极小子流形的相关研究
黎曼--芬斯勒空间形式中的极小曲面研究
’ 作者 简介 ：崔 宁伟 ，男 ，讲 师 。
・ ２１ ・
２ ０ １ ４年 第 ４期
１ 黎曼空间形式中的极小 曲面
黎曼空间形式 中关于常平均 曲率 曲面 的研究方法有扰动方法 （ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｏ ｆ ｐ ｅ ｒ ｔ ｕ ｒ ｂ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ） 、可积 系统 （ ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｂ ｌ ｅ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ） 、Ｗｅ ｉ ｅ ｒ ｓ ｔ ｒ ａ ｓ ｓ 型表示等 。由 Ｌ ａ ｗ ｓ ｏ ｎ 对应 ， 中的极小曲面和 中的常 平均 曲率 ｌ 的曲面存在局部等距对应 ， 很多研 究者得 到大量 中常平 均 曲率 ｌ 的曲面。 Ｒ ｉ ｂ ａ ｕ ｃ ｏ ｕ ｒ 变换是可 以用来寻找常平均 曲率 曲面的另一种方法 ， 最早的研究可追溯 至 Ｂ ｉ ａ ｎ ｃ ｈ ｉ 的研究 。 Ｃ ｏ ｃ ｏ ，
黎曼一芬斯 勒空间形式中的极小 曲面研 究
崔 宁伟 ‘ （ 数 学学院 ）
黎曼～芬斯勒几何学 的研 究起 源于黎曼在 １ ８ ５ ４年著名 的就职演说 《 论几何学 的基本假设 》 ，
它和黎曼几何相 比在度量上 没有二次型的限制 。黎曼一 芬斯勒几何经过 陈省 身先生 的大力 提倡 ， 最近若 干年蓬 勃发展起来 。黎曼几何 中的核 心不变量一截 面曲率一 在黎曼一 芬斯勒几何 中的推 广称为旗 曲率 （ ｌ ｆ ａ ｇ ｃ ｕ ｒ ｖ ａ ｔ ｕ ｒ ｅ ） 。我们将常旗 曲率 的单 连通黎曼一 芬斯勒流形称为黎曼一芬斯勒 空间形式 。Ｒ ａ ｎ ｄ ｅ ｒ ｓ 度量是 ＧＲ ａ ｎ ｄ ｅ ｒ ｓ在研究广义相对论时得到 的一类重要芬斯勒度量 ，它是用
（ Ａ． ｖ Ｃ ｏ ｃ ｏ ｅ ｔ ａ １ ）中首次成功运用 Ｒ ｉ ｂ ａ ｕ ｃ ｏ ｕ ｒ 变换得到 中的 Ｗｅ ｉ ｎ ｇ ａ ｒ ｔ ｅ ｎ曲面。２ ０ ０ ６年 ， Ｔ ｅ ｎ ｅ ｎ ｂ ｌ ａ ｔ 和王巧玲将 其推广 到一般 的黎曼空问形式 ， 并 得到 ． ５ ｄ 中的一类新的极小柱面和 的常 平均 曲率 １的曲面。最近 ，Ｍ． Ｌ ｅ ｍｅ ｓ ，Ｅ Ｒ ｏ ｉ ｔ ｍａ ｎ ，Ｋ． Ｔ ｅ ｎ ｅ ｎ ｂ ｌ ￣和 Ｒ ． Ｔ ｒ ｉ ｂ ｕ ｚ ｙ证得 ：Ｒ ｉ ｂ ａ ｕ ｃ ｏ ｕ ｒ 变
局部对称空间中的紧致极小子流形
注 若 一 １ 条件 （ ） 是条 件 （ ） Ｃ １ ， ２恰 １ 在 一 的
情形， 因此定 理 １是定 理 Ａ 的 自然推 广 ． 若将 定 理 １中的局部 对称 黎曼 流形 Ｎ 改 为 局 部对 称 和共 形 平 坦 的黎 曼 流 形 ， Ｎ 的截 面 曲 率 的条 件适 当改 变 ， 得 到下 面 的结 论 ． 就 定 理 ２ 设 Ｎ什 是 截 面 曲率 满 足 Ｋ ≤ Ｃ ＜
， ｏ 、
是 全 测
（ ＝０１ ＝∑ 叫， 一 ， １＝ ， ＝ ： １＝ （ ＝ １ ； Ｒ 洲一Ｋ 训＋∑ （ 一： ） ，
Ｓ— Ｐ（ （ 一 ｐ （ —２ ） １ ） ＋ １ Ｋ） ．
收 稿 日期 ： ０ ７０ — ０ ２ ０ — ５１ ． 基 金 项 目 ：国 家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目（ ０ ７ ０ ８ ． １５１６）
