全国统考2022版高考数学大一轮备考复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第2讲函数的基本性质课件文
高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.
解析答案
命题点2 函数零点个数的判断
例 2 (1)函数 f(x)＝x22x－－26，＋xl≤n x0，，x>0 的零点个数是_2__. 解析 当 x≤0 时，令 x2-2＝0，解得 x＝－ 2(正根舍去)，
所以在(－∞，0]上有一个零点. 当 x>0 时，f′(x)＝2＋1x>0 恒成立， 所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数. 又因为f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0， 所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点， 综上，函数f(x)的零点个数为2.
①(0,1)
②(1,2)
③(2,4)
④(4，＋∞)
解析 因为 f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4) ＝32－log24＝－12<0， 所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4).
解析答案
(2)函数
f
x
＝x
12－
1 2
x
的零点个数为____.
解析答案
(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x， 则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是_4__. 解析 由题意知，f(x)是周期为2的偶函数. 在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如图： 观察图象可以发现它们有4个交点， 即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点.
解析答案
题型二 函数零点的应用
(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有
且只有一个零点.( √ )
2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第2章 函数的概念及其表示
解析 ∵f(x)－2f 1x＝2x，
①
以1x代替①中的 x，得 f 1x－2f(x)＝2x，
②
①＋②×2 得－3f(x)＝2x＋4x，
∴f(x)＝－23x－34x.
题型三 分段函数
命题点1 求分段函数的函数值
例 2 已知 f(x)＝cfoxs－π1x，＋x1≤，1x，>1， 则 f 43＋f －43的值为
ZHUGANSHULI JICHULUOSHI
知识梳理
1.函数的概念 一般地，设A，B是非空的 数集 ，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合 A中的任意一个数x在集合B中都有 唯一确定 的数f(x)和它对应，那么就称f： A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2.函数的定义域、值域 (1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 定义域 ； 与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 值域 . (2)如果两个函数的 定义域 相同，并且 对应关系 完全一致，我们就称这两个函 数相等.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
4.如图，△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是 四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB 于点Q，设AP＝x(0<x<2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ(或APQD) 的面积为y，则函数y＝f(x)的大致图象是
(2)设函数 f(x)＝x2＋x，1x，>0x，≤0， 则满足 f(x)＋f x－12>1 的 x 的取值范围 是__－__14_，__＋__∞__ .
解析
当
x>12时，2x＋2
2022届高考一轮复习第2章函数的概念及基本初等函数ⅰ第2节函数的单调性与最值课时跟踪检测理含解
第二章 函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)第二节 函数的单调性与最值A 级·基础过关 |固根基|1.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析：选A 函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上是增函数． 2．如果函数f(x)＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 解析：选D 当a ＝0时，f(x)＝2x －3在定义域R 上单调递增，故在(－∞，4)上单调递增； 当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x ＝－1a ，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增， 所以a<0，且－1a ≥4，解得－14≤a<0.综上，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0.3．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 解析：选D 因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13， 所以0≤2x－1<13，解得12≤x<23.4．设偶函数f(x)的定义域为R ，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f(－3)>f(－2)B ．f (π)>f(－2)>f(－3)C ．f (π)<f(－3)<f(－2)D ．f (π)<f(－2)<f(－3) 解析：选A 因为f(x)是偶函数， 所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)． 又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数， 所以f(π)>f(3)>f(2)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．5．函数y ＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则函数g(x)＝f(log a x)(0<a<1)的单调递减区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 B ．[a ，1] C ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D ．[a ，a ＋1 ]解析：选B 由图象，知f(x)在(－∞，0)和⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，而在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上单调递增．又因为当0<a<1时，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的减函数，所以要使g(x)＝f(log a x)单调递减，则需log a x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，即0≤log a x ≤12，解得x∈[a ，1]．6．定义新运算⊕：当a≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a<b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f(x)＝(1⊕x)x －(2⊕x)，x∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由已知得，当－2≤x≤1时，f(x)＝x －2； 当1<x≤2时，f(x)＝x 3－2.因为f(x)＝x 3－2，f(x)＝x －2在定义域内都为增函数，且f(1)<f(2)， 所以f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.7．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x≥1，2x ，x<1的值域为________．解析：当x≥1时，log 12x≤0；当x<1时，0<2x<2，故f(x)的值域为(0，2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．答案：(－∞，2)8．函数f(x)＝x ＋2x －1 的值域为________． 解析：由2x －1≥0，得x≥12，∴函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 又函数f(x)＝x ＋2x －1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，∴当x ＝12时，函数取最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，∴函数f(x)的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞9．已知f(x)＝xx －a(x≠a)． (1)若a ＝－2，证明：f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任取x 1<x 2<－2， 当a ＝－2时，f(x 1)－f(x 2)＝ x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）. ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， ∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增．(2)任取1<x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）.∵a>0，x 2－x 1>0，∴要使f(x 1)－f(x 2)>0，只需(x 1－a)(x 2－a)>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1.综上所述知a 的取值范围是(0，1]．10．(2019届福建师大附中模拟)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足下面三个条件： ①对任意正数a ，b ，都有f(a)＋f(b)＝f(ab)； ②当x>1时，f(x)<0； ③f(2)＝－1. (1)求f(1)的值；(2)用单调性的定义证明：函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数； (3)求满足f(3x －1)>2的x 的取值集合．解：(1)由f(a)＋f(b)＝f(ab)，得f(1)＋f(1)＝f(1)，则f(1)＝0. (2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，则f(x 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1＝f(x 2)，所以f(x 2)－f(x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1. 由x 2x 1>1，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1<0，即f(x 2)<f(x 1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数.(3)∵f(2)＝－1，∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝－2，又f(4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f(1)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝2.又f(x)的定义域为(0，＋∞)，且在其上是减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －1<14，3x －1>0，解得13<x<512. 故满足要求的x 的取值集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，512.B 级·素养提升 |练能力|11.设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝a x在R 上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若函数f(x)＝a x在R 上为减函数，则有0<a<1；若函数g(x)＝(2－a)x 3在R 上为增函数，则有2－a>0，即a<2，所以“函数f(x)＝a x在R 上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件，故选A ．12．已知在函数f(x)＝lg(a x－b x)＋x 中，常数a ，b 满足a>1>b>0，且a ＝b ＋1，那么f(x)>1的解集为( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(1，10)D ．(10，＋∞) 解析：选B 由a x－b x>0，a>1>b>0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x>1，解得x>0，所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为a>1>b>0，所以y ＝a x单调递增，y ＝－b x单调递增，所以t ＝a x－b x单调递增．又y ＝lg t 单调递增，所以f(x)＝lg(a x－b x)＋x 为(0，＋∞)上的增函数．而f(1)＝lg(a －b)＋1＝lg 1＋1＝1，所以当x>1时，f(x)>1，故f(x)>1的解集为(1，＋∞)．故选B ．13．如果函数y ＝f(x)在区间I 上是增函数，且函数y ＝f （x ）x 在区间I 上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f(x)＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )A ．[1，＋∞)B ．[0，3]C ．[0，1]D ．[1，3]解析：选D 因为函数f(x)＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数．又当x≥1时，f （x ）x ＝12x ＋32x －1，令g(x)＝12x ＋32x －1(x≥1)，则g′(x)＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g′(x)≤0，得1≤x ≤3，即函数f （x ）x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3]．故选D ． 14．定义运算：x y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，xy≥0，y ，xy<0，例如：34＝3，(－2)4＝4，则函数f(x)＝x2(2x －x 2)的最大值为________．解析：由已知，得f(x)＝x2(2x －x 2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x 2（2x －x 2）≥0，2x －x 2，x 2（2x －x 2）<0＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x≤2，2x －x 2，x<0或x>2，易知函数f(x)的最大值为4. 答案：4。
高考数学一轮总复习 第2章 函数的概念与基本初等函数 第二节 函数的基本性质课件(理)
奇偶性
定义
图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 偶函数 都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数f(x)是偶 关于
y轴
对
称
函数
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数f(x)是奇 关于
原点
对
称
函数
2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使 得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝ f(x) ，那么就 称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最 小的正数，那么这个 最小 正数就叫做f(x)的最小正周期.
数f(x)在区间D上是减函数
(2)单调性、单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是增函数或 减函数 ，则称函数f(x)在这 一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间. 2.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有 f(x)≤M ；
2
减函数，故 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1).故选 C.
答案 C [点评] 判断函数的单调性，应首先求出函数的定义域，在定
义域内求解.
函数的奇偶性解题方略 奇偶性的判断 (1)定义法
答案 [－2，＋∞)
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.
(2)[函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示，：可
以 用 逗 号 或 “ 和 ”] 函 数
f(x)
＝xBiblioteka ＋1 x的
单
调
递
增
2022届高考数学一轮复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第2讲函数的基本性质课件新人教版
考点1 函数的单调性与最值
考点1 函数的单调性与最值
2.函数的最值
考点2 函数的奇偶性
函数奇偶性的概念及性质
注意 既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f()=0,∈D.其中定义域D是关
于原点对称的非空数集.
考点2 函数的奇偶性
规律总结 一些重要类型的奇偶函数
考点2 函数的奇偶性
考点3 函数的周期性
考法3 求函数的最值(值域)
考法3 求函数的最值(值域)
考法3 求函数的最值(值域)
考法3 求函数的最值(值域)
考法3 求函数的最值(值域)
考法3 求函数的最值(值域)
图2-2-1
考法3 求函数的最值(值域)
考法3 求函数的最值(值域)
考法3 求函数的最值(值域)
考法3 求函数的最值(值域)
考法4 判断函数的奇偶性
(3)当<0时,->0,则f(-)=-(-)2-=-(2+)=-f();
当>0时,-<0,则f(-)=(-)2-=-(-2+)=-f().
又f (0)=0,故对任意的∈(-∞,+∞),都有f(-)=-f(), ………. (只有当所有
区间上都满足相同关系时,才能判定其奇偶性)
的上升或下降确定单调性.
(3)导数法:先求导数,再利用导数值的正负确定函数的单调区间.
(4)性质法:对于由基本初等函数的和、差构成的函数,根据各基本初等函数
的增减性及“增+增=增,增-减=增,减+减=减,减-增=减”进行判断.
