张量分析在建立力学平衡方程的运用
曲梁的应用及研究
曲梁的应用及研究作者：孙皆宜来源：《科技风》2018年第16期摘要：随着工程建设的不断复杂，直梁已经无法满足实际需求，对曲梁的研究显得尤为必要，特别是在材料科学与工程方面，显得尤为必要。
本文通过研究国内外对曲梁的研究，并结合曲梁力学模型的理论研究，对刚度矩阵在曲梁的分析进行了探讨。
关键词：曲梁；梁平衡；刚度矩阵；有限单元法在无载荷的条件下，具有平面曲线轴的梁，通常称为曲梁。
现代结构工程中，尤其是在桥梁工程中，曲梁的应用非常广泛，在船舶工程和航天工业中也有着广泛的应用。
曲线梁样式多样，如连续曲梁、薄壁开口曲梁、复合曲梁、多曲梁等。
根据线性分为变曲率曲梁、圆弧和直线的组合曲梁等；按截面形式分为I型、槽型等。
从外观上来说，曲线梁桥造型独特，和周围的环境，可以带来美的视觉上的享受，满足人们的审美要求；从结构上来说、曲线梁桥能很好地适应地形、地物的限制要求，使交通规划更加科学合理，具有更好的承载能力。
近年来，随着科学技术的不断进步，特别是材料科学方面的进步，复合材料的大量出现，使得曲梁的应用空间得到了极大的扩展。
同时，随着交通和城市建设的进一步发展，高等级公路、铁路和城市立交枢纽的曲线桥逐渐增多。
曲线梁的分析方法也受到国内外许多学者的关注。
然而，由于曲梁原有曲率的存在，使得曲梁的力学性能非常复杂，研究较为困难，其中曲梁的稳定性是一个非常突出的问题，而且曲梁的屈曲理论远远小于直梁的屈曲理论。
许多学者对曲梁理论进行了研究，但结果却不尽相同。
一、国内外研究现状相对直梁的研究，曲梁的研究相对较晚，最早的研究可以追溯到十九世纪，S.Venant在1855和1856年用半逆解法分别求解柱体扭转和弯曲问题，对圆截面曲杆的扭转理论进行了研究。
曲梁这一理论直到二十世纪50年代才开始了更深入的研究，前苏联学者Vlasov[1]建立了经典的稳定性理论，曲梁在直梁平衡方程中，相应的曲率被替换，得到曲梁。
随后曲梁的研究，基本上都是基于Vlasov的理论展开的。
弹性力学张量分析学习—对于初学者很有用
ei ej＝ ij
34
符号ij 与erst
当三个基矢量ei , ej , ek 构成右手系时，有
ei e j eijk ek
而对于左手系，有：
ei e j eijk ek
e3
e1 e1
e3 e2
e2
35
符号ij 与erst
2. 矢量的点积：
a b (a j e j ) (bk ek ) a j bk (e j ek ) a j bk jk a j b j ak bk
Advanced Mechanics of Composite Materials
补充材料 : 张量分析初步
1
目 录
引言
张量的基本概念，爱因斯坦求和约定
符号ij与erst
坐标与坐标转换
张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分
描述一些复杂的物理量需要二阶（或高阶）张量；
低阶张量的梯度； 低阶张量的并积； 更高阶张量的缩并，等。
张量基本概念
应力张量
张量基本概念
张量的三种记法：
实体记法：
分解式记法：
11e1e1 12e1e2 13e1e3 + 21e2e1 22e2e2 23e2e3 + 31e3e1 32e3e2 33e3e3
31
符号ij 与erst
erst 符号 (排列符号或置换符号，Eddington)
定义(笛卡尔坐标系)
1 erst 1 0
当r, s, t为正序排列时 当r, s, t为逆序排列时 当r, s, t中两个指标值相同时
弹塑性力学课后习题答案
七、张量概念及其基本运算（附录一）
1、张量概念
◆ 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介 质力学的重要数学工具 。
◆ 张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。
