《连续介质力学》期末复习提纲--弹性力学部分.docx
《连续介质力学》期末复习提纲
<连续介质力学> 期末复习提纲—弹性力学部分1、自由指标与哑指标判别 （★）2、自由指标与哑指标的取值范围约定3、自由指标与哑指标规则4、Einstein 求和约定 （★）5、Kronecker-delta 符号 （★）定义：0,1,ij i ji j δ≠⎧=⎨=⎩=性质：（1）ij ji δδ= （2）i j ij e e δ⋅=（3）1122333ii δδδδ=++= （4）j ij i a a δ= （5）kj ik ij A A δ= （6）ik kj ij δδδ=6、Ricci 符号（置换符号或排列符号） （★）定义：1,,,1,2,31,,1,2,30,,ijk i j k e i j k i j k ⎧⎪=-⎨⎪⎩为的偶排列，为的奇排列，中任两个相等性质：（1）ijk jki k ij jik ikj kji e e e e e e ===-=-=- （2）1232313121e e e === （3）1323212131e e e ===- （4）i j ijk k e e e e ⨯=（5）()k ijk i j a b e a b ⨯=， a 、b 为向量 7、ijk e 与ij δ的关系 （★） ijk imn jm kn jn km e e δδδδ=-8、坐标变换 （★） 向量情形：旧坐标系： 123123,,ox x x e e e →新坐标系： 123123,,ox x x e e e ''''''→ 变换系数： i j ij e e β'⋅= 坐标变换关系：()Ti ij j i ji j ji ij x x x x ββββ'='==矩阵形式为：111121312212223233132333x x x x x x βββββββββ'⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦或[][]T111213123123212223313233,,,,x x x x x x βββββββββ⎡⎤⎢⎥'''=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 111121312212223233132333x x x x x x βββββββββ'⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦或[][]T111213123123212223313233,,,,x x x x x x βββββββββ⎡⎤⎢⎥'''=⎢⎥⎢⎥⎣⎦张量情形A ij 与A ij 是两个二阶张量，ij β是坐标变换系数矩阵，则有 A A ij im jn mn ββ=矩阵形式为 ij ip pq qj A A ββ'⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，其中Tqj ij ββ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦ （★） 9、张量的基本代数运算 （1）张量的相等 （2）张量的加减法 （3）张量的乘积 （4）张量的缩并 （5）张量的内积（★） （6）张量的商法则 10、几中特殊形式的张量 （1）零张量 （2）单位张量（3）转置张量 （4）逆张量 （5）正交张量（6）二阶对称张量与二阶反对称张量（★）11()()22ij ij ji ij ji A A A A A =++-对称部分反对称部分若ij T 为对称二阶张量，则0ijk ij e T = （7）球张量与偏张量 11()33ij kk ij ij kk ij A A A A δδ=+-球张量偏张量（8）各向同性张量a. 零阶各向同性张量形式：标量b. 一阶各向同性张量形式：零向量c. 二阶各向同性张量形式：ij ij A αδ=，α为任意标量d. 三阶各向同性张量形式：ijk ijk B e β=，β为任意标量e. 