2021年吉林省长春市中考数学试卷(含答案解析版)
2021年吉林省长春市中考数学试卷(含答案解析版)
2021年吉林省长春市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3.00分）（2021?长春）��的绝对值是（）
A．�� B． C．��5 D．5
2．（3.00分）（2021?长春）长春市奥林匹克公园即将于2021年年底建成，它的总
投资额约为2500000000元，2500000000这个数用科学记数法表示为（）
A．0.25×1010 B．2.5×1010
C．2.5×109 D．25×108
3．（3.00分）（2021?长春）下列立体图形中，主视图是圆的是（）
A． B． C． D．
4．（3.00分）（2021?长春）不等式3x��6≥0的解集在数轴上表示正确的是（）A．
D．
B．
C．
5．（3.00分）（2021?长春）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D
作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（）
A．44° B．40° C．39° D．38°
6．（3.00分）（2021?长春）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长
一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）
第1页（共32页）
A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺
7．（3.00分）（2021?长春）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（）
A．800sinα米 B．800tanα米 C．
米 D．
米
8．（3.00分）（2021?长春）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC=90°，CA⊥x轴，点C在函数y=（x＞0）的图象上，若AB=2，则k的值为（）
A．4
B．2 C．2 D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3.00分）（2021?长春）比较大小： 3．（填“＞”、“=”或“＜”）10．（3.00分）（2021?怀化）计算：a2?a3= ．
11．（3.00分）（2021?长春）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别
第2页（共32页）
为（1，3）、（n，3），若直线y=2x与线段AB有公共点，则n的值可以
为．（写出一个即可）
12．（3.00分）（2021?长春）如图，在△ABC中，AB=AC．以点C为圆心，以CB长
为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A=32°，则∠CDB的大小为度．
13．（3.00分）（2021?长春）如图，在?ABCD中，AD=7，AB=2 ，∠B=60°．E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，
则四边形AEFD周长的最小值为．
14．（3.00分）（2021?长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx交x轴
的负半轴于点A．点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上．过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C．若点A′的横坐标为1，则A′C的长为．
第3页（共32页）
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6.00分）（2021?长春）先化简，再求值：+，其中x= ��1．
16．（6.00分）（2021?长春）剪纸是中国传统的民间艺术，它画面精美，风格独
特，深受大家喜爱，现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“金鱼”，另外一张卡片的正面图案为“蝴蝶”，卡片除正面剪纸图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的概率．（图案为“金鱼”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“蝴蝶”的卡片记为B）
17．（6.00分）（2021?长春）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段OM、ON的端点均在格点上．在图①、图②给定的网格中以OM、ON为邻边各画一个四边形，使第四个顶点在格点上．要求：
（1）所画的两个四边形均是轴对称图形．（2）所画的两个四边形不全等．
18．（7.00分）（2021?长春）学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元，店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方实际订购了72套，每套减价3元，但商店获得了同样多的利润．（1）求每套课桌椅的成本；（2）求商店获得的利润．
19．（7.00分）（2021?长春）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交第4页（共32页）
⊙O于点D．已知⊙O的半径为6，∠C=40°．（1）求∠B的度数．
的长．（2）求（结果保留π）
20．（7.00分）（2021?长春）某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：
20 21 19 16 27 18 31 29 21 22 25 20 19 22 35 33 19 17 18 29 18 35 22 15 18 18 31 31 19 22 整理上面数据，得到条形统计图：
样本数据的平均数、众数、中位数如下表所示：
统计量数值平均数 23 众数 m 中位数 21 根据以上信息，解答下列问题：（1）
上表中众数m的值为；
（2）为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，
凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励．如果想让一半左右的工人能获奖，应根据
来确定奖励标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）（3）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手．若
第5页（共32页）
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
吉林省2021年中考数学试题(含答案)
吉林省2021年初中毕业生学业水平考试数学试题数学试题共6页，包括六道大题，共26道小题。
全卷满分120分。
考试时间为120分钟。
考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效。
一、单项选择题(每小题2分，共12分)1.计算（﹣1）×（﹣2）的结果是(A)2. (B) 1. (C) -2. (D) -3.2.右图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是(A)(B) (C) (D)3.下列计算结果为a6的是(A)a2• a3. (B)a12 ÷a2.(C)(a2)3 .(D)(-a2)3.4.如图,将木条a，b与c钉在一起，∠1 =70°, ∠2 =50°.要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是(A)10°. (B)20°. (C)50°. (D)70°.5.如图，将△ABC折叠，使点A与BC边中点D重合，折痕为MN.若A B=9，BC = 6, 则△DNB的周长为(A)12. (B)13. (C)14. (D)15.6.我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题:“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足.问鸡兔各几何.”设鸡只，兔只，可列方程组为二、填空题(每小题3分，共24分)7.计算16= . 8.买单价3元的圆珠笔m 支,应付 元.9.若a +b =4，ab =l ,则a 2 b +ab 2 = .10.若关于的一元二次方程2+2﹣m =0有两个相等的实数根，则m 的值为 . 11.如图，在平面直角坐标系中，A (4,0)，B (0,3)，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧,交轴的负半轴于点C ，则点C 坐标为 .12. 上图是测量河宽的示意图，AE 与BC 相交于点D ，∠B =∠C =90°.测得BD = 120m ， DC = 60m ，EC = 50m ,求得河宽 AB = m .13. 如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点， AB =BC . 若∠AOB=58 °，则 ∠BDC = 度.14. 我们规定:等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”,记作k .若k = 21，则该等腰三角形的顶角为 度.15.某同学化简a (a +2b )﹣(a +b )(a ﹣b )出现了错误，解答过程如下：原式=a 2 + 2ab ﹣(a 2﹣b 2) (第一步)=a 2 + 2ab ﹣a 2﹣b 2 (第二步)=2ab ﹣b 2 (第三步)(1)该同学解答过程从第 步开始出错，错误原因是 ;(2)写出此题正确的解答过程.16.如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，且BE =CF . 求证：△ABE ≌△BCF .17. 一个不透明的口袋中有三个小球,上面分别标有字母A ，B ，C ，除所标字母不同外，其它完全相同.从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，再随机摸出一个小球. 用画树状图(或列表)的方法，求该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率.18.在平面直角坐标系中，反比例函数y =xk (k ≠0)图象与一次函数y =x +2图象的一个交点为P ,且点P 的横坐标为1，求该反比例函数的解析式. ⌒ ⌒三、解答题(每小题5分，共20分) 四、解答题(每小题7分，共28分)19.下图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程.根据以上信息，解答下列问题。
2021年吉林省中考数学试卷(附答案详解)
2021年吉林省中考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.(2021·吉林省·历年真题)化简−(−1)的结果为()A. −1B. 0C. 1D. 22.(2021·吉林省·历年真题)据《吉林日报》2021年5月14日报道，第一季度一汽集团销售整车70060辆，数据70060用科学记数法表示为()A. 7.006×103B. 7.006×104C. 70.06×103D. 0.7006×1043.(2021·吉林省·历年真题)不等式2x−1>3的解集是()A. x>1B. x>2C. x<1D. x<24.(2021·吉林省·历年真题)如图，粮仓可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，其主视图是()A.B.C.D.5.(2021·吉林省·历年真题)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点(点P不与点A，D重合)连接CP.若∠B=120°，则∠APC的度数可能为()A. 30°B. 45°C. 50°D. 65°6.(2021·吉林省·历年真题)古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33.若设这个数是x，则所列方程为()A. 23x+17x+x=33 B. 23x+12x+17x=33C. 23x+12x+17x+x=33 D. x+23x+17x−12x=33二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）7.(2021·吉林省·模拟题)√9−1=______．8.(2021·吉林省·历年真题)因式分解：m2−2m=______ ．9.(2021·吉林省·历年真题)计算：2xx−1−xx−1=______ ．10.(2021·吉林省·历年真题)若关于x的一元二次方程x2+3x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为______ ．11.(2021·吉林省·历年真题)如图，已知线段AB=2cm，其垂直平分线CD的作法如下：(1)分别以点A和点B为圆心，b cm长为半径画弧，两弧相交于C，D两点；(2)作直线CD．上述作法中b满足的条作为b______ 1.(填“>”，“<”或“=”)12.(2021·吉林省·历年真题)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,3)，点B的坐标为(4,0)，连接AB，若将△ABO绕点B顺时针旋转90°，得到△A′BO′，则点A′的坐标为______ ．13.(2021·吉林省·历年真题)如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1m时，它离地面的高度DE为0.6m，则坝高CF为______ m.14.(2021·吉林省·历年真题)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2.以点C为圆心，CB长为半径画弧，分别交AC，AB于点D，E，则图中阴影部分的面积为______ (结果保留π)．三、解答题（本大题共12小题，共84.0分）15.(2021·吉林省·历年真题)先化简，再求值：(x+2)(x−2)−x(x−1)，其中x=1．216.(2021·吉林省·历年真题)第一盒中有1个白球、1个黑球，第二盒中有1个白球，2个黑球.这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，用画树状图或列表的方法，求取出的2个球都是白球的概率．17.(2018·湖北省武汉市·期中考试)如图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：AD=AE．18.(2021·吉林省·历年真题)港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55km.其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4km.求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．19.(2021·吉林省·历年真题)图①、图2均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，点B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．(1)在图①中，以点A，B，C为顶点画一个等腰三角形；(2)在图②中，以点A，B，D，E为顶点画一个面积为3的平行四边形．20.(2021·吉林省·历年真题)2020年我国是全球主要经济体中唯一实现经济正增长的国家，各行各业蓬勃发展，其中快递业务保持着较快的增长.给出了快递业务的有关数据信息．2016−2017年快递业务量增长速度统计表年龄20162017201820192020增长速度51.4%28.0%26.6%25.3%31.2%×100%说明：增长速度计算办法为：增长速度=本年业务量−去年业务量去年业务量根据图中信息，解答下列问题：(1)2016−2020年快递业务量最多年份的业务量是______ 亿件．(2)2016−2020年快递业务量增长速度的中位数是______ ．(3)下列推断合理的是______ (填序号)．①因为2016−2019年快递业务量的增长速度逐年下降，所以预估2021年的快递业务量应低于2020年的快递业务量；②因为2016−2020年快递业务量每年的增长速度均在25%以上.所以预估2021年快递业务量应在833.6×(1+25%)=1042亿件以上．x−2的图象与21.(2021·吉林省·历年真题)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=43 y轴相交于点A，与反比例函数y=k在第一象限内的图象相交于点B(m,2)，过点Bx作BC⊥y轴于点C．(1)求反比例函数的解析式；(2)求△ABC的面积．22.(2021·吉林省·历年真题)数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬44°，求北纬44°纬线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：(1)在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；(2)如图，⊙O是经过南、北极的圆，地球半径OA约为6400km.弦BC//OA，过点O作OK⊥BC于点K，连接OB.若∠AOB=44°，则以BK为半径的圆的周长是北纬44°纬线的长度；(3)参考数据：π取3，sin44°=0.69，cos44°=0.72．小组成员给出了如下解答，请你补充完整：解：因为BC//OA，∠AOB=44°，所以∠B=∠AOB=44°(______ )(填推理依据)，因为OK⊥BC，所以∠BKO=90°，在Rt△BOK中，OB=OA=6400．BK=OB×______ (填“sin B”或“cos B”)．所以北纬44°的纬线长C=2π⋅BK．=2×3×6400×______ (填相应的三角形函数值)≈______ (km)(结果取整数)．23.(2021·吉林省·历年真题)疫苗接种，利国利民.甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗.甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y(万人)与各自接种时间x(天)之间的关系如图所示．(1)直接写出乙地每天接种的人数及a的值；(2)当甲地接种速度放缓后，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．24.(2021·吉林省·历年真题)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．(1)若AB=a.直接写出CD的长(用含a的代数式表示)；(2)若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如②，判断四边形ADFC的形状，并说明理由；(3)若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．25.(2021·吉林省·历年真题)如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，AD=√3cm.动点P从点A出发沿折线AB−BC向终点C运动，在边AB上以1cm/s的速度运动；在边BC上以√3cm/s的速度运动，过点P作线段PQ与射线DC相交于点Q，且∠PQD= 60°，连接PD，BD.设点P的运动时间为x(s)，△DPQ与△DBC重合部分图形的面积为y(cm2).