(5)复合法:对于复合函数,先将函数f (g( ))分解成f (t )和t =g (),然后讨论
第二章
函数概念与基本初等函数Ⅰ
2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第1讲函数及其表示学案文(含答案)
高考数学一轮总复习学案：第1讲函数及其表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B 设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)(x∈A)对应f：A→B是一个映射(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．[注意] 分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．常用结论1．直线x ＝a (a 是常数)与函数y ＝f (x )的图象有0个或1个交点． 2．几个常用函数的定义域(1)分式型函数，分母不为零的实数集合． (2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合．(3)f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合． (4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}．(5)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是相等函数．( )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( )(3)若集合A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |，则对应关系f 是从A 到B 的映射．( ) (4)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )(5)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的并集．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)对函数概念理解不透彻； (2)解分段函数不等式时忘记范围； (3)用换元法求解析式，反解时忽视范围．1．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列从P 到Q 的各对应关系f 中不是函数的是________．(填序号)①f ：x →y ＝12x ；②f ：x →y ＝13x ；③f ：x →y ＝23x ；④f ：x →y ＝x .解析：对于③，因为当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉Q ，所以③不是函数．答案：③2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）2，x <1，4－x －1，x ≥1，则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为________．解析：因为f (x )是分段函数，所以f (x )≥1应分段求解．当x <1时，f (x )≥1⇒(x ＋1)2≥1⇒x ≤－2或x ≥0，所以x ≤－2或0≤x <1；当x ≥1时，f (x )≥1⇒4－x －1≥1，即x －1≤3，所以1≤x ≤10.综上所述，x ≤－2或0≤x ≤10，即x ∈(－∞，－2]∪[0，10]．答案：(－∞，－2]∪[0，10]3．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________．解析：令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2，所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)，即f (x )＝x 2－1(x ≥0)． 答案：x 2－1(x ≥0)函数的定义域(多维探究) 角度一 求函数的定义域(1)已知函数f (x )的定义域是[－1，1]，则函数g (x )＝f （2x －1）ln （1－x ）的定义域是( )A ．[0，1]B ．(0，1)C ．[0，1)D ．(0，1](2)(2020·高考北京卷)函数f (x )＝1x ＋1＋ln x 的定义域是________． 【解析】 (1)由函数f (x )的定义域为[－1，1]，得－1≤x ≤1，令－1≤2x －1≤1，解得0≤x ≤1，又由1－x >0且1－x ≠1，解得x <1且x ≠0，所以函数g (x )的定义域为(0，1)，故选B ．(2)函数f (x )＝1x ＋1＋ln x 的自变量满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，x ＞0，所以x ＞0，即定义域为(0，＋∞)．【答案】 (1)B (2)(0，＋∞)求解函数定义域的策略(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题．在解不等式组取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a ＜g (x )＜b 即可求出y ＝f [g (x )]的定义域；②若y ＝f [g (x )]的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得y ＝f (x )的定义域．(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式(组)，然后求解． [提醒] (1)求函数定义域时，对函数解析式先不要化简． (2)求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式． 角度二 已知函数的定义域求参数(1)如果函数f (x )＝ln(－2x ＋a )的定义域为(－∞，1)，那么实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2(2)若函数y ＝ax ＋1ax 2－4ax ＋2的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 【解析】 (1)因为－2x ＋a >0， 所以x <a2，所以a2＝1，所以a ＝2.(2)由ax 2－4ax ＋2＞0恒成立， 得a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝（－4a ）2－4×a ×2＜0，解得0≤a ＜12. 【答案】 (1)D (2)D已知函数定义域求参数的取值范围，通常是根据已知的定义域将问题转化为方程或不等式恒成立的问题，然后求得参数的值或范围．1．函数f (x )＝3xx －1＋ln(2x －x 2)的定义域为( )A ．(2，＋∞)B ．(1，2)C ．(0，2)D ．[1，2]解析：选B ．要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2x －x 2>0， 解得1<x <2. 所以函数f (x )＝3xx －1＋ln(2x －x 2)的定义域为(1，2)．2．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． 解析：因为y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1，2]，所以y ＝f (x )的定义域为[－1，2]．答案：[－1，2] 3．若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，所以mx 2＋4mx ＋3≠0，所以m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝16m 2－12m ＜0，即m ＝0或0＜m ＜34， 所以实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34求函数的解析式(师生共研)(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )的解析式为________________．(2)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2＝x 4＋1x4，则f (x )的解析式为________________．(3)若f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2，则f (x )的解析式为________________．(4)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，则f (x )的解析式为______________． 【解析】 (1)(换元法)令2x＋1＝t ，由于x >0，所以t >1且x ＝2t －1， 所以f (t )＝lg2t －1， 即f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1(x >1)． (2)(配凑法)因为f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 22－2，所以f (x )＝x 2－2，x ∈[2，＋∞)．(3)(待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 又f (0)＝c ＝3.