四阶各向同性张量形式：()ijkl ij kl ik jl il jk C λδδμδδδδ=++，λ、μ为常数（★） 11、二阶对称张量ij T 的特征值与特征向量（★） 特征值λ与特征向量n 所满足的方程组：（★）111122133211222233311322333()0()0()0()0ij ij j T n T n T n T n T n T n T n T n T n T n λλδλλ-++=⎫⎪-=⇔+-+=⎬⎪++-=⎭计算特征值λ的方程：（★）11121321222331323300ij ij T T T T T T T T T T λλδλλ--=⇔-=-计算特征向量n 的方程：（★）111122133211222233311322333112233()0()0()01()01ij ij j i i T n T n T n T n T n T n T n n n T n T n T n n n n n n n λλδλλ-++=⎫⎪-=+-+=⎫⎪⇔⎬⎬=++-=⎭⎪⎪++=⎭第Ⅰ、Ⅱ与Ⅲ不变量的直接计算公式：（★）Ⅰ112233ii T T T T ==++Ⅱ2221122223333111223131()2ii jj ij ij T T T T T T T T T T T T T =-=++--- Ⅲ112233122331132132112332122133132231det()ij T T T T T T T T T T T T T T T T T T T ==++---利用三个特征向量计算三个不变量的公式：（★）Ⅰ123ii T λλλ==++ Ⅱ122331λλλλλλ=++ Ⅲ123det()ij T λλλ==12、张量分析简介（1）Hamilton 微分算子∇（★）笛卡尔坐标系中，∇的定义为123123e e e x x x ∂∂∂∇=++∂∂∂，2222222123x x x ∂∂∂∇=∇⋅∇=++∂∂∂若u 为标量函数，则梯度：123123u u uu e e e x x x ∂∂∂∇=++∂∂∂ 若u 为矢量函数，则散度：312123u u u u x x x ∂∂∂∇⋅=++∂∂∂ 若u 为矢量函数，则旋度：123123123e e e u x x x u u u ∂∂∂∇⨯=∂∂∂ 设u 为标量函数，,A B 为矢量函数，C 为常矢量，则有①()uC u C ∇⋅=∇⋅ ②()uC u C ∇⨯=∇⨯③()()()A B B A A B ∇⋅⨯=⋅∇⨯-⋅∇⨯ ④2()u u ∇⋅∇=∇ ⑤2()A A ∇⋅∇=∇ ⑥()0u ∇⨯∇= ⑦()0A ∇⋅∇⨯=⑧2()()A A A ∇⨯∇⨯=∇∇⋅-∇（2）Laplace 微分算子与Hamilton 微分算子的关系在笛卡尔坐标系中，Laplace 微分算子定义为：222222123x x x ∂∂∂∆=++∂∂∂Laplace 微分算子与Hamilton 微分算子的关系：2222123123222123123123e e e e e e x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇=∇⋅∇=++⋅++=++=∆ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭（3）三矢量的混合积及其几何意义（★） 对于如下的三个矢量112233112233112233A A e A e A eB B e B e B eC C e C e C e =++=++=++ 其混合积为123123123()A A A A B C B B B C C C ⋅⨯=上述混合积的几何意义是：三矢量的混合积()A B C ⋅⨯表示以A 、B、C 为棱的平行六面体的体积。
《连续介质力学》期末复习提纲-总
