杂题四大问题精讲————(抽屉原理、容斥原理、最值问题、统筹问题)

【本讲重点】
“抽屉原理”、“最值问题”、“统筹安排”回顾与总结。

求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a、b、c、d、e、f，使得(a－b)(c－
d)(e－f)是105的倍数。

请将1，2，3，4分别填入右图的方框中(每个数恰好使用1次)，使得计算结果尽可能大，则最大值是_____。

某校有一道笔直的围墙，该校准备以围墙为一边，用一道长36米的铁丝网，围成一块长方形菜地，这块菜地的面积最大是多少平方米？
用1、3、5、7、9这5个数字组成一个三位数和一个两位数，再用0、2、4、6、8这5个数字组成一个三位数和一个两位数。

请问：算式
的计算结果最大是多少？
杂题四大问题精讲——
（抽屉原理、容斥原理、最值问题、统筹问题）
(★★☆)
(★★★)
(★★☆)
(★★★☆)
ABC DE
FGH IJ ABC DE FGH IJ
⨯-⨯
小明在家的一张墙上贴奖状，一共有32张，给一张奖状涂满胶水需要2分钟，涂满浇水后要晾2分钟才能再往墙上贴，贴的过程需要1分钟。

但是如果等待超过6分钟的话胶水就会干掉不能再贴，问小明最快用多长时间能贴完所有奖状？
(★★☆)。

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抽屉原理与容斥原理

抽屉原理与容斥原理曹国钧有人说：“13个人中至少有两个人出生在相同月份”；又说：“某校一个年级的400名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日”，你认为他的说法对吗？你能说明为什么对或为什么不对吗？1947年匈牙利全国数学竞赛有一道这样的试题：“证明：任何六个人中，一定可以找到三个互相认识的人，或者三个互不认识的人。

”这道题看起来与数学没有多大关系，似乎无法用数学知识解决。

但解决时并不要用到多少高深知识，立即引起了许多数学爱好者的关注和兴趣。

以上问题就是数学中的一类与“存在性”有关的问题。

解决以上这几个问题，要用到数学中的抽屉原理。

我们很容易理解这样一个事实：把3只苹果放到两个抽屉中，肯定有一个抽屉中有2只或2只以上的苹果。

用数学语言表达这一事实，就是：将n+1个元素放入n 个集合内，则一定有一个集合内有两个或两个以上的元素（n 为正整数）。

这就是抽屉原理，也称为“鸽笼（巢）”原理。

这一原理最先是由德国数学家狄里克雷明确提出来的，因此，称之为狄里克雷原理。

抽屉原理还有另外的常用形式：抽屉原理2：把m 个元素任意放入n n m ()<个集合里，则一定有一个集合里至少有k 个元素，其中：k m n n m m n n m =⎡⎣⎢⎤⎦⎥+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪，（当能整除时）（当不能整除时）1. m n m n m n ⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎧⎨⎩⎫⎬⎭表示不大于的最大整数，亦即的整数部分。

抽屉原理3：把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素。

现在你能肯定前面的两种说法是正确的吗？你能说明这两种说法是正确的吗？利用抽屉原理，可以解决一些相当复杂甚至感到无从下手的问题，抽屉原理也是解决存在性问题的常用方法。

例1. 在1，4，7，10，…，100中任选20个数，其中至少有不同的两对数，其和等于104。

分析：解这道题，可以考虑先将4与100，7与97，49与55……，这些和等于104的两个数组成一组，构成16个抽屉，剩下1和52再构成2个抽屉，这样，即使20个数中取到了1和52，剩下的18个数还必须至少有两个数取自前面16个抽屉中的两个抽屉，从而有不同的两组数，其和等于104；如果取不到1和52，或1和52不全取到，那么和等于104的数组将多于两组。

