1点和直线 画法几何基础
画法几何直线直线的相对位置直角投影定理直角三角性法课件
在求解过程中，需要注意单位和 单位换算，以及角度的取值范围
。
在求解过程中，需要注意检查解 的合理性，避免出现不符合实际
情况的解。
05
应用实例
建筑图纸中的应用
建筑图纸中，直线是基本的构成元素，用于表示墙、柱、梁等结构的轮廓和位置。
通过直线的相对位置，可以确定建筑物的平面布局和立体结构，例如平行线表示平 行的墙面或地面，交叉线表示相交的墙角或交叉的梁等。
日常生活中的应用
在日常生活中，直线也无处不在，例 如道路、桥梁、栏杆、门窗等的设计 和布局都需要用到直线的相对位置和 投影定理。
直角三角性法在日常生活中的应用也 很多，例如测量角度、确定位置等。
THANKS
感谢观看
感。
注意事项
透视投影定理需要考虑观察者的 视点和视线方向，以及物体与投 影面的相对位置，因此在实际应
用中需要仔细考虑和计算。
04
直角三角形法
直角三角形的基本性质
直角三角形中，直角 所对的边是斜边，是 三角形中最长的边。
直角三角形中，斜边 的平方等于两直角边 的平方和，即 $c^2=a^2+b^2$ 。
直角投影定理在建筑图纸中也非常重要，它确保了图纸上的图形与实际物体保持一 致，特别是在绘制垂直面和倾斜面的交线时。
机械制图中的应用
在机械制图中，直线是用于表示机件 、零件的轮廓、尺寸线和装配关系的 图形元素。
直角投影定理在机械制图中也起着关 键作用，确保了图纸上的图形与实际 机件或零件相符。
通过直线的相对位置，可以确定机件 或零件的形状和大小，例如平行线表 示平行的表面或边缘，交叉线表示相 交的轴线或配合面等。
正投影定理
01
02
《画法几何》第2章 点、直线、平面的投影
相交（或交 叉）成直角 的两直线， 只要其中有 一条直线平 行于某投影 面，则它们 在该投影面 上的投影仍 反映直角
水平线
Ｂ
b a
Ａ Ｃ
c
反之，两直线之一是某投影面平行线，且两直线在该投影面 上的同名投影互相垂直，则在空间两直线互相垂直
[例2-7]已知过点A作线AB平行于EF，问AB与CD是否相 交(习题P25-4)
Ⅰ∈AB Ⅱ∈CD
Ⅲ∈AB Ⅳ∈CD
3 4） （
1
b
判断重影点重 合投影的可见性 时，要在其他投 影中比较它们坐 标的大小。
直角投影定理
当两直线都平行于某投影面对，其夹角在该投影 面上的投影反映实形。
当两直线都不平行于某投影面时，其夹角在该投 影面上的投影一般不反映实形。
a b
a c b
c
b0
c
b
d
[例2-11]作一直线与AB和CD相交，并与它们垂直（即 求两直线的公垂线），并标明其真实距离
c´ b´
f´
a´
e´
d´ c (d) e
a
真ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ距离
f
b
点的投影
直线的投影
两直线的相对位置
平面的投影（自学）
平面的投影
平面的投影
平面的投影性质
P
A D C B
q p H d
根据一般位置直线的投影求其实长和倾角 （直角三角形法）
b´
m
V
a´
α
b´
B
C
X
a´
1、过A点作 AC//ab 2、过b点作 O bb ⊥ab,且 0 bb0=BC
A b
a
α
画法几何及工程制图知识点
画法几何及工程制图知识点在现代社会中，几何和工程制图是非常重要的学科和技能。
无论是建筑设计、机械制图还是城市规划，都需要准确的画法几何和工程制图知识。
本文将介绍几何学和工程制图的一些基本知识点。
一、线段和直线线段是由两个不同的点所连接而成的一条线，可以通过使用直尺或线段裁剪器来绘制。
直线是由无数个点组成的，可以在纸上任意延伸。
直线可以用直尺来绘制。
二、平行和垂直线平行线是在平面上方向相同但永不相交的两条线。
可以通过使用平行尺或直尺和传统绘图方法来绘制平行线。