◆ 任一物理现象都是按照一定的客观规律进行的， 它们是不以人们的意志为转移的。
不考虑因变形而引起的力作用线方向的改变； （B）在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二
次以上的高阶微量；
从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。
六、弹塑性力学发展概况
◆ 1678年英国科学家虎克(R.Hooke)提出 了固体材 料的弹性变形与所受外力成正比——虎克定律。
◆ 19世纪20年代，法国科学家纳维叶 ( C.L.M.H.Navier )、柯西 ( A.L.Cauchy )和 圣文南 ( A.J.C.B.Saint Venant ) 等建立了 弹性力学的理论基础。
二、 弹塑性力学的研究对象
在研究对象上，材料力学的研究对象是固 体，且基本上是各种杆件，即所谓一维构件。
弹塑性力学研究对象也是固体，是不受 几何尺寸与形态限制的能适应各种工程技术 问题需求的物体。
造成两者间这种差异的根本原因是什么呢？
三、弹塑性力学的基本思路与研究方法
1、弹塑性力学分析问题的基本思路
弹塑性力学课后习题答案
第一章 绪 论
一、 学科分类 ·弹塑性力学 二、 弹塑性力学的研究对象 三、 弹塑性力学的基本思路与研究方法 四、 弹塑性力学的基本任务 五、 弹塑性力学基本假设 六、 弹塑性力学发展概况 七、张量概念及其基本运算
一、学科分类 ·弹塑性力学
1、学科分类
按运动与否分：
固体力学基本方程
固体力学基本方程固体力学是研究物体在受力作用下的变形和运动的学科。
其基础是一些基本方程，这些方程是描述固体材料力学行为的数学表达式。
本文将介绍固体力学中的基本方程，包括应力-应变关系、变形与位移关系、能量方法、力学平衡方程和边界条件等。
1.应力-应变关系应力-应变关系是固体力学中最基础的方程之一。
它描述了外力作用下固体材料的应变与应力之间的关系。
根据麦克斯韦方程，应变是应力与弹性模量之间的比例关系。
对于线弹性材料，应力与应变之间满足胡克定律，即应力等于弹性模量与应变的乘积。
2.变形与位移关系变形与位移关系是描述固体材料在受力作用下发生变形时，材料内部各点位移与应变之间的关系。
对于小变形情况，可以利用拉格朗日描述变形。
拉格朗日公式用位移场来描述固体的运动，并与应变场相关联。
位移与应变之间的关系可由位移梯度张量和应变张量之间的关系给出。
3.能量方法能量方法是固体力学中一种重要的分析方法。
它基于能量守恒原理，通过计算系统储存的弹性势能和外界对系统做的功来得出力学行为。
能量方法不仅可以用于弹性材料的分析，还可以用于塑性、粘弹性和断裂等不同力学行为的分析。
4.力学平衡方程力学平衡方程是固体力学中最基本的方程之一。
它描述了固体物体在受力作用下的平衡条件。
根据牛顿定律和力的平衡性，可以得出力学平衡方程。
对于静力学平衡，作用在物体上的体力之和等于零；对于动力学平衡，还需要考虑物体的加速度。
5.边界条件边界条件是解固体力学问题时必须考虑的重要因素之一。
它描述了固体物体与外界的相互作用。
边界条件可以包括位移边界条件、力边界条件和热边界条件等。
位移边界条件描述了物体的边界上的位移情况，力边界条件描述了物体与外界的力的作用关系，热边界条件描述了物体在温度变化下的行为。
固体力学基本方程是固体力学研究的基础，它们为解决工程和科学问题提供了框架和方法。
这些方程的应用范围广泛，包括材料强度分析、结构力学、固体材料的变形和破坏行为等。
张量理论与张量分析的应用
计算方法：通过对张量的分量进行 变换和组合，可以计算出张量的对 称性。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
分类：根据对称性的不同，可以将 张量分为不同类型，如对称张量、 反对称张量等。
应用：张量的对称性分析在物理学、 工程学等领域有着广泛的应用，如 弹性力学、流体力学等。