(1)当点P与点A重合时，直接写出DQ的长；(2)当点P在边BC上运动时，直接写出BP的长(用含x的代数式表示)；(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．26. (2021·吉林省·历年真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过点A(0,−74)，点B(1,14). (1)求此二次函数的解析式；(2)当−2≤x ≤2时，求二次函数y =x 2+bx +c 的最大值和最小值；(3)点P 为此函数图象上任意一点，其横坐标为m ，过点P 作PQ//x 轴，点Q 的横坐标为−2m +1.已知点P 与点Q 不重合，且线段PQ 的长度随m 的增大而减小． ①求m 的取值范图；②当PQ ≤7时，直接写出线段PQ 与二次函数y =x 2+bx +c(−2≤x <13)的图象交点个数及对应的m 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【知识点】去括号与添括号【解析】解：−(−1)=1，故选：C．括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号．本题考查去括号，解题关键是掌握去括号法则．2.【答案】B【知识点】科学记数法-绝对值较大的数【解析】解：70060=7.0060×104，故选：B．把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式(1≤|a|<10,a不为分数形式，n为整数)．本题考查科学记数法，解题关键是熟练掌握用科学记数法表示较大的数．3.【答案】B【知识点】一元一次不等式的解法【解析】解：2x−1>3，2x>3+1，2x>4，x>2．故选：B．按照解不等式步骤：移项，合并同类项，系数化为1求解．本题考查解不等式，熟练掌握不等式的基本性质(1，不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号方向不变；2，不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变)是解题关键．4.【答案】A【知识点】作图-三视图【解析】解：粮仓主视图上部视图为等腰三角形，下部视图为矩形．故选：A．粮仓主视图上部视图为等腰三角形，下部视图为矩形．本题考查简单几何体的三视图，解题关键是掌握主视图是从正面看到的图形．5.【答案】D【知识点】圆内接四边形的性质、圆周角定理【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D=180°，∵∠B=120°，∴∠D=180°−∠B=60°，∵∠APC为△PCD的外角，∴∠APC>∠D，只有D满足题意．故选：D．由圆内接四边形的性质得∠D度数为60°，再由∠APC为△PCD的外角求解．本题考查圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补．6.【答案】C【知识点】由实际问题抽象出一元一次方程【解析】解：由题意可得23x+12x+17x+x=33．故选：C．根据题意列方程23x+12x+17x+x=33．本题考查列一元一次方程，解题关键是通过题干找出等量关系．7.【答案】2【知识点】算术平方根、实数的运算【解析】解：原式=3−1=2．故答案为：2．直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简二次根式是解题关键．8.【答案】m(m−2)【知识点】因式分解-提公因式法【解析】解：m2−2m=m(m−2)．故答案为：m(m−2)．利用提公因式法求解．本题考查因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解的各种方法．9.【答案】xx−1【知识点】分式的加减【解析】解：2xx−1−xx−1=2x−xx−1=xx−1．故答案为：xx−1．根据分式的加减法则运算．本题考查分式的加减法，解题关键是熟练掌握分式运算的法则．10.【答案】94【知识点】根的判别式【解析】解：∵一元二次方程x2+3x+c=0有两个相等的实数根，∴△=32−4c=0，解得c=94．故答案为：94．由判别式△=0求解．本题考查根的判别式，解题关键是熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系．11.【答案】>【知识点】尺规作图与一般作图、线段垂直平分线的概念及其性质【解析】解：∵AB=2cm，∴半径b长度>12AB，即b>1cm．故答案为：>．作图方法为以A，B为圆心，大于12AB长度画弧交于C，D两点．本题考查线段的垂直平分线尺规作图法，解题关键是掌握线段垂直平分线的作图方法．12.【答案】(7,4)【知识点】旋转的基本性质【解析】解：作AC⊥x轴于点C，由旋转可得∠O′=90°，O′B⊥x轴，∴四边形O′BCA′为矩形，∴BC=A′O′=OA=3，A′C=O′B=OB=4，∴点A′坐标为(7,4)．故答案为：(7,4)．作AC⊥x轴于点C，由旋转的性质可得BC=A′O′=OA=3，A′C=O′B=OB=4，进而求解．本题考查平面直角坐标系与图形旋转的性质，解题关键是通过添加辅助线求解．13.【答案】2.7【知识点】相似三角形的应用【解析】解：如图，过C作CF⊥AB于F，则DE//CF，∴ADAC =DECF，即14.5=0.6CF，解得CF=2.7，故答案为：2.7．根据DE//CF，可得ADAC =DECF，进而得出CF即可．本题考查了相似三角形应用，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质．14.【答案】23π−√3【知识点】扇形面积的计算、含30°角的直角三角形【解析】解：连接CE ，∵∠A =30°，∴∠B =90°−∠A =60°，∵CE =CB ，∴△CBE 为等边三角形，∴∠ECB =60°，BE =BC =2，∴S 扇形CBE=22×60π360=23π ∵S △BCE =√34BC 2=√3，∴阴影部分的面积为23π−√3．故答案为：23π−√3．连接CE ，由扇形CBE 面积−三角形CBE 面积求解．本题考查扇形的面积与解直角三角形，解题关键是判断出三角形CBE 为等边三角形与扇形面积的计算． 15.【答案】解：(x +2)(x −2)−x(x −1)=x 2−4−x 2+x=x −4，当x =12时，原式=12−4=−312．【知识点】整式的混合运算【解析】先根据平方差公式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．本题考查了整式的化简与求值，能熟记平方差公式和单项式乘以多项式法则是解此题的关键．16.【答案】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有6种等可能出现的结果情况，其中两球都是白球的有1种，所以取出的2个球都是白球的概率为16．答：取出的2个球都是白球的概率为16．【知识点】用列举法求概率(列表法与树状图法)【解析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而得出两次都是白球的概率即可． 本题考查列表法求简单的等可能事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键． 17.【答案】证明：在△ABE 与△ACD 中，{∠A =∠A AB =AC ∠B =∠C，∴△ACD≌△ABE(ASA)，∴AD =AE(全等三角形的对应边相等)．【知识点】全等三角形的判定与性质【解析】根据全等三角形的判定定理ASA 可以证得△ACD≌△ABE ，然后由“全等三角形的对应边相等”即可证得结论．本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角．18.【答案】解：设港珠澳大桥隧道长度为x km ，桥梁长度为y km ．由题意列方程组得：{x +y =55y =9x −4． 解得：{x =5.9y =49.1答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.1km 和5.9km ．【知识点】二元一次方程组的应用【解析】设港珠澳大桥隧道长度为x km，桥梁长度为y km.由桥梁和隧道全长共55km，得x+y=55.桥梁长度比隧道长度的9倍少4km，得y=9x−4，然后列出方程组，解方程组即可．本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．19.【答案】解：(1)如图①中，△ABC即为所求(答案不唯一)．(2)如图②中，四边形ABDE即为所求．【知识点】尺规作图与一般作图、平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质【解析】(1)根据等腰三角形的定义画出图形即可(答案不唯一)．(2)作应该底为1，高为3的平行四边形即可．本题考查作图−应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．20.【答案】833.628.0%②【知识点】用样本估计总体、中位数、条形统计图【解析】解：(1)由2016−2020年快递业务量统计图可知，2020年的快递业务量最多是833.6亿件，故答案为：833.6；(2)将2016−2020年快递业务量增长速度从小到大排列处在中间位置的一个数是28.0%，因此中位数是28.0%，故答案为：28.0%；(3)①2016−2019年快递业务量的增长速度下降，并不能说明快递业务量下降，而业务量也在增长，只是增长的速度没有那么快，因此①不正确；②因为2016−2020年快递业务量每年的增长速度均在25%以上．所以预估2021年快递业务量应在833.6×(1+25%)=1042亿件以上，因此②正确；故答案为：②．(1)根据2016−2020年快递业务量统计图可得答案；(2)根据中位数的意义，将2016−2020年快递业务量增长速度从小到大排列找出中间位置的一个数即可；(3)利用业务量的增长速度率估计2021年的业务量即可．本题考查条形统计图，中位数，样本估计总体，理解“增长率”“增长速度”“增长量”的意义及相互关系是正确判断的前提．21.【答案】解：(1)∵B点是直线与反比例函数交点，∴B点坐标满足一次函数解析式，m−2=2，∴43∴m=3，∴B(3,2)，∴k=6，∴反比例函数的解析式为y=6；x(2)∵BC⊥y轴，∴C(0,2)，BC//x轴，∴BC=3，x−2=−2，令x=0，则y=43∴A(0,−2)，∴AC=4，∴S△ABC=1AC⋅BC=6，2∴△ABC的面积为6．【知识点】一次函数与反比例函数综合【解析】(1)因为一次函数与反比例函数交于B点，将B代入到一次函数解析式中，可以求得B点坐标，从而求得k，得到反比例函数解析式；(2)因为BC⊥y轴，所以C(0,2)，利用一次函数解析式可以求得它与y轴交点A的坐标(0,−2)，由A，B，C三点坐标，可以求得AC和BC的长度，并且BC//x轴，所以S△ABC=1AC⋅BC，即可求解．2本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，会用坐标求解析式，会用解析式求坐标是解决此题的基本要求，同时要注意在平面直角坐标系中如何利用坐标表示水平线段和竖直线段．22.【答案】两直线平行，内错角相等cos B0.7227648【知识点】解直角三角形的应用、勾股定理、垂径定理、圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系【解析】解：因为BC//OA，∠AOB=44°，所以∠B=∠AOB=44°(两直线平行，内错角相等)(填推理依据)，因为OK⊥BC，所以∠BKO=90°，在Rt△BOK中，OB=OA=6400．BK=OB×cosB(填“sin B”或“cos B”)．所以北纬44°的纬线长C=2π⋅BK．=2×3×6400×0.72(填相应的三角形函数值)≈27648(km)(结果取整数)．故答案为：两直线平行，内错角相等；cos B；0.72；27648．由平行线的性质，锐角三角函数的定义求解．本题考查解直角三角形，解题关键是熟练三角函数的含义及解直角三角形的方法．23.【答案】解：(1)乙地接种速度为40÷80=0.5(万人/天)，0.5a=25−5，解得a=40．(2)设y=kx+b，将(40,25)，(100,40)代入解析式得：{25=40k+b40=100k+b，解得{k=14b=15，∴y=14x+15(40≤x≤100)．(3)把x=80代入y=14x+15得y=14×80+15=35，40−35=5(万人)．【知识点】一次函数的应用【解析】(1)由接种速度=接种人数÷接种天数求解．(2)利用待定系数法求解．(3)将x=80代入(2)问中解析式得出y=34，然后由40−34=6．本题考查一次函数的应用，解题关键是熟练掌握待定系数法求解．24.【答案】解：(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，∵CD是斜边AB 上的中线，AB= a，∴CD=12AB=12a.(2)四边形ADFC是菱形．理由如下：如图②∵DF⊥BC于点G，∴∠DGB=∠ACB=90°，∴DF//AC；由折叠得，DF=DB，∵DB=12AB，∴DF=12AB；∵∠ACB=90°，∠A=60°，∴∠B=90°−60°=30°，∴AC=12AB，∴DF=AC，∴四边形ADFC是平行四边形；∵AD=12AB，∴AD=DF，∴四边形ADFC是菱形．(3)如图③，点F与点D在直线CE异侧，∵DF⊥AB，∴∠BDF=90°；由折叠得，∠BDE=∠FDE，∴∠BDE=∠FDE=12∠BDF=12×90°=45°；如图④，点F与点D在直线CE同侧，∵DF⊥AB，∴∠BDF=90°，∴∠BDE+∠FDE=360°−90°=270°，由折叠得，∠BDE=∠FDE，∴∠BDE+∠BDE=270°，∴∠BDE=135°．综上所述，∠BDE=45°或∠BDE=135°．【知识点】四边形综合【解析】(1)根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得CD=12AB=12a；(2)由题意可得DF//AC，DF=12AB，由“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，得AC=12AB，得DF=AC，则四边形ADFC是平行四边形，再由折叠得DF= BD=AD，于是判断四边形ADFC是菱形；(3)题中条件是“点E是射线BC上一点”，因此DF⊥AB又分两种情况，即点F与点D 在直线CE的异侧或同侧，正确地画出图形即可求出结果．此题重点考查直角三角形的性质、轴对称的特征、平行四边形及特殊平行四边形的判定等知识与方法，在解第(3)题时，应进行分类讨论，解题的关键是准确地画出图形，以免丢解．25.【答案】解：(1)如图，在Rt△PDQ中，AD=√3，∠PQD=60°，∴tan60°=ADDQ=√3，∴DQ=√33AD=1．(2)点P在AB上运动时间为3÷1=3(s)，∴点P在BC上时PB=√3(x−3)．(3)当0≤x≤3时，点P在AB上，作PM⊥CD于点M，PQ交AB于点E，作EN⊥CD于点N，同(1)可得MQ=√33AD=1．∴DQ=DM+MQ=AP+MQ=x+1，当x+1=3时x=2，∴0≤x≤2时，点Q在DC上，∵tan∠BDC=BCCD =√33，∴∠DBC=30°，∵∠PQD=60°，∴∠DEQ=90°．∵sin30°=EQDQ =12，∴EQ=12DQ=x+12，∵sin60°=ENEQ =√32，∴EN=√32EQ=√34(x+1)，∴y=12DQ⋅EN=12(x+1)×√34(x+1)=√38(x+1)2=√38x2+√34x+√38(0≤x≤2)．当2<x≤3时，点Q在DC延长线上，PQ交BC于点F，如图，∵CQ =DQ −DC =x +1−3=x −2，tan60°=CFCQ ， ∴CF =CQ ⋅tan60°=√3(x −2)，∴S △CQF =12CQ ⋅CF =12(x −2)×√3(x −2)=√32x 2−2√3x +2√3，∴y =S △DEQ −S △CQF =√38x 2+√34x +√38−(√32x 2−2√3x +2√3)=−3√38x 2+9√34x −15√38(2<x ≤3)．当3<x ≤4时，点P 在BC 上，如图，∵CP =CB −BP =√3−√3(x −3)=4√3−√3x ， ∴y =12DC ⋅CP =12×3(4√3−√3x)=6√3−3√32x(3<x ≤4)．综上所述，y ={ √38x 2+√34x +√38(0≤x ≤2)−3√38x 2+9√34x −15√38(2<x ≤3)6√3−3√32x(3<x ≤4)【知识点】四边形综合【解析】(1)由tan60°=ADDQ =√3求解．(2)点P 在AB 上运动时间为3÷1=3(s)，则点P 在BC 上时PB =√3(x −3)． (3)分类讨论①点P 在AB 上，点Q 在CD 上．②点P 在AB 上，点Q 在DC 延长线上．③点P 在BC 上．本题考查四边形综合应用，解题关键是熟练掌握矩形的性质及解直角三角形方法，通过数形结合求解．26.【答案】解：(1)将A(0,−74)，点B(1,14)代入y =x 2+bx +c 得：{−74=c14=1+b +c ， 解得{b =1c =−74，∴y=x2+x−74．(2)∵y=x2+x−74=(x+12)2−2，∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=−12．∴当x=−12时，y取最小值为−2，∵2−(−12)>−12−(−2)，∴当x=2时，y取最大值22+2−74=174．(3)①PQ=|−2m+1−m|=|−3m+1|，当−3m+1>0时，PQ=−3m+1，PQ的长度随m的增大而减小，当−3m+1<0时，PQ=3m−1，PQ的长度随m增大而增大，∴−3m+1>0满足题意，解得m<13．②∵0<PQ≤7，∴0<−3m+1≤7，解得−2≤m<13，如图，当x=−12时，点P在最低点，PQ与图象有1交点，m增大过程中，−12<m<13，点P与点Q在对称轴右侧，PQ与图象只有1个交点，直线x =13关于抛物线对称轴直线x =−12对称后直线为x =−43， ∴−43<m <−12时，PQ 与图象有2个交点，当−2≤m ≤−43时，PQ 与图象有1个交点，综上所述，−2≤m ≤−43或−12≤m <13时，PQ 与图象交点个数为1，−43<m <−12时，PQ与图象有2个交点．【知识点】二次函数综合【解析】(1)利用待定系数法求解．(2)将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解．(3)①由0<PQ≤7求出m取值范围，②通过数形结合求解．本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，将函数解析式配方，通过数形结合的方法求解．。
2021年吉林长春中考数学试题(解析版)