所以f (x )＝ax 2＋bx ＋3，所以f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋3. (4)(解方程组法)因为2f (x )＋f (－x )＝2x ，① 将x 换成－x 得2f (－x )＋f (x )＝－2x ，② 由①②消去f (－x )，得3f (x )＝6x ， 所以f (x )＝2x . 【答案】 (1)f (x )＝lg 2x －1(x ＞1) (2)f (x )＝x 2－2，x ∈[2，＋∞) (3)f (x )＝x 2－x ＋3 (4)f (x )＝2x求函数解析式的4种方法(1)配凑法：由已知条件f [g (x )]＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，得f (x )的表达式．(2)换元法：已知复合函数f [g (x )]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(3)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[提醒] 求解析式时要注意新元的取值范围．1．(一题多解)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，则f (x )＝_______． 解析：方法一(换元法)：令2x ＋1＝t (t ∈R )，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R )，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．方法二(配凑法)：因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．方法三(待定系数法)：因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )． 答案：x 2－5x ＋9(x ∈R )2．已知函数f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ，则f (x )＝________________． 解析：因为2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ，① 把①中的x 换成1x，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x.②联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧2f （x ）＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f （x ）＝3x ，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．答案：2x －1x(x ≠0)3．已知函数f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )的解析式为________________． 解析：方法一(换元法)：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，代入原式得f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1.故f (x )＝x 2－1，x ≥1.方法二(配凑法)：因为x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， 所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1，x ＋1≥1， 即f (x )＝x 2－1，x ≥1. 答案：f (x )＝x 2－1(x ≥1)分段函数(多维探究) 角度一 分段函数求值(1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x，x ≤0，f （x －3），x >0，则f (5)的值为( )A ．－7B ．－1C ．0D ．12(2)若函数f (x )＝⎩⎨⎧lg （1－x ），x <0，－2x ，x ≥0，则f [f (－9)]＝________．(3)(2021·广东省七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（3－x ），x ≤02x －1，x ＞0，若f (a －1)＝12，则实数a ＝________．【解析】 (1)f (5)＝f (5－3)＝f (2)＝f (2－3)＝f (－1)＝(－1)2－2－1＝12.故选D ．(2)因为函数f (x )＝⎩⎨⎧lg （1－x ），x <0，－2x ，x ≥0，所以f (－9)＝lg 10＝1，所以f [f (－9)]＝f (1)＝－2.(3)当a －1≤0，即a ≤1时，log 2(4－a )＝12，4－a ＝212，故a ＝4－212，不满足a ≤1，舍去．当a －1＞0，即a ＞1时，2a －1－1＝12，2a －1＝32，解得a ＝log 23，满足a ＞1.综上可得a ＝log 23.【答案】 (1)D (2)－2 (3)log 23分段函数的求值问题的解题思路(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f [f (a )]的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．角度二 分段函数与方程(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜0，3x ，x ≥0，若f [f (－1)]＝9，则实数a ＝( )A ．2B ．4C ．133D ．4或133(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1＜x ＜0，2x ，x ≥0，若实数a 满足f (a )＝f (a －1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 (1)因为－1＜0，所以f (－1)＝a －2， 所以f (a －2)＝9. 当a －2≥0，即a ≥2时， 3a －2＝9，解得a ＝4.当a －2＜0，即a ＜2时，2(a －2)＋a ＝9，解得a ＝133(舍去)．综上可知a ＝4.故选B ． (2)由题意得a >0.当0<a <1时，由f (a )＝f (a －1)，即2a ＝a ，解得a ＝14，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝8.当a ≥1时，由f (a )＝f (a －1)，得2a ＝2(a －1)，不成立．故选D ．【答案】 (1)B (2)D(1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参； (2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值． 角度三 分段函数与不等式(一题多解)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，0)【解析】 方法一：①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)＜f (2x )即为2－(x ＋1)＜2－2x，即－(x ＋1)＜－2x ，解得x ＜1.所以不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ＞0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ≤0，即－1＜x ≤0时，f (x ＋1)＜f (2x )即为1＜2－2x ，解得x ＜0.所以不等式的解集为(－1，0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0)． 故选D ．方法二：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，所以函数f (x )的图象如图所示．由图可知，只有当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＜0，x ＋1≥0或2x ＜x ＋1＜0时，满足f (x ＋1)＜f (2x )，故x ＜0，所以不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0)．【答案】 D涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解．1．(2021·长沙市统一模拟考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3 x ，x ＞0，x 2，x ≤0，则f [f (－3)]＝( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：选D ．f (－3)＝3，则f [f (－3)]＝f (3)＝log 33＝1.故选D ．2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x＋a ，x ≤2，f （x －1），x ＞2，若f (3)＝－89，则实数a ＝( )A ．1B ．－1C ．19D ．0解析：选B ．f (3)＝f (3－1)＝f (2)＝3－2＋a ＝－89，解得a ＝－1.3．(2021·六校联盟第二次联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2，x ≤0，1，x ＞0，若f (x －4)＞f (2x －3)，则实数x 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．(－1，4)D ．