<连续介质力学> QM 复习提纲(2010.12)一、基本要求1、掌握自由指标与哑指标的判别方法及表达式按指标展开；2、掌握ij 与ijk e 的定义、性质及相互关系；3、掌握二阶张量坐标转换的计算；4、掌握二阶张量特征值、特征向量与三个不变量的计算方法；5、掌握哈密顿微分算子及其基本计算；6、掌握小变形应变张量、转动张量及转动向量的计算；7、掌握正应变的计算；8、掌握正应力、剪应力及应力向量的计算；9、掌握应力张量与应变张量的对称性；10、掌握能量密度及能通量密度向量的计算；11、掌握各向同性线弹性体的广义胡克定律的两种形式；12、掌握应力张量与体积膨胀率的关系；13、掌握各向同性线弹性体的应变能密度函数；14、会对材料的各个弹性参数之间的关系进行相互推导；15、掌握从质点的运动方程推导Navier 方程的过程；16、掌握从质点的运动方程出发推导纵横波的方程的过程；17、掌握地震波速度与泊松比的关系；18、掌握非均匀平面简谐波的传播特征；19、掌握P 波、SV 波入射到自由界面上的传播特征；20、掌握利用自由界面边界条件确定反射系数和反射波位移场的方法；21、掌握Reilaygh 波和Stonely 波的传播特征；22、掌握P 波入射到两种弹性体接触面上的反射系数和透射系数的计算方法；二、复习题简答论述题1、试解释“连续介质”所必须满足的条件。
2、简述弹性动力学基本假设。
3、说明应力、应变、正应力、正应变、剪应力及剪应变的含义。
4、说明杨氏模量、泊松比、体积模量与剪切模量的物理含义。
5、简述小变形应变张量的几何解释。
6、举例说明相容性条件的物理意义。
7、什么是应力主平面？什么是主应力与应力主方向？8、极端各向异性体有哪些特征？9、正交各向异性体有哪些特征？10、横向各向同性体有哪些特征？11、试说明Stoneley 波的传播特点？12、试说明Rayleigh 波的传播特点？13、以复数值形式表示的波向量所对应的位移为'''()i t A e e ω--=k x k x u d其中的'k 及''k 满足式ωχ22⎫''''''⋅-⋅=⎪⎬⎪'''⋅=0⎭k k k k k k 试论述该平面波的传播特征。
弹性力学期末复习提纲_854903739
《弹性力学》期末复习提纲第七章、平面问题1. 会正确区分是否是平面问题，如果是，具体属于哪类平面问题（平面应力、平面应变、广义平面应力、广义平面应变）？2. 明确各类平面问题中的各种非零变量，能够正确写出平面问题的平衡方程、几何方程、本构方程（注意平面应力和平面应变问题的区别，应力→应变、应变→应力）和边界条件。
极坐标下的方程不用专门记忆。
3. 知道根据应变协调条件，严格的平面应力问题必须满足线性条件：ax by c =++Θ或z Ax By C ε=++。
4. 知道根据几何方程，严格的平面应力问题必须满足变形后是平截面的条件：()w Ax By C z =++。
5. 会用位移法求解简单的平面问题，特别是轴对称问题和轴反对称问题（比如7-19题）。
6. 会用Airy 应力函数求解平面问题（直角坐标系、极坐标系，轴对称、非轴对称）。
要求能根据Airy 应力函数的基本性质来构造应力函数，并进一步通过双调和方程得到应力函数的通解，最后由边界条件确定其中的待定常数。
附录B 、泛函极值与变分法（不会专门考，但要求会用）1. 知道泛函和容许自变函数的概念。
2. 会正确计算给定泛函的变分。
3. 会求泛函的无条件极值问题。
4. 会求泛函的条件极值问题。
第十章、能量原理1. 明确“真实状态”、“变形可能状态”和“静力可能状态”的相关概念。
2. 理解“可能功”、“变形功”和“虚功”的概念。
对具体问题能正确写出其广义力和广义位移。
3.明确系统的总势能（应变能+外力势）和总余能（应变余能+余势）的物理意义、相互关系和具体的表达式。
对于具体问题，能够正确写出系统的总势能和总余能。
（注意：总势能中的基本未知量为位移或应变，总余能中的基本未知量为力或应力）4.明确“可能功原理”、“功的互等定理”、“虚功原理”、“极小势能原理”、“最小势能原理”、“余虚功原理”、“极小余能原理”和“最小余能原理”的：(1)表达式(2)物理意义（比如正定理、逆定理）(3)适用范围(4)各种能量原理的相互关系5.会使用“功的互等定理”解题（关键在于通过易求的状态得到难解的状态）6.会根据“虚功原理”、“极小势能原理”和“最小势能原理”，由变分法求得具体问题的欧拉方程和自然边界条件。
飞行力学复习提纲
第一章1. 连续介质模型：将流体看成是由无限多流体质点所组成的稠密而无间隙的连续介质。
2. 流体的弹性（压缩性）：流体随着压强增大而体积缩小的特性。
压缩系数的倒数称为体积弹性模量E ，他表示单位密度变化所需压强增量：ρρβd dp E ==1流体密度：单位体积中流体的质量。
表示流体稠密程度。