下结论 ： ．
ｏ （ 是常数 ） 。ｃ 的 ＋ ｐ维 局部对 称 和共形 平坦 黎曼
流 形 ， 是 Ｎ什 一中 的紧致极 小 子流形 ， Ｓ是 Ｍ” 且 是 Ｎ计一中 的 紧致 极 小 子 流 形 ， Ｓ 且
定理 Ａ 设 Ｎ 是 截面 曲率 为 Ｃ的 ＋户维 常
曲率 空 间 ，
Ｍ ａ ． ２０ ８ ｒ ０
文 章 编 号 ： ０ ０１ （０ ８０ —０ ９０ １ ０— １０ ２ ０ ）１０ ２—３ ９
局部对称空 间中的紧致极小子流形
王 洪 涛
（ 华中师范大学 数学与统计学学院， 武汉 ４０７） ３０９
摘 要 ： Ｎ （） 设 ｃ 为 ＋Ｐ维 的常 曲率 空 间 ， 为 Ｎ （ ） 的 维 紧 致 极 小 子 流 形 ， ａ Ｍ” ｃ中 Ｙ ｕ得 到 了一 个 Ｓｍｏ ｓ 等 式 相 对 应 的结 论 ， 文 将 常 曲率 空 间 的类 似 问题 推 广 到 局 部 对 称 空 间 中 ， 到 ｉ ｎ不 本 得
拟常全纯截面曲率空间中的全实极小子流形
为 单位 向量 的分 量．文 献 ［ －］ 论 了 复 射 影 空 间 中 的 全 实 极 小 子 流 形 ，得 到 一 些 相 关 结 果 ；文 献 ２３ 讨
［ ，— ］ １４５ 研究 了拟 常 曲率 空 间中 的全实 极 小子 流形 ，分 别 得 到 相 应 的 Ｓ ｏ ｓ型积 分 不 等 式．本 文 讨 论 ｍｉ ｎ 拟 常全 纯截 面 曲率空 间 中的全 实极 小 子流形 ，主要 结 果如 下 ： 定 理 １ 设 是 拟 常全 纯截 面 曲率 空 问 中的紧 致全 实极 小 子流 形 ， Ｉ 为 ”的第 二基 本 形 Ｉ ｌ Ｉ Ｂ
第４ ９卷
第 ２期
吉 林 大 学 学 报 （理 学 版 ）
Ｊｕ ａ ｏ Ｊｉ ｎｖｒ ｔ ＳｉｎｅＥ ｉｏ ） ｏ ｒ ｌ ｆ ｉｎＵ ｉ ｓｙ（ ｃｅｃ ｄ ｉ ｎ ｌ ｅｉ ｔｎ
Ｖｏ ． Ｎｏ ２ １４９ ． Ｍａ ２ ｒ ０１ｌ
２１ ０ １年 ３月
拟 常全 纯 截 面 曲率 空 间 中的 全 实 极 小 子 流 形
式模 长 ， 有如 下积 分不 等 式 ： 则
Ｌ （一 ２ ） ｛
进 一 步得 到 ：
收稿 日期 ： ０９ １－５ ２０ —２２ ．
一（十）十 ６ Ｊ） 十）ｌ ［ １ （一ｂ （ １ Ｉ ｎ Ⅱ ｎ １ １
凡 ｔ ≥．（ 一） ６ ０ １ ）
作者 简介 ： 徐 茂 （ ９ ４ ） １７ 一 ，男 ，汉族 ，硕 士研 究 生，从事 子 流形 几 何 的研究 ，Ｅ ｍ ｉ ２０ ０ ０ ０ ４ １３ ＣＩ．通 讯作 者 — ａｌ ０ ８２ ９ ７ ＠ ６ ． ＯＩ ：ａ ＇ Ｉ 宋卫 东（ ９ ８ ） 男 ，汉族 ，教授 ， １５ 一 ， 从事子流形几何 的研 究，Ｅ ｍ ｉ：ｓｄ ６ ｓ ａｃｎ． — ａｌ ｗ ５ ＠ ｉ ． ｏ ｎ 基金 项 目： 安徽省教育厅 自然科学研究重点项 目（ 批准号 ：Ｋ ２０ Ａ ５ Ｃ） Ｊ０ ８ ０ Ｚ ．
子流形与子流形曲率流的相关问题的开题报告
子流形与子流形曲率流的相关问题的开题报告
题目：子流形与子流形曲率流的相关问题
摘要：子流形理论是微分几何学中的基础研究领域之一，它和流形理论以及黎曼几何学息息相关。
子流形曲率流便是最近研究热点之一，具体而言，就是在保持子流形拓扑结构不变的情况下，通过流形上定义的曲率来改变子流形的形态。
本课题将对子流形与子流形曲率流的相关问题进行深入探究，主要包括以下几个方面：
1. 子流形及其基础性质：子流形的定义、分类以及在微分几何学中的基础作用等。
2. 曲率在子流形上的应用：研究曲率如何影响子流形的形态，比如常见的最小曲面问题和最小曲面曲率流等。
