关于子流形的Riemann浸没

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3 子流形的 R iem ann 浸没
n m n →N ′ 是 R iem ann 浸没, f ∶M m + r →N n+ r 和 f ′ ∶M ′ →N ′ 都是等距浸入, 并假定 M 遵 从 R iem ann 浸没 Π , 即存在一个 R iem ann 浸没 Π ′ ∶ 使得图 1 是可交换的, 而且 f 在相应的纤维 M → M ′ T 上是微分同胚的. 由于计算是局部的, 不妨设 f , f ′ 都是嵌入 . 如果 X ∈T p (M ) , p ∈ M < N , 我们用 X 和
υ 证明 设{em + 1 , …, en } 是 M ′ 的单位正交法标架场, 那么{υ em + 1 , …, en } 是 M 的单位正交法标架场, 如 果 M 包含在 N 的一个全测地子流形 N m + r+ 1 中, 我们不妨设对Π U , V ∈T (M ) , 有 υ B (U , V ) = 〈 UV , em + 1 〉 em + 1 , 〈 UV , υ eΑ〉 = 0, Α≠ m + 1
第 25 卷
引理 3. 1
υ = (n + r) Γ n Γ′
(Π ( p ) ) = ( n + r) H ( p ) , Π p ∈ M nH ′ ′ ( 9)
我们现在证明如下几个命题: 命题 3. 1 若M 是 N 的全脐子流形, 则M ′ 是N ′ 的全脐子流形 . ) , 则有 X , Y ∈T (M ) , 若 M 是全脐的, 那么 证明 对任意 X , Y ∈T (M ′ T B (X , Y ) = ( X Y ) = (X , Y ) Γ 由于纤维全测地的. 所以
第6期
李德军, 等: 关于子流形的 R iem ann 浸没
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Γ 的长度称为平均曲率, 记为 H . 如果对 f (M ) 上的任意切向量 X , 有 D X Γ= 0. 则称 f (M ) 为 N 的平均曲 率向量平行的子流形. 如果对 f (M ) 上的任意切向量 X , Y 有 ( 4) B (X , Y ) = < X , Y > Γ 2 则称 f (M ) 为 N 的全脐子流形. 若‖B ‖ = 0, 则称 f (M ) 为全测地的 . 对p∈ M , 若 u ∈T p (M ) 是单位向量, 则 B p ( u , u ) = Γp ( u , u ) 称为 f (M ) 在 p 点沿 u 方向的法曲率向 量, 若 B p ( u , u ) 的长度与 u 的选择无关, 则称 f 在 p 点是迷向的; 若 f 在 M 上的每一点都迷向, 则称 . 在不引起混淆时, 我们把 f (M ) 简记为 M . f 是迷向浸入, f (M ) 称为 N 的迷向浸入子流形
- 1
VX + H X , 其中 VX 与过 p 点的纤维相切, 而 H X 量, 如果 X = H X 称 X 为横向量. Π ∶T (M ) →T
3 p
p
与过 p 点的纤维正交, 如果 X = VX , 称 X 为纵向 ) 是一个保持横向量长度的满射, 对 M ′ 上的 Π( p ) ( M ′
( ), 有 故, 对Π Z ∈T ⊥ (M ′ = 〈H =〈
⊥ ′ = (H XY)
X
⊥ Y) = (
X
Y)
⊥
(X , Y ) , Z 〉 〈B ′ = 〈(
X
⊥ ′ , Z〉 =〈 ′ =〈 ′ XY) XY, Z〉 XY, Z〉
⊥ Y) , Z〉 =〈 B (X , Y ) , Z 〉 =〈 〈X , Y 〉 Γ, Z 〉
1 预备知识
设 M , N 分别是 n 维和 n + p 维的 R iem ann 流形, f ∶M →N 是等距浸入, N 上的 R iem ann 联络记 为 , 如果 X , Y ∈T (M ) , 则 ( 1) XY = X Y + B (X , Y ) ⊥ 其 中, X Y ∈T (M ) , B (X , Y ) ∈T (M ) , , B 分别为 f (M ) 的 R iem ann 联络与浸入 f 的第二基本形 式, 若Ν ∈T ⊥ (M ) , X ∈T (M ) , 则
n m+ r m n →N ′ →N n+ r and f ′ ∶M ′ →N ′ be a R iem ann subm ersion. If f ∶M a re , then w e have the fo llow ing reu lt s: isom et ric im m ersion s, and M resp ect s the R iem ann subm ersion Π 1 ) If M is a to ta lly um b ilica l subm an ifo ld of N , then M ′ ; 2) If is a to ta lly um b ilica l subm an ifo ld of N ′ (M ′ ) is an iso t rop ic subm an ifo ld of N ′ ; 3) If M lies in f (M ) is an iso t rop ic subm an ifo ld of N , then f ′ m + r+ 1 m+ 1 a to ta lly geodesic subm an ifo ld N of N , then M ′ lies in a to ta lly geodesic subm an ifo ld N ′ of . In p a rt icu la r, w e ob ta in a p inch ing theo rem of Sim on s typ e of subm an ifo ld and a cha racter of N ′
第 25 卷第 6 期 2005 年 12 月
黄 冈 师 范 学 院 学 报 Jou rna l of H uanggang N o rm a l U n iversity
. 25 N o. 6 Vol D ec. 2005
关于子流形的 R iem ann 浸没
李德军1 , 宋来忠2
( 1. 宜昌市广播电视大学, 湖北 宜昌 443000; 2. 三峡大学 理学院, 湖北 宜昌 443002)
1) + X Y = - + Y X = 1 [X , Y ] 2V
H
V
X
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2) +V X = 0
( 7)
2
如果 X + Y = 1, X +V = 1, 则 (Π 3) K (X , Y ) = K ′ 3 +X Y 3 X , Π 3 Y) 2 4) K (X , V ) = + X V 其中 K 和 K ′ 分别表示M 和 M ′ 的截面曲率.
