两个数和(差)的平方
8.3《平方差公式与完全平方公式》典型例题精析
8.3 完全平方公式与平方差公式1．了解乘法公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能熟练运用公式进行简单的计算．2．感受生活中两个乘法公式存在的意义，养成“观察—归纳—概括”的数学能力，体会数形结合的思想方法，提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力，进一步增强符号感和推理能力．1．完全平方公式(1)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.上式用语言叙述为：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．(2)完全平方公式的证明：(a±b)2＝(a±b)(a±b)＝a2±ab±ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2±2ab＋b2(合并同类项)．(3)完全平方公式的特点：①左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．可简单概括为“首平方，尾平方，积的2倍夹中央”．②公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．③对于符合两数和(或差)的平方的乘法，均可用上述公式计算．【例1－1】用完全平方公式计算(1)(x＋2y)2；(2)(2a－5)2；(3)(－2s＋t)2；(4)(－3x－4y)2；(5)(2x＋y－3z)2.分析：第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算；第(3)题可先把它变成(t－2s)2，然后再计算，也可以把－2s看成一项，用和平方公式计算；第(4)题可看成－3x与4y差的平方，也可以看成－3x与－4y和的平方；(5)可把2x＋y看成一项，用差平方公式计算，然后再用和平方公式计算，也可以把它看成2x与y－3z的和平方，再用差平方公式计算．解：(1)(x ＋2y )2＝x 2＋2·x ·2y ＋(2y )2＝x 2＋4xy ＋4y 2；(2)(2a －5)2＝(2a )2－2·2a ·5＋52＝4a 2－20a ＋25；(3)(－2s ＋t )2＝(t －2s )2＝t 2－2·t ·2s ＋(2s )2＝t 2－4ts ＋4s 2；(4)(－3x －4y )2＝(－3x )2－2·(－3x )·4y ＋(4y )2＝9x 2＋24xy ＋16y 2；(5)(2x ＋y －3z )2＝[2x ＋(y －3z )]2＝(2x )2＋2·2x ·(y －3z )＋(y －3z )2＝4x 2＋4xy －12xz ＋y 2－2·y ·3z ＋(3z )2＝4x 2＋y 2＋9z 2＋4xy －12xz －6yz .(1)千万不要与公式(ab )2＝a 2b 2混淆，发生类似(a ±b )2＝a 2±b 2的错误；(2)切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；(3)计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形，使其具备公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．此外，在运用公式时要灵活，如第(4)题，由于(－3x －4y )2与(3x ＋4y )2是相等关系，故可以把(－3x －4y )2转化为(3x ＋4y )2，再进行计算，再如(5)题，也有许多不同的方法．(4)完全平方公式的几何解释．如图是对(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2几何意义的阐释．大正方形的面积可以表示为(a ＋b )2，也可以表示为S ＝S Ⅰ＋S Ⅱ＋S Ⅲ＋S Ⅳ，又S Ⅲ，SⅠ，S Ⅳ，S Ⅱ分别等于a 2，ab ，ab ，b 2，所以S ＝a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2.如图是对(a－b)2＝a2－2ab＋b2几何意义的阐释．正方形Ⅰ的面积可以表示为(a－b)2，也可以表示为SⅠ＝S大－SⅡ－SⅣ＋SⅢ，又S大，SⅡ，SⅢ，SⅣ分别等于a2，ab，b2，ab，所以SⅠ＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2.从而验证了完全平方公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2.【例1－2】下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a，b的恒等式：__________________.解析：根据图中的面积写一个恒等式，需要用两种方法表示空白正方形的面积．首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成，所以空白正方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面积，即(a＋b)2－4ab，空白正方形的面积也等于它的边长的平方，即(a－b)2，根据面积相等有(a＋b)2－4ab＝(a－b)2.答案：(a＋b)2－4ab＝(a－b)22．平方差公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.上式用语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．(2)平方差公式的证明：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2－b2(合并同类项)．(3)平方差公式的特点：①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去互为相反数项的平方)；③公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．利用此公式进行乘法计算时，应仔细辨认题目是否符合公式特点，不符合平方差公式形式的两个二项式相乘，不能用平方差公式．如(a＋b)(a－2b)不能用平方差公式计算．【例2－1】计算：(1)(3x＋2y)(3x－2y)；(2)(－m＋n)(－m－n)；(3)(－2x－3)(2x－3)．分析：(1)本题符合平方差公式的结构特征，其中3x对应“a”，2y对应“b”；(2)题中相同项为－m，互为相反数的项为n与－n，故本题也符合平方差公式的结构特征；(3)利用加法交换律将原式变形为(－3＋2x)(－3－2x)，然后运用平方差公式计算．