(－∞，1)解析：选C ．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2，x ≤0，1，x ＞0在(－∞，0]上是减函数，在(0，＋∞)上函数值保持不变，若f (x －4)＞f (2x －3)，则⎩⎪⎨⎪⎧x －4＜0，2x －3≥0或x －4＜2x －3≤0，解得x ∈(－1，4)．故选C ．4．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析：由题可知，1－a 与1＋a 异号，当a ＞0时，1－a ＜1，1＋a ＞1， 所以2(1－a )＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32(舍去)．当a ＜0时，1－a ＞1，1＋a ＜1， 所以－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ， 解得a ＝－34.答案：－34核心素养系列2 数学抽象——函数的新定义问题定义函数问题是指给出阅读材料，设计一个陌生的数学情境，定义一个新函数，并给出新函数所满足的条件或具备的性质；或者给出函数，再定义一个新概念(如不动点)，把数学知识与方法迁移到这段阅读材料，考生需捕捉相关信息，通过归纳、探索，发现解题方法，然后解决问题．若函数f (x )满足：在定义域D 内存在实数x 0，使得f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)成立，则称函数f (x )为“1的饱和函数”．给出下列四个函数：①f (x )＝1x；②f (x )＝2x ；③f (x )＝lg(x 2＋2)；④f (x )＝cos (πx )．其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为( ) A ．①③ B ．②④ C ．①②D ．③④【解析】 对于①，若存在实数x 0，满足f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)，则1x 0＋1＝1x 0＋1，所以x 20＋x 0＋1＝0(x 0≠0，且x 0≠－1)，显然该方程无实根，所以①不是“1的饱和函数”；对于②，若存在实数x 0，满足f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)，则2x 0＋1＝2x 0＋2，解得x 0＝1，所以②是“1的饱和函数”；对于③，若存在实数x 0，满足f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)，则lg[(x 0＋1)2＋2]＝lg(x 20＋2)＋lg(12＋2)，化简得2x 20－2x 0＋3＝0，显然该方程无实根，所以③不是“1的饱和函数”；对于④，注意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＝cos 4π3＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f (1)＝cos π3＋cos π＝－12，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f (1)，所以④是“1的饱和函数”．综上可知，其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号是②④.【答案】 B处理新定义函数问题的常用方法(1)联想背景：有些题目给出的新函数是以熟知的初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等)为背景定义的，可以通过阅读材料，分析有关信息，联想背景函数及其性质，进行类比，捕捉解题灵感，然后解决问题．(2)紧扣定义：对于题目定义的新函数，通过仔细阅读，分析定义以及新函数所满足的条件，围绕定义与条件来确定解题的方向，然后准确作答．(3)巧妙赋值：如果题目所定义的新函数满足的条件是函数方程，可采用赋值法，即令x ，y 取特殊值，或为某一范围内的值，求得特殊函数值或函数解析式，再结合掌握的数学知识与方程思想来解决问题．(4)构造函数：有些定义型函数可看成是由两个已知函数构造而成的．1．对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是( )A ．f (x )＝xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝tan xD ．f (x )＝cos (x ＋1)解析：选D ．由题意可得准偶函数的图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，即准偶函数的图象存在不是y 轴的对称轴．选项A ，C 中函数的图象不存在对称轴，选项B 中函数的图象的对称轴为y 轴，只有选项D 中的函数满足题意．2．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f (x )的图象恰好经过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数．给出下列函数：①f (x )＝sin 2x ；②g (x )＝x 3；③h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x；④φ(x )＝ln x .其中是一阶整点函数的是( ) A ．①②③④ B ．①③④ C ．①④D ．④解析：选C ．对于函数f (x )＝sin 2x ，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D ；对于函数g (x )＝x 3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A ；对于函数h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B ．故选C ．。
高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.1函数及其表示课件
C.f(x)＝x2 和 g(x)＝(x＋1)2
D.f(x)＝
xx2和 g(x)＝
x x2
A中两个函数的定义域不同； B中y＝x0的x不能取0； C中两函数的对应关系不同.故选D.
题型二 函数的定义域问题
命题点1 求函数的定义域
例2 (2016·临安中学一模)(1)函数f(x)＝
答案
解析
1－2x＋
思维升华
函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定，当且仅当定义域和对应 关系都相同的函数才是同一函数.值得注意的是，函数的对应关系是就 结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义 域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数 值是否相同).
跟踪训练1 (1)下列所给图象中函数图象的个数为 答案 解析
答案
解析
由函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]， 得函数y＝f(x)的定义域为[1,3]， 令1x－≤12≠x≤03，， 得12≤x≤32且 x≠1， ∴g(x)的定义域为[12，1)∪(1，32].
命题点2 已知函数的定义域求参数范围 例3 (1)若函数f(x)＝ 2x22axa 的1 定 义 域 为 R ， 则 a 的 取 值 范 围 为 _[_－__1_,0_]__. 答案 解析
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( ×) (2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数.( ×) (3)映射是特殊的函数.( × ) (4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射.( ×) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的.( ×)
令1x＝t(t≠0)，则 f(t)＝t12＋51t ＝5t＋t2 1， 5x＋1
2022版高考数学一轮复习(应试基础必备 高考考法突破)课件：专题2 函数概念与基本初等函数
解决问题 的前提和 关键是？
应掌握基本 初等函数的 单调性以及 函数单调性 的基本求法
考点10 函数的单调性和最值
考点10 考法1 确定函数的单调性或单调区间
方法一：利用定义.
方法二：利用规则和性质.
方法三：导数法是已知函数的解析式， 判断函数的单调性或求单调区间时最常 用的一种方法，具体见专题3考点20.
等关系列不等式或等式，求得参数的取值(范围). (2)确定已知复合函数f［g(x)］中的初等函数f(x)和g(x)，首先由外
层函数f(x)的单调性确定内层函数g(x)在给定区间上的单调性.再结合 内层函数的图象或其单调区间，列出等式或不等式求解.
解题时首先
应明确：设
函数f(x)的单 调增(减)区间 为A，若函数 在区间B上单 调递增(减)， 则B包含于A.
式子来表示这个函数,这种形式的函数叫做分段函数.它是一类 重要函数,它是一个函数,不能误认为它是几个函数.
一个分段函数的解析式要把每一段写在一个大括号内,自 变量取值范围要不重不漏. 2.分段函数的定义域与值域
分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，分段函数的 值域也是各段函数值域的并集. 【注意】分段函数虽由几个部分组成,但表示的是一个函 数．根据分段函数的特征知，研究分段函数的有关问题常用 的基本思想方法是分类讨论、数形结合等.
是否符合相应段的
自变量的取值范围.
