点和直线-画法几何基础
画法几何及机械制图 第二章 点直线和平面的投影1
例 已知长方形ABCD中边BC的两投影和边AB的正面投影 （a'b'//OX)，求作长方形的两投影。
d c 分析： D
a
C
X
a
b
O A B
因为ABBC,且 ABH 根据直角投影定理 有ab bc
b d c
空间两直线互相垂直，若其 中有一条直线平行于某投影面， 则两直线在该投影面上的投影仍 互相垂直。
c
a
c
L
ZAB
b0
c0
AB
两直线的相对位置
两直线的相对位置有三种情况：平行、相交、交叉。
1.平行两直线
当两直线平行则两直线同面投影均相互平行；
反之，若两直线同面投影平 行，则该两直线平行。
直线 AB∥CD
注意：若要判断两直线是否平行 ，对于一般 位置直线，只需看其两组投影即可，而对于特 殊位置直线，则要看其三组投影
YH Z
b
a X O
YW
1)在与其垂直的投影面上的投 影积聚为一点； 2)另两个投影显实长，且分别 垂直于相应的投影轴。
YH
投影面上的直线的投影
直线的投影——投影特性
一般位置直线：与任何基本投影面都不平行也不垂直 z b' a'
b' B b" a'
a"
b"
x
A a b b a" aO NhomakorabeayW
yH
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
试判断图中CD与 AB是否平行？
AB 与 CD 不平行
虽然ab∥cd，并 且a’b’∥c’d’， 但侧面投影a”b” 与c”d ”相交。 作出第三面 投影来判断。
画法几何：第二讲__点、直线、平面的投影
例7：已知线段DE、FG的两个投影d’e’//f’g’， de//fg，判断空间两线段是否平行。
Z
d'
d''
f'
f''
e'
e''
g'
X O
d g
g'' YW
f e
结论：空间两 直线不平行。
YH
判断两直线是否平行：
对于一般位置直线，若两直线的两个同面 投影互相平行，即可判定该两直线在空间必定 相互平行。
b
ac
H
例6：已知直线AB和点K的投影，判断点K是否属于线 段AB
解法1 a' k'
Z a'' k''
b' X
O
a
k b
H
b'' YW
结论：K AB
解法2
X
a' k'
b' O
a k0
k
b0
b
结论：K AB
三、 两直线的相对位置
平行二直线 相交二直线 交叉二直线（异面）
1. 平行二直线
A
C
空间两直线
Y
a’
a’’
X
O
YW
a YH
例1：已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。
Y
a’
a’’
X
O
YW
a YH
3. 点的投影与坐标
Z a’
V a'
aZ
y
zA
a''
、X
aX
xO W
ya
第四章~《画法几何》
1．从属性
属于直线上的点，其投影仍属于直线的投影。
如图4-2所示，若点C AB，则必有c ab，cab，cab。
画法几何
（a）
（b）
图4-2 属于直线上点的投影
（a）
（b）
图4-3 属于直线上点的投影作图
如图4-3（a）所示，已知直线AB的三面投影和属于直线的点C的水平投影c，求点C的正面投影c′和 侧面投影c″，作图情况如图4-3（b）所示。
5
画法几何
4.2
属于直线上的点
2．定比性
直线上的点将直线分割后，则各分割线段的长度之比与各分割线段投影的长度之比相等。
如图4-2所示：AC∶CB ac∶cb ac∶cb ac∶cb 。
（a）
（b）
图4-2 属于直线上点的投影
6
4.3
各种位置直线的投影
空间直线与投影面的相对位置有平行、垂直和倾斜三种，空间直线相对于投影面 位置不同，直线的投影就各有不同的投影特性。
例如，直线AB和CD相交于点K，则其投影ab与cd相交于点k，a'b'与c'd'相交于点k'，并且点k，k'符合 直线上点的投影规律，如图4-9所示。