解：(1)(3x＋2y)(3x－2y)＝(3x)2－(2y)2＝9x2－4y2.(2)(－m＋n)(－m－n)＝(－m)2－n2.(3)(－2x－3)(2x－3)＝(－3＋2x)(－3－2x)＝(－3)2－(2x)2＝9－4x2.利用公式计算，关键是分清哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于公式中的b，通常情况下，为防止出错，利用公式前把相同项放在前面，互为相反数的项放在后面，然后套用公式．(4)平方差公式的几何解释如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ＋SⅢ＝SⅠ＋SⅣ＝(a＋b)(a－b)．从而验证了平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2.【例2－2】下图由边长为a和b的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可以验证的一个乘法公式是____________________．分析：要表示阴影部分的面积，可以从两个方面出发：一是观察阴影部分是由边长为a的正方形除去边长为b的正方形得到的，所以它的面积等于a2－b2；二是阴影部分是由两个直角梯形构成的，所以它的面积又等于两个梯形的面积之和．这两个梯形的面积都等于12 (b＋a)(a－b)，所以梯形的面积和是(a＋b)(a－b)，根据阴影部分的面积不变，得(a＋b)(a－b)＝a2－b2.因此验证的一个乘法公式是(a＋b)(a－b)＝a2－b2.答案：(a＋b)(a－b)＝a2－b23．运用乘法公式简便计算平方差公式、完全平方公式不但是研究整式运算的基础，而且在许多的数字运算中也有广泛地运用．不少数字计算题看似与平方差公式、完全平方公式无关，但若根据数字的结构特点，灵活巧妙地运用平方差公式、完全平方公式，常可以使运算变繁为简，化难为易．解答此类题，关键是分析数的特点，看能否将数改写成两数和的形式及两数差的形式，若改写成两数和的形式乘以两数差的形式，则用平方差公式；若改写成两数和的平方形式或两数差的平方形式，则用完全平方公式．【例3】计算：(1)2 0132－2 014×2 012；(2)1032；(3)1982.分析：(1)2 014＝2 013＋1,2 012＝2 013－1，正好符合平方差公式，可利用平方差公式进行简便运算；(2)可将1032改写为(100＋3)2，利用两数和的平方公式进行简便运算；(3)可将1982改写为(200－2)2，利用两数差的平方公式进行简便运算．解：(1)2 0132－2 014×2 012＝2 0132－(2 013＋1)×(2 013－1)＝2 0132－(2 0132－12)＝2 0132－2 0132＋1＝1.(2)1032＝(100＋3)2＝1002＋2×100×3＋32＝10 000＋600＋9＝10 613.(3)1982＝(200－2)2＝2002－2×200×2＋22＝40 000－800＋4＝39 204.4．利用乘法公式化简求值求代数式的值时，一般情况是先化简，再把字母的值代入化简后的式子中求值．在化简的过程中，合理地利用乘法公式能使整式的运算过程变得简单．在代数式化简过程中，用到平方差公式及完全平方公式时，要特别注意应用公式的准确性．【例4】先化简，再求值：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2，其中m ＝－2，n ＝15. 解：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2＝5(m 2－n 2)－2(m 2＋2mn ＋n 2)－3(m 2－2mn ＋n 2)＝5m 2－5n 2－2m 2－4mn －2n 2－3m 2＋6mn －3n 2＝－10n 2＋2mn .当m ＝－2，n ＝15时，原式＝－10n 2＋2mn ＝－10×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋2×(－2)×15＝－65. 5．乘法公式的运用技巧一些多项式的乘法或计算几个有理数的积时，表面上看起来不能利用乘法公式，实际上经过简单的变形后，就能直接运用乘法公式进行计算了．有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．在运用平方差公式时，注意以下几种常见的变化形式：①位置变化：(b ＋a )(－b ＋a )＝a 2－b 2.②符号变化：(－a ＋b )(－a －b )＝(－a )2－b 2＝a 2－b 2.③系数变化：(0.5a ＋3b )(0.5a －3b )＝(0.5a )2－(3b )2.④指数变化：(a 2＋b 2)(a 2－b 2)＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4.⑤增项变化：(a－b－c)(a－b＋c)＝(a－b)2－c2，(a＋b－c)(a－b＋c)＝a2－(b－c)2.⑥增因式变化：(a＋b)(a－b)(－a－b)(－a＋b)＝(a2－b2)(a2－b2)＝(a2－b2)2.⑦连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)＝a8－b8.【例5－1】计算：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)；(2)(m－2n＋p)2；(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2.解：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)＝[(a＋b)＋1][(a＋b)－1]＝(a＋b)2－1＝a2＋2ab＋b2－1.(2)(m－2n＋p)2＝[(m－2n)＋p]2＝(m－2n)2＋2·(m－2n)·p＋p2＝m2－4mn＋4n2＋2mp－4np＋p2.(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2＝[(2x－3y)(2x＋3y)]2＝(4x2－9y2)2＝(4x2)2－2×4x2×9y2＋(9y2)2＝16x4－72x2y2＋81y4.在运用平方差公式时，应分清两个因式是否是两项之和与差的形式，符合形式才可以用平方差公式，否则不能用；完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个三项式，在计算时不要发生：(a＋b)2＝a2＋b2或(a－b)2＝a2－b2这样的错误；当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组，看成是两项，从而应用平方差公式或完全平方公式．