3. 子流形曲率流的数学模型：通过一定的偏微分方程模型来描述子流形曲率流的演化过程，包括现有的一些基础模型如平均曲率流、双曲正切曲率流等，并对其理论性质进行分析。
4. 子流形曲率流的应用：子流形曲率流在计算机视觉、计算机图形学以及医学图像处理等领域中的应用，如基于曲率流的图像分割、拟合和重构等。
总体而言，本课题将对子流形与子流形曲率流的相关问题进行全面的剖析，系统地介绍其基础理论和现有进展，为相关领域的研究提供一定的指导和参考。
单位球面中极小子流形的c∞紧性
单位球面中极小子流形的c∞紧性
最近，由于在单位球面中极小子流形的c∞紧性方面的研究取得了重大进展，使得利用该理论可以提供更多有用的信息。
究竟什么是单位球面中极小子流形的c∞紧性，是一种空间结构，具有无限微小的弯曲，可以看作是一种空间的压缩体。
它是一种拓扑空间，它的定义是属于具有无限多的维度的特殊类型，其大小是无限微小的。
此外，单位球面中极小子流形的c∞紧性是一种类型的拓扑结构，而且在这种拓扑结构中，应用了c∞紧性定义。
具体而言，c∞紧性是一种无穷级数和渐近特征的特性，这意味着当对这种拓扑结构进行拉伸和压缩时，无穷级数的值会发生变化，而渐近特征则会保持不变。
因此，由于单位球面中极小子流形的c∞紧性的存在，它可以提供多种应用和研究方向，其中值得注意的是它可以用来研究复杂拓扑结构以及复杂空间结构中的相关拓扑问题，比如它可以用来解决多维振动问题，提出多维解析空间中的多个分区等。
此外，单位球面中极小子流形的c∞紧性还可以用于研究物理和数学场景中的系统，因为这种紧性可以作为一种描述和算法，可以提供准确的、有效的和高效的解决方案。
例如，对于某些复杂的物理系统，可以使用c∞紧性来研究物理系统的拓扑结构，从而发现新的物理规律。
最后，从单位球面中极小子流形的c∞紧性的应用范围来看，它可以应用于包括但不限于物理系统，数学场景，复杂拓扑结构，多维振动问题，多个分区，以及对拓扑结构进行压缩和拉伸等，可以被用
于提出更加准确、有效、高效的解决方案，探索出新的物理规律，改善人们对空间结构的认识。
综上所述，单位球面中极小子流形的c∞紧性的存在，为空间结构的理解及其应用提供了新的思路，并为科学家提供了新的研究方向，使得更多有用的信息可以得到正确的利用。
单位球面中极小子流形的c∞紧性
单位球面中极小子流形的c∞紧性
单位球面是有限维度空间中一种形式上非常平滑的多维形状，它发源于Riemannian广义平坦，在微分几何、传热学、流体力学等领域中有着广泛的应用。
由于单位球面的连续性特点，研究它的紧性性质可以帮助我们更清楚地了解单位球面的空间结构。
最近，研究者着重研究了单位球面中极小子流形的C∞紧性，这种子流形是单位球面上一类具有一般形状的极小子流形，它定义于某一点外围，可以用来描述局部且局限于一定空间领域内的流形特性。
首先，我们来了解一下单位球面上子流形的C∞紧性是什么。
当一个子流形上的每一点处都有一个相同尺度的紧性尺度时，单位球面上的子流形就具有C∞紧性。
这意味着，无论从哪一个方向看，子流形的形状都没有变化，也不会发生变形。
其次，我们要了解的是，对于C∞紧性的子流形，其紧性尺度是怎样定义的。
为了定义该紧性尺度，我们首先需要定义子流形上的每一个点，然后再定义一个空间点，用它来表示子流形上每一点处的紧性尺度，使得每一点处的紧性尺度相等。
最后，我们来看看，C∞紧性的子流形在单位球面上的应用是什么。
由于子流形的C∞紧性，可以把单位球面上的各种曲面和支撑体隔开，使得流体可以沿某一方向流动，这样可以应用于圆柱形和圆柱体等旋转流体的研究中，进而拓宽单位球面传热学中的应用范围。
