沪科版八年级下册数学《16.1 二次根式》
性质2初应用
例3 计算 (1) 52 (3) (1 2 )2
(2) (3)2
(4) (x2 1)2
总结步骤：最好先写成底数的绝对值， 再根据底数来确定最后结果。
最终结果也是非负数
比较二次根式的性质1和性质2相同点和不同点
（先独立思考，再小组交流） 相同点： 1、都进行了平方和开方的互逆运算。
被开方数a是非负数，即a≥0
(2)、 a 结果的范围是什么？
是非负数，即
≥0
a 0 条件非负性
a
a 0 结果非负性
二次根式具有 双重非负性
根据算术平方根的意义填空。
(1（) 4）2 __4____
2
(3)( 1 ) ______ 3
(2（) 2）2 ___2____ (4（) 0）2 ___0____
（三）探究二次根式
1、确定运算顺序，再根据算术平方根的意义填空。
(1) 32 3 (2) ( 5)2
7
(- 1 )2 2
对a进行分类并写出结果，先独立思考再 组内交流。
a(a＞0)
a a2
0(a 0)
a(a＜0)
a2 a
文字语言：一个数平方的算术平方根等于它的绝对 值，当这个数是非负数时，结果是它本身，当这个 数是非正数时，结果是它的相反数。
……
仔细观察等式的左边和右边，你有什么发
现？请用一个式子表示你的发现？
a0
文字语言：一个非负数的算术平方根 的平方仍得这个数。
性质1初应用 例2 计算
(1（) 1.5）2 1.5
(3) ( 3)2 -3
(2) 3 2 3
(4（) 2 5）2 20
小结：利用二次根式的性质1计算很简便， 但要注意运算顺序。
被开方数
a a
读作“根号 ”
二次根号
概念初判断
例1：哪些是二次根式？哪些不是二次根式？
(1) 11；
(2) －5；
(3) （－7）2
(4)3 13；
(5) 15－16；
(6) 3－x(x≤3)；
解：（1）、（3）、（5）、（6）是二 次根式，（2）、（4）不是二次根式。
探究 a
(1)、a可以取任何数吗？
沪科版八年级数学下册
16.1二次根式
（第一课时）
已知正方形的边长为a，你能表示出正方形的面 积吗？
a
？
问题1：已知正方形的面积，你能表示出正方形
的边长吗？
?
74
面积 4 7
……
边长
2
……
（一）二次根式的定义
上述这些算术平方根有什么共同点？
都含有二次根号 被开方数都大于等于0
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
结果非负
（3）性质2
a2 a
a ( a ≥0 ) 分类 -a ( a ≤0 ) 结果非负
你领悟了哪些数学思想方法？
类比 分类讨论 从特殊到一般
书上习题16.1的第2、3、4题。
2、运算的结果都是非负的。 不同点：
读法 运算顺序
2
a
根号a的平方
先开方,后平方
a2 根号下a平方 先平方,后开方
a的取值范围 运算结果
a≥0 a
a取全体实数 ∣a∣
通过本节课的学习，你学习了哪些知识？
（1）二次根式的定义
a 0 条件非负性
a
a 0 结果非负性
（2）性质1
2
a a,(a 0)
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八年级下册数学课件(沪科版)二次根式的性质
二 a2 的性质
填一填：
a2 ＝a (a≥0).
a(a≥0) 平方 2 运算
a2
算术平 a2
4 方根
2
0.1
0.01
0.1
2
4
2
3
9
3
0
0
0
...
...
...