【例5－2】计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)的值．分析：为了能便于运用平方差公式，观察到待求式中都是和的形式，没有差的形式，可设法构造出差的因数，于是可乘以(2－1)，这样就可巧妙地运用平方差公式了．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝…＝(22n－1)(22n＋1)＝24n－1.6．乘法公式的实际应用在解决生活中的实际问题时，经常把其中的一个量或几个量先用字母表示，然后列出相关式子，进而化简，这往往涉及到整式的运算．解题时，灵活运用乘法公式，往往能事半功倍，使问题得到快速解答．【例6】一个正方形的边长增加3 cm，它的面积就增加39 cm2，这个正方形的边长是多少？分析：如果设原正方形的边长为x cm，根据题意和正方形的面积公式可列出方程(x＋3)2＝x2＋39，求解即可．解：设原正方形的边长为x cm，则(x＋3)2＝x2＋39，即x2＋6x＋9＝x2＋39，解得x＝5(cm)．故这个正方形的边长是5 cm.7．完全平方公式的综合运用学习乘法公式应注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”，注意为使用公式创造条件．(1)完全平方公式变形后可得到以下一些新公式：①a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ；②a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ；③(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ；④(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ；⑤(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)；⑥(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab 等．在公式(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2中，如果把a ＋b ，ab 和a 2＋b 2分别看做一个整体，则知道了其中两个就可以求第三个．(2)注意公式的逆用不仅会熟练地正用公式，而且也要求会逆用公式，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用——a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.【例7－1】已知a 2＋b 2＋4a －2b ＋5＝0，则a ＋b a －b的值是__________．解析：原等式可化为(a 2＋4a ＋4)＋(b 2－2b ＋1)＝0，即(a ＋2)2＋(b －1)2＝0，根据非负数的特点知a ＋2＝0且b －1＝0，从而可知a ＝－2且b ＝1.然后将其代入求a ＋b a －b的值即可． 答案：13【例7－2】已知a ＋b ＝2，ab ＝1，求a 2＋b 2的值．分析：利用完全平方公式有(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，把2ab 移到等式的左边，可得(a ＋b )2－2ab ＝a 2＋b 2，然后代入求值即可．解：∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2aB ．∵a ＋b ＝2，ab ＝1，∴a 2＋b 2＝22－2×1＝2.涉及两数和或两数差及其乘积的问题，就要联想到完全平方公式．本题也可从条件出发解答，如因为a＋b＝2，所以(a＋b)2＝22，即a2＋2ab＋b2＝4.把ab＝1代入，得a2＋2×1＋b2＝4，于是可得a2＋b2＝4－2＝2.。
两数和(差)的完全平方公式
两数和（差）的平方教案设计泌阳县春水镇中心学校刘老师教学内容教科书P.32——P.34的内容本节课是华师大八年级（上）义务教育课程标准实验教材第12章第3节第二课时的内容。
它是学生在已经掌握整式的加减法、幂的运算、单项式乘法、多项式乘法之后进行学习的。
一方面它是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面也是后续学习的基础，不仅对提高学生运算速度、准确率有较大作用，更是今后学习因式分解、解一元二次方程、配方法、分式运算的知识基础，同时乘法公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端。
通过乘法公式的学习对简化某些整式的运算、培养学生的求简意识有较大好处。
一、教学目标1．能说出两数和的平方与两数差的平方公式的特点，并会用式子表示。
2．能正确地利用两数和的平方与两数差的平方公式进行多项式的乘法。
3．通过两数和的平方与两数差的平方公式的得出，使学生明白数形结合的思想。
二、教学重难点重点：掌握公式的特点，牢记公式。
难点：对具体问题会运用公式以及理解字母的广泛含义。
关键：引导学生对本节课公式结构特征进行理解，并注意同两数与这两数差的积的公式进行区分。
教学过程一、创设情景、问题导入很久很久以前,有一个国家的公主被妖怪抓到了森林里,两个农夫一起去森林打猎时打死了妖怪救出了公主。
国王要赏赐他们, 这两个农夫原来各有一块边长为a米的正方形土地, 第一个农夫就对国王说：“您可不可以再给我一块边长为b 米的正方形土地呢？”国王答应了他，国王问第二个农夫：“你是不是要跟他一样啊?”第二个农夫说：“不，我只要您把我原来的那块地的边长增加b米就好了。
国王想不通了，他说：“你们的要求不是一样的吗？” 你认为他们的要求一样吗？以小组为单位，讨论交流a2+b2与(a+b)2的大小.思考怎样计算(a+b)2，结果是多少？二、探究新知，得出公式方法一、利用代数方法计算(a+b)2＝(a+b) (a+b)＝a2＋2ab＋b2方法二、利用几何图形的面积的两种表示方法验证。
华东师大版数学八年级上册《两数和(差)的平方》说课稿
华东师大版数学八年级上册《两数和(差)的平方》说课稿一. 教材分析华东师大版数学八年级上册《两数和(差)的平方》这一节主要介绍了平方差公式和完全平方公式的概念及其应用。
这两个公式是代数学习中非常重要的基础知识，对于学生后续学习二次函数、解一元二次方程等都有很大的帮助。
教材通过例题和练习题的方式，使学生能够熟练掌握这两个公式的运用。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了有理数的运算、因式分解等知识，对于代数的基本概念和运算规则有一定的了解。