考点9 分段函数及其应用
考点9 考法4 类 型 2 已 知 函 数 值 或 函 数 值 的 取 值
范围，求自变量的值或自变量的取 值范围
考点9 分段函数及其应用
考点9 考法4 类 型 2 已 知 函 数 值 或 函 数 值 的 取 值
范围，求自变量的值或自变量的取 值范围
第二章 函数与基本初等函数I第2讲 函数的单调性与最值 讲义(辅导培训班家教一轮复习专用)
1．函数的单调性(1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值【知识拓展】函数单调性的常用结论(1)对∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在D 上是减函数．(2)对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ]．(3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( × ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( × ) (3)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )(4)所有的单调函数都有最值．( × )(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( × )(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( √ )1．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e －xB ．y ＝x 3C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |答案 B解析 由所给选项知只有y ＝x 3的定义域是R 且为增函数，故选B.2．若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D ．0 答案 C解析 当a >0时，由题意得2a ＋1－(a ＋1)＝2，即a ＝2；当a <0时，a ＋1－(2a ＋1)＝2，即a ＝－2，所以a ＝±2，故选C.3．(2016·广州模拟)函数y ＝x 2＋2x －3(x >0)的单调增区间为________． 答案 (0，＋∞)解析 函数的对称轴为x ＝－1，又x >0， 所以函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．4．(教材改编)已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上是增函数，则实数a 的取值范围为________________________________________________________________________． 答案 (－∞，1]解析 函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图象可知函数f (x )的单调递增区间是[a ，＋∞)， 由[1,2]⊆[a ，＋∞)，可得a ≤1. 5．(教材改编)已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________． 答案 2 25解析 可判断函数f (x )＝2x －1在[2,6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.题型一 确定函数的单调性(区间)命题点1 给出具体解析式的函数的单调性例1 (1)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)(2)y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递增区间为________． 答案 (1)D (2)(－∞，－1]，[0,1]解析 (1)因为y ＝log 12t ，t >0在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．(2)由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，二次函数的图象如图．由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数. 命题点2 解析式含参数的函数的单调性例2 已知函数f (x )＝axx 2－1(a >0)，用定义法判断函数f (x )在(－1,1)上的单调性．解 设－1<x 1<x 2<1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2(x 21－1)(x 22－1)＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0.又∵a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴函数f (x )在(－1,1)上为减函数． 引申探究如何用导数法求解例2?解 f ′(x )＝a ·(x 2－1)－ax ·2x (x 2－1)2＝－a (x 2＋1)(x 2－1)2，∵a >0，∴f ′(x )<0在(－1,1)上恒成立， 故函数f (x )在(－1,1)上为减函数．思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．(1)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( )A ．(－∞，1]B ．[3，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)(2)函数f (x )＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)和(1，＋∞)答案 (1)B (2)C解析 (1)设t ＝x 2－2x －3，则t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1， 所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减， 在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．(2)f ′(x )＝－2x ·e x ＋e x (3－x 2)＝e x (－x 2－2x ＋3)＝e x [－(x ＋3)(x －1)]．当－3<x <1时，f ′(x )>0，所以函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是(－3,1)，故选C. 题型二 函数的最值例3 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．答案 2解析 当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2.(2)已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.①当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；②若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围． 解 ①当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x＋2，又x ∈[1，＋∞)，所以f ′(x )＝1－12x 2>0，即f (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝1＋12×1＋2＝72.②f (x )＝x ＋ax＋2，x ∈[1，＋∞)．(ⅰ)当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数． 最小值为f (1)＝a ＋3.要使f (x )>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3>0， 所以－3<a ≤0.(ⅱ)当0<a ≤1时，f ′(x )＝1－ax2，因为x ∈[1，＋∞)，所以f ′(x )≥0，即f (x )在[1，＋∞)上为增函数， 所以f (x )min ＝f (1)＝a ＋3， 即a ＋3>0，a >－3，所以0<a ≤1.综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时， a 的取值范围是(－3,1]．思维升华 求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(1)函数y ＝x ＋x －1的最小值为________．(2)函数f (x )＝x 2＋8x －1(x >1)的最小值为________．答案 (1)1 (2)8解析 (1)易知函数y ＝x ＋x －1在[1，＋∞)上为增函数，∴x ＝1时，y min ＝1.(本题也可用换元法求解)(2)方法一 (基本不等式法)f (x )＝x 2＋8x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋9x －1＝(x －1)＋9x －1＋2≥2(x －1)·9x －1＋2＝8，当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时，f (x )min ＝8.方法二 (导数法)f ′(x )＝(x －4)(x ＋2)(x －1)2，令f ′(x )＝0，得x ＝4或x ＝－2(舍去)． 