垂直线则是与平行线相交成直角的线。
三、角度角度是由两条边的交点以及这两条边所围成的空间的两个部分组成。
角可以通过使用量角器或者画圆的方法来绘制。
四、多边形多边形是由三个或者更多的线段组成的封闭图形。
常见的多边形有三角形、四边形、五边形等等。
多边形的绘制可以使用直尺和量角器。
五、投影在工程制图中，投影是一种绘图方法，用于在二维平面上表示三维物体。
常见的投影方式有正投影和等轴投影。
正投影是将三维物体的各个平面在垂直于投影平面的方向上投影到虚拟的平面上，形成二维图形。
等轴投影是在一个方向上等比例缩放物体，并在另一个方向上等角度倾斜。
这种投影方法可以产生更真实且更容易理解的图像。
六、比例尺比例尺是表示实际距离和图纸上距离比例的一种表示方法。
常用的比例尺有毫米比例尺、分米比例尺和米比例尺等。
绘制时，通过测量距离和将其与比例尺的比例相对应，可以在图纸上准确地表示实际的大小。
七、曲线曲线在工程制图中也是常见的元素。
绘制曲线时，可以使用弧形或自由曲线工具。
弧线可以通过确定弧的半径和中心来绘制。
自由曲线则通常是通过手绘来完成。
总结画法几何和工程制图是建筑师、设计师和工程师等专业人员必备的技能。
通过掌握几何学的基本概念，如线段、角度和多边形等，以及工程制图相关的知识，如投影、比例尺和曲线等，可以准确地表示和传达设计意图。
这些基本知识不仅在工作中非常重要，同时也能培养人们的观察力和表达能力。
东华大学画法几何及工程制图-第1章-点和直线
判断两直线的相对位置 方法二
c
d b a k c d
方法一
X
a’s’ s’b’ b0 s0
b a s b
c d
X
a k b c
d
a s : s b= as : sb 结论：AB平行CD
11:14:59 东华大学机械工程学院
AB、CD同面
36
§1.5 点、直线的相对位置－两直线的相对位置－相交 C K B Z b b c A D c k k d d a a c a b k O H X c b
Y
X
O a
B
b
b
东华大学机械工程学院
11:14:59
17
§1.3 直线的投影-各类直线的投影特性－特殊位置直线－正平线
b
Z
B
Z b b
a
a
b
a
X
O
a
YW
A
X
a
O
b
a
b YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ 2． a b=AB 3． 反映、的真实大小
东华大学机械工程学院
10
第1章 点和直线
§1.1 点的投影
§1.2 两点的相对位置
§1.3 直线的投影
§1.4 直线段的实长和对投影面的倾角
§1.5 点、直线与直线的相对位置
机械工程学院
§1.2 两点的相对位置-相对位置的确定
b
a
A
B
b a
前后－左右－上下
XA > XB , B点在A点右 YA < YB , B点在A点前 ZA < ZB , B点在A点上
画法几何知识点
画法几何知识点画法几何是一门研究在平面上用图形表示空间几何形状和位置关系的学科。
它是工程制图的基础，对于建筑、机械、航空航天等领域的设计和制造有着至关重要的作用。
下面就让我们一起来了解一些画法几何的重要知识点。
一、投影法投影法是画法几何的核心概念之一。
投影法分为中心投影法和平行投影法。
中心投影法是指投影线由一点发出，所得到的投影图大小会随物体与投影中心的距离变化而变化。
这种投影法常用于绘制透视图，能给人一种立体感和真实感，但在工程制图中应用较少。
平行投影法又分为正投影法和斜投影法。
正投影法是指投影线相互平行且垂直于投影面，所得到的正投影图能够准确地反映物体的形状和大小，度量性好，是工程制图中最常用的投影方法。
斜投影法的投影线相互平行但不垂直于投影面，常用于绘制某些具有倾斜结构的物体。