但学生在学习过程中，可能会对平方差公式和完全平方公式的推导和应用存在理解上的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习需求，针对学生的实际情况进行教学。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握平方差公式和完全平方公式的概念及其运用。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流的方式，提高学生分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：平方差公式和完全平方公式的概念及其运用。
2.教学难点：平方差公式和完全平方公式的推导过程，以及如何灵活运用这两个公式解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、启发引导的教学方法，让学生在探索中学习，提高学生的思维能力和创新能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具，进行直观演示和板书，帮助学生理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习有理数的运算、因式分解等知识，为学生学习平方差公式和完全平方公式奠定基础。
2.讲解新课：讲解平方差公式和完全平方公式的概念、推导过程和运用方法。
3.例题讲解：分析并讲解典型例题，让学生理解并掌握平方差公式和完全平方公式的运用。
4.练习巩固：让学生进行练习，巩固所学知识，提高解题能力。
5.拓展提高：通过解决实际问题，引导学生灵活运用平方差公式和完全平方公式。
两数和（差）的平方公式
第8课 两数和（差）的平方公式班别： 姓名： 。
一、 两数和的平方：总结特征：一个二项式的完全平方，其结果有三项，其中两项是这个二项式各项的平方，还有一项是这个二项式中各项乘积的两倍。
注意：（a ＋b ）2并不等价于a 2 ＋b 2 ，两者一般情况下是不等的。
例：计算：（1）（2a ＋2b ）2 （2）（2x －3y ）2 (3) 20012;解：（1）原式＝（2a ）2＋2 • 2a • 2b＋（2b ）2 ＝4a 2＋2ab ＋4b 2 （2）原式＝（ ）2－2 •（ ）•（ ）＋（ ）2＝(3) 20012 =( + ) 2=即学即练：计算：（1）（x ＋2）2； (2)（3x ＋2y ）2； (3）（0.5a －2b ）2；三、巩固练习：（A组）1、判断题；（1）（a－b）2=a2－b 2 （）（2）(a＋2b)2=a2＋2ab＋2b2 （）（3）（－a－b）2= -a2－2ab＋b 2 （）（4）（a－b）2=（b－a）2 （）2、计算：（1）（x＋3）2；（2）（2x＋y）21n）2（3）（5x－3y）2；（4）（2m－2（5）（－4m＋n）2；（6）（－4m－n）23、要给一边长为a米的正方形桌子铺上桌布，四周均留出0.1米宽，问桌布面积需要多大？4.填空：（1）x 2＋ ＋9＝（ ＋ ）2；（2）4a 2＋kab ＋9b 2是完全平方式，则k ＝ ；（3）（ ）2－8xy ＋y 2＝（ - y ）25.已知x 2＋y 2＝15，xy ＝5，求（x ＋y ）2和（x －y ）2的值。
巩固练习1． 运用平方差或完全平方公式计算：（1）（2a ＋5b ）（2a －5b ）； （2）（－2a －1）（－2a ＋1）；（3）（2a －4b ）2； （4）（2a ＋31b ）2（5）（21a －31b ）2 (6) 100222.新世纪中学教学楼前有一块边长为a 米的正方形空地。
现准备将这块空地四周均留出b 米宽修筑围坝，中间修建喷泉水池。
乘法公式2两数和(或差)的平方
通过乘法公式和向量外积计算三角 形的面积。
体积计算
01
02
03
长方体体积
通过乘法公式计算长方体 的体积，即长乘以宽乘以 高。
圆柱体体积
利用乘法公式和圆的面积 公式计算圆柱体的体积。
圆锥体体积
通过乘法公式和圆的面积 公式以及高计算圆锥体的 体积。
长度计算
向量的模
通过乘法公式计算向量的 模，即向量各分量的平方 和的平方根。
空间中两点的距离
利用乘法公式和向量减法 计算空间中两点的距离。
圆的周长
通过乘法公式和圆的半径 计算圆的周长。
05 乘法公式在物理中的应用
运动学问题
匀变速直线运动
利用乘法公式推导位移与时间的 关系，如$s = v_0t + frac{1}{2}at^2$。
抛体运动
将乘法公式应用于抛体运动的水 平位移和竖直位移，求解物体的
通过乘法公式的运用， 可以简化复杂的多项 式表达式，降低计算 难度。
方程求解
利用乘法公式将方程化为标准形式， 便于求解未知数。
通过对方程的变形和化简，可以更容 易地找到方程的解，提高解题效率。
在解方程时，可以根据乘法公式的特 点，选择合适的变形方式，简化求解 过程。
不等式证明
利用乘法公式证明不等式，可 以将复杂的不等式化为简单的 形式，便于证明。
运动轨迹。
圆周运动
通过乘法公式计算向心加速度、 线速度、角速度等物理量之间的
关系。
动力学问题
1 2
牛顿第二定律
结合乘法公式，推导物体加速度与作用力、质量 之间的关系，即$F = ma$。
动量定理
应用乘法公式求解物体动量变化与冲量之间的关 系，如$Delta p = Ft$。
两数和差的平方
公式转换法
定义
公式转换法是指利用公式转换， 将两数的和与差的平方表示成其 他数为a和b，则它们的平方 和为(a+b)^2=a^2+b^2+2ab ，差为(a-b)^2=a^2+b^2-2ab 。
例子
利用公式 (a+b)^2=[(a+b)^2+(ab)^2]/2，则 (4+3)^2=[(4+3)^2+(43)^2]/2=41。
两数和差的平方
xx年xx月xx日
目 录
• 引言 • 两数和差的平方的性质 • 两数和差的平方的计算方法 • 两数和差的平方的实例 • 两数和差的平方的应用 • 两数和差的平方的进一步探讨
01
引言
定义和公式
1
两数和差的平方是指两个数的和或差的平方， 具体公式如下
2
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
04
两数和差的平方的实例
整数实例
总结词
整数和差的平方
详细描述
对于两个整数a和b，它们的和差的平方等于（a+b）2-（a-b）2，这个结论 可以通过整数的平方差公式进行验证。例如，两个整数3和5的和差的平方等 于（3+5）2-（3-5）2=160。
分数实例
总结词
分数和差的平方
详细描述
对于两个分数a和b，它们的和差的平方等于（a+b）2-（a-b）2，这个结论可以通过分数的平方差公 式进行验证。例如，两个分数1/2和3/4的和差的平方等于（1/2+3/4）2-（1/2-3/4）2=19/16。