定义：特征值是线性变换下的不变量，特 征向量是线性变换下的向量。
描述张量在环境科学中的具体应用场景 介绍张量在环境科学中的重要性和作用 分析张量在环境科学中的优势和局限性 探讨张量在环境科学中的未来发展方向
汇报人：XX
添加项标题
张量分析在数据科学中的应用：利用张量分析的方法对多维数 据进行处理、分析和挖掘
添加项标题
张量在数据降维中的应用：通过张量分解等方式降低数据的维 度，提高处理效率和可解释性
添加项标题
张量在数据分类和聚类中的应用：利用张量表示的数据结构对 数据进行分类和聚类，提高分类和聚类的准确性和稳定性
XX,a click to unlimited possibilities
汇报人：XX
CONTENTS
PART ONE
PART TWO
张量是一个数学概 念，用于描述物理 现象中的多维数据
张量具有标量、向 量和矩阵等基本数 学对象的性质
张量可以表示物理 量在不同参考系下 究电磁场、电流 密度等物理量
振动分析：用于研 究结构的振动特性、 频率响应等
金融数据分析：利用张量进行多维数据分析，挖掘金融市场的潜在规律和趋势。 风险评估：利用张量模型评估金融市场的风险，为投资决策提供支持。 预测模型：利用张量构建时间序列预测模型，预测经济指标和金融市场的走势。 营销策略：利用张量分析消费者的购买行为和偏好，制定更精准的营销策略。
张量分析及其应用
⎧1, i = j δ ij = ⎨ ⎩0, i ≠ j
δ 其中 i，j 为自由指标，取遍1，2，3；因此， i j 可确 定一单位矩阵：
⎡δ 11 δ 12 δ 13 ⎤ ⎡1 0 0⎤ ⎢δ δ 22 δ 23 ⎥ = ⎢0 1 0⎥ ⎢ 21 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢δ 31 δ 32 δ 33 ⎥ ⎢0 0 1⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∂U i =0 ∂xi
或
∂U1 ∂U 2 ∂U 3 + + =0 ∂x1 ∂x2 ∂x3
∂U x ∂U y ∂U z + + =0 ∂x ∂y ∂z
1.4 指标记法的运算
1.4.5 例题 ——熟悉指标记法和普通记法的转换 不可压缩牛顿流体的Navier-Stokes方程：
∂U i ∂p ∂U i ∂U i ) = ρ bi − ρ( +U j +μ ∂x j∂x j ∂t ∂x j ∂xi
写出其普通记法
1.4 指标记法的运算
1.4.5 例题 ——熟悉指标记法和普通记法的转换 弹性力学平衡方程方程：
∂Txx ∂Txy ∂Txz + + + bx = 0 ∂x ∂z ∂y ∂Tyx ∂x + ∂Tyy ∂y + ∂Tyz ∂z + by = 0
∂Tzx ∂Tzy ∂Tzz + + + bz = 0 ∂x ∂z ∂y
是一个数值，即
δ ii = 3
δi j
的作用：1）换指标；2）选择求和。
例1：
Ai → Ak
δ k i Ai = δ k k Ak = Ak
思路：把要被替换的指标 i 变成哑标，哑标能 用任意字母，因此可用变换后的字母 k 表示
从张量的角度推导流体力学三大基本方程
从张量的角度推导流体力学三大基本方程首先要讲一点，从张量的角度来看，流体力学的三大基本方程就是物理学家们在最初探讨介质流动的基本思路，也就是物理四大基本方程组的应用。
因此，我们可以借助张量的思维，来解释它们之间的联系和关系。
物理学家莱布尼茨首次提出物理的四大基本方程，有基于的物质的物理过程，包括动能守恒定律、牛顿第二定律、热力学定理和电磁学方程，这四个定理被称为"物理四大基本方程"。
运用张量计算，物理四大基本方程组可以表示为扩散方程（物体总动能守恒）、质量守恒方程（物体质量守恒）、动量守恒方程（物体总动量守恒）和能量守恒方程（物体总能量守恒）。