二、点、线、面的投影（一）点的投影点的投影规律是：点的正面投影与水平投影的连线垂直于 X 轴，点的正面投影与侧面投影的连线垂直于 Z 轴，点的水平投影到 X 轴的距离等于侧面投影到 Z 轴的距离。
（二）直线的投影直线在投影面上的投影可分为三种情况：一般位置直线、投影面平行线和投影面垂直线。
一般位置直线与三个投影面都倾斜，其三个投影都倾斜于投影轴，且长度小于实长。
投影面平行线平行于一个投影面，与另外两个投影面倾斜。
其中，平行于 H 面的直线称为水平线，平行于 V 面的直线称为正平线，平行于 W 面的直线称为侧平线。
投影面垂直线垂直于一个投影面，与另外两个投影面平行。
垂直于H 面的直线称为铅垂线，垂直于 V 面的直线称为正垂线，垂直于 W 面的直线称为侧垂线。
（三）平面的投影平面在投影面上的投影可分为一般位置平面、投影面垂直面和投影面平行面。
一般位置平面与三个投影面都倾斜，其三个投影都是类似形。
投影面垂直面垂直于一个投影面，与另外两个投影面倾斜。
其中，垂直于 H 面的平面称为铅垂面，垂直于 V 面的平面称为正垂面，垂直于 W 面的平面称为侧垂面。
画法几何与土木建筑制图 第3章 点、直线的投影及两直线的相对位置
V
a'
X
ax
Z
az
A
a''
O
a
ay
Y
(a)立体图
a' X aX
a
Z
aZ
a''
YW O aYW aYH YH
V
a'
b' W
a'
b' Z
a''(b''
X
A
O B)
X
a b
Y
立体图
a
投影特性: a''b'' 积聚为一点
ab ∥a'b'∥OX
ab= a'b'=AB
O
b
YH 投影图
a''(b'')
YW
2. 投影面平行线投影特性
V
a'
X
Z
b' W
B
αγ
A
a b
正平线
a' α
b''
X
a''
b' Z γ
O
Y
立体图
a
正平线投影特性:
b'
X
Z
a'
a''
画法几何及机械制图 第二章 点、直线和平面的投影
a
定比作图方法
c
b
§2－2 直线的投影
例2 已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。
b Z
b
V
b
c a C B
X
A
O
a
X
a
a
O
a
c YW
a
c Hb
c b
YH
§2－2 直线的投影
例3. 在直线AB上取一点C, 使AC = L，求点C的两投影。
b c
a
L
b c
a
a
X
a
b
L
c
ZAB
O
b
c
ZAB
b0
L
c0
平面对 投影面的倾 角、、
二、各种位置平面的投影特性
§2－3 平面的投影
投影面垂直面： 垂直于一个、倾斜 于另两个投影面的 平面
V面—正垂面 H面—铅垂面 W面—侧垂面
特殊位 置平面
投影面平行面： 平行于一个、同时 垂直于另两个投影 面的平面
V面—正平面 H面—水平面 W面—侧平面
投影面倾斜面： 对三个投影面都倾 斜的平面
c b
X
b O c
YW
当两直线均为
b
一般位置直线时， c
若有两个同面投影 满足上述条件，则 空间两直线相交。
d
a
YH
§2－2 直线的投影
3. 交叉两直线
既不平行又不相交的两直线
b
1(2 )
d
c
a
Ⅱ
2 Ⅰd
c
b
a1
b d
1(2 )
c
X a
O
d
c
a
画法几何及机械制图课件：第章直线、平面的相对位置 (一)
画法几何及机械制图课件：第章直线、平面
的相对位置 (一)
本文将从以下三个方面详细介绍《画法几何及机械制图课件》第一章内容，主要包括直线、平面基本概念、相互位置关系和解题技巧。
一、基本概念
直线：有无数个点组成，是长度无限的线段。
通常用一字母标记，如AB。
平面：是用无数个点组成的，长度和宽度均无限的平面。
通常用大写字母表示，如平面α。
向量：它由长度和方向两部分组成，通常用小写字母加无箭头表示，如a。
二、相互位置关系
相交：两条直线或直线与平面相交于一点。
平行：两条直线不相交，在平面外平移但方向不变。
垂直：两条直线相交，在相交点处互相垂直。