观察两者有什么关系？
思考：当a＜0时， a2 =-？a
a(a＜0) 平方 -2 运算
-0.1
2
...3
a2
算术平 a2
4 方根
2
0.01
(4) 22 2 （ √ ）
议一议：如何区别( a )2 与 a2 ？
( a)2
a2
从运算 顺序看 从取值 范围看 从运算 结果看
意义
先开方,后平方 先平方，后开方
a≥0
a取任何实数
a
表示一个非负 数a的算术平 方根的平方
|a|
表示一个实数 a的平方的算 术平方根
例4 实数a，b在数轴上的对应点如图所示，
第16章 二次根式
16.1 二次根式
（第2课时 二次根式的性质）
学习目标
1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想 的思想方法.（重点）
2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.（难点）
导入新课
情景引入 问题1 下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？
0
-4
1
1
-1
4
1
1
2
4
算术平方根之门
解：由题意得 ∴a=-2，
a20 4 2a 0
∴ a 2 4 2a a2 22 2 .
八年级数学下册《16.1二次根式》课件2 (新版)沪科版
第十四页，共14页。
9 x2 2x 1
(10) x2 2x 1
11 102
第五页，共14页。
要使 x 2满足二次根式的定义要求，
x 应对(yìngduì) 作出如何的要求呢？
这是二次根式的相当重要的“非负性”，也是一 个(yī ɡè)必考重点.
第六页，共14页。
学习体会
1、本节课你的收获有哪些？ 2、还有什么(shén me)疑惑？ 3、是否有给老师的建议？
1.表示a的算术平方根
2.a可以(kěyǐ)是数,也可以(kěyǐ)是式. 3.形式(xíngshì)上含有二次根号
4.a≥0, a≥0 (双重非负性)
5.既可表示开方运算(yùn suàn),也可表示运算(yùn
6.求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数不小于零； ②分母中有字母时,要保证分母不为零.
第十六章二次根式 (gēnshì)
16.1 二次根式(gēnshì)
第一页，共14页。
形如： 1000 、 800 、 200 、 a (a 0)
这些式子，你能发现它们共同特征吗？
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a叫做被开方数.由于一个正数 (zhèngshù)有两个平方根；0的平方根 是为0；在实数范围内，负数没有平 方根，所以a只能是正数(zhèngshù)和
a与 会区a 分(qūfēn)
a 表示a的平方根，有两个结果
，一正一负
a 表示a的算术平方根，它永远是一
个非负数，是 a 中正的那个
第四页，共14页。
指出(zhǐ chū)下列哪些是二
次1根式5？ 2 3 33 21
4 bb 0 5 a 1a 2
6 a bab 73 5m2
9 x2 2x 1
(10) x2 2x 1
11 102
第五页，共14页。
要使 x 2满足二次根式的定义要求，
x 应对(yìngduì) 作出如何的要求呢？
这是二次根式的相当重要的“非负性”，也是一 个(yī ɡè)必考重点.
第六页，共14页。
学习体会
1、本节课你的收获有哪些？ 2、还有什么(shén me)疑惑？ 3、是否有给老师的建议？
1.表示a的算术平方根
2.a可以(kěyǐ)是数,也可以(kěyǐ)是式. 3.形式(xíngshì)上含有二次根号
4.a≥0, a≥0 (双重非负性)
5.既可表示开方运算(yùn suàn),也可表示运算(yùn
6.求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数不小于零； ②分母中有字母时,要保证分母不为零.
第十六章二次根式 (gēnshì)
16.1 二次根式(gēnshì)
第一页，共14页。
形如： 1000 、 800 、 200 、 a (a 0)
这些式子，你能发现它们共同特征吗？
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a叫做被开方数.由于一个正数 (zhèngshù)有两个平方根；0的平方根 是为0；在实数范围内，负数没有平 方根，所以a只能是正数(zhèngshù)和
a与 会区a 分(qūfēn)
a 表示a的平方根，有两个结果
，一正一负
a 表示a的算术平方根，它永远是一
个非负数，是 a 中正的那个
第四页，共14页。
指出(zhǐ chū)下列哪些是二
次1根式5？ 2 3 33 21
4 bb 0 5 a 1a 2
6 a bab 73 5m2
沪科版八年级数学下册第16章《二次根式》优课件
16.1 二次根式
1是、—±—--—66的—;平方是36 —=——3——6——6，36的平方根
2、16的算术平方根是—4—-， 5的算术
平方根是———5 —。
3、非负数a的算术平方根是——a——
4、 7 表示什么？
5、 a 表示什么？a 需要满足 什么条件？
• 我们知道：当a≥0时， a 是有意义的，
• 例1 x为何值时，下列式子在实数范围内有 意义？
（1） x 3； （2） x2 .
x+3≥0，解得x≥-3. x为一切实数。
• 例2 计算：
（ 1） （ 5 ）2 ； (-5)2=52=5或 (-5)2=-5=5
（ 2） （ 1 2 ）2 .