第四讲容斥原理和抽屉原理

PK环节
• （一）基础训练 • （1）某校有500名学生报名参加学科竞赛，数学竞赛参加着共312名，作文竞赛参加着共 353名，其中这两科都参加的有292名，那么这两科都没有参加的人数为多少人？ • (2).某门诊部统计某一天挂号的病人，内科150 人，外科92人，其中内、外科都求诊的18人，这一天共来了（）个病人。
?
（1）C=A+B-AB（相交部分）
A ABBFra bibliotek例:2：从1到200中能被3或5整除的整数共有（ 93）个。
A类元素的个数=[200÷3]=66 B类元素的个数=[200÷5]=40 既是A类又是B类元素的个数=[200÷15]=13 所以，由容斥原理知，从1到200中能被3或5 整除的个数=66+40－13=93
例1：从1到20中2或3的倍数的个数共有（个。
）
13
解答：2的倍数是：2，4，6，8，10， 12，14，16，18，20。 10个
3的倍数是：3，6，9，12，15，18。 6个
但答案不是10+6=16 个，因为6， 12，18在两类中重复计数，应减去。故答案是：16-3=13
如果被计数的事物有AB两类，那么A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数－既是A类又是B类的元素个数
黄冈文立方教育（集团）小学教育研究中心
第四讲
猜一猜
脑筋急转弯：一张照片上有两对父子，数数却只有三个人,为什么？
2＋ 2＝ 3？
2＋2－1＝3
容斥原理
在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

抽屉原理与容斥原理

I ．抽屉原则 10个苹果放入9个抽屉中，无论怎么放，一定有一个抽屉里放了2个或更多个苹果.这个简单的事实就是抽屉原则.由德国数学家狄利克雷首先提出来的.因此，又称为狄利克雷原则. 将苹果换成信、鸽子或鞋，把抽屉换成信筒、鸽笼或鞋盒，这个原则又叫做信筒原则、鸽笼原则或鞋盒原则.抽屉原则是离散数学中的一个重要原则，把它推广到一般情形就得到下面几种形式：原则一：把m 个元素分成n 类（m >n ），不论怎么分，至少有一类中有两个元素. 原则二：把m 个元素分成n 类（m >n ）（1）当n |m 时，至少有一类中含有至少n m个元素；（2）当n |m 时，至少有一类中含有至少[nm]+1个元素.其中n m 表示n 是m 的约数，n m 表示n 不是m 的约数，[n m ]表示不超过nm的最大整数.原则三：把1221+-+++n m m m 个元素分成n 类，则存在一个k ，使得第k 类至少有k m 个元素.原则四：把无穷多个元素分成有限类，则至少有一类包含无穷多个元素.以上这些命题用反证法极易得到证明，这里从略. 一般来说，适合应用抽屉原则解决的数学问题具有如下特征：新给的元素具有任意性.如10个苹果放入9个抽屉，可以随意地一个抽屉放几个，也可以让抽屉空着. 问题的结论是存在性命题，题目中常含有“至少有……”、“一定有……”、“不少于……”、“存在……”、“必然有……”等词语，其结论只要存在，不必确定，即不需要知道第几个抽屉放多少个苹果. 对一个具体的可以应用抽屉原则解决的数学问题还应搞清三个问题：（1）什么是“苹果”？（2）什么是“抽屉”？（3）苹果、抽屉各多少？用抽屉原则解题的本质是把所要讨论的问题利用抽屉原则缩小范围，使之在一个特定的小范围内考虑问题，从而使问题变得简单明确. 用抽屉原则解题的基本思想是根据问题的自身特点和本质，弄清对哪些元素进行分类，找出分类的规律. 用抽屉原则解题的基本思想是根据问题的自身特点和本质，弄清对哪些元素进行分类，找出分类的规律. 用抽屉原则解题的关键是利用题目中的条件构造出与题设相关的“抽屉”. Ⅱ. 容斥原则当我们试图对某些对象的数目从整体上计数碰到困难时，考虑将整体分解为部分，通过对每个部分的计数来实现对整体的计数是一种明智的选择.将整体分解为部分也就是将有限集X 表示成它的一组两两互异的非空真子集A 1，A 2，…A n 的并集，即},,,{.2121n n A A A A A A X ==ϕ集合叫做集合X 的一个覆盖.一个特殊情况是，集族ϕ中的任意两个集合都不相交，这时我们称集族ϕ为集合X 的一个（完全）划分.如ϕ为集合X 的划分，则对集合X 的计数可通过熟知的加法公式||||||||||321n A A A A X ++++= ①进行，但是，要找到一个划分并且其中所有子集易于计数的有时并非易事. 我们可以考虑通过对任意的集族中的子集的计数来计算|X|，当集族ϕ中至少存在两个集合的交非空时，我们称这个覆盖为集合X 的不完全划分. 对于集合X 的不完全划分，显然有有||||||||21n A A A X +++< ②因为在计算|A i |时出现了对某些元素的重复计数，为了计算|X|，就得将②式右边重复计算的部分减去，如果减得超出了，还得再加上，也就是说我们要做“多退少补”的工作.完成这项工作的准则就是容斥原理. 是十九世纪英国数学家西尔维斯提出的. 容斥原理有两个公式. 1．容斥公式定理1 设则为有限集,),,2,1(n i A i =∑∑=≤<≤=-=-++-=ni nj i i ni n j i ii ni A A A A A 11111||)1(|||||| ③证明：当,/,/,,1221121B A A B A A B A A n ='='== 设时由加法公式有|||||||||)||(||)||(|||||||||||,||||||,|||||2121212121212211A A A A B B A B A B A A B A A A A A B A A B A -+=+-+-=++'+'=''==+'=+'结论成立.若n =k 时结论成立，则由∑∑∑=≤<≤=+=-+=+=+=+=+=-+-++-=-+=-+=ki kj i ki i k i ki k j i i i i ki k i ki k i ki k i k i i k i A A A A A A A A A A A A A A A 1111111111111111||||)1(|||||)(||||||)(|||||||∑≤<≤+=+++-+-+ki i k i ki kk j k i k A A A A A A A 111111|)(|)1(|)()(||∑∑+=+≤<≤+=-++-=111111||)1(||||k i k j i i k i kj i iA A A A 知，1+=k n 时结论成立.由归纳原理知，对任意自然数n ，公式③成立.公式③称为容斥公式，显然它是公式①的推广.如果将i A 看成具有性质i P 的元素的集合，那么n A A A X 21 就是至少具有n个性质n P P P ,,,21 之一的元素的集合. 因此，容斥公式常用来计算至少具有某几个性质之一的元素的数目.数学是一门非常迷人的学科，久远的历史，勃勃的生机使她发展成为一棵枝叶茂盛的参天大树，人们不禁要问：这根大树到底扎根于何处？为了回答这个问题，在19世纪末，德国数学家康托系统地描绘了一个能够为全部数学提供基础的通用数学框架，他创立的这个学科一直是我们数学发展的根植地，这个学科就叫做集合论。