（a） 图4-9 相交两直线的投影
（b）
18
画法几何
4.5
两直线的相对位置
4.5.3 两直线交叉
若空间两条直线既不平行也不相交，则称其为交叉两直线。两交叉直线也称异面直线，交叉直线在三个投 影面中的投影可能有一组、两组或三组分别相交，但交点的投影并不符合直线上点的投影规律。反之，若空间两 直线的各组投影既不符合两直线平行的投影规律，也不符合两直线相交的投影规律，则这两直线一定交叉。
《画法几何》第2章 点、直线、平面的投影
相交（或交 叉）成直角 的两直线， 只要其中有 一条直线平 行于某投影 面，则它们 在该投影面 上的投影仍 反映直角
水平线
Ｂ
b a
Ａ Ｃ
c
反之，两直线之一是某投影面平行线，且两直线在该投影面 上的同名投影互相垂直，则在空间两直线互相垂直
[例2-7]已知过点A作线AB平行于EF，问AB与CD是否相 交(习题P25-4)
Ⅰ∈AB Ⅱ∈CD
Ⅲ∈AB Ⅳ∈CD
3 4） （
1
b
判断重影点重 合投影的可见性 时，要在其他投 影中比较它们坐 标的大小。
直角投影定理
当两直线都平行于某投影面对，其夹角在该投影 面上的投影反映实形。
当两直线都不平行于某投影面时，其夹角在该投 影面上的投影一般不反映实形。
a b
a c b
c
b0
c
b
d
[例2-11]作一直线与AB和CD相交，并与它们垂直（即 求两直线的公垂线），并标明其真实距离
c´ b´
f´
a´
e´
d´ c (d) e
a
真ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ距离
f
b
点的投影
直线的投影
两直线的相对位置
平面的投影（自学）
平面的投影
平面的投影
平面的投影性质
P
A D C B
q p H d
根据一般位置直线的投影求其实长和倾角 （直角三角形法）
b´
m
V
a´
α
b´
B
C
X
a´
1、过A点作 AC//ab 2、过b点作 O bb ⊥ab,且 0 bb0=BC
A b
a
α
画法几何及工程制图知识点
画法几何及工程制图知识点在现代社会中，几何和工程制图是非常重要的学科和技能。
无论是建筑设计、机械制图还是城市规划，都需要准确的画法几何和工程制图知识。
本文将介绍几何学和工程制图的一些基本知识点。
一、线段和直线线段是由两个不同的点所连接而成的一条线，可以通过使用直尺或线段裁剪器来绘制。
直线是由无数个点组成的，可以在纸上任意延伸。
直线可以用直尺来绘制。
二、平行和垂直线平行线是在平面上方向相同但永不相交的两条线。
可以通过使用平行尺或直尺和传统绘图方法来绘制平行线。
垂直线则是与平行线相交成直角的线。
三、角度角度是由两条边的交点以及这两条边所围成的空间的两个部分组成。
角可以通过使用量角器或者画圆的方法来绘制。
四、多边形多边形是由三个或者更多的线段组成的封闭图形。
常见的多边形有三角形、四边形、五边形等等。
多边形的绘制可以使用直尺和量角器。
五、投影在工程制图中，投影是一种绘图方法，用于在二维平面上表示三维物体。
常见的投影方式有正投影和等轴投影。
正投影是将三维物体的各个平面在垂直于投影平面的方向上投影到虚拟的平面上，形成二维图形。
等轴投影是在一个方向上等比例缩放物体，并在另一个方向上等角度倾斜。
这种投影方法可以产生更真实且更容易理解的图像。
六、比例尺比例尺是表示实际距离和图纸上距离比例的一种表示方法。
常用的比例尺有毫米比例尺、分米比例尺和米比例尺等。
绘制时，通过测量距离和将其与比例尺的比例相对应，可以在图纸上准确地表示实际的大小。
七、曲线曲线在工程制图中也是常见的元素。
绘制曲线时，可以使用弧形或自由曲线工具。
弧线可以通过确定弧的半径和中心来绘制。
自由曲线则通常是通过手绘来完成。
总结画法几何和工程制图是建筑师、设计师和工程师等专业人员必备的技能。