3
(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
12.3乘法公式(两数和差平方公式)
12.3平方公式目标解读：1.推导两数和、差的平方公式，理解两数和、差的平方公式的意义。
2.掌握乘法公式，用乘法公式进行有关计算。
重点：两数和、差的平方公式应用难点：推导两数和、差的平方公式知识点1两数和、差的平方用多项式乘法运算验证归纳总结：两数和或差的平方，等于这两数的平方和加上或减去它们的积的倍。
拓展一、利用乘法公式进行运算例9992-1002×998拓展二、巧用平方和、平方差公式计算拓展三、变化整式的形式求值拓展四、整体代入法化简求值拓展五、求图形的面积拓展六、灵活运用两数和差的平方公式拓展七判断三角形的形状五、拓展延伸1.利用完全平方公式进行计算（1）1022(2）1992(3）（x＋2）2－（x－2）22.下列可以用两数和乘以这两数差公式计算的是（）（A）（x-y）（x+y）（B）（x-y）（y-x）（C）（x-y）（-y+x）（D）（x-y）（-x+y）3、计算（1）（4a＋5b）2 （2）（-6a＋9b）2（3）（7a－3b）2（4）（-2x－3y）24、已知x+y=3，xy=-12，求下列各式的值。
（1）x2+y2 (2)x2-xy+y2(3)(x-y)2 (4) |x-y|5、已知x-y=4,xy=21,则x2+y2的算术平方根等于多少6、已知x+y=3,x2+y2=5,则xy的值等于多少？14.3.2 两数和的平方(A卷)(教材针对性训练题60分 30分钟)一、判断:下列等式是否成立,对的打“∨”,错的打“×”号(每小题1分,共6分)1.(x-y)2=x2-y2( );2.a2-b2=(a-b)2+2ab-2b2( )3.a2+b2=(a-b)2+2ab( );4.a2-b2=(a+b)2-2ab( )5.(0.5x-y)2=0.25x2-xy+y2( );6.(a+1)(-a-1)=a2-1( )二、填空题:(每小题3分,共24分)7.23___5x⎛⎫+⎪⎝⎭=925x2+6xy+25y2;8.5022=(______+______)2=____________________=___________.9.若a2+2a=1则(a+1)2=________.10.(______+b2)=9a2+_______+_________.11.若(x-3)2=x2+kx+9,则k=_________.12.若x2+y2=12,xy=4,则(x-y)2=_________.13.x2+y2=(x-y)2+_______=(x+y)2-_______.14.(_____-2)2=_____-12x+________.三、选择题:(每小题3分,共18分)15.乘法公式中a、b可表示( )A.数B.多项式C.单项式D.以上都可以16.下列各式计算正确的是( )A.(a-b)2=a2-b2;B.(2x-y)2=4x2-2xy+y2C.(a2+2b)2=a4+4b2;D.(12x+3)2=14x2+3x+917.下列各式中,计算结果是2mn-m2-n2的是( )A.(m-n)2B.-(m-n)2;C.-(m+n)2D.(m+n)218.若x2+ax=(x+12)2+b,则a、b的值是( )A.a=1,b=14B.a=1,b=-14; C.a=0,b=-12D.a=2,b=1219.(a+3b)2-(3a+b)2的计算结果是( )A.8(a-b)2B.8(a+b)2;C.8b2-8a2D.8a2-8b220.下列各式中,形如a2±2ab+b2的形式的多项式有( )①a2-a+14,②x2+xy+y2,③116m2+m+1,④x2-xy+14y2,⑤m2+4n2+2mn,⑥14a4b2-a2b+1.A.2个B.3个C.4个D.5个四、(每小题4分,共12分)21.化简:(9-a2)2-(3-a)(3+a)(9+a2);22.化简并求值:(x3+2)2-2(x+2)(x-2)(x2+4)-(x3-2)2,其中x=1 2 .23.已知A=1234567×1234569,B=12345682,试比较A 、B 的大小.答案:一、1.× 2.∨ 3.∨ 4.× 5.∨ 6.× 二、7.5y 8.500;2;250000+2000+4;252004.9.2 10.3a;6ab;b 211.- 6 12.4 13.2xy;2xy 14.211,,4864x x . 三、15.D 16.D 17.B 18.B 19.C 20.B 四、21.解:原式=81-18a 2+a 4-(9-a 2)(9+a 2) =81-18a 2+a4-(81-a 4) =81-18a 2+a 4-81+a 4 =2a 4-18a 222.解:原式=x 6+4x 3+4-2(x 2-4)(x 2+4)-(x 6-4x 3+4) =x 6+4x 3+4-2(x 4-16)-x 6+4x 3-4 =8x 3-2x 4+32当x=-12时,原式=3411111782328232132302281688⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯--⨯+=⨯--⨯+=--+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23.解:设m=1234568,则1234567=m-1,1234569=m+1,则A=(m-1)(m+1)=m 2-1,B=m 2. 显然m 2-1<m 2,所以A<B.14.3.2 两数和的平方(B卷)(综合应用创新训练题 60分 40分钟)一、学科内综合题:(28分)1.(6分)解不等式:(x2-2)(-x2+2)>(2x-x2)(2x+x2)+4x.2.(6分)解方程组:222(x+3)(2)(7)(4)(4)12 1y y x xx y⎧+-=-++--⎨+=-⎩3.(6分)△ABC三边长a、b、c满足b+c=8,bc=a2-12a+52,试问△ABC 是什么三角形?4.(10分)(1)图是一个长为2a,宽为2b的矩形, 若把此图沿图中虚线用剪刀均分为四块小长方形,然后按图的形状拼成一个正方形,请问:这两个图形的什么量不变?所得的正方形的面积比原矩形的面积多出的阴影部分的面积用a、b 的代数式表示为_________.(2)由(1)的探索中,可得出的结论是:在周长一定的矩形中,_____________时,面积最大;(3)若一矩形的周长为36cm,则当边长为多少时,该图形的面积最大?最大面积是多少?二、应用题:(5分)5.已知一个正方形木板,它的边长是(a+3)cm,从中锯去一个边长是(a-1)cm 的正方形,求剩余木板的面积是多少?三、创新题:(共22分) (一)多解题(9分)6.