综上所述，本文首先解释了单位球面中极小子流形的C∞紧性，然后介绍了定义该紧性性质时所需要的一些基本概念，最后介绍了C
∞紧性的子流形在单位球面中的应用。
由此可见，研究单位球面上极小子流形的C∞紧性，不仅可以更清楚地了解单位球面的空间结构，而且可以有助于拓宽单位球面传热学中的应用范围。
不定复空间形式的极小Lagrangian子流形
文献标识码 ： Ａ
文章编号： ００４２（０００—３３０ １０－４４２１）３０４．８
§ 引 言 １
特 殊 的Ｌ ｇａ ｇａ 子流 形 是定 义在Ｃ 或Ｃ ｌｂ— ａ 流 形 中的一 类重 要 的极 小子流 形，回 ａ ｒｎ ｉ ｎ ａａ ｉ ｕ Ｙ 顾 文 …， ｒａ ｔ 用 了微 分 几 何 的 的观 点对 极 ｄ Ｌ ｇａ ｇａ 子 流 形 进 行 分 类． 对 于 流 形 中 Ｂ ｙ ｎ采 ￣ ａ ｒｎ ｉｎ 的Ｌ ｇａ ｇａ 子流形， 第二基本 形式的信 息全 部包含在 立方形式 的对 称性上 ．如果是极 小子 ａ ｒｎ ｉｎ 其
在 上，ｙ ｏ＋ ＝０ ７Ｎ 成立． 此在 Ｌ 联络的 方程０ 因 尸 上， 结构 ＝∑：１ Ａ ｉ ： 也成立， ｊ 其 中 Ａ Ａ 是处处非 … 退化的 由 ａ ａ引 存在函 ＝ Ｌ ． ｃｒ ｎ 理， ｔ 数 蔷 于尸上成立 ｉ ＋“ ； ｅ 吉ｋ． ” Ｏ （１ ２０ ．）
摘
要：确定 了所 有不定复空间形 式中立方形式具有Ｓ 一１ｎ—ｋ ￣Ｓ ｋ ｎ—ｋ Ｏ（ ， ） Ｏ（ ， 一
１ 对 称 性 的 极 小Ｌ ｇ ａ ｇａ 子 流 形 ． ） ａ ｒ ｎ ｉｎ
关键词： 不定 复空 间形式； 极小； ａ ｒｎ ａ 子流形 Ｌ ｇａ 舀 ｎ 中图分类号 ： ８ ． Ｏ１６１ ４
＝ 一
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ｏ＋ Ｊ ｎ
（） ２ ． ７
“
，ห้องสมุดไป่ตู้
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｛ Ｏ ＾ ∑ ￡ ， Ｉ ∑ ＋ ｋ ＋ ｄ 八 ＋
ｋｌ ＝
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ｌ ＝ 八 ＋ ￡ ＋ ， ｄ ∑ ∑ 八
其中
ｆ
＝ （ ０＋ 仆 Ａ ｉ ） ｃＪ ０ ＋ ， ＯＡ Ｏｎ
单位球面中极小子流形的c∞紧性
单位球面中极小子流形的c∞紧性以《单位球面中极小子流形的c∞紧性》为标题，我们要讨论的是在单位球面上的极小子流形的c∞紧性的研究。
子流形是指由许多线性子流形构成的流形，它是微积分中研究的重要问题。
从一维的空间中的非空点到多维空间的点的概念发展，我们发现流形在形状上越来越复杂。
研究单位球面上的极小子流形的c ∞紧性，也是流形研究的重要内容。
单位球面上有许多极小子流形，主要有单位圆，投影单位圆，维姆花，特性空间法线，多项式单位圆，单位圆台，等等。
它们的c∞紧性研究，是一个具有挑战的任务。
单位球面上极小子流形的c∞紧性，主要以Yau结果为基础，Yau 结果指出，单位球面上有许多高维流形，其中有一类特殊的流形，叫做极小子流形，它们是半径为1的流形，它们被称为单位球面上的极小子流形。
Yau结果还提出，单位球面上极小子流形的c∞紧性也可以得到一定的结论，这是一个有意义的研究结果。
因此，研究单位球面上极小子流形的c∞紧性是一个有趣的问题，由此可以推断出更多有关单位球面的性质。
其中，有一些研究由Yau 研究者完成，如单位球面上的贝叶斯流形，维姆花流形，特性空间等。
在这些研究当中，探究了单位球面上极小子流形的c∞紧性的多项式。