{来源}2021年吉林省长春市中考数学试卷{适用范围:3．九年级}{标题}2021年吉林省长春市中考数学试卷考试时间：100分钟满分：120分{题型:1-选择题}一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）{题目}1.（2021吉林长春，T1）如图，数轴上表示-2的点A到原点的距离是（）A.-2B.2C.12D.12A{答案} B{解析}本题考查了数轴，解题的关键是利用数形结合求出数轴上两点的距离．因为022，故选择B.{分值}3{章节:[1-1-2-4]绝对值}{考点:绝对值的意义}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}2. （2021吉林长春,T2）2021年春运期间，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000人次，275000000这个数用科学记数法表示为（）A. 2．75×107B. 2．75×109C. 2．75×108D. 2．75×109 {答案}C{解析}本题考查了用科学记数法表示较大的数，解题的关键是能根据科学记数法的记数规则确定表示的结果．根据科学记数法的定义，需要将140 000改写成a×10n的形式(其中1≤a ＜10，n为整数)，因此，先确定a的值，再确定n的值即可．275000000＝2．75×108，故选择C．{分值}3{章节:[1-1-5-2]科学计数法}{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}{类别:常考题}{类别:易错题}{难度:2-简单}{题目}3. （2021吉林长春,T3）如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（）{答案}A{解析}本题考查了三视图，解题的关键是会从不同侧面观察立体图形，并且抽象出平面图形．主视图是从前面看得到的图形，按照这个方法得出本题答案． 解：主视图有二列，第一列有一层，第二列有两层，故选择 A .{分值}3{章节:[1-4-1-1]立体图形与平面图形} {考点:简单组合体的三视图} {类别:常考题}{类别:易错题} {难度:3-中等难度}{题目}4. （2021吉林长春，T4）不等式-x+2≥0的解集为（ ） A.x ≥-2 B. x ≤-2 C. x ≥2 D. x ≤2 {答案}D{解析}本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的基本性质是解题关键．按照解不等式的步骤，先移项，然后后系数化为1即得到不等式的解集． 解：移项得-x ≥-2，系数化为1得， x ≤2，故选择D ． {分值}3{章节:[1-9-2]一元一次不等式} {考点:解一元一次不等式} {类别:常考题}{类别:易错题} {难度:3-中等难度}{题目}5.（2021吉林长春，T5）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱.问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x ，买鸡的钱数为y ，可列方程组为（ ） A. ⎩⎨⎧=+=+y x y x 166119 B.⎩⎨⎧=-=-y x yx 166119 C.⎩⎨⎧=-=+y x yx 166119 D. ⎩⎨⎧=+=-y x yx 166119{答案} D{解析}本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，解题的关键是能从给定的问题中找出相等关系．不难发现题中有两个相等关系：x 人每人出9钱的总数-11钱＝买鸡的钱数为y ；x 人每人出6钱的总数+16钱＝买鸡的钱数为y ，据此列出方程组即可．解：∵每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，∴可列方程组为⎩⎨⎧=+=-yx yx 166119，故答案为D ． {分值}3{章节:[1-8-3]实际问题与一元一次方程组}{考点:二元一次方程组的应用} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}6. （2021吉林长春,T6）如图，一把梯子靠在垂直于水平地面的墙上，梯子AB 的长是3米，若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离BC 为（ ）米. A. 3sin B. 3cosC.3sinD. 3cos{答案} A{解析}本题考查了锐角三角函数，解题的关键是熟练并准确掌握锐角三角函数的计算公式．根据锐角三角函数定义得出sin =BCAB ，代入求出即可.∵sin =BCAB，AB =3，∴BC =3sin ，故选A. {分值}3{章节:[1-28-1-2]解直角三角形} {考点:解直角三角形的应用} {类别:常考题}{类别:易错题}{难度:4-较高难度}{题目}7. （2021吉林长春,T7）如图，在ABC 中，ACB 为钝角，用直尺和圆规在边AB 上确定一点D ，使∠ADC=2∠B ，则符合要求的作图痕迹是（ ）.{答案}B{解析}本题考查了尺规作图及线段垂直平分线的应用，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质和判定．按作图的痕迹一一分析哪种作图的结束满足CD ＝BD ．假设点D 在AB 上存在，由CD ＝BD ，可得∠BCD=∠B ，所以有∠ADC=2∠B ，于是点D 在BC 垂直平分线上，故选B. {分值}3{章节:[1-11-2]与三角形有关的角} {考点:垂直平分线常见辅助线的作法} {类别:常考题}{难度:4-较高难度}{题目}8. （2021吉林长春,T8）如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC 的顶点A ，C 的坐标分别为（0，3）和（3，0），∠ACB=90°，AC=2BC ，函数0,0ky k x x的图象经过点B ，则k 的值为（ ）A.92B. 9C. 278D. 274{答案}D{解析}过点B 作BD ⊥x 轴，∴∠AOC ＝∠BDC =90°，∵AC ⊥BC ，∴∠ACO=∠C BD ，∴△AOC ∽△CDB ，∴2AO OC AC CD BD BC，∵AO=3，CO=3，∴32BD CD，∴39322OD，∴B 点的坐标为（92，32），∵函数0,0ky k x x的图象经过点B ，∴9327224k.{分值}3{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定} {考点:相似基本图形}{考点:一线三等角} {类别:常考题} {难度:4-较高难度}{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，合计18分．{题目}9．（2021吉林长春,T9）计算：355 = .{答案}25{解析}本题考查了二次根式的化简与加减运算，解题的关键是掌握二次根式的化简与合并法则．解：原式＝355=2525{分值}3{章节:[1-16-3]二次根式的加减} {考点:二次根式的加减法} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}10．（2021吉林长春,T10）分解因式：2ab b = . {答案}2b a{解析}本题考查了运用提公因式法把多项式进行因式分解，解题的关键是熟练掌握提因式法分解因式的方法与步骤．先找到多项式各项的公因式，再提取公因式． 解：因为2ab b ＝2b a ． {分值}3{章节:[1-14-3]因式分解}{考点:因式分解－提公因式法}{类别:常考题}{难度:1-最简单}x x根的判别式的值为. {题目}11．（2021吉林长春,T11）一元二次方程2310{答案}5{解析}本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式（b2－4ac)与一元二次方程根字母系数之间的关系．△=（﹣3）2﹣4×1×1=5.{分值}3{章节:[1-21-2-2]公式法}{考点:根的判别式}{类别:常考题}{难度:1-简单}{题目}12．（2021吉林长春,T12）如图，直线MN∥PQ，点A，B分别在MN、PQ上，∠MAB=33°，过线段AB上的点C作CD⊥AB交PQ于点D，则∠CDB的大小为度.{答案}57°{解析}本题考查了几何初步知识，涉及到的知识点有：平行线的性质、三角形的内角和定理，解题的关键是能熟练运用上述有关知识求得∠CDB的度数．解：如图1，∵MN∥PQ，∴∠MAB＝∠ABD=33°，∵∠BCD＝90°，∴∠CDB＝90°－33°＝57°．{分值}3{章节:[1-5-3]平行线的性质}{考点:两直线平行同位角相等}{类别:常考题}{类别:易错题}{难度:2-简单}{题目}13．（2021吉林长春,T13）如图，有一张矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6，先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则△GCF的周长为.{答案}422{解析}考查折叠的性质，相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质等知识，由矩形纸片ABCD ，AB=8，AD=6，AB=DC-DF ，DF=AD ，AB ∥FC ，∴△ABG ∽△FCG ，根据相似三角形的对为边成比例，即可求得GC ，FG 的长度，继而求得周长为422.{分值}3{章节:[1-18-2-1]矩形}{考点:相似三角形的判定（两角相等）} {类别:常考题}{类别:易错题} {难度:4-较高难度}{题目}14．（2021吉林长春,T14）如图，在平面直角坐标系中，抛物线28203y ax axa 与y 轴交于点A ，过A 作x 轴的平行线交抛物线于点M ，P 为抛物线的顶点，若直线OP 交直线AM 于点B ，且M 为线段AB 的中点，则a 的值为 .{答案}2{解析}考查二次函数图象与性质，由A 纵坐标为83，因顶点坐标公式，点P 的横坐标为1，根据对称关系求得M （2，83），M 为线段AB 中点，所以B （4, 83），代入直线AM 的解析式y kx 中，求得其解析式为23y x ，再由顶点坐标公式求得P （1, 83a）代入计算可得a =2.{分值}3{章节:[1-22-1-1]二次函数}{考点:含参系数的二次函数问题} {类别:常考题}{类别:易错题} {难度:5-高难度}{题型:4-解答题}三、解答题（本大题共10小题，满分78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）{题目}15．（2021吉林长春,T15）先化简，再求值：22141a a a ，其中18a.{解析}本题考查了整式的混合计算-化简求值，解题的关键是利用整式的乘法法则和加减法法则进行计算。
2021年吉林省长春市中考数学试卷
精品"正版〞资料系列,由本公司独创 .旨在将"人教版〞、〞苏教版"、〞北师大版"、〞华师大版"等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和检测题分享给需要的朋友 .本资源创作于2021年8月,是当前最|新版本的教材资源 .包含本课对应内容,是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最|正确选择 .2021年吉林省长春市中|考数学试卷一、选择题：本大题共8个小题,每题3分,共24分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1．(3分)3的相反数是()A．﹣3 B．﹣ C．D．32．(3分)据统计,2021年长春市接待旅游人数约67000000人次,67000000这个数用科学记数法表示为()A．67×106×105×107×1083．(3分)以下图形中,可以是正方体外表展开图的是()A．B．C．D．4．(3分)不等式组的解集为()A．x＜﹣2 B．x≤﹣1 C．x≤1 D．x＜35．(3分)如图,在△ABC中,点D在AB上,点E在AC上,DE∥BC．假设∠A =62° ,∠AED =54° ,那么∠B的大小为()A．54°B．62°C．64°D．74°6．(3分)如图,将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．假设拿掉边长2b的小正方形后,再将剩下的三块拼成一块矩形,那么这块矩形较长的边长为()A．3a +2b B．3a +4b C．6a +2b D．6a +4b7．(3分)如图,点A ,B ,C在⊙O上,∠ABC =29° ,过点C作⊙O的切线交OA的延长线于点D ,那么∠D的大小为()A．29°B．32°C．42°D．58°8．(3分)如图,在平面直角坐标系中,平行四边形OABC的顶点A的坐标为(﹣4 ,0 ) ,顶点B在第二象限,∠BAO =60° ,BC交y轴于点D ,DB：DC =3：1．假设函数y =(k＞0 ,x＞0 )的图象经过点C ,那么k的值为()A．B．C．D．二、填空题(每题3分,总分值18分,将答案填在答题纸上)9．(3分)计算：×=．10．(3分)假设关于x的一元二次方程x2+4x+a =0有两个相等的实数根,那么a的值是．11．(3分)如图,直线a∥b∥c ,直线l1 ,l2与这三条平行线分别交于点A ,B ,C和点D ,E ,F．假设AB：BC =1：2 ,DE =3 ,那么EF的长为．12．(3分)如图,那么△ABC中,∠BAC =100° ,AB =AC =4 ,以点B为圆心,BA长为半径作圆弧,交BC于点D ,那么的长为．(结果保存π )13．(3分)如图1 ,这个图案是我国汉代的赵爽在注解<周髀算经>时给出的,人们称它为"赵爽弦图〞．此图案的示意图如图2 ,其中四边形ABCD和四边形EFGH 都是正方形,△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．假设EF =2 ,DE =8 ,那么AB的长为．14．(3分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在第|一象限,点B ,C 的坐标为(2 ,1 ) , (6 ,1 ) ,∠BAC =90° ,AB =AC ,直线AB交x轴于点P．假设△ABC 与△A'B'C'关于点P成中|心对称,那么点A'的坐标为．三、解答题(本大题共10小题,共78分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. )15．(6分)先化简,再求值：3a (a2 +2a +1 )﹣2 (a +1 )2 ,其中a =2．16．(6分)一个不透明的口袋中有一个小球,上面分别标有字母a ,b ,c ,每个小球除字母不同外其余均相同,小园同学从口袋中随机摸出一个小球,记下字母后放回且搅匀,再从可口袋中随机摸出一个小球记下字母．用画树状图(或列表)的方法,求小园同学两次摸出的小球上的字母相同的概率．17．(6分)如图,某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31° ,AB的长为12米,求大厅两层之间的距离BC的长．(结果精确到0.1米) (参考数据：sin31°=0.515 ,cos31° =0.857 ,tan31° =0.60 )18．(7分)某校为了丰富学生的课外体育活动,购置了排球和跳绳．排球的单价是跳绳的单价的3倍,购置跳绳共花费750元,购置排球共花费900元,购置跳绳的数量比购置排球的数量多30个,求跳绳的单价．19．(7分)如图,在菱形ABCD中,∠A =110° ,点E是菱形ABCD内一点,连结CE 绕点C顺时针旋转110° ,得到线段CF ,连结BE ,DF ,假设∠E =86° ,求∠F的度数．20．(7分)某校八年级|学生会为了解本年级|600名学生的睡眠情况,将同学们某天的睡眠时长t (小时)分为A ,B ,C ,D ,E (A：9≤t≤24；B：8≤t＜9；C：7≤t ＜8；D：6≤t＜7；E：0≤t＜6 )五个选项,进行了一次问卷调查,随机抽取n名同学的调查问卷并进行了整理,绘制成如下条形统计图,根据统计图提供的信息解答以下问题：(1 )求n的值；(2 )根据统计结果,估计该年级|600名学生中睡眠时长缺乏7小时的人数．21．(8分)甲、乙两车间同时开始加工一批服装．从开始加工到加工完这批服装甲车间工作了9小时,乙车间在中途停工一段时间维修设备,然后按停工前的工作效率继续加工,直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y (件)．甲车间加工的时间为x (时) ,y与x之间的函数图象如下图．(1 )甲车间每小时加工服装件数为件；这批服装的总件数为件．(2 )求乙车间维修设备后,乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；(3 )求甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间．22．(9分)【再现】如图①,在△ABC中,点D ,E分别是AB ,AC的中点,可以得到：DE∥BC ,且DE =BC．(不需要证明)【探究】如图②,在四边形ABCD中,点E ,F ,G ,H分别是AB ,BC ,CD ,DA的中点,判断四边形EFGH的形状,并加以证明．【应用】在(1 )【探究】的条件下,四边形ABCD中,满足什么条件时,四边形EFGH 是菱形?你添加的条件是：．(只添加一个条件)(2 )如图③,在四边形ABCD中,点E ,F ,G ,H分别是AB ,BC ,CD ,DA的中点,对角线AC ,BD相交于点O．假设AO =OC ,四边形ABCD面积为5 ,那么阴影局部图形的面积和为．23．(10分)如图①,在Rt△ABC中,∠C =90° ,AB =10 ,BC =6 ,点P从点A出发,沿折线AB﹣BC向终点C运动,在AB上以每秒5个单位长度的速度运动,在BC 上以每秒3个单位长度的速度运动,点Q从点C出发,沿CA方向以每秒个单位长度的速度运动,P ,Q两点同时出发,当点P停止时,点Q也随之停止．设点P 运动的时间为t秒．(1 )求线段AQ的长；(用含t的代数式表示)(2 )连结PQ ,当PQ与△ABC的一边平行时,求t的值；(3 )如图②,过点P作PE⊥AC于点E ,以PE ,EQ为邻边作矩形PEQF ,点D为AC 的中点,连结DF．设矩形PEQF与△ABC重叠局部图形的面积为S．①当点Q在线段CD上运动时,求S与t之间的函数关系式；②直接写出DF将矩形PEQF分成两局部的面积比为1：2时t的值．24．(12分)定义：对于给定的两个函数,任取自变量x的一个值,当x＜0时,它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时,它们对应的函数值相等,我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y =x﹣1 ,它的相关函数为y =．(1 )点A (﹣5 ,8 )在一次函数y =ax﹣3的相关函数的图象上,求a的值；(2 )二次函数y =﹣x2+4x﹣．①当点B (m ,)在这个函数的相关函数的图象上时,求m的值；②当﹣3≤x≤3时,求函数y =﹣x2 +4x﹣的相关函数的最|大值和最|小值；(3 )在平面直角坐标系中,点M ,N的坐标分别为(﹣,1 ) , (,1 ) ,连结MN．直接写出线段MN与二次函数y =﹣x2 +4x +n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围．2021年吉林省长春市中|考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题,每题3分,共24分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1．(3分) (2021•长春)3的相反数是()A．﹣3 B．﹣ C．D．3【分析】根据相反数的定义即可求出3的相反数．【解答】解：3的相反数是﹣3应选A．【点评】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同,我们称其中一个数为另一个数的相反数,特别地,0的相反数还是0．2．(3分) (2021•长春)据统计,2021年长春市接待旅游人数约67000000人次,67000000这个数用科学记数法表示为()A．67×106×105×107×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10 ,n为整数．确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝|对值与小数点移动的位数相同．当原数绝|对值≥1时,n是非负数；当原数的绝|对值＜1时,n 是负数．【解答】×107．应选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10 ,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．(3分) (2021•长春)以下图形中,可以是正方体外表展开图的是()A．B．C．D．【分析】观察选项中的图形,确定出作为正方体外表展开图的即可．【解答】解：以下图形中,可以是正方体外表展开图的是,应选D【点评】此题考查了几何体的展开图,熟练掌握正方体的外表展开图是解题关键．4．(3分) (2021•长春)不等式组的解集为()A．x＜﹣2 B．x≤﹣1 C．x≤1 D．