(1- 2)2=1- 2= 2-1
例 3 已 知 a b 1 2 a b 0 ， 求 a 和 b 的 值 .
5、设a、b、c为△ABC的三边，试化简：
( a b c ) 2 ( a b c ) 2 ( b a c ) 2 ( c a b ) 2
6 、 若3x2 3x2成立， x应 则满足什么 3x 3－x
学而不思则罔，思而不学则 殆。
——孔子
再见！ 课后要好好总结哦！
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月14日星期一2022/2/142022/2/142022/2/14 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/142022/2/142022/2/142/14/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/142022/2/14February 14, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/142022/2/142022/2/142022/2/14
1是、—±—--—66的—;平方是36 —=——3——6——6，36的平方根
2、16的算术平方根是—4—-， 5的算术
平方根是———5 —。
3、非负数a的算术平方根是——a——
4、 7 表示什么？
5、 a 表示什么？a 需要满足 什么条件？
• 我们知道：当a≥0时， a 是有意义的，
• 例1 x为何值时，下列式子在实数范围内有 意义？
（1） x 3； （2） x2 .
x+3≥0，解得x≥-3. x为一切实数。
• 例2 计算：
（ 1） （ 5 ）2 ； (-5)2=52=5或 (-5)2=-5=5
（ 2） （ 1 2 ）2 .
(1- 2)2=1- 2= 2-1
例 3 已 知 a b 1 2 a b 0 ， 求 a 和 b 的 值 .
5、设a、b、c为△ABC的三边，试化简：
( a b c ) 2 ( a b c ) 2 ( b a c ) 2 ( c a b ) 2
6 、 若3x2 3x2成立， x应 则满足什么 3x 3－x
学而不思则罔，思而不学则 殆。
——孔子
再见！ 课后要好好总结哦！
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月14日星期一2022/2/142022/2/142022/2/14 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/142022/2/142022/2/142/14/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/142022/2/14February 14, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/142022/2/142022/2/142022/2/14
二次根式课件沪科版数学八年级下册
但必须保证 a 有意义. 若a表示一个数，则a为非负数； 若a表示一个式子，则这个式子必须大于或等于0
【当堂检测】
1.（1）若使二次根式 2x 4 有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
2
（2）当a ＜ 3
时，
3a
2 无意义， 2 x
2x
有意义的条件
是 x≤2且x≠-2 ．
【当堂检测】
2.要使式子
a(a a(a
0) »
0)
四、典型例题
例1.当x是怎样的实数时， 5 x 2x 在实数范围内有意义？
分析：要使式子有意义，则每个二次根式都需满足被开 方数大于等于0
解：5-x≥0，得x≤5 又2x≥0，得x≥0
综上所述：当0≤x≤5时， 5 x 2x 在实数范围内有意义
四、典型例题
方法总结： 二次根式中被开方数a既可以表示一个数，也可以表示一个式子，
总结： 结合数轴利用二次根式的性质求值或化简，解题的关键是根据数轴判断
字母的取值范围和熟练运用二次根式的性质.