压缩系数β：一定温度下升高单位压强时，流体体积的相对缩小量。
｛注：当流体速度大于0.3马赫时才考虑弹性模量｝3. 完全气体状态方程：T nR mRT pV m ==｛kmolm m kkmol J m V R 3*414.228314==｝ 4. 流体粘性：在作相对运动的两流体层的接触面上，存在着一对等值而反向的作用力来阻碍两相邻流体层作相对运动。
5. 牛顿内摩擦定律：相邻两层流体作相对运动所产生的摩擦力F 与两层流体的速度梯度成正比；与两层的接触面积成正比；与流体的物理特性有关；与接触面上压强无关。
注：切应力τ：快同慢反静无，只是层流。
6. 理想流体：不考虑粘性（粘性系数0=μ）的流体。
7. 流体内部一点出压强特点：大小与方向无关，处处相等。
8. 质量力（B F ）｛彻体力、体积力｝：作用在体积V 内每一流体质量或体积上的非接触力，其大小与流体质量或体积成正比，流体力学中，只考虑重力与惯性力。
表面力（S F ）：作用在所取流体体积表面S 上的力，它是有与这块流体相接触的流体或物体的直接作用而产生的。
9.等压面：在静止流体中，静压强相等的各点所组成的面。
性质：（1）在平衡流体中通过每点的等压面必与该点流体所受质量力垂直。
（2）等压面即为等势面。
（3）两种密度不同而又在不相混的流体处于平衡时，他们的分界面必为等压面。
第二章1. 流线：某一瞬时流场中存在这样的曲线，该曲线上每点速度矢量都与该曲线相切。
（欧拉法）迹线：任何一个流体质点在流场中的运动轨迹。
（拉格朗日法） 区别：流线是某一瞬时各流体质点的运动方向线，而迹线则是某一流体质点在一段时间内经过的路径，是同一流体质点不同时刻所在位置的连线。
弹性力学复习提纲课件
边界元法
边界元法是一种只对问题 的边界进行离散化处理的 方法。
边界元法的优点在于其计 算量较小，适用于处理复 杂形状和边界条件的问题。
ABCD
边界元法通过将偏微分方 程转化为边界上的积分方 程，然后利用数值方法进 行求解。
边界元法的缺点在于其对 于内部应力分布的计算精 度较低。
多尺度弹性力学研究还关注多场耦合效应，即在温度、磁场、电场等多
种外部场的作用下，材料的弹性行为和力学性能的变化规律。
非线性弹性力学研究
非线性行为
非线性弹性力学研究关注材料在 受力作用下的非线性响应和失稳 现象，如屈曲、断裂、塑性变形等。
高强度材料
非线性弹性力学研究对于高强度 材料的性能评估和设计优化具有 重要意义，如复合装甲、航空航 天材料等。
02
应变张量
描述应变在三维空间中的分布，包括正应变和剪应变。
03
应变协调方程
确保物体在变形过程中保持连续性和协调性。
弹性力学的基本方程
平衡方程
描述物体在力的作用下保持平衡的方程。
几何方程
描述物体在变形过程中形状变化的方程。
物理方程
描述材料在受力时应力与应变关系的方程。
02
本构方程
描述材料在受力时应力与应变之间关系的方 程，通常由实验确定。
03
基于弹性力学原理，开发新型材料并优化现有材料的性能，以
满足各种工程需求。
谢谢聆听
数值模拟与实验验
证
非线性弹性力学研究需要结合数 值模拟和实验验证，以深入理解 材料的非线性行为和失稳机制， 为工程应用提供理论支持和实践 指导。
弹性力学与其他学科的交叉研 究
05
弹性力学与流体力学的交叉研究
《连续介质力学》期末复习提纲
《连续介质力学》期末复习提纲连续介质力学是研究物质连续性的基本规律和力学性质的分支学科。
它在物理学和工程学中具有广泛的应用，涉及领域包括固体力学、流体力学、声学和热力学等。
下面是一个关于连续介质力学的期末复习提纲，帮助你系统地回顾这门课程的重点内容。