通过掌握几何学的基本概念，如线段、角度和多边形等，以及工程制图相关的知识，如投影、比例尺和曲线等，可以准确地表示和传达设计意图。
这些基本知识不仅在工作中非常重要，同时也能培养人们的观察力和表达能力。
东华大学画法几何及工程制图-第1章-点和直线
判断两直线的相对位置 方法二
c
d b a k c d
方法一
X
a’s’ s’b’ b0 s0
b a s b
c d
X
a k b c
d
a s : s b= as : sb 结论：AB平行CD
11:14:59 东华大学机械工程学院
AB、CD同面
36
§1.5 点、直线的相对位置－两直线的相对位置－相交 C K B Z b b c A D c k k d d a a c a b k O H X c b
Y
X
O a
B
b
b
东华大学机械工程学院
11:14:59
17
§1.3 直线的投影-各类直线的投影特性－特殊位置直线－正平线
b
Z
B
Z b b
a
a
b
a
X
O
a
YW
A
X
a
O
b
a
b YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ 2． a b=AB 3． 反映、的真实大小
东华大学机械工程学院
10
第1章 点和直线
§1.1 点的投影
§1.2 两点的相对位置
§1.3 直线的投影
§1.4 直线段的实长和对投影面的倾角
§1.5 点、直线与直线的相对位置
机械工程学院
§1.2 两点的相对位置-相对位置的确定
b
a
A
B
b a
前后－左右－上下
XA > XB , B点在A点右 YA < YB , B点在A点前 ZA < ZB , B点在A点上
画法几何知识点
画法几何知识点画法几何是一门研究在平面上用图形表示空间几何形状和位置关系的学科。
它是工程制图的基础，对于建筑、机械、航空航天等领域的设计和制造有着至关重要的作用。
下面就让我们一起来了解一些画法几何的重要知识点。
一、投影法投影法是画法几何的核心概念之一。
投影法分为中心投影法和平行投影法。
中心投影法是指投影线由一点发出，所得到的投影图大小会随物体与投影中心的距离变化而变化。
这种投影法常用于绘制透视图，能给人一种立体感和真实感，但在工程制图中应用较少。
平行投影法又分为正投影法和斜投影法。
正投影法是指投影线相互平行且垂直于投影面，所得到的正投影图能够准确地反映物体的形状和大小，度量性好，是工程制图中最常用的投影方法。
斜投影法的投影线相互平行但不垂直于投影面，常用于绘制某些具有倾斜结构的物体。
二、点、线、面的投影（一）点的投影点的投影规律是：点的正面投影与水平投影的连线垂直于 X 轴，点的正面投影与侧面投影的连线垂直于 Z 轴，点的水平投影到 X 轴的距离等于侧面投影到 Z 轴的距离。
（二）直线的投影直线在投影面上的投影可分为三种情况：一般位置直线、投影面平行线和投影面垂直线。
一般位置直线与三个投影面都倾斜，其三个投影都倾斜于投影轴，且长度小于实长。
投影面平行线平行于一个投影面，与另外两个投影面倾斜。
其中，平行于 H 面的直线称为水平线，平行于 V 面的直线称为正平线，平行于 W 面的直线称为侧平线。
投影面垂直线垂直于一个投影面，与另外两个投影面平行。
垂直于H 面的直线称为铅垂线，垂直于 V 面的直线称为正垂线，垂直于 W 面的直线称为侧垂线。
（三）平面的投影平面在投影面上的投影可分为一般位置平面、投影面垂直面和投影面平行面。
一般位置平面与三个投影面都倾斜，其三个投影都是类似形。
投影面垂直面垂直于一个投影面，与另外两个投影面倾斜。
其中，垂直于 H 面的平面称为铅垂面，垂直于 V 面的平面称为正垂面，垂直于 W 面的平面称为侧垂面。
画法几何第三讲(点和直线二)2010
b〞
W
a〞 m〞 H Y
