨯⨯22．在棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，E 为11B C 的中点．过AE 的截面与棱1BB ，11AC 分别交于点F ，G．（1）若F 为1BB 的中点，求三棱柱被截面AGEF 分成上下两部分的体积比12V V ；（2）若四棱锥1A AGEF -的体积为7312，求截面AGEF 与底面ABC 所成二面角的正弦值；（3）设截面AFEG 的面积为0S ，AEG ∆面积为1S ，AEF △面积为2S ，当点F 在棱1BB 上变动时，求2012S S S 的取值范围．【答案】（1）121323V V =；（2）45；（3）94,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【分析】（1）连结EF ，并延长分别交1CC ，CB 于点M ，N ，连结AM 交11AC 于点G ，连结AN ，GE ，利用比例关系确定G 为11AC 靠近1C 的三等分点，然后先求出棱柱的体积，连结1A E ，1A F ，由11111A EFB G AA E F AA E V V V V ---=++和21V V V =-进行求解，即可得到答案；（2）求出点G 到平面1A AE 的距离，得到点G 为11AC 靠近1C 的四等分点，通过面面垂直的性质定理可得1AGA ∠即为截面AGEF 与底面ABC 所成的二面角，在三角形中利用边角关系求解即可；（3）设1GC m =，则[0m ∈，1]，先求出12S S 的关系以及取值范围，然后将2012S S S 转化为1S ，2S 表示，求解取值范围即可．【详解】解：（1）连接EF ，并延长分别交1CC ，CB 延长线于点M ，N ，连接AM 交11AC 于点G ，连接AN ，GE ．易得11113GC MC C E AC MC CN ===．故G 为11A C 靠近1C 的三等分点．11MC =，123GC =．下面求三棱柱被截面分成两部分的体积比．三棱柱111ABC A B C -的体积2322234V =⨯⨯=．连接1A E ，1A F ．由1//BB 平面1A AE 知，1F AA E V -为定值．1113321323F AA E V -=⨯⨯⨯⨯=．11111A EFBG AA E F AA E V V V V ---=++1111231331132332323318=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+=．2123318V V V =-=．故121323V V =．（2）由111A AGEF G AA E F AA E V V V ---=+及133F AA E V -=得，134G AA E V -=．又1113G AA E AA E V S h -=⨯⨯△，所以34h =．即点G 到1A E 的距离为34，G 为11A C 靠近1C 的四等分点．因为平面111//A B C 平面ABC ，所以截面AGEF 与平面ABC 所成角即为截面AGEF 与平面111A B C 所成角，在1GC E △中，112GC =，11C E =，故1EG GC ⊥．又因为平面11ACC A ⊥平面111A B C ，且平面11ACC A 平面11111A B C AC =，所以EG ⊥平面11ACC A ．则1AGA ∠即为截面AGEF 与底面ABC 所成的二面角．在1Rt AGA △中，132A G =，12AA =，52AG =．故114sin 5AA A GA AG ∠==．因此，截面AGEF 与平面ABC 所成二面角的正弦值为45．（3）设1GC m =，则[]0,1m ∈，2MG m GA m=-．设MGE 的面积为S ，所以12S m S m =-．又因为21S S S =+，所以1222S m S -=．且1221,122S m S -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦．令12S t S =则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故()21201212122212S S SS S S S S S S S +==++．令12S t S =则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()12g t t t =++在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()min 14g t g ==，()max 1922g t g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()94,2g t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以20121221924,2S S S S S S S ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦。
2024届江苏省南师附中数学高一第二学期期末统考试题含解析
2024届江苏省南师附中数学高一第二学期期末统考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC 且2,PA ABC =∆是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( ) A ．43πB ．4πC ．8πD ．20π2．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积12=(弦⨯矢+矢2).弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为3π，弦长等于2的弧田.按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积为（ ） A ．3B ．132+C ．11332- D ．233π- 3．若关于x 的一元二次不等式的解集为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．B ．C ．D ．4．若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A ．11a b> B ．a b -> C ．22a b > D ．33a b <5．设{}n a 是公比为()01q q <<的无穷等比数列，若{}n a 的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，则数列21{}n a -是（ ） A ．公比为12的等比数列 B ．公比为22的等比数列 C 22的等比数列D ．公比为412或412-的等比数列6．执行下边的程序框图，如果输出的y 值为1，则输入的x 值为（ ）A ．0B ．eC ．0或eD ．0或17．函数()1,0252sin 2,0,6x x f x x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+<< ⎪⎪⎝⎭⎩，，若方程()f x a =恰有三个不同的解，记为123,,x x x ，则123x x x ++的取值范围是( ) A ．10102,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．552,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10101,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．551,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭8．已知圆()()221 221:C x y ++-=，圆 ()()222 2516:C x y -+-= ，则圆1 C 与圆2C 的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切9．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，BC 边上的高为h ，且3ah =，则2c a b c c b b ++的最大值是（ ） A ．2B ．23C ．4D ．610．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S .且1111S π=，则6tan 3a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A 3B ．33-C ．3-D ．33二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。