【当堂检测】
3.实数a在数轴上的位置如图所示，则 a 42 a 112化简后为（ A ）
A．7
B．﹣7
C．2a﹣15
D．无法确定
【当堂检测】
4.若x＜2，化简 (x 2)2 3 x 的正确结果是 5-2x ．
第十六章 二次根式 16.1 二次根式
一、学习目标
1.理解二次根式的概念 2.会用简单的一元一次不等式求被开方数中字母的取值范围 3.掌握二次根式的性质1、2,并能利用性质进行计算或化简
二、新课导入
你能用带有根号的的式子填空吗？
（1）面积为5的正方形的边长为___5__，面积为S 的正方形的边长为___S__．
【当堂检测】
1.（1）若使二次根式 2x 4 有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
2
（2）当a ＜ 3
时，
3a
2 无意义， 2 x
2x
有意义的条件
是 x≤2且x≠-2 ．
【当堂检测】
2.要使式子
a(a a(a
0) »
0)
四、典型例题
例1.当x是怎样的实数时， 5 x 2x 在实数范围内有意义？
分析：要使式子有意义，则每个二次根式都需满足被开 方数大于等于0
解：5-x≥0，得x≤5 又2x≥0，得x≥0
综上所述：当0≤x≤5时， 5 x 2x 在实数范围内有意义
四、典型例题
方法总结： 二次根式中被开方数a既可以表示一个数，也可以表示一个式子，
总结： 结合数轴利用二次根式的性质求值或化简，解题的关键是根据数轴判断
字母的取值范围和熟练运用二次根式的性质.
【当堂检测】
3.实数a在数轴上的位置如图所示，则 a 42 a 112化简后为（ A ）
A．7
B．﹣7
C．2a﹣15
D．无法确定
【当堂检测】
4.若x＜2，化简 (x 2)2 3 x 的正确结果是 5-2x ．
第十六章 二次根式 16.1 二次根式
一、学习目标
1.理解二次根式的概念 2.会用简单的一元一次不等式求被开方数中字母的取值范围 3.掌握二次根式的性质1、2,并能利用性质进行计算或化简
二、新课导入
你能用带有根号的的式子填空吗？
（1）面积为5的正方形的边长为___5__，面积为S 的正方形的边长为___S__．
沪科版八年级数学 下册 16.1《二次根式》课件(共22张PPT)
（1） 1 ； x 1
解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1.
(2)
x3 . x 1
解：∵被开方数需大于或等于零， ∴3+x≥0，∴x≥-3.
∵分母不能等于零，
∴x-1≠0，∴x≠1.
归 纳
∴x≥-3 且x≠1. 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足
被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母 或二次根式为分式时，应同时考虑分母不为零.
练 习
正文讲授 2. a 取何值时，下列根式有意义？
1 2 （1） a+1；（2） ；（3） （a-1 ． ） 1- 2a
解：（1）由a+1≥0，得
a≥ - 1； 1 （2）由1-2a＞0，得 a＜ ； 2 2 （a-1 ） （3）由 ≥0，得 a为任何实数．
变 式
正文讲授 a 取何值时，下列根式有意义？
归 纳
被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进
行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
归纳总结
(1)单个二次根式如 A 有意义的条件：A≥0； (2)多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的
A≥0； 条件： B≥0； ... N≥0；
(3)二次根式作为分式的分母如 A＞0； (4)二次根式与分式的和如 A≥0且B≠0.
2 （1） a 2 - 2a+1 ；（2） ． （a-1 ）
答案：（1） a为任何实数； （ 2） a = 1．
总结：被开方数不小于零．
变
式
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) x 2 2 x 1;
(2) x 2 2 x 3.
解：(1)∵无论x为何实数， x 2 2 x 1 x 12 ≤0， ∴当x=1时， x2 2 x 1在实数范围内有意义. (2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为何实数， x2 2x 3在实数范围内都无意义.
解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1.
(2)
x3 . x 1
解：∵被开方数需大于或等于零， ∴3+x≥0，∴x≥-3.
∵分母不能等于零，
∴x-1≠0，∴x≠1.
归 纳
∴x≥-3 且x≠1. 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足
被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母 或二次根式为分式时，应同时考虑分母不为零.