此外，还有一些学者认为，极小子流形的c∞紧性不是完全由多项式决定的，而是由这些流形自身所具有的特性决定。
在无数向量场和混沌动力学中，如何研究极小子流形的c∞紧性，也是一个有趣的课题。
因此，研究单位球面上极小子流形的c∞紧性，不仅有着历史悠久的传统，而且能够揭示流形几何学中更复杂的特性。
它也有助于我们深入理解流形的表示形式，以及它如何被用于数学分析，物理学和工程中的应用。
总的来说，研究单位球面上极小子流形的c∞紧性，是一个非常重要的研究课题。
虽然研究还没有完全完成，但也进入了一个新的发展阶段，更复杂的结构和性质可以深入研究，而单位球面上极小子流形的c∞紧性将会成为未来子流形研究的重要内容之一。
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其中△ 与 Ｒ ｉ ｃ 分 别是 法丛 ＋Ｅ－ Ｔ。 若 ｄ ｌ （ ）：ｏ
，
即 ＝ ｏ ， 且 参 。 （ ｆ ） ０ ， 则 Ｍ 的 体 积 （ ￡ ） 中 的 极 小 值 为 （ ０ ） 。 欧 氏 空 间 中 ，
要： 本 文主要 涉及极 小予流形 的相 关研 究。通过对子 流形结构 的深入 了解 ， 本 文使 用 ｃ ａ ｌ ｉ ｂ ｒ ａ ｔ ｅ ｄ几何 中提 出的
ｃ ａ ｌ ｉ ｂ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ， 来得 到极 小子流形 。进一步 ， 以Ｒ “ 中的极 小锥 面为例 ， 可 以得到欧氏空 间中的极小超 曲面。
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３ － ０ ９ — １ ８ 作 者简介 ： 王庆 （ １ ９ ７ ９ － ） ， 男， 江苏扬州人 ， 讲师 ， 主要从事微分几何与数学模型方面研究 。
１ ２ ８ ４
＝
长
春
大
学
学
报
第２ ３卷
１ ， 其中 ｅ １ ， ｅ ２ ， …， ｅ ｋ 为 月 的单 位定 向正 交基 ， 则称 Ｈ是 的积 分 子流形 。
＝， （ 一， ）给 出 ， 若 函数 ＝ 一， ） 满 足方 程
区域 Ｄ ｃ Ｒ 上 的 ｃ 函数
∑ （ １ ＋∑ ） 一∑
则 是 欧 氏空 间 中极 小超 曲面 。
＝ ０ ，
’
２ Ｒ ｉ ｅ ｍａ ｎ ｎ流 形 上 的 Ｃ ａ ｌ ｉ ｂ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ及 其 积 分 子 流 形
［ ４ ］ 和超曲面［ ５ ］ 结构的深入 了解 ， 本文使用 ｃ ｌ ａ ｉ ｂ ｒ ａ ｔ ｅ ｄ 几何 中提 出的 ｃ ａ ｌ ｉ ｂ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ， 来得到极小 子流形。进一
步， 以Ｒ 中的极 小锥 面 为例 ， 可 以得 到欧 氏空 间 中的极 小超 曲面 。
１ 极 小 子 流 形
景ｌ （ ）＝一 ｍ Ｊ ＜Ｈ ， ＞ｄ Ｖ ，
ｕ
Ｍ
其 中子 流形 ， ： 一 Ⅳ 的平均 曲率 向量 为 ， Ｆ的变 分 向量为 ， 子 流形 的体 积元 素为 ｄ Ｖ 。 体积 的第二
变分 公式 ：
ｒ 】 ２
—
ｒ
ｕ
Ｉ ： ０ （ ）＝ 一Ｊ ＜ △ （ ） ＋ Ｒ ｉ ｃ ’ Ｌ （ ） ＋ ｈ ・ ｈ （ ） ， ＞ｄ Ｖ ，
第２ ３卷
第 １ ０
学
报
Ｖｏ１ ． ２ ３ Ｎｏ ．１ ０
２ ０ １ ３年 ｌ Ｏ月
Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬ ＯＦ Ｃ ＨＡＮ ＧＣＨＵＮ ＵＮ Ｉ ＶＥＲ Ｓ Ｉ Ｔ Ｙ