六年级下册数学试题-迎春杯培训第4讲杂题教师版全国通用含答案

第四讲杂题这一讲主要涉及逻辑推理、排列组合、最值问题、容斥原理、抽屉原理等几部分知识。

由于这些知识的题型较为灵活，因此在迎春杯中，每次都要占到2至3题。

希望同学们把这部分知识中基本题型掌握全面，并在竞赛中取得好的成绩。

知识概要：加法原理和乘法原理：在做一件事情时，要分几步完成，而在完成每一步时又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就用乘法原理来解决。

做一件事时有几类不同的方法，而每一类方法中又有几种可能的做法就用加法原理来解决。

抽屉原理：如果给你5盒饼干，让你把它们放到4个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。

如果把4封信投到3个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有2封信。

如果把3本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。

这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。

基本的抽屉原理有两条：（1）如果把x+k（k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。

（2）如果把m×x×k（x＞k ≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。

利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”？哪些是“元素”？然后按以下步骤解答：a、构造抽屉，指出元素。

b、把元素放入（或取出）抽屉。

C、说明理由，得出结论。

例1．有6个学生都面向南站成一行，每次只能有5个学生向后转，则最少要做次，就能使这6个学生都面向北解答：最少需要转6次，我们把6个学生能编为1号-6号，第一次1号不转，第二次2号不转…第六次6号不转，所以最后每个人都转了5次，所以6个学生都面向北了.例2．某花园的小径如图50所示。

一个人能不能从图中第1个点的位置出发，不重复地走过所有小径？如果能，请标出所经过各点的顺序（如：1→2→3→…→1）。

如果不能，请标出至少必须重复的小径（如1→2，2→3，8→9或11→12等等）。

解答：这是个一笔画问题，需要考察“奇点”的个数，只有当奇点个数是0或2时才可以一笔画，而这个图里的奇点有8个，显然不能一笔画，每重复走一条小径可以消灭2个奇点所以至少要重复走4条小径，例如1->2,3->4,5->6,7->8例3．一次环保知识竞赛，一共有10道判断题。

奥数-抽屉原理;容斥原理

奥数教学教案授课时间：年月日备课时间年月日年级五课程类别一对一课时学生姓名授课主题抽屉原理；面积计算授课教师教学目标理解和掌握抽屉原理并会灵活应用；会进行面积计算教学重难点抽屉原理；组合图形面积教学方法讲练结合教学过程1、课程导入/错题讲解：桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。

点拨教学过程2.知识点讲解定义一般情况下，把n＋1或多于n＋1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。