相交于无穷远处：两条平行直线或直线与平面，因长度无限，永远不相交。
但可借助扩展线找到两条直线的交点，如图1-5。
三、解题技巧
绘图法：根据问题条件用图示，找到几何实体的相对位置。
假设法：缺少某个条件时，可以先“假设”该条件成立，然后根据已知条件推出结论，并且判断假设条件是否合理。
巧用扩展线：有些相互位置关系，可能在图中表现不出来，可以利用扩展线把直线或平面延长，找到相应点的位置。
综上所述，《画法几何及机械制图课件》第一章介绍了直线、平面的基本概念和相互位置关系，以及解决几何问题的技巧。
这些基础内容是后续学习几何和机械制图必须掌握的知识点，希望同学们能够认真学习和练习，掌握相关技能，为更深入的学习打下坚实的基础。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.3 直线的投影
一、直线的投影特性
a?●
两点确定一条直线，将两 点的 同面投影 用直线连接，就
X
Z
b?●O来自●a? ● b?Y W
得到直线的同面投影。
a●
⒈ 直线对一个投影面的投影特性 b● YH
A● C● B●
●
a(b) (c )
B
●
A●
●b a●
●B ?
A●
●b a●
直线⊥投影面 重合为一点 积聚性
投影轴上点：空间点的坐标值有两个为零。
X 轴上点 （X、0、0） Y 轴上点 （0、Y、0） Z 轴上点 （0、0、Z）
原点上的点 （0、0、0）
Z
V
N n?
n?
●
●
X
K k? n
●
●
m? ●
O ● k?
k
n?●
X k?
●
k
n●
W
M ●m ● m?
Z n? ●
m?
●
O ●
k?
m? ●
YW
m●
YH
Y
a?●
X
a●
Z
b?
●
O
a?
●
● b?
YW
通过作45°辅助 线使a?az=aax
●
b
YH
1.2 两点的相对位置
一、两点的相对位置的确定
两点的相对位置指两点在空间的
上下、前后、左右位置关系。
Z
Z
V
上
上
X
左
右 下
后上
O
W
左
X
下
右
后
O
前
YW
后
下前
后
左
右
前
前 YH
Y
判断方法
★ x 坐标大的在左 ★ y 坐标大的在前 X ★ z 坐标大的在上
投影特性 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好。 工程图样多数采用正投影法绘制。以后将 “正投影”简称为“投影”。
画透视图
中心投影法
画斜轴测图
投影法
斜投影法
平行投影法
正投影法
画工程图样 及正轴测图
1.1 点的投影
一、点在一个投影面上的投影
过空间点A向投影面P 作垂线，交点a?唯一确定。
投影面和投影轴上点的投影
例1：已知A点的坐标 (20,15,10), B点的坐标 (30,10,0) ，C点的坐标 (15,0,0), 作出各 点的三面投影图。
Z
X b●? b●
a●? c?
●●
c 20 a●
a?
●
●
10
● c?
b?
●
YW
15
●
YH
B点在 H面上， C点在X轴上
例2：已知点的两个投影，求第三投影。
直线∥投影面 反映实长
ab=AB
直线∠投影面
投影长变短
ab=AB.cos?
⒉ 直线在三个投影面中的投影特性 取决于直线与三个投影面的相对位置。
与三个投影面都倾斜 一般位置直线 (∠ H ,∠ V,∠W)
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
水平线 (∥H,∠V,∠W) 投影面平行线 正平线 (∥V,∠H,∠W)
V
或V面）
◆水平投影面（简称水平 X 面或H面）
Z OW
◆侧立投影面（简称侧面
或W面）
Y
投影轴
OX轴 OY轴 OZ轴
V面与H面的交线 H面与W面的交线 V面与W面的交线
三个投影面 互相垂直
空间点A在三个投影面上的投影
Z
a?