已知:a+b=7,ab=-12,求下列各式的值. (1)a 2+b 2;(2)a 2-ab+b 2;(3)(a-b)2(二)多变题(8分) 7.已知:x 2-3x+1=0,求x 4+41x的值.bb aa一变:已知:(x2+1)(y2+1)=4xy,求代数式x2-5y+1的值.(三)新解法题(5分)8.设a、b、c、d都是整数且m=a2+b2,n=c2+d2,试说明：m、n可表示成两个整数的平方和的形式.四、新中考题:(共5分)9.(2003,海南省,2分)下列各式中,不一定成立的是( )A.(a+b)2=a2+2ab+b2;B.(b-a)2=a2-2ab+b2C.(a+b)(a-b)=a2-b2;D.(a-b)2=a2-b210.(2003,福州市,3分)观察下列各式:1×3=12+2×1,2×4=22+2×2,3×5= 32+2×3,……请你将猜想到的规律用自然数n(n≥1)表示出来:_____________.答案:一、1.解:-(x2-2)2>(2x)2-(x2)2+4x,-(x4-4x2+4)>4x2-x4+4x,-x4+4x2-4<4x2-x4+4x,-4<4x,∴x<-1.2.解:由①得:x2+6x+9+y2-4y+4=49-14y+y2+x2-16-12,6x-4y+14y=49-28-9-4,6x+10y=8,即3x+5y=4,③由③-②×③得:2y=7,∴y=3.5,把y=3.5代入②得:x=-3.5-1=-4.5,∴4.53.5 xy=-⎧⎨=⎩3.解:由b+c=8得c=8-b,代入bc=a 2-12a+52得 b(8-b)=a 2-12a+52,8b-b 2=a 2-12a+52,a 2-12a+36+b 2-8b+16=0,逆用完全平方公式得 (a-b)2+(b-4)2=0,所以a-6=0且b-4=0,即a=6,b=4, 把b=4代入c=8-b 得c=8-4=4. ∴c=b=4,因此△ABC 是等腰三角形.4.(1)这两个图形的周长不变 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 (2)在周长一定的矩形中,长等于宽时面积最大. (3)9cm,81cm 2 二、5.解:剩余木板的面积是:(a+3)2-(a-1)2=(a+3+a-1)(a+3-a+1)=(2a+2)×4=8a+8(cm 2) 三、(一) 6.解法一:(1)a 2+b 2=(a+b)2-2ab=72-2×(-12)=49+24=73.(2)a 2-ab+b 2=(a 2+b 2)-ab=73-(-12)=73+12=85,(3)(a-b)2=a 2-2ab+b 2=(a 2+b 2)-2ab=73-2×(-12)=73+24=97. 解法二:(1)∵a+b=7,∴(a+b)2=49,又ab=-12,即a 2+2ab+b 2=49,∴a 2+b 2=49-2×(-12)= 49+24=73.(2)∵(a+b)2=49,又ab=-12,∴a 2+b 2+2ab=49,∴a 2+b 2-ab=49-3ab=49-3×(- 12)=49+36=85. (3)∵a+b=7,ab=-12,∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=49-4×(-12)=49+48=97. (二) 7.解:由x 2-3x+1=0,知x ≠0,∴x-3+ =0,∴x+1x=3,∴x 2+21x=(x+1x )2-2x ×1x =32-2=7 ∴x 4+41x =(x 2+21x)2-2=72-2=47一变:∵(x 2+1)(y 2+1)=4xy,∴x 2y 2+x 2+y 2+1=4xy. ∴(x 2y 2-2xy+1)+(x 2-2xy+y 2)=0,(xy-1)2+(x-y)2=0,∴100xy x y -=⎧⎨-=⎩∴x=y,x 2=1,∴x=±1.当x=1时,y=1;当x=-1时.y=-1∴当x=1,y=1时,x 2-5y+1=12-5×1+1=1-5+1=-3.当x=-1,y=-1时,x 2-5y+1=(-1)2-5×(-1)+1=1+5+1=7.(三)8.解:∵m=a2+b2,n=c2+d2∴mn=(a2+b)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=a2c2+2abcd+b2d2+b2c2-2abcd+a2d2=(ac+bd)2+(bc-ad)2或=(ac-bd)2+(bc+ad)2四、9.D 10.n(n+2)=n2+2n14.3.2 两数和的平方 (C卷)(能力拔高训练题 20分 20分钟)探究题:(每小题10分,共20分)1.给出下列算式:32-12=8=8×1,52-32=16=8×2,72-52=24=8×3,92-72=32=8×4=32,…(1)观察上面一系列式子,你能发现什么规律?用含n的式子表示出来:_____________________( n为正整数)(2)根据你发现的规律:计算:20052-20032=________________,这时,n=______.2.观察下面各式规律:12+(1×2)2+22=(1×2+1)2,22+(2×3)2+32=(2×3+1)2,32+ (3×4)2+42=(3×4+1)2,…(1)写出第2001行式子:_____________________________________;(2)写出第n行式子:____________________________________________,并说明你的结论为什么是正确的.答案:1.(1)(2n+1)2-(2n-1)2=8n(2)8016,10022.(1)20012+(2001×2002)2+20022=(2001×2002+1)2(2)n2+[n(n+1)]2+(n+1)2=[n(n+1)+1]2∵左边=n2+n2(n+1)2+(n+1)2=n2+n2(n2+2n+1)+n2+2n+1=n2+n4+2n3+n2+n2+2n+1=n4+2n3+3n2+2n+1又∵右边=[n(n+1)+1]2=n2(n+1)2+2n(n+1)+1=n2(n2+2n+1)+2n2+2n+1=n4+2n3+n2+2n2+2n+1=n4+2n3+3n2+2n+1因为左边=右边,所以n2+[n(n+1)]2+(n+1)2=[n(n+1)+1]2是正确的.。
两数和、差的平方公式(定)
18:54:29
两 数 和 差 的
( )
问题
模型
a b
一个边长为a米的 正方形广场，现要 扩建该广场，将其 边长增加b米，试 问扩建后的广场的Βιβλιοθήκη 面积是多少？18:54:29
探索
模型
a b
你能用几种方式表达 新建广场的面积？
18:54:29
猜想
模型
a b
你有何猜想？
(a b)2 a2 2ab b2
变通推广
(a b)2 a2 2ab b2
变 通
推 广
两数差的平方公式
(a b) ?