我们称这种现象为抽屉原理。

解题思路（一）、利用公式进行解题苹果÷抽屉＝商……余数余数：（1）余数＝1，结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里（2）余数＝，结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里（3）余数＝0，结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里（二）、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法．学习札记容斥原理教学过程3、例题分析：【例1】向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？一年最多有366天，可看做366个抽屉，730个学生看做730个苹果．因为，所以，至少有1＋1＝2（个）学生的生日是同一天．有20张写有数的卡片，正面的数分别是1,2,3，……19,20，将卡片背面朝上放在桌上，试问：最少取出几张，才能保证取出的卡片一定有两张上的数相差正好是5？【分析】11张。

要考虑最不利的情况，才能保证符合题目的条件。

将卡片分成10组，每组两张，并且这两张的数的差等于5：（1,6），（2,7）（3,8）（4,9），（5,10），（11,16），（12,17）（13,18）（14,19）（15,20）。

只要其中一组的两张卡片被取出，就可以符合要求。

如果每组取1张，共取10张，取第11张的时候就可以保证取出的11张中有两张上的数差为方法与技巧教学过程4、随堂练习染色中的抽屉原理小提。

第二讲：抽屉原理

第二讲抽屉原理，容斥原理，统筹原理，最值原理一、知识运用典型例题例1、有60名同学参加义务植树活动，他们的任务是挖树坑和运树苗，经过上午的劳动实践，60名同学可以分成A 、B 、C 三类人员，每类人员的劳动效率见下表。

下午要求挖树坑90个，运树苗越多越好。

问：最多可以运树苗多少棵？例2、甲、乙两厂生产同一规格的上衣和裤子，甲厂每月用158时间生产上衣，157时间生产裤子，共生产448套衣服；乙厂每月用53时间生产上衣，52时间生产裤子，共生产720套衣服，两厂合并后，每月最多生产多少套衣服？例3、如下图，以直角三角形ABC 的两条直角边为直径作两个半圆，己知这两段半圆弧的长度之和是37．68厘米，那么三角形ABC 的面积最大是多少平方厘米？( 取3．14)．挖坑效率运树效率（棵）人数 A 5 30 30 B 3 12 10 C2 10 20例4、用528、1556、1120分别去除某一个分数，所得的商都是整数，这个分数最小是几？例5、六年级有240人，喜欢语文与不喜欢语文的人数比是5：3，喜欢数学与不喜欢数学的人数比是7：5，两门课都喜欢的有86人，两门课都不喜欢的有多少人？二、知识运用课堂训练1、甲乙丙都在读一本故事书，书中共有100个故事，已知甲读了85个故事，乙读了70个故事，丙读了62个故事，那么，甲乙丙三人共读过的故事至少有多少个？2、两条纸带，较长的一条为23cm，较短的一条为15 cm。

把两条纸带剪下同样长的一段后，剩下的两条纸带中，要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍，那么剪下的长度至少是（）cm。

（A）6 （B）7 （C）8 （D）93、要往码头运28个同样大小的集装箱，每个集装箱的质量是1560千克，现安排一辆载重量6吨的卡车运送这些集装箱，卡车车厢的大小最多可以容纳5个集装箱，则这辆卡车至少需往返多少趟？4、小明所在班有45名学生，老师至少要准备多少本书，随意发给学生，才能使得至少有一名学生得到5本或5本以上的书？知识运用课后训练1、小红所在学校有61名学生是在6月份出生的，那么其中至少有几名学生的生日是在同一天？2、一家商店有各种糖果18种，如果每人买一种或两种，至少有多少人购买，才能保证有两人购买的种类相同？科学素养：阅读理解题下面的一段话是一种片剂药包装中的部分说明：广州白云山制药厂粤卫药准字(1994)第121122号感冒清每片重0.22g 口服一次3～4片，一日三次生产日期2003603 有效期到2005.06说明：（g就是克）请你回答下面的问题：(1)这种药的名字是_______，一天最多服_____g.(2)这种药剂到______年______月以后就过期不能服用.(3)你还获得了哪些信息（至少写出两条）?。

