基本不等式教案第三课时

第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ）

课题: §3.4

2

a b + 第3课时

授课类型：习题课

【教学目标】

1．知识与技能：

2

a b +≤；会用此不等式证明不等式,会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；

2

2

a b +≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。

3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理

论与实际相结合的科学态度和科学道德。

【教学重点】

2

a b +≤，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值 【教学难点】

利用此不等式求函数的最大、最小值。

【板书设计】

【教学过程】

1.课题导入

1．基本不等式：如果a,b 是正数，那么

).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a

22

a b +≤求最大（小）值的步骤。 2.讲授新课

1）利用基本不等式证明不等式

例1 已知m>0,求证24624m m

+≥。 [思维切入]

因为m>0,所以可把

24m

和6m 分别看作基本不等式中的a 和b, 直接利用基本不等式。 [证明]

因为 m>0,，由基本不等式得

24

6221224m m +≥=⨯= 当且仅当24m

=6m ，即m=2时，取等号。 规律技巧总结

注意：m>0这一前提条件和246m m

⨯=144为定值的前提条件。 3.随堂练习1

[思维拓展1]

已知a,b,c,d 都是正数，求证()()4ab cd ac bd abcd ++≥.

[思维拓展2]

求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+.

例2 求证:473

a a +≥-. [思维切入]

由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母

a,而左边

44(3)333a a a a +=+-+--.这样变形后,在用基本不等式即可得证.

[证明]

443(3)333733a a a +=+-+≥==-- 当且仅当43

a -=a-3即a=5时,等号成立. 规律技巧总结

通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.

2)利用不等式求最值

例3 (1) 若x>0,求9()4f x x x

=+

的最小值; (2)若x<0,求9()4f x x x =+的最大值. [思维切入]

本题(1)x>0和94x x

⨯=36两个前提条件;(2)中x<0,可以用-x>0来转化. 解（1) 因为 x>0 由基本不等式得

9

()412f x x x =+

≥=,当且仅当94x x =即x=32时, 9()4f x x x

=+取最小值12. (2)因为 x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得:

99

()(4)(4)()12f x x x x x -=-+=-+-≥=,

所以 ()12f x ≤. 当且仅当94x x -=-

即x=-32时, 9()4f x x x

=+取得最大-12. 规律技巧总结

利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负

号变正.

随堂练习2

[思维拓展1]

求9()45

f x x x =+

-(x>5)的最小值.

[思维拓展2]

若x>0,y>0,且

281x y

+=,求xy 的最小值.

4.课时小结

2

a b +≤

证明不等式和求函数的最大、最小值。

5.能力提高

１．证明：22

222a b a b ++≥+

２．若1->x ，则x 为何值时1

1++

x x 有最小值，最小值为几？

【教后小结】