x＜3【分析】先求出每个不等式的解集,再求出每个解集的公共局部即可．【解答】解：解不等式①得：x≤1 ,解不等式②得：x＜3 ,∴不等式组的解集为x≤1 ,应选C．【点评】此题考查了解一元一次不等式组的应用,能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．5．(3分) (2021•长春)如图,在△ABC中,点D在AB上,点E在AC上,DE∥BC．假设∠A =62° ,∠AED =54° ,那么∠B的大小为()A．54°B．62°C．64°D．74°【分析】根据平行线的性质得到∠C =∠AED =54° ,根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵DE∥BC ,∴∠C =∠AED =54° ,∵∠A =62° ,∴∠B =180°﹣∠A﹣∠C =64° ,应选C．【点评】此题考查了平行线的性质,三角形的内角和,熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．6．(3分) (2021•长春)如图,将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．假设拿掉边长2b的小正方形后,再将剩下的三块拼成一块矩形,那么这块矩形较长的边长为()A．3a +2b B．3a +4b C．6a +2b D．6a +4b【分析】观察图形可知,这块矩形较长的边长=边长为3a的正方形的边长﹣边长2b的小正方形的边长 +边长2b的小正方形的边长的2倍,依此计算即可求解．【解答】解：依题意有3a﹣2b +2b×2=3a﹣2b +4b=3a +2b．故这块矩形较长的边长为3a +2b．应选：A．【点评】考查了列代数式,关键是得到这块矩形较长的边长与两个正方形边长的关系．7．(3分) (2021•长春)如图,点A ,B ,C在⊙O上,∠ABC =29° ,过点C作⊙O的切线交OA的延长线于点D ,那么∠D的大小为()A．29°B．32°C．42°D．58°【分析】作直径B′C ,交⊙O于B′ ,连接AB′ ,那么∠AB′C =∠ABC =29° ,由等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可求得∠DOC =54°,接下来,由切线的性质可证明∠OCD =90° ,最|后在Rt△OCD中根据两锐角互余可求得∠D的度数．【解答】解：作直径B′C ,交⊙O于B′ ,连接AB′ ,那么∠AB′C =∠ABC =29° ,∵OA =OB′ ,∴∠AB′C =∠OAB′ =29°．∴∠DOC =∠AB′C +∠OAB′ =58°．∵CD是⊙的切线,∴∠OCD =90°．∴∠D =90°﹣58° =32°．应选B．【点评】此题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质、三角形的内角和定理,求得∠ABC =∠OAB′ =29°是解题的关键．8．(3分) (2021•长春)如图,在平面直角坐标系中,平行四边形OABC的顶点A 的坐标为(﹣4 ,0 ) ,顶点B在第二象限,∠BAO =60° ,BC交y轴于点D ,DB：DC =3：1．假设函数y =(k＞0 ,x＞0 )的图象经过点C ,那么k的值为()A．B．C．D．【分析】根据平行四边形的性质得出点B的横坐标,再由DB：DC =3：1得出点C 的横坐标,由∠BAO =60° ,得∠COD ,即可得出点C坐标,即可得出k的值．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形,点A的坐标为(﹣4 ,0 ) ,∴BC =4 ,∵DB：DC =3：1 ,∴B (﹣3 ,OD ) ,C (1 ,OD ) ,∵∠BAO =60° ,∴∠COD =30° ,∴OD =,∴C (1 ,) ,∴k =,应选D．【点评】此题考查了平行四边形的性质,掌握平行四边形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．二、填空题(每题3分,总分值18分,将答案填在答题纸上)9．(3分) (2021•长春)计算：×=．【分析】根据二次根式的乘法法那么进行计算即可．【解答】解：×=；故答案为：．【点评】此题考查了二次根式的乘法,掌握二次根式的运算法那么：乘法法那么=是此题的关键,是一道根底题．10．(3分) (2021•长春)假设关于x的一元二次方程x2+4x+a =0有两个相等的实数根,那么a的值是4．【分析】根据方程的系数结合根的判别式,即可得出△=16﹣4a =0 ,解之即可得出a值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2 +4x +a =0有两个相等的实数根,∴△=42﹣4a =16﹣4a =0 ,解得：a =4．故答案为：4．【点评】此题考查了根的判别式,牢记"当△=0时,方程有两个相等的实数根〞是解题的关键．11．(3分) (2021•长春)如图,直线a∥b∥c ,直线l1,l2与这三条平行线分别交于点A ,B ,C和点D ,E ,F．假设AB：BC =1：2 ,DE =3 ,那么EF的长为6．【分析】由a∥b∥c ,可得=,由此即可解决问题．【解答】解：∵a∥b∥c ,∴=,∴=,∴EF =6 ,故答案为6．【点评】此题考查平行线分线段成比例定理,解题的关键是正确应用平行线分线段成比例定理,属于中|考常考题型．12．(3分) (2021•长春)如图,那么△ABC中,∠BAC =100°,AB =AC =4 ,以点B 为圆心,BA长为半径作圆弧,交BC于点D ,那么的长为．(结果保存π )【分析】先根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠B的度数,再代入弧长公式计算即可．【解答】解：∵△ABC中,∠BAC =100° ,AB =AC ,∴∠B =∠C =(180°﹣100° ) =40° ,∵AB =4 ,∴的长为=．故答案为．【点评】此题考查了弧长公式：l =(弧长为l ,圆心角度数为n ,圆的半径为R ) ,也考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．13．(3分) (2021•长春)如图1 ,这个图案是我国汉代的赵爽在注解<周髀算经>时给出的,人们称它为"赵爽弦图〞．此图案的示意图如图2 ,其中四边形ABCD 和四边形EFGH都是正方形,△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．假设EF =2 ,DE =8 ,那么AB的长为10．【分析】在直角△ABF中,利用勾股定理进行解答即可．【解答】解：依题意知,BG =AF =DE =8 ,EF =FG =2∴BF =BG﹣BF =6 ,∴直角△ABF中,利用勾股定理得：AB ===10．故答案是：10．【点评】此题考查勾股定理的证明,解题的关键是得到直角△ABF的两直角边的长度．14．(3分) (2021•长春)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在第|一象限,点B ,C的坐标为(2 ,1 ) , (6 ,1 ) ,∠BAC =90° ,AB =AC ,直线AB交x轴于点P．假设△ABC与△A'B'C'关于点P成中|心对称,那么点A'的坐标为(﹣2 ,﹣3 )．【分析】根据等腰直角三角形,可得AB的长,再根据锐角三角函数,可得AD ,BD 的长,再根据待定系数法,可得函数解析式,根据自变量与函数值得对应关系,可得P点坐标,根据中点坐标公式,可得答案．【解答】解：如图,点B ,C的坐标为(2 ,1 ) , (6 ,1 ) ,得BC =4．由∠BAC =90° ,AB =AC ,得AB =2,∠ABD =45° ,∴BD =AD =2 ,A (4 ,3 ) ,设AB的解析式为y =kx +b ,将A ,B点坐标代入,得,解得,AB的解析式为y =x﹣1 ,当y =1时,x =1 ,即P (1 ,0 ) ,由中点坐标公式,得x A′ =2x P﹣x A =2﹣4 =﹣2 ,y A′ =2y A′﹣y A =0﹣3 =﹣3 ,A′ (﹣2 ,﹣3 )．故答案为：(﹣2 ,﹣3 )．【点评】此题考查了等腰直角三角形,利用等腰直角三角形得出AB的长是解题关键．三、解答题(本大题共10小题,共78分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. )15．(6分) (2021•长春)先化简,再求值：3a (a2+2a+1 )﹣2 (a+1 )2 ,其中a =2．【分析】原式利用单项式乘以多项式,以及完全平方公式化简,去括号合并得到最|简结果,把a的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=3a3 +6a2 +3a﹣2a2﹣4a﹣2 =3a3 +4a2﹣a﹣2 ,当a =2时,原式=24 +16﹣2﹣2═36．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值,熟练掌握运算法那么是解此题的关键．16．(6分) (2021•长春)一个不透明的口袋中有一个小球,上面分别标有字母a ,b ,c ,每个小球除字母不同外其余均相同,小园同学从口袋中随机摸出一个小球,记下字母后放回且搅匀,再从可口袋中随机摸出一个小球记下字母．用画树状图(或列表)的方法,求小园同学两次摸出的小球上的字母相同的概率．【分析】列表得出所有等可能的情况数,找出两次摸出的小球的标号相同的情况数,即可求出所求的概率．【解答】解：列表如下：a b ca(a ,a )(b ,a )(c ,a )b(a ,b )(b ,b )(c ,b )c(a ,c )(b ,c )(c ,c )所有等可能的情况有9种,其中两次摸出的小球的标号相同的情况有3种,那么P ==．【点评】此题考查了列表法与树状图法,用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．(6分) (2021•长春)如图,某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31° ,AB 的长为12米,求大厅两层之间的距离BC的长．(结果精确到0.1米) (参考数据：sin31° =0.515 ,cos31° =0.857 ,tan31° =0.60 )【分析】过B作地平面的垂线段BC ,垂足为C ,构造直角三角形,利用正弦函数的定义,即可求出BC的长．【解答】解：过B作地平面的垂线段BC ,垂足为C．在Rt△ABC中,∵∠ACB =90° ,∴BC =AB•sin∠BAC =12×≈6.2 (米)．即大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．在解决坡度的有关问题中,一般通过作高构成直角三角形,坡角即是一锐角,坡度实际就是一锐角的正切值,水平宽度或铅直高度都是直角边,实质也是解直角三角形问题．18．(7分) (2021•长春)某校为了丰富学生的课外体育活动,购置了排球和跳绳．排球的单价是跳绳的单价的3倍,购置跳绳共花费750元,购置排球共花费900元,购置跳绳的数量比购置排球的数量多30个,求跳绳的单价．【分析】首|先设跳绳的单价为x元,那么排球的单价为3x元,根据题意可得等量关系：750元购进的跳绳个数﹣900元购进的排球个数=30 ,依此列出方程,再解方程可得答案．【解答】解：设跳绳的单价为x元,那么排球的单价为3x元,依题意得：﹣=30 ,解方程,得x =15．经检验：x =15是原方程的根,且符合题意．答：跳绳的单价是15元．【点评】此题主要考查了分式方程的应用,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,列出方程．19．(7分) (2021•长春)如图,在菱形ABCD中,∠A =110° ,点E是菱形ABCD内一点,连结CE绕点C顺时针旋转110° ,得到线段CF ,连结BE ,DF ,假设∠E =86° ,求∠F的度数．【分析】由菱形的性质有BC =CD ,∠BCD =∠A =110° ,根据旋转的性质知CE =CF ,∠ECF =∠BCD =110° ,于是得到∠BCE =∠DCF =110°﹣∠DCE ,根据全等三角形的判定证得△BCE≌△DCF ,根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵菱形ABCD ,∴BC =CD ,∠BCD =∠A =110° ,由旋转的性质知,CE =CF ,∠ECF =∠BCD =110° ,∴∠BCE =∠DCF =110°﹣∠DCE ,在△BCE和△DCF中,,∴△BCE≌△DCF ,∴∠F =∠E =86°．【点评】此题主要考查了菱形的性质,旋转的性质,全等三角形的性质和判定,由旋转的性质得到CE =CF ,∠ECF =∠BCD是解题的关键．20．(7分) (2021•长春)某校八年级|学生会为了解本年级|600名学生的睡眠情况,将同学们某天的睡眠时长t (小时)分为A ,B ,C ,D ,E (A：9≤t≤24；B：8≤t ＜9；C：7≤t＜8；D：6≤t＜7；E：0≤t＜6 )五个选项,进行了一次问卷调查,随机抽取n名同学的调查问卷并进行了整理,绘制成如下条形统计图,根据统计图提供的信息解答以下问题：(1 )求n的值；(2 )根据统计结果,估计该年级|600名学生中睡眠时长缺乏7小时的人数．【分析】(1 )将各频数相加即可；(2 )先计算缺乏7小时(即最|后两组：D和E组) ,两组的百分比,与总人数600的积就是结果．【解答】解：(1 )n =12 +24 +15 +6 +3 =60；(2 ) (6 +3 )÷60×600 =90 ,答：估计该年级|600名学生中睡眠时长缺乏7小时的人数为90人．【点评】此题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个工程的数据．21．(8分) (2021•长春)甲、乙两车间同时开始加工一批服装．从开始加工到加工完这批服装甲车间工作了9小时,乙车间在中途停工一段时间维修设备,然后按停工前的工作效率继续加工,直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y (件)．甲车间加工的时间为x (时) ,y与x之间的函数图象如下图．(1 )甲车间每小时加工服装件数为80件；这批服装的总件数为1140件．(2 )求乙车间维修设备后,乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；(3 )求甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间．【分析】(1 )根据工作效率=工作总量÷工作时间,即可求出甲车间每小时加工服装件数,再根据这批服装的总件数=甲车间加工的件数 +乙车间加工的件数,即可求出这批服装的总件数；(2 )根据工作效率=工作总量÷工作时间,即可求出乙车间每小时加工服装件数,根据工作时间=工作总量÷工作效率结合工作结束时间,即可求出乙车间修好设备时间,再根据加工的服装总件数=120 +工作效率×工作时间,即可求出乙车间维修设备后,乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；(3 )根据加工的服装总件数=工作效率×工作时间,求出甲车间加工服装数量y 与x之间的函数关系式,将甲、乙两关系式相加令其等于1000 ,求出x值,此题得解．【解答】解：(1 )甲车间每小时加工服装件数为720÷9 =80 (件) ,这批服装的总件数为720 +420 =1140 (件)．故答案为：80；1140．(2 )乙车间每小时加工服装件数为120÷2 =60 (件) ,乙车间修好设备的时间为9﹣(420﹣120 )÷60 =4 (时)．∴乙车间维修设备后,乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式为y =120 +60 (x﹣4 ) =60x﹣120 (4≤x≤9 )．(3 )甲车间加工服装数量y与x之间的函数关系式为y =80x ,当80x +60x﹣120 =1000时,x =8．答：甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间为8小时．【点评】此题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程,解题的关键是：(1 )根据数量关系,列式计算；(2 )根据数量关系,找出乙车间维修设备后,乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；(3 )根据数量关系,找出甲车间加工服装数量y与x之间的函数关系式．22．(9分) (2021•长春)【再现】如图①,在△ABC中,点D ,E分别是AB ,AC的中点,可以得到：DE∥BC ,且DE =BC．(不需要证明)【探究】如图②,在四边形ABCD中,点E ,F ,G ,H分别是AB ,BC ,CD ,DA的中点,判断四边形EFGH的形状,并加以证明．【应用】在(1 )【探究】的条件下,四边形ABCD中,满足什么条件时,四边形EFGH是菱形?你添加的条件是：AC =BD．(只添加一个条件)(2 )如图③,在四边形ABCD中,点E ,F ,G ,H分别是AB ,BC ,CD ,DA的中点,对角线AC ,BD相交于点O．假设AO =OC ,四边形ABCD面积为5 ,那么阴影局部图形的面积和为．【分析】【探究】利用三角形的中位线定理可得出HG =EF、EF∥GH ,继而可判断出四边形EFGH的形状；【应用】(1 )同【探究】的方法判断出EF =AC ,即可判断出EF =FG ,即可得出结论；(2 )先判断出S△BCD =4S△CFG ,同理：S△ABD =4S△AEH ,进而得出S四边形EFGH =,再判断出OM =ON ,进而得出S阴影=S四边形EFGH即可．【解答】解：【探究】平行四边形．理由：如图1 ,连接AC ,∵E是AB的中点,F是BC的中点,∴EF∥AC ,EF =AC ,同理HG∥AC ,HG =AC ,综上可得：EF∥HG ,EF =HG ,故四边形EFGH是平行四边形．【应用】(1 )添加AC =BD ,理由：连接AC ,BD ,同(1 )知,EF =AC ,同【探究】的方法得,FG =BD ,∵AC =BD ,∴EF =FG ,∵四边形EFGH 是平行四边形 ,∴▱EFGH 是菱形；故答案为AC =BD ；(2 )如图2 ,由【探究】得 ,四边形EFGH 是平行四边形 ,∵F ,G 是BC ,CD 的中点 ,∴FG ∥BD ,FG =BD ,∴△CFG ∽△CBD , ∴ ,∴S △BCD =4S △CFG ,同理：S △ABD =4S △AEH ,∵四边形ABCD 面积为5 ,∴S △BCD +S △ABD =5 ,∴S △CFG +S △AEH = ,同理：S △DHG +S △BEF = ,∴S 四边形EFGH =S 四边形ABCD ﹣ (S △CFG +S △AEH +S △DHG +S △BEF ) =5﹣ = ,设AC 与FG ,EH 相交于M ,N ,EF 与BD 相交于P ,∵FG ∥BD ,FG =BD ,∴CM =OM =OC ,同理：AN =ON =OA ,∵OA =OC ,∴OM =ON ,易知 ,四边形ENOP ,FMOP 是平行四边形 ,∴S 阴影 =S 四边形EFGH = , 故答案为．【点评】此题是四边形综合题,主要考查了三角形的中位线定理,平行四边形的判定,菱形的判定,相似三角形的判定和性质,解【探究】的关键是判断出HG∥AC ,HG =AC ,解【应用】的关键是判断出S四边形EFGH =,是一道根底题目．23．(10分) (2021•长春)如图①,在Rt△ABC中,∠C =90° ,AB =10 ,BC =6 ,点P 从点A出发,沿折线AB﹣BC向终点C运动,在AB上以每秒5个单位长度的速度运动,在BC上以每秒3个单位长度的速度运动,点Q从点C出发,沿CA方向以每秒个单位长度的速度运动,P ,Q两点同时出发,当点P停止时,点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．(1 )求线段AQ的长；(用含t的代数式表示)(2 )连结PQ ,当PQ与△ABC的一边平行时,求t的值；(3 )如图②,过点P作PE⊥AC于点E ,以PE ,EQ为邻边作矩形PEQF ,点D为AC 的中点,连结DF．