练 习
正文讲授 2. a 取何值时，下列根式有意义？
1 2 （1） a+1；（2） ；（3） （a-1 ． ） 1- 2a
解：（1）由a+1≥0，得
a≥ - 1； 1 （2）由1-2a＞0，得 a＜ ； 2 2 （a-1 ） （3）由 ≥0，得 a为任何实数．
变 式
正文讲授 a 取何值时，下列根式有意义？
归 纳
被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进
行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
归纳总结
(1)单个二次根式如 A 有意义的条件：A≥0； (2)多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的
A≥0； 条件： B≥0； ... N≥0；
(3)二次根式作为分式的分母如 A＞0； (4)二次根式与分式的和如 A≥0且B≠0.
2 （1） a 2 - 2a+1 ；（2） ． （a-1 ）
答案：（1） a为任何实数； （ 2） a = 1．
总结：被开方数不小于零．
变
式
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) x 2 2 x 1;
(2) x 2 2 x 3.
解：(1)∵无论x为何实数， x 2 2 x 1 x 12 ≤0， ∴当x=1时， x2 2 x 1在实数范围内有意义. (2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为何实数， x2 2x 3在实数范围内都无意义.
沪科版八下数学1二次根式教学课件
(2)( 2 )2; ＝2
(3)( 0.8 )2; ＝0.8 (4) -( 1.3 )2. ＝－1.3
2 下列计算正确的是( A )
知3－练
A．－( 6 )2＝－6 B．( 3 )2＝9
C．( 16 )2＝±16
D．
16 2 16
25
25
3
把4
1 4
写成一个正数的平方的情势是(
B
)
A.
知3－讲
a2 与( a )2的区分与联系： 联系： a2与( a )2均为非负数，且当a≥0时， a2＝
( a )2. 计算(b a )2时，运用(ab)2＝a2b2这个结论可知， (b a )2＝b2a.
例7 计算: (1) 52 ;
2
(2) 1 2 .
解： (1) 52 = 52 =5
或 52 = 5 =5.
(4) a＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不 能称为二次根式．
知1－讲
(5)当x＝－3时，（x
1
3）2
无意义，∴
1 （x 3）2
也无意义；
当x≠－3时，
（x
1
3）＞2 0，∴
（x
1
3）2 是二次根式．
1
∴ （x 3）2 不一定是二次根式．
(6)当a＝4时，a－4＝0， （ - a-4）2 是二次根式；
x.
导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否 具备二次根式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知1－讲
解：(1)∵ 3 64 的根指数是3，∴ 3 64不是二次根式． (2)∵不论x为何值，都有x2＋1＞0，∴ x2 1 是二
次根式．
(3)当－5a≥0，即a≤0时， -5a是二次根式； 当a＞0时，－5a＜0，则 -5a 不是二次根式． ∴ -5a 不一定是二次根式．
(3)( 0.8 )2; ＝0.8 (4) -( 1.3 )2. ＝－1.3
2 下列计算正确的是( A )
知3－练
A．－( 6 )2＝－6 B．( 3 )2＝9
C．( 16 )2＝±16
D．
16 2 16
25
25
3
把4
1 4
写成一个正数的平方的情势是(
B
)
A.
知3－讲
a2 与( a )2的区分与联系： 联系： a2与( a )2均为非负数，且当a≥0时， a2＝
( a )2. 计算(b a )2时，运用(ab)2＝a2b2这个结论可知， (b a )2＝b2a.
例7 计算: (1) 52 ;
2
(2) 1 2 .
解： (1) 52 = 52 =5
或 52 = 5 =5.
(4) a＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不 能称为二次根式．
知1－讲
(5)当x＝－3时，（x
1
3）2
无意义，∴
1 （x 3）2
也无意义；
当x≠－3时，
（x
1
3）＞2 0，∴
（x
1
3）2 是二次根式．
1
∴ （x 3）2 不一定是二次根式．
(6)当a＝4时，a－4＝0， （ - a-4）2 是二次根式；
x.