一、基本概念和假设1.连续介质的定义和性质2.连续介质力学的基本假设和适用范围3.应力和应变的概念和分类4.应力张量的定义和性质二、应力分析1.应力分析的基本原理和方法2.平面应力和平面应变假设3.均匀平面应力和均匀平面应变条件4.应力分量和应变分量的关系三、线性弹性理论1.线性弹性体的定义和性质2.弹性模量的定义和计算3.各向同性弹性和各向异性弹性4.弹性体力学模型：胡克定律、泊松比和剪切模量四、变形分析1.变形分析的基本原理和方法2.应变张量和应变分量的表示和计算3.变形分析中的应变量：延伸应变、切变应变和体应变4.变形场的概念和地应力计算五、应力应变关系1.胡克定律和非线性弹性2.应力应变关系的线性性质和线性弹性材料的条件3.应力应变关系的非线性性质和非线性弹性材料的条件4.弹塑性和破裂的介绍六、应力分析方法1.平衡方程和边界条件的建立和使用2.静力平衡方程的应用：直接法和能量法3.动量守恒方程的应用：牛顿第二定律和动量矩法4.应力分析的数值计算方法：有限元法和边界元法七、流体力学基础1.基本概念和流体的性质2.流体的运动描述：欧拉法和拉格朗日法3.流体连续性方程和运动方程4.流体静力学：静水压力和流体静力学平衡方程八、流体动力学1.不可压缩流体的纳维-斯托克斯方程和边界条件2.流体的黏性和黏性阻力3.流体的层流和湍流4.流体动力学的数值模拟方法九、声学基础1.声波的基本特性和传播规律2.声波的速度和频率3.声波的传播和衰减4.声学问题的数值模拟方法十、热力学基础1.热力学基本概念和热力学系统2.热力学过程和热力学方程3.热力学状态方程和热力学循环4.热力学问题的数值模拟方法以上是关于《连续介质力学》的期末复习提纲，主要涵盖了基本概念和假设、应力分析、线性弹性理论、变形分析、应力应变关系、应力分析方法、流体力学基础、流体动力学、声学基础和热力学基础等内容。
弹性力学复习总结提纲
2011土木工程专业《弹性力学》复习提纲一、选择题1、弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，还必须结合（）求解这些微分方程，以求得具体问题的应力、应变、位移。
A．相容方程B．近似方法C．边界条件D．附加假定2、根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的力系可以用下列（）的力系代替，则仅在近处应力分布有改变，而在远处所受的影响可以不计。
A．静力上等效B．几何上等效C．平衡D．任意3、弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程具有下列关系（）。
A．平衡方程、几何方程相同，物理方程不同B．平衡方程、几何方程、物理方程完全相同C．平衡方程、物理方程相同，几何方程不同4、不计体力，在极坐标中按应力求解平面问题时，应力函数必须满足（）①区域内的相容方程；②边界上的应力边界条件；③满足变分方程；④如果为多连体，考虑多连体中的位移单值条件。
A. ①②④B. ②③④C. ①②③D. ①②③④5、如下图所示三角形薄板，按三结点三角形单元划分后，对于与局部编码ijm对应的整体编码，以下叙述正确的是（）。
①I单元的整体编码为162 ②II单元的整体编码为426③II单元的整体编码为246 ④III单元的整体编码为243⑤IV单元的整体编码为564A. ①③B. ②④C. ①④D. ③⑤二、判断题（正确的打√，错误的打×）1、满足平衡微分方程又满足应力边界条件的一组应力分量必为正确解（设该问题的边界条件全部为应力边界条件）。
( )2、本构方程直接给出了位移和应力之间的关系。
（）3、理想弹性体中主应力方向和主应变方向相重合。
（）4、应力张量的三个主应力与坐标系无关。
（）5、弹性力学规定，当微分面的外法向与坐标轴正方向一致时，其上的应力分量指向坐标轴的正方向为正。
（）6、瑞利-李兹法一般用于求解弹性力学问题的近似解。
（）三、填空题1、在弹性力学变分解法中，位移变分方程等价于（方程和边界条件），而应力变分方程等价于（方程和边界条件）2、弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：____________，____________。
弹性力学期末考试复习
千里之行，始于足下。
弹性力学期末考试复习弹性力学是争辩物体在受力作用下的形变和应力的学科。
它在工程力学中有着重要的地位，对于理解材料的力学性能和结构的稳定性有着重要的意义。
弹性力学期末考试复习主要包括以下内容：1. 应力和应变弹性力学的基本概念是应力和应变。
应力是单位面积上的力，可以分为正应力和剪应力。
应变是物体在受力作用下的形变程度，可以分为线性应变和剪应变。
弹性力学通过应力和应变的关系来争辩材料的力学性能。