设矩形PEQF与△ABC重叠局部图形的面积为S．①当点Q在线段CD上运动时,求S与t之间的函数关系式；②直接写出DF将矩形PEQF分成两局部的面积比为1：2时t的值．【分析】(1 )利用勾股定理先求出AC ,根据AQ =AC﹣CQ即可解决问题；(2 )分两种情形列出方程求解即可；(3 )①分三种情形a、如图1中,当0≤t≤时,重叠局部是四边形PEQF．b、如图2中,当＜t≤2时,重叠局部是四边形PNQE．C、如图3中,当2＜t≤3时,重叠局部是五边形MNPBQ．分别求解即可；②分两种情形a、如图4中,当DE：DQ =1：2时,DF将矩形PEQF分成两局部的面积比为1：2．b、如图5中,当NE：PN =1：2时,DF将矩形PEQF分成两局部的面积比为1：2．分别列出方程即可解决问题；【解答】解：(1 )在Rt△ABC中,∵∠C =90° ,AB =10 ,BC =6 ,∴AC ===8 ,∵CQ =t ,∴AQ =8﹣t (0≤t≤4 )．(2 )①当PQ∥BC时,=,∴=,∴t =s．②当PQ∥AB时,=,∴=,∴t =3 ,综上所述,t =s或3s时,当PQ与△ABC的一边平行．(3 )①如图1中,a、当0≤t≤时,重叠局部是四边形PEQF．S =PE•EQ =3t• (8﹣4t﹣t ) =﹣16t2 +24t．b、如图2中,当＜t≤2时,重叠局部是四边形PNQE．S =S四边形PEQF﹣S△PFN = (16t2﹣24t )﹣•[5t﹣(8﹣t )]•[5t﹣(8﹣t0] =﹣．C、如图3中,当2＜t≤3时,重叠局部是五边形MNPBQ．S =S四边形PBQF﹣S△FNM =t•[6﹣3 (t﹣2 )]﹣•[t﹣4 (t﹣2 )]•[t﹣4 (t﹣2 )] =﹣t2 +30t﹣24．②a、如图4中,当DE：DQ =1：2时,DF将矩形PEQF分成两局部的面积比为1：2．那么有(4﹣4t )：(4﹣t ) =1：2 ,解得t =s ,b、如图5中,当NE：PN =1：2时,DF将矩形PEQF分成两局部的面积比为1：2．∴DE：DQ =NE：FQ =1：3 ,∴(4t﹣4 )：(4﹣t ) =1：3 ,解得t =s ,综上所述,当t =s或s时,DF将矩形PEQF分成两局部的面积比为1：2．【点评】此题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定、平行线分线段成比例定理等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会构建方程解决问题,属于中|考压轴题．24．(12分) (2021•长春)定义：对于给定的两个函数,任取自变量x的一个值,当x＜0时,它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时,它们对应的函数值相等,我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y =x﹣1 ,它的相关函数为y =．(1 )点A (﹣5 ,8 )在一次函数y =ax﹣3的相关函数的图象上,求a的值；(2 )二次函数y =﹣x2+4x﹣．①当点B (m ,)在这个函数的相关函数的图象上时,求m的值；②当﹣3≤x≤3时,求函数y =﹣x2 +4x﹣的相关函数的最|大值和最|小值；(3 )在平面直角坐标系中,点M ,N的坐标分别为(﹣,1 ) , (,1 ) ,连结MN．直接写出线段MN与二次函数y =﹣x2 +4x +n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围．【分析】(1 )函数y =ax﹣3的相关函数为y =,将然后将点A (﹣5 ,8 )代入y =﹣ax +3求解即可；(2 )二次函数y =﹣x2+4x﹣的相关函数为y =,①分为m＜0和m≥0两种情况将点B的坐标代入对应的关系式求解即可；②当﹣3≤x＜0时,y =x2﹣4x +,然后可此时的最|大值和最|小值,当0≤x≤3时,函数y =﹣x2 +4x﹣,求得此时的最|大值和最|小值,从而可得到当﹣3≤x≤3时的最|大值和最|小值；(3 )首|先确定出二次函数y =﹣x2 +4x +n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值,然后结合函数图象可确定出n的取值范围．【解答】解：(1 )函数y =ax﹣3的相关函数为y =,将点A (﹣5 ,8 )代入y =﹣ax +3得：5a +3 =8 ,解得：a =1．。
吉林省长春市2021年中考数学试卷真题(word版,含答案解析)
吉林省长春市2021年中考数学试卷一、单选题（共8题；共16分）1.−(−2) 的值为（ ）A. −2B. 2C. −12 D. 12 【答案】 B【考点】相反数及有理数的相反数【解析】【解答】解：化简多重负号，就看负号的个数，此时有两个符号，偶数个则为正， 故答案为：B ．【分析】根据负号的个数判断即可作答。
2.据报道，我省今年前4个月货物贸易进出口总值为52860 000 000元人民币，比去年同期增长28.2%．其中52860000 000这个数用科学记数法表示为（ ）A. 0.5286×1011B. 5.286×1010C. 52.86×109D. 5286×107 【答案】 B【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数 【解析】【解答】解：52860000000= 5.286×1010 ， 故答案为：B ．【分析】 将一个数表示成 a ×10的n 次幂的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，这种记数方法叫科学记数法。
根据科学记数法的定义计算求解即可。
3.如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（ ）A. 圆锥B. 长方体C. 球D. 圆柱 【答案】 D【考点】由三视图判断几何体【解析】【解答】解：主视图和俯视图为矩形，则该几何体为柱体，根据左视图为圆，可知该几何体为：圆柱A 、B 、C 选项不符合题意，D 符合题意． 故答案为：D ．【分析】根据所给的三视图判断几何体即可。
4.关于x 的一元二次方程 x 2−6x +m =0 有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】 A【考点】一元二次方程根的判别式及应用【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2−6x+m=0有两个不相等的实数根，∴Δ=(−6)2−4×1×m>0，解得：m＜9，m的值可能是：8．故答案为：A.【分析】利用一元二次方程根的判别式计算求解即可。
2021年吉林省中考数学试卷(附答案详解)
2021年吉林省中考数学试卷(附答案详解)1.化简-(-1)的结果为()答案：B。
12.据《吉林日报》2021年5月14日报道，第一季度XXX销售整车辆，数据用科学记数法表示为()答案：B。
7.006×1043.不等式2x−1>3的解集是()答案：B。
x>24.如图，粮仓可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，其主视图是()答案：B.5.如图，四边形ABCD内接于⊙x，D重合)连接xx.点P为边AD上任意一点(点P不与点A，若∠x=120°，则∠xxx的度数可能为()答案：D。
65°6.古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33.若设这个数是x，则所列方程为()答案：C。
3x+2x+7x+x=337.√9-1=______．答案：B。
28.因式分解：x2−2x=______．答案：x(x-2)9.计算：x−1/x−1=______．答案：110.若关于x的一元二次方程x2+3x+x=有两个相等的实数根，则c的值为______．答案：3/411.如图，已知线段xx=2xx，其垂直平分线CD的作法如下：(1)分别以点A和点B为圆心，xxx长为半径画弧，两弧相交于C，D两点；(2)作直线CD．上述作法中b满足的条作为b______1.(填“>”，“<”或“=”)答案：=12.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,3)，点B的坐标为(4,0)，点P在直线y=x上，且AP=BP，过点P作直线CD交x轴于点E.若PE=2，则PE的坐标为______．答案：(2,2)增长量÷去年业务量×100%。
根据以上数据，回答以下问题：1)2016年快递业务量为______亿件；2)2018年快递业务量比2017年增长了______亿件；3)2019年快递业务量为______亿件；4)2020年快递业务量比2019年增长了______亿件；5)2016年至2017年，快递业务量的增长速度______；6)2018年至2020年，快递业务量的增长速度______．过25天完成全部接种，而乙地需要30天完成全部接种.已知甲地每天接种人数比乙地多200人，求甲地前5天平均每天接种人数.解：设甲地每天接种人数为x，乙地每天接种人数为x，则40万=5万+25x+(30−25)x40万=30x+5万解得：x=x+200则甲地前5天接种人数为5x=5(x+200)=5x+1000，平均每天接种人数为(5x+1000)/5=x+200，代入第二个式子得40万=30x+5万解得：x=所以甲地前5天平均每天接种人数为+200=人.解析】去括号与添括号是一种基本的代数运算，常用于化简和变形式子。
2021吉林中考数学试题(解析版)
2021吉林中考数学试题（解析版）2021年吉林省中考数学试卷一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分） 1．（2分）（2021?吉林）在1，��2，4，这四个数中，比0小的数是（） 1 4 A．��2 B． C． D．分析：根据有理数比较大小的法则：负数都小于0即可选出答案．解答：解：��2、1、4、这四个数中比0小的数是��2，故选：A．点评：此题主要考查了有理数的比较大小，关键是熟练掌握有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 2．（2分）（2021?吉林）用4个完全相同的小正方体组成如图所示的立方体图形，它的俯视图是（）A． B． C． D．考点：简单组合体的三视图．分析：俯视图是从物体上面观看得到的图形，结合图形即可得出答案．解答：解：从上面看可得到一个有2个小正方形组成的长方形．故选A．点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，属于基础题． 3．（2分）（2021?吉林）如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（）10° A．15° B．20° C．25° D．考点：平行线的性质．分析：根据AB∥CD可得∠3=∠1=65，然后根据∠2=180°��∠3��90°求解．解答：解：∵AB∥CD，∴∠3=∠1=65°，∴∠2=180°��∠3��90°=180°��65°��90°=25°．故选D．点评：本题重点考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，是一道较为简单的题目． 4．（2分）（2021?吉林）如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H．若AB=4，AE=1，则BH的长为（）1 2 3 A．B． C． D． 3 考点：正方形的性质；等腰直角三角形．分析：求出BE的长，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形求出四边形EFCH平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得EF=CH，再根据正方形的性质可得AB=BC，AE=EF，然后求出BH=BE即可得解．解答：解：∵AB=4，AE=1，∴BE=AB��AE=4��1=3，∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴AD∥EF∥BC，又∵EH∥FC，∴四边形EFCH平行四边形，∴EF=CH，∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴AB=BC，AE=EF，∴AB��AE=BC��CH，∴BE=BH=3．故选C．点评：本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，熟记性质并求出四边形EFCH平行四边形是解题的关键，也是本题的难点． 5．（2分）（2021?吉林）如图，△ABC中，∠C=45°，点D在AB上，点E在BC上．若AD=DB=DE，AE=1，则AC的长为（）2 A．B． C． D．考点：等腰直角三角形；等腰三角形的判定与性质．分析：利用AD=DB=DE，求出∠AEC=90°，在直角等腰三角形中求出AC的长．解答：解：∵AD=DE，∴∠DAE=∠DEA，∵DB=DE，∴∠B=∠DEB，∴∠AEB=∠DEA+∠DEB=×180°=90°，∴∠AEC=90°，∵∠C=45°，AE=1，∴AC=．故选：D．点评：本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是利用角的关系求出∠AEC是直角． 6．（2分）（2021?吉林）小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若小车速度是他骑车速度的2倍，现在小军乘小车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．设小军骑车的速度为x千米/小时，则所列方程正确的为（） A．B． C． D． +=��= +10= ��10= 考点：由实际问题抽象出分式方程．分析：设小军骑车的速度为x千米/小时，则小车速度是2x千米/小时，根据“小军乘小车上学可以从家晚10分钟出发”列出方程解决问题．解答：解：设小军骑车的速度为x千米/小时，则小车速度是2x千米/小时，由题意得，��=．故选：B．点评：此题考查列分式方程解应用题，找出题中蕴含的等量关系是解决问题的关键．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 7．（3分）（2021?吉林）据统计，截止到2021年末，某省初中在校学生共有645000人，将5数据645000用科学记数法表示为 6.45×10 ．考点：科学记数法―表示较大的数． n分析：科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于645000有6位，所以可以确定n=6��1=5． 5解答：解：645 000=6.45×10． 5故答案为：6.45×10．点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键． 8．（3分）（2021?吉林）不等式组的解集是 x＞3 ．考点：解一元一次不等式组．分析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．解答：解：，解①得：x＞��2，解②得：x＞3，则不等式组的解集是：x＞3．故答案是：x＞3．点评：本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间． 9．（3分）（2021?吉林）若a＜＜b，且a，b为连续正整数，则b��a= 7 ．考点：估算无理数的大小． 22分析：因为3＜13＜4，所以3＜＜4，求得a、b的数值，进一步求得问题的答案即可． 22解答：解：∵3＜13＜4，∴3＜＜4，即a=3，b=4，所以a+b=7．故答案为：7．点评：此题考查无理数的估算，利用平方估算出根号下的数值的取值，进一步得出无理数的取值范围，是解决这一类问题的常用方法． 10．（3分）（2021?吉林）某校举办“成语听写大赛”，15名学生进入决赛，他们所得分数互不相同，比赛共设8个获奖名额，某学生知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应该关注的统计量是中位数（填“平均数”或“中位数”）考点：统计量的选择．分析：由于比赛设置了8个获奖名额，共有15名选手参加，故应根据中位数的意义分析．解答：解：因为8位获奖者的分数肯定是15名参赛选手中最高的， 22而且15个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有8个数，故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了．故答案为：中位数．点评：此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用． 11．（3分）（2021?吉林）如图，矩形ABCD的面积为 x+5x+6 （用含x的代数式表示）．2考点：多项式乘多项式．专题：计算题．分析：表示出矩形的长与宽，得出面积即可． 2解答：解：根据题意得：（x+3）（x+2）=x+5x+6， 2故答案为：x+5x+6．点评：此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12．（3分）（2021?吉林）如图，直线y=2x+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB 上，则点C′的坐标为（��1，2）．考点：一次函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质；坐标与图形变化-平移．分析：先求出直线y=2x+4与y轴交点B的坐标为（0，4），再由C在线段OB的垂直平分线上，得出C点纵坐标为2，将y=2代入y=2x+4，求得x=��1，即可得到C′的坐标为（��1，2）．解答：解：∵直线y=2x+4与y轴交于B点，∴y=0时，2x+4=0，解得x=��2，∴B（0，4）．∵以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，∴C在线段OB的垂直平分线上，∴C点纵坐标为2．将y=2代入y=2x+4，得2=2x+4，感谢您的阅读，祝您生活愉快。
2021年吉林省中考数学试卷和答案