导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否 具备二次根式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知1－讲
解：(1)∵ 3 64 的根指数是3，∴ 3 64不是二次根式． (2)∵不论x为何值，都有x2＋1＞0，∴ x2 1 是二
次根式．
(3)当－5a≥0，即a≤0时， -5a是二次根式； 当a＞0时，－5a＜0，则 -5a 不是二次根式． ∴ -5a 不一定是二次根式．
16.1 二次根式(课件)2024-2025学年度沪科版数学八年级下册
解： x2 2x+2 (x )2 x . 当x4时，x 4 4 . ∴当x4时， x2 2x+2 4 .
提示
1 将式子先化成“ a2 ”的形式；
2 利用二次根式的性质化简；
3 代值计算.
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随堂练习 1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
典型例题
【例3】计算：
(1) (5)2；
(2) (1 2)2 .
解：(1) (5)2 52 5 或 (5)2 5 5 .
(2) (1 2)2 1 2 (1 2) 2 1.
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典型例题
【例4】先化简再求值： x2 2x+2 ，其中x4.
典型例题
【例2】当x是什么实数时，下列各式有意义？
(1) x 4 ； x2
(2) x2 .
解：(1)由x+4≥0，且 x–2≠0，得x≥– 4，且 x≠2； (2)由–x2≥0，得x=0.
提示 ①被开方数≥0. ②若分母中有字母，保证分母不等于0.
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运算顺序 取值范围 运算结果
( a)2 先开方，后平方
a≥0 a
Байду номын сангаас意义
表示一个非负数a的 算术平方根的平方
a2 先平方，后开方
a取任何实数
a
表示一个实数a的 平方的算术平方根
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典型例题
二次根式有意义的条件 被开方数≥0.
【例1】x为何值时，下列式子在实数范围内有意义？
提示
1 将式子先化成“ a2 ”的形式；
2 利用二次根式的性质化简；
3 代值计算.
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随堂练习 1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
典型例题
【例3】计算：
(1) (5)2；
(2) (1 2)2 .
解：(1) (5)2 52 5 或 (5)2 5 5 .
(2) (1 2)2 1 2 (1 2) 2 1.
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典型例题
【例4】先化简再求值： x2 2x+2 ，其中x4.
典型例题
【例2】当x是什么实数时，下列各式有意义？
(1) x 4 ； x2
(2) x2 .
解：(1)由x+4≥0，且 x–2≠0，得x≥– 4，且 x≠2； (2)由–x2≥0，得x=0.
提示 ①被开方数≥0. ②若分母中有字母，保证分母不等于0.
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运算顺序 取值范围 运算结果
( a)2 先开方，后平方
a≥0 a
Байду номын сангаас意义
表示一个非负数a的 算术平方根的平方
a2 先平方，后开方
a取任何实数
a
表示一个实数a的 平方的算术平方根
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典型例题
二次根式有意义的条件 被开方数≥0.
【例1】x为何值时，下列式子在实数范围内有意义？
第16章 二次根式-2019年八年级数学下册(沪科版)
第16章二次根式-2019年八年级数学下册（沪科版）16.1 二次根式的概念在代数中，二次根式是指具有形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。
在二次根式中，a被称为根式的被开方数。
我们可以将二次根式理解为求被开方数的平方根。
例如，√9表示求9的平方根，结果为3；√16表示求16的平方根，结果为4。
需要注意的是，平方根可以是正数也可以是负数。
因此，√9的解有两个：3和-3。
二次根式在数学中具有广泛的应用，特别是在解方程、求根和几何中。
通过学习二次根式的性质和运算法则，我们可以更好地理解和应用这一概念。
16.2 二次根式的简化与扩展16.2.1 简化二次根式为了方便计算和表达，我们希望将二次根式的形式简化为最简形式。
简化二次根式的关键在于化简根式中的被开方数。
对于一个二次根式√a，我们希望找到一个非负实数b，使得b的平方等于a。
换句话说，我们要找到满足b²=a的b值。
如果找到了符合这个条件的b，那么√a可以简化为b。
例如，对于√36，我们可以找到一个非负实数6，使得6²=36。
因此，√36可以简化为6。
但是，并非所有的二次根式都可以被简化为一个整数。
例如，√5无法找到一个整数b，使得b²=5。
在这种情况下，√5是一个不能简化的二次根式。
对于一些特殊的二次根式，可以采用一些技巧来简化。
例如，对于√18，我们可以将18写成2×9的形式，再分别将2和9的平方根提取出来。
即√18=√(2×9)=√2×√9=3√2。
在数学中，我们经常需要进行二次根式的加减运算。
为了方便计算，我们希望将二次根式扩展为相同形式。
对于一个二次根式√a和√b，我们可以将它们相加或相减，得到一个扩展后的二次根式。
扩展后的形式为√(a±b)。
例如，对于√3和√5，我们可以将它们扩展为√(3+5)=√8。
需要注意的是，只有具有相同被开方数的二次根式才可以进行加减运算，即根式中的被开方数必须相同。
沪科版八年级数学下册 16.1《二次根式》课件(共19张PPT)
(6) xy x, y异号 ,
(5) m m 0 , (7) a ,(8) 5 .