2) [ X , Y ] = 3) H 4) H
X X
, X 叫做 X 的横向
H [X , Y ]
′ XY
( 5)
Y =
V =ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
我们还可以在M 上定义一个张量 + 如下: 设 X , Y ∈T p (M ) , 将 Y 扩充为一个局部向量场, 令 + X Y = V H X H X + H H X VX ∶ 的基本张量 . + 的定义与 Y 的扩充无关. + 叫做 R iem ann 浸没 Π M → M ′ [1 ] 引理 2. 2 如果 X , Y 是 M 上的横向量场, V 是M 上的纵向量场, 则
Abstract: L et Π∶N
n+ r
to ta lly um b ilica l subm an ifo ld in com p lex p ro ject ive sp ace and qua term ion ic p ro ject ive sp ace. Key words: to ta lly um b ilica l subm an ifo ld; iso t rop ic subm an ifo ld; R iem ann subm ersion to ta lly geodesic subm an ifo ld;
2 R iem ann 浸没及其引理
假设 M 和 M ′ 分别是 m + r 维和 m 维的 R iem ann 流形, Π ∶ 是 R iem ann 浸没, 对Π p ′ ∈M ′ , M → M ′ - 1 ) ) ( ( ( ) = r 维子流形, Π p ′称为浸没 Π的纤维; 对Π X ∈T p M , 可分为 Π p ′是 M 的一个 d imM - d imM ′
Π ′
M ′
f′
m
Π
n N N ′ 以下, 我们总假定纤维全测地的. 图1 是N ′ 的极小子流形的充要条件是M 为 N 的极小子流形 . 吴传喜也证明: 如果 L aw son 曾证明: M ′ 是N ′ 的全测地子流形 . 且有 M 是 N 的全测地子流形, 则M ′
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黄 冈 师 范 学 院 学 报
设Π ∶N
n+ r
X
⊥
分别表示 X 到 M 在 p 点的切空间和法空间的投影, 用
表示 N 的 R iem ann 联络, 如果 X , Y 是 M
M
f
n+ r m+ r
上的切向量场, 则M 的 R iem ann 联络及第二基本形式可分别表示为 ( X Y ) T , B (X , Y ) = ( X Y ) ⊥ XY = 和N ′ 的相应对象, 用上述记号加 “′ ” 表示. M ′
摘要: 设 Π ∶N
n m n →N ′ 是 R iem ann 浸没, f ∶M m + r →N n+ r 和 f ′ ∶M ′ →N ′ 都是等距浸入, 并 假定 M 遵从 R iem ann 浸没 Π , 我们证明: 1) 若 M 是 N 的全脐子流形, 则 M ′ 是N ′ 的全脐子流 (M ′ ) 是N ′ 形. 2) 若 f (M ) 是 N 的迷向子流形, 则 f ′ 的迷向子流形 . 3) 如果M 包含在 N 的一个 m+ 1 全测地子流形 N m + r+ 1 中, 则 M ′ 包含在 N ′ 的一个全测地子流形 N ′ 中 . 特别地, 我们得到复 射影空间和四元数射影空间中子流形的 Sim on s 型 P inch ing 定理及全脐子流形的一个特征 . 关键词: 全脐子流形; 迷向子流形; 全测地子流形; R iem ann 浸没 中图分类号: O 186. 16 文献标识码: A 文章编号: 100328078 ( 2005) 0620004205