2021年吉林省中考数学试卷一、单项选择题(每小题2分，共12分)1．（2分）化简﹣（﹣1）的结果为（）A．﹣1B．0C．1D．22．（2分）据《吉林日报》2021年5月14日报道，第一季度一汽集团销售整车70060辆，数据70060用科学记数法表示为（）A．7.006×103B．7.006×104C．70.06×103D．0.7006×104 3．（2分）不等式2x﹣1＞3的解集是（）A．x＞1B．x＞2C．x＜1D．x＜2 4．（2分）如图，粮仓可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，其主视图是（）A．B．C．D．5．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合），则∠APC的度数可能为（）A．30°B．45°C．50°D．65°6．（2分）古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的全部，加起来总共是33．若设这个数是x（）A．x+x+x＝33B．x+x+x＝33C．x+x+x+x＝33D．x+x+x﹣x＝33二、填空题(每小题3分，共24分)7．（3分）计算：﹣1＝．8．（3分）因式分解：m2﹣2m＝．9．（3分）计算：﹣＝．10．（3分）若关于x的一元二次方程x2+3x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为．11．（3分）如图，已知线段AB＝2cm，其垂直平分线CD的作法如下：（1）分别以点A和点B为圆心，bcm长为半径画弧，两弧相交于C；（2）作直线CD．上述作法中b满足的条作为b1．（填“＞”，“＜”或“＝”）12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3）（4，0），连接AB，若将△ABO绕点B顺时针旋转90°，则点A′的坐标为．13．（3分）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，它离地面的高度DE为0.6m，则坝高CF 为m．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2．以点C为圆心，CB长为半径画弧，AB于点D，E，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．三、解答题(每小题5分共20分)15．（5分）先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）﹣x（x﹣1）．16．（5分）第一盒中有1个白球、1个黑球，第二盒中有1个白球，2个黑球．这些球除颜色外无其他差别，用画树状图或列表的方法，求取出的2个球都是白球的概率．17．（5分）如图，点D在AB上，E在AC上，∠B＝∠C，求证：AD＝AE．18．（5分）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55km．其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4km．求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．四、解(每小27分,共28分)19．（7分）图①、图2均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点B均在格点上，在给定的网格中按要求画图（1）在图①中，以点A，B，C为顶点画一个等腰三角形；（2）在图②中，以点A，B，D，E为顶点画一个面积为3的平行四边形．20．（7分）2020年我国是全球主要经济体中唯一实现经济正增长的国家，各行各业蓬勃发展，其中快递业务保持着较快的增长．给出了快递业务的有关数据信息．2016﹣2017年快递业务量增长速度统计表年龄20162017201820192020增长速度51.4%28.0%26.6%25.3%31.2%说明：增长速度计算办法为：增长速度＝×100%根据图中信息，解答下列问题：（1）2016﹣2020年快递业务量最多年份的业务量是亿件．（2）2016﹣2020年快递业务量增长速度的中位数是．（3）下列推断合理的是（填序号）．①因为2016﹣2019年快递业务量的增长速度逐年下降，所以预估2021年的快递业务量应低于2020年的快递业务量；②因为2016﹣2020年快递业务量每年的增长速度均在25%以上．所以预估2021年快递业务量应在833.6×（1+25%）＝1042亿件以上．21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝，与反比例函数y＝在第一象限内的图象相交于点B（m，2）（1）求反比例函数的解析式；（2）求△ABC的面积．22．（7分）数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬44°，求北纬44°纬线的长度，小组成员查阅了相关资料（1）在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；（2）如图，⊙O是经过南、北极的圆，地球半径OA约为6400km．弦BC∥OA，连接OB．若∠AOB＝44°，则以BK为半径的圆的周长是北纬44°纬线的长度；（3）参考数据：π取3，sin44°＝0.69，cos44°＝0.72．小组成员给出了如下解答，请你补充完整：解：因为BC∥OA，∠AOB＝44°，所以∠B＝∠AOB＝44°（）（填推理依据），因为OK⊥BC，所以∠BKO＝90°，在Rt△BOK中，OB＝OA＝6400．BK＝OB×（填“sinB”或“cosB”）．所以北纬44°的纬线长C＝2π•BK．＝2×3×6400×（填相应的三角形函数值）≈（km）（结果取整数）．五、解答题(每小8分共16分)23．（8分）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，由于情况变化，接种速度放缓，乙地80天完成接种任务，在某段时间内（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示．（1）直接写出乙地每天接种的人数及a的值；（2）当甲地接种速度放缓后，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．24．（8分）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，点B的对应点为点F．（1）若AB＝a．直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；（2）若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，如②，判断四边形ADFC的形状；（3）若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．六.解答题(每小题10分,共20分)25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm cm．动点P从点A出发沿折线AB﹣BC向终点C运动，在边AB上以1cm/s的速度运动cm/s的速度运动，过点P作线段PQ与射线DC相交于点Q，连接PD，BD．设点P的运动时间为x（s）2）．（1）当点P与点A重合时，直接写出DQ的长；（2）当点P在边BC上运动时，直接写出BP的长（用含x的代数式表示）；（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，﹣），点B（1，）．（1）求此二次函数的解析式；（2）当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝x2+bx+c的最大值和最小值；（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，且线段PQ的长度随m的增大而减小．①求m的取值范围；②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y＝x2+bx+c（﹣2≤x＜）的图象交点个数及对应的m的取值范围．答案一、单项选择题(每小题2分，共12分)1．参考答案：﹣（﹣1）＝1，故选：C．点睛：本题考查去括号，解题关键是掌握去括号法则．2．参考答案：70060＝7.0060×104，故选：B．点睛：本题考查科学记数法，解题关键是熟练掌握用科学记数法表示较大的数．3．参考答案：2x﹣1＞5，2x＞3+8，2x＞4，x＞7．故选：B．点睛：本题考查解不等式，熟练掌握不等式的基本性质（1，不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号方向不变；2，不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变）是解题关键．4．参考答案：粮仓主视图上部视图为等腰三角形，下部视图为矩形．故选：A．点睛：本题考查简单几何体的三视图，解题关键是掌握主视图是从正面看到的图形．5．参考答案：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D＝180°，∵∠B＝120°，∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，∵∠APC为△PCD的外角，∴∠APC＞∠D，只有D满足题意．故选：D．点睛：本题考查圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补．6．参考答案：由题意可得x+x+x＝33．故选：C．点睛：本题考查列一元一次方程，解题关键是通过题干找出等量关系．二、填空题(每小题3分，共24分)7．参考答案：原式＝3﹣1＝8．故答案为：2．点睛：此题主要考查了实数运算，正确化简二次根式是解题关键．8．参考答案：m2﹣2m＝m（m﹣2）．故答案为：m（m﹣2）．点睛：本题考查因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解的各种方法．9．参考答案：﹣＝＝．故答案为：．点睛：本题考查分式的加减法，解题关键是熟练掌握分式运算的法则．10．参考答案：∵一元二次方程x2+3x+c＝7有两个相等的实数根，∴△＝32﹣8c＝0，解得c＝．故答案为：．点睛：本题考查根的判别式，解题关键是熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系．11．参考答案：∵AB＝2cm，∴半径b长度＞AB，即b＞1cm．故答案为：＞．点睛：本题考查线段的垂直平分线尺规作图法，解题关键是掌握线段垂直平分线的作图方法．12．参考答案：作AC⊥x轴于点C，由旋转可得∠O'＝90°，O'B⊥x轴，∴四边形O'BCA'为矩形，∴BC＝A'O'＝OA＝3，A'C＝O'B＝OB＝4，∴点A'坐标为（8，4）．故答案为：（7，8）．点睛：本题考查平面直角坐标系与图形旋转的性质，解题关键是通过添加辅助线求解．13．参考答案：如图，过C作CF⊥AB于F，∴，即，解得CF＝2.7，故答案为：2.5．点睛：本题考查了相似三角形应用，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质．14．参考答案：连接CE，∵∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，∵CE＝CB，∴△CBE为等边三角形，∴∠ECB＝60°，BE＝BC＝2，∴S扇形CBE＝＝π∵S△BCE＝BC2＝，∴阴影部分的面积为π﹣．故答案为：π﹣．点睛：本题考查扇形的面积与解直角三角形，解题关键是判断出三角形CBE为等边三角形与扇形面积的计算．三、解答题(每小题5分共20分)15．参考答案：（x+2）（x﹣2）﹣x（x﹣7）＝x2﹣4﹣x3+x＝x﹣4，当x＝时，原式＝．点睛：本题考查了整式的化简与求值，能熟记平方差公式和单项式乘以多项式法则是解此题的关键．16．参考答案：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有6种等可能出现的结果情况，其中两球都是白球的有1种，所以取出的3个球都是白球的概率为．答：取出的2个球都是白球的概率为．点睛：本题考查列表法求简单的等可能事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键．17．【解答】证明：在△ABE与△ACD中，，∴△ACD≌△ABE（ASA），∴AD＝AE（全等三角形的对应边相等）．点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角．18．参考答案：设港珠澳大桥隧道长度为xkm，桥梁长度为ykm．由题意列方程组得：．解得：答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.4km和5.9km．点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．四、解(每小27分,共28分)19．参考答案：（1）如图①中，△ABC即为所求（答案不唯一）．（2）如图②中，四边形ABDE即为所求．点睛：本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．20．参考答案：（1）由2016﹣2020年快递业务量统计图可知，2020年的快递业务量最多是833.6亿件，故答案为：833.6；（2）将2016﹣2020年快递业务量增长速度从小到大排列处在中间位置的一个数是28.3%，因此中位数是28.0%，故答案为：28.0%；（3）①2016﹣2019年快递业务量的增长速度下降，并不能说明快递业务量下降，只是增长的速度没有那么快；②因为2016﹣2020年快递业务量每年的增长速度均在25%以上．所以预估2021年快递业务量应在833.3×（1+25%）＝1042亿件以上；故答案为：②．点睛：本题考查条形统计图，中位数，样本估计总体，理解“增长率”“增长速度”“增长量”的意义及相互关系是正确判断的前提．21．参考答案：（1）∵B点是直线与反比例函数交点，∴B点坐标满足一次函数解析式，∴，∴m＝3，∴B（3，2），∴k＝6，∴反比例函数的解析式为；（2）∵BC⊥y轴，∴C（0，2），∴BC＝5，令x＝0，则y＝，∴A（5，﹣2），∴AC＝4，∴，∴△ABC的面积为8．点睛：本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，会用坐标求解析式，会用解析式求坐标是解决此题的基本要求，同时要注意在平面直角坐标系中如何利用坐标表示水平线段和竖直线段．22．参考答案：因为BC∥OA，∠AOB＝44°，所以∠B＝∠AOB＝44°（两直线平行，内错角相等）（填推理依据），因为OK⊥BC，所以∠BKO＝90°，在Rt△BOK中，OB＝OA＝6400．BK＝OB×cosB（填“sinB”或“cosB”）．所以北纬44°的纬线长C＝2π•BK．＝2×7×6400×0.72（填相应的三角形函数值）≈27648（km）（结果取整数）．故答案为：两直线平行，内错角相等；0.72．点睛：本题考查解直角三角形，解题关键是熟练三角函数的含义及解直角三角形的方法．五、解答题(每小8分共16分)23．参考答案：（1）乙地接种速度为40÷80＝0.5（万人/天），8.5a＝25﹣5，解得a＝40．（2）设y＝kx+b，将（40，（100，解得，∴y＝x+15（40≤x≤100）．（3）把x＝80代入y＝x+15得y＝，40﹣35＝5（万人）．点睛：本题考查一次函数的应用，解题关键是熟练掌握待定系数法求解．24．参考答案：（1）如图①，在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的中线，AB＝a，∴CD＝AB＝a．（2）四边形ADFC是菱形．理由如下：如图②∵DF⊥BC于点G，∴∠DGB＝∠ACB＝90°，∴DF∥AC；由折叠得，DF＝DB，∵DB＝AB，∴DF＝AB；∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣60°＝30°，∴AC＝AB，∴DF＝AC，∴四边形ADFC是平行四边形；∵AD＝AB，∴AD＝DF，∴四边形ADFC是菱形．（3）如图③，点F与点D在直线CE异侧，∵DF⊥AB，∴∠BDF＝90°；由折叠得，∠BDE＝∠FDE，∴∠BDE＝∠FDE＝∠BDF＝；如图④，点F与点D在直线CE同侧，∵DF⊥AB，∴∠BDF＝90°，∴∠BDE+∠FDE＝360°﹣90°＝270°，由折叠得，∠BDE＝∠FDE，∴∠BDE+∠BDE＝270°，∴∠BDE＝135°．综上所述，∠BDE＝45°或∠BDE＝135°．点睛：此题重点考查直角三角形的性质、轴对称的特征、平行四边形及特殊平行四边形的判定等知识与方法，在解第（3）题时，应进行分类讨论，解题的关键是准确地画出图形，以免丢解．六.解答题(每小题10分,共20分)25．参考答案：（1）如图，在Rt△PDQ中，AD＝，∴tan60°＝＝，∴DQ＝AD＝1．（2）点P在AB上运动时间为6÷1＝3（s），∴点P在BC上时PB＝（x﹣3）．（3）当0≤x≤7时，点P在AB上，PQ交AB于点E，同（1）可得MQ＝AD＝8．∴DQ＝DM+MQ＝AP+MQ＝x+1，当x+1＝5时x＝2，∴0≤x≤2时，点Q在DC上，∵tan∠BDC＝＝，∴∠DBC＝30°，∵∠PQD＝60°，∴∠DEQ＝90°．∵sin30°＝＝，∴EQ＝DQ＝，∵sin60°＝＝，∴EN＝EQ＝，∴y＝DQ•EN＝（x+6）＝6＝x5+x+．当2＜x≤7时，点Q在DC延长线上，如图，∵CQ＝DQ﹣DC＝x+1﹣3＝x﹣7，tan60°＝，∴CF＝CQ•tan60°＝（x﹣2），∴S△CQF＝CQ•CF＝（x﹣2）＝x2﹣5x+2，∴y＝S△DEQ﹣S△CQF＝x2+x+x2﹣2x+2x8+x ﹣．当8＜x≤4时，点P在BC上，∵CP＝CB﹣BP＝﹣（x﹣3）＝4﹣x，∴y＝DC•CP＝﹣x）＝6﹣．综上所述，y＝点睛：本题考查四边形综合应用，解题关键是熟练掌握矩形的性质及解直角三角形方法，通过数形结合求解．26．参考答案：（1）将A（0，﹣），点B（1，2+bx+c得：，解得，∴y＝x2+x﹣．（2）∵y＝x2+x﹣＝（x+）6﹣2，∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣．∴当x＝﹣时，y取最小值为﹣6，∵2﹣（﹣）＞﹣，∴当x＝6时，y取最大值22+5﹣＝．（3）①PQ＝|﹣2m+1﹣m|＝|﹣4m+1|，当﹣3m+7＞0时，PQ＝﹣3m+2，当﹣3m+1＜3时，PQ＝3m﹣1，∴﹣2m+1＞0满足题意，解得m＜．②∵0＜PQ≤8，∴0＜﹣3m+5≤7，解得﹣2≤m＜，如图，当x＝﹣时，PQ与图象有1交点，m增大过程中，﹣＜m＜，PQ与图象只有8个交点，直线x＝关于抛物线对称轴直线x＝﹣，∴﹣＜m＜﹣时，当﹣2≤m≤﹣时，PQ与图象有1个交点，综上所述，﹣2≤m≤﹣≤m时，﹣＜m＜﹣时．点睛：本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，将函数解析式配方，通过数形结合的方法求解．。
2021年吉林省长春市中考数学试题及答案清楚版
