极大极小算法

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【算法讲解】三分法

【算法讲解】三分法三分法主要⽤于求解⼀个函数在某个区间内的极⼤（极⼩）值点，类似于⼆分法做⼀个⽐较：⼆分法三分法作⽤：求解⼀个函数的零点求解⼀个函数的极⼤（极⼩）值点条件函数在这个区间是单调函数函数在这个区间是凸（凹）函数⾸先对于⼀个凹函数y=f(x)，我们要求它的极⼩值点。

⾸先确定它的极⼩值点所在的区间为[l,r]计算出两个三分点：mid=(l+r)/2mid2=(mid+r)/2（其实这两个点的位置是灵活的）此时 l < mid <mid2 < r计算出对应的函数值 f(mid)和f(mid2)。

当f(mid)<f(mid2)时，则极⼩值点⼀定不会在mid2和r之间。

反之f(mid)>f(mid2)时，极⼩值点⼀定该不会在l和mid之间。

因此，当f(mid)<f(mid2)时，极⼩值点在[l,mid2]内。

此时令l=l，r=mid2继续计算。

当f(mid)>f(mid2)时，极⼩值点在[mid,r]内。

此时令l=mid，r=r继续计算。

直到这个区间⾜够⼩，可以认为l=r时，l就是所求的极⼩值点。

（可接受的误差内）算法复杂度⼤约是log1.5（(r-l)/eps）double sanfen(double l,double r){double mid,midmid,fmid,fmidmid;mid=(l+r)/2;midmid=(mid+r)/2;fmid=f(mid);fmidmid=f(midmid);while(r-l>0.00000000001){//printf("%lf %lf %lf %lf\n",mid,midmid,fmid,fmidmid);if(fmid>fmidmid){l=mid;mid=midmid;fmid=fmidmid;midmid=(mid+r)/2;fmidmid=f(midmid);}else{r=midmid;midmid=mid;fmidmid=fmid;mid=(l+midmid)/2;fmid=f(mid);}}return fmid;}模板1double f(double a){/*返回函数值*/}double Solve(double MIN,double MAX)//返回极值点{double l = MIN, r = MAX;double mid, midmid;double mid_f, midmid_f;while (l + EPS < r){mid = (l + r) / 2;midmid = (mid + r) / 2;mid_f = f(mid);midmid_f = f(midmid);// 假设求解最⼤极值.最⼩值则取⼩于号if (mid_f >= midmid_f) r = midmid;else l = mid;}return l;}模板2模板1中稍微优化了⼀下，每次三分之需要多计算⼀次函数值，另⼀次直接利⽤上次计算出来的。

极大极小值问题修正的 SQP 算法

A SQP Algorithm for Solving Constrained Min-Max
Problems
作者：陈源;胡伯霞;李龙;史先铭
作者机构：衡阳师范学院数学与计算科学系,湖南衡阳421002
出版物刊名：衡阳师范学院学报
页码： 8-10页
年卷期： 2014年第3期
主题词：带约束的极大极小问题;约束优化问题;SQP算法
摘要：提出了一种修正的SQP算法求解带约束的极大极小问题，仅添加一个额外的变量，
将带约束的极大极小问题转化为序列二次规划问题。

证明了在合理的假设条件下，序列二次规划问题的极小值点就是原问题的极小值点。

数值结果表明这种SQP算法是求解带约束有限极大极小问题的一种有效算法。

博弈及其常用搜索算法初探

［］２肖齐英，正志．王博弈树搜索与静态估值函数［］计算机应用研究，Ｊ，
１９年第４．９７期
图２（）ｂ是与极大值冗余对偶的现象，称为极小值冗余。节点Ａ的［］３李红，吴粉侠，刘小豫．博弈树搜索算法研究［］长春工程学院学报（Ｊ，自值应是节点Ｂ和节点ｃ的值中之较小者。现在已知节点Ｂ的值小于然科学版）２０年第８，０７卷第２期．
５
２５
（）极大值冗余ａ
图２剪枝示意图
（）极小值冗余ｂ
２、５９０那么ＢＯ２、１和３，的值为１。９节点Ａ的值应是节点Ｂ节点Ｃ和的值中之较大者。现在已知节点Ｂ的值大于节点Ｄ的值。由于节点
［参考文献］
Ｃ的值应是它的诸子节点的值中之极小者，此极小值一定小于等［ＳｕｒＲｓｅｌＰｔｒＮｒｉ著，１ｔａｔｕｓｌ，ｅｅｏｖｇ］姜哲、金奕江、张敏、磊，杨等
静态估值函数才能保证较快地找到正解。而静态估值函数是对场，０７２０．
［危春波，８］王海瑞，文乔农．博弈树搜索算法的分析与实现［］科技广Ｊ，
３２剪枝技术．
用极大极小算法求倒推值的过程中，在着两种明显的冗存余现象。第一种现象是极大值冗余，图２（）如ａ所示的博弈树，
４总结
本文着重讨论了什么叫博弈，及博弈问题的两种常用解
法，对静态估值函数进行了定性的分析。并在实际应用中，应