当1<x <4时，f ′(x )<0， f (x )在(1,4)上是递减的； 当x >4时，f ′(x )>0， f (x )在(4，＋∞)上是递增的，所以f (x )在x ＝4处取到极小值也是最小值， 即f (x )min ＝f (4)＝8.题型三 函数单调性的应用 命题点1 比较大小例4 已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c 答案 D解析 根据已知可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a ＝f (－12)＝f (52)，且2<52<3，所以b >a >c .命题点2 解函数不等式例5 (2017·珠海月考)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f (12)＝0，则满足f (log19x )>0的x 的集合为________________．答案 {x |0<x <13或1<x ＜3}解析 由题意知f (12)＝0，f (－12)＝0，由f (log 19x )>0，得log 19x >12，或－12<log 19x <0，解得0<x <13或1<x <3.命题点3 求参数范围例6 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >－14B ．a ≥－14C ．－14≤a <0D ．－14≤a ≤0(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________． 答案 (1)D (2)[32，2)解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增； 当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综合上述得－14≤a ≤0.(2)由已知条件得f (x )为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2，所以a 的取值范围是[32，2)．思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．(1)(2016·太原模拟)已知函数f (x )＝x (e x －1ex )，若f (x 1)<f (x 2)，则( )A ．x 1>x 2B ．x 1＋x 2＝0C ．x 1<x 2D ．x 21<x 22(2)(2016·西安模拟)要使函数y ＝2x ＋kx －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是________． 答案 (1)D (2)(－∞，－4) 解析 (1)f (－x )＝－x (1e x －e x )＝f (x )，∴f (x )在R 上为偶函数， f ′(x )＝e x －1e x ＋x (e x ＋1ex )，∴x >0时，f ′(x )>0，∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数， 由f (x 1)<f (x 2)，得f (|x 1|)<f (|x 2|)，∴|x 1|<|x 2|，∴x 21<x 22.(2)由于y ＝log 3(x －2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数， 故函数y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上是增函数． 又函数y ＝2x ＋k x －2＝2(x －2)＋4＋k x －2＝2＋4＋k x －2，因其在(3，＋∞)上是增函数，故4＋k <0，得k <－4.1．解抽象函数不等式典例(12分)函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.思维点拨(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点．要构造出f(M)<f(N)的形式．规范解答(1)证明设x1，x2∈R且x1<x2，则x2－x1>0，∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1.[2分]f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，[4分]∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为增函数．[6分](2)解∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，[8分]f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，[10分]∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1⇒－3<a<2，即a∈(－3,2)．[12分]解函数不等式问题的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．1．(2016·北京东城区模拟)下列函数中，在区间(1，＋∞)上是增函数的是( )A ．y ＝－x ＋1B ．y ＝11－xC ．y ＝－(x －1)2D ．y ＝31－x 答案 B解析 A 中，函数在(1，＋∞)上为减函数，C 中，函数在(1，＋∞)上为减函数，D 中，函数在(1，＋∞)上为减函数．2．(2016·长春二模)已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，－1]C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞) 答案 A解析 因为函数f (x )在(－∞，－a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.故选A.3．已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞) 答案 C解析 要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则a >0且a －1≥0，即a ≥1.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x >1，(4－a 2)x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8) 答案 B 解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，4－a 2>0，a ≥(4－a 2)＋2，解得4≤a ＜8.5．(2016·兰州模拟)已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是()A ．(13，23) B ．[13，23) C ．(12，23) D ．[12，23) 答案 D 解析 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1≥0，2x －1<13，即12≤x <23. 6．定义新运算 ：当a ≥b 时，a b ＝a ；当a <b 时，a b ＝b 2，则函数f (x )＝(1 x )x －(2 x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12答案 C解析 由已知得，当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数，∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.7．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案 3解析 由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________． 答案 [0,1)解析 由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1，函数的图象如图所示，其递减区间为[0,1)．9．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.答案 －6解析 f (x )＝|2x ＋a |＝⎩⎨⎧ 2x ＋a ，x ≥－a 2，－2x －a ，x <－a 2.∵函数的单调递增区间为[－a 2，＋∞)， ∴－a 2＝3，∴a ＝－6. *10.(2016·石家庄调研)已知a >0且a ≠1，设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≤3，2＋log a x ，x >3的最大值为1，则a 的取值范围为________．答案 [13，1) 解析 f (x )在(－∞，3]上是增函数，则f (x )max ＝1.∵f (x )在R 上的最大值为1，∴0<a <1，且2＋log a 3≤1，解得13≤a <1， ∴a 的取值范围是[13，1)． 11．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值． (1)证明 任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1>x 2>0， ∴x 1－x 2>0，x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)解 由(1)可知，f (x )在[12，2]上为增函数， ∴f (12)＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2， 解得a ＝25. 