长春市2021年中考数学试题及答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1． 3的相反数是（ ）A ．﹣3B ．﹣13C ．13D ．3 2．据统计，2021年长春市接待旅游人数约67000000人次，67000000这个数用科学记数法表示为（ ）A ．67×106B ．6.7×105C ．6.7×107D ．6.7×1083．下列图形中，可以是正方体表面展开图的是（ ）4．不等式组10251x x -≤⎧⎨-<⎩的解集为（ ） A ．x ＜﹣2 B ．x ≤﹣1 C ．x ≤1 D ．x ＜35．如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，点E 在AC 上，DE ∥BC ．若∠A=62°，∠AED=54°，则∠B 的大小为（ ）A．54° B．62° C．64° D．74°6．如图，将边长为3a的正方两块正方形和两块长方形．若拿掉边长2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为（）A．3a+2b B．3a+4b C．6a+2b D．6a+4b7．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC=29°，过点C作⊙O的切线交OA的延长线于点D，则∠D的大小为（）A．29° B．32° C．42° D．58°8．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的极点A的坐标为（﹣4，0），极点B在第二象限，∠BAO=60°，BC交y轴于点D，DB：DC=3：1．若函数y=kx （k＞0，x＞0）的图象通过点C，则k的值为（）B C DA二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）9= ．10．若关于x的一元二次方程x2+4x+a=0有两个相等的实数根，则a的值是．11．如图，直线a∥b∥c，直与这三条平行线别离交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC=1：2，DE=3，则EF的长为．12．如图，则△ABC中，∠BAC=100°，AB=AC=4，以点B为圆心，BA长为半径作圆弧，交BC于点D，则的长为．（结果保留π）13．如图①，这个图案是我国汉解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示用意如图②，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF=2，DE=8，则AB的长网14．如图，在系中，△ABC的极点A在第一象限，点B，C的坐标为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交x轴于点P．若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点A'的坐标为．三、解答题（本大题共10小题，共78分.解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.）15．先化简，再求值：3a（a2+2a+1）﹣2（a+1）2，其中a=2．16．一个不透明的口袋中有面别离标有字母a，b，c，每一个小球除字母不同外其余均相同，小园同窗从口袋中随机摸出一个小球，记下字母后放回且搅匀，再从可口袋中随机摸出一个小球记下字母．用画树状图（或列表）的方式，求小园同窗两次摸出的小球上的字母相同的概率．17．如图，某商店营业AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．（结果精准到0.1米）（参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60）18．某校为了丰硕学生动，购买了排球和跳绳．已知排球的单价是跳绳的单价的3倍，购买跳绳共花费750元，购买排球共花费900元，购买跳绳的数量比购买排球的数量多30个，求跳绳的单价．19．如图，在中，∠A=110°，点E是菱形ABCD内一点，连结CE绕点C顺时针旋转110°，取得线段CF，连结BE，DF，若∠E=86°，求∠F的度数．20．某校八了解今年级600名学生的睡眠情况，将同窗们某天的睡眠时长t（小时）分为A，B，C，D，E（A：9≤t≤24；B：8≤t＜9；C：7≤t＜8；D：6≤t＜7；E：0≤t＜6）五个选项，进行了一次问卷调查，随机抽取n名同窗的调查问卷并进行了整理，绘制成如下条形统计图，按照统计图提供的信息解答下列问题：（1）求n的值；（2）按照统计结果，估量该年级600名学生中睡眠时长不足7小时的人数．21．甲、乙两车间同时开始．从幵始加工到加工完这批服装甲车间工作了9小时，乙车间在半途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y （件）．甲车间加工的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示．（1）甲车间每小时加工服装件数为件；这批服装的总件数为件．（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；（3）求甲、乙两车间一路加工完1000件服装时甲车间所用的时间．22．【再现】如图①，在△ABC中，点D，E别离是AB，AC的中点，可以取得：BC．（不需要证明）DE∥BC，且DE=12【探讨】如图②，在四边形ABCD中，点E，F，G，H别离是AB，BC，CD，DA 的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明．【应用】在（1）【探讨】的条件下，四边形ABCD中，知足什么条件时，四边形EFGH 是菱形？你添加的条件是：．（只添加一个条件）（2）如图③，在四边形AB，F，G，H别离是AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC，BD相交于点O．若AO=OC，四边形ABCD面积为5，则阴影部份图形的面积和为．23．如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，点P从点A起身，沿折线AB﹣BC向终点C运动，在AB上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC上以每秒个单位长度的速度3个单位长度的速度运动，点Q从点C起身，沿CA方向以每秒43运动，P，Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．（1）求线段AQ的长；（用含t的代数式表示）（2）连结PQ，当PQ与△ABC的一边平行时，求t的值；（3）如图②，过点C于点E，以PE，EQ为邻边作矩形PEQF，点D为AC的中点，连结DF．设矩形PEQF与△ABC重叠部份图形的面积为S．①当点Q在线段CD上运动时，求S与t之间的函数关系式；②直接写出DF将矩形PEQF分成两部份的面积比为1：2时t的值．24．概念：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，咱们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它们的相关函数为y=()()1010x xx x-+<⎧⎪⎨-≥⎪⎩．（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；（2）已知二次函数y=﹣x2+4x﹣12．①当点B（m，32）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2+4x﹣12的相关函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐标系中，点M，N的坐标别离为（﹣12，1），（92，1}），连结MN．直接写出线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围．24.。
吉林省长春市2021年中考数学试题(word,含解析)(Word最新版)
吉林省长春市2021年中考数学试题（word，含解析）通过整理的吉林省长春市2021年中考数学试题（word，含解析）相关文档，渴望对大家有所扶植，感谢观看！2021年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3.00分）﹣的确定值是（）A．﹣B．C．﹣5 D．5 2．（3.00分）长春市奥林匹克公园即将于2021年年底建成，它的总投资额约为2500000000元，2500000000这个数用科学记数法表示为（）A．0.25×1010 B．2.5×1010 C．2.5×109 D．25×108 3．（3.00分）下列立体图形中，主视图是圆的是（）A．B．C．D．4．（3.00分）不等式3x﹣6≥0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．（3.00分）如图，在△ABC 中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（）A．44° B．40° C．39° D．38° 6．（3.00分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺7．（3.00分）如图，某地修建高速马路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地动身，垂直上升800米到达C处，在C处视察B 地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（）A．800sinα米B．800tanα米C．米D．米8．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC=90°，CA⊥x轴，点C在函数y=（x＞0）的图象上，若AB=2，则k的值为（）A．4 B．2 C．2 D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3.00分）比较大小：3．（填“＞”、“=”或“＜”）10．（3.00分）计算：a2•a3= ．11．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，3）、（n，3），若直线y=2x与线段AB有公共点，则n的值可以为．（写出一个即可）12．（3.00分）如图，在△ABC中，AB=AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A=32°，则∠CDB的大小为度．13．（3.00分）如图，在▱ABCD中，AD=7，AB=2，∠B=60°．E是边BC上随意一点，沿AE剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为．14．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A．点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上．过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C．若点A′的横坐标为1，则A′C的长为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6.00分）先化简，再求值：+，其中x=﹣1．16．（6.00分）剪纸是中国传统的民间艺术，它画面精致，风格独特，深受大家宠爱，现有三张不透亮的卡片，其中两张卡片的正面图案为“金鱼”，另外一张卡片的正面图案为“蝴蝶”，卡片除正面剪纸图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面对上洗匀从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的概率．（图案为“金鱼”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“蝴蝶”的卡片记为B）17．（6.00分）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段OM、ON的端点均在格点上．在图①、图②给定的网格中以OM、ON为邻边各画一个四边形，使第四个顶点在格点上．要求：（1）所画的两个四边形均是轴对称图形．（2）所画的两个四边形不全等．18．（7.00分）学校打算添置一批课桌椅，原支配订购60套，每套100元，店方表示：假如多购，可以实惠．结果校方实际订购了72套，每套减价3元，但商店获得了同样多的利润．（1）求每套课桌椅的成本；（2）求商店获得的利润．19．（7.00分）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D．已知⊙O 的半径为6，∠C=40°．（1）求∠B的度数．（2）求的长．（结果保留π）20．（7.00分）某工厂生产部门为了解本部门工人的生产实力状况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：20 21 19 16 27 18 31 29 21 22 25 20 19 22 35 33 19 17 18 29 18 35 22 15 18 18 31 31 19 22 整理上面数据，得到条形统计图：样本数据的平均数、众数、中位数如下表所示：统计量平均数众数中位数数值23 m 21 依据以上信息，解答下列问题：（1）上表中众数m的值为；（2）为调动工人的主动性，该部门依据工人每天加工零件的个数制定了嘉奖标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得嘉奖．假如想让一半左右的工人能获奖，应依据来确定嘉奖标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）（3）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手．若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．21．（8.00分）某种水泥储存罐的容量为25立方米，它有一个输入口和一个输出口．从某时刻起先，只打开输入口，匀速向储存罐内注入水泥，3分钟后，再打开输出口，匀速向运输车输出水泥，又经过2.5分钟储存罐注满，关闭输入口，保持原来的输出速度接着向运输车输出水泥，当输出的水泥总量达到8立方米时，关闭输出口．储存罐内的水泥量y（立方米）与时间x（分）之间的部分函数图象如图所示．（1）求每分钟向储存罐内注入的水泥量．（2）当3≤x≤5.5时，求y与x之间的函数关系式．（3）储存罐每分钟向运输车输出的水泥量是立方米，从打开输入口到关闭输出口共用的时间为分钟．22．（9.00分）在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E 不与点C、D重合），连结BE．【感知】如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F．易证△ABF≌△BCE．（不须要证明）【探究】如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G．（1）求证：BE=FG．（2）连结CM，若CM=1，则FG的长为．[来源:学科网] 【应用】如图③，取BE的中点M，连结CM．过点C作CG⊥BE 交AD于点G，连结EG、MG．若CM=3，则四边形GMCE的面积为．23．（10.00分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，动点P从点A动身，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A、B重合），作∠DPQ=60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示线段DC的长；（2）当点Q与点C重合时，求t的值；（3）设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（4）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，干脆写出t的值．24．（12.00分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数y=﹣x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数y=﹣x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2，其中m 是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L．（1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值；（2）求L与m之间的函数关系式；（3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；（4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当≤y0≤9时，干脆写出L的取值范围．2021年吉林省长春市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3.00分）﹣的确定值是（）A．﹣B．C．﹣5 D．5 【分析】计算确定值要依据确定值的定义求解，第一步列出确定值的表达式，其次步依据确定值定义去掉这个确定值的符号．【解答】解：||=，故选：B．【点评】本题主要考查了确定值的定义，确定值规律总结：一个正数的确定值是它本身；一个负数的确定值是它的相反数；0的确定值是0，比较简洁．2．（3.00分）长春市奥林匹克公园即将于2021年年底建成，它的总投资额约为2500000000元，2500000000这个数用科学记数法表示为（）A．0.25×1010 B．2.5×1010 C．2.5×109 D．25×108 【分析】利用科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n 的确定值与小数点移动的位数相同．当原数确定值＞10时，n是正数；当原数的确定值＜1时，n是负数．【解答】解：2500000000用科学记数法表示为2.5×109．故选：C．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3.00分）下列立体图形中，主视图是圆的是（）A．B．C．D．【分析】依据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：A、圆锥的主视图是三角形，故A不符合题意；B、圆柱的柱视图是矩形，故B错误；C、圆台的主视图是梯形，故C错误；D、球的主视图是圆，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了简洁几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．4．（3.00分）不等式3x﹣6≥0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【解答】解：3x﹣6≥0，3x≥6，x≥2，在数轴上表示为，故选：B．【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能求出不等式的解集是解此题的关键．5．（3.00分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（）A．44° B．40° C．39° D．38° 【分析】依据三角形内角和得出∠ACB，利用角平分线得出∠DCB，再利用平行线的性质解答即可．【解答】解：∵∠A=54°，∠B=48°，∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°，∵CD平分∠ACB交AB 于点D，∴∠DCB=78°=39°，∵DE∥BC，∴∠CDE=∠DCB=39°，故选：C．【点评】此题考查三角形内角和问题，关键是依据三角形内角和、角平分线的定义和平行线的性质解答．6．（3.00分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺【分析】依据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．【解答】解：设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，∴，解得x=45（尺）．故选：B．【点评】本题考查的是相像三角形的应用，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．7．（3.00分）如图，某地修建高速马路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地动身，垂直上升800米到达C处，在C处视察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（）A．800sinα米B．800tanα米C．米D．米【分析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，依据tanα=，即可解决问题；【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，∴tanα=，∴AB==．故选：D．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是娴熟驾驭基本学问，属于中考常考题型．8．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC=90°，CA⊥x 轴，点C在函数y=（x＞0）的图象上，若AB=2，则k的值为（）A．4 B．2 C．2 D．【分析】作BD⊥AC于D，如图，先利用等腰直角三角形的性质得到AC=AB=2，BD=AD=CD=，再利用AC⊥x轴得到C （，2），然后依据反比例函数图象上点的坐标特征计算k的值．【解答】解：作BD⊥AC于D，如图，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=AB=2，∴BD=AD=CD=，∵AC⊥x轴，∴C（，2），把C（，2）代入y=得k=×2=4．故选：A．[来源:学.科.