2. 弹性力学的假设弹性力学的争辩基于一些假设，如线弹性假设、小变形假设和均匀介质假设。
线弹性假设指材料的力学性能在肯定范围内是线性的，即应力和应变之间的关系是线性的。
小变形假设是指应变小到可以忽视不计。
均匀介质假设是指材料的性质在整个物体内是均匀的。
3. 单轴拉伸和挤压单轴拉伸和挤压是弹性力学的基本问题。
在单轴拉伸和挤压的问题中，通过应力和应变的关系来争辩材料的刚度和延展性。
其中，杨氏模量是衡量材料刚度的重要参数，可以通过材料的应力和应变来计算。
4. 弯曲弯曲是弹性力学中的一个重要问题。
在弯曲的问题中，争辩物体在受弯力作用下的形变和应力分布。
弹性力学的基本方程是弯曲方程，通过求解弯曲方程可以得到物体的外形和应力分布。
5. 圆柱壳的弹性力学第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
圆柱壳是弹性力学争辩的另一个重要问题。
圆柱壳是指直径较大、壁厚较薄的圆柱体，如水箱、气管等。
圆柱壳在受压力作用下的变形和应力分布是争辩的重要内容。
通过求解圆柱壳的弹性力学方程可以得到其外形和应力分布。
6. 稳定性分析稳定性分析是弹性力学争辩的另一个重要问题。
在稳定性分析中，争辩物体在受压力作用下的稳定性和失稳现象。
稳定性分析可以通过求解物体的特征值问题来争辩。
以上是弹性力学期末考试复习的基本内容，重点是把握应力和应变的关系、弹性力学的假设、单轴拉伸和挤压、弯曲、圆柱壳的弹性力学和稳定性分析等。
通过对这些内容的复习和理解，可以挂念我们更好地理解和应用弹性力学的学问。
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〈连续介质力学〉期末复习提纲一弹性力学部分1、自由指标与哑指标判别（★）2、自由指标与哑指标的取值范围约定3、自由指标与哑指标规则4> Einstein 求和约定（★）5、Kronecker-delta 符号（★）、、, f 0, i j定乂：廿性质:(1) §ij= Eji(2)e f -e)= %(3)戈=久+爲2+爲3=3(6) S ik5kj=S ij6、Ricci符号（置换符号或排列符号）（★）1,北为1,2,3的偶排列定义:e..k = -1, ■从为1,2,3的奇排列0, 门，舛任两个相等性质：(1) e ijk = e jki = e kij = -e Jik = -e ikj = -e kji(2)弓23 =幺23] =©】2 =1(3)弓32=©2I =勺口=_1⑷e^ej=e ijk e k(5) (axb)k = egbj, a、b为向量7、％与爲的关系（★）魯i詁0 § ZQ8、坐标变换（★）向量情形：旧坐标系： ox [兀込尹丘，仔，£ 新坐标系： 州兀姿戸心乙列 变换系数： e[・e 尸（3 坐标变换关系：X ，i - 0ijXj x t = 0jXj0厂（角）T矩阵形式为：011 012 013011 0】2013X * = 021 022 023兀2或[耳,兀;,堪]=[西，兀2,兀021 022 023A.几 2 A.3__^3_.031 032 033.011 012 013 A011 012 013 兀2 — 021022 023%； 或[西，吃，兀3] =[X ，%；，兀；]021 022 023_031 032033 _.031032033.张量情形入芋与A“•是两个二阶张量，角是坐标变换系数矩阵，则有気=炕0“九矩阵形式为[匍=[0]|? ]|> ]，其中[A J=[A ]T （★）9、 张量的基本代数运算（1） 张量的相等（2） 张量的加减法 （3） 张量的乘积（4） 张量的缩并 （5） 张量的内积（★）（6） 张量的商法则 10、 几中特殊形式的张量（1） 零张量 （2） 单位张量（3） 转置张量（4） 逆张量（5） 正交张量（6） 二阶对称张量与二阶反对称张量（★）=*（每+心）+*（州一％）对称部分反对称部分若％•为对称二阶张量，则勺辺=0（7） 球张量与偏张量Ay = | Akk Sij +（4/_| A3j ）球张虽 偏怅虽（8） 各向同性张量a. 零阶各向同性张量形式：标量b. 一阶各向同性张量形式：零向量c. 二阶各向同性张量形式：傀=呱,o 为任意标量d. 