12．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，且满足f (x )＋f (y )＝f (xy )．(1)求证：f (x )－f (y )＝f (x y)； (2)若f (4)＝－4，解不等式f (x )－f (1x －12)≥－12. (1)证明 由条件f (x )＋f (y )＝f (xy )可得f (x y )＋f (y )＝f (x y·y )＝f (x )， 所以f (x )－f (y )＝f (x y)． (2)解 因为f (4)＝－4，所以f (4)＋f (4)＝f (16)＝－8，f (4)＋f (16)＝f (64)＝－12.由(1)可得f (x )－f (1x －12)＝f (x (x －12))， 又f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1x －12>0⇒x >12， 由f (x )－f (1x －12)≥－12， 即f (x (x －12))≥f (64)，所以x (x －12)≤64.所以x 2－12x －64＝(x －16)(x ＋4)≤0，得－4≤x ≤16，又x >12，所以x ∈(12,16]．故原不等式的解集为{x |12<x ≤16}．*13.已知函数f (x )＝lg(x ＋a x－2)，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解 (1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x>0， 当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)；当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}；当0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x－2， 当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x 2>0恒成立， 所以g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数． 所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上是增函数． 所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立． 所以a >3x －x 2，令h (x )＝3x －x 2，而h (x )＝3x －x 2＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h (x )max ＝h (2)＝2，所以a >2.。
2022高考理数复习资料讲义：第2章 函数概念与基础初等函数 第2讲
第2讲函数的单调性与最值[考纲解读] 1掌握求函数单调性与单调区间的求解方法，并能利用函数的单调性求最值．重点2理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．重点3能够运用函数图象理解和研究函数的性质．难点[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2022年高考将主要考查函数单调性的应用、比较大小、函数最值的求解、根据函数的单调性求参数的取值范围等问题1．函数的单调性1增函数、减函数2单调区间的定义如果函数y＝f在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f在这一区间具有严格的f－2＝2－＝a＝2．函数y＝－的最小值为________．答案解析令t＝，则t≥0且＝t2＋1，所以y＝t2＋1－t＝2＋，t≥0，所以当t＝时，y min＝3．函数y＝的值域为________．答案解析y＝＝＝2＋，由∈R得2－＋1＝2＋∈，所以∈，所以y＝的值域是4．2022·石家庄模拟对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f＝－＋3，g＝log2，则函数h＝min{f，g}的最大值是________．答案 1解析解法一：在同一坐标系中，作函数f，g的图象，依题意，h的图象如图所示．易知点A2,1为图象的最高点，因此h的最大值为h2＝1解法二：依题意，h＝当0<≤2时，h＝log2是增函数，当>2时，h＝3－是减函数，所以h在＝2时取得最大值h2＝1条件探究1 将举例说明1中“f＝－＋”改为“f＝－－”，其他条件不变，如何解答解f＝－－在[－2，－1]上是减函数，在上是增函数，且f－2＝，f＝，所以f ma＝条件探究2 将举例说明2中“y＝－”改为“y＝＋”，其他条件不变，如何解答解由1－2≥0可得－1≤≤1可令＝cosθ，θ∈[0，π]，则y＝cosθ＋sinθ＝sin，θ∈[0，π]，所以－1≤y≤，故所求函数的最小值是－1条件探究3 将举例说明3中“y＝”改为“y＝”，其他条件不变，如何解答解由y＝得2＝，由2≥0知≥0，解得－1<y≤1，故所求函数的值域为－1,1]．求函数的最值或值域的常用方法1单调性法：若所给函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．如举例说明12有界性法：利用代数式的有界性如2≥0，≥0，2>0，－1≤sin≤1等确定函数的值域．3数形结合法：若函数解析式的几何意义较明显如距离、斜率等或函数图象易作出，可用数形结合法求函数的值域或最值．如举例说明44换元法：形如求y＝＋c＋dac≠0的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解．如举例说明25分离常数法：形如求y＝ac≠0的函数的值域或最值常用分离常数法求解．如举例说明3另外，基本不等式法、导数法求函数值域或最值也是常用方法，在后面章节中有重点讲述．1．已知函数f＝a＋log a a>0，且a≠1在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a2＋6，则a的值为________．答案2解析因为f＝a＋log a a>0且a≠1在[1,2]上为单调函数，所以由题意可得f1＋f2＝a＋a2＋log a2＝log a2＋6，所以a＋a2＝6，解得a＝2或a＝－3舍去，所以a＝22．已知定义在D＝[－4,4]上的函数f＝对任意∈D，存在1，2∈D，使得f1≤f≤f2，则|1－2|的最大值与最小值之和为________．答案9解析作出函数f的图象如图所示，由任意∈D，f1≤f≤f2知，f1，f2分别为f的最小值和最大值，由图可知|1－2|ma＝8，|1－2|min＝1，所以|1－2|的最大值与最小值之和为9题型函数单调性的应用角度1 比较函数值的大小1．已知函数f的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当2>1>1时，[f2－f1]2－1<0恒成立，设a＝f，b＝f2，c＝f3，则a，b，c的大小关系为A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c答案D解析根据已知可得函数f的图象关于直线＝1对称，且在1，＋∞上是减函数，所以a＝f＝f，且2<<3，所以b>a>c 角度2 解不等式2．已知函数f＝则不等式f1－2>f2的的取值范围是A．0，－1B．－1，＋1C．0，＋1D．－1，－1答案D解析作出函数f的图象如图所示．则不等式f1－2>f2等价于或解得－1<<－1角度3 求参数的值或取值范围3．已知函数f＝对于任意1≠2都有<0成立，则实数a的取值范围是A．1,3]B．1,3C．1,2]D．1,2答案C解析根据题意，由<0，易知函数f为R上的单调递减函数，则解得1<a≤函数单调性应用问题的常见类型及解题策略1比较大小．如举例说明12解不等式．利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．如举例说明2 3利用单调性求参数①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；②需注意：若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．如举例说明31．2022·郑州模拟函数y＝在－1，＋∞上单调递增，则a 的取值范围是A．a＝－3B．a<3C．a≤－3D．a≥－3答案C解析y＝＝＝1＋，所以当a－3<0时，y＝的单调递增区间是－∞，a＋2，a＋2，＋∞；当a－3≥0时不符合题意．又因为y＝在－1，＋∞上单调递增，所以－1，＋∞≤a＋2，＋∞，所以a＋2≤－1，即a≤－3，综上知，a的取值范围是－∞，－3]．2．2022·河南百校联盟质检已知f＝2－2－，a＝，b＝，c ＝log2，则fa，fb，fc的大小顺序为A．fb<fa<fc B．fc<fb<faC．fc<fa<fb D．fb<fc<fa答案B解析a＝＝>>1，c＝log2<0，所以c<b<a因为f＝2－2－＝2－在R上单调递增，所以fc<fb<fa．3．已知函数f的定义域为R，对任意1<2，都有f1－f2<1－2，且f－3＝－4，则不等式f log|3－1|>log|3－1|－1的解集为A．2，＋∞B．－∞，2C．0,1∪1,2 D．－∞，0∪0,2答案D解析由对任意1<2，都有f1－f2<1－2，得f1－1<f2－2令g＝f－，则有对任意1<2，都有g1<g2，所以g在R上单调递增，因为f－3＝－4，所以g－3＝f－3－－3＝－1，所以f log|3－1|>log|3－1|－1等价于g log|3－1|>g－3，所以log|3－1|>－3＝log8，所以0<|3－1|<8，解得<2且≠0，故所求不等式的解集是－∞，0∪0,2．11。