网Z.X.X.K] 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k 为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了等腰直角三角形的性质．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3.00分）比较大小：＞3．（填“＞”、“=”或“＜”）【分析】先求出3=，再比较即可．【解答】解：∵32=9＜10，∴＞3，故答案为：＞．【点评】本题考查了实数的大小比较和算术平方根的应用，用了把根号外的因式移入根号内的方法．10．（3.00分）计算：a2•a3=a5．【分析】依据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可．【解答】解：a2•a3=a2+3=a5．故答案为：a5．【点评】娴熟驾驭同底数的幂的乘法的运算法则是解题的关键．11．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，3）、（n，3），若直线y=2x与线段AB有公共点，则n的值可以为2．（写出一个即可）【分析】由直线y=2x与线段AB有公共点，可得出点B在直线上或在直线右下方，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围，在其内任取一数即可得出结论．【解答】解：∵直线y=2x与线段AB有公共点，∴2n≥3，∴n≥．故答案为：2．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于n的一元一次不等式是解题的关键．12．（3.00分）如图，在△ABC中，AB=AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A=32°，则∠CDB的大小为37度．【分析】依据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理在△ABC中可求得∠ACB=∠ABC=74°，依据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质在△BCD中可求得∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°．【解答】解：∵AB=AC，∠A=32°，∴∠ABC=∠ACB=74°，又∵BC=DC，∴∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°．故答案为：37．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，驾驭等边对等角是解题的关键，留意三角形内角和定理的应用．13．（3.00分）如图，在▱ABCD中，AD=7，AB=2，∠B=60°．E是边BC上随意一点，沿AE 剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为20．【分析】当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，利用直角三角形的性质解答即可．【解答】解：当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，∵AE⊥BC，AB=2，∠B=60°．∴AE=3，BE=，∵△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，∴EF=BC=AD=7，∴四边形AEFD周长的最小值为：14+6=20，故答案为：20 【点评】此题考查平移的性质，关键是依据当AE⊥BC 时，四边形AEFD的周长最小进行分析．14．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A．点B 是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上．过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C．若点A′的横坐标为1，则A′C的长为3．【分析】解方程x2+mx=0得A（﹣m，0），再利用对称的性质得到点A的坐标为（﹣1，0），所以抛物线解析式为y=x2+x，再计算自变量为1的函数值得到A′（1，2），接着利用C点的纵坐标为2求出C点的横坐标，然后计算A′C的长．【解答】解：当y=0时，x2+mx=0，解得x1=0，x2=﹣m，则A（﹣m，0），∵点A关于点B的对称点为A′，点A′的横坐标为1，∴点A的坐标为（﹣1，0），∴抛物线解析式为y=x2+x，当x=1时，y=x2+x=2，则A′（1，2），当y=2时，x2+x=2，解得x1=﹣2，x2=1，则C（﹣2，1），∴A′C的长为1﹣（﹣2）=3．故答案为3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6.00分）先化简，再求值：+，其中x=﹣1．【分析】依据分式的加法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：+ = = = =x+1，当x=﹣1时，原式=﹣1+1=．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．16．（6.00分）剪纸是中国传统的民间艺术，它画面精致，风格独特，深受大家宠爱，现有三张不透亮的卡片，其中两张卡片的正面图案为“金鱼”，另外一张卡片的正面图案为“蝴蝶”，卡片除正面剪纸图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面对上洗匀从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的概率．（图案为“金鱼”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“蝴蝶”的卡片记为B）【分析】列表得出全部等可能结果，然后依据概率公式列式计算即可得解【解答】解：列表如下：A1 A2 B A1 （A1，A1）（A2，A1）（B，A1）A2 （A1，A2）（A2，A2）（B，A2）B （A1，B）（A2，B）（B，B）由表可知，共有9种等可能结果，其中抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的4种结果，所以抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的概率为．【点评】本题考查了列表法和树状图法，用到的学问点为：概率=所求状况数与总状况数之比．17．（6.00分）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段OM、ON的端点均在格点上．在图①、图②给定的网格中以OM、ON为邻边各画一个四边形，使第四个顶点在格点上．要求：（1）所画的两个四边形均是轴对称图形．（2）所画的两个四边形不全等．【分析】利用轴对称图形性质，以及全等四边形的定义推断即可．【解答】解：如图所示：【点评】此题考查了作图﹣轴对称变换，以及全等三角形的判定，娴熟驾驭各自的性质是解本题的关键．18．（7.00分）学校打算添置一批课桌椅，原支配订购60套，每套100元，店方表示：假如多购，可以实惠．结果校方实际订购了72套，每套减价3元，但商店获得了同样多的利润．（1）求每套课桌椅的成本；（2）求商店获得的利润．【分析】（1）设每套课桌椅的成本为x元，依据利润=销售收入﹣成本结合商店获得的利润不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）依据总利润=单套利润×销售数量，即可求出结论．【解答】解：（1）设每套课桌椅的成本为x元，依据题意得：60×100﹣60x=72×（100﹣3）﹣72x，解得：x=82．答：每套课桌椅的成本为82元．（2）60×（100﹣82）=1080（元）．答：商店获得的利润为1080元．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）依据数量关系，列式计算．19．（7.00分）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D．已知⊙O的半径为6，∠C=40°．（1）求∠B的度数．（2）求的长．（结果保留π）【分析】（1）依据切线的性质求出∠A=90°，依据三角形内角和定理求出即可；（2）依据圆周角定理求出∠AOD，依据弧长公式求出即可．【解答】解：（1）∵AC切⊙O于点A，∠BAC=90°，∵∠C=40°，∴∠B=50°；（2）连接OD，∵∠B=50°，∴∠AOD=2∠B=100°，∴的长为=π．【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、弧长公式等学问点能娴熟地运用学问点进行推理和计算是解此题的关键．20．（7.00分）某工厂生产部门为了解本部门工人的生产实力状况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：20 21 19 16 27 18 31 29 21 22 25 20 19 22 35 33 19 17 18 29 18 35 22 15 18 18 31 31 19 22 整理上面数据，得到条形统计图：样本数据的平均数、众数、中位数如下表所示：统计量平均数众数中位数数值23 m 21 依据以上信息，解答下列问题：（1）上表中众数m的值为18；（2）为调动工人的主动性，该部门依据工人每天加工零件的个数制定了嘉奖标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得嘉奖．假如想让一半左右的工人能获奖，应依据中位数来确定嘉奖标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）（3）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手．若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．【分析】（1）依据条形统计图中的数据可以得到m的值；（2）依据题意可知应选择中位数比较合适；（3）依据统计图中的数据可以计该部门生产能手的人数．【解答】解：（1）由图可得，众数m的值为18，故答案为：18；（2）由题意可得，假如想让一半左右的工人能获奖，应依据中位数来确定嘉奖标准比较合适，故答案为：中位数；[来源:学§科§网] （3）300×=100（名），答：该部门生产能手有100名工人．【点评】本题考查条形统计图、用样本估计总体、加权平均数、中位数和众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21．（8.00分）某种水泥储存罐的容量为25立方米，它有一个输入口和一个输出口．从某时刻起先，只打开输入口，匀速向储存罐内注入水泥，3分钟后，再打开输出口，匀速向运输车输出水泥，又经过2.5分钟储存罐注满，关闭输入口，保持原来的输出速度接着向运输车输出水泥，当输出的水泥总量达到8立方米时，关闭输出口．储存罐内的水泥量y（立方米）与时间x（分）之间的部分函数图象如图所示．（1）求每分钟向储存罐内注入的水泥量．（2）当3≤x≤5.5时，求y与x之间的函数关系式．（3）储存罐每分钟向运输车输出的水泥量是1立方米，从打开输入口到关闭输出口共用的时间为11分钟．【分析】（1）体积变更量除以时间变更量求出注入速度；（2）依据题目数据利用待定系数法求解；（3）由（2）比例系数k=4即为两个口同时打开时水泥储存罐容量的增加速度，则输出速度为5﹣4=1，再依据总输出量为8求解即可．【解答】解：（1）每分钟向储存罐内注入的水泥量为15÷3=5分钟；（2）设y=kx+b（k≠0）把（3，15）（5.5，25）代入解得∴当3≤x≤5.5时，y与x之间的函数关系式为y=4x+3 （3）由（2）可知，输入输出同时打开时，水泥储存罐的水泥增加速度为4立方米/分，则每分钟输出量为5﹣4=1立方米；只打开输出口前，水泥输出量为5.5﹣3=2.5立方米，之后达到总量8立方米需需输出8﹣2.5=5.5立方米，用时5.5分钟∴从打开输入口到关闭输出口共用的时间为：5.5+5.5=11分钟故答案为：1，11[来源:学科网] 【点评】本题为一次函数实际应用问题，考查了一次函数的图象性质以及在实际问题中比例系数k代表的意义．22．（9.00分）在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连结BE．【感知】如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F．易证△ABF≌△BCE．（不须要证明）【探究】如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G．（1）求证：BE=FG．（2）连结CM，若CM=1，则FG的长为2．【应用】如图③，取BE的中点M，连结CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG、MG．若CM=3，则四边形GMCE的面积为9．【分析】感知：利用同角的余角相等推断出∠BAF=∠CBE，即可得出结论；探究：（1）推断出PG=BC，同感知的方法推断出△PGF≌CBE，即可得出结论；（2）利用直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，应用：借助感知得出结论和直角三角形斜边的中线是斜边的一半即可得出结论．【解答】解：感知：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠BCE=∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠BAF=∠CBE，在△ABF和△BCE中，，∴△ABF≌△BCE（ASA）；探究：（1）如图②，过点G作GP⊥BC于P，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°，∴四边形ABPG是矩形，∴PG=AB，∴PG=BC，同感知的方法得，∠PGF=∠CBE，在△PGF 和△CBE中，，∴△PGF≌△CBE（ASA），∴BE=FG，（2）由（1）知，FG=BE，连接CM，∵∠BCE=90°，点M是BE的中点，∴BE=2CM=2，∴FG=2，故答案为：2．应用：同探究（2）得，BE=2ME=2CM=6，∴ME=3，同探究（1）得，CG=BE=6，∵BE⊥CG，∴S四边形CEGM=CG×ME=×6×3=9，故答案为9．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，推断出CG=BE是解本题的关键．23．（10.00分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，动点P从点A动身，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A、B重合），作∠DPQ=60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示线段DC的长；（2）当点Q与点C重合时，求t的值；（3）设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（4）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，干脆写出t的值．【分析】（1）先求出AC，用三角函数求出AD，即可得出结论；（2）利用AD+DQ=AC，即可得出结论；（3）分两种状况，利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论；（4）分三种状况，利用锐角三角函数，即可得出结论．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=4，∴AC=2，∵PD⊥AC，∴∠ADP=∠CDP=90°，在Rt△ADP中，AP=2t，∴DP=t，AD=APcosA=2t×=t，∴CD=AC﹣AD=2﹣t（0＜t＜2）；（2）在Rt△PDQ中，∵∠DPC=60°，∴∠PQD=30°=∠A，∴PA=PQ，∵PD⊥AC，∴AD=DQ，∵点Q和点C重合，∴AD+DQ=AC，∴2×t=2，∴t=1；（3）当0＜t≤1时，S=S△PDQ=DQ×DP=×t×t=t2；当1＜t＜2时，如图2，CQ=AQ﹣AC=2AD﹣AC=2t﹣2=2（t﹣1），在Rt△CEQ中，∠CQE=30°，∴CE=CQ•tan∠CQE=2（t﹣1）×=2（t﹣1），∴S=S△PDQ﹣S△ECQ=×t×t﹣×2（t﹣1）×2（t﹣1）=﹣t2+4t﹣2，∴S=；（4）当PQ的垂直平分线过AB的中点F时，如图3，∴∠PGF=90°，PG=PQ=AP=t，AF=AB=2，[来源:] ∵∠A=∠AQP=30°，∴∠FPG=60°，∴∠PFG=30°，∴PF=2PG=2t，∴AP+PF=2t+2t=2，∴t=；当PQ的垂直平分线过AC的中点M时，如图4，∴∠QMN=90°，AN=AC=，QM=PQ=AP=t，在Rt△NMQ中，NQ==t，∵AN+NQ=AQ，∴+t=2t，∴t=，当PQ的垂直平分线过BC的中点时，如图5，∴BF=BC=1，PE=PQ=t，∠H=30°，∵∠ABC=60°，∴∠BFH=30°=∠H，∴BH=BF=1，在Rt△PEH中，PH=2PE=2t，∴AH=AP+PH=AB+BH，∴2t+2t=5，∴t=，即：当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，t的值为秒或秒或秒．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直平分线的性质，正确作出图形是解本题的关键．24．（12.00分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数y=﹣x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数y=﹣x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L．（1）当点A 的横坐标为﹣1时，求m的值；（2）求L与m之间的函数关系式；（3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；（4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当≤y0≤9时，干脆写出L的取值范围．【分析】（1）求出点B坐标利用待定系数法即可解决问题；（2）利用对称轴公式，求出BE的长即可解决问题；（3）由G2与矩形ABCD恰好有两个公共点，推出抛物线G2的顶点M（﹣m，m2﹣1）在线段AE上，利用待定系数法即可解决问题；（4）分两种情形探讨求解即可；【解答】解：（1）由题意E（0，1），A （﹣1，1），B（1，1）把B（1，1）代入y=﹣x2+mx+1中，得到1=﹣+m+1，∴m=．（2）∵抛物线G1的对称轴x=﹣=m，∴AE=ED=2m，∵矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，∴AD=BC=4m，AB=CD=2，∴L=8m+4．（3）∵当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点，∴抛物线G2的顶点M（﹣m，m2﹣1）在线段AE上，∴m2﹣1=1，∴m=2或﹣2（舍弃），∴L=8×2+4=20．（4）①当最高点是抛物线G1的顶点N（m，m2+1）时，若m2+1=，解得m=1或﹣1（舍弃），若m2+1=9时，m=4或﹣4（舍弃），又∵m≤2，视察图象可知满足条件的m的值为1≤m≤2，②当（2，2m﹣1）是最高点时，，解得2≤m≤5，综上所述，1≤m≤5，∴12≤L≤44．【点评】本题考查二次函数综合题、矩形的性质、待定系数法、不等式组等学问，解题的关键是理解题意，机敏运用所学学问解决问题，学会用分类探讨的思想思索问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．。