直线的水平迹点M的H投影m属于直线的H投影，V投影m′ 属于OX轴，W 投影m″属于OYW轴； 直线的正面迹点N的V投影n′属于直线的V投影， H投影n 属于OX轴，W投影n″属于OZ轴。
8
画法几何
(4)投影作图
求作直线AB的水平迹点M及正面迹点N。
土木工程学院 n′ b
B
a |zA-zB| a X
X
A
O
B0 b
H
a
a
AB
AB
ab
|zA-zB|
22
画法几何
2.6.2 直线与V投影面的倾角β
V
土木工程学院
b B a A0 O |YA-YB| X
AB
b
a′ b
X
A
a
|YA-YB|
B0 b
H
ab′
AB
a |YA-YB|
AB
a b′
|YA-YB|
D
X
O
A c a 1 (2 )
3
4 d
b
投影图中通常可 从重合投影处开始， 向上或向下（或向左） 作投影连线，先遇到 的点，坐标值较小， 应加括号。
34
画法几何
【例2-11】判断两直线重影点的可见性 c 1 3 (4 ) b
土木工程学院
2
a X
d
b 4 c a 1( 2 )
3
d
35
9
画法几何
1.2。4 特 殊 位 置 直 线
特殊位置直线 (1)投影面平行线 空间位置
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一般位置点
空间点的三个坐标值X、Y、Z均不为 零，称该点为一般位置点。
特殊位置点
投影面上的点：空间点的坐标值有一个为零。
o
d c
对水平投影面，上遮下
空间两点在某一投影面
对正面投影面，前遮后 上的投影重合为一点时，则称
对侧面投影面，左遮右 此两点为该投影面的重影点。
1.3 直线的投影
一、直线的投影特性
a ●
两点确定一条直线，将两 点的同面投影用直线连接，就 X
Z
●b O
a
●
● b
Y W
得到直线的同面投影。
a●
投影面展开
V a ●
X ax
H a●
不动
Z
Z 向右翻
az
a W ●
V a
az
●
O
A
aYW YW X a x
●
● a
O
W
a●
aYH
YH
向下翻
ayz
O
a
●
aYw Yw
V a
●
X ax
Z
az
A
●
● a
O
W
a●
YH aYH
a●
ay
点的投影规律
Y
① aa⊥OX 轴 aa⊥OZ轴
a ● b ●
X
a●
●
b
Z ● a
● b
o
YW
YH
B点在A点之前、 之右、之下。
［例］如图，已知点A的三投影，另一点B在点A上方8mm， 左方12mm，前方10mm处，求点B的三个投影。
b● X
●
b
Z a●
O a●
b
●
作图步骤：
a
●
1)在a上方8mm ,左方12m
处确定b ；
a ●
X
a●
Z
b
●
O
a
●
● b
Y W
通过作45°辅助 线使aaz=aax
●
b
YH
1.2 两点的相对位置
一、两点的相对位置的确定
两点的相对位置指两点在空间的
上下、前后、左右位置关系。
Z
Z
V
上
上
X
左
右 下
后
后上
O
W
左
X
下
右
后
O
下前
后
前
YW
左
右
前
前 YH
Y
判断方法
★ x 坐标大的在左 ★ y 坐标大的在前 ★ z 坐标大的在上
投影法及其分类
1.1 点的投影 1.2 两点的相对位置 1.3 直线的投影 1.4 线段的实长和对投影面的倾角 1.5 点、直线与直线的相对位置 本章小结
投影法及其分类
一、投影法的基本知识
投射线
●S A●
●a
投影
投射中心
P
投影法的分类：中心投影法和平行投影法
二、中心投影法
1.1 点的投影
一、点在一个投影面上的投影
过空间点A向投影面P 作垂线，交点a唯一确定。
P
● a
反之，已知投影b，
A●
不能确定空间点B。
P
点在一个投影面上的投 影不能确定点的空间位置。
采用多面投影
B1
B2
B3 ●
●
● b
●
V
Ⅱ Ⅰ
ⅢX Ⅳ
正（立）投影面
水平投影面
O