三阶各向同性张量形式：B ijk =/3e ijk . 0为任意标量e. 四阶各向同性张量形式：C 购=2第爲+“@易+爲务）, 11、二阶对称张量的特征值与特征向量（★）特征值久与特征向量"所满足的方程组：（★）（片一 A ）/2] + T ]2n 2 + 7j 3n 3 = 0（场-鸥）® = 0 O ©q + （乓 _ 小2 + T23n3 = ° »7^]M| 4- 7^2^2 + （可3 —几）斤3 = °计算特征值2的方程：（★）计算特征向量"的方程：（★）（T f - A ）2 -f-T 耳 2十丁 nO （（£•厂久5莎=■ 卩十7（ -2A n ）+T n 巧宅=1J 芯卩 t T 如+2/ -么"=P第I 、II 与III 不变量的直接计算公式：（★）2、“为常数（★）7]厂几忆•一鸥 | = 0o T 2l1 =T U =T XX +T 22 +T 33 II⑺血-7；再)胡禺2 + T 22T 33 +石/厂莖一泾一兀III = det(7? )=人［石2召3 +久2呂3石I +刁3石禺2 - ”禺3巧2 -久2厶石3 -刁3石2石1利用三个特征向量计算三个不变量的公式：(★)I =厶=入+入+入III = det®)=人人入12、张量分析简介(1) Hamilton 微分算子V (★)笛卡尔坐标系屮，V 的定义为若比为标量函数，则梯度:若“为矢量函数，则散度:若比为矢量函数，则旋度:设U 为标量函数，43为矢量函数，C 为常矢量，则有① V-(wC) = VwC ② N x(wC) = VwxC③ ▽•G4xB) = B ・(VxA) — A(VxB) ④ V-(Vw) = V 2w ⑤ (V-V)A = V 2A@Vx(Vw) = 0⑦ V-(VxA) = 0V 2a 2 a 2⑧ V X(V X A)=V(V-A)-V2A(2)Laplace微分算子与Hamilton微分算子的关系在笛卡尔坐标系屮，Laplace微分算子定义为：△ = 2 +厶+ 2_ox2 ox^ Laplace微分算子与Hamilton微分算子的关系:v 2=v-v =d 2 d d d —e x H H = —7 H r 讥' dx 2 2 dx 3 3a?九2a 2 a 2 7 H -- = A dx^ dx ； dx 3（3）三矢量的混合积及其几何意义（★）对于如下的三个矢量A = A 】弓 + A 2e 2 + A 3e 3B — + ^2^2 + B3EC = C|^| + G 匕 +4・(BxC) = A B\ c, cA 2B2上述混合积的几何意义是: 三矢量的混合积A （BxC ）表示以|A |>\B \. |c|为棱的平行六面体的体积。
（4）散度定理（★）某一矢量散度的体积分等丁 •该矢量穿过该体积封闭表面的总通量。
设空间区域V 具有分片光滑的封闭边界面S, n = n&为S 的外法向单位向量，向 量场u （x.t ）在V 内具有连续的偏导数，则高斯散度定理为£ V • udV = % ° ndS—弹性体运动与变形基本理询1、 内力与外力（★）2、 应力与应变（★）3、 轴向应变与横向应变（★）4、 正应力与剪应力（★）5、 体积膨胀率或体积应变（★）6、 杨氏模量（弹性模量）、泊松比、体积模量与剪切模量（★） a d——e x H - s + 为 Sx ~7、 弹性波、波速及波阵面 8、 纵波、横波、体波与面波9、 弹性动力学基本假设及其数学物理含义（★）18、 过一点的两线元变形前后夹角的变化（假设单位向量为n = n i e i , n = n i e i ）变形前夹角余弦：cos a = qq 变形后夹角余弦：cos a = 2q qj?, + （1 _ w _ €）叫叫=le^n. + （1—w —w ） cos aJJJJ19、 小变形应变张量的几何解释（★） 20、 主应变与应变不变量（★）（1） 主应变与主方向的概念（2） 主应变与应变不变量的计算10、 弹性体运动与变形的一般数学描述 11、 质点的速度与加速度表达式12、 G reen 应变张量(a13、 小变形情形的应变张量（★）eU 1 ( du t 8Uj = ------ +—-2l dx j dxUiJ + U j,i)14、 小变形位移场的分解讷Q，= u