2
(a b)2 a2 2ab b2
18:54:29
活学活用
公 式 运 用
2 (2 x y ) 例：计算
两数差的平方公式
(a b) a 2ab b
2 2 2
18:54:29
猜想
证 明
你有何猜想？
(a b)2 a2 2ab b2
你能用代数方 法验证你的猜 想吗？
18:54:29
结论
特 点
左边：两数和的平方
两数和的平方公式
(a b)2 a2 2ab b2
右边： 首尾两数平方和 中间两数积二倍
首平方，尾平方， 首尾二倍在中央
18:54:29
思 考
公 式 运 用
2 ( x 2 y ) 例：计算
两数和的平方公式
(a b)2 a2 2ab b2
18:54:29
活学活用
(a b) a 2ab b
2 2 2
运用1
运用2
运用3
两数和(差)的平方
两数和（差）的平方课前知识管理1、完全平方公式有两个：〔a+b 〕2=a2+2ab+b2,〔a-b 〕2=a2-2ab+b2.即，两数和〔或差〕的平方，等于这两个数的平方和，加上〔或者减去〕这两个数的积的2倍.这两个公式叫做完全平方公式.它们可以合写在一起，为〔a ±b 〕2=a2±2ab+b2.为便于记忆，可形象的表达为：〝首平方、尾平方，2倍乘积在中央〞.几何背景：如图，大正方形的面积可以表示为〔a+b 〕2，也可以表示为S ＝S Ⅰ+ S Ⅱ+ S Ⅲ+S Ⅳ，同时S ＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2.从而验证了完全平方公式〔a+b 〕2＝a2+2ab+b2.2、完全平方公式的特征：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上〔这两项相加时〕或减去〔这两项相减时〕这两项乘积的2倍.公式中的字母可以表示具体的数〔正数或负数〕，也可以表示单项式或多项式等代数式.只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式.3、在使用完全平方公式时应注意问题：〔1〕千万不要发生类似〔a ±b 〕2=a2±b2的错误；〔2〕不要与公式〔ab 〕2=a2b2混淆；〔3〕切勿把〝乘积项〞2ab 中的2漏掉；〔4〕计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，那么可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，那么运用乘法法那么进行计算.名师导学互动典例精析：知识点1：改变公式中b a ,的符号：例1、运用完全平方公式计算： ()252y x +-【解题思路】本例改变了公式中b a ,的符号，处理方法之一：把两式分别变形为()()[]225252y x y x --=+-()252y x -=再用公式计算〔反思得：()()()()2222;b a b a a b b a +=---=-〕； 方法二：把两式分别变形为：()()222552x y y x -=+-后直接用公式计算；方法三：把两式分别变形为()()[]225252y x y x +-=+-后直接用公式计算.【解】()252y x +-=()()()22222420252252525x xy y x x y y x y +-=+⨯⨯-=-.【方法归纳】对乘法公式的最初运用是模仿套用，套用的前提是确定是否具备使用公式的条件，关键是正确确定〝两数〞即〝a 〞和〝b 〞.对应练习：()2b a --知识点2：改变公式中的项数例2、计算：()2c b a ++【解题思路】完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾.所以在运用公式时， ()2c b a ++ 可先变形为()[]2c b a ++ 或()[]2c b a ++ 或者()[]2b c a ++ ，再进行计算．【解】()2c b a ++=()[]2c b a ++【方法归纳】运用整体思想可以使计算更为简便，快捷.对应练习：〔2a －b ＋4〕2知识点3：改变公式的结构例3、运用公式计算： 〔1〕()()y x y x 22++； 〔2〕()()b a b a --+.【解题思路】本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就可以了.【解】〔1〕()()y x y x 22++=()2222422y xy x y x ++=+；〔2〕()()b a b a --+=()2222b ab a b a ---=+-.【方法归纳】观察到两个因式的系数有倍数关系或相反关系是正确变形并利用公式的前提条件.对应练习：计算：()()a b b a --知识点4：利用公式简便运算例4：计算：9992【解题思路】本例中的999接近1000，故可化成两个数的差，从而运用完全平方公式计算.【解】()=+-=+-=-=120001000000120001000110009992222998001.【方法归纳】有些数计算时可拆成两数〔式〕的平方差、完全平方公式的形式，正用乘法公式可使运算简捷、快速.对应练习：计算：100.12知识点5：公式的逆用例5、计算： ()()()()2233525++++-+x x x x【解题思路】此题假设直接运用乘法公式和法那么较繁琐，仔细分析可发现其结构恰似完全平方公式()2222b ab a b a +-=-的右边，不妨把公式倒过来用.