０ｃ ｔ ．２ ０１ ３
极 小 子 流 形 的相 关 研 究
王 庆
（ 苏州 市职业大学 摘 马列与公共教学部 ，江苏 苏州 ２ １ ５ １ ０ ４ ）
黎 曼 流形 （ Ⅳ， ｇ ）中的 ｍ维浸 人 （ 设／ ： 一 Ⅳ）子流形 ， 若 它的 平均 曲率处 处为 零 ， 则 是 极 小子 流形 。 进一步 ， 若 是 紧致 带边 有 向等距 浸 入光 滑流 形 ， 定义 它 的任意 一个 固定 边界 的变分 Ｆ： Ｍ Ｘ（ 一 ， ） 一 Ⅳ， 则由Ｆ 的体 积给 出 函数 Ｖ （ ｔ ）＝Ｖ ｏ ｌ （ Ｍ， （ Ｆ ） ｇ ）得 到体 积 的第一变 分公 式 ：
关键 词 ： 子流形 ； ｃ ｌ ａ ｉ ｂ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ； 极 小锥 面
中图分类号 ： ０ １ ８ ９
文献标 志码 ： Ａ
文章编号 ： １ ０ ０ ９— ３ ９ ０ ７ （ ２ ０ １ ３ ） １ ０—１ ２ ８ ３一 ｏ ３
０ 引 言
自从 Ｅ ｕ ｌ ｅ ｒ 研 究 面积 最小 的旋 转 面 以及 Ｌ ａ ｇ ｒ ａ ｎ ｇ ｅ首 次 导 出极 小 曲 面方 程 以来 ， 极 小 曲面 论 题 已经 历 了 二 百 多年 的发 展 ， 许 多 数学 家在 这方 面做 出了杰 出 的工作 ， 如Ｃ ｈ ｅ ｍ［ １ ］ ， Ｄ ｏ ｕ ｇ ｌ ａ ｓ ［ ２ ］ 等 。 国内外学 者 对极 小 子流 形 的研 究 充 实 了微 分 几 何 ， 对诸 如 拓 扑 学 、 几 何 测 度 论 等 相 关 学 科 的发 展 作 出 了 贡献 。Ｃ ａ ｌ ｉ ｂ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ是 Ｈ ａ ｒ ｖ ｅ ｙ与 Ｌ ａ ｗ ｓ ｏ ｎ等 人 １ ９ ８ ２年 ［ ３ ］ 中开始 系 统研 究 的 ， 它是 研 究 子 流形 的有 力工 具 。Ｆ ｅ ｄ ｅ ｒ ｅ ｒ 等用 Ｋ ａ ｈ ｌ ｅ ｒ 形 式给出 ｃ ａ ｌ ｉ ｂ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ； Ｇ ｌ ｕ ｃ ｋ等 用 Ｅ ｕ ｌ ｅ ｒ 形式给 出 ｃ ａ ｌ ｉ ｂ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ， 并研究 了 Ｇ ｒ ａ ｓ ｓ ｍ ａ ｎ ｎ流 形 上用 Ｐ ｏ ｎ ｔ ｒ ａ ｇ ｉ ｎ形 式 作 为 ｃ ａ ｌ ｉ ｂ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ的积 分子 流形 。近年 来理 论 物理学 家 在 Ｍ 一 理 论 的研究 中 ， 也开始 引用 这一 结果 。通 过对 子流 形
维 Ｒ ｉ ｅ ｍ ａ ｎ ｎ流 形 上 闭 的 ｋ形 式 ， Ｖ ｐ ∈ Ｍ， ， ： ， …， 为 中任 意 ｋ个 幺正 向量 ， 有
（ 以 ２ Ａ… ） ｌ ， 则 称 为 上 的 ｃ ａ ｌ ｉ ｂ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ 。 进 一步 ， Ｖ ｐ∈Ｈ， 日为 的 ｋ 维 定 向子流 形 ， （ ｅ Ｉ Ａｅ Ａ…Ａｅ ）
设ｋ 维定向子流形Ｈ 、 西为 中ｋ ＋ １ 维子流形 Ｃ 的边界， 即Ｈ一 西：Ｏ Ｃ ， 若日 是 的ｃ ａ ｌ ｉ ｂ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ 的 积