i H申 cqjdx)+ e-dx15、 小变形情形的转动张量（★）_ 1 8u i duj2\ dXj dx {\ J 1UiJ ~ U jJ16、 小变形情形的转动向量（★）\宀 1 die©=亍5弼或 ©=空5莎17、 正应变及其计算（★）主应变弓与主方向〃所满足的方程组：（★）0] - e ） q+ e 12n-^ e t（勺厂妙亍°02《卩+ （纟2一 P P+纟3勺"古 e3^e^3）eZK计算主应变弓的方程：（★）ell ~ee if —e% =0 o e 2le3\计算主方向〃的方程：（★）应变张量第I 、II 与Ill 不变量的直接计算公式：（★）I =色=印+幺22+幺3311=亍（◎勺_旬旬）=片向2 +勺2幺33 +幺33勺1 _必_幺;3 _勺；III = det （勺）=弓］丘22*33 +*12*23*31 + 弓 3*2】勺2 —弓 1*23*32 —弓 2*21*33 —弓3*22*31利用三个主应变计算三个不变量的公式：（★）HI = det （勺）=弓幺2幺321、 相容性条件的物理意义（★） 22、 如何由应变场通过积分方法求解位移场 23、 应变球张量与应变偏张量三、应力分析基本理论1、 体力与面力2、 Cauchy 应力原理3、 应力向量应力向量：t （n.x.t ） = -（71, x, t ）e （ 正应力：r n =t -n =-叫ei2ei3*22 _ e*23纟32 勺3 — °=0I 二弓+勺+勺剪应力4、 应力张量© （★）5、 C auchy 应力公式（★）应力向量：t t = T ij n j 止应力：r n =6、 运动微分方程与边界条件（1） 运动微分方程（★）: +pfj= pUi（2） 平衡微分方程（★）: r.（jj +pf.=O（3） 剪应力互等定理（★人r.. = r.. （4） 应力边界条件应力边界值为：t i = r.7、 主应力及应力不变量（★）（1） 主平面、主方向与主应力 （2） 主应力与主方向的计算（★）主应力7■与主方向〃所满足的方程组：（★）（耳厂〃 ]+厂“左「厲3$（T..- T 3^1 亍 Ou>2卬2| +（爲2 一血 2 + 珂 3 *计算主应力&的方程：（★）计算主方向〃的方程：（★）（斤]一厂）2）i-r 力+歹nn 亿厂r 弟亍?。
卩卩古巩厂工刃）+歹方= 1（ fT 冬 2+2$ 一 #3” =应力张量第I 、II 与III 不变量的直接计算公式：（★）II =㊁訐jj - T ij rij^ ~ r n r22 r22r33 + 厂33巧 1 一「12 — T23 ~ T\3T2 1 T 22T—T S- = 0<=>I 32III= det(r^.)=斤&22 厂33 + r i2r23r3l + 可 3 厂21^32 —可1^23^32 —右2^21「33 — ^13^22^31 利用三个主应力计算三个不变量的公式：(★)I=r..=r,+r2 + r3II=?■苗2+55+III= det(r^) = ^^7-3(3)主应力的性质8、应力球张量与应力偏张量1、数学预备：功与应变能动能密度：k = -pu i u i(★)Green 公式:r.. =2、各向同性线弹性体的广义胡克定律(本构方程)(1)广义胡克定律的一般形式：s=Gjk&j(2)各向同性线弹性体(或理想弹性体)的广义胡克定律(★)应变表示应力：Tg=入眦)+ 2“勺，& =骸，丄厂如——8..应力表示应变:"2“ y2“(32 + 2“)"体积膨胀率与应力的关系：e =—；—r,3/1 + 2“(3)线弹性体的应变能密度(★): W=|r.e..(4)各向同性线弹性体的应变能密度函数(★人W = -W2+/.ie.e..(5)物理常数E、I/、G、R与拉梅常数2、“之间的关系“(32+ 2“ A - EvE = ------ -, v = -------------- , X = -------------------2 +“2(2 + “)(l + v)(l-2v)E 小. 32 + 2/z E//= , C J — JLl K ——2（” 3 3（1 - 2v）（6）各弹性参数的取值范围实际地球岩石的泊松比“ = 0.25 ,通常称为泊松材料。