两个互相垂直的平面将空间划分为四个分角： 第一分角、第二分角、第三分角和第四分角。
投射线都由一点出发的投影法叫 中心投影法，所得的投影叫中心投影。
投射中心 ● S
投射线
物体
投影
投影面
物体位置改
变，投影大 小也改变。
投影特性
投射中心、物体、
投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影
响。
度量性较差。
中心投影法立体感强，常用来绘制建筑物 或产品的立体图，也称之为透视图。
三、平行投影法
a 点A的水平投影 X
A
●
O ● a W
a 点A的侧面投影
a●
Y
注意 空间点用大写字母表示，
点的投影用小写字母表示。
V a
●
X ax
Z
az
A
●
● a
O
W
a●
ay
Y
组成了一个长方体
aax= aaz = y = Aa （A到V面的距离） aay= aaz = x = Aa（A到W面的距离） aax= aay = z= Aa （A到H面的距离）
⒈ 直线对一个投影面的投影特性 b● YH
A● C● B●
●
a(b) (c )
B
●
A●
●b a●
●B
A●
●b a●
直线⊥投影面 重合为一点 积聚性
直线∥投影面 反映实长
ab=AB
直线∠投影面
投影长变短
ab=AB.cos
⒉ 直线在三个投影面中的投影特性 取决于直线与三个投影面的相对位置。
与三个投影面都倾斜 一般位置直线(∠ H ,∠ V,∠W)
二、点的三面投影
投影面
◆正立投影面（简称正面
V
或V面）
◆水平投影面（简称水平 X 面或H面）
Z OW
◆侧立投影面（简称侧面 或W面）
投影轴
OX轴 OY轴 OZ轴
V面与H面的交线 H面与W面的交线 V面与W面的交线
Y
三个投影面 互相垂直
空间点A在三个投影面上的投影
Z
a 点A的正面投影 V
a●
Y W 2)作bb⊥OX ,且在a 前 方10mm处确定b；
3)按投影关系求得b
YH
二、重影点的投影
V
点A、B对H面的投影重合，
a●
c (d ) ●
点C、D对V面的投影重合。
b● ●A ●B
X
a● (b)
重影点
●D ●C
d● ●c
a b X
●
a (b)
● ●
● ●
●c (d )
Y
投影面和投影轴上点的投影
例1：已知A点的坐标(20,15,10),B点的坐标 (30,10,0)，C点的坐标(15,0,0),作出各 点的三面投影图。
Z
b X●
b●
a● c
●●
c 20 a●
a
●
●
10
● c
b
●
YW
15
●
YH
B点在H面上，C点在X轴上
例2：已知点的两个投影，求第三投影。
投影轴上点：空间点的坐标值有两个为零。
X 轴上点 （X、0、0） Y 轴上点 （0、Y、0） Z 轴上点 （0、0、Z）
原点上的点 （0、0、0）
Z
V
N n
n
●
●
X
K k n
●
●
m ●
O ● k
k
n ●
X k
●
k
n●
W
M ●m
● m
Z n ●
m
●
O ● k
m ●
YW
m●
YH
投射线都互相平行的投影法叫平行 投影法，所得的投影叫平行投影。
平行投影法：正投影法 斜投影法
投影特性 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好。 工程图样多数采用正投影法绘制。以后将 “正投影”简称为“投影”。
画透视图
中心投影法
画斜轴测图
投影法
斜投影法
平行投影法
正投影法
画工程图样 及正轴测图
水平线(∥H,∠V,∠W)
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
投影面平行线 正平线(∥V,∠H,∠W)
侧平线(∥W,∠H,∠V)
统称特殊位置直线
铅垂线(⊥H,∥V,∥W)
垂直于某一投影面 投影面垂直线 正垂线(⊥V,∥H,∥W)
侧垂线(⊥W,∥H,∥V)
直线与投影面夹角