点A的正面投影
V a?●
a 点A的水平投影 X
A
●
O ●a? W
a? 点A的侧面投影
侧平线 (∥W,∠H,∠V)
统称特殊位置直线
铅垂线 (⊥H,∥V,∥W)
垂直于某一投影面 投影面垂直线 正垂线(⊥V,∥H,∥W)
侧垂线 (⊥W,∥H,∥V)
直线与投影面夹角
a●
Y
注意 空间点用大写字母表示，
点的投影用小写字母表示。
V a? ● A ●
X ax
a●
Z
az
●a?
O
W
ay
Y
组成了一个长方体
aax= a?az = y= Aa?（A到V面的距离） aay= a?az = x = Aa?（A到W面的距离） a?ax= a?ay = z= Aa （A到H面的距离）
投影法及其分类 1.1 点的投影 1.2 两点的相对位置 1.3 直线的投影 1.4 线段的实长和对投影面的倾角 1.5 点、直线与直线的相对位置 本章小结
投影法及其分类 一、投影法的基本知识
投射线
●S A●
● a 投影
投射中心
P
投影法的分类：中心投影法和平行投影法
二、中心投影法
投射线都由一点出发的投影法叫 中心投影法，所得的投影叫中心投影。
a●? b?
●
a●
●
b
Z ●a?
● b?
o
YW
YH
B点在A点之前、 之右、之下。
［例］如图，已知点 A的三投影，另一点 B在点A上方8mm， 左方12mm，前方10mm处，求点 B的三个投影。
b?● X
●
b
Z a?●
O a●
b?
●
●a?
作图步骤：
1)在a?上方8mm ,左方12m 处确定b ?；
YW 2)作b?b⊥OX ,且在a 前 方10mm处确定b；
3)按投影关系求得b?
YH
二、重影点的投影
V
点A、B对H面的投影重合，
a?●
c?(d ?) ●
点C、D对V面的投影重合。
b?● ●A ●B
X
●
a (b)
重影点
●D ●C
d● ●c
a?●
b?● X
●c?(d ?)
o
●
●d
a (b)
●c
对水平投影面，上遮下 对正面投影面，前遮后 对侧面投影面，左遮右
空间两点在某一投影面 上的投影重合为一点时，则称 此两点为该投影面的重影点。
投射中心 ● S
投射线
物体
投影
投影面
物体位置改
变，投影大 小也改变。
投影特性
投射中心、物体、
投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影
响。
度量性较差。
中心投影法立体感强，常用来绘制建筑物 或产品的立体图，也称之为透视图。
三、平行投影法
投射线都互相平行的投影法叫平行 投影法，所得的投影叫平行投影。
平行投影法：正投影法 斜投影法
投影面展开
V a?● X ax
H a●
不动
Z
az
a? W ●
V a? ●
Z 向右翻
az
O
A
aYW YW X a x
●
●a?
O
W
a●
aYH
YH
向下翻
ay
Y
a?● X ax
a●
Z az
O
YH aYH
a?
●
aYwYw
V a? ●
A
X ax
●
a●
Z
az
O
●a? W
ay
点的投影规律
Y
① a?a⊥OX 轴 a?a?⊥OZ轴
P
●a?
反之，已知投影b?，
A●
不能确定空间点B。
P
点在一个投影面上的投 影不能确定点的空间位置。
采用多面投影
B1
B2
B3 ●
●
●
● b?
V
Ⅱ Ⅰ
ⅢX Ⅳ
正（立）投影面
水平投影面
O
两个互相垂直的平面将空间划分为四个分角： 第一分角、第二分角、第三分角和第四分角。
二、点的三面投影
投影面
◆正立投影面（简称正面
② aax = a?az = y = Aa?（A到V面的距离） aay = a?az = x = Aa?（A到W面的距离） a?ax= a?ay = z = Aa （A到H面的距离）
一般位置点
空间点的三个坐标值X、Y、Z均不为 零，称该点为一般位置点。
特殊位置点
投影面上的点：空间点的坐标值有一个为零。