【解】()()()()2233525++++-+x x x x =()()[]4352=+-+x x .【方法归纳】解题中，•假设把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体变形，•从不同的方面确定解题策略，能使问题迅速获解．对应练习：化简()()()()223372272++++-+a a a a知识点6：公式的变形例6、实数a 、b 满足()1,102==+ab b a .求以下各式的值：〔1〕22b a +；〔2〕()2b a -【解题思路】此例是典型的整式求值问题，假设按常规思维把a 、b 的值分别求出来，非常困难；仔细探究易把这些条件同完全平方公式结合起来，运用完全平方公式的变形式很容易找到解决问题的途径.【解】〔1〕22b a +=()822=-+ab b a ； 〔2〕()()ab b a b a 422-+=-=6.【方法归纳】 ()()ab b a b a 422-+=-；()(),422ab b a b a +-=+()()ab b a b a ab b a b a 2,2222222+-=+-+=+熟悉完全平方公式的变形式，是相关整体代换求值的关键.对应练习：：x ＋y ＝－1，x2＋y2＝5，求xy 的值.知识点7：乘法公式的综合应用例7、计算：()()z y x z y x -+++【解题思路】此例是三项式乘以三项式，特点是：有些项相同，另外的项互为相反数。
平方差公式ppt
在积分中的应用
将平方差公式应用于积分过程 中
在级数中的应用
将平方差公式应用于级数展开 式中
05
平方差公式的练习题
基础练习题
总结词：巩固基础
详细描述：通过简单的题目，熟悉平方差公式的应用，如两数之和与两数差的乘 积等于两数平方的差等。
举例：$(5+3)(5-3)=5^{2}-3^{2};(10+4)(10-4)=10^{2}-4^{2}$
利用数论知识证明
总结词
数论与代数的结合
详细描述
利用数论知识证明平方差公式的方法是通过引入整数 a 和 b，将等式左边表示成 (a + b)(a - b) 的形式，然后利用整数的性质展开括号并化简，从而证明等式成立 。
03
平方差公式的应用
在代数中的应用
1 2
求解一元二次方程
当未知数的最高次数为2时，可以使用平方差公 式求解方程。
在数论中的应用
整数的平方差
两个整数的平方差可以用平方差公式表示，这个公式在整数的因数分解和分 拆问题中有重要应用。
同余方程
在数论中，平方差公式可以用于求解一些同余方程，如ax^2+by^2=c(a,b,c 为整数)的解的求解方法中就涉及平方差公式的应用。
04
平方差公式的扩展
一般的化简形式
01
02
03
代数表达式
将一个数用代数表达式表 示出来
变量替换
将一个变量替换成另一个 变量
移项
将一个数移到等号左边或 右边
与其他数学公式的结合
与和差公式的结合
将和差公式与平方差公式 结合使用
与平方法则的结合
将平方法则与平方差公式 结合使用
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
方法2
a b
2
2
a b
2
2
2
与
a b
a
2
2
2
a
2
(a b)
b
2
b
a
a ab
b ab b
2
2 +2ab + (a b) a b 2
计算下列各题
(a b) a +2 a b + b
2
2
2
这个公式我们称为两数和的平方公式
2
解：
2a 3b =
2
2
x 3
①
② x 2 yz x 4 xyz 4 y z （ × ）
2 2 2 2
b 4c
2
2
b 16c
2
2
2
（× ）
③ 4m n 16m 4mn n （ ×）
2
④
2a b
2
4a 4ab b
2
2
（× ）
小结与质疑：
2
2
1 a 2 =
（－2m＋n）
2
2 +2ab + (a b) a b
2
2
(a b) a -2ab + b
2
2
2
完全平方公式有怎样的结构特征呢？
你能用语言叙述这两个公式吗？ 这两个公式我们又称为完全平方公式
式子
首项
尾项
结果的中间项 符号 系数源自结果完全平方式(x+2y)2
八年级（上 册 ） 华东师大版 §12.3.2
两数和（差）的平方
(1)（2x+1）(2x+1) （ 2） (a b)
2
(3)
a 2
2
(4)(2a 3b)
2
方法1:
a b
2
a b a b
a ab ab b
2
2
a 2ab b
本节课我们共同学习了哪些内容？
注意：1、在解题过程中要准确确定 a和b 2、做到不丢项、不弄错符号、2ab 时不少乘2。 3、第一(二)数是乘积平方时要注意 添括号
首平方，尾平方，首尾乘积的2倍中间放.
- 2x 3
(a b) a2 +2ab + b2
2
这个公式我们称为两数和的平方公式
( a b)
2
a b
b
ab
(a-b)²
2
b²
a
a² ab a b
(a b) a ab ab b
2
2
2
a 2ab b
2
2
计算下列各题
2 ( a b ) -2 a b + a b 解： 2
(2a-5)
2
(-2s+t)
2
(-3x-4y)
2
2 +2ab + (a b) a b 2 2 2 (a b) a -2ab + b
2
2
首平方，尾平方，首尾乘积的2倍中间放.
(4x +5y)2 (2x - 3)2 (-3b
+
2 2c)
(-2b-5)2
［（a+b）+c]
2
（1）判断：