小学数学总复习抽屉原理及统筹安排

小学数学总复习抽屉原理及统筹安排
小学数学复习是增强数学技能和思维的重要一步。在这个演示中，我们将讨论抽屉原理，如何用它总结数学知识以及如何安排您的复习计划。
抽屉原理的概念
抽屉原理是指，如果你在n个抽屉里放入n+1个物品，那么至少有一个抽屉将含有两个或多个物品。
应用
这个原理可用于许多数学问题，包括计数和概率。
例子
考虑到一个人每天只能穿一双鞋，如果他有8个鞋子，那么至少有一双鞋是左右脚相同的。
应用到数学复习
我们可以使用抽屉原理总结数学知识，确定那些已经熟练掌握，那些理解还需要加强。
数学知识的总结
用抽屉原理的知识总结已学习的数学知识，发现知识点之间的联系和规律。
1
学习所有的概念
理解每个概念，找到与其他概念的联系，并记住每个符号和定义。
3 掌握细节
建立一个细致的时间表，时间太长或太短会导致无效复习。
如何制定有效的复习计划
下面是一个制定有效复习计划的步骤。
1
1. 安排时间
最好的方法是一周安排标
计划完成那些主题要复习。
3
3. 时间管理
考虑时间量的分配，在时间表中合理安排时间，完成目标计划。
总结与回顾
复习计划结束后进行上课堂辅导和自我复评。
优势
• 有目标的复习 • 计划良好 • 完成日程计划
不足
• 缺少耐心 • 重复思考相同项 • 忽视弱点
总结
• 要花时间制定计划 • 检查累计的忘记的知识点 • 选择合适的地方和时
间进行学习。
3. 睡眠充足
保持睡眠充足有利于备考。一个疲惫的头脑就不会像丰富和充沛的头脑那样工作。
4. 做运动
通过保持运动，保持清醒，促进大脑的血液循环并提高工作效率。

_抽屉原理精华及习题(附答案)

第九讲　抽屉原理1、知识点：1．把27个苹果放进4个抽屉中，能否使每个抽屉中苹果数均小于等于6？那么至少有一个抽屉中的苹果数大于等于几？2．把25个苹果放进5个抽屉中，能否使每个抽屉中苹果数均小于等于4？那么至少有一个抽屉中的苹果数大于等于几？上述两个结论你是如何计算出来的？★规律：用苹果数除以抽屉数，若余数不为零，则“答案”为商加1，若余数为零，则“答案”为商。

★抽屉原则一：把个以上的苹果放到个抽屉中，无论怎样放，一定能找到一个抽屉，它里面至少有两个苹果。

★抽屉原则二：把多于×个苹果放到个抽屉中,无论怎样放,一定能找到一个抽屉,它里面至少有(+1)个苹果。

2、基础知识训练（再蓝皮书）1、把98个苹果放到10个抽屉中，无论怎么放，我们一定能找到一个含苹果最多的抽屉，它里面至少含有个苹果。

2、1000只鸽子飞进50个巢，无论怎么飞，我们一定能找到一个含鸽子最多的巢，它里面至少含有只鸽子。

3、从8个抽屉中拿出17个苹果，无论怎么拿。

我们一定能找到一个拿苹果最多的抽屉，从它里面至少拿出了个苹果。

4、从个抽屉中（填最大数）拿出25个苹果，才能保证一定能找到一个抽屉，从它当中至少拿了7个苹果。

3、　思路与方法：在抽屉原理问题，难在有些题目抽屉没有直接给出，要求我们自己根据题意去造抽屉，但我们也不要为此感到困难，往往在题目有一句关键的话，告诉我们抽屉的性质，我们可以根据此性质来构造抽屉即可。

训　练　题1．六（1）班有49名学生。

数学王老师了解到在期中考试中该班英文成绩除3人外均在86分以上后就说：“我可以断定，本班同学至少有4人成绩相同。

”请问王老师说的对吗？为什么？2．从这100个数中任意挑选出51个数来，证明在这51个数中，一定：（1）有2个数互质；（2）有两个数的差为50；3．圆周上有2000个点，在其上任意地标上（每一点只标一个数，不同的点标上不同的数）。

求证：必然存在一点，与它紧相邻的；两个点和这点上所标的三个数之和不小于2999。

容斥原理之最值问题

7-7-5.容斥原理之最值问题教学目标1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．知识要点一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A U B=A+B-A I B(其中符号“U”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A I B，即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A I B，即阴影面积．1．先包含——A+B重叠部分A I B计算了2次，多加了1次；包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A U B的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求A+B(意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=A I B(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：A U B U C=A+B+C-A I B-B I C-A I C+A I B I C．图示如下：图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，1．先包含：A+B+C重叠部分A I B、B I C、C I A重叠了2次，多加了1次．2．再排除：A+B+C-A I B-B I C-A I C在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．例题精讲【例1】“走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。