(3) 9 ,
2
3
在实数范围内,负数没有平方根
1 5 2 4 b b 0
指出下列哪些是二次根式？
3
5
9
a 1a 2
3
3
3
21
2
6
a b ab
课堂小结
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2.a可以是数,也可以是式. 3.形式上含有二次根号
4.a≥0,
a ≥0 (双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果. 6.求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数不小于零； ②分母中有字母时,要保证分母不为零.
掌握二次根式有意义的条件
a ≥０ 二次根式 a 有意义的条件: ____________
例2.x是怎样的实数时，下列式子在实数范 围内有意义？
(1) x 1
(2) x 2 2
2
(3) x
( 4)
1 3 2x
①被开方数大于或等于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零.
掌握并应用二次根式的基本性质
你如何理解“二次根式”？ •它们都带有 • 根号里的被开方数都是非负数 •
a 本身是一个非负数
a与 a 会区分
a 表示a的平方根，有两个结果，
一正一负
个非负数，是
a 表示a的算术平方根，它永远是一
a 中正的那个
例1.下列各式是二次根式吗？
(1) 32 , (4) 12 ,
(2) 6,
1.二次根式的定义: 2.二次根式 a 有 意义的条件:
沪科版数学八年级下册16.1《二次根式》教学设计1
沪科版数学八年级下册16.1《二次根式》教学设计1一. 教材分析《二次根式》是沪科版数学八年级下册第16章的第一节内容。
本节内容主要介绍二次根式的概念、性质和运算。
二次根式在数学中占有重要的地位，它是学习更高阶数学的基础。
本节内容的教学目标是使学生理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质，能进行二次根式的运算。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了实数、有理数、无理数等基础知识，对数学中的运算有一定的理解。
但二次根式作为一个新的概念，对学生来说还是较为抽象，需要通过实例和练习来理解和掌握。
三. 教学目标1.了解二次根式的概念，能正确识别二次根式。
2.掌握二次根式的性质，能进行二次根式的运算。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。
2.二次根式的运算方法。
五. 教学方法1.采用实例教学法，通过具体的例子来引导学生理解和掌握二次根式的概念和性质。
2.采用归纳法，让学生通过自主探究和合作交流，总结出二次根式的性质和运算方法。
3.采用练习法，通过大量的练习来巩固学生的知识和提高解题能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学材料，如PPT、教案、练习题等。
2.准备教学工具，如黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式的概念，如“一个正方形的对角线长为8，求正方形的面积。
”让学生思考如何解决这个问题，从而引出二次根式。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的概念和性质，通过PPT展示相关的例子和性质，让学生理解和掌握二次根式。
3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的运算练习，如化简二次根式、求二次根式的值等。
教师及时批改和讲解，帮助学生掌握二次根式的运算方法。
4.巩固（10分钟）通过一些综合性的练习题，让学生运用所学的知识和方法解决问题，巩固二次根式的理解和运用。
5.拓展（10分钟）讲解二次根式的一些应用，如在几何、物理等学科中的应用，让学生了解二次根式的实际意义和价值。