因此，从张量的角度来看，流体力学的三大基本方程就可以被推导出来了，它们分别是物质及能量流量守恒方程（散度定律）、恒定流体能量方程（动量守恒方程）和变量流体压力方程（勒莱塔方程）。
物质及能量流量守恒方程，就是基于张量计算的变量物质流动的物理过程，它表示物体总本量的流动的等离子体及其能量的守恒，其正视图扩散方程可以表示为：∇•∇*T=0，T表示物质总本量的流动及其能量；恒定流体能量方程，主要对物体动量而言，基于张量表示，比如动量方程：。
∇•(Y×Y )=0， Y表示动量；最后是变量流体压力方程，这是在勒莱塔方程的基础上的进一步发展，它结合了物质及能量流浪的特性，表示为：Φ=Φ(F/L-q*h)，其中F表示动量、L表示动量流浪速度、q表示物质流浪的密度以及h表示压力的空间变化。
总之，流体力学三大基本方程实质上都是应用物理四大基本方程和张量思维，在有限时间和空间范围内对物体总本量和其能量变化和动力学过程进行守恒性分析的方法。
鉴于其复杂性，可以用来研究复杂物理过程，比如流体动力学。
第三连续介质力学之张量分析
（3）考察边界条件：无体力、无面力，
（4）结论：线性函数对应于无荷载的情况，应力函数 Ф 的线性项不影响应力分布，研究问题时可舍去。
2. 二次函数
考察其能解决的问题。 （1）检查Φ 是否满足 4 0
4
1) ax
2
4
x
2
4 2
2
x y
4
4
y
0
能被满足
（2）根据（2—23）求出应力分量{；
2 fxx 0 x 2 y 2 f y y 2a y 2 x 2 0 xy xy
x
4
2
4
x y
v y
u y
xy
3、物理方程
x
E
2
(
x
y
)
y
1
E
2
(
y
x
)
应力用 位移表示
xy
2 (1 )
E u ( x 2 1 x E v ( y 2 1 y E v xy ( 2(1 ) x
u y u y
)] s f x )] s f y
(
( S S )
us u ( S S u ) vs v
未知函数—应力、 应变、位移
位移分量
u,v
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（19）
以及 等。 同样的，对于运动情况有
（21） （20）
式中，αi为加速度分量，ρ为密度。如果为Fi为根据单位质量测得 的值，ρ Fi那么它应该用代替。
（8）
又
（9）
将式（9）代入式（8）得
（10）
但从力的平衡式（5）得
，那么
（11）
由于
（12）
将式（12）代入（11）得出
（13）
或
（14）
对于任一体积，有
（15）
其中隐含
（16）
例如，考虑i=1的情况，那么式（15）给出以下非零项
（17）
但
，所以
。
利用式（16），则式（5）可以写成
（18）
式（18）和式（16）可以用（x,y,z）(von Karman)标记写成
对于物体的任一体积V，其表面积为A,如图1所示，于是有以 下的平衡条件：力矢量和为零，即 ，或
（1）
对点的力矩矢量和为零，即
，或
（2）
将
代入，式（1）可写成
（3）
利用散度定理，上式可表示成
（4）
图1
对于一个任意的体积
（5）
同样，式（2）可写成以下形式:
（6）
由散度定理，其i固定，有
（7）
于是，式（2）变成
张量分析在建立力学平衡 微分方程中的运用
研究问题中张量分析的必要性
自然界变化和运动是有规律的，认识这些规律是自然 科学的任务。而用数量来描述这些规律时，往往需要引入 坐标系，才能把数学带到自然科学中去。然而，本来与坐 标系选取无关的自然规律，它的数学表达形式不得不与坐 标系的选择夹杂在一起，而使人对其物理实质不易辨认。 张量的引入，则恰是力图既采用坐标系又摆脱具体坐 标系影响的一种尝试。使用张量，可以简化推导，使演算 使用张量， 使用张量 可以简化推导， 过程清晰，表达整齐， 过程清晰，表达整齐，用张量来描述自然科学中一些规律 所得的结果，在任何坐标系具有不变的形式，这将给研究 所得的结果，在任何坐标系具有不变的形式， 工作带来极大的方便。