求解非线性极大极小问题的一种新的混合算法

ｑｉｋｙ．Ｓｍｕａｉｎｎｃｍｐｒｓｎｂｓｄｎｗｏｕｃｌｉｌｔｏａｄｏａｉｏｓａｅｏｔｗｅｌｎｗｎｒｂｅｄｍｏｓｒｔｔｅｆｃｉｅｅｓｌ－ｋｏｐｏｌｍｓｅｎｔａｅｈｅｆｔｎｓｅｖ
第３卷第４４期２１年ｌ月０１２
长春理工大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆａｇｈｎＵｎｖｒｉｆＳｉｎｅａｄＴｃｎｌｇ（ｔｒｌｃｅｃｉｏｏｒａＣｈｎｃｕｉｅｓｙｏｃｅｃｎｅｈｏｏｙＮａｕａｉｎｅＥｄｔｎ）ｏｔＳｉ
ｐｒｉｌｓｒａｔｅｗａｍｏｔｚｔｎｗｉａｅｓｂｌｙａｅｌｆｒｎｎｉｅｒｒｉ —ｍａｒｂｅｃｐｉａｉｔｆａｉｉｔ —ｂｓｄｒｅｏｏｌａｎｍｉｏｈｉｏｎａｘｐｏｌｍｓＣｏｐｅｔｈａｇｅａｅｍａｄｗｉｔｅｇｒｇｔｒｈ
ＡｅｙｉＮｗＨｂｒｄＡｐｐｏｃｏｏｉａｉｉｒａｈｆｒＮｎｌｎｅｒＭｎ－ｍａｏｌｍｓｘＰｒｂｅ
ＬＩＧｕｚｉＵｏｈ
（ｏｌｇｆｃｅｃ，ＬａｎｇＵｎｖｒｉｆｅｒｌｍ＆Ｃｅｃｌｃｎｌｇ．Ｆｓｕ１０１ＣｌｅｏｉｅｉｉｉｓｙｏＰｔｅｅＳｎｏｎｅｔｏｕｈｍｉｈｏｏｙａＴｅｕｈｎ１３０）
行基规则，避免了惩罚函数法的缺点，且计算结果表ｏｅＪｅｅ方令ｎ表示搜索空间的维数，ｚ＝（ｆｚ２… ，明了Ｈｏｋ－ｅｖｓ法的快速收敛性和微粒群算－ｚ１ｆｊｊｌ）ｚ表示微粒ｉ当前的位置，ｆＰ２… ，加表示微法的可靠性都得到了进一步的改善。Ｐ＝（１ｆ＇＇Ｐ）混合算法：粒ｉ曾经达到的最好位置。种群中最优微粒的序号第１：步随机初始化一群微粒的位置和速度；用ｇ表示，粒ｉ速度用：（小，，ｉ）微的 … ＂表ＵＤ第２：步以为评价函数，别对每个微粒求问分示。每个微粒根据（）２式来更新自己的速度和位置：

极小极大问题的非单调滤子算法

ｗｅｕｓｈｅＬａａｅｔｇｒｎｇｅｆｕｎｃｉａｍｅｉｕｎｌｏｏｍｂｉｔｗｉｈｈｅｎｏｎｍｏｎｅｉｔｔｎｏｔｎｅｏ
ｔｃｎｑｅｔｍｐｏｅｔｅｅｆｃｆｔｅａｇｒｔｅｈｉｕｏｉｒｖｈｆｔｏｈｌｏｉｈｍ．Ｕｎｅｏｅｍｉｄｃｎｉｉｎ，ｗｅｐｏｅｅｄｒｓｍｌｏｄｔｏｓｒｖｔｅｇｏａｏｖｒｅｅａｄｓｐｒｉｅｒｌｃｌｃｎｖｒｅｃ．Ｎｕｅｉａｅｕｔｈｏｔｈｌｂ１ｃｎｅｇｎｃｎｕｅｌａｏａｏｅｇｎｅｎｍｒｃｌｒｓｌｓｓｗｈｅｅｅｔｖｎｓｆｔｅａｇｒｔｆｃｉｅｅｓｏｈｌｏｉｈｍ．Ｋｅｙｗｏｄｓｍｉｉａｒｂｅ，ｎｏｒｎｍｘｐｏｌｍｎｍｏｏｏｅｌｂｌｃｎｅｇｎｃ，Ｆｉｅｎｔｎ，ｇｏａｏｖｒｅｅｌｒｍｅｈｄ，ｔｔｏｓ
ｔｅｕｃｎｔａｎｄｍｉｉｘｐｏｌｍ．ｅｌｏｉｈｓｌｅｎＳｕｐｏｌｍｏａｑｉｈｎｏｓｒｉｅｎｍａｒｂｅＴｈｇｒｍｖｓＱＰｓｂｒｂｅｔｃｕｒａｔｏａｅ
ｔｅａｔｍｐｅｔｐ．Ｔｈｅｆｔｒｔｃｎｉｕｓｕｅｏｗｅｇｈｆｃｆｔｅａｔｍｐｔｄｓｅｈｔｅｔｄｓｅｌｅｅｈｑｅｉｓｄｔｉｈｔｅｅｅｔｏｈｔｅｉｅｔｐ

一种基于极小极大准则的图像复原算法

原算法。维纳也存在一些问题，它需要知道未退化图像
并令Ａ（，＝（＋）（＋），式中～Ｐ）∑ＯｆｋＯ／
（）、厂（分别是（ｆ和（ｆ的傅立叶变换。）ｐ）ｐ）（（
假定原始信号（ｔ）满足如下的限制
Ｑ＝ｆ『（）Ｉ（）ａｏ）式中，为规整（：ｌ／ｌ厂Ｉｆ，）三三
ＡＣＡＤＥＣＲＥＣＨ学术研究ＭＩＥＳＡＲ
一
种基于极小极大准则的图像复原算法
◆龙字
摘要：本文研究了基于极小极大准则的信号采样与重构过程，将其应用于图像复原算法中，推导出相应的复原滤波器，并与传统的逆滤波、维纳滤
求解可得校正滤波器为。（ｒ）（’），重＝ｖＷｓｓ构信号＝ＨｃＰｅＷ＝，ｘ。
３２．极小极大复原滤波器实现。讨论的采样与重构
１２信息系统工程｛２１．２３０２８Ｏ
算子，＝Ｉ４则即Ｌ吉１－Ｉ类似于。１，ｌ维纳滤波的过程，００１Ｉ
原算法。极小极大准则是信号统计检测理论中的常用准
：ｏ１．一１ … Ｍ
Ｖ）
这表示了一个逆滤波的过程。在无噪且点扩散函数（滤波函数）准确知道的情况下，逆滤波非常的简单，而且能获得很好的效果。但在实际的复原中逆滤波往往表现出病态性，这是因为在频域中对应图像信号的那些频率上，若ｎｕ）或很小，而噪声频谱Ｎ（，（，ｖ＝０ｕ），则 ≠０很难计算或者是比 “ ），ｖ大得多，

半无限极小极大问题的信赖域算法

ｃｎｓｒｃｉｎｄａａｙｉｆａｇｎｒｌｍｅｈｄｌｇｎｄａｉｇｗｉｈｓｍｉｉｆｎｔｐｉｚｔｏｔｕｔｏｎａｎｌｓｓｏｅｅａｔｏｏｏｙｉｅｌｔｅ —ｎｉｉｅｏｔｎｉｍａｉｏｎ，ｔｅｇｏａｏｖｒｈｌｂｌｃｎｅ — ｇｎｅｏｈｌｏｉｈｓｐｅｅｔｄＷｉｈｓｍｅｍｌｏｄｔｎ，ｗｅｓｏｔａｈｏｖｒｅｃｆｔｅａｇｒｔｍｅｃｆｔｅａｇｒｔｍｉｒｓｎｅ．ｔｏｄｃｎｉｉｓｉｏｈｗｈｔｔｅｃｎｅｇｎｅｏｈｌｏｉｈ
应用中，还经常出现半无限极小极大问题
Ｐ：ｎ（）一ｍａｚ，）ｍｉ￣ｘｘ
∈Ｒｔ［，］ＥＯ１
（）１
其中
（） ” ，］一：ｘＥ１一是连续可微函数。ｏ为了解决这类问题，我们首先把原问题参数ｔ的取值区间Ｔ：ｏ１离散化，一Ｅ，］得到以下有限极小极大问
ｉｕｅｌｅｒＳｓｐｒｉａ．ｎＫｅｒｓ：ｒｓｅｉｎａｇｒｔｍ；ｎｎｍｏｔｐｉｚｔｏｙｗｏｄｔｕｔｒｇｏｌｏｉｈｏｓｏｈｏｔｍａｉｎ；ｇｏａｏｖｒｅｅｕｅｉｅｒｃｖｒｅｃｉｌｂｌｃｎｅｇｎｃ；ｓｐ￣ｌｎａｏｎｅｇｎｅ
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运筹与管理
２００７年第１６卷

alphabeta剪枝算法原理

alphabeta剪枝算法原理Alpha-Beta剪枝算法原理引言：在人工智能领域，博弈树搜索是一种常见的算法，用于解决两个对手之间的决策问题。

而Alpha-Beta剪枝算法则是一种优化博弈树搜索的方法，它通过剪去不必要的搜索分支，大大减少了搜索的时间复杂度，提高了搜索效率。

本文将详细介绍Alpha-Beta剪枝算法的原理及其应用。

一、博弈树搜索博弈树搜索是通过构建一棵树来表示博弈的决策过程。

树的每个节点表示一个决策点，树的边表示决策的选项。

对于每个节点，可以根据某种评估函数来确定它的分值。

通过搜索博弈树，可以找到最优的决策序列。

二、极小极大算法极小极大算法是一种常用的博弈树搜索算法，它在树上进行深度优先搜索，通过对叶子节点进行评估，逐层向上选择最优的决策。

该算法中的每个节点都有一个值，对于极大节点，它的值是其子节点中最大的值；对于极小节点，它的值是其子节点中最小的值。

三、Alpha-Beta剪枝算法的原理Alpha-Beta剪枝算法是对极小极大算法的一种优化方法，它通过剪去不必要的搜索分支，减少了搜索的时间复杂度。

具体来说，Alpha-Beta剪枝算法引入了两个参数：alpha和beta。

其中，alpha表示当前搜索路径中极大节点已经找到的最优值，beta表示当前搜索路径中极小节点已经找到的最优值。

在搜索过程中，当某个极大节点的值大于等于beta时，可以直接剪去该极大节点的所有子节点，因为极小节点不会选择这个极大节点。

同理，当某个极小节点的值小于等于alpha时，可以直接剪去该极小节点的所有子节点，因为极大节点不会选择这个极小节点。

通过递归地进行搜索，并不断更新alpha和beta的值，可以逐渐缩小搜索范围，从而大大减少搜索时间。

四、Alpha-Beta剪枝算法的应用Alpha-Beta剪枝算法广泛应用于博弈领域，特别是各种棋类游戏。

在这些游戏中，博弈树的规模往往非常庞大，而Alpha-Beta剪枝算法能够有效地减少搜索时间，提高计算机对手的决策速度。

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1、极大极小策略是考虑双方对弈若干步之后，从可能的步中选一步相对好的步法来走，即在有限的搜索深度范围内进行求解
• 定义一个静态估价函数f ,以便对棋局的态势作出优劣评估规定： • MAX和MIN代表对弈双方 • P代表一个棋局(即一个状态） • 有利于MAX的态势，f(p)取正值 • 有利于MIN的态势，f(p)取负值 • 态势均衡，f(p)取零值 2、MINMAX的基本思想： (1)当轮到MIN 走步时，MAX应该考虑最坏的情况（即f(p)取极小值） (2)当轮到MAX 走步时，MAX应该考虑最好的情况（即f(p)取极大值） (3)评价往回倒推时，相应于两位棋手的对抗策略，交替使用（1）
博弈:
•诸如下棋、打牌、战争等一类竞争性的智能活动。 •其中最简单的一种称为双方完备博弈
博弈是AI研究的起源和动力之一，是启发式算法所针对的一个重要领域
1、提供了可构造的任务领域，能明确判断成功或失败 2、博弈问题是对AI研究提出了严峻的挑战。
如何表示博弈问题的状态、博弈的过程和博弈的知识？
极大极小搜索思想
和（2）两种方法传递倒推值。
算法分析和举例
例子：一字棋（或井字棋）算法分析
• 设棋局为P，估价函数为e(P)。规定： (1) 若P对任何一方来说都不是获胜的位置，则e(P)=e(所有空格都放
上MAX的棋子后三字成一线的总数)-e(所有空格都放上MIN的棋子后三字成一线的总数) (2) 若P是MAX必胜的棋局，则e(P)＝+∞。 (3) 若P是MIN必胜的棋局，则e(P)＝-∞。比如P如右图示,则e(P)=6-4=2
叉代表MAX 方，圆圈代表MIN方
向上值的传播规则：若父状态在MIN层，那么孩子中最小值被传递上去若父状态在MAX层, 那么孩子中最大值被传递上去
算法分析①
MAX MIN
MAX
由于上图所示位置具有最大的倒推值，它应当选取为MAX的第一步（正好是MAX的最好的优先走步）
算法分析②
MAX MIN
现在图中MAX有两个可能“最好的”优先走步，假设MAX走了图上指明的那一步
算法分析③
MAX MIN
如上图，A点，MIN直接获胜பைடு நூலகம்其e(P)＝